Перетворення лапласу з графіками та визначення. Перетворення Лапласа (пряме та зворотне) та його основні теореми

Лекція №12

Операторний метод аналізу перехідних

процесів.

Навчальні питання

1 Перетворення Лапласа та його властивості.

2 Закони Ома та Кірхгофа в операторній формі. Операторна схема заміщення.

3 Алгоритм аналізу перехідних процесів операторним способом.

4 Визначення оригіналу зображення. Теорема розкладання.

Література: с.331-342.

1 Перетворення Лапласа та його властивості

Розглянутий раніше класичний методмає такі суттєві недоліки:

обмеженість застосування, він використовується в основному в тих випадках, коли досліджуваний ланцюг має невисокий порядок складності, а зовнішній впливна неї після комутації є гармонійною функцієючасу чи завжди; якщо зовнішній вплив на ланцюг після комутації має більше важкий характер, то визначення вимушеної складової реакції ланцюга суттєво не може.

громіздкістьпри аналізі перехідних процесів ланцюгів більше другого порядку, оскільки знаходження вільної складової та постійних інтегрувань потребує вирішення алгебраїчних рівняньвисокого порядку.

Перерахованих недоліків позбавлений операторний методаналізу перехідних процесів, заснований на застосуванні перетворення Лапласа.

Операторний метод має фізичної наочністю з математичної формалізації, але значно спрощує розрахунки. Важлива особливість операторного методу полягає в його застосовності для функцій, які не є абсолютно інтегрованими, наприклад, одиничний стрибок напруги, гармонійна напруга, що включається в певний момент часу, та інші форми сигналів, для яких класичний і спектральні методианалізу застосувати не вдається.

Сутність операторного методу полягає в тому, що розрахунок перехідного процесу переноситься в галузі функцій дійсної змінної (часу t) в область функцій комплексного змінного . При цьому операції диференціювання та інтегрування функцій часу замінюються відповідними операціями множення та поділу функцій комплексного змінного на оператор p. Це значно спрощує розрахунок, оскільки зводить систему диференціальних рівнянь до системи алгебраїчної. В операторному методі відпадає необхідність визначення постійних інтегрування. Цією обставиною пояснюється широке застосування цього на практиці.

Перехід із області дійсного змінного в область функцій комплексного змінного здійснюється за допомогою прямого перетворення Лапласа. Після цього вирішуються рівняння алгебри щодо зображень шуканих функцій. Отримане рішення рівнянь алгебри зворотним перетворенням Лапласапереноситься в ділянку дійсного змінного.

Математичне обґрунтування операторного методу вперше дано у 1862р. російським математиком М.Є.Ващенком-Захарченком, який показав можливість застосування символічного (операторного) обчислення до інтегрування диференціальних рівнянь на основі прямого перетворенняЛапласа.

Наприкінці XIX ст. англійські інженери-електрики О.Хевісайд та Д.Карсон успішно застосували та розвинули символічний метод вирішення диференціальних рівнянь для розрахунку перехідних процесів у електричних ланцюгах. Проте суворе обгрунтування операторний метод отримав лише XXв. на базі загальної теоріїфункціональних перетворень.

Пряме перетворення Лапласавизначається рівнянням

де f(t) - функція дійсного змінного t, визначена при
(при t< 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условием граниченного роста:

де множник M та показник зростання C 0 – позитивні дійсні числа.

На рис.12.1 зображено область визначення комплексного змінного F(p).

Зворотне перетворення Лапласавизначають із рішення
(12.1).

Функція F(p), яка визначається рівнянням (12.1), називається зображенням по Лапласу, а функція f(t) у (12.3) – оригіналом.

Отже, оригінал і зображення є парою функцій дійсного f(t) і комплексного F(p) змінного, пов'язаних перетворенням Лапласа і поставлених один одному в сувору відповідність.

Для скорочення запису перетворень (12.1) та (12.3) використовують таку символіку:

де L - Оператор Лапласа.

Надалі для визначення будемо використовувати знак відповідності.

На основі перетворення Лапласа можна отримати зображення будь-яких функцій, які відповідають умові (12.2). Є спеціальні довідники, у яких наведено оригінали та зображення широкого класу функцій.

У таблиці 12.1 наведено приклади зображень найпростіших функцій.

Таблиця 12.1 – Зображення функцій Лапласа

Розглянемо деякі властивості перетворення Лапласа , що називаються також теоремами.

Теорема про складання або лінійність перетворення

Теорема про диференціювання

.

Теорема про інтегрування

.

Теорема запізнення

Перетворення Лапласа дозволяє отримати співвідношення між напругою та струмом в операторній формі для резистивного, індуктивного та ємнісного елементів.

Зображення напруги на резистивному елементі

U r (t) = r i (t) згідно (12.1) набуде вигляду:

Вираз U r (p) = r I (p) називається законом Ома в операторній формі для резистивного елемента (рис.12.1 а), операторна схема заміщення якого представлена ​​на рис.12.1 б.

Зображення напруги
на індуктивному елементі (рис.12.2,а) згідно (12.4) та (12.5) набуде вигляду:

UL (p) = - L i (0) + pLI (p), (12.9)

де i(0) = i(0 -) = i(0 +) – струм в індуктивному елементі в момент комутації t = 0, що враховує початкові умови (відповідно до першого закону комутації).

Виразу (12.9) відповідає операторна схема заміщення індуктивного елемента на рис.12.2 б.

Напруги на ємнісному елементі (рис.12.3,а), починаючи з часу t = 0 виникнення перехідного процесу загальному випадку

де U c (0) = U c (0 -) = U c (0 +) – напруга на ємнісному елементі, що відповідає початковій умові (відповідно до другого закону комутації).

Враховуючи зображення одиничної функції
(табл.12.1) та співвідношення (12.4) і (12.5), знайдемо зображення напруги U c (t):

Виразу (12.10) відповідає схема заміщення ємнісного елемента в операторній формі на рис.12.3 б.

Якщо початкові умови нульові, тобто. i L (0 -) = 0 і U c (0 -) = 0, то вирази (12.9) та (12.10) набудуть вигляду закону Ома в операторній формі для індуктивного елемента

U L (p) = LpI (p) = Z L (p) I (p), (12.11)

де Z L (p) = Lp – операторний опір індуктивного елемента для ємнісного елемента

Раніше ми розглянули інтегральне перетворення Фур'є з ядром K(t, О = е. Перетворення Фур'є незручно тим, що має бути виконано умову абсолютної інтегрованості функції f(t) на всій осі t, Перетворення Лапласа дозволяє звільнитися від цього обмеження. Визначення 1. Функцією- оригіналом будемо називати всяку комплекснозначну функцію f(t) дійсного аргументу t, задовольняючи наступні умови: 1. f(t) безперервна на всій осі t, крім окремих точок, у яких f(t) має розрив 1-го роду, причому на кожному кінцевому інтервалеосі *таких точок може бути лише кінцеве число; 2. функція f(t) дорівнює нулю при негативних значеннях t, f(t) = 0 при 3. при зростанні t модуль f(t) зростає не швидше за показову функцію, тобто існують числа М > 0 і s такі, що для всіх t Ясно, що якщо нерівність (1) виконується при деякому s = aj, воно буде ВИКОНАННЯ і при ВСЯКОМУ 82 > 8]. Точна нижня грань s0 всіх чисел з, «о = infs, котрим виконується нерівність (1), називається показником зростання функції f(t). Зауваження. У випадку нерівність немає місця, але справедлива оцінка де е > 0 - будь-яке. Так, функція має показник зростання в0 = Для неї нерівність \t\^М V*^0 не виконується, але вірна нерівність |f| ^ Меї. Умова (1) набагато менш обмежувальна, ніж умова (*). Приклад 1. функція не задовольняє умові (»), але умова (1) виконано за будь-якого s ^ I і А/ ^ I; показник зростання 5о = Отже є функцією-оригіналом. З іншого боку, функція перестав бути функцією-оригіналом: вона має нескінченний порядок зростання, «о = +оо. Найпростішою функцією-оригіналом є так звана одинична функція. Для простоти запису ми будемо, як правило, множник rj(t) опускати, домовившись, що всі функції, які ми розглядатимемо, дорівнюють нулю для негативних t, так що якщо мова йдепро якусь функцію f(t), наприклад, про sin ty cos t, el і т. д., то завжди маються на увазі наступні функції (рис. 2): п=п(0 Рис. 1 Визначення 2. Нехай f( t) є функція-оригінал Зображенням функції f(t) за Лапласом називається функція F(p) комплексного змінного, що визначається формулою ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСУ Основні визначення Властивості Згортка функцій Теорема множення Знаходження оригіналу за зображенням операційного обчисленняФормула Дюамеля Інтегрування систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтамиРозв'язання інтегральних рівнянь де інтеграл береться за позитивною півосі t. Функцію F(p) називають також перетворенням Лапласа функції /(/); ядро перетворення K(t) р) = e~pt. Той факт, що функція має своїм зображенням F(p), записуватимемо Приклад 2. Знайти зображення одиничної функції r)(t). Функція є функцією-оригіналом з показником зростання в0 - 0. В силу формули (2) зображенням функції rj(t) буде функція Якщо то при інтегралі в правій частині останньої рівності буде схожим, і ми отримаємо так що зображенням функції rj(t) буде функція £. Як ми домовилися, будемо писати, що rj(t) = 1, і тоді отриманий результат запишеться так: Теорема 1. Для будь-якої функції-оригіналу f(t) з показником зростання з0 зображення F(p) визначено в напівплощині R ер = s > s0 і є у цій напівплощині аналітичною функцією (рис. 3). Нехай Для доказу існування зображення F(p) у зазначеній напівплощині достатньо встановити, що невласний інтеграл(2) абсолютно збігається при a > Використовуючи (3), отримуємо що і доводить абсолютну збіжність інтеграла (2). Одночасно ми отримали оцінку перетворення Лапласа F(p) у напівплощині збіжності. Диференціюючи вираз (2) формально під знаком інтеграла по р, знаходимо Існування інтеграла (5) встановлюється так само, як було встановлено існування інтеграла (2). Застосовуючи для F"(p) інтегрування частинами, отримуємо оцінку звідки слід абсолютна збіжність інтеграла (5). (Позаінтегральний доданок,0.,- при t +оо має межу, рівний нулю). У будь-якій напівплощині Rep ^ sj > «про інтеграл (5) сходиться рівномірно щодо р, оскільки він мажорується інтегралом, що сходиться, не залежним від р. Отже, диференціювання по р законно і рівність (5) справедливе. Оскільки похідна F"(p) існує, перетворення Лапласа F(p) всюди в напівплощині Rep = 5 > 5о є аналітичною функцією. З нерівності (4) випливає Наслідок. , то Приклад 3. Знайдемо ще зображення функції будь-яке комплексне число.Показник росту про функцію /(() дорівнює а. 4 Вважаючи Rep = я > а, отримаємо Таким чином, При а = 0 знову отримуємо формулу Звернемо увагу на те, що зображення функції eat є аналітичною функцією ар1ументу р не тільки в напівплощині Rep > а, але й у всіх точках р, крім точки р = а, де це зображення має простий полюс. p) буде аналітичною функцією у всій площині комплексного змінного р, за винятком ізольованих особливих точок. Суперечності з теоремою 1 немає. Остання стверджує лише, що у напівплощині Rep > «про функція F(p) немає особливих точок: вони виявляються лежачими чи лівіше прямої Rep = so, чи самій цієї прямої. Зауваж не. В операційному обчисленні іноді користуються зображенням функції / (f) за Хевісайд, що визначається рівністю і відрізняється від відображення по Лапласу множником р. §2. Властивості перетворення Лапласа Надалі будемо позначати функції-оригінали, а через - їх зображення за Лапласом, З визначення зображення випливає, що якщо Теорема 2 (єдності* мости). £biw dee безперервні функції) мають одне й теж зображення, то вони тотожно рівні. Teopewa 3 («іієіост * преобраедоія Лапласа). Якщо функції-оригінали, то для будь-яких комплексних постійних аїр Справедливість затвердження випливає з властивості лінійності інтеграла, що визначає зображення: , - Показники зростання функцій відповідно). На підставі цьоговластивості отримуємо Аналогічно знаходимо, що і далі Теорема 4 (подоби). Якщо f(t) - функція-оригінал і F(p) - її зображення за Лапласом, то для будь-якого постійного а > О Вважаючи at = т, маємо Користуючись цією теоремою, з формул (5) і (6) отримуємо Теорема 5 ( про диференціювання оригіналу). Нехай є функцією-оригіналом із зображенням F(p) і нехай - також функції-оригінали, а де - показник зростання функції Тоді і взагалі Тут розуміється праве граничне значення Нехай. Знайдемо зображення Маємо Інтегруючи частинами, отримуємо Позаінтегральний доданок у правій частині (10) звертається в нуль при к. при Rc р = s > з маємо підстановка t = Одає -/(0). Друге доданок праворуч (10) дорівнює pF(p). Таким чином, співвідношення (10) набуває вигляду і формула (8) доведена. Зокрема, якщо Для відшукання зображення f(n\t) запишемо звідки, інтегруючи п раз по частинах, отримаємо м Приклад 4. Користуючись теоремою про диференціювання оригіналу, знайти зображення функції f(t) = sin2 t. Отже, Теорема 5 встановлює чудова властивістьінтегрального перетворення Лапласа: воно (як і перетворення Фур'є) переводить операцію диференціювання в операцію алгебри множення на р. Формула включення. Якщо є функціями-оригіналами, то насправді, в силу слідства з теореми 1, всяке зображення прагне нуля при. Значить, звідки витікає формула включення (Теорема 6 (про диференціювання зображення). Диференціювання зображення зводиться до множення на оригіналу, Так як функція F(p) у напівплощині so є аналітичною, то її можна диференціювати по р. Маємо Останнє якраз і означає, що Приклад 5. Користуючись теоремою 6, знайти зображення функції 4 Як відомо, Звідси (Знову застосовуючи теорему 6, знайдемо, взагалі Теорема 7 (інтегрування оригіналу). Інтегрування оригіналу зводиться до поділу зображення на Покладемо Неважко перевірити, що якщо є функція-оригінал, то й буде функцією-оригіналом, причому, нехай, тому що з іншого боку, звідки F= останнє рівносильно доводиться співвідношенню (13) Приклад 6. Знайти зображення функції M В даному випадку, так що. Тому Теорема 8 (інтегрування зображення). Якщо і інтеграл сходиться, то він служить зображенням функції ^: ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСУ Основні визначення Властивості Згортка функцій Теорема множення Знаходження оригіналу за зображенням Використання теореми звернення операційного обчислення Формула Дюамеля Інтегрування систем лінійних диференціальних рівнянь , що шлях інтегрування лежить напівплощини so, ми можемо змінити порядок інтегрування Остання рівність означає, що є зображенням функції Приклад 7. Знайти зображення функції М Як відомо, . Тому оскільки покладемо отримуємо £ = 0, при. Тому співвідношення (16) набуває вигляду Прімері. Знайти зображення функції f(t), заданої графічно (рис.5). Запишемо вираз для функції f(t) в наступному вигляді: Цей вислів можна отримати так Розглянемо функцію і віднімемо з неї функцію Різниця дорівнюватиме одиниці для. До отриманої різниці додамо функцію В результаті отримаємо функцію f(t) (рис. 6 в), так що Звідси, користуючись теоремою запізнення, знайдемо Теорема 10 (зміщення). то для будь-кого комплексного числаро Насправді, Теорема дозволяє по відомим зображеннямфункцій знаходити зображення тих же функцій, помножених на показову функціюнаприклад, 2.1. Згортка функцій. Теорема множення Нехай функції /(£) та визначені та безперервні для всіх t. Згорткою цих функцій називається нова функціявід t, що визначається рівністю (якщо цей інтеграл існує). Для функцій-оригіналів операція згортаємо завжди здійсненна, причому (17) 4 Насправді, добуток функцій-оригіналів як функція від т, є фінітною функцією, тобто. звертається в нуль поза деяким кінцевим проміжком (в даному випадку поза відрізком. Для фінітних безперервних функцій операція згортки здійсненна, і ми отримуємо формулу Неважко перевірити, що операціязгортки комутативна, Теорема 11 (множення). Якщо, то згортка t) має зображення Неважко перевірити що згортка (функцій-оригіналів є функція-оригінал з показником зростання » де, - показники зростання функцій відповідно. Знайдемо зображення згортки, Скориставшись тим, що будемо мати Змінюючи порядок інтегрування в інтегралі праворуч (така операція законна) і застосовуючи теорему запізнення, отримаємо таким чином чином, з (18) і (19) знаходимо - множенню зображень відповідає згортання оригіналів, Пртер 9. Знайти зображення функції А функція V(0 ость згортка функцій. В силу теореми множення Завдання. Нехай функція /(£), пориодична з періодом Т , есгъ функція-оригінал Показати, що її зображення за Лапласом F(p) дається формулою 3. Знаходження оригіналу за зображенням Завдання ставиться так: дана функція F(p), треба знайти функцію /(<)>зображенням якої є F(p). Сформулюємо умови, достатні у тому, щоб функція F(p) комплексного змінного р служила зображенням. Теорема 12. Якщо аналітична в напівплощині so функція F(p) 1) прагне до нуля при будь-якій напівплощині R s0 рівномірно щодо arg р; 2) інтеграл сходиться абсолютно, то F(p) є зображенням деякої функції-оригіналу Завдання. Чи може функція F(p) = бути зображенням деякої функції-оригіналу? Вкажемо деякі методи пошуку оригіналу по зображенню. 3.1. Пошук оригіналу за допомогою таблиць зображень Перш за все варто привести функцію F(p) до більш простого, «табличного» вигляду. Наприклад, у разі, коли F(p) - дробово-раціональна функціяаргументи р, її розкладають на елементарні дроби і користуються відповідними властивостями перетворення Лапласа. Приклад 1. Знайти оригінал для Запишемо функцію F(p) у вигляді Користуючись теоремою зміщення та властивістю лінійності перетворення Лапласа, отримуємо Приклад 2. Знайти оригінал для функції 4 Запишемо F(p) у вигляді Звідси 3.2. Використання теореми поводження та наслідків з неї Теорема 13 (звернення). Якщо функція fit) є функція-оригінал з показником зростання s0 і F(p) - її зображення, то в будь-якій точці безперервності функції f(t) виконується співвідношення, де інтеграл береться вздовж будь-якої прямої і розуміється в сенсі головного значення, тобто. як Формула (1) називається формулою звернення перетворення Лапласа, чи формулою Мелліна. Справді, нехай, наприклад, f(t) - шматково-гладка на кожному кінцевому відрізку)