Математичні засади квантової фізики. Квантова механіка

Квантова механіка

Що таке квантова механіка?

Квантова механіка (КМ (QM); також відома як квантова фізика або квантова теорія), включаючи квантову теорію поля, є областю фізики, яка вивчає закони природи, що проявляються на малих відстанях та при малих енергіях атомів та субатомних частинок. Класична фізика - фізика, що існувала до квантової механіки, випливає із квантової механіки як її граничний перехід, справедливий лише за великих (макроскопічних) масштабах. Квантова механіка відрізняється від класичної фізики тим, що енергія, імпульс та інші величини часто обмежуються дискретними значеннями (квантування), об'єкти мають характеристики і частинок, і хвиль (корпускулярно-хвильовий дуалізм), і існують обмеження на точність, з якої величини можуть бути визначено (принцип невизначеності).

Квантова механіка послідовно випливає з рішення Максом Планком в 1900 завдання випромінювання чорного тіла (опубліковано в 1859) і роботи Альберта Ейнштейна 1905, в якій була запропонована квантова теорія для пояснення фотоелектричного ефекту(Опублікована у 1887 році). Рання квантова теорія була глибоко переосмислена в середині 1920-х років.

Переосмислена теорія формулюється мовою спеціально розроблених математичних формалізмів. В одному з них, математична функція (хвильова функція) надає інформацію про амплітуд ймовірності положення, імпульсу та інших фізичних характеристик частки.

Важливими областями застосування квантової теорії є: квантова хімія, надпровідні магніти, світловипромінюючі діоди, а також лазер, транзистор і напівпровідникові пристрої, такі як мікропроцесор, медичні та дослідницькі зображення, такі як магнітно-резонансна томографія та електронна мікроскопія, та пояснення багатьох біологічних та фізично явищ.

Історія квантової механіки

Наукове дослідження хвильової природи світла почалося у XVII та XVIII століттях, коли вчені РобертХук, Крістіан Гюйгенс і Леонард Ейлер запропонували хвильову теорію світла, що базується на експериментальних спостереженнях. В 1803 Томас Янг, англійський вчений широкого профілю, провів знаменитий експериментз подвійною щілиною, яку він пізніше описав у роботі, під назвою "Природа світла і квітів". Цей експеримент зіграв важливу рольу загальному визнанні хвильової теоріїсвітла.

У 1838 році Майкл Фарадей відкрив катодні промені. За цими дослідженнями пішло формулювання Густавом Кірхгофом проблеми випромінювання абсолютно чорного тіла в 1859 році, припущення Людвіга Больцмана в 1877 році того, що енергетичні стани фізичної системиможуть бути дискретними, і квантова гіпотеза Макса Планка у 1900 році. Гіпотеза Планка про те, що енергія випромінюється і поглинається дискретним "квантом" (або енергетичними пакетами), точно відповідає моделям випромінювання абсолютно чорного тіла, що спостерігаються.

В 1896 Вільгельм Він емпірично визначив закон розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла, названий на його честь, законом Вина. Людвіг Больцман самостійно дійшов цього результату, аналізуючи рівняння Максвелла. Проте закон діяв лише з високих частотах і занижував випромінювання на низьких частотах. Пізніше Планк виправив цю модель за допомогою статистичної інтерпретації термодинаміки Больцмана і запропонував те, що зараз називається законом Планка, що призвело до розвитку квантової механіки.

Після вирішення Максом Планком у 1900 році проблеми випромінювання чорного тіла (опубліковано 1859 р.), Альберт Ейнштейн запропонував квантову теорію, щоб пояснити фотоелектричний ефект (1905, опубліковано 1887 р.). У 1900-1910 роки атомна теорія і корпускулярна теорія світла вперше стали широко визнавати як науковий факт. Відповідно, ці останні теоріїможна розглядати як квантові теорії матерії та електромагнітного випромінювання.

Серед перших, хто вивчав квантові явища в природі, були Артур Комптон, Ч. В. Раман і Пітер Зеєман, на честь кожного з яких названі деякі квантові ефекти. Роберт Ендрюс Міллікен досліджував фотоефект експериментально, а Альберт Ейнштейн розробив теорію для нього. У той же час, Ернест Резерфорд експериментально виявив ядерну модельатома, за якою Нільс Бор розробив свою теорію будови атома, яка згодом була підтверджена дослідами Генрі Мозлі. В 1913 Петер Дебай розширив теорію Нільса Бора про будову атома, ввівши еліптичні орбіти, цю ж концепцію також запропонував і Арнольд Зоммерфельд. Цей етап розвитку фізики відомий під назвою «стара квантова теорія».

Згідно Планку, енергія (Е) кванта випромінювання пропорційна частоті випромінювання (v):

де h – постійна Планка.

Планк обережно наполягав на тому, що це просто математичне вираження процесів поглинання та випромінювання випромінювання і не має нічого спільного з фізичною реальністюсамого випромінювання. Фактично він вважав свою квантову гіпотезу математичним трюком, досконалим для того, щоб отримати правильну відповідь, а не великим фундаментальним відкриттям. Однак у 1905 Альберт Ейнштейн дав квантовій гіпотезі Планка фізичну інтерпретацію і використовував її для пояснення фотоелектричного ефекту, при якому освітлення світлом певних речовин може викликати випускання електронів з речовини. За цю роботу Ейнштейн отримав Нобелівську премію з фізики 1921 року.

Ейнштейн потім допрацював цю ідею, щоб показати, що електромагнітна хвиля, якою і є світло, також може бути описана як частка (пізніше названа фотоном), з дискретною квантовою енергієющо залежить від частоти хвилі.

Протягом першої половини 20-го століття Максом Планком, Нільсом Бором, Вернером Гейзенбергом, Луї де Бройлем, Артуром Комптоном, Альбертом Ейнштейном, Ервіном Шредінгером, Максом Борном, Джоном фон Нейманом, Полем Діраком, Енріко Фермі, Вольфгангом Фріменом Дайсоном, Давидом Гільбертом, Вільгельмом Вином, Шатьендранатом Бозе, Арнольдом Зоммерфельдом та іншими закладалися основи квантової механіки. Копенгагенська інтерпретація Нільса Бора здобула загальне визнання.

У середині 1920-х років розвиток квантової механіки призвело до того, що вона стала стандартним формулюванням атомної фізики. Влітку 1925 Бор і Гейзенберг опублікували результати, які закрили стару квантову теорію. З поваги до їх частоподібної поведінки у певних процесах та вимірах, кванти світла стали називати фотонами (1926). З простого постулату Ейнштейна зародився шквал обговорень, теоретичних побудов та експериментів. Таким чином, з'явилися цілі області квантової фізики, що призвело до її широкого визнання на п'ятому конгресі Сольвії в 1927 році.

Було встановлено, що субатомні частки та електромагнітні хвиліне є просто частинками, ні хвилями, а мають певні властивості кожної їх. Так виникло поняття корпускулярно-хвильового дуалізму.

До 1930 квантова механіка була додатково уніфікована і сформульована в роботах Девіда Гільберта, Поля Дірака і Джона фон Неймана, в яких приділялася велика увага виміру, статистичного характеру наших знань про реальність і філософських роздумів про "спостерігача". Згодом вона проникла до багатьох дисциплін, включаючи квантову хімію, квантову електроніку, квантову оптику та квантову інформаційну науку. Її теоретичні сучасні розробки включають теорію струн та теорії квантової гравітації. Вона також надає відповідне пояснення багатьох особливостей сучасної періодичної таблиці елементів і описує поведінку атомів при хімічних реакціях і рух електронів у комп'ютерних напівпровідниках, і тому грає вирішальну роль у багатьох сучасних технологіях.

Хоча квантова механіка була побудована для опису мікросвіту, вона також необхідна для пояснення деяких макроскопічних явищ, таких як надпровідність та надплинність.

Що означає слово квант?

Слово квант походить від латинського "quantum", що означає "наскільки багато" або "скільки". У квантовій механіці квант означає дискретну одиницю, закріплену за певними фізичними величинами, такими як енергія атома може спокою. Відкриття того, що частинки є дискретними пакетами енергії з хвилеподібними властивостями, призвело до створення розділу фізики, що займається атомними та субатомними системами, який сьогодні називають квантовою механікою. Вона закладає фундамент математичної основи для багатьох галузей фізики та хімії, в тому числі конденсованих фізики, фізики твердого тіла, атомної фізики, молекулярної фізики, обчислювальної фізики, обчислювальної хімії, квантової хімії, фізики елементарних частинок, ядерної хіміїі ядерної фізики. Деякі фундаментальні аспекти теорії досі активно вивчаються.

Значення квантової механіки

Квантова механіка має важливе значеннядля розуміння поведінки систем в атомних та менших масштабах відстаней. Якби фізична природа атома описувалася виключно класичною механікою, то електрони не повинні були обертатися навколо ядра, так як орбітальні електрони повинні випромінювати випромінювання (внаслідок кругового руху) і зрештою стикатися з ядром через втрату енергії на випромінювання. Така система не могла пояснити стійкість атомів. Натомість електрони знаходяться в невизначених, недетерміністичних, розмазаних, імовірнісних корпускулярно-хвильових орбіталях біля ядра, всупереч традиційним уявленням класичної механіки та електромагнетизму.

Спочатку квантова механіка була розроблена для кращого пояснення та опису атома, особливо відмінностей у спектрах світла, випромінюваних різними ізотопами одного і того ж хімічного елемента, а також опис субатомних частинок. Коротше кажучи, квантово-механічна модель атома виявилася напрочуд успішною в тій галузі, де класична механіка та електромагнетизм виявилися безпорадними.

Квантова механіка включає чотири класу явищ, які класична фізика не може пояснити:

• квантування окремих фізичних властивостей
• квантова заплутаність
• принцип невизначеності
• корпускулярно-хвильовий дуалізм

Математичні основи квантової механіки

У математично суворому формулюванні квантової механіки, розробленої Полем Діраком, Давидом Гільбертом, Джоном фон Нейманом і Германом Вейлем, можливі стани квантово-механічної системи символізуються одиничними векторами (звані вектори стану). Формально вони належать комплексному сепарабельному гільбертовому простору - інакше, простору станів або пов'язаному з ним гільбертовому простору системи, та визначені з точністю до твору на комплексне число з одиничним модулем (фазовий множник). Іншими словами, можливі стани є точками в проектному просторі гільбертового простору, як правило, званому комплексним проективним простором. Точний характер цього гільбертового простору залежить від системи - наприклад, простір станів положення та імпульсу є простором квадратно-інтегрованих функцій, у той час як простір станів для спина одного протона є лише прямим твором двох комплексних площин. Кожна фізична величина представлена ​​гіпермаксимально ермітовим (точніше: самосполученим) лінійним оператором, що діє на просторі станів. Кожен власний стан фізичної величини відповідає власному векторуоператора і пов'язане з ним власне значення відповідає значенню фізичної величини в цьому власному стані. Якщо спектр оператора є дискретним, фізична величина може набувати лише дискретних власних значень.

У формалізмі квантової механіки стан системи в Наразіописується складною хвильовою функцією, також званою вектором стану в комплексному векторному просторі. Цей абстрактний математичний об'єкт дозволяє розрахувати ймовірність результатів конкретних експериментів. Наприклад, дозволяє обчислити ймовірність знаходження електрона в певній області навколо ядра в певний час. На відміну від класичної механіки, тут ніколи не можна зробити одночасного передбачення з довільною точністю для сполучених змінних, таких як положення та імпульс. Наприклад, можна вважати, що електрони (з деякою ймовірністю) знаходяться десь у межах заданої області простору, але їхнє точне місцезнаходження невідоме. Можна намалювати навколо ядра атома області постійної ймовірності, які часто називають «хмарами», щоб уявляти, де електрон може перебувати з найбільшою ймовірністю. Принцип невизначеності Гейзенберга кількісно оцінює нездатність точної локалізації частинки із заданим імпульсом, що є пов'язаною до положення величиною.

Відповідно до однієї з інтерпретацій, в результаті вимірювання хвильова функція, що містить інформацію про ймовірність стану системи, розпадається із заданого початкового стану до певного стану. Можливими результатами виміру є власні значення оператора, що представляє фізичну величину - що пояснює вибір ермітового оператора, у якого всі власні значення є дійсними числами. Розподіл ймовірностей фізичної величини в даному стані можна знайти шляхом обчислення спектрального розкладання відповідного оператора. Принцип невизначеності Гейзенберга є формулою, у якій оператори, відповідні певним величинам не комутують.

Вимірювання в квантовій механіці

Імовірнісний характер квантової механіки, в такий спосіб, випливає з акта виміру. Це один із найскладніших для розуміння аспектів квантових систем, і він був центральною темою у знаменитих дебатах Бора з Ейнштейном, у ході яких обидва вчені спробували прояснити ці фундаментальні принципи за допомогою уявних експериментів. Протягом десятиліть після формулювання квантової механіки широко вивчалося питання, що є " вимір " . Нові інтерпретації квантової механіки були сформульовані, щоб покінчити з поняттям "колапс хвильової функції". Основна ідея полягає в тому, що коли квантова система взаємодіє з вимірювальним апаратом, їх відповідні хвильові функціїстають заплутаними, тож вихідна квантова система перестає існувати як самостійна сутність.

Імовірнісний характер передбачень квантової механіки

Як правило, квантова механіка не ставить у відповідність певні значення. Натомість вона робить пророцтво, використовуючи розподіл ймовірностей; тобто вона описує ймовірність отримання можливих результатіввід виміру фізичної величини. Часто ці результати деформовані, як хмари густини ймовірності, багатьма процесами. Хмари щільності ймовірності є наближенням (але кращим, ніж модель Бора), в якому розташування електрона задається функцією ймовірності хвильовими функціями, що відповідають власним значенням, таким чином, що ймовірність є квадратом модуля комплексної амплітуди або квантового стану ядерного тяжіння. Природно, що ці ймовірності будуть залежати від квантового стану в момент виміру. Отже, невизначеність вноситься у виміряне значення. Є, однак, деякі стани, які пов'язані з певними значеннямиконкретної фізичної величини. Вони називаються власними станами (eigenstates) фізичної величини ("eigen" можна перекласти з німецької як "властивий" або "властивий").

Природно та інтуїтивно зрозуміло, що всі у повсякденному житті (всі фізичні величини) мають власні значення. Здається, що все має певне становище, певний момент, певну енергію та певний час події. Однак квантова механіка не вказує точних значень положення та імпульсу частинки (оскільки це сполучені пари) або її енергії та часу (оскільки вони теж сполучені пари); точніше, вона надає лише діапазон ймовірностей, з якими ця частка може мати заданий імпульс та ймовірність імпульсу. Тому доцільно розрізняти стани, що мають невизначені значення, та стани, що мають певні значення (власні стани). Як правило, ми не цікавимося системою, в якій частка не має значення фізичної величини. Однак, при вимірі фізичної величини, хвильова функція миттєво набуває власного значення (або "узагальнене" власне значення) цієї величини. Цей процес називають колапсом хвильової функції, спірний і обговорюваний процес, в якому відбувається розширення досліджуваної системи додаванням в неї вимірювального пристрою. Якщо знати відповідну хвильову функцію безпосередньо перед виміром, можна обчислити ймовірність того, що хвильова функція перейде у кожен із можливих власних станів. Наприклад, вільна частка в попередньому прикладі, як правило, мають хвильову функцію, яка є хвильовий пакет, зосереджений навколо деякого середнього положення x0 (що не має власних станів положення та імпульсу). Коли відбувається вимір становища частинки, неможливо з упевненістю передбачити результат. Цілком можливо, але не точно, що воно буде поблизу х0, де амплітуда хвильової функції велика. Після виконання вимірювання, отримавши якийсь результат х, хвильова функція колапсує у власну функцію оператора положення з центром х.

Рівняння Шредінгера у квантовій механіці

Тимчасова еволюція квантового стану описується рівнянням Шредінгера, у якому гамільтоніан (оператор, який відповідає повній енергії системи) породжує тимчасову еволюцію. Тимчасова еволюція хвильових функцій є детермінованою тому, що - з урахуванням того, який хвильова функція була у початковий час - можна зробити чітке передбачення того, якою буде хвильова функція у час надалі.

З іншого боку, під час вимірювання, зміна вихідної хвильової функції в іншу, пізнішу хвильову функцію не буде детермінованою, а буде непередбачуваною (тобто випадковою). Емуляцію тимчасової еволюції можна побачити тут.

Хвильові функції змінюються з часом. Рівняння Шредінгера визначає зміну хвильових функцій у часі, і відіграє роль, аналогічну ролі другого закону Ньютона у класичній механіці. Рівняння Шредінгера, що застосовується до вищезгаданого прикладу вільної частки, передбачає, що центр хвильового пакета буде переміщатися по простору з постійною швидкістю (як класична частка без сил, що діють на нього). Тим не менш, хвильовий пакет також розпливатиметься з часом, що означає, що позиція стає більш невизначеною з часом. Це також має ефект перетворення власної функції положення (яку можна розглядати як нескінченно гострий пік хвильового пакета) розширений хвильовий пакет, який більше не представляє (певного) власного значення положення.

Деякі хвильові функції породжують розподіл ймовірностей, які є постійними або незалежними від часу - наприклад, коли в стаціонарному стані з постійною енергією час зникає з квадратного модуля хвильової функції. Багато систем, які розглядаються як динамічні в класичній механіці, описуються в квантовій механіці такими "статичними" функціями хвиль. Наприклад, один електрон у незбудженому атомі представляється класично як частинка, що рухається круговою траєкторією навколо атомного ядра, в той час як у квантовій механіці він описується статичною, сферично-симетричною хвильовою функцією, що оточує ядро ​​(рис. 1) (зазначимо, однак, що тільки найнижчі стани орбітального моменту імпульсу, позначені як s, є сферично-симетричними).

Рівняння Шредінгера діє всю амплітуду ймовірності, а чи не лише її абсолютне значення. У той час як в абсолютне значення амплітуди ймовірності закладено інформацію про ймовірності, її фазу закладено інформацію про взаємовплив між квантовими станами. Це породжує хвилеподібну поведінку квантових станів. Як з'ясовується, аналітичні рішеннярівняння Шредінгера можливі лише для дуже невеликої кількості гамільтоніанів щодо простих моделей, таких як квантовий гармонійний осцилятор, частка в ящику, іон молекули водню та атом водню – це найважливіші представники таких моделей. Навіть атом гелію, що містить всього на один електрон більше, ніж в атом водень, не піддався жодній спробі суто аналітичного рішення.

Проте є кілька методів отримання наближених рішень. У важливому методі, відомому як теорія збурень, використовується аналітичний результат, отриманий для простої квантово-механічної моделі, і на його основі генерується результат для складнішої моделі, яка відрізняється від більш простої моделі (наприклад) додаванням енергії слабкого потенційного поля. Іншим підходом є метод "квазікласичного наближення", який застосовується до систем, для яких квантова механіка застосовується лише до слабких (малих) відхилень від класичної поведінки. Потім ці відхилення можна визначити на основі класичного руху. Цей підхід особливо важливий щодо квантового хаосу.

Математично еквівалентні формулювання квантової механіки

Існують численні математично еквівалентні формулювання квантової механіки. Однією з найстаріших і найчастіше використовуваних формулювань є " теорія перетворень " , запропонована Полем Діраком, яка об'єднує і узагальнює два ранні формулювання квантової механіки - матричну механіку (створену Вернером Гейзенбергом) і хвильову механіку (створену Ервіном Шредінгером).

З урахуванням того, що Вернер Гейзенберг був удостоєний Нобелівської премії з фізики в 1932 році за створення квантової механіки, роль Макса Борна в розвитку КМ була втрачена з уваги до вручення йому Нобелівської премії в 1954 році. Ця роль згадується в біографії Борна 2005 року, в якій розповідається про його роль матричного формулювання квантової механіки, а також використання амплітуд ймовірності. 1940 року сам Гейзенберг визнає в ювілейній збірці на честь Макса Планка, що дізнався про матриці від Борна. У матричному формулюванні миттєвий стан квантової системи визначає ймовірності її вимірних властивостей або фізичних величин. Приклади величин включають енергію, положення, імпульс і орбітальний момент. Фізичні величини можуть бути безперервними (наприклад, положення частинки) або дискретними (наприклад, енергія електрона, пов'язаного з атомом водню). Фейнманівські інтеграли по траєкторіях - альтернативне формулювання квантової механіки, в якій квантовомеханічна амплітуда розглядається як сума за всіма можливими класичними та некласичними траєкторіями між початковим і кінцевим станами. Це квантово-механічний аналог принципу найменшої діїу класичній механіці.

Закони квантової механіки

Закони квантової механіки мають основне значення. Стверджується, що простір станів системи є гільбертовим, і фізичні величини цієї системи є ермітовими операторами, що діють у цьому просторі, хоча не говориться, які саме ці простори гільберта або які саме ці оператори. Вони можуть бути вибрані відповідним чином, щоб отримати кількісну характеристикуквантової системи. Важливим орієнтиром прийняття цих рішень є принцип відповідності, який свідчить, що передбачення квантової механіки зводяться до класичної механіки, коли система перетворюється на область високих енергійабо, що те саме, в область великих квантових чисел, тобто в той час як окрема частка має певний ступінь випадковості, в системах, що містять мільйони частинок, переважають усереднені значення і, при прагненні до високоенергетичної межі, статистична ймовірністьвипадкової поведінки прагне нуля. Іншими словами, класична механіка є просто квантовою механікою. великих систем. Ця "високоенергетична" межа відома як класична або межа відповідності. Таким чином, рішення можна навіть почати з усталеної класичної моделі тієї чи іншої системи, і потім спробувати вгадати базову квантову модель, яка б породила таку класичну модель при переході до межі відповідності.

Коли квантова механіка була сформульована, вона застосовувалася до моделей, межею відповідності яких була нерелятивістська класична механіка. Наприклад, відома модель квантового гармонійного осциляторавикористовує явно нерелятивістський вираз для кінетичної енергіїосцилятора і таким чином є квантовою версією класичного гармонійного осцилятора.

Взаємодія з іншими науковими теоріями

Ранні спроби поєднати квантову механіку зі спеціальною теорією відносності передбачали заміну рівняння Шредінгера підступними рівняннями, такими як рівняння Клейна-Гордона або рівняння Дірака. Хоча ці теорії були успішними у поясненні багатьох експериментальних результатів, вони мали певні незадовільні якості, що випливають з того, що в них не враховувалося релятивістське народження та знищення частинок. Повністю релятивістська квантова теорія вимагала розвитку квантової теорії поля, у якій застосовується квантування поля (а чи не фіксованого набору частинок). Перша повноцінна квантова теорія поля - квантова електродинаміка, що забезпечує повний квантовий опис електромагнітної взаємодії. Повний апарат квантової теорії поля часто не потрібний для опису електродинамічних систем. Простіший підхід, що застосовується з моменту створення квантової механіки, полягає в тому, щоб розглядати заряджені частинки як квантово-механічні об'єкти, на які діє класичне електромагнітне поле. Наприклад, елементарна квантова модель атома водню описує електричне поле атома водню, використовуючи класичний вираз для кулонівського потенціалу:

E2/(4πε0r)

Такий "квазікласичний" підхід не працює, якщо квантові флуктуації електромагнітного полявідіграють важливу роль, наприклад, при випромінюванні фотонів зарядженими частинками.

Також були розроблені квантові теорії поля для сильних та слабких ядерних сил. Квантова теорія поля для сильних ядерних взаємодій називається квантовою хромодинамікою та описує взаємодію суб'ядерних частинок, таких як кварки та глюони. Слабкі ядерні та електромагнітні силибули об'єднані в їх квантованих формах у єдину квантову теорію поля (відома як теорія електрослабкої взаємодії), фізиками Абдусом Саламом, Шелдоном Глешоу та Стівеном Вайнбергом. За цю роботу усі троє отримали Нобелівську премію з фізики у 1979 році.

Важко виявилося побудувати квантові моделі для четвертої фундаментальної сили, що залишилася - гравітації. Виконані напівкласичні наближення, що призвели до пророкувань, таких як випромінювання Хокінга. Тим не менш, формулювання повної теорії квантової гравітації заважають очевидні несумісності між загальною теорією відносності (яка є найбільш точною теорією гравітації, відомою в даний час) та деякими з основних положень квантової теорії. Дозвіл цих несумісностей є напрямом активних досліджень та теорій, таких як теорія струн – одна з можливих кандидатур на майбутню теорію квантової гравітації.

Класична механіка була також розширена в комплексну область, при цьому комплексна класична механіка стала проявляти себе подібно до квантової механіки.

Зв'язок квантової механіки з класичною механікою

Пророцтва квантової механіки були підтверджені експериментально з дуже високим ступенем точності. Відповідно до принципу відповідності між класичною та квантовою механіками, всі об'єкти підпорядковуються законам квантової механіки, а класична механіка є лише наближенням для великих систем об'єктів (або статистичною квантовою механікою для великого набору частинок). Таким чином, закони класичної механіки випливають із законів квантової механіки як статистичне середнє при прагненні до дуже великого значення числа елементів системи або значень квантових чисел. Однак у хаотичних системах відсутні хороші квантові числа, і квантовий хаос вивчає зв'язок між класичним та квантовим описами цих систем.

Квантова когерентність є істотною відмінністю між класичною і квантовою теоріями, що ілюструється парадоксом Ейнштейна-Подільського-Розена (EPR), вона стала випадом проти відомої філософської інтерпретації квантової механіки за допомогою звернення до локальному реалізму. Квантова інтерференціяпередбачає складання амплітуд ймовірності, тоді як класичні "хвилі" мають на увазі складання інтенсивностей. Для мікроскопічних тіл протяжність системи значно менша, ніж довжина когерентності, що призводить до заплутаності на далеких відстанях та інших нелокальних явищ, характерних для квантових систем. Квантова когерентність зазвичай не проявляється в макроскопічних масштабах, хоча виняток із цього правила може виникати при вкрай низьких температурах(тобто при наближенні до абсолютного нуля), за яких квантова поведінка може виявлятися в макроскопічному масштабі. Це знаходиться відповідно до таких спостережень:

Багато макроскопічні характеристики класичної системи є прямим наслідком квантового поведінки його елементів. Наприклад, стійкість основної частини матерії (що складається з атомів і молекул, які під дією одних лише електричних сил швидко б руйнувалися), жорсткість твердих тіл, а також механічні, термічні, хімічні, оптичні та магнітні властивостіматерії є результатом взаємодії електричних зарядіввідповідно до правил квантової механіки.

У той час як поведінка матерії, що здається "екзотичною", постулювана квантовою механікою і теорією відносності, стає більш очевидною при роботі з частинками дуже малого розміру або при переміщенні зі швидкостями, що наближаються до швидкості світла, закони класичної, часто званої "ньютонівської", фізики залишаються точними при прогнозуванні поведінки переважної кількості " великих " об'єктів ( порядку розміру великих молекул чи ще більших ) і за швидкостях набагато менших , ніж швидкість світла .

У чому полягає відмінність квантової механіки від класичної?

Класична та квантова механіка сильно відрізняються тим, що вони використовують дуже різні кінематичні описи.

На думку Нільса Бора, для вивчення квантово-механічних явищ потрібні експерименти, з повним описомвсіх пристроїв системи, підготовчого, проміжного та кінцевого вимірів. Описи подаються в макроскопічних термінах, виражених звичайною мовою, доповнених поняттями класичної механіки. Початкові умови та кінцевий стан системи відповідно описується положенням у конфігураційному просторі, наприклад, у просторі кординат, або деякому еквівалентному просторі, такому як імпульсний простір. Квантова механіка не допускає повністю точного опису як з точки зору положення, так і імпульсу, точного детермінованого і причинно-наслідкового передбачення кінцевого стану виходячи з початкових умов або "стану" (у класичному сенсіцього слова). У цьому сенсі, що пропагується Бором у його зрілих працях, квантове явище - це процес переходу від початкового до кінцевого стану, а не миттєве "стан" у класичному значенні цього слова. Таким чином, існують два види процесів у квантовій механіці: стаціонарні та перехідні. Для стаціонарних процесів початкове і кінцеве положення однакові. Для перехідних – вони різні. Очевидно за визначенням, що, якщо задано лише початкову умову, процес не визначено. Враховуючи початкові умови, передбачення кінцевого стану можливе, але тільки на імовірнісному рівні, оскільки рівняння Шредінгера детерміновано для еволюції хвильової функції, а хвильова функція визначає систему тільки в імовірнісному сенсі.

У багатьох експериментах можна приймати початковий та кінцевий стан системи за частку. У деяких випадках виявляється, що існує потенційно кілька просторово помітних шляхів або траєкторій, якими частка може переходити від початкового до кінцевого стану. Важливою особливістю квантового кінематичного опису і те, що він дозволяє однозначно визначити, яким із цих шляхів виробляється перехід між станами. Визначено лише початкові та кінцеві умови, і, як зазначено в попередньому абзаці, вони визначені лише з такою точністю, наскільки це дозволяє опис просторової конфігурації або її еквівалента. У кожному випадку, для якого необхідний квантовий кінематичний опис, завжди є вагома причина такого обмеження кінематичної точності. Причина полягає в тому, що для експериментального знаходження частки у певному положенні вона має бути нерухомою; для експериментального знаходження частки з певним імпульсом вона має перебувати у вільному русі; ці дві вимоги логічно несумісні.

Спочатку класична кінематика не вимагають експериментального описуїї явищ. Це дозволяє повністю точно описати миттєвий стан системи положенням (точкою) у фазовому просторі – декартовому творі конфігураційного та імпульсного просторів. Цей опис просто передбачає, або уявляє собі стан як фізичну сутність, не турбуючись про її експериментальну вимірність. Такий опис початкового стану разом із законами руху Ньютона дозволяє точно зробити детерміноване та причинно-наслідкове передбачення кінцевого стану разом із певною траєкторією еволюції системи. Для цього може бути використана динаміка гамільтонів. Класична кінематика також дозволяє описати процес, аналогічно опису початкового та кінцевого стану, що використовується квантовою механікою. Лагранжева механіка дозволяє це зробити. Для процесів, у яких необхідно враховувати величину дії порядку кількох планківських констант, класична кінематика годиться; тут потрібно використовувати квантову механіку.

Загальна теорія відносності

Навіть при тому, що визначальні постулати теорії загальної відносностіі квантової теорії Ейнштейна беззастережно підкріплюються суворими і емпіричними доказами, що повторюються, і хоча вони не суперечать один одному теоретично (принаймні, щодо своїх первинних тверджень), їх виявилося вкрай важко інтегрувати в одну послідовну, єдину модель.

Гравітацію можна знехтувати у багатьох галузях фізики елементарних частинок, отже об'єднання між загальної теорією відносності і квантової механікою перестав бути насущним у цих приватних додатках. Однак, відсутність правильної теорії квантової гравітації є важливим питанняму фізичній космології та пошуку фізиками елегантної "Теорії всього" (TВ). Отже, вирішення всіх невідповідностей між обома теоріями є однією з основних цілей для фізики 20 та 21 століття. Багато відомих фізиків, у тому числі Стівен Хокінг, працював протягом багатьох років у спробі відкрити теорію, що лежить в основі всього. Ця ТБ буде об'єднувати не тільки різні моделі субатомної фізики, але й виводити чотири фундаментальні сили природи – сильну взаємодію, електромагнетизм, слабку взаємодію та гравітацію – з однієї сили чи явища. У той час як Стівен Хокінг спочатку вірив у ТБ, але після розгляду теорема Геделя про неповноту, він дійшов висновку, що створення такої теорії неможливе, і заявив про це публічно у своїй лекції "Гедель і кінець фізики" (2002).

Основні теорії квантової механіки

Прагнення об'єднати фундаментальні сили за допомогою квантової механіки все ще продовжується. Квантова електродинаміка (або "квантовий електромагнетизм"), яка в даний час (принаймні в пертурбативному режимі) є найбільш точною перевіреною фізичною теорією в суперництві із загальною теорією відносності, успішно поєднує слабкі ядерні взаємодії в електрослабку взаємодію і в даний час ведеться робота по об'єднанню електрослабкої та сильної взаємодії в електросильну взаємодію. Поточні прогнози стверджують, що в районі 1014 ГеВ три вищезгадані сили зливаються в єдине уніфіковане поле. Крім цієї "грандіозної уніфікації", передбачається, що гравітацію можна поєднати з іншими трьома калібрувальними симетріями, що, як очікується, відбудеться на рівні приблизно 1019 ГеВ. Однак - і в той час як спеціальна теоріявідносності дбайливо включена в квантову електродинаміку- Розширена загальна теорія відносності, в даний час найкраща теорія, Яка описує сили гравітації, не повною мірою включена в квантову теорію Один з тих, хто розробляє узгоджену теорію всього, - Едвард Віттен, - фізик-теоретик, сформулював М-теорію, яка є спробою викласти суперсиметрію на основі теорії суперструн. М-теорія передбачає, що наш видимий 4-мірний простір - це насправді 11 - мірний просторово-часовий континуум, що містить десять просторових вимірів і один тимчасовий вимір, хоча 7 просторових вимірів при низьких енергіях повністю "ущільнені" (або нескінченно вигнуті) і не легко піддаються виміру чи дослідженню.

Інша популярна теорія петльової квантової гравітації (Loop quantum gravity (LQG)) – теорія, вперше запропонована Карло Ровеллі, яка описує квантові властивості гравітації. Вона також є теорією квантового простору та квантового часу, оскільки у загальній теорії відносності геометричні властивостіпростору-часу є проявом гравітації. LQG - це спроба об'єднати та адаптувати стандартну квантову механіку та стандартну загальну теоріювідносності. Основним результатом теорії є фізична картина, у якій простір є зернистим. Зернистість є прямим наслідком квантування. Вона має той же характер зернистості фотонів у квантовій теорії електромагнетизму чи дискретних рівнів енергії атомів. Але тут сам простір є дискретним. Точніше, простір можна розглядати як надзвичайно тонку тканину або мережу, "зіткану" з кінцевих петель. Ці петлеві сітки називаються спінові мережі. Еволюція спінової мережі у часі називається спіновою піною. Прогнозований розмір цієї структури є довжиною Планка, що становить приблизно 1,616 × 10-35 м. Згідно з теорією, немає жодного сенсу в більш короткій довжині, ніж ця. Отже, LQG передбачає, що як матерія, а й саме простір, має атомарну структуру.

Філософські аспекти квантової механіки

З моменту свого створення багато парадоксальних аспектів і результатів квантової механіки викликали бурхливі філософські диспути і безліч інтерпретацій. Навіть фундаментальним питанням, таким як основні правила Макса Борна щодо амплітуди ймовірності та розподілу ймовірності, знадобилися десятиліття, щоб вони могли бути оцінені суспільством та багатьма провідними вченими. Річард Фейнман одного разу сказав: "Думаю, я можу сміливо стверджувати, що ніхто не розуміє квантову механіку. За словами Стівена Вайнберга, "зараз, на мій погляд, не існує абсолютно задовільної інтерпретації квантової механіки.

Копенгагенська інтерпретація – багато в чому завдяки Нільсу Бору та Вернеру Гейзенбергу – протягом 75 років після її проголошення залишається найбільш прийнятною серед фізиків. Відповідно до цієї інтерпретації імовірнісний характер квантової механіки не є тимчасовою особливістю, яка зрештою буде замінена детермінованою теорією, а має розглядатися як остаточна відмова від класичної ідеї "причинно-наслідкового зв'язку". Крім того, вважається, що в ній будь-які чітко визначені застосування квантово-механічного формалізму завжди повинні робити посилання на схему експерименту через пов'язаний характер доказів, отриманих у різних експериментальних ситуаціях.

Альберт Ейнштейн, будучи одним із засновників квантової теорії, сам не прийняв деякі з більш філософських чи метафізичних інтерпретацій квантової механіки, таких як відмова від детермінізму та причинно-наслідкового зв'язку. Його найцитованіша знаменита відповідь на такий підхід звучить так: "Бог не грає в кістки". Він відкинув концепцію у тому, що стан фізичної системи залежить від експериментальної вимірювальної установки. Він вважав, що явища природи відбуваються за своїми законами, незалежно від того, чи відбувається за ними спостереження і яким чином. У цьому його підтримує прийняте нині визначення квантового стану, що залишається інваріантним при довільному виборі конфігураційного простору щодо його уявлення, тобто способу спостереження. Він також вважав, що в основі квантової механіки повинна лежати теорія, яка ретельно та безпосередньо виражає правило, що відкидає принцип далекодії; інакше кажучи, він наполягав на принципі локальності. Він розглядав, але теоретично обґрунтовано відхилив приватне уявлення про приховані змінні, щоб уникнути невизначеності чи відсутності причинно-наслідкових зв'язків у квантово-механічних вимірах. Він вважав, що квантова механіка була тоді діючою, але з остаточної і непорушною теорією квантових явищ. Він вважав, що її майбутня заміна вимагатиме глибоких концептуальних досягнень, і що це станеться не так швидко і легко. Дискусії Бора-Ейнштейна дають яскраву критику копенгагенської інтерпретаціїз гносеологічного погляду.

Джон Белл показав, що цей парадокс "EPR" приводив до експериментально розглянутих відмінностей між квантовою механікою і теоріями, які спираються на додавання прихованих змінних. Проведено експерименти, що підтверджують точність квантової механіки, тим самим демонструючи, що квантова механіка не може бути покращена шляхом додавання прихованих змінних. Початкові експерименти Олена Аспекта в 1982 році і багато подальших експериментів з того часу остаточно підтвердили квантову заплутаність.

Заплутаність, як показали белловские експерименти, не порушує причинно-наслідкових зв'язків, оскільки жодної передачі не відбувається. Квантова заплутаністьформує основу квантової криптографії, що пропонується для використання у високобезпечних комерційних додатках у банківській та державній сферах.

Багатосвітова інтерпретація Еверетта, сформульована в 1956 році, вважає, що всі можливості, що описуються квантовою теорією, одночасно виникають у мультиверсі, що складається, головним чином, із незалежних паралельних всесвітів. Це досягається введенням деякої " нової аксіоми " в квантову механіку, а навпаки, досягається видаленням аксіоми розпаду хвильового пакета. Всі можливі послідовні стани вимірюваної системи та вимірювального пристрою (включаючи спостерігача) присутні у реальній фізичній – а не лише у формальній математичній, як в інших інтерпретаціях – квантовій суперпозиції. Така суперпозиція послідовних комбінацій станів різних систем називається заплутаним станом. У той час як мультиверс є детермінованим, ми сприймаємо недетерміновану поведінку, випадкового характеру, оскільки можемо спостерігати тільки той всесвіт (тобто внесок сумісного стану у вищезгадану суперпозицію), в якому ми, як спостерігачі, живемо. Інтерпретація Еверетта ідеально узгоджується з експериментами Джона Белла та робить їх інтуїтивно зрозумілими. Однак, згідно з теорією квантової декогеренції, ці "паралельні всесвіти" ніколи не будуть доступні нам. Недоступність можна розуміти так: як тільки вимір буде зроблено, система, що вимірюється, заплутується як з фізиком, що вимірював її, так і з величезною кількістюінших частинок, деякі з яких є фотонами, що відлітають зі швидкістю світла до іншого кінця всесвіту. Щоб довести, що функція хвиль не розпалася, необхідно повернути всі ці частинки назад і виміряти їх знову разом з системою, яка спочатку була виміряна. Це не тільки зовсім непрактично, але навіть якщо теоретично можна було це зробити, то довелося б знищити будь-які докази того, що початковий вимір мало місце (у тому числі і пам'ять фізика). У світлі цих белловских експериментів Крамер 1986 року сформулював свою транзакційну інтерпретацію. Наприкінці 1990-х з'явилася реляційна квантова механіка як сучасна похідна копенгагенської інтерпретації.

Квантова механіка мала величезний успіх у поясненні багатьох особливостей нашого Всесвіту. Квантова механіка часто є єдиним доступним інструментом, здатним виявити індивідуальну поведінку субатомних частинок, що становлять усі форми матерії (електрони, протони, нейтрони, фотони та ін.). Квантова механіка сильно вплинула теорію струн - претендента на теорію всього (а Theory of Everything).

Квантова механіка також є критично важливою для розуміння того, як індивідуальні атоми створюють ковалентні зв'язкина формування молекул. Застосування квантової механіки в хімії називається квантовою хімією. Релятивістська квантова механіка може, в принципі, математично описати більшу частину хімії. Квантова механіка також може дати кількісне уявлення про процеси іонного та ковалентного зв'язування, явно показуючи, які молекули до інших молекул енергетично підходять і при яких величинах енергії. Крім того, більшість розрахунків у сучасній обчислювальній хімії спираються на квантову механіку.

Багато галузях сучасні технології працюють у масштабах, де квантові ефекти значно проявляються.

Квантова фізика в електроніці

Багато сучасних електронні пристроїрозроблено з використанням квантової механіки. Наприклад, лазер, транзистор (і таким чином мікрочіп), електронний мікроскоп та магнітно-резонансна томографія (МРТ). Вивчення напівпровідників призвело до винаходу діода та транзистора, які є незамінними компонентами сучасних електронних систем, комп'ютерних та телекомунікаційних пристроїв. Ще одна програма - це світловипромінюючий діод, який є високоефективним джерелом світла.

Багато електронних пристроїв працюють під дією квантового тунелювання. Воно навіть є у простому вимикачі. Перемикач не спрацював би, якби електрони не могли квантово тунелювати через шар оксиду на металевих поверхнях контактних. Чіпи флеш-пам'яті, основної деталі USB-накопичувачів, використовують квантове тунелювання, щоб прати інформацію у своїх осередках. Деякі пристрої з негативним диференціальним опором, такі як резонансний тунельний діод також використовують квантовий тунельний ефект. На відміну від класичних діодів, струм у ньому протікає під дією резонансного тунелювання через два потенційні бар'єри. Його режим роботи з негативним опором можна пояснити лише квантової механікою: при наближенні енергії стану пов'язаних носіїв до рівня Фермі, тунельний струм зростає. При віддаленні рівня Фермі, струм зменшується. Квантова механіка має життєво важливе значення для розуміння та розробки таких типів електронних пристроїв.

Квантова криптографія

Дослідники нині шукають надійні методи безпосереднього маніпулювання квантовими станами. Робляться зусилля щодо повноцінного розвитку квантової криптографії, яка теоретично дозволить гарантувати безпечну передачу інформації.

Квантові обчислення

Більш віддаленою метою є розробка квантових комп'ютерів, які, як очікується, виконуватимуть певні обчислювальні завдання експоненційно швидше за класичні комп'ютери. Замість класичних бітів, квантові комп'ютеривикористовують кубити, які можуть бути в суперпозиції станів. Інший активною темоюдослідження є квантова телепортація, яка має справу з методами передачі квантової інформаціїна довільні відстані.

Квантові ефекти

У той час як квантова механіка в першу чергу застосовується до атомних систем з меншою кількістю речовини та енергії, деякі системи демонструють квантово-механічні ефекти великих масштабах. Надплинність - здатність руху потоку рідини без тертя при температурі поблизу абсолютного нуляє одним відомим прикладом таких ефектів. Тісно пов'язане з цим явищем і явище надпровідності - потік електронного газу ( електричний струм), що рухається без опору у провідному матеріалі при досить низьких температурах. Дробний квантовий ефект Холла є топологічним упорядкованим станом, який відповідає моделям квантового заплутування, що діє на великі відстані. Стани з різним топологічним порядком (або різною конфігурацією дальнодіапазонного заплутування) не можуть вносити зміни до стану один одного без фазових перетворень.

Квантова теорія

Квантова теорія також містить точні описибагатьох раніше незрозумілих явищ, таких як випромінювання абсолютно чорного тіла та стабільність орбітальних електронів в атомах. Вона також дала уявлення про роботу багатьох різних біологічних систем, у тому числі нюхових рецепторів та білкових структур. Недавнє дослідження фотосинтезу показало, що квантові кореляції відіграють важливу роль у цьому фундаментальному процесі, що протікає в рослинах та багатьох інших організмах. Тим не менш, класична фізика часто може забезпечити хороші наближення до результатів, отриманих квантовою фізикою, як правило, в умовах великої кількостічастинок чи великих квантових чисел. Оскільки класичні формули набагато простіше і легше обчислювати, ніж квантові формули, використання класичних апроксимацій краще, коли система досить велика, щоб зробити ефекти квантової механіки незначними.

Рух вільної частки

Наприклад, розглянемо вільну частку. У квантовій механіці спостерігається корпускулярно-хвильовий дуалізм, тому властивості частки можуть бути описані як властивості хвилі. Таким чином, квантовий стан може бути представлений у вигляді хвилі довільної форми і що простягається в просторі у вигляді хвильової функції. Положення та імпульс частинки є фізичними величинами. Принцип невизначеності стверджує, що положення та імпульс не можуть одночасно бути точно виміряні. Тим не менш, можна виміряти положення (без вимірювання імпульсу) вільної частинки, що рухається, створивши власний стан положення з хвильовою функцією (дельта-функція Дірака), яка має дуже велике значення в певному положенні х, і нуль в інших положеннях. Якщо виконати вимір положення за такої хвильової функції, то в результаті х буде отримано з ймовірністю 100% (тобто, з повною впевненістю, або з повною точністю). Це називається власне значення (стан) положення або зазначеного в математичних термінів, власне значення узагальненої координати (eigendistribution). Якщо частка перебуває у стані становища, її імпульс абсолютно не визначаємо. З іншого боку, якщо частка перебуває у стані імпульсу, її становище зовсім невідомо. У власному стані імпульсу, власна функція якого має форму плоскої хвилі, можна показати, що довжина хвилі дорівнює h/p де h - постійна Планка, а р - імпульс власного стану.

Прямокутний потенційний бар'єр

Це модель квантового тунельного ефекту, що відіграє важливу роль у виробництві сучасних технологічних пристроїв, таких як флеш-пам'ять та скануючий тунельний мікроскоп. Квантове тунелювання є центральним фізичним процесом, що протікає у надгратках.

Частка в одновимірній потенційній скриньці

Частка в одновимірній потенційній скриньці є найпростішим математичним прикладом, В якому просторові обмеження призводять до квантування рівнів енергії. Скринька визначається як наявність нульової потенційної енергії скрізь усередині певної області та нескінченної потенційної енергії всюди за межами цієї області.

Кінцева потенційна яма

Кінцева потенційна яма є узагальненням завдання нескінченної потенційної ями, що має кінцеву глибину.

Завдання кінцевої потенційної ями є математично складнішою, ніж завдання частки в нескінченному потенційному ящику, оскільки хвильова функція не звертається в нуль на стінках ями. Натомість, хвильова функція повинна задовольняти більш складним математичним граничним умовам, оскільки вона відмінна від нуля в області за межами потенційної ями.

З погляду автора програми головною математичною основою квантової механіки є спектральна теорема. На превеликий жаль, ця теорема, як правило, не входить до курсу лекцій, що читаються для студентів-фізиків. З іншого боку, студентам-математикам не пояснюється її сенс із погляду квантової механіки. Пропонований курс призначений насамперед для заповнення цієї пробілу. Наприкінці курсу передбачається торкнутися теорії некомутативних операторних графів та розповісти про їхній зв'язок із квантовими кодами, що виправляють помилки.

1. Борелівські заходи $mu на справжній прямій. Розкладання $\mu$ у суму безперервної, точкової та сингуларної складової. Регулярні заходи $mu $. Простір безперервних функцій з компактним носієм $C(X)$ на локально компактному просторі Хаусдорфа $X$. Теорема Рісса-Маркова-Какутані.
2. Оператори Гільберта-Шмідта та ядерні оператори у гільбертовому просторі. Спектральне розкладання. Теорема Лідського.
3. Заходи на ґратах ортогональних проекторів. Теорема Глізону.
4. Проекторозначні заходи. Позитивні операторнозначні заходи. Теорема Наймарка про дилатацію.
5. Аксіоматика Маккі квантової механіки. Квантові стани та вимірювання.
6. Проектори, як квантові події. Квантові стани, асоційовані із заходами на проекторах.
7. Вимірювання, асоційоване з спостережуваними (самоспряженими операторами) через спектральну теорему.
8. Простір хвильових функцій $L^2(\mu)$, асоційованих з квантовою спостережуваною. Формула Борна. Випадок квантових спостережуваних, що є лінійними комбінаціями операторів координати та імпульсу.
9. Квантові випадкові величини. Рандомізація. Теорема Холево про загальному виглядівимірювання.
10. Співвідношення невизначеностей Шредінгера-Робертсона для вимірювань із кінцевими іншими моментами.
11. Тензорні твори гільбертових просторів. Складові квантові системи. Зчеплені та сепарабельні стани.
12. Класичні та квантові кореляції. Нерівність Белла-Клаузера-Хорна-Шимоні. Кордон Цирельсона.
13. Квантові канали передачі. Розпад Крауса. Кодування та декодування класичної та квантової інформації
14. Лінійні простори, що складаються з обмежених операторів у просторі гільберта. Теорема про загальний вид некомутативного операторного графа, асоційованого з квантовим каналом.
15. Квантові коди, що виправляють помилки. Квантові антикліки.

Квантова механіка мікрочастинки, не обмежена напівкласичним наближенням, будується на математичній основі, що використовує гільбертого простір функцій тобто безліч функцій, для яких визначено скалярне твір в інтегральній формі.

Основні положення

Стан частки описується хвильовою функцією. Безліч можливих станів утворює гільбертий простір.

Хвильова функція виходить у результаті вирішення рівняння Шредінгера.

Фізична величина описується оператором, що діє в просторі гільберта.

Якщо стан частки є власною функцією оператора, тобто функція відновлюється при дії оператора, результатом вимірювання величини є власне значення оператора. Розкладання хвильової функції за ортонормованим базисом власних функцій оператора дає ймовірність можливих результатів вимірювання фізичної величини.

Квантова механіка в загальному випадку не дає однозначних результатів для поведінки та характеристик частки, але лише ймовірності цих результатів.

Хвильова функція

Стан частки описує комплексна хвильова функція  (псі), що є амплітудою ймовірності виявлення частки:

Детектор частинок реєструє
. Фізичний зміст мають:

– ймовірність виявлення частки у момент tв обсязі
біля крапки ;

– щільність імовірності - ймовірність виявлення частки в момент tв одиничному обсязі близько точки r.

Виконується нормування ймовірності

.

Хвильова функція:

1) Визначено з точністю до постійного фазового множника. Стану
і
, де
, фізично не помітні, оскільки
;

2) Квадратично інтегрована, існує
;

3) Задовольняє принципом суперпозиції . Якщо можливі стани
і
, то можливий стан

,

де
- Комплексні числа, що визначають ймовірність виявлення станів 1 і 2.

Оператори

Фізична величина A(координата, імпульс, енергія та інші) описується лінійним оператором . Винятком є ​​час, який вважається параметром. Мається на увазі, що правіше оператора знаходиться функція, на яку він діє.

Розглянемо явний вид операторів координати та імпульсу в координатному поданні. Обґрунтування виду буде дано далі.

Оператор координати

,
. (2.1)

Дія оператора координати зводиться до множення функції координату.

Оператор проекції імпульсу

,
. (2.2)

Дія оператора імпульсу зводиться до диференціювання функції за координатою та множенням на
.

Властивості лінійних операторів:

Множення на число з

Число можна винести з під знака дії оператора.

Лінійність

де і - Числа. Дія оператора на суму функцій дорівнює сумі дій оператора на кожну функцію.

Додавання (віднімання) операторів

. (2.5)

Дія суми операторів на функцію дорівнює сумі дій кожного оператора на функцію.

Розмноження оператора на оператор

Спочатку діє найближчий до функції оператор, потім на отриману функцію діє оператор, що знаходиться ліворуч. Оператори, що перемножуються, у загальному випадку не перестановочні, наприклад:

,

.

Перестановне співвідношення, або комутатор операторів

.

Оператори і комутують, якщо
.

,
,

. (2.7)

(У цьому розділі містяться відомості з математики, необхідні під час читання інших розділів книги. Однак у цих розділах є ціла низка розділів, які можна читати без детального знання таких відомостей, отже не слід зневірятися, якщо вони видадуться важкими.)

У першому розділі рівняння Шредінгера для атомної частки було отримано з класичного рівняння, що відповідає гармонійній стоячій хвилі, та співвідношення де Бройля. Для систем, що містять багато частинок, а також за наявності зовнішнього електричного та магнітного полів, необхідно більше загальний підхіддо рівнянь квантової механіки

Основи квантової механіки найкраще розглядати як сукупності постулатів, у тому числі можна вивести рівняння руху. Тоді самі постулати знаходять підтвердження у згоді рішень отриманих рівнянь із експериментом. Розглянемо систему з n частинок, яка класично описується завданням у момент часу значень 3n узагальнених координат (q) і 3n узагальнених імпульсів (р). Щоб описувати таку систему в квантовій механіці, вводять такі постулати:

Постулат 1. Систему частинок можна характеризувати функцією Ψ(q 1 ... q 3n , t), яка називається хвильовою функцією, через яку визначаються всі вимірювані величини для системи. Фізичний зміст має величина Ψ * Ψdq 1 ... dq 3n, що визначає ймовірність знаходження координат частинок в інтервалі між *) q 1 ... q 3n і q 1 + dq 1 ... q 3n + dq 3n.

*) (Хоча при викладі теорії атома водню автори обмовили, що вони обмежуються розглядом станів з негативною енергією, тут, у суворішому викладі, відзначимо, що це тлумачення хвильової функції застосовується лише функцій, які можуть бути підпорядковані умові нормування (6.1). Існують і такі стани, хвильові функції яких квадратично не інтегруються і, отже, не можуть задовольняти цю умову; у разі величина Ψ * Ψ визначає лише відносні, але з абсолютні ймовірності (див. примітка на стор. 100). - Прим. ред.)

Оскільки кожна частка обов'язково повинна бути в якійсь точці простору, інтегрування щільності ймовірності по всьому простору має давати одиницю. Це виражається умовою нормування

∫ Ψ * Ψ dυ = 1, (6.1)

де dυ = dq 1 ... dq 3n та інтеграл береться по всьому 3n-мірному простору.

Постулат 2. Кожній величині, що фізично спостерігається, в квантовій механіці зіставляється лінійний оператор; позначимо його, наприклад, β . Тоді середнє значення цієї величини визначається як *)

b‾ = ∫ Ψ * β Ψ dυ. (6.2)

*) (Якщо необхідно перетворити будь-яку функцію f(х) на іншу функцію g(x), то алгебраїчно це виражається співвідношенням β f(х) = g(x), де β - Оператор. Наприклад,

[+2] x 3 = 2 + х 3 (а); [х] х 3 = х 4 (б); [√] x 3 = x 3 / 2 (в);

X3 = 3x2(г).

У всіх цих виразах оператор поміщений у квадратні дужки. Оператори діють функції, розташовані праворуч від них. Оператор називається лінійним, якщо виконано умови

β = β f(х) + β g(х) та β kf(х) = k β f(x),

де k – постійна. У зазначених прикладах тільки (б) та (г) - лінійні оператори.)

Правило побудови квантовомеханічних операторів полягає в наступному: класичний вираз для аналізованої величини записується в змінних р і q тоді відповідний квантовомеханічний оператор виходить заміною p k на

Наведемо кілька прикладів середніх значень виду (6.2).

а) Середнє значення координати х окремої частки

б) Середнє значення x-компоненти імпульсу окремої частки

Слід зазначити, що якщо оператор β - алгебраїчна функція координат, як у рівнянні (6.3), то не суттєво, де саме він розташований у підінтегральному вираженні. Якщо ж β - диференціальний оператор, його потрібно помістити між функціями Ψ * і Ψ так, щоб він діяв тільки на функцію Ψ.

Постулат 3. Для системи, повна енергія якої незмінна в часі (консервативна система), класичний вираз енергії, записаний у змінних q, р, відомий як функція Гамільтона. Відповідний оператор у квантовій механіці (тобто оператор енергії) називається оператором Гамільтона, або гамільтоніаном, і позначається символом

Для консервативних систем хвильова функція задовольняє рівняння

Ψ(q, t) = EΨ(q, t), (6.5)

де Е - енергія системи - постійна величина, яка залежить від координат і часу t *).

*) (Консервативна система може і не мати певного значення енергії, а характеризуватись деяким імовірнісним розподілом по енергії. Хвильова функція такого стану не задовольняє рівняння (6.5). Щільність ймовірності Ψ 2 залежатиме від часу, але розподіл енергії залишається постійним. - Прим. ред.)

Зауважимо, що в обох частинах рівняння (6.5) міститься та сама функція Ψ(q, t). Рівняння (6.5) є рівнянням для власних функцій оператора

Е – власне значення оператора

Ψ – відповідна власна функція.

В якості простого прикладурівняння типу (6.5) маємо

Власні функції оператора

є e kx , яке власні значення рівні k. З математичної точки зору абсолютно безглуздо скорочувати обидві частини рівняння (6.6) на е kх ​​[або обидві частини рівняння (6.5) на Ψ] тому, що оператор має сенс у рівнянні тільки в тому випадку, якщо він діє на функцію.

Постулат 4. У загальному випадку хвильова функція задовольняє рівнянню

Воно називається тимчасовим рівнянням Шредінгера, яке на відміну рівняння (6.5) справедливе у разі, якщо гамільтоніан залежить від часу.

Якщо функція відома в певний момент часу, то це рівняння дозволяє отримати значення функції і в усі наступні моменти часу. Однак у цій книзі не розглядатимуться процеси, що розвиваються у часі, і таке рівняння не зустрінеться у наступних розділах.

Для консервативних систем Ψ задовольняє як рівняння (6.5), так і рівняння (6.7), тому

Це рівняння має як загального рішеннявигляд

Оскільки для консервативних систем гамільтоніан не містить часу, можна, підставивши вираз (6.9) у рівняння (6.5), скоротити на експоненційний множник обидві частини рівняння та отримати, що

Ψ(q) = EΨ(q). (6.10)

Рівняння (6.10) є записане у загальному вигляді рівняння Шредінгера для так званого стаціонарного стану системи, тобто стану, енергія якого не змінюється в часі. Для стаціонарного стану можна отримати середнє значення будь-якої спостерігається величини, використовуючи хвилеві функції Ψ(g), що не залежать від часу, а не більше складні функціїΨ(q, t), оскільки вираз (6.2) для стаціонарного стану має вигляд

якщо оператор β не залежить від часу.

Функція Гамільтона для електрона з потенційною енергією V записується як

Тоді, використовуючи правило, що визначається постулатом 2, отримаємо гамільтоніан цієї системи

а рівняння (6.10), після простих перетворень, набуває вигляду

Рівняння (6.14) збігається з рівнянням Шредінгера, наведеним у першому розділі.

Припустимо, що відомі два рішення рівняння (6.10):

Ψ а = Е а Ψ а;

Ψ b = Е b Ψ b. (6.15)

Якщо перше рівняння помножимо на постійну λ, а друге - на постійну μ і складемо, то отримаємо

(λΨ а + μΨ b) = λE a Ψ a + μE b Ψ b . (6.16)

Якщо праву частину рівняння (6.16) можна було б подати у вигляді твору k(λΨ а + μΨ b), де k - постійна, то λΨ a + μΨ b також була б власною функцією оператора

Однак у випадку це негаразд, тому лінійні комбінації власних функцій самі є власними функціями. Єдиним винятком є ​​випадок, коли Е а = Е b так що

(λΨ a + μΨ b) = Е а (λΨ а + μΨ b). (6.17)

Якщо дві або більше власних функцій відповідають одному й тому ж власному значенню, воно називається виродженим. У разі будь-яка лінійна комбінація власних функцій також є власною функцією гамільтоніана. Ця теорема була використана в гол. 3 при переході від комплексних р- та d-атомних орбіталейдо дійсних.

Спостережувані величини, що характеризують атомні системи, можуть бути двох типів: 1) величини, значення яких визначені точно, наприклад енергія, яка для будь-якої обмеженої системи має тільки дискретні (квантовані) значення, та 2) величини, для яких в результаті будь-якого вимірювання можна визначити щодо розподілу ймовірності лише середнє значення *). Якщо спостерігається величина, що характеризується оператором β , відноситься до першого типу, це означає, що хвильові функції системи, що є власними функціями гамільтоніана, є також і власні функції оператора β , тобто.

β Ψ = bΨ. (6.18)

*) (Цей поділ фізичних величин на дві групи не має абсолютного характеру: величини, що мають цілком певні значення в деякому стані, в інших станах характеризуються лише імовірнісним розподілом значень. - Прим. ред.)

Якщо ж спостерігається величина відноситься до другого типу, то

β Ψ ≠ bΨ, (6.19)

хоча оператор β і може мати набір власних функцій (що збігаються з Ψ). Однак і в цьому випадку середнє значення спостережуваної величини можна обчислювати за формулою (6.2).

Умовою того, що функція Ψ задовольняє рівності (6.18), є комутативність операторів та β , тобто рівність

βH = Hβ. (6.20)

У випадку оператори не комутують; наприклад, якщо

і Β = х, то

ΑΒ - ΒΑ = 1. (6.21)

Доведемо тепер, що й два оператора комутують, існує набір таких функцій, які є одночасно власними функціями обох операторів. Позначимо власні функції оператора через θ, а власні функції оператора через χ, тоді

Αθ i = а i θ i , (6.22)

Βχ j = b j χ j. (6.23)

Помножуючи рівність (6.23) зліва на Α, отримаємо

j = b j j = b j α j . (6.24)

Але якщо ΑΒ = ΒΑ, то вираз (6.24) перетворюється на

Β(Αχ j) = b j (Αχ j). (6.25)

Рівняння (6.25) означає, що Αχ j є власною функцією оператора з власним значенням b j . Однак j , за визначенням, є власна функція оператора з тим же власним значенням b j . Тому Αχ j і χ j відрізняються постійним множником згідно з виразом

Αχ j = kχ j , (6.26)

або, якщо j належить набору вироджених власних функцій, Αχ j є лінійною комбінацією функцій цього набору:

Αχ j = kχ j + k"χ j" + k″χ j″ , + ...

У невиродженому випадку з рівності (6.26) випливає, що j є власною функцією оператора Α, тобто є однією з функцій набору 6. У виродженому випадку завжди можна вибрати такі лінійні комбінації функцій j , які є власними функціями оператора Α ( і, звісно, ​​оператора Β). Нехай, наприклад, має місце випадок дворазового виродження та

Αχ j = aχ j + bχ j" ,

Αχ j" = cχ j + dχ j" .

Тоді, якщо ввести нові постійні λ, μ, k, k", визначені чотирма рівняннями

kλ = λa + μc, kμ = λb + μd,

k"μ = μa - λc, kλ = λd - μb,

то виявиться, що

Α(λχ j + μχ j") = k(λχ j + μχ j"),

Α(μχ j - λχ j") = k"(χ j - λχ j"),

та ці рівняння визначають власні функції оператора Α.

Перестановочні співвідношення між операторами є основою багатьох важливих результатів, одержуваних у квантовій механіці. Наприклад, якщо два оператори не комутують, то немає набору функцій, які одночасно є власними функціями обох операторів, і, отже, не можна провести такий експеримент, у якому можна точно виміряти величини, що відповідають обом операторам. Принцип невизначеності Гейзенберга, сформульований гол. 1 є прикладом цього. Оскільки оператори х і

не комутують [див. рівність (6.21)], частка не може мати одночасно точні значення та координати х та імпульсу р х.

У квантовій механіці клас власних функцій завжди обмежений однозначними функціями, безперервними і нормованими *) (назвемо їх функціями класу Q). Ці умови необхідно накласти на власні функції для того, щоб щільність імовірності була функцією, яка поводиться належним чином. В результаті вимірювань виходять дійсні числа, тому треба також накласти відповідне обмеження на оператори, тобто зажадати, щоб для всіх квантовомеханічних операторів середні значення, обчислені за виразом (6.2), були дійсними. Якщо

b‾ = ∫ Ψ * ΒΨ dυ, (6.27)

то, беручи комплексно пов'язані величини від обох частин рівності, отримаємо

(b‾) * = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ,. (6.28)

*) (Умова нормування власних функцій є надто жорсткою і має бути замінена вимогою кінцівки її значень у всій області зміни змінних. Властивістю квадратичної інтегрованості мають лише власні функції оператора, що відповідають дискретним власним значенням. - Прим. ред.)

Але якщо (b‾ = b‾) * , що справедливо тільки для дійсних чисел, то

∫ Ψ * ΒΨ dυ = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ. (6.29)

У загальному випадку можна показати, що оператор повинен задовольняти умову

∫ Ψ 1 * ΒΨ 2 dυ = ∫ Ψ 2 Β * Ψ 1 * dυ, (6.30)

де 1 і 2 - довільні функції класу Q.

Оператор, який відповідає умові (6.30) для будь-яких функцій класу Q, називається ермітівським *). Якщо будувати квантовомеханічний оператор на основі класичного виразу для спостерігається величини, використовуючи постулат 2, необхідно розташувати окремі члени в операторі таким чином, щоб він був ермітівським. Наприклад, якщо класичний вираз має вигляд хр х, квантовомеханічний оператор записується не як

(цей оператор не є ермітівським), а у вигляді

(Ермітівський оператор). Іншими словами, ґрунтуються на симетризованому класичному виразі

Можна діяти і інакше, виходячи з виразу х 1/2 p х х 1/2, проте експеримент покаже, яке з цих виразів дає правильний вид квантовомеханічного оператора.

*) (Такий оператор часто називають також самосполученим. - Прим. перев.)

Власні функції та власні значення ермітівських операторів мають три важливі властивості:

1. Власні значення ермітівських операторів дійсні. Це випливає із співвідношень (6.27)-(6.29), якщо Ψ - власна функція оператора Β.

2. Якщо дві власні функції ермітівського оператора відповідають різним власним значенням, то ці функції ортогональні, тобто якщо

ΒΨ 1 = b 1 Ψ 1 (6.31)

ΒΨ 2 = b 2 Ψ 2 , (6.32)

∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ = 0. (6.33)

Щоб довести це співвідношення, візьмемо комплексно пов'язані величини від обох частин рівності (6.32):

Β * Ψ 2 * = b 2 Ψ 2 * . (6.34)

Помножимо обидві частини рівності (6.31) зліва на Ψ 2 * і проінтегруємо по всьому простору; аналогічно помножимо обидві частини рівності (6.34) зліва на 1 і також проінтегруємо; віднімаючи отримані вирази одне з іншого, маємо

∫ Ψ 2 * ΒΨ 1 dυ - ∫ Ψ 1 Β * Ψ 2 * dυ = (b 1 - b 2) ∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ. (6.35)

Але через ермітовість оператора Β ліва частина рівності (6.35) перетворюється на нуль. Звідси випливає, що якщо b 2 ≠ b 1 виконується рівняння (6.33).

Поняття ортогональності зустрічається у векторній алгебрі; якщо два вектори а і b утворюють між собою кут 90°, то скалярний добуток векторів звертається в нуль, тобто а b = 0, і вектори називають ортогональними. Це означає, що якщо виразити вектор через інші вектори простору, то цей вираз не буде містити вектора b; інакше кажучи, вектори а і b незалежні один від одного. Аналогічно якщо власні функції ортогональні, це означає, що вони незалежні: жодна їх містить домішки інший.

Спробуємо уявити одну зі своїх функцій ермітовского оператора як лінійної комбінації всіх інших своїх функцій, тобто.

Ψ 1 = ∑ i≠1 з i1 Ψ. (6.36)

Тоді, помножуючи обидві частини рівності (6.36) на j j * (j ≠ 1) та інтегруючи по всьому простору, отримаємо

∫ Ψ j * Ψ 1 dυ = ∑ i≠1 з i1 ∫ Ψ j * Ψ i dυ. (6.37)

Однак через умови ортогональності власних функцій ліва частина рівності звертається в нуль, а єдиний, відмінний від нуля інтеграл у правій частині виходить при i = j. Звідси випливає, що з j1 = 0, що означає лінійну незалежність функцій Ψ 1 і Ψ j , причому це вірно для будь-яких j.

Умови ортогональності та нормування власних функцій можна поєднати в один вираз

∫ Ψ i * Ψ j dυ = δ ij , (6.38)

де δ ij називається символом Кронекера: він дорівнює нулю, якщо i ≠ j та одиниці, коли i = j. Набір функцій, які відповідають умові (6.38), називається ортонормованим.

3. Власні функції Θ i ермітівського оператора утворюють повну систему функцій, за якою можна розкласти будь-яку функцію, що задовольняє тим самим граничним умовам, що й власні функції. Таким чином, розкладання

Ψ = ∑ i c i Θ i (6.39)

є точним, якщо підсумовування проведено по всіх власним функціям(Це нескінченна сума). Доказів цього твердження у загальному вигляді не існує, проте воно справедливе для ермітівських операторів, що зустрічаються у квантовій механіці. Як видно з наступного розділу, а також з інших розділів цієї книги, метод розкладання по деякій системі функцій є найбільш поширеним способом отримання наближених рішень рівняння Шредінгера.

Книга Неймана є першим досі єдиним доведеним до кінця досвідом викладу апарату квантової механіки з тією послідовністю і строгістю, якої вимагають зазвичай при побудові математичної теорії. Тому тільки існуванню цієї книги ми зобов'язані нашою впевненістю в тому, що квантова механіка є логічно несуперечливою схемою. Зокрема, саме у цій книзі викладено доказ знаменитої теореми про неможливість запровадити "приховані параметри" без кардинальної перебудови усієї квантової механіки.
Таким чином, книга буде надзвичайно цінною для всіх, хто глибоко вивчає квантову механіку, насамперед для студентів старших курсів та аспірантів, як фізиків, так і математиків, а також для науковців цих же дисциплін.

Виникнення теорії перетворень.
Тут не місце вказувати на величезні успіхи, досягнуті квантовою теорією в період з 1900 по 1925 р.р. в ході розвитку, над яким панують імена Планка, Ейнштейна та Бора).

До кінця цього процесу розвитку здалося ясним і не залишає жодних сумнівів, що всі елементарні процеси, тобто все, що відбувається в атомно-молекулярному масштабі, керуються «перервними» законами квантів. Майже всім завдань були і кількісні квантово-теоретичні методи, які переважно вели до результатів, більш-менш добре узгоджується з досвідом. І що мало найбільше принципове значення-само мислення теоретико-фізичного дослідження сприйняло ту ідею, що пануючий у всьому доступному сприйнятті макрокосмічному світі принцип безперервності («natura non facit saltus») виникає лише в результаті процесу усереднення в суті своєму перервному світі - завдяки тому, що людина зазвичай відразу аппер-цепирует лише суму багатьох квадрильйонів елементарних процесів, отже справжня природаодиничного процесу виявляється повністю завуальованою все нівелюючим законом великих чисел.

ЗМІСТ
Передмова редактора перекладу
Вступ
Глава I. Вступні зауваження
1. Виникнення теорії перетворень
2. Початкові формулювання квантової механіки
3. Еквівалентність двох теорій: Теорія перетворень
4. Еквівалентність двох теорій: Гільбертовий простір
Розділ II. Загальні властивості абстрактного гільбертового простору
1. Визначення абстрактного простору Гільберта
2. Геометрія гільбертового простору
3. Відступ: Про умови А.-Е
4. Замкнуті лінійні різноманіття
5. Оператори у гільбертовому просторі
6. Проблема власних значень
7. Продовження
8. Попередній розгляд проблеми власних значень
9 Відступ: Про існування та єдиність вирішення проблеми власних значень
10. Комутують оператори
11. Шпур
Розділ III. Квантовомеханічна статистика
1. Статистичні твердження квантової механіки
2. Статистична "інтерпретація"
3. Одночасна вимірність та вимірність взагалі
4. Співвідношення невизначеності
5. Проекційні оператори як затвердження
6. Теорія випромінювання
Розділ IV. Дедуктивна побудова теорії
1. Принципове обґрунтування статистичної теорії
2. Доказ статистичних формул
3. Висновки з експериментів
Глава V. Загальний розгляд
1. Вимірювання та оборотність
2. Термодинамічні питання
3. Питання оборотності та рівноваги
4. Макроскопічний вимір
Розділ VI. Процес виміру
1. Постановка задачі
2. Складові системи
8. Обговорення процесу виміру
Доповнення. Доказ ергодичної теореми та H-теореми у новій механіці (Zs. f. Phys. 57, 30-70 (1929))
Вступ
I. Квантовомеханічне формулювання основних понять статистичної механікиГіббса
ІІ. Проведення доказів
ІІІ. Обговорення результатів
Додаток.

Безкоштовно завантажити електронну книгу у зручному форматі, дивитися та читати:
Математичні основи квантової механіки, Йоганн фон Нейман, 1964 - fileskachat.com, швидке і безкоштовне скачування.