Як знайти прискорення тіла. Формули прискорення у фізиці: лінійне та доцентрове прискорення

Поступальний та обертальний рух

Поступальнимназивається такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, проведена в цьому тілі, переміщається, залишаючись паралельною своєму початковому напрямку.

Поступальний рух не слід змішувати з прямолінійним. При поступальному русі тіла траєкторії його точок може бути будь-якими кривими лініями.

обертальним рухомтвердого тіла навколо нерухомої осі називається такий його рух, при якому якісь дві точки, що належать тілу (або незмінно з ним пов'язані), залишаються у весь час руху нерухомими

Швидкість- це ставлення пройденого шляху до часу, протягом якого цей шлях пройдено.
Швидкість так само- це сума початкової швидкостіі прискорення помноженого на якийсь час.
Швидкість- добуток кутової швидкості на радіус кола.

v=S/t
v=v 0 +a*t
v=ωR

Прискорення тіла, при рівноприскореному русі - Величина, рівна відношеннюзміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася.

Тангенційне (дотичне) прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем при криволінійному русі.

Рис. 1.10. Тангенційне прискорення.

Напрямок вектора тангенціального прискорення (див. рис. 1.10) збігається з напрямом лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто вектор тангенціального прискорення лежить на одній осі з дотичного кола, яке є траєкторією руху тіла.

Нормальне прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж нормалі траєкторії руху в даній точці на траєкторії руху тіла. Тобто вектор нормального прискорення перпендикулярний до лінійної швидкості руху (див. рис. 1.10). Нормальне прискорення характеризує зміна швидкості за напрямом і позначається літерою n. Вектор нормального прискорення спрямований радіусом кривизни траєкторії.

Повне прискоренняпри криволінійному русі складається з тангенціального та нормального прискорень по правилу складання векторіві визначається формулою:

(згідно з теоремою Піфагора для прямокутного прямокутника).

Напрям повного прискореннятакож визначається правилом складання векторів:

Кутовою швидкістюназивається Векторна величина, рівна першій похідній кута повороту тіла за часом:

v=ωR

Кутовим прискореннямназивається векторна величина, що дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом:

Рис.3

При обертанні тіла навколо нерухомої осі вектор кутового прискорення ε спрямований уздовж осі обертання у бік вектора елементарного збільшення кутової швидкості. При прискореному русі вектор ε сонаправлений вектору ω (Мал. 3), при уповільненому - протиспрямований йому (Мал. 4).

Рис.4

Тангенціальна складова прискорення a = dv/dt , v = R і

Нормальна складова прискорення

Значить, зв'язок між лінійними (довжина шляху s, пройденого точкою по дузі кола радіуса R, лінійна швидкість v, тангенціальне прискоренняа τ, нормальне прискоренняа n) та кутовими величинами(Кут повороту φ, кутова швидкістьω, кутове прискорення ε) виражається такими формулами:

s = R?, v = R?, а? = R?, a n =? 2 R.
В разі рівнозмінного рухуточки по колу (ω=const)

ω = ω 0 ± ?t, φ = ω 0 t ± ?t 2 /2,
де 0 - початкова кутова швидкість.

При прямолінійному рівноприскореному русі тіло

1. рухається вздовж умовної прямої лінії,
2. його швидкість поступово збільшується або зменшується,
3. за рівні проміжки часу швидкість змінюється на рівну величину.

Наприклад, автомобіль зі стану спокою починає рухатися прямою дорогою, і до швидкості, скажімо, в 72 км/год він рухається рівноприскорено. Коли задана швидкість досягнуто, то автомобіль рухається без зміни швидкості, тобто рівномірно. За рівноприскореного руху його швидкість зростала від 0 до 72 км/год. І нехай за кожну секунду руху швидкість зростала на 3,6 км/год. Тоді час рівноприскореного руху авто дорівнюватиме 20 секунд. Оскільки прискорення СІ вимірюється в метрах на секунду в квадраті, то треба прискорення 3,6 км/год за секунду перевести у відповідні одиниці вимірювання. Воно дорівнюватиме (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2 .

Припустимо, через якийсь час їзди з постійною швидкістюавтомобіль почав гальмувати, щоб зупинитись. Рух при гальмуванні теж був прискореним (за рівні проміжки часу швидкість зменшувалася на однакову величину). У даному випадкувектор прискорення буде протилежний вектору швидкості. Можна сміливо сказати, що прискорення негативне.

Отже, якщо початкова швидкість тіла нульова, то його швидкість через час у t секунд дорівнюватиме твору прискорення на цей час:

При падінні тіла "працює" прискорення вільного падіння, і швидкість тіла біля поверхні землі визначатиметься за формулою:

Якщо відома поточна швидкість тіла і час, який знадобився, щоб розвинути таку швидкість стану спокою, то можна визначити прискорення (тобто як швидко змінювалася швидкість), розділивши швидкість на час:

Однак тіло могло почати рівноприскорений рух не зі стану спокою, а вже маючи якусь швидкість (або йому надали початкову швидкість). Допустимо, ви кидаєте камінь з вежі вертикально вниз з додатком сили. На таке тіло діє прискорення вільного падіння, що дорівнює 9,8 м/с 2 . Однак ваша сила надала каменю ще швидкості. Таким чином, кінцева швидкість (у момент торкання землі) складатиметься зі швидкості, що розвинулася внаслідок прискорення та початкової швидкості. Таким чином, кінцева швидкість перебуватиме за формулою:

Однак, якщо камінь кидали нагору. То початкова швидкість спрямована вгору, а прискорення вільного падіння вниз. Тобто вектора швидкостей спрямовані в протилежні сторони. У цьому випадку (а також при гальмуванні) добуток прискорення на якийсь час треба віднімати з початкової швидкості:

Отримаємо з цих формул формули прискорення. У разі прискорення:

at = v - v 0
a = (v - v 0) / t

У разі гальмування:

at = v 0 - v
a = (v 0 - v) / t

У разі коли тіло рівноприскорено зупиняється, то в момент зупинки його швидкість дорівнює 0. Тоді формула скорочується до такого виду:

Знаючи початкову швидкість тіла та прискорення гальмування, визначається час, через який тіло зупиниться:

Тепер виведемо формули для шляху, яке тіло проходить при прямолінійному рівноприскореному русі. Графіком залежність швидкості від часу при рівномірному прямолінійному русі є відрізок, паралельний осі часу (зазвичай береться вісь x). Шлях у своїй обчислюється як площа прямокутника під відрізком. Тобто множенням швидкості тимчасово (s = vt). При прямолінійному рівноприскореному русі графіком є ​​пряма, але не паралельна осічасу. Ця пряма або збільшується у разі прискорення, або зменшується у разі гальмування. Однак шлях також визначається як площа постаті під графіком.

При прямолінійному рівноприскореному русі ця фігура є трапецією. Її основами є відрізок на осі y (швидкість) та відрізок, що з'єднує точку кінця графіка з її проекцією на вісь x. Боковими сторонами є сам графік залежності швидкості від часу та його проекція на вісь x (вісь часу). Проекція на вісь x – це не тільки бічна сторона, Але ще й висота трапеції, тому що перпендикулярна його основ.

Як відомо, площа трапеції дорівнює напівсумі підстав на висоту. Довжина першої основи дорівнює початковій швидкості (v 0), довжина другої основи дорівнює кінцевої швидкості(v), висота дорівнює часу. Таким чином отримуємо:

s = ½ * (v 0 + v) * t

Вище була дана формула залежності кінцевої швидкості від початкової та прискорення (v = v 0 + at). Тому у формулі шляху ми можемо замінити v:

s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2

Отже, пройдений шлях визначається за такою формулою:

s = v 0 t + at 2/2

(До цієї формули можна прийти, розглядаючи не площу трапеції, а підсумовуючи площі прямокутника і прямокутного трикутника, на які розбивається трапеція.)

Якщо тіло почало рухатись рівноприскорено зі стану спокою (v 0 = 0), то формула шляху спрощується до s = at 2/2.

Якщо вектор прискорення протилежний швидкості, то добуток at 2 /2 треба віднімати. Зрозуміло, що при цьому різниця v 0 t і at 2/2 не повинна стати негативною. Коли вона стане рівною нулю, тіло зупиниться. Буде знайдено шлях гальмування. Вище було наведено формулу часу до зупинки (t = v 0 /a). Якщо підставити у формулу шляху значення t, шлях гальмування наводиться до такої формули.

Швидкість є функцією часу та визначається як абсолютною величиною, і напрямом. Часто в завданнях з фізики потрібно знайти початкову швидкість (її величину і напрямок), якою об'єкт, що вивчається, мав у нульовий момент часу. Для обчислення початкової швидкості можна використовувати різні рівняння. Грунтуючись на даних, наведених в умові завдання, ви можете вибрати найбільш підходящу формулу, яка дозволить легко отримати відповідь.

Кроки

Знаходження початкової швидкості по кінцевій швидкості, прискорення та часу

1. При вирішенні фізичного завданняпотрібно знати, яка формула вам знадобиться. Для цього насамперед слід записати всі дані, наведені за умови завдання. Якщо відомі кінцева швидкість, прискорення та час, для визначення початкової швидкості зручно використовувати наступне співвідношення:

   • V i = V f - (a * t)
   • • V i- Початкова швидкість
     • V f- Кінцева швидкість
     • a- прискорення
     • t- час
   • Зверніть увагу, що це стандартна формула, що використовується для обчислення початкової швидкості.

2. Виписавши всі вихідні дані та записавши необхідне рівняння, можна підставити до нього відомі величини. Важливо уважно вивчити умову завдання та акуратно записувати кожен крок під час її вирішення.

   • Якщо ви де-небудь припустилися помилки, то легко зможете знайти її, переглянувши свої записи.

3. Розв'яжіть рівняння.Підставивши у формулу відомі значення, скористайтесь стандартними перетвореннямидля отримання результату. Якщо можна, використовуйте калькулятор, щоб знизити ймовірність прорахунків під час обчислень.

   • Припустимо, що об'єкт, рухаючись на схід із прискоренням 10 метрів на секунду у квадраті протягом 12 секунд, розігнався до кінцевої швидкості 200 метрів на секунду. Потрібно знайти початкову швидкість об'єкта.
     • Запишемо вихідні дані:
     • V i = ?, V f= 200 м/с, a= 10 м/с 2 t= 12 с
   • Помножимо прискорення на час: a * t = 10 * 12 =120
   • Віднімемо отримане значення з кінцевої швидкості: V i = V f - (a * t) = 200 – 120 = 80 V i= 80 м/с на схід
   • м/с

Знаходження початкової швидкості по пройденому шляху, часу та прискоренню

1. Використовуйте відповідну формулу.При вирішенні будь-якої фізичної задачі необхідно вибрати відповідне рівняння. Для цього насамперед слід записати всі дані, наведені за умови завдання. Якщо відомі пройдена відстань, час та прискорення, для визначення початкової швидкості можна використовувати наступне співвідношення:

   • У цю формулу входять такі величини:
     • V i- Початкова швидкість
     • d- пройдена відстань
     • a- прискорення
     • t- час

2. Підставте формулу відомі величини.

   • Припустившись помилки у рішенні, ви зможете легко знайти її, переглянувши свої записи.

3. Розв'яжіть рівняння.Підставивши формулу відомі значення, скористайтеся стандартними перетвореннями для знаходження відповіді. Якщо можливо, використовуйте калькулятор, щоб зменшити ймовірність прорахунків під час обчислень.

   • Припустимо, об'єкт рухається в західному напрямкуз прискоренням 7 метрів за секунду у квадраті протягом 30 секунд, пройшовши при цьому 150 метрів. Необхідно обчислити його початкову швидкість.
     • Запишемо вихідні дані:
     • V i = ?, d= 150 м, a= 7 м/с 2 t= 30 с
   • Помножимо прискорення на час: a * t = 7 * 30 = 210
   • Поділимо твір на два: (a * t) / 2 = 210 / 2 = 105
   • Поділимо відстань на час: d/t = 150 / 30 = 5
   • Віднімемо першу величину з другої: V i = (d / t) - [(a * t) / 2] = 5 – 105 = -100 V i= -100 м/с у західному напрямку
   • Запишіть відповідь у правильному вигляді. Необхідно вказати одиниці виміру, у нашому випадку метри за секунду, або м/с, а також напрямок руху об'єкта. Якщо ви не вкажете напрямок, відповідь буде неповною, містить лише величину швидкості без інформації про те, в якому напрямку рухається об'єкт.

Знаходження початкової швидкості по кінцевій швидкості, прискорення та пройденого шляху

1. Використовуйте відповідне рівняння.Для вирішення фізичного завдання необхідно вибрати відповідну формулу. Насамперед слід записати всі початкові дані, зазначені в умові завдання. Якщо відома кінцева швидкість, прискорення та пройдена відстань, для визначення початкової швидкості зручно використовувати наступне співвідношення:

   • V i = √
   • Ця формула містить такі величини:
     • V i- Початкова швидкість
     • V f- Кінцева швидкість
     • a- прискорення
     • d- пройдена відстань

2. Підставте формулу відомі величини.Після того, як ви виписали всі вихідні дані і записали необхідне рівняння, можна підставити відомі величини. Важливо уважно вивчити умову завдання та акуратно записувати кожен крок під час її вирішення.

   • Припустившись де-небудь помилки, ви зможете легко знайти її, переглянувши хід рішення.

3. Розв'яжіть рівняння.Підставивши формулу відомі значення, скористайтеся необхідними перетвореннями для отримання відповіді. По можливості використовуйте калькулятор, щоб зменшити ймовірність прорахунків під час обчислень.

   • Припустимо, об'єкт рухається у північному напрямку із прискоренням 5 метрів за секунду у квадраті і, подолавши 10 метрів, має кінцеву швидкість 12 метрів за секунду. Потрібно знайти його початкову швидкість.
     • Запишемо вихідні дані:
     • V i = ?, V f= 12 м/с, a= 5 м/с 2 d= 10 м
   • Зведемо в квадрат кінцеву швидкість: V f 2= 12 2 = 144
   • Помножимо прискорення на пройдену відстань і на 2: 2 * a * d = 2 * 5 * 10 = 100
   • Віднімемо результат множення з квадрата кінцевої швидкості: V f 2 - (2 * a * d) = 144 – 100 = 44
   • Вилучимо квадратний коріньз отриманого значення: = √ = √44 = 6,633 V i= 6,633 м/с у північному напрямку
   • Запишіть відповідь у правильному вигляді. Необхідно вказати одиниці виміру, тобто метри за секунду, або м/с, а також напрямок руху об'єкта. Якщо ви не вкажете напрямок, відповідь буде неповною, містить лише величину швидкості без інформації про те, в якому напрямку рухається об'єкт.

Наступний крок по дорозі до рівнянь руху - це запровадження величини, що з зміною швидкості руху. Звичайно запитати: а як змінюється швидкість руху? У попередніх розділахми розглядали випадок, коли чинна сила призводила до зміни швидкості. Бувають легкові машини, які набирають із місця за швидкість. Знаючи це, ми можемо визначити, як змінюється швидкість, але у середньому. Займемося наступним більше складним питанням: як дізнатися швидкість зміни швидкості Інакше кажучи, скільки метрів на секунду змінюється швидкість за . Ми вже встановили, що швидкість тіла, що падає, змінюється з часом за формулою (див. табл. 8.4), а тепер хочемо з'ясувати, наскільки вона змінюється за . Ця величина називається прискоренням.

Таким чином, прискорення визначається як швидкість зміни швидкості. Всім сказаним раніше ми вже достатньо підготовлені до того, щоб одразу записати прискорення у вигляді похідної від швидкості, так само, як швидкість записується у вигляді похідної від відстані. Якщо тепер продиференціювати формулу, то отримаємо прискорення падаючого тіла

(При диференціюванні цього виразу використовувався результат, отриманий нами раніше. Ми бачили, що похідна від дорівнює просто (постійної). Якщо ж вибрати цю постійну дорівнює 9,8, то відразу знаходимо, що похідна від дорівнює 9,8.) Це означає, що швидкість падаючого тіла постійно зростає на кожну секунду. Цей результат можна отримати і з табл. 8.4. Як бачите, у разі падаючого тіла все виходить досить просто, але прискорення взагалі кажучи, непостійне. Воно вийшло постійним лише тому, що постійна сила, що діє на тіло, що падає, а за законом Ньютона прискорення має бути пропорційно силі.

В якості наступного прикладузнайдемо прискорення у тій задачі, з якою ми вже мали справу щодо швидкості:

.

Для швидкості ми отримали формулу

Оскільки прискорення - це похідна швидкості за часом, то, щоб знайти його значення, потрібно продиференціювати цю формулу. Згадаймо тепер одне із правил табл. 8.3, саме що похідна суми дорівнює сумі похідних. Щоб продиференціювати перший з цих членів, ми будемо робити всю довгу процедуру, яку робили раніше, а просто нагадаємо, що такий квадратичний члензустрічався нам при диференціюванні функції , причому в результаті коефіцієнт подвоювався, а перетворювалося на . Ви можете переконатися в тому, що те саме відбудеться і зараз. Таким чином, похідна від буде дорівнює . Перейдемо тепер до диференціювання другого доданку. За одним із правил табл. 8.3 похідна від постійної буде банкрутом, отже, цей член не дасть у прискорення жодного внеску. Остаточний результат: .

Виведемо ще дві корисні формули, що виходять інтегруванням. Якщо тіло зі стану спокою рухається з постійним прискоренням, то його швидкість у будь-який момент часу дорівнюватиме

а відстань, пройдена ним до цього моменту часу,

Зауважимо ще, що оскільки швидкість - це , а прискорення - похідна швидкості за часом, можна написати

. (8.10)

Тож тепер ми знаємо, як записується друга похідна.

Існує, звичайно, і Зворотній зв'язокміж прискоренням і відстанню, яка просто випливає з того, що . Оскільки відстань є інтегралом від швидкості, воно може бути знайдено подвійним інтегруванням прискорення. Весь попередній розгляд був присвячений руху в одному вимірі, а тепер ми коротко зупинимося на русі в просторі трьох вимірів. Розглянемо рух частинки в тривимірному просторі. Ця глава почалася з обговорення одновимірного руху легкової машини, саме з питання, якій відстані з початку руху перебуває машина у різні моменти часу. Потім ми обговорювали зв'язок між швидкістю та зміною відстані з часом та зв'язок між прискоренням та зміною швидкості. Давайте в тій же послідовності розберемо рух у трьох вимірах. Простіше, однак, почати з наочнішого двовимірного випадку, а вже потім узагальнити його на випадок трьох вимірювань. Намалюємо дві лінії, що перетинаються під прямим кутом (осі координат) і будемо задавати положення частинки в будь-який момент часу відстанями від неї до кожної з осей. Таким чином, положення частки визначається двома числами (координатами) і , кожне з яких є відповідно відстанню до осі і до осі (фіг. 8.3). Тепер ми можемо описати рух, складаючи, наприклад, таблицю, де ці дві координати задані як функції часу. (Узагальнення на тривимірний випадок вимагає введення ще однієї осі, перпендикулярної двом першим, і виміру ще однієї координати. Однак тепер відстані беруться не до осей, а до координатних площин.) Як визначити швидкість частки? Для цього ми спочатку знайдемо складові швидкості в кожному напрямку, або її компоненти. Горизонтальна складова швидкості, або -компонента, дорівнюватиме похідної за часом від координати , тобто.

а вертикальна складова, або -компонента, дорівнює

У разі трьох вимірів необхідно ще додати

Фігура 8.3. Опис руху тіла на площині та обчислення його швидкості.

Як, знаючи компоненти швидкості, визначити повну швидкість у напрямку руху? Розглянемо у двовимірному випадку два послідовні положення частинки, розділених коротким інтервалом часу та відстанню . З фіг. 8.3 видно, що

(8.14)

(Значок відповідає виразу «приблизно одно».) Середня швидкістьпротягом інтервалу виходить простим розподілом: . Щоб знайти точну швидкість у момент, потрібно, як це вже робилося на початку глави, спрямувати до нуля. В результаті виявляється, що

. (8.15)

У тривимірному випадку таким самим способом можна отримати

(8.16)

. Що це за рух? Так як

Цей зв'язок між координатами і можна розглядати як рівняння траєкторії руху кульки. Вели зобразити її графічно, то отримаємо криву, яка називається параболою (фіг. 8.4). Так що будь-яке тіло, що вільно падає, будучи кинутим в деякому напрямку, рухається по параболі.

Як відомо, рух у класичної фізикиописується другим законом Ньютона. Завдяки цьому закону запроваджується поняття прискорення тіла. У цій статті розглянемо основні у фізиці, які використовують поняття чинної сили, швидкості та пройденого тілом шляху.

Поняття про прискорення через другий закон Ньютона

Якщо на деяке фізичне тіломасою m діє зовнішня сила F, то за відсутності інших впливів на нього, можна записати наступну рівність:

Тут a¯ - назва лінійного прискорення. Як видно з формули, воно прямо пропорційне зовнішньої сили F¯, оскільки масу тіла можна вважати величиною постійною при швидкостях набагато менших швидкості поширення електромагнітних хвиль. Крім того, вектор a збігається у напрямку з F.

Наведений вираз дозволяє записати першу формулу прискорення у фізиці:

a = F / m або a = F / m

Тут другий вираз записано у скалярній формі.

Прискорення, швидкість та пройдений шлях

Ще один спосіб знайти лінійне прискорення полягає в дослідженні процесу руху тіла по прямій траєкторії. Такий рух прийнято описувати такими характеристиками, як швидкість, час та пройдений шлях. І тут прискорення розуміється як швидкість зміни самої швидкості.

Для прямолінійного переміщенняоб'єктів справедливі такі формули у скалярній формі:

2) a cp = (v 2 -v 1)/(t 2 -t 1);

3) a cp = 2*S/t 2

Перше вираз є воно визначається як похідна швидкості за часом.

Друга формула дозволяє розрахувати середнє прискорення. Тут розглядається два стани об'єкта, що рухається: його швидкість в момент v 1 часу t 1 і аналогічна величина v 2 в момент часу t 2 . Час t 1 і t 2 відраховується від деякої початкової події. Зазначимо, що середнє прискорення характеризує цю величину на розглянутому часовому проміжку. Всередині ж його значення миттєвого прискоренняможе змінюватись і значно відрізнятися від середнього a cp.

Третя формула прискорення у фізиці дає можливість визначати також a cp , але через пройдений шлях S. Формула справедлива, якщо тіло починало руху з нульової швидкості, тобто коли t=0, v 0 =0. Цей тип руху називають рівноприскореним. Його яскравим прикладомє падіння тіл у полі гравітації нашої планети.

Рух по колу рівномірний та прискорення

Як було сказано, прискорення є вектором і за визначенням є зміною швидкості за одиницю часу. В разі рівномірного рухупо колу модуль швидкості не змінюється, проте постійно змінює напрямок його вектор. Цей факт призводить до виникнення специфічного видуприскорення, що отримало назву доцентрового. Воно спрямоване до центру кола, за яким тіло здійснює рух, і визначається за формулою:

a c = v 2 /r, де r – радіус кола.

Ця формула прискорення у фізиці демонструє, що його значення зі зростанням швидкості зростає швидше, ніж із зменшенням радіусу кривизни траєкторії.

Прикладом прояву a c є рух автомобіля, що входить у поворот.