Розв'язання рівнянь у узагальнених функціях. Узагальнена функція

Узагальнені функції були введені у зв'язку з труднощами вирішення деяких завдань математичної фізики, квантової механіки, електромагнетизму і т. д., де крім безперервних функцій, що описують безперервно розподілені величини (маса, джерела тепла, механічний імпульс та ін.), знадобилося використовувати розривні функції для зосереджених величин (точкова маса, точкове джерело тепла, зосереджений імпульс та ін.).

З розривних функцій важливу рользіграла поодинока функція θ(x), визначена таким чином (рис. 3.1):

Ця функція була введена в 1898 р. англійським інженером Хевісайдом для вирішення операційними методами деяких диференціальних рівняньтеорії електричних кіл.

Мал. 3.1. Функція Хевісайду

У 1926 р. англійський фізик Дірак ввів у квантової механікисимвол δ, названий ним дельта-функцією, яка стала першою систематично застосовуваною узагальненою функцією. З фізичної точки зору δ-функція Дірака є щільністю одиничного заряду, вміщеного на початку координат. Якщо цей заряд має величину m, його щільність

Звідси випливає, що дельта-функція δ(x) має властивості

(3.1)

Властивості цієї функції добре інтерпретуються під час розгляду фундаментального співвідношення

(3.2)

справедливої ​​для будь-якої функції f(x), безперервної при x = 0.

Зауважимо, що, строго кажучи, δ(x) не є функцією, тому що не існує функцій, що задовольняють співвідношенням (3.1 і 3.2). Але якщо інтерпретувати останнє співвідношення як функціонал, тобто. як процес надання функції f(x) значення f(0) воно стає дуже цікавим.

Запис як інтеграла використовується просто як зручна форма опису властивостей цього функціоналу (лінійність зрушення, заміна змінних тощо.).

Таким чином, функцію δ(x) можна розглядати як звичайну функцію, яка задовольняє всім формальним правиламінтегрування за умови, що всі висновки щодо цієї функції базуються на виразі (3.2), а не на якійсь із її окремих властивостей.

Дельта функцію можна розглядати як межу

одержуваний в результаті використання основного співвідношення

Наслідком цієї межі є тотожність

Справді,

Вийшов таким чином деякий формалізм у застосуванні δ-функції, за допомогою якого досить просто були досліджені деякі розривні явища. Зокрема, було помічено, що між одиничною функцією θ(x) та функцією δ(x) існує зв'язок

яка, очевидно, не має сенсу в рамках класичного аналізу, Але справедлива у сенсі теорії узагальнених функцій.

Розглянемо деякі властивості δ-функції.

Якщо f(t) немає розривів у точці t, то

Гребінчаста функція

Ряд, що складається з нескінченного числа δ-функцій, зрушених відносно один одного на рівні відстані

називається гребінчастою функцією. При a = 1 маємо:

Гребінчаста функція, як це видно із співвідношення симетрична щодо перетворення Фур'є:

.

Гребінчаста функція відіграє важливу роль в описі процесів дискретизації сигналів. Процедуру дискретизації (взяття вибірок) зручно розглядати як множення сигналу f(x) на задану періодичну послідовність тактових імпульсів, що задається функцією Ша(x).

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Узагальнена функціяабо розподіл - математичне поняття, узагальнююче класичне поняття функції . Потреба у такому узагальненні виникає у багатьох фізичних і математичних завданнях.

Поняття узагальненої функції дає можливість висловити у математично коректній формі такі ідеалізовані поняття, як щільність матеріальної точки, точкового заряду, точкового диполя , (просторову) щільність простого чи подвійного шару , інтенсивність миттєвого джерела тощо.

З іншого боку, у понятті узагальненої функції знаходить відображення той факт, що реально не можна виміряти значення фізичної величини в точці, а можна вимірювати лише її середні значення в малих околицях цієї точки. Таким чином, техніка узагальнених функцій служить зручним та адекватним апаратом для опису розподілів різних фізичних величин. Математика початку ХХ століття мала потрібних суворих формалізмів для оперування з новим класом залежностей величин, відкритих у фізиці.

Важливий внесок у формування нового математичного підходу до поняття функції фізики належить Η. Μ. Гюнтеру, який пропонував розглядати замість точкових характеристик типу щільності відповідні функції множин ще в 1916 році і намагався переосмілити на цій основі поняття рішення рівняння математичної фізики. Проте Н.М. Гюнтер не пов'язував ці ідеї з тим, що народжується функціональним аналізомі квантовою механікою. Фундаментальні ідеї, засновані на використанні просторів фінітних функцій та принципово новому понятті узагальненої похідної були сформульовані в 1935 С. Л. Соболєвим. До аналогічних ідей самостійно через десять років прийшов видатний французький математик Л. Шварц, який залучив розроблену на той час теорію локально. опуклих просторіві який побудував перетворення Фур'є узагальнених функцій. Соболєв і Шварц є творцями теорії розподілів – узагальнених функцій. Узагальнені функції емпірично використовувалися Діраком у його дослідженнях з квантової механіки.

У надалі теоріяузагальнених функцій інтенсивно розвивалася багатьма математиками та фізиками-теоретиками, головним чином у зв'язку з потребами теоретичної та математичної фізики та теорії диференціальних рівнянь.

Визначення

Формально узагальнена функція $f$визначається як лінійний безперервний функціонал $\backslash left\; (f,\; \backslash varphi\; \backslash right)$над тим чи іншим векторним просторомдосить «хороших функцій» $\backslash varphi$(так званих основних функцій): $f:\backslash varphi\backslash mapsto(f,\backslash ;\backslash varphi)$ .

Умови лінійності: $\backslash left\; (f,\; \backslash alpha\_(1)\; \backslash varphi\_(1)\; +\; \backslash alpha\_(2)\; \backslash varphi\_(2)\backslash right)\; =\; \backslash alpha\_(1)\; \backslash left\; (f,\; \backslash varphi\_(1)\; \backslash right)\; +\; \backslash \; alpha\_(2)\; \backslash left\; (f,\; \backslash varphi\_(2)\; \backslash right)$.

Умова безперервності: якщо $\backslash varphi\_(\backslash nu)\; \backslash rightarrow\; 0$, то $\backslash left\; (f,\; \backslash varphi\_(\backslash nu)\; \backslash right)\; \backslash rightarrow\; 0$.

Важливим прикладом основного простору є простір $D(\backslash R^n)$- сукупність фінітних $C^\backslash infty$-функцій на $\backslash R^n$, З природною для неї топологією: послідовність функцій з $D(\backslash R^n)$сходиться, якщо їх носії належать фіксованій кулі і в ній вони $C^\backslash infty$-Сходяться.

Справді, інакше вийшло б протиріччя:

$(x\backslash delta)\backslash rho=0\backslash cdot\backslash rho=0,$ $(x\; \backslash \; rho)\; \backslash \; delta\; =\; 1\; \backslash \; cdot\; \backslash \; delta\; =\; \backslash \; delta.$

Втім, можна визначити множення будь-яких узагальнених функцій, якщо зняти досить жорстку вимогу, щоб звуження цієї операції на безліч безперервних функцій збігалося зі звичайним твором. Зокрема, Ю. М. Широков побудував некомутативну алгебру узагальнених функцій. Нині в Західної Європиі Америці дуже популярною (див., напр., список цитованих робіт в) є теорія (одним з першоджерел якої є книга, для початкового ознайомлення з набагато частіше використовуваною на практиці т.зв. "спеціальною" алгеброю Коломбо можна переглянути параграф 8.5 з) . У межах цієї теорії узагальнені функції є класами еквівалентності деякої фактор-алгебри. Перевагою алгебри Коломбо і те, що вона як асоціативна, і коммутативна. Збільшення узагальнених функцій Коломбо збігається з звичайним множеннямпри звуженні на безліч всіх гладких (тобто нескінченно безперервно диференційованих) функцій, нестикування ж з множенням безперервних (але не гладких) функцій дозволяється за допомогою введення поняття асоціації (менш суворого, ніж поняття еквівалентності). Також множення, що розглядається, чудово узгоджується зі стандартними операціями класичного аналізу (напр., диференціюванням).

Диференціювання

Нехай $f\backslash in\; D"(\backslash R^n)$. Узагальнена (слабка) похідна узагальненої функції $\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; x\_i)$визначається рівністю

$\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; x\_i),\backslash ;\backslash varphi\backslash right)=-\backslash left(f,\backslash ;\backslash frac(\backslash partial\backslash varphi)(\backslash partial\; x\_i)\backslash right).$

Оскільки операція $\backslash varphi\backslash mapsto\backslash frac(\backslash partial\backslash varphi)(\backslash partial\; x\_i)$лінійна і безперервна з $D(\backslash R^n)$в $D(\backslash R^n)$, то функціонал, який визначається правою частиноюрівності, є узагальнена функція.

Властивості

• Простір $D"(\backslash R^n)$- повне: якщо послідовність узагальнених функцій $f\_i$з $D"(\backslash R^n)$така, що для будь-якої функції $\backslash varphi\backslash in\; D(\backslash R^n)$ числова послідовність $(f\_i,\; \backslash ;\; \backslash \; Varphi)$сходиться, то функціонал

• Будь-яка $f$з $D"(\backslash R^n)$є слабка межа функцій з $D(\backslash R^n)$. Ця властивість іноді береться як вихідний для визначення узагальненої функції, з повноти простору узагальнених функцій це призводить до еквівалентного визначення.
• Будь-яка узагальнена функція з $D"(\backslash R^n)$нескінченно диференційована (в узагальненому значенні).
• Диференціювання не збільшує носія узагальненої функції.
• Для узагальнених функцій справедлива формула Лейбниця для диференціювання твору $af$, де $a\backslash in\; C^\backslash infty(\backslash R^n)$.
• Будь-яка узагальнена функція $f$з $S"(\backslash R^n)$або $E"(\backslash R^n)$є деяка приватна похідна від безперервної функціїв $\backslash R^n$.
• Для будь-якої узагальненої функції $f$порядку $N$з носієм у точці 0 існує єдина вистава $(f,\; \backslash ;\; \backslash \; Varphi)$у вигляді лінійної комбінації приватних похідних $\backslash varphi$на нулі, з порядком меншим чи рівним $N$.

Приклади

Дельта-функція виходить при обчисленні інтеграла Фур'є від константи:

$\backslash int\backslash limits\_(-\backslash infty)^(\backslash infty)e^(ipx)\backslash ,dp=2\backslash pi\backslash delta(x).$

Напишіть відгук про статтю "Узагальнена функція"

Примітки

Див. також

Уривок, що характеризує Узагальнена функція

На другий день побачення Бориса з Ростовим був огляд австрійських і російських військ, як свіжих, що з Росії, і тих, які повернулися з походу з Кутузовим. Обидва імператори, російська з спадкоємцем цесаревичем і австрійська з ерцгерцогом, робили цей огляд союзної 80-тисячної армії.
З раннього ранкупочали рухатися чепурно очищені і прибрані війська, вишиковуючись на полі перед фортецею. То рухалися тисячі ніг і багнетів з прапорами, що розвівалися, і по команді офіцерів зупинялися, загорталися і будувалися в інтервалах, обминаючи інші такі ж маси піхоти в інших мундирах; то мірним тупотом і брязкотінням звучала ошатна кавалерія в синіх, червоних, зелених шитих мундирах з розшитими музикантами попереду, на вороних, рудих, сірих конях; то, розтягуючись зі своїм мідним звуком тремтячих на лафетах, очищених, блискучих гармат і зі своїм запахом пальників, повзла між піхотою та кавалерією артилерія і розставлялася на призначених місцях. Не тільки генерали в повній парадній формі, з перетягнутими товстими і тонкими таліями і червонілими, підпертими комірами, шиями, в шарфах і всіх орденах; не тільки припомажені, розфранчені офіцери, але кожен солдат, - зі свіжим, вимитим і поголеним обличчям і досі останньої можливостіблиску вичищеною амуніцією, кожен кінь, випещений так, що, як атлас, світилася на ньому шерсть і волосок до волоска лежала примочена гривка, - всі відчували, що відбувається щось неабияке, значне і урочисте. Кожен генерал і солдат відчували свою нікчемність, усвідомлюючи себе піщинкою в цьому морі людей, і разом відчували свою могутність, усвідомлюючи себе частиною цього величезного цілого.
З раннього ранку почався напружений клопіт і зусилля, і о 10 годині все прийшло в необхідний порядок. На величезному полі стали лави. Армія вся була витягнута у три лінії. Попереду кавалерія, позаду артилерія, ще позаду піхота.
Між кожним рядом військ була ніби вулиця. Різко відокремлювалися одна від іншої три частини цієї армії: бойова Кутузовська (у якій на правому фланзі в передній лінії стояли павлоградці), що прийшли з Росії армійські та гвардійські полки та австрійське військо. Але всі стояли під одну лінію, під одним начальством і однаково.
Як вітер по листі промайнув схвильований шепіт: «їдуть! їдуть!» Почулися злякані голоси, і по всіх військах пробігла хвиля суєти останніх приготувань.

Лекція 5

Узагальнені функції

Вступ

Узагальнені функції вперше в науку були запроваджені Діраком у його квантово-механічних дослідженнях, у яких систематично використовувалася так звана, d - функція.

Узагальнена функція є узагальненням класичного поняттяфункції.

Постановка крайових завдань характеризується тим, що їхні рішення передбачаються досить гладкими та задовольняютьрівняння у кожній точці всередині області завдання цього рівняння. Такі рішення називаються класичними, а постановка крайових завдань – класичною постановкою. Тобто така постановка передбачає, наприклад, безперервність правої частини рівняння всередині області завдання. Однак, у найбільш цікавих завданнях, ці праві частини, що характеризують інтенсивність зовнішніх впливів, мають досить сильні особливості. Тому для таких завдань класичної постановкивже виявляється недостатньо. Щоб поставити такі завдання, доводиться відмовлятися(частково чи повністю) від вимоги гладкостірішення всередині областіі вводити, так звані, узагальнені рішення . Але тоді постає питання, які функції можна назвати рішеннями рівнянь? Щоб це зробити, потрібно значно узагальнити поняття похідної і, взагалі, поняття функції, тобто. ввести так звані узагальнені функції.

Поняття узагальнених функцій**

Давно у фізиці використовуються сингулярніфункції, які не можуть бути коректно визначені в рамках класичної теоріїфункцій. Найпростішою сингулярною функцією є дельта-функція d (x – x 0) , вона за визначенням фізиків дорівнює нулю всюди, крім однієї точки x 0 , у цій точці дорівнює ¥ і має інтеграл рівний 1 .

Ці умови не сумісні з погляду класичного визначенняфункції та інтеграла.

У конкретних завданняхтакі функції потрібні тільки на проміжному етапі, в остаточній відповіді вони або відсутні, або фігурують у творі з якоюсь досить гарною функцією. Тому немає потреби відповідати на запитання – що таке сингулярна функція? - сама по собі. Нам достатньо відповісти на запитання, що означає інтеграл від твору сингулярної функції і гарної функції. Наприклад, на запитання, що таке d - функція, достатньо вказати, що для будь-якої досить гарною функцієюj (x) має рівність

Іншими словами, ми пов'язуємо з кожною сингулярною функцією функціонал, який ставить у відповідність цій сингулярній і кожній, досить хорошій функцій, деяке цілком певне число. Наприклад, для d - функції d (x-x 0) , числом, яке ставиться у відповідність кожної досить хорошої функції j(x), є значення j(x 0).

Таким чином, ми ототожнюємо сингулярну функцію з тим функціоналом , Про який саме йдеться і не замислюватися про визначення сингулярної функції. При цьому повинен бути точно вказаний той клас досить хороших функцій, на якому заданий цей функціонал.

У цю схему також укладаються і прості інтегровані функції: кожної функції f (x)ми можемо відповісти на запитання: чому дорівнює інтегралвід твору f (x)на відмінну функцію. Таким чином, уявлення про узагальнених функціях, Як про функціонали, охоплює як сингулярні, так і прості функції.

Визначимо поняття функції, які ми назвали "досить хорошими".

Аналіз узагальнених функцій

Вступ

Існує багато фізичні моделіякі в термінах звичайних функцій не можуть бути описані. Наприклад, розподіл зарядів уздовж прямої зручно задати щільністю цього розподілу. Однак, якщо на прямій існують точки, що несуть заряди, то густина такого розподілу не може бути описана "звичайною" функцією. Інший приклад пов'язаний з визначенням похідної у точках розриву функції, коли ця операція носить у викладках проміжний характер.

Визначення. Основний простір K m складається з дійсних функцій j(t), званими основними функціями, що мають безперервні похідні до порядку mвключно, рівними нулюразом з усіма похідними поза кінцевим інтервалом. Простір K m є лінійним.

приклад. Розглянемо функцію

графік якої наведено нижче

Ця функція належить основному простору K o , тому що не існують похідні в точках t = a і t = b. Функція (графік дивись нижче)

належить простору K m.

Якщо покласти m= для основного простору K m , то отриманий основний простір позначається К. Нехай

тоді, як легко перевірити, j(t) ÎK.

1.Узагальнені функції

Визначення. Узагальненою функцією f(t) (заданою на прямій (-¥< t<¥)) называется всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Он может быть представлен в виде скалярного произведения

(f(t), j(t)), j(t) ÎK(K m).

Будь-яка інтегрована функція f(t) породжує узагальнену функцію, оскільки скалярний твір

є безперервний лінійний функціонал на K. Такі узагальнені функції називаються регулярними, інші (які не допускають такого уявлення) сингулярними. Наведемо приклад сингулярної узагальненої функції. З цією метою розглянемо послідовність функцій

Оскільки інтеграл Пуассона

При n®¥функція d n (t) витягується до нескінченної висоти в точці t= 0, а поза нею стає рівною нулю, зберігаючи властивість (1). У звичайному розумінні, межа d n (t) при n®¥не існує. Межа

limd n(t) = d(t)

можна розглядати як узагальнену функцію, тобто функцію, що породжується скалярним твором

де j(t) - основна функція. Скалярний твір (2.) є безперервний лінійний функціонал на просторі основних функцій (jÎK). Функція d(t) називається дельта – функцією (узагальнена функція Дірака).

Визначимо добуток узагальненої функції fна число lспіввідношенням

(lf, j) = l (f, j) (jK).

Сума двох узагальнених функцій f 1 f 2 визначимо наступним чином

(f 1 + f 2, j) = (f 1, j) + (f 2, j) (jK).

Після цього безліч узагальнених функцій K стає лінійним простором.

Визначення. Дві узагальнені функції f(t), g(t) ÎK" рівні: f(t) = g(t), якщо для будь-якої основної функції j(t)

(f, j) = (g, j) або (f-g, j) = 0.

Узагальнена функція f(t) дорівнює нулю: f=0, якщо для будь-якої основної функції j(t)

Приклади узагальнених функцій.

1. Нехай jÎK. Визначимо узагальнену функцію f за допомогою функціоналу

Наведена сума кінцева, оскільки основна функція j(t) дорівнює нулю поза деяким кінцевим інтервалом.

2. Введену раніше дельта-функцію d(t) визначимо наступним чином

(d(t), j(t)) = j(0).

Виходячи з інтегрального уявлення (2), маємо

Якщо а(t) – безперервна функція, то

(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) (jÎK o).

Зазначимо, що функціонал f, визначений на співвідношенні

не є узагальненою функцією, оскільки, будучи безперервним функціоналом, він не лінійний.

3. Узагальнена функція Хевісайду

для якої можна записати

є регулярною узагальненою функцією.

2.Дії над узагальненими функціями

Введемо у просторі узагальнених функцій K" операцію граничного переходу. Послідовність

(f n , j) ® (f, j)

Визначимо тепер для узагальнених функцій операцію диференціювання та розглянемо її властивості. Похідна f"(t) регулярної узагальненої функції f(t) дорівнює

оскільки основна функція перетворюється на нуль поза деяким кінцевим інтервалом. Похідна n-го порядку тоді визначатиметься рівністю

(f (n) (t), j (t) = (-1) n (f (t), j (n) (t)) ("nN, jK").

Це співвідношення визначає похідну n-го порядку узагальнених функцій, включаючи сингулярні функції.

1. Похідна функції Хевісайду дорівнює

2. Оскільки

З визначення дельта – функції випливає

d(t) + td"(t) = 0,

2d"(t) + t d""(t) = 0,

---------------------

nd (n-1) (t) + t d (n) (t) = 0.

Звідси послідовним винятком отримуємо

t n d (n) (t) = (-1) n! d(t) nÎN.

Методом математичної індукції можна показати, що

Легко також показати, що якщо a(t) ÎC m , то

a (t) d (m) (t - t o) = C m a (t o) d (m) (t - t o) - C 1 m a" (t o) d (m-1) (t - t o) -

- . . . - (-1) C m a (m) (t o) d (t - t o) .

Введемо узагальнені функції t + та t - :

Можна обчислити похідні

(t +)" = q(t), (t -)" = -q(-t),

2.1 Згортка узагальнених функцій

Нехай f(t) і g(t) - інтегровані на будь-якому кінцевому інтервалі функції. Згортка функцій f(t) та g(t) визначається співвідношенням

якщо тільки інтеграл існує та інтегруємо за будь-яким кінцевим інтервалом змінної х. Рівність двох інтегралів легко перевірити, зробивши заміну z = x-t.

Узагальнена функціяабо розподіл- математичне поняття, що узагальнює класичне поняття функції. Потреба у такому узагальненні виникає у багатьох фізичних і математичних завданнях.

Поняття узагальненої функції дає можливість висловити в математично коректній формі такі ідеалізовані поняття, як щільність матеріальної точки, точкового заряду, точкового диполя (просторову) щільність простого або подвійного шару, інтенсивність миттєвого джерела і т.д.

З іншого боку, у понятті узагальненої функції знаходить відображення той факт, що реально не можна виміряти значення фізичної величини в точці, а можна вимірювати лише її середні значення в малих околицях цієї точки. Таким чином, техніка узагальнених функцій служить зручним та адекватним апаратом для опису розподілів різних фізичних величин. Математика початку ХХ століття мала потрібних суворих формалізмів для оперування з новим класом залежностей величин, відкритих у фізиці.

Важливий внесок у формування нового математичного підходу до поняття функції фізики належить Η. Μ. Гюнтер, який пропонував розглядати замість точкових характеристик типу щільності відповідні функції множин ще в 1916 році і намагався переосмілити на цій основі поняття рішення рівняння математичної фізики. Проте Н.М. Гюнтер не пов'язував ці ідеї з функціональним аналізом, що народжується, і квантовою механікою. Фундаментальні ідеї, засновані на використанні просторів фінітних функцій та принципово новому понятті узагальненої похідної були сформульовані у 1935 році С. Л. Соболєвим. До аналогічних ідей самостійно через десять років прийшов видатний французький математик Л. Шварц, який залучив розроблену на той час теорію локально опуклих просторів і побудував перетворення Фур'є узагальнених функцій. Соболєв і Шварц є творцями теорії розподілів – узагальнених функцій. Узагальнені функції емпірично використовувалися Діраком у його дослідженнях з квантової механіки.

Надалі теорія узагальнених функцій інтенсивно розвивалася багатьма математиками та фізиками-теоретиками, головним чином у зв'язку з потребами теоретичної та математичної фізики та теорії диференціальних рівнянь.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Формально узагальнена функція f (\displaystyle f)визначається як лінійний безперервний функціонал (f , φ) (\displaystyle \left(f,\varphi \right))над тим чи іншим векторним простором достатньо «хороших функцій» (так званих основних функцій): f: φ ↦ (f , φ) (\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi)) .

  Умови лінійності: (f , α 1 φ 1 + α 2 φ 2) = α 1 (f , φ 1) + α 2 (f , φ 2) (\displaystyle \left(f,\alpha _(1)\varphi _(1) )+\alpha _(2)\varphi _(2)\right)=\alpha _(1)\left(f,\varphi _(1)\right)+\alpha _(2)\left(f, \varphi _(2)\right)).

  Умова безперервності: якщо φ ν → 0 (\displaystyle \varphi _(\nu )\rightarrow 0), то (f , φ ν) → 0 (\displaystyle \left(f,\varphi _(\nu )\right)\rightarrow 0).

  Важливим прикладом основного простору є простір - сукупність фінітних -функцій на , забезпечена природною для неї топологією: послідовність функцій D (R n) (\displaystyle D(\mathbb(R) ^(n)))сходиться, якщо їх носії належать фіксованій кулі і в ній вони C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))-Сходяться.

  Справді, інакше вийшло б протиріччя:

  (x δ) ρ = 0 ⋅ ρ = 0 , (\displaystyle (x\delta)\rho =0\cdot \rho =0,) (x ρ) δ = 1 ⋅ δ = δ . (\displaystyle (x\rho)\delta = 1 \ cdot \ delta = \ delta .)

  Втім, можна визначити множення будь-яких узагальнених функцій, якщо зняти досить жорстку вимогу, щоб звуження цієї операції на безліч безперервних функцій збігалося зі звичайним твором. Зокрема, Ю. М. Широков побудував некомутативну алгебру узагальнених функцій. Нині в Західній Європі та Америці дуже популярною (див., напр., список цитованих робіт в ) є теорія узагальнених функцій Коломбо (одним з першоджерел якої є книга, для первісного ознайомлення з набагато частіше використовуваної на практиці так званої "спеціальної" алгеброю Коломбо можна переглянути в параграфі 8.5 з ). У межах цієї теорії узагальнені функції є класами еквівалентності деякої фактор-алгебри. Перевагою алгебри Коломбо і те, що вона як асоціативна, і коммутативна. Примноження узагальнених функцій Коломбо збігається зі звичайним множенням при звуженні на безліч всіх гладких (тобто, нескінченно безперервно диференційованих) функцій, нестикування ж з множенням безперервних (але не гладких) функцій дозволяється за допомогою введення поняття асоціації (менш суворого, ніж поняття ек ). Також множення, що розглядається, чудово узгоджується зі стандартними операціями класичного аналізу (напр., диференціюванням).

  Диференціювання

  Нехай f ∈ D ′ (R n) (\displaystyle f\in D"(\mathbb (R) ^(n))). Узагальнена (слабка) похідна узагальненої функції ∂ f ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f)(\partial x_(i)))))визначається рівністю

  (∂ f ∂ x i , φ) = − (f , ∂ φ ∂ x i) . (\displaystyle \left((\frac (\partial f)(\partial x_(i))),\;\varphi \right)=-\left(f,\;(\frac (\partial \varphi )( \partial x_(i)))\right).)

  Оскільки операція φ ↦ ∂ φ ∂ x i (\displaystyle \varphi \mapsto (\frac (\partial \varphi )(\partial x_(i))))лінійна і безперервна з D (R n) (\displaystyle D(\mathbb(R) ^(n)))в D (R n) (\displaystyle D(\mathbb(R) ^(n))), то функціонал, який визначається правою частиною рівності, є узагальнена функція.

  є слабка межа функцій з D (R n) (\displaystyle D(\mathbb(R) ^(n))). Ця властивість іноді береться як вихідний для визначення узагальненої функції, з повноти простору узагальнених функцій це призводить до еквівалентного визначення.
• Будь-яка узагальнена функція з D ′ (R n) (\displaystyle D"(\mathbb (R) ^(n)))нескінченно диференційована (в узагальненому значенні).
• Диференціювання не збільшує носія узагальненої функції.
• Для узагальнених функцій справедлива формула  Лейбниця для диференціювання твору a f (\displaystyle af), де a ∈ C ∞ (R n) (\displaystyle a\in C^(\infty )(\mathbb (R) ^(n))).
• Будь-яка узагальнена функція f (\displaystyle f)з S ′ (R n) (\displaystyle S"(\mathbb (R) ^(n)))або E ′ (R n) (\displaystyle E"(\mathbb (R) ^(n)))є деяка приватна похідна від безперервної функції R n (\displaystyle \mathbb(R) ^(n)).
• Для будь-якої узагальненої функції f (\displaystyle f)порядку N (\displaystyle N)з носієм у точці 0 існує єдина вистава (f, φ) (\displaystyle (f,\;\varphi))у вигляді лінійної комбінації приватних похідних φ (\displaystyle \varphi)на нулі, з порядком меншим чи рівним N (\displaystyle N).