На спектрограмі отриманої дифракційної решітки. Висновок формули дифракційної решітки

Дифракційні грати - Оптичний пристрій, що являє собою сукупність великої кількості паралельних, зазвичай рівновіддалених один від одного, щілин.

Дифракційні грати можна отримати нанесенням непрозорих подряпин (штрихів) на скляну пластину. Непроцарапанные місця — щілини — пропускатимуть світло; штрихи, відповідні проміжку між щілинами, розсіюють і пропускають світла. Перетин таких дифракційних грат ( а) і її умовне позначення (б)показано на рис. 19.12. Сумарну ширину щілини ата проміжок бміж щілинами називають постійноюабо періодом дифракційної решітки:

с = а + б.(19.28)

Якщо на ґрати падає пучок когерентних хвиль, то вторинні хвилі, що йдуть у різних напрямках, інтерферуватимуть, формуючи дифракційну картину.

Нехай на ґрати нормально падає плоскопаралельний пучок когерентних хвиль (рис. 19.13). Виберемо деякий напрямок вторинних хвиль під кутом a щодо нормалі до ґрат. Промені, що йдуть від крайніх точокдвох сусідніх щілин, мають різницю ходу d = А "В".Така ж різниця ходу буде для вторинних хвиль, що йдуть від відповідно розташованих пар точок сусідніх щілин. Якщо ця різниця ходу кратна цілому довжини хвиль, то при інтерференції виникнуть основні максимуми,для яких виконується умова ÷ А "В¢÷ = ± k l , або

з sin a = ± k l , (19.29)

де k = 0,1,2,... — порядок основних максимумів.Вони розташовані симетрично щодо центрального (k= 0, a = 0). Рівність (19.29) є основною формулою дифракційної решітки.

Між головними максимумами утворюються мінімуми (додаткові), кількість яких залежить від кількості всіх щілин решітки. Виведемо умову для додаткових мінімумів. Нехай різниця ходу вторинних хвиль, що йдуть під кутом a від відповідних точок сусідніх щілин, дорівнює l /N,тобто.

d = з sin a = l /N,(19.30)

де N- Число щілин дифракційної решітки. Цієї різниці ходу 5 [див. (19.9)] відповідає різниця фаз Dj = 2 p /N.

Якщо вважати, що вторинна хвиля від першої щілини має в момент складання з іншими хвилями нульову фазу, то фаза хвилі від другої щілини дорівнює 2 p /N,від третьої - 4 p /N,від четвертої - 6p /Nі т. д. Результат складання цих хвиль з урахуванням фазової відмінності зручно отримати за допомогою векторної діаграми: сума Nоднакових векторів напруженості електричного поля, кут (різниця фаз) між будь-якими сусідніми з яких є 2 p /N,дорівнює нулю. Це означає, що умова (19:30) відповідає мінімуму. При різниці ходу вторинних хвиль від сусідніх щілин d = 2( l /N)або різниці фаз Dj = 2(2p/N)буде також отримано мінімум інтерференції вторинних хвиль, що йдуть від усіх щілин, тощо.

Як ілюстрація на рис. 19.14 зображено векторну діаграму, що відповідає дифракційним гратам, що складається з шести щілин: і т. д. — вектори напруженості електричної складової електромагнітних хвильвід першої, другої і т. д. щілин. П'ять додаткових мінімумів (сума векторів дорівнює нулю), що виникають при інтерференції, спостерігаються при різниці фаз хвиль, що приходять від сусідніх щілин, в 60° ( а), 120° (б), 180 ° (в), 240° (г)та 300° (Д).

Рис. 19.14

Так, можна переконатися, що між центральним і кожним першим головним максимумом є N-1 додаткових мінімумів, що задовольняють умові

з sin a = ± l /N; 2l /N, ..., ±(N - 1)l /N.(19.31)

Між першим та другим головними максимумами також розташовані N - 1 додаткових мінімумів, що задовольняють умові

з sin a = ± ( N+ 1)l /N, ±(N+ 2)l /N, ...,(2N - 1)l /N,(19.32)

і т. д. Отже, між будь-якими двома сусідніми головними максимумами спостерігається N - 1додаткових мінімумів.

При велику кількістьщілин окремі додаткові мінімуми мало різняться, проте весь простір між головними максимумами виглядає темним. Чим більше числощілин дифракційної решітки, тим паче різання головні максимуми. На рис. 19.15 представлені фотографії дифракційної картини, отриманої від грат з різним числом Nщілин (постійна дифракційної решітки однакова), але в рис. 19.16 - графік розподілу інтенсивності.

Особливо зауважимо роль мінімумів від однієї щілини. У напрямі, що відповідає умові (19.27), кожна щілина дає мінімум, тому щонайменше від однієї щілини збережеться і для всіх ґрат. Якщо для певного напрямку одночасно виконуються умови мінімуму для щілини (19.27) та головного максимуму грат (19.29), то відповідний головний максимум не виникне. Зазвичай намагаються використовувати головні максимуми, які розміщуються між першими мінімумами від однієї щілини, тобто в інтервалі

arcsin (l /a) > a > - arcsin (l /a) (19.33)

При падінні на дифракційні ґрати білого чи іншого не монохроматичного світлакожен головний максимум, крім центрального, виявиться розкладеним у спектр [див. (19.29)]. В цьому випадку kвказує порядок спектру.

Таким чином, грати є спектральним приладом, тому для неї суттєві характеристики, які дозволяють оцінювати можливість розрізнення спектрів.

Одна з таких характеристик кутова дисперсія- Визначає кутову ширину спектра. Вона чисельно дорівнює кутовому відстані da між двома лініями спектра, довжини хвиль яких різняться на одиницю (dl. = 1):

D= da/dl.

Диференціюючи (19.29) та використовуючи тільки позитивні значеннявеличин, отримуємо

з cos a da =. k dl.

З останніх двох рівностей маємо

D = ..k /(c cos a). (19.34)

Оскільки зазвичай використовують невеликі кути дифракції, то cos a » 1. Кутова дисперсія Dтим вище, чим більше порядок kспектру і чим менша постійна здифракційної решітки.

Можливість розрізняти близькі спектральні лінії залежить як від ширини спектра, чи кутовий дисперсії, а й від ширини спектральних ліній, які можуть накладатися друг на друга.

Прийнято вважати, що якщо між двома дифракційними максимумами однакової інтенсивності знаходиться область, де сумарна інтенсивність становить 80% від максимальної, спектральні лінії, яким відповідають ці максимуми, вже дозволяються.

При цьому, згідно з Дж. У. Реле, максимум однієї лінії збігається з найближчим мінімумом іншої, що і вважається критерієм дозволу. На рис. 19.17 зображено залежність інтенсивності I окремих ліній від довжини хвилі (суцільна крива) та їх сумарна інтенсивність (штрихова крива). З малюнків легко побачити невирішеність двох ліній ( а) та граничну дозволеність ( б), коли максимум однієї лінії збігається із найближчим мінімумом іншої.

Дозвіл спектральних ліній кількісно оцінюється роздільною здатністю,рівної відношенню довжини хвилі до найменшого інтервалу довжин хвиль, які ще можуть бути дозволені:

R = l./Dl. (19.35)

Так, якщо є дві близькі лінії з довжинами хвиль l 1 ³ l 2 Dl = l 1 - l 2 , то (19.35) можна приблизно записати у вигляді

R= l 1 /(l 1 - l 2), або R= l 2 (l 1 - l 2) (19.36)

Умова головного максимуму для першої хвилі

з sin a = k l 1 .

З ним збігається найближчий мінімум для другої хвилі, умова якого

з sin a = k l 2 + l 2 /N.

Прирівнюючи праві частини останніх двох рівностей, маємо

k l 1 = k l 2 + l 2 /N, k(l 1 - l 2) = l 2 /N,

звідки [з урахуванням (19.36)]

R =k N .

Отже, роздільна здатність дифракційних ґрат тим більше, чим більше порядок kспектру та число Nштрихів.

Розглянемо приклад. У спектрі, отриманому від дифракційних ґрат з числом щілин N = 10 000 є дві лінії поблизу довжини хвилі l = 600 нм. При якій найменшій різниці довжин хвиль Dl ці лінії розрізняються у спектрі третього порядку (k = 3)?

Для відповіді це питання прирівняємо (19.35) і (19.37), l/Dl = kN,звідки Dl = l/( kN). Підставляючи числові значенняу цю формулу знаходимо Dl = 600 нм/(3 . 10 000) = 0,02 нм.

Так, наприклад, помітні в спектрі лінії з довжинами хвиль 600,00 і 600,02 нм і не помітні лінії з довжинами хвиль 600,00 і 600,01 нм

Виведемо формулу дифракційних ґрат для похилого падіння когерентних променів (рис. 19.18, b — кут падіння). Умови формування дифракційної картини (лінза, екран у фокальній площині) ті ж, що й за нормального падіння.

Проведемо перпендикуляри А "Вкпадаючим променям і АВ"до вторинних хвиль, що йдуть під кутом a до перпендикуляра, відновленого до площини решітки. З рис. 19.18 видно, що до положення А¢Впромені мають однакову фазу, від АВ"і далі різниця фаз променів зберігається. Отже, різниця ходу є

d = ВВ "-АА".(19.38)

З D АА"Вмаємо АА¢= АВ sin b = з sin b. З D ВВ"Азнаходимо ВВ" = АВ sin a = з sin a. Підставляючи вирази для АА¢і ВВ"в (19.38) та враховуючи умову для головних максимумів, маємо

з(sin a – sin b) = ± kl. (19.39)

Центральний головний максимум відповідає напрямку падаючих променів (a = b).

Поряд із прозорими дифракційними решітками використовують відбивні, у яких штрихи нанесені на металеву поверхню. Спостереження у своїй ведеться у відбитому світлі. Відбивні дифракційні ґрати, виготовлені на увігнутій поверхні, здатні утворювати дифракційну картину без лінзи.

У сучасних дифракційних ґратах максимальна кількістьштрихів становить понад 2000 на 1 мм, а довжина решітки понад 300 мм, що дає значення Nблизько мільйона.

Дифракційні грати

Дифракцієюназивається будь-яке відхилення поширення світла від прямолінійного, не пов'язане з відображенням та заломленням.Якісний метод розрахунку дифракційної картини запропонував Френель. Основною ідеєю методу є принцип Гюйгенса - Френеля:

Кожна точка, до якої доходить хвиля, є джерелом когерентних вторинних хвиль, а подальше поширення хвилі визначається інтерференцією вторинних хвиль.

Геометричне місце точок, для яких коливання мають однакові фази, називають хвильовою поверхнею . Хвильовий фронт також хвильової поверхнею.

Дифракційні гратиявляє собою сукупність великої кількості паралельних щілин або дзеркал однакової ширини та віддалених один від одного на однаковій відстані. Періодом решітки ( d) називається відстань між серединами сусідніх щілин, або що ж сума ширини щілини (а) і непрозорого проміжку (b) між ними (d = a + b).

Розглянемо принцип дії дифракційних ґрат. Нехай на ґрати нормально до її поверхні падає паралельний пучок променів білого світла(Рис. 1). На щілинах решітки, ширина яких можна порівняти з довжиною хвилі світла, відбувається дифракція.

В результаті за дифракційними ґратами згідно з принципом Гюйгенса-Френеля від кожної точки щілини світлові променібудуть поширюватися у всіх можливих напрямках, яким можна зіставити кути відхилення φ світлових променів ( кути дифракції) від початкового напряму. Паралельні між собою промені (дифрагіруючі під однаковим кутом φ ) можна сфокусувати, встановивши за ґратами лінзу, що збирає. Кожен пучок паралельних променів збереться у задній фокальній площині лінзи у певній точці А. Паралельні промені, що відповідають іншим кутам дифракції, зберуться в інших точках фокальної площини лінзи. У цих точках спостерігатиметься інтерференція світлових хвиль, що походять від різних щілин решітки. Якщо оптична різниця ходу між відповідними променямимонохроматичного світла дорівнюватиме цілому довжини хвиль , κ = 0, ±1, ±2, …, то в точці накладання променів спостерігатиметься максимум інтенсивності світла для даної довжини хвилі, З малюнка 1 видно, що оптична різниця ходу Δ між двома паралельними променями, що виходять з відповідних точок сусідніх щілин, дорівнює

де φ – кут відхилення променя ґратами.

Отже, умова виникнення головних інтерференційних максимумівграти або рівняння дифракційної решітки

, (2)

де λ – довжина світлової хвилі.

У фокальній площині лінзи для променів, що не зазнали дифракції, спостерігається центральний білий максимум нульового порядку ( φ = 0, κ = 0), праворуч і ліворуч від якого розташовуються кольорові максимуми (спектральні лінії) першого, другого та наступних порядків (рис. 1). Інтенсивність максимумів зменшується зі зростанням їхнього порядку, тобто. із збільшенням кута дифракції.

Однією з основних характеристик дифракційних ґрат є її кутова дисперсія. Кутова дисперсіяґрати визначає кутову відстань dφміж напрямками для двох спектральних ліній, що відрізняються за довжиною хвилі на 1 нм ( = 1 нм), та характеризує ступінь розтягнутості спектру поблизу даної довжини хвилі:

Формула для розрахунку кутової дисперсії решітки може бути отримана при диференціюванні рівняння (2) . Тоді

. (5)

З формули (5) випливає, що кутова дисперсія решітки тим більше, чим більший порядок спектру.

Для грат з різними періодамиширина спектра більша у решітки, що характеризується меншим періодом. Зазвичай, у межах одного порядку змінюється незначно (особливо для решіток з невеликим числом штрихів на міліметр), тому дисперсія в межах одного порядку майже не змінюється. Спектр, отриманий при постійній дисперсії, рівномірно розтягнутий у всій області довжин хвиль, що вигідно відрізняє спектр решітки від спектра, що дається призмою.

Кутова дисперсія пов'язана з лінійною дисперсією. Лінійну дисперсію можна також обчислити за формулою

, (6) де – лінійна відстань на екрані або фотопластинці між спектральними лініями, f- Фокусна відстань лінзи.

Дифракційні грати також характеризуються роздільною здатністю. Ця величина, що характеризує здатність дифракційної решітки давати роздільне зображення двох близьких спектральних ліній

R = , (7)

де l – Середня довжинахвилі спектральних ліній; dl – різниця довжин хвиль двох сусідніх спектральних ліній.

Залежність роздільної здатності від числа щілин дифракційної решітки Nвизначається формулою

R = = kN, (8)

де k- Порядок спектру.

З рівняння для дифракційної решітки (1) можна зробити такі висновки:

1. Дифракційна решітка даватиме помітну дифракцію (значні кути дифракції) тільки в тому випадку, коли період решітки можна порівняти з довжиною світлової хвилі, тобто d»l» 10 -4 см. Ґрати з періодом менше довжини хвилі не дають дифракційних максимумів.

2. Положення основних максимумів дифракційної картини залежить від довжини хвилі. Спектральні складові випромінювання немонохроматичного пучка відхиляються ґратами різні кути (дифракційний спектр). Це дозволяє використовувати дифракційну решітку як спектральний прилад.

3. Максимальний порядокспектра, при нормальному падінні світла на дифракційні ґрати, визначається співвідношенням:

k max £ d¤l.

Дифракційні грати, що використовуються в різних областяхспектра, відрізняються розмірами, формою, матеріалом поверхні, профілем і частотою штрихів, що дозволяє перекрити область спектру від ультрафіолетової частини (l » 100 нм) до інфрачервоної (l » 1 мкм). Широко використовуються в спектральних приладах гравіровані решітки (репліки), які є відбитками грат на спеціальних пластмасах з наступним нанесенням металевого відбивного шару.

Дифракційними гратами називається сукупність великої кількості однакових, що віддаляються один від одного на одну і ту ж відстань щілин (рис. 130.1). Відстань між серединами сусідніх щілин називається періодом решітки.

Розташуємо паралельно решітці збірну лінзу, у фокальній площині якої поставимо екран. З'ясуємо характер дифракційної картини, що виходить на екрані при падінні на ґрати плоскої світлової хвилі (для простоти вважатимемо, що хвиля падає на ґрати нормально). Кожна із щілин дасть на екрані картину, що описується кривою, зображеною на рис. 129.3.

Картини від усіх щілин припадуть на те саме місце екрану (незалежно від положення щілини, центральний максимум лежить проти центру лінзи). Якби коливання, що приходять у точку Р від різних щілин, були некогерентними, результуюча картина від N щілин відрізнялася від картини, створюваної однією щілиною, лише тим, що це інтенсивності зросли б у N раз. Однак коливання від різних щілин є більшою чи меншою мірою когерентними; тому результуюча інтенсивність буде відмінна від - інтенсивність, створювана однією щілиною; див. (129.6)).

Надалі ми припускатимемо, що радіус когерентності падаючої хвилі набагато перевищує довжину решітки, так що коливання від усіх щілин можна вважати когерентними один щодо одного. У цьому випадку результуюче коливання в точці Р, положення якої визначається кутом, являє собою суму N коливань з однаковою амплітудою зрушених один щодо одного по фазі на одну й ту саму величину. Згідно з формулою (124.5) інтенсивність за цих умов дорівнює

(у даному випадкуроль відіграє).

З рис. 130.1 видно, що різниця ходу від сусідніх щілин дорівнює Отже, різниця фаз

(130.2)

де до - Довжина хвилі в даному середовищі.

Підставивши у формулу (130.1) вираз (129.6) для та (130.2) для , отримаємо

(- Інтенсивність, створювана однією щілиною проти центру лінзи).

Перший множник (130.3) звертається в нуль у точках, для яких

У цих точках інтенсивність, створювана кожною з щілин окремо, дорівнює нулю (див. умова (129.5)).

Другий множник (130.3) набуває значення в точках, що задовольняють умові

(Див. (124.7)). Для напрямів, що визначаються цією умовою, коливання від окремих щілин взаємно посилюють один одного, внаслідок чого амплітуда коливань у відповідній точці екрана дорівнює

(130.6)

Амплітуда коливання, що посилається однією щілиною під кутом

Умова (130.5) визначає положення максимумів інтенсивності, які називаються головними. Число дає порядок головного максимуму. Максимум нульового порядку лише один, максимумів 1-го, 2-го і т. д. порядків є по два.

Звівши рівність (130.6) в квадрат, отримаємо, що інтенсивність основних максимумів разів більше інтенсивності створюваної у бік однієї щілиною:

(130.7)

Крім мінімумів, що визначаються умовою (130.4), у проміжках між сусідніми головними максимумами є додаткові мінімуми. Ці мінімуми виникають у тих напрямках, котрим коливання від окремих щілин взаємно погашають одне одного. Відповідно до формули (124.8) напрями додаткових мінімумів визначаються умовою

У формулі (130.8) приймає всі цілочисельні значення, крім N, 2N, ..., тобто крім тих, за яких умова (130.8) переходить в (130.5).

Умову (130.8) легко одержати методом графічного складання коливань. Коливання від окремих щілин зображуються векторами однакової довжини. Відповідно (130.8) кожен із наступних векторів повернутий щодо попереднього на один і той же кут

Тому в тих випадках, коли k не є цілим кратним N, ми, прибудовуючи початок наступного вектора до кінця попереднього, отримаємо замкнуту ламану лінію, Що робить до (при ) або оборотів, перш ніж кінець N-го вектора упреться на початок 1-го. Відповідно результуюча амплітуда виявляється рівною нулю.

Сказане пояснено на рис. 130.2, на якому показана сума векторів для випадку та значень , рівних 2 і

Між додатковими мінімумами є слабкі вторинні максимуми. Число таких максимумів, що припадає на проміжок між сусідніми головними максимумами, дорівнює . У § 124 було показано, що інтенсивність вторинних максимумів вбирається у інтенсивності найближчого головного максимуму.

На рис. 130.3 наведено графік функції (130.3) для Пунктирна крива, що проходить через вершини головних максимумів, зображує інтенсивність від однієї щілини, помножену на (див. (130.7)). При взятому малюнку відносин періоду решітки до ширині щілини основні максимуми 3-го, 6-го тощо. буд. порядків припадають на мінімуми інтенсивності від однієї щілини, унаслідок чого ці максимуми пропадають.

Взагалі із формул (130.4) і (130.5) випливає, що головний максимум порядку припаде на мінімум від однієї щілини, якщо буде виконано, рівність: або Це можливо, якщо дорівнює відношенню двох цілих чисел і s (практичний інтерес представляє випадок, коли ці числа невеликі).

Тоді головний максимум порядку накладеться на мінімум від однієї щілини, максимум порядку - на мінімум і т. д., у результаті максимуми порядків і т. д. будуть відсутні.

Кількість основних максимумів визначається ставленням періоду решітки d до довжини хвилі X. Модуль не може перевищити одиницю. Тому з формули (130.5) випливає, що

Визначимо кутову ширину центрального (нульового) максимуму. Положення найближчих до нього додаткових мінімумів визначається умовою (див. формулу (130.8)). Отже, цим мінімумам відповідають значення рівні Звідси для кутової ширини центрального максимуму виходить вираз

(130.10)

(Ми скористалися тим, що).

Положення додаткових мінімумів, найближчих до основного максимуму порядку, визначається умовою: . Звідси виходить для кутової ширини максимуму такий вираз:

Ввівши позначення можна подати цю формулу у вигляді

При великому числіщілин значення буде дуже мало. Тому можна покласти Підстановка цих значень формулу (130.11) призводить до наближеного виразу

При цьому вираз перетворюється на (130.10).

Добуток дає довжину дифракційної решітки. Отже, кутова ширина головних максимумів обернено пропорційна довжині решітки. Зі збільшенням порядку максимуму ширина зростає.

Положення головних максимумів залежить від довжини хвилі X. Тому при пропусканні через решітку білого світла всі максимуми, крім центрального, розкладуться у спектр, фіолетовий кінець якого звернений до центру дифракційної картини, червоний – назовні.

Таким чином, дифракційна решітка є спектральним приладом. Зауважимо, що в той час як скляна призма найсильніше відхиляє фіолетові промені, дифракційні грати, навпаки, сильніше відхиляють червоні промені.

На рис. 130.4 схематично зображені порядків, що даються решіткою при пропусканні через неї білого світла. У центрі лежить вузький максимум нульового ладу; у нього забарвлені лише краї (згідно (130.10) залежить від ). По обидва боки від центрального максимуму розташовані два спектри 1-го порядку, потім два спектри 2-го порядку і т. д. Положення червоного кінця спектра порядку та фіолетового кінця спектра порядку

де d взято в мікрометрах, за умови, що

Спектри порядків частково перекриваються. З нерівності виходить, що Отже, часткове перекриття починається зі спектрів 2-го і 3-го порядків (див. рис. 130.4, на якому для наочності спектри різних порядків зміщені один щодо одного по вертикалі).

Основними характеристиками будь-якого спектрального приладу є його дисперсія та роздільна здатність. Дисперсія визначає кутову або лінійну відстань між двома спектральними лініями, що відрізняються довжиною хвилі на одиницю (наприклад, на 1 А). Роздільна сила визначає мінімальну різницю довжин хвиль , при якій дві лінії сприймаються в спектрі окремо.

Кутовою дисперсією називається величина

де - Кутова відстань між спектральними лініями, що відрізняються по довжині хвилі на .

Щоб знайти кутову дисперсію дифракційної решітки, продиференціюємо умову (130.5) головного максимуму ліворуч праворуч по . Опускаючи знак мінус, отримаємо

У межах невеликих кутів тому можна покласти

З отриманого виразу випливає, що кутова дисперсія обернено пропорційна періоду решітки d. Чим вищий порядок спектру, тим більше дисперсія.

Лінійною дисперсією називають величину

де - лінійна відстань на екрані або на фотопластинці між спектральними лініями, що відрізняються по довжині хвилі на рис. 130.5 видно, що при невеликих значеннях кута можна покласти де - фокусна відстань лінзи, що збирає дифрагіруючі промені на екрані.

Отже, лінійна дисперсія пов'язана з кутовою дисперсією D співвідношенням

Взявши до уваги вираз (130.15), отримаємо для лінійної дисперсії дифракційної решітки (при невеликих) наступну формулу:

(130.17)

Роздільна сила спектрального приладу називають безрозмірну величину

де - Мінімальна різниця довжин хвиль двох спектральних ліній, при якій ці лінії сприймаються окремо.

Можливість вирішення (тобто роздільного сприйняття) двох близьких спектральних ліній залежить не тільки від відстані між ними (яке визначається дисперсією приладу), але також і від ширини спектрального максимуму. На рис. 130.6 показана результуюча інтенсивність (суцільні криві), що спостерігається при накладенні двох близьких максимумів (пунктирні криві). Якщо ж обидва максимуми сприймаються як один. У випадку між максимумами лежить мінімум. Два близькі максимуми сприймаються оком окремо у разі, якщо інтенсивність у проміжку з-поміж них становить трохи більше 80% від інтенсивності максимуму. Згідно з критерієм, запропонованим Релеєм, таке співвідношення інтенсивностей має місце у тому випадку, якщо середина одного максимуму збігається з краєм іншого (рис. 130.6, б). Таке взаємне розташуваннямаксимумів виходить за певного (для даного приладу) значенні .

Таким чином, роздільна сила дифракційної решітки пропорційна порядку спектру та числу щілин .

На рис. 130.7 зіставлено дифракційні картини, що виходять для двох спектральних ліній за допомогою решіток, що відрізняються значеннями дисперсії D і роздільної сили R. Грати I до II мають однакову роздільну силу (у них однакове числощілин N), але різною дисперсією (у решітки I період d вдвічі більше, відповідно дисперсія D вдвічі менше, ніж у решітки II). Грати II і III мають однакову дисперсію (у них однакові d), але різну роздільну здатність (у решітки число щілин N і роздільна сила R вдвічі більше, ніж у решітки III).

Дифракційні грати бувають прозорі та відбивні. Прозорі грати виготовляються зі скляних або кварцових пластин, на поверхню яких за допомогою спеціальної машини наноситься алмазним різцем ряд паралельних штрихів. Проміжки між штрихами служать щілинами.

Відбивні грати наносяться алмазним різцем на поверхню металевого дзеркала. Світло падає на відбивні грати похило. При цьому грати з періодом d діє так, як при нормальному падінні світла діяли б прозорі грати з періодом де - кут падіння. Це дозволяє спостерігати спектр при відображенні світла, наприклад, від грамплатівки, що має всього кілька штрихів (канавок) на 1 мм, якщо розташувати її так, щоб кут падіння був близький до Роуланда винайшов увігнуті відбивні грати, яка сама (без лінзи) фокусує дифракційні спектри.

Кращі грати мають до 1200 штрихів на 1 мм. З формули (130.9) випливає, що спектри другого порядку у видимому світлі за такого періоду не спостерігаються. Загальна кількість штрихів у подібних ґрат досягає 200 тисяч (довжина близько 200 мм). При фокусній відстані приладу довжина видимого спектру 1-го порядку становить у разі понад 700 мм.

Дифракція світла –явище відхилення світла від прямолінійного поширення під час зустрічі з перешкодою, коли світло, огинаючи перешкоду, входить у його геометричної тіні.

Досвід Юнга:У непрозорому екрані на невеликій відстані один від одного є два маленькі отвори S 1 і S 2 . Ці отвори висвітлюються вузьким світловим пучком, що пройшов у свою чергу через мале отвір Sна іншому екрані. Якби не було явища дифракції, то ми мали б побачити тільки світлу пляму від отвору. Sна другому екрані. Насправді спостерігається стійка інтерференційна картина на третьому екрані (світлі і темні смуги, що чергуються).

Явище дифракції можна пояснити на основі принципу Гюйгенса-Френеля.

Згідно з Гюйгенсом, всі точки поверхні, якої досягла в Наразіхвиля є центрами вторинних сферичних хвиль. При цьому в однорідному середовищі вторинні хвилі випромінюються лише вперед.

Згідно з Френелем, хвильова поверхня в будь-який момент часу є результатом інтерференції когерентних вторинних хвиль.

Пояснення досвіду Юнга

Виникла відповідно до принципу Гюйгенса-Френеля сферична хвиля від отвору Sзбуджує в отворах S 1 і S 2 когерентні коливання. Внаслідок дифракції з отворів S 1 і S 2 виходять два світлові конуси, які частково перекриваються та інтерферують. В результаті інтерференції світлових хвиль на екрані з'являються світлі і темні смуги, що чергуються. При закриванні одного з отворів інтерференційні лінії зникають.

Дифракція виявляється в безпосередньої близькостівід перешкоди тільки в тому випадку, коли розміри перешкоди можна порівняти з довжиною хвилі (для видимого світлаλ ~ 100 нм).

Дифракція світла на одномірних дифракційних гратах.

Дифракційні грати– оптичний пристрій, що є сукупністю великої кількості паралельних, рівновіддалених один від одного щілин однакової ширини. Число штрихів може сягати 2000-3000 тисяч на 1 мм. Прозорі дифракційні гративиготовляють із прозорої твердої речовини, наприклад, плоскопаралельних скляних або кварцових пластинок. Алмазним різцем наносять штрихи. Там, де пройшовся різець, утворюється непрозора поверхня, що розсіює світло. Проміжки між штрихами грають роль щілин. Відбивні дифракційні гратиявляють собою дзеркальну (металеву) поверхню, яку нанесені паралельні штрихи. Світлова хвиля розсіюється штрихами окремі когерентні пучки, які, зазнавши дифракцію, на штрихах, інтерферують. Результуюча інтерференційна картина утворюється у відбитому світлі.

Якщо ширина прозорих щілин (або відбивних смуг) дорівнює а, а ширина непрозорих проміжків (або смуг, що розсіюють світло) bто величина називається періодомабо постійної дифракційної решітки.

Розглянемо дифракцію на прозорих дифракційних гратах. Нехай на ґрати падає плоска монохроматична хвиля завдовжки l. Для спостереження дифракції на близькій відстані за ґратами поміщають лінзу, що збирає, і за нею екран на фокусній відстані від лінзи. У кожній точці фокальної площини лінзи відбувається інтерференція Nхвиль, що приходять в цю точку від Nщілин решітки. Це так звана багатохвильова чи багатопроменева інтерференція. Виберемо деякий напрямок вторинних хвиль під кутом φ щодо нормалі до ґрат. Промені, що йдуть від крайніх точок двох сусідніх щілин, мають різницю ходу. Така сама різниця ходу буде для вторинних хвиль, що йдуть від інших пар точок сусідніх щілин, що віддаляються на відстань dодин від одного. Якщо ця різниця ходу кратна цілому довжини хвиль, то при інтерференції виникнуть головні максимуми:

–основна формула дифракційної решітки,

де k= 0, 1, 2… - порядок основних максимумів. На екрані спостерігаються вузькі однокольорові лінії (залежно від кольору хвилі, що падає). Лінія під кутом φ = 0 називається спектральною лінією першого порядку ( k= 0) з обох боків від неї симетрично розташовані спектральні лінії першого порядку ( k = 1, k= -1), другого порядку ( k = 2, k= -2) і т.д. Інтенсивність цих ліній у N 2 разів більше інтенсивності, що створюється у напрямку φ однією щілиною. Зі зростанням kспектральні лінії стають менш яскравими та перестають спостерігатися зовсім. Максимальна кількість ліній, що спостерігається, обмежується з наступних причин. По-перше, зі зростанням кута φ зменшується інтенсивність світла, що випускається окремою щілиною. По-друге, навіть дуже вузькі щілини із шириною близькою до λ , не можуть відхиляти світло під кутом більшим, ніж. Тому, . Збільшення числа щілин не змінює становища основних максимумів, але робить їх інтенсивнішими. При похилому падінні світла під кутом , умова основних максимумів має вид: .

Між головними максимумами з'являються додаткові мінімумичисло яких дорівнює N- 1, де N – загальне числощілин решітки. (На рис. зліва для N= 8 і N= 16 намальовані в повному обсязі додаткові мінімуми). Вони з'являються за рахунок взаємної компенсації хвиль від усіх Nщілин. Щоб Nхвиль погасили один одного, різниця фаз повинна відрізнятися на. А оптична різниця ходу, відповідно, має дорівнювати. Напрямки додаткових мінімумів визначаються умовою, де kнабуває цілих значень крім 0, N, 2N, 3N, ..., Тобто тих, за яких ця умова переходить в основну формулу дифракційної решітки.

Між додатковими мінімумами знаходиться N – 2 додаткових максимумів, інтенсивність яких дуже слабка.

При нормальному освітленні ґрат білим світлом на екрані спостерігається білий центральний максимум нульового порядку, а по обидва боки від нього – дифракційні спектри 1-го, 2-го тощо. порядків. Спектри мають вигляд райдужних смужок, у яких спостерігається безперервний перехід від фіолетового кольоруу внутрішнього краю спектра до червоного кольору у зовнішнього краю.

Зі спектрів 2-го і 3-го порядків починається їх часткове перекривання (т.к. виконується умова).

Спектроскопічними характеристиками решітки є роздільна здатність і кутова дисперсія.

Роздільна здатність дифракційної решітки– безрозмірна величина, де  - мінімальна різниця хвиль двох спектральних ліній, коли ці лінії сприймаються окремо, λ – середнє значення довжин хвиль цих ліній. Можна довести, що, де L- Ширина дифракційної решітки.

Кутова дисперсіяхарактеризує ступінь просторового (кутового) поділу світлових променів з різною довжиною хвилі: , де φ – кутова відстань між спектральними лініями, що відрізняються за довжиною хвилі на . Неважко довести, що.

Таким чином, грати є спектральним пристроєм, який можна використовувати в різних оптичних приладах, наприклад, дифракційних спектрофотометрах, в якості монохроматорів, тобто. пристроїв, що дозволяють освітлювати об'єкт світлом у вузькому діапазоні довжин хвиль.

Дифракційна решітка може бути використана для визначення довжини хвилі світла (за основною формулою дифракційної решітки). З іншого боку, основна формула дифракційних ґрат може бути використана для вирішення зворотної задачі – знаходження постійної дифракційної ґрати по довжині хвилі. Цей спосіб ліг в основу рентгеноструктурного аналізу - вимірювання параметрів кристалічних ґрат за допомогою дифракції рентгенівських променів. В даний час широко використовують рентгеноструктурний аналіз біологічних молекул та систем. Саме цим методом Дж. Вотсон та Ф. Крик встановили структуру молекули ДНК ( подвійна спіраль) і були удостоєні 1962 р. Нобелівської премії.

ВИЗНАЧЕННЯ

Дифракційні грати- це найпростіший спектральний прилад, що складається із системи щілин (прозорих для світла ділянок), та непрозорих проміжків, які можна порівняти з довжиною хвилі.

Одномірна дифракційна решітка складається з паралельних щілин однакової ширини, які лежать в одній площині, що поділяються однаковими по ширині непрозорими для світла проміжками. Найкращими вважаються відбивні дифракційні грати. Вони складаються із сукупності ділянок, що відбивають світло та ділянок, які світло розсіюють. Дані решітки є відшліфованими. металеві пластини, на які штрихи, що розсіюють світло, нанесені різцем.

Картиною дифракції на решітці є результат взаємної інтерференції хвиль, що йдуть від усіх щілин. За допомогою дифракційних грат реалізується багатопроменева інтерференція когерентних пучків світла, що зазнали дифракції і які йдуть від усіх щілин.

Характеристикою дифракційної решітки є її період. Періодом дифракційної решітки (d) (її постійної) називають величину, що дорівнює:

де a - ширина щілини; b - ширина непрозорої ділянки.

Дифракція на одномірних дифракційних гратах

Припустимо, що перпендикулярно до площини дифракційних ґрат падає світлова хвиляз довжиною. Так як щілини біля решітки розташовані на рівних відстаняходин від одного, то різниці ходу променів (), що йдуть від двох сусідніх щілин, для напрямку будуть однакові для всієї дифракційної решітки:

Головні мінімуми інтенсивності спостерігаються у напрямках, визначених умовою:

Крім головних мінімумів, в результаті взаємної інтерференції променів світла, що йдуть від двох щілин, у деяких напрямках промені гасять одне одного. Внаслідок цього виникають додаткові мінімуми інтенсивності. Вони з'являються у тих напрямках, де різницю ходу променів становлять непарне числонапівхвиль. Умовою додаткових мінімумів є формула:

де N - кількість щілин дифракційної решітки; - Цілі значення крім 0, У тому випадку, якщо решітка має N щілин, то між двома головними максимумами знаходяться додатковий мінімум, які поділяють вторинні максимуми.

Умовою головних максимумів для дифракційних ґрат є:

Величина синуса не може бути більше одиниці, то кількість основних максимумів:

Приклади розв'язання задач на тему «Дифракційні грати»

ПРИКЛАД 1

ПРИКЛАД 2