Що таке узагальнена функція. Узагальнена функція

Узагальнені квіти Якщо вид рослини несуттєвий, Пушкін використовує узагальнені квіти. Однак не можна погодитись із припущенням С.В. Шервінського, ніби «узагальненість могла відбуватися і через те, що Пушкін навряд чи цікавився сортами квітів, особливо польових, і просто

Необхідність узагальнення класичного поняттяфункції, що характеризується завданням значень функції при всіляких значеннях аргументу, виникає в описах зосереджених величин (точкова маса, точковий заряд, точкове джерело тепла, миттєвий імпульс тощо.).

Покажемо, що з класичного погляду описати такі величини не можна. Наприклад, спробуємо визначити щільність створюваної матеріальної точкою маси 1. Вважаємо, що це точка збігається з початком координат. Щоб визначити цю густину, розподілимо масу 1 рівномірно по відрізку довжини eз центром у точці 0. В результаті отримаємо середню густину

Стягуючи відрізок до точки (при цьому e0), ми повинні одержати шукану щільність (позначимо її заd(x)), тобто(2)

Від щільності d(x) природно вимагати, щоб інтеграл від неї з будь-якого відрізку, що містить матеріальну точку, давав би масу, тобто.

Очевидно, що з класичної точки зору рівності (2) і (3) несумісні: функцію d(x) треба вважати або неінтегрованою, або з інтегралом, рівним нулюна будь-якому відрізку (у сенсі невласного інтегралу). Отримане протиріччя показує, що поточена межа функціональної послідовності не може бути прийнята як щільність матеріальної точки.

З іншого боку, щільність матеріальної точки (як щільність точкового заряду тощо) є ідеалізованими поняттями. Реально не можна, наприклад, виміряти щільність речовини в точці, а можна лише виміряти його середню щільність у досить малій околиці цієї точки та оголосити цю величину щільністю у цій точці. Тобто. при описі зосереджених величин має сенс сама щільність розподілу, а деякий інтеграл від неї.

3.2 d-функція як слабка межа функціональної послідовності.

Для того, щоб підійти до іншого визначення d-функції, вивчимо одну властивість сімейства функцій.

Зокрема, обчислимо слабку межу послідовності функцій,e0, тобто. для будь-якої безперервної функціїзнайдемо межу числової послідовностіприe0.

Покажемо, що

Справді, через безперервність функції для будь-якого h>0 існує таке, що, за умови, що. Звідси при всіх отримуємо що і потрібно довести.

Тому потрібну функцію d(x) можна інтерпретувати як граничний елемент послідовності функцій у сенсі слабкої збіжності, тобто.

Таким чином, на відміну від класичних функцій, що ставлять у відповідність кожному числу x деяке числове значення y(x) , дельта-функція встановлює залежність між функцією та числом, а саме кожної безперервної функції ставить у залежність число-значенняїї у точці x=0. Функції, визначені на множинах, елементами яких також є функції, називають функціоналами. Можна показати, побудований функціонал є лінійним і безперервним, тобто. задовольняє властивостям

• 1) лінійність:
• 2) безперервність: якщо

Можна побудувати багато функціональних послідовностей, що мають межею d-функцію.

Покажемо, наприклад, що можна розглядати d-функцію як межу функціональної послідовності прим?, тобто.

Через безперервність функції для будь-якого h>0 існує таке, що, за умови, що. Звідси при всіх отримуємо

Інші аналогічні приклади можна побудувати, взявши довільну функцію F(x) , що має максимум при і швидко зменшується в обидві сторони від нуля і таку, що. Якщо ввести в таку функцію параметр m за правилом, то при m значення функції приросте, а ширина лінії в стільки ж разів зменшується, так що умова виконується. Слабку межу будь-якої такої функціональної послідовності можна розглядати як уявлення d-функції.

Наприклад,

Усі попередні побудови можна вести, використовуючи нескінченно спадний параметр.

3.3 Властивості d-функції.

Основні властивості d-функції.

Виходить при дії функціоналом d(x) на=1

Для підтвердження введемо нову змінну y=ax.

Якщо а>0

Якщо а<0

4) якщо g(x)=0 лише за x=0.

Доведення:

Розкладемо g(x) поблизу x=0:

g(x)=g(0)+g'(0)x=g'(0)x

Тут ми врахували, що g(0)=0. Т.к. g’(0)=const, то використовуючи властивість 3 отримуємо

4a) Якщо рівняння g(x)=0 має s простих коренів, то

Якщо є кратне коріння рівняння g(x)=0, то ці вирази втрачають сенс також, як немає сенсу твір d(x) j(x) , якщо j(x) має особливість при x=0.

3.4 Поняття узагальненої функції.

Отже, за допомогою безперервних функцій d-функція визначається як безперервний лінійний функціонал на цих функціях. Безперервні функції при цьому, як кажуть, є основнимифункціями для d-функції. Ця думка береться за основу визначення довільної узагальненої функціїяк лінійного безперервного функціоналу на просторі основних функцій D. При цьому за простір основних функцій D приймається безліч усіх фінітних (рівних нулю поза деяким інтервалом) функцій, що нескінченно диференціюються. Східність у просторі D визначається наступним чином:

Послідовність функцій з D сходиться до

1) існує відрізок, поза яким усі і звертаються до нуля;

2) у цьому відрізку послідовності функцій і її похідних поступово сходить до і.

Таким чином, d-функцію можна як узагальнену функцію. Будь-яка класична локально інтегрована функція (абсолютно інтегрована на будь-якому кінцевому відрізку) функція f(x) може також розглядатися як узагальнена функція, якщо на багатьох основних функціях D визначити лінійний безперервний функціонал

Узагальнена функція, яка визначається класичною функцією, називається регулярною узагальненою функцією. Інші узагальнені функції називаються сингулярними узагальненими функціями.

Функція - регулярна узагальнена функція,

• -Сингулярна узагальнена функція.
• 3.5 Добуток узагальнених функцій.

Нехай a(x) - нескінченно функція, що диференціюється.

Тоді добуток а(x)f(x) узагальненої функції f(x) з нескінченно диференційованою функцією a(x) визначимо наступним чином

2) ; де

Не можна визначити твір двох довільних узагальнених функцій, щоб воно мало властивість комутативності та асоціативності. Як приклад можна навести суперечливий ланцюжок рівностей

3.6 Похідна узагальненої функції

Визначимо поняття похідної d-функції. Попередньо введемо поняття похідної узагальненої функції. Визначимо, що є похідною звичайної безперервно диференційованої функції f , що розглядається як функціонал. Інтегруючи частинами та враховуючи фінітність, отримаємо

Похідної узагальненої функції f називається функціонал D, що позначається f', такий що.

Можна перевірити лінійність і безперервність нового функціоналу і, отже, похідна узагальненої функції є узагальнена функція. Відповідно до зробленого визначення, узагальнені функції мають похідні будь-яких порядків.

Покажемо, що d-функція є похідною від розривної (локально-інтегрованої) функції Хевісайду (одиничної функції)

якщо останню розглядати як узагальнену функцію (класичну функцію розриву взагалі продиференціювати не можна).

За визначенням похідної узагальненої функції

Подібно до цього прикладу при диференціюванні будь-яких розривних функцій з'являються d-складові.

Нехай, де безперервно диференційовані та існують межі

Покажемо, що

Тут - класична похідна там, де її визначено,

Стрибок функції в точці.

Ця формула буде очевидною, якщо в розривній функції f(x)

явно виділити сходинку з розривом у точці.

Враховуючи, що й той факт, що приходимо до вихідного затвердження.

Ця формула може бути доведена безпосередньо.

Скористаємося визначенням узагальненої похідної та тим фактом, що f(x) безперервна на напівінтервалах

d-функцію як узагальнену функцію також можна диференціювати, причому будь-яку кількість разів:

Щоб геометрично уявити похідну d-функції, скористаємося якимось наближеним її поданням, наприклад, при великому m. Тоді для d(x) отримуємо її у вигляді функції

Ця функція набуває екстремальних значень при,

рівні за абсолютною величиною. Ці значення пропорційні вже, а чи не m , як із поданні дельта-функции. Таким чином, похідна дельта-функції має ще більш гостру особливість, ніж сама функція, причому приймає значення обох знаків.

Лекція №17

Узагальнені функції

У різних питаннях аналізу термін «функція» доводиться розуміти з різним ступенем спільності. Іноді розглядаються безперервні функції, в інших питаннях доводиться припускати, що йдеться про функції, які диференціюються один або кілька разів, і т.д. У ряді випадків класичне поняття функції, навіть трактується в самому широкому значенні як довільне правило, що стосується кожного значення з області визначення цієї функції деяке число
, Виявляється недостатнім. Ось приклади.

Розподіл мас уздовж прямої зручно задавати густиною цього розподілу. Однак якщо на прямій існують точкові маси, то щільність такого розподілу не може бути описана звичайною функцією.

Застосовуючи апарат математичного аналізу тим чи іншим завданням, ми зіштовхуємося з нездійсненністю деяких операцій. Наприклад, функцію, яка має похідної (у деяких точках, і навіть усюди), не можна диференціювати, якщо похідну розуміти як завжди, тобто. як "звичайну" функцію. Труднощів такого типу можна уникнути, обмежуючись розглядом одних лише аналітичних функцій, що небажано.

Подібні труднощі, проте, були подолані шляхом звуження, а істотного розширення поняття функції. Основою запровадження відповідних визначень нам служить поняття сполученого простору, розглянутого вище.

Введення узагальнених функцій (або розподілів, за термінологією Л. Шварца) було викликане не прагненням до якомога більшого розширення понять аналізу, а цілком конкретними завданнями. У фізиці узагальнені функції використовувалися (на інтуїтивному рівні) доти, як було побудовано сувора математична теорія узагальнених функцій.

Перш ніж переходити до точних ухвал, викладемо основну ідею побудови. Нехай – фіксована функція на прямий, інтегрована на кожному кінцевому інтервалі, та нехай - безперервна функція, що обертається в нуль поза деяким кінцевим інтервалом (такі функції називаються фінітними). Кожною такою функцією можна за допомогою фіксованої функції зіставити число

. (1)

Фактично через фінітність
інтеграл береться за деяким кінцевим інтервалом. Інакше висловлюючись, функцію можна як функціонал (лінійний, з властивостей інтеграла) деякому просторі фінітних функцій. Проте функціоналами виду (1) не вичерпуються всі функціонали, які можна запровадити у такому просторі. Наприклад,
.

Таким чином, функції природним чином включаються в деяке ширше - сукупність всіх лінійних функціоналів на фінітних функціях.

Запас функцій можна вибирати по-різному; наприклад, можна обмежитися безперервними фінітними функціями. Однак розумно підпорядкувати допустимі функції, крім безперервності та фінітності, ще й досить жорстким умовам гладкості.

Тепер перейдемо до точних ухвал.

Простір основних функцій.Розглянемо на пряму сукупність
всіх фінітних функцій , що мають безперервні похідні всіх порядків, причому інтервал, поза яким функція дорівнює нулю, може бути різним для різних
. Сукупність всіх таких функцій утворює, очевидно, лінійний простір зі звичайними операціями складання функцій та множення їх числа. Введемо поняття збіжності у цьому лінійному просторі.

Визначення 1.Послідовність
елементів з називається схожою до функції , якщо

Лінійний простір з цією збіжністю ми називатимемо простором основних функцій,а його елементи – основними функціями.

Неважко описати топологію у якій підпорядковується збіжність, сформульована у визначенні 1. Ця топологія породжується системою околиць нуля, кожна з яких задається кінцевим набором
безперервних позитивних функцій і складається з тих функцій, які при всіх задовольняють нерівностям:

Необхідно довести, що цій топології дійсно підпорядковується описана у визначенні 1 збіжність. (Доведіть це!).

Узагальнені функції.

Визначення 2.Узагальненою функцією,заданою на прямий
, називається всякий лінійний безперервний функціонал
на просторі основних функцій. При цьому безперервність функціоналу розуміється в тому сенсі, що
якщо послідовність основних функцій сходиться при
до основної функції (у сенсі визначення 1).

Будь-яка функція, що інтегрується на будь-якому кінцевому інтервалі, породжує деяку узагальнену функцію.

. (1)

Це є лінійний безперервний функціонал на . Такі узагальнені функції ми надалі називатимемо регулярними, проте інші, тобто. не представлені у вигляді (1) – сингулярними.

Наведемо деякі приклади сингулярних узагальнених функцій.

приклад 1. « -функція», або функція Дірака:

.

Це – лінійний безперервний функціонал на , тобто. за введеною вище термінологією, узагальнена функція. Цей функціонал зазвичай записують у вигляді

, (2)

розуміючи під
«функцію», рівну нулю при всіх
і звертається в точці
в нескінченність так, що

.

Ми вже розглядали раніше функцію як функціонал на просторі всіх безперервних функцій, визначених на деякому відрізку. Але розгляд -функції як функціоналу має переваги, наприклад, дозволяє для неї ввести поняття похідної.

приклад 2."Зміщена-функція". Нехай

.

Цей функціонал природно записати за аналогією з позначенням (2) у вигляді

.

приклад 3."Похідна функції". Кожною поставимо у відповідність число
. Далі ми з'ясуємо, чому цей лінійний функціонал природно вважатиме похідною функціонала, зазначеного в прикладі 1.

приклад 4.Розглянемо функцію . Вона не інтегрована на жодному інтервалі, що містить точку . Однак для кожної інтеграл

Існує і кінцевий у сенсі головного значення. Дійсно, головне значення по Коші має вигляд:

.

Зробивши заміну змінних на
, отримаємо

де інтеграл сходиться абсолютно. Отриманий функціонал лінійний і безперервний.

Можна показати, що жодна з наведених у прикладах 1-4 узагальнених функцій не є регулярною.

Події над узагальненими функціями.Для узагальнених функцій, тобто. лінійних безперервних функціоналів на , визначено операції складання та множення на числа. У цьому регулярних узагальнених функцій, тобто. «звичайних» функцій, додавання їх як узагальнених функцій (тобто як лінійних функціоналів) збігається зі звичайною операцією додавання функцій.

Введемо у просторі узагальнених функцій операцію граничного переходу.

Визначення 3.Говоритимемо, що послідовність узагальнених функцій
сходиться до узагальненої функції, якщо для будь-кого виконано співвідношення

при .

Простір узагальнених функцій з цією збіжністю позначимо через
.

Якщо - нескінченно диференційована функція, то природно визначити твір на узагальнену функцію формулою

(

).

Всі ці операції - додавання, множення на числа і на нескінченно диференційовані функції - безперервні в топології простору, або в сенсі збіжності (у сенсі визначення 1!).

Добуток двох узагальнених функцій не вводиться.

Примітка.Приклади, що показують неможливість «природних» нелінійних операцій у просторі узагальнених функцій, побудовано .

Визначимо тепер для узагальнених функцій операцію диференціювання та розглянемо її властивості.

Нехай спочатку – функціонал на , що визначається деякою безперервно диференційованою функцією:

.

Його похідною природно назвати функціонал , що визначається формулою

.

Інтегруючи частинами і враховуючи, що кожна основна функція звертається в нуль поза деяким кінцевим інтервалом, маємо:

.

Таким чином, ми отримали вираз, в якому похідна функції не бере участі. Ці міркування нагадують визначення.

Визначення 4.Похідною узагальненої функції називається функціонал, який визначається формулою

.

Зрозуміло, що функціонал, який визначається цією формулою, лінійний і безперервний, тобто. є узагальненою функцією. Аналогічно визначаються друга, третя тощо. похідні. Позначаючи узагальнену функцію символом, ми позначатимемо її похідну символом .

Безпосередньо із визначення похідної узагальненої функції випливає справедливість таких тверджень.

Це рівнозначно тому, що будь-який ряд, що складається, складений з узагальнених функцій, можна диференціювати почленно будь-яке число разів.

Приклад 5.Якщо - регулярна (тобто. звичайна) функція, похідна якої існує і безперервна, то похідна від неї як від узагальненої функції збігається з її похідною у звичайному сенсі.

Приклад 6.Нехай – функція Хевісайду, тобто.

Ця функція визначає лінійний функціонал

.

Відповідно до визначення похідної узагальненої функції маємо:

.

Таким чином, узагальнена похідна функції Хевісайду є функція.

Приклад 7.З прикладів 5 і 6 ясно, що якщо - регулярна функція, що має в точках
стрибки
і диференційована (у звичайному сенсі) в інших точках, то похідна від неї (як від узагальненої функції) є сумою звичайної похідної (у тих точках, де вона існує) і виразу виду

.

Приклад 8.Застосувавши визначення похідної до -функції, отримаємо, що ця похідна є функціонал, що приймає на кожній функції значення .

Приклад 9.Розглянемо ряд

. (3)

Його сумою служить функція, що має період
та визначається на відрізку
формулами

Узагальнена похідна від неї дорівнює

. (4)

Це - деяка узагальнена функція (застосовуючи її до будь-якої фінітної функції, ми завжди будемо отримувати лише кінцеве число відмінних від нуля доданків). З іншого боку, диференціюючи ряд (3) почленно, ми отримуємо розбіжний ряд

.

Однак у сенсі збіжності узагальнених функцій цей ряд сходиться (до виразу (4) ).

Наведемо приклад функції з , тобто. Основні функції.

(5)

Ця функція фінітна та нескінченно диференційована.

Твердження 1.Нехай і - Дві різні безперервні (а отже і локально інтегровані) функції. Тоді існує така функція, що

.

Доведення.Покладемо
. Якщо – не тотожно дорівнює нулю, то існує таке, що
. Через безперервність знайдеться інтервал
, Що містить точку , такий, що зберігає знак на цьому інтервалі. Тоді взявши функцію (5) , маємо:

.

Таким чином, простір (тобто запасу основних функцій) достатньо для розрізнення будь-яких двох безперервних функцій.

Диференціальні рівняння у класі узагальнених функцій.Диференціальні рівняння – одне з основних галузей, де застосовується теорія узагальнених функций. Саме завдання, пов'язані з рівняннями, стимулювали розвиток цієї теорії. В основному узагальнені функції застосовуються до рівнянь у приватних похідних.

Почнемо з найпростішого рівняння

,

(де – узагальнена функція), тобто. із завдання відновлення функції за її похідною. Почнемо з нагоди, коли
.

Теорема 1.Тільки константи є рішеннями (у класі узагальнених функцій) рівняння

. (6)

Доведення.Рівняння (6) еквівалентне рівнянню

(7)

для будь-якої основної функції. Але цим функціонал вже заданий на сукупності
тих основних функцій, які можуть бути представлені як похідні з інших основних функцій. Тепер необхідно з'ясувати, якими функціонал може бути продовжений із сукупності на весь основний простір.

Легко перевірити, чи основна функція
може бути представлена ​​як похідна від деякої основної функції тоді і лише тоді, коли виконується умова

. (8)

Справді, якщо
, то

.

З іншого боку, при виконанні умови (8) ми вважаємо

.

Легко переконається, що
є основна функція, тому що вона разом з нескінченно диференційована та фінітна в силу умови (8) .

Нехай тепер – фіксована основна функція, що має властивість

.

Для будь-якої основної функції можна написати рівність

,

де очевидно задовольняє умову (8) . Звідси видно, що й задати значення шуканого функціоналу на основний функції , то його на будь-якій функції буде визначено однозначно:

,

,

тобто. узагальнена функція є постійна , що й затверджувалося. Теорему доведено.

Наслідок 1.Якщо для двох узагальнених функцій та виконано рівність
, то
.

Розглянемо тепер рівняння

де - Узагальнена функція.

Теорема 2.Рівняння (9) за будь-якого
має рішення
. Це рішення природно назвати первісної узагальненої функції або невизначеним інтегралом.

Доведення.Рівняння (9) означає, що

для будь-якої основної функції. Ця рівність визначає значення функціоналу на всіх основних функціях з , що є похідними основних функцій: існує рішення рівняння (9) . У силу теореми 1 первісна визначена з точністю до постійного доданку.

Узагальнення.Вище розглядали узагальнені функції «одного дійсного змінного», тобто. узагальнені функції на прямий. На основі тих самих ідей можна ввести узагальнені функції на обмеженій множині (на відрізку, на колі тощо), узагальнені функції кількох змінних, узагальнені функції комплексного аргументу.

Розглянемо коротко деякі з зазначених типів узагальнених функцій.

Функції кількох змінних.Розглянемо в -мірному просторі сукупність
функцій
, що мають приватні похідні всіх порядків за всіма аргументами і такими, що кожна з цих функцій дорівнює нулю поза деяким паралелепіпедом

Узагальнення моделі Хопфілда... цільової функціїв формі функціїЛяпунова. 3. Вивести енергетичну функціюмережі... 16. Асоціативна пам'ять. 17 . Програми. Даний розділ...

Узагальнені функції - математичне поняття, що узагальнює класичне поняття функції. Узагальнені функції було введено вперше наприкінці 20-х років. XX ст. П. Діраком у його дослідженнях з квантової механіки, де він систематично використовує поняття дельта-функції та її похідних. Основи математичної теорії узагальнених функцій було закладено С.Л. Соболєвим у 1936 році при вирішенні завдання Коші для гіперболічних рівнянь, а в післявоєнні роки французький математик Л. Шварц дав систематичний виклад теорії узагальнених функцій. Важливу роль у формуванні теорії узагальнених функцій відіграли роботи Ж. Адамара, у яких у зв'язку з вивченням фундаментальних рішень хвильових рівнянь розглянуті інтеграли, що сходяться, а також роботи М. Рисса.

З іншого боку, до теорії узагальнених функцій впритул підводить теорія С. Бохнера перетворень Фур'є функцій статечного зростання. Ці перетворення Фур'є є по суті узагальненими функціями і виступають у Бохнера як формальні похідні безперервних функцій. Узагальнені функції надзвичайно швидко, буквально за два-три роки, набули надзвичайно широкої популярності. Досить вказати хоча б той факт, що кількість математичних робіт, у яких зустрічається дельта-функція, зросла в багато разів.

Надалі теорію узагальнених функцій інтенсивно розвивали багато математиків, головним чином через потреби математичної фізики. Теорія узагальнених функцій має численні застосування і дедалі ширше входить у вжиток фізика, математика та інженера.

Формально узагальнені функції визначаються як лінійні безперервні функціонали над тим чи іншим лінійним простором основних функцій. Основним простором функцій є, наприклад, сукупність фінітних функцій, що нескінченно диференціюються, забезпечена належною збіжністю (або точніше топологією). При цьому звичайні локально сумовані функції ототожнюються з функціоналами (регулярними узагальненими функціями) виду:

Довільна узагальнена функція визначається як функціонал, що задається рівністю:

Отже, кожна узагальнена функція нескінченно диференційована. Рівність (2) в силу (1) є не що інше, як узагальнення формули інтегрування частинами для функцій, що диференціюються в звичайному сенсі, так що в цьому випадку обидва поняття похідної збігаються.

Східність на (лінійному) множині узагальнених функцій вводиться як слабка збіжність функціоналів. Виявляється, що операція диференціювання узагальнених функцій безперервна, а послідовність узагальнених функцій, що збігається, дозволяє почленное диференціювання нескінченне число разів.

Вводяться інші операції над узагальненими функціями, наприклад згортка, перетворення Фур'є і Лапласа. Теорія цих операцій набуває найпростішої і закінченої форми у межах поняття узагальнених функцій, що розширюють можливості класичного математичного аналізу. Тому використання узагальнені функції суттєво розширює коло завдань, що розглядаються, і призводить до значних спрощень, автоматизуючи елементарні операції.

Функція Дірака: описує щільність маси (заряду), зосередженої в точці, одиничний імпульс;

Функція Хевісайда: , при, при; похідна від цієї функції дорівнює одиничному імпульсу;

Щільність диполя моменту у точці, орієнтованого вздовж осі;

Щільність простого шару на поверхні із поверхневою щільністю;

Щільність подвійного шару на поверхні з поверхневою густиною моменту диполів, орієнтованих уздовж напрямку нормалі;

Згортка ньютонів, потенціал із щільністю, де - будь-яка узагальнена функція (наприклад, з перших п'яти пунктів);

Загальне рішення рівняння коливань струни задається формулою, де будь-які узагальнені функції.