Фігури на металеву пластину від вібрації. Досліди, експерименти, теорія, практика, розв'язання задач

Вони часто є прикладом « природної краси» фізичних явищ, хоча за ними стоїть досить проста фізикарезонансного збудження стоячих хвиль. І мало хто звертає увагу на цікаву особливість цих постатей: лінії на них уникають перетинів, ніби їх відштовхує сила. Спробуймо зрозуміти, яка ж фізика ховається за цим відштовхуванням і як вона пов'язана з квантовою теорією хаосу. Як ми знаємо, пружні тіла можуть здійснювати досить складні коливання, у яких вони стискаються, розтягуються, згинаються і скручуються.

Тим не менш, коливання будь-якого пружного тіламожна як комбінацію накладающихся друг на друга простіших нормальних коливань. Ось так виглядають кілька нормальних коливань найпростішого пружного тіла – одномірної натягнутої струни.

Кожне нормальне коливання видається стоячою хвилею, яка, на відміну від хвилі, що біжить, стоїть на місці і володіє своїм малюнком розподілу амплітуд коливань по простору. На цьому малюнку можна виділити пучності– точки, де амплітуда коливань досягає максимумів, та вузли- Нерухомі точки, в яких амплітуда коливань дорівнює нулю.

Крім того, кожна така хвиля вагається зі своєю власною частотою. У разі струни, як можна помітити, частота коливань стоячої хвилі збільшується із зростанням числа вузлів та пучностей.

Подивимося тепер на двовимірну систему, прикладом якої може бути тонка пружна мембрана, натягнута на жорстку рамку. Нормальні коливання круглої мембрани виглядають складніше, ніж у разі струни, а замість окремих точок-вузлів є вузлові лінії, Уздовж яких мембрана нерухома.

Нормальні коливання круглої мембрани із закріпленими краями. .

Зеленим кольоромпоказано вузлові лінії.

У круглої мембрани вузлові лінії, що являють собою кола та відрізки вздовж радіусів, можуть перетинатися під прямими кутами. Якщо ж краї мембрани мають довільну форму, знаходження частот нормальних коливань і картин їх вузлів і пучностей перетворюються на завдання, яке вирішується лише за допомогою комп'ютера.

Профілі амплітуди коливань стоячих хвиль на мембранах у формі квадрата з отвором, сніжинки Коха та поверхні кошеня.

Рівняння, що описують коливання тонкої пружної пластинки, відрізняються від рівнянь коливання мембрани, оскільки пластинка має власну жорсткість, в той час як м'яка мембрана і пружинить лише за рахунок натягу зовнішніми силами. Однак тут теж існують набори нормальних коливань, малюнки яких істотно залежать від форми кордонів.

Фігури Холодні

Як було сказано вище, в загальному випадкуколивання тіла є комбінацією цілого набору порушених у ньому нормальних коливань. Явище резонансудозволяє вибірково порушити якесь одне потрібне нам нормальне коливання – для цього слід розгойдувати тіло за допомогою зовнішньої силиз частотою, що дорівнює своїй частоті нормального коливання.

На двох відео нижче показано типова схемаотримання фігур Холодні: пружна пластинка прикріплюється в центрі до генератора механічних коливань, частоту яких плавно збільшують. Нормальні коливання платівки зі своїми картинами вузлів і пучностей збуджуються при резонансному збігу частоти генератора з частотами цих коливань (власні частоти показано на відео в лівому нижньому кутку).

Декілька фігур Холодні на верхній деці гітари. .

Ще приклад нормальних хвиль – це стоячі хвилі лежить на поверхні води. Вони описуються рівнянням, що відрізняється від рівнянь коливання пластинок і мембран, але слідують тим самим якісним закономірностям, і з допомогою можна отримувати аналоги фігур Хладні.

Мікрочастинки на поверхні води в судинах різної форми. Чорна лінія показує масштаб 2 міліметри. .

Класичний хаос

Отже, бачили, що у разі круглої мембрани вузлові лінії – теоретично! – чудово перетинаються, водночас на фігурах Хладні на квадратних або складніших пластинках вузлові лінії уникають перетинів. Щоб зрозуміти причину цих закономірностей, нам доведеться зробити невеликий екскурсу теорію хаосу.

Найпростішими системами, на прикладі яких зручно вивчати хаос, є більярди – ділянки плоскої поверхні, Якими без тертя може котитися кулька, абсолютно пружно відскакує від жорстких стінок. У хаотичних більярдахтраєкторії руху кульки, що мають незначні відмінності на самому початку, надалі суттєво розходяться. Приклад хаотичного більярду – зображений нижче більярд Синаю, що є прямокутним більярдом з круговою перешкодою в центрі. Як ми побачимо, саме за рахунок цієї перешкоди більярд стає хаотичним.

Дві експоненційно розходяться траєкторії кульки в більярді Синаю. .

Інтегровані та хаотичні системи

Механічні системи, що не є хаотичними, називаються інтегрованими, і на прикладі більярдів можна наочно побачити різницю між інтегрованими та хаотичними системами.

Прямокутний і круглий більярди є інтегрованими завдяки своїй симетричної форми(***). Рух кульки у таких більярдах – це просто комбінація двох незалежних періодичних рухів. У прямокутному більярді це рухи з відскоками від стінок по горизонталі та по вертикалі, а круглому це рух уздовж радіусу та кутовий рухпо колу навколо центру. Такий рух легко прораховується і не показує хаотичної поведінки.

(***) Ще один приклад інтегрованого більярду – це більярд у формі еліпса. І тут симетрія, робить його інтегрованим, не настільки очевидна, як і кола і прямокутника.

Траєкторії руху кульки в більярдах, що інтегруються.

Більярди більше складної форми, що не мають такої високої симетрії, як у кола або прямокутника, є хаотичними (****) . Один із них ми бачили вище – це більярд Синаю, в якому симетрія прямокутника руйнується круговим включенням у центрі. Також часто розглядаються більярд «стадіон» та більярд у формі равлика Паскаля. Рух кульки в хаотичних більярдах відбувається за дуже заплутаними траєкторіями і не розкладається на простіші періодичні рухи.

(****) Якщо висловлюватися точніше, то приналежність більярду до інтегрованих чи хаотичних залежить від кількості незалежних інтегралів руху

Траєкторії руху кульки в хаотичних більярдах «стадіон» та «равлик Паскаля».

Тут можна вже здогадатися, що наявність перетинів між лініями на фігурах Хладні визначається тим, чи платівка має форму інтегрованого або хаотичного більярду. Це видно на фотографіях нижче.

Круглі пластинки Холодні, що демонструють властивості інтегрованих більярдів. .

Хвороби у формі більярду «стадіон», корпусу скрипки та квадрата, симетрія якого порушена круглим кріпленням у центрі (аналог більярду Синаю). .

Квантовий хаос

Як зрозуміти, чому наявність перетинів між вузловими лініями зумовлено інтегрованістю більярду? Для цього потрібно звернутися до квантової теорії хаосу, що поєднує теорію хаосу з механікою коливань та хвиль.

Якщо в класичної механікикулька в більярді описується у вигляді матеріальної точки, що рухається вздовж певної траєкторії, то в квантової механікийого рух описується як поширення хвилі, що підпорядковується рівнянню Шредінгера і відбивається від стінок більярду.

Етапи поширення хвилі у квантовому більярді. Спочатку хвиля сконцентрована в імпульсі круглої формиі рухається зліва направо, потім вона розпливається і багаторазово перебивається від стінок. .

Те саме у вигляді анімації, але з трохи іншими початковими умовами.

Як і у випадку коливань мембран і пластинок, що описує квантовий більярд рівняння Шредінгера дозволяє знайти нормальні коливання у вигляді стоячих хвиль, що володіють характерним малюнком вузлових ліній і пучностей, індивідуальним для кожного коливання і залежить від форми кордонів.

Приклади профілів амплітуд коливань у стоячих хвилях у хаотичних квантових більярдах «равлик Паскаля» та «стадіон».

Малюнки стоячих хвиль в інтегрованих і хаотичних квантових більярдах якісно відрізняються: інтегровані більярди показують симетричні, впорядковані картини стоячих хвиль, у той час як у хаотичних більярдах малюнки стоячих хвиль дуже заплутані і не показують ніяких видимих ​​закономірностей (наприкінці статті буде показано закономірності там таки існують).

Амплітуди коливань у стоячих хвилях інтегрованого круглого більярду (верхній ряд) та хаотичного більярду у формі равлика Паскаля (нижній ряд). .

Химерні картини нормальних коливань у хаотичних більярдах іноді служать предметом окремого дослідження. .

Якісна відмінність видно і в картинах вузлових ліній: у разі квантового більярду, що інтегрується, ми бачимо впорядковані сімейства взаємно перетинаютьсяліній, а в хаотичних більярдах ці лінії, як правило, не перетинаються.

Вгорі: вузлові лінії (чорні лінії між синіми та червоними областями) стоячих хвиль інтегрованих – круглого та прямокутного – більярдів. Внизу: вузлові лінії однієї із стоячих хвиль у хаотичному більярді – чверті більярду «стадіон».

Перетинатися чи не перетинатися?

Чому ж вузлові лінії у хаотичних більярдах не перетинаються? У 1976 році математик Карен Уленбек довів теорему, згідно з якою вузлові лінії стоячих хвиль квантових більярдів, взагалі кажучи, і не повинні перетинатися.

У класичній теорії хаосу цьому питанню присвячена знаменита теорія Колмогорова-Арнольда-Мозера. Вона свідчить, що й злегка порушити симетрію інтегрованої системи, вона стане відразу ж виявляти хаотичне поведінка, а, здебільшого, збереже свою властивість передбачуваності руху. На рівні квантової теорії хаосу та постатей Хладні це проявляється в тому, що в деяких місцях перетину вузлових ліній зберігаються. Це відбувається або особливо симетричних точкахбільярду, або далеко від джерела обурення, що порушує симетрію системи, що інтегрується.

Що ще?

Чим ще цікава квантова теоріяхаосу? Для зацікавленого читача згадаю про трьох додаткові питання, вже не пов'язані безпосередньо з фігурами Хладні.

1) Важливе явище, що вивчається цією теорією - універсальністьхаотичних систем Переважна більшість систем, в яких можуть виникати нормальні коливання є хаотичними, і всі вони – незалежно від своєї фізичної природи! - підкоряються однаковим закономірностям. Феномен універсальності, у якому абсолютно різні системиописуються одними і тими ж формулами, сам по собі дуже гарний і служить нам нагадуванням про математичну єдність фізичного світу.

Статистика відстаней між сусідніми частотами нормальних коливань у хаотичних системах різної фізичної природи, що скрізь описується однією і тією ж універсальною формулоюВігнер-Дайсон. .

2) Малюнки нормальних коливань хаотичних більярдів мають цікавою особливістюзваної «Квантові шрами». Ми бачили, що траєкторії руху кульки в хаотичному більярді зазвичай виглядають дуже заплутаними. Але є й винятки – це періодичні орбіти, досить прості та короткі замкнуті траєкторії, вздовж яких кулька здійснює періодичний рух. Квантовими шрамами називаються різкі згущення стоячих хвиль уздовж періодичних орбіт.

Квантові шрами в більярді стадіон, що йдуть уздовж періодичних орбіт, показаних червоними і зеленими лініями. .

3) Досі ми говорили про двовимірні системи. Якщо ж розглядати поширення хвиль у тривимірному просторі, то тут теж можуть виникати вузлові лінії, вздовж яких амплітуда коливань дорівнює нулю. Особливо важливо це при вивченні бозе-конденсації та надплинності, де тисячі атомів рухаються як єдині «хвилі матерії». Аналіз структури вузлових ліній хвиль матерії в тривимірному просторі необхідний, наприклад, для розуміння того, як виникає та розвивається квантова турбулентність у надплинних системах.

Заплутані тривимірні структури вузлових ліній стоячих «хвиль матерії» у бозе-конденсаті. .

Якщо розмір частинок, насипаних на платівку, досить малий, то їх буде здувати вже не до вузлів, а до пучок стоячої хвилі, як було показано в цій експериментальній роботі.

Хоча на обивницькому рівні слова «хаотичний» і «випадковий» часто використовуються як синоніми, на рівні фізики ці поняття суттєво відрізняються: хаотичні системи є детермінованими – це системи, рух яких описується суворо певними рівняннями, не схильний до впливу випадкових факторів і тому зумовлений початковими умовами . Проте труднощі передбачення руху хаотичних систем робить їх практично схожими на випадкові.

Ще один приклад інтегрованого більярду – це більярд у формі еліпса. І тут симетрія, робить його інтегрованим, не настільки очевидна, як і кола і прямокутника.

Якщо висловлюватися більш точно, то приналежність більярду до інтегрованих чи хаотичних залежить від кількості незалежних інтегралів руху – величин, що зберігаються з часом. Інтегровані більярди мають два інтеграли руху, в двовимірній системі цього достатньо для точного аналітичного рішеннярівнянь руху. Хаотичний більярд має лише один інтеграл руху – кінетичну енергіюкульки.

Експериментальна частина.

Досвід 1. Отримання фігур Хладні за допомогою звукового динаміка

Ціль : наочно продемонструвати появу фігур Хладні

Прилади: плоска скляна пластина, з розмірами 18 см на 22 см; товщина – 3 мм. Бляшана пластина з розмірами 20 см на 23 см; товщина-1,5 мм. Джерело гармонійних коливань- Динамік.

Для визначення форм коливань за допомогою піщаних фігур горизонтально встановлену та знежирену пластину посипали тонким шаром попередньо просіяного піску. При підході до резонансу пісок починає інтенсивно переміщатися пластиною, концентруючись у вузлах цієї форми коливань, тобто у місцях, які у коливань залишаються нерухомими. Після більш менш тривалого витримування об'єкта на резонансі на його поверхні з'являється чітка піщана фігура, що показує розташування вузлових ліній. Через 3,5 хвилини на скляній пластині вийшла наступна картина(Рис.1).На жерстяній пластині візерунок вийшов через 2 хвилини, т.к. вона тонша, ніж скляна і малюнок вийшов чіткіший.

Досвід № 2 Отримання фігур Холодні за допомогою звукового генератора.

Ціль: днадати досвідченим шляхом як залежить частота хвилі на кількість пучностей у малюнку.

Прилади: генератор звукових хвиль, динамік, аркуш паперу, пісок.

Хід роботи:

Розташували динамік на рівної поверхні, на нього поклали квадратний аркуш щільного паперу. На папір насипали тонким шаром річковий пісок. Лист повинен бути без вм'ятин, інакше в них збиратиметься пісок.

Підключаємо динамік до звукового генератора. Поетапно збуджуємо динамік на частотах 400Гц, 600Гц, 800Гц, 1000Гц, 2000Гц, 3000Гц і спостерігаємо за отримуваною картиною вузлів і пучностей з піску. Освіта картини відбувається за 45сек – 3 хв.

Фігури виходили лише у цьому діапазоні. Коли частота нижче 400Гц динамік починає "бити" по листу, через що пісок починав "стрибати" по поверхні, згодом малюнок не складався. Якщо частота вище 3000Гц, то зображення не складеться, тому що щільність листа буде занадто високою для частоти.

Результати досвіду:

𝝂= 400 Гц

𝝂= 600 Гц

𝝂= 800 Гц

𝝂= 1000 Гц

𝝂= 2000 Гц

𝝂= 3000 Гц

Висновок: Зміна збуджуваної частоти в динаміці спричиняє зміну картини вузлів і пучностей. Зі збільшенням частоти кількість пучностей та вузлів збільшується.

Досвід № 3 Отримання фігур Хладні на мембрані з сипучим матеріалом за допомогою духового інструменту.

Мета: отримати фігури Холодні за допомогою труби на мембрані із сипучим матеріалом.

Прилади: музичний інструмент - труба, мембрана (гумова рукавичка, повітряна куля), скляна чаша, пісок.

Хід роботи:

Натягуємо гумову мембрану на скляну чашу. Потім розміщуємо чашу на рівній поверхні. Розсипаємопісокрівним шаром на мембрані.

Трубу тримаємо з відривом 2-7 див від мембрани, під кутом 25-45 градусів. Під час звуковидобування, важливо, щоб звук був однієї амплітуди і частоти і тривалість ноти від 20сік до 40 сік, інакше очікувана картинка не вийде.

Спостерігається картина:

до

ре

ми

фа

Висновок: При різних частотах музичного інструментукартини фігур Холодні із сипучих матеріалів різна. Прості фігури викликаються низькими басовими нотами, а складніші утворюються при високих нотах.

Досвід № 4 Отримання фігур Хладні у рідині

Мета: отримати фігури Холодні на воді

Прилади: генератор звукових хвиль, динамік, скляна чаша, суміш води та крохмалю (або вода).

Хід роботи.

Розташували динамік на рівній поверхні, на нього поставили хащі з водою. Підключаємо динамік до звукового генератора і спостерігаємо за одержуваною картиною вузлів і пучностей із піску.

Результати досвіду:

Висновок: фігури Холодні можна спостерігати і в рідкому середовищі.

Використання фігур Хладні.

Пізніше Хладнієві фігури знайшлипрактичнезастосування при дослідженнівласнихчастот діафрагм, мікрофонів, а також нижньої деки струнних смичкових інструментів.Та й для любителів загадок є така історія. У Шотландії є рослинська капела св. Матвія, яка містить безліч таємниць та загадок, та ще більше легендпов'язане з її ім'ям. Зокрема, на одній з арок є 213 різьблених кам'яних кубів, з вирізаних на них геометричним малюнком. Багато дослідників намагалися зрозуміти, що зашифровано в малюнках на кубах. Відставний генерал ВПС Томас Мітчел зі своїм сином піаністом Стюартом Мітчелом запропонували оригінальний спосіброзшифрування послання. Вони зіставили геометричні малюнки з фігурами Хладні, і дійшли висновку, що у кубах записані частоти - ноти.

Зібравши ноти воєдино і творчо опрацювавши їх, вони представили світові твір -" " ( хоровий поліфонічний твір на вислів із Біблії).

Фігури Хладні використовуються в дефектоскопії (топографічний метод - заснований на збудженні у досліджуваному виробі потужних коливань заданої частоти з одночасною візуалізацією картини коливань контрольованої поверхні шляхом нанесення на неї порошку для дослідження виробу в цілому (наприклад, пластинки або оболонки).

Цікаво, що геометричні фігури, Які утворюються в результаті експерименту Хладні, наші предки використовували повсюдно. Ми можемо спостерігати їх у орнаментах прикрас житла, на колонах, стародавніх скульптурах і навіть на іконах. Це свідчить про те, що для людей, які жили в різний час і на різних континентахці зображення мали велике значенняі говорить про їхнє розуміння фізичних процесів, які відбуваються у невидимому світі.

Це говорить про те, що завдяки таким відкриттям, ми тільки підбираємося до того, щоб зрозуміти яке багате духовна спадщиназалишили люди минулих цивілізацій. Але все це можливо тільки в тому випадку, коли ми постійно розширюємо свій кругозір, аналізуємо, зіставляємо, а головне, кожного дня приділяємо увагу пізнанню внутрішнього світу, що дає можливість глибше зрозуміти себе, що оточують і події, що відбуваються.

Висновок:

Виходячи з їх дослідження, можна дійти невтішного висновку, що візуалізація звукових хвиль одна із найкрасивіших видовищ, яку можна побачити на власні очі з допомогою багатьох експериментів.

На основі вивчення та методів проведено досліди, що дозволили візуалізувати звукові хвилі за допомогою простих матеріалів та методи отримання фігур Хладні. З'ясовано залежність між характеристиками звукових хвиль. Так само дослідження допомогло зрозуміти, що зміна хвиль залежить від частоти вібрації, як і від амплітуди коливання. Фігури Холодні можна спостерігати у різних середовищах.

Або вузлових ліній на поверхні пружної пластинки, що коливається. Названі на честь німецького фізика Ернста Хладні, який виявив їх. Ефекти, що є причинами виникнення фігур Хладні, вивчаються фізикою, а також кіматикою (у наукових публікаціяхтермін "кіматика" практично не використовується).

Розташування частинок

Відносно великі частинки збираються у вузлових лініях, де амплітуда коливань нульова або відносно мала (це явище спостерігав Хладні). Якщо частки щодо малі, всі вони збираються над вузлах, а пучностях (це явище було помічено Саваром і пояснено Фарадеєм як наслідок акустичних течій у навколишній платівку середовищі, наприклад, повітрі) . У разі мікро- та наночастинок, не видимих неозброєним окомтакож встановлено залежність місця концентрації частинок від їх розміру .

Галерея зображень фігур Хладні

Фігури Холодні на квадратній пластині, закріпленій у центрі, отримані на різних модахвагань

Chladni pattern 1.jpg

Chladni pattern 2.jpg

Chladni pattern 3.jpg

Chladni pattern 4.jpg

Див. також

• Зовні схожі явища, викликані іншими причинами:
  • Формування ребристого піщаного днаі Гігантська брижі течії

Напишіть відгук про статтю "Фігури Хладні"

Посилання

• Відео на YouTube.
• Відео на YouTube.
• Астронет.

Примітки

Уривок, що характеризує Фігури Холодні

ХОЛОДНІ ФІГУРИ

Фігури, що утворюються скупченням дрібних ч-цсухого піску поблизу вузлових ліній на

поверхні пластинки, що коливається, або ін. механич. системи. X. ф. відкриті ньому. вченим Е. Ф. Хладні (Е. F. Chladni; 1787). Кожному прив. коливанню (стоячій хвилі) платівки відповідає своє розташування вузлових ліній. У разі круглої пластинки (рис. 1, а) вузлові лінії

можуть бути круговими чи радіальними; у разі прямокутної (рис. 1 б) або трикутної пластинки вони спрямовані паралельно сторонам або діагоналям. Змінюючи точки закріплення та місця збудження, можна отримати різноманітні X. ф. (Рис. 2). X. ф. використовуються в дефектоскопії (топографічний метод) для дослідження виробу в цілому (напр., пластинки або оболонки).

• - Постаті, встановлені геральдикою та зображені на частинах поля герба. Діляться на головні та другорядні. До головних Г. Ф. відносять главу, пояс, перев'язок, хрест та ін.

  Енциклопедія моди та одягу

• - : Дивись також: - фігури удару - полюсні фігури - фігури...

  Енциклопедичний словникз металургії

• - Німецький фізик, засновник експериментальної акустики, іноземний член-кореспондент Петербурзької АН. Досліджував форми коливань різних тіл; описав фігури, названі його ім'ям.
• - фігури, що утворюються скупченням дрібних частиноксухого піску поблизу вузлових ліній на поверхні пластинки, що коливається, або подібної до неї механічної системи. Описані в 1787 Е. Ф. Хладні...

  Великий енциклопедичний словник

• - якщо витравляти, напр., слабкої азотної або соляною кислотоювідшліфовану поверхню метеорного заліза, виходить на ній своєрідний візерунок, що складається з прямолінійних тонких рисочок, що перетинаються під...
• - - Два трикутника ABCі abc називають Г., якщо прямі лінії Аа, Bb, Cc, що з'єднують їх відповідні вершини, перетинаються в одній точці. Ця точка називається центром гомології.

  Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• - дві гомологічні фігури називаються Г., якщо відстані відповідних точокдо центру пропорційні...

  Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• - див. Поляризація світла.

  Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• - протестантський богослов. Вимушений залишити батьківщину, внаслідок гонінь на протестантів, він переселився в Герліц, а потім у Гаусвальд, де був проповідником...

  Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• - видатний вчений, який прославився, головним чином, своїми дослідженнями в галузі акустики. Народився 30 листопада 1756 р. у Віттенберзі у Саксонії. Помер 3 квітня 1827 р. у Бреславлі...

  Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• - Ернст Флоренс Фрідріх, німецький вчений у галузі експериментальної акустики та метеоритики. За бажання батька, відомого юриста, вивчав право у Віттенберзі та Лейпцигу.
• - фігури, що утворюються скупченням дрібних частинок сухого піску поблизу вузлових ліній на поверхні пружної пластинки, що коливається, або подібної до неї механічної системи.

  Велика Радянська енциклопедія

• - Хладні, Ернст Флоренс Фрідріх, німецький вчений у галузі експериментальної акустики та метеоритики. За бажання батька, відомого юриста, вивчав право у Віттенберзі та Лейпцигу.

  Велика Радянська Енциклопедія

• - У випадку будь-які мовні звороти, що відступають від природної норми. Ф., писав Квінтиліан, «якийсь мовний зворот, від загального і звичайного способу пояснення думок відступає»...

  Педагогічне мовлення. Словник-довідник

• - Прибайк. Здійснювати безглузді невиправдані вчинки, вередувати. РНФП, 143...

  Великий словникросійських приказок

"ХОЛОДНІ ФІГУРИ" у книгах

Нові фігури