Визначення кола та кола. Окружність

Форми кола, кола ми зустрічаємо всюди: це колесо машини, лінія горизонту, і диск Місяця. Математики почали займатися геометричною фігурою – навколо на площині – дуже давно.

Кругом з центром $O$ і радіусом $R$ називається безліч точок площини, віддалених від $O$ на відстань, не більше $R. .$ Відрізки, що з'єднують центр з точками кола, мають довжину $R$ і також називаються радіусами (кола, кола). Частини кола, куди він ділиться двома радіусами, називаються круговими секторами (рис. 1). Хорда – відрізок, що з'єднує дві точки кола, – ділить коло на два сегменти, а коло – на дві дуги (рис. 2). Перпендикуляр, проведений з центру до хорди, ділить її і дуги, що стягуються нею, навпіл. Хорда тим довша, чим ближче вона розташована до центру; найдовші хорди – хорди, що проходять через центр, – називаються діаметрами (кола, кола).

Якщо пряма віддалена від центру кола на відстань $d,$ при $d > R$ вона перетинається з колом, при $d

Дуги кола, як і кути, можна вимірювати в градусах та його частках. За градус приймають $1/360$ частину всього кола. Центральний кут $AOB$ (рис. 3) вимірюється тим самим числом градусів, як і дуга $AB,$ яку він спирається; вписаний кут $ACB$ вимірюється половиною дуги $AB.$ Якщо вершина $P$ кута $APB$ лежить усередині кола, то цей кут у градусній мірі дорівнює напівсумідуг $AB$ і $A′B′$ (рис. 4, а). Кут з вершиною $P$ поза коло (рис. 4, б), що висікає на колі дуги $AB$ і $A′B′,$ вимірюється напіврізністю дуг $A′B′$ і $AB.$ Нарешті, кут між дотичною і хордою дорівнює половині укладеної між ними дуги кола (рис. 4, в).

Коло і коло мають безліч осей симетрії.

З теорем про вимірювання кутів і подоби трикутників випливають дві теореми про пропорційних відрізкаху колі. Теорема про хордах каже, що й точка $М$ лежить усередині кола, то добуток довжин відрізків $AM⋅BM$ проходять через неї хорд постійно. На рис. 5, а $AM⋅BM=A′M′⋅B′M.$ Теорема про січну і дотичну (маються на увазі довжини відрізків - частин цих прямих) стверджує, що якщо точка $М$ лежить поза коло, то добуток сіючої $ МА$ на її зовнішню частину$MB$ теж незмінно і дорівнює квадрату щодо $MC$ (рис. 5, б).

Ще в давнину намагалися вирішити завдання, пов'язані з колом, - виміряти довжину кола чи його дуги, площу кола чи сектора, сегмента. Перша з них має суто «практичне» рішення: можна укласти вздовж кола нитку, а потім розгорнути її і прикласти до лінійки або ж відзначити на колі крапку і «прокатати» її вздовж лінійки (можна, навпаки, «обкотити» лінійкою коло). Так чи інакше виміри показували, що відношення довжини кола $L$ до її діаметра $d=2R$ те саме для всіх кіл. Це ставлення прийнято позначати грецькою літерою$π$ («пі» - початкова літерагрецького слова perimetron, яке означає «коло»).

Однак давньогрецьких математиківтакий емпіричний, досвідчений підхід до визначення довжини кола не задовольняв: коло - це лінія, тобто, за Евклідом, "довжина без ширини", а таких ниток не буває. Якщо ж ми котимо коло по лінійці, виникає питання: чому при цьому ми отримаємо довжину кола, а не якусь іншу величину? До того ж, такий підхід не дозволяв визначити площу кола.

Вихід був знайдений такий: якщо розглянути вписані в коло $K$ правильні $n$‑кутники $M_n,$ то при $n,$ прагне до нескінченності, $M_n$ у межі прагнуть $K.$ Тому природно ввести наступні, вже строгі, визначення: довжина кола $L$ - це межа послідовності периметрів $P_n$ правильних вписаних в коло $n$-кутників, а площа кола $S$ - межа послідовності $S_n$ їх площ. Такий підхід прийнято і в сучасної математики, причому по відношенню не тільки до кола та кола, але й до інших кривих або обмежених криволінійними контурами областей: замість правильних багатокутниківрозглядають послідовності ламаних з вершинами на кривих чи контурах областей, а межа береться при прагненні довжини найбільшої ланки ламаної до нуля.

Аналогічним чином визначається довжина дуги кола: дуга поділяється на n рівних частин, точки поділу з'єднуються ламаною і довжина дуги $L$ належить рівної межіпериметрів $l_n$ таких ламаних при $n,$ прагне до нескінченності. (Подібно давнім грекам, ми не уточнюємо саме поняття межі - воно відноситься вже не до геометрії і було цілком строго введено лише в XIX ст.)

З самого визначення числа π випливає формула для довжини кола:

Для довжини дуги можна записати аналогічну формулу: оскільки для двох дуг $Γ$ і $Γ′$ із загальним центральним кутомз міркувань подібності випливає пропорція $l_n:l′_n=R:R′,$ а з неї - пропорція $l_n:R=l′_n:R′,$ після переходу до межі ми отримуємо незалежність (від радіусу дуги) відношення $ l/R=l′/R′=α.$ Це відношення визначається тільки центральним кутом $AOB$ і називається радіанною мірою цього кута і всіх відповідних йому дуг з центром $O.$ Тим самим виходить формула для довжини дуги:

де $α$ - радіальний захід дуги.

Записані формули для $L$ і $l$ - це лише переписані визначення чи позначення, але з допомогою виходять вже далекі від просто позначень формули для площ кола і сектора:

$S=πR^2,$ $S=\frac(1)(2)αR^2.$

Для виведення першої формули достатньо перейти до межі у формулі для площі вписаного в коло правильного n-кутника:

$S_n=\frac(1)(2)P_nh_n.$

За визначенням ліва частинапрагне площі кола $S,$ а права - до числа

$\frac(1)(2)LR=\frac(1)(2)⋅2πR⋅R =πR^2$

(апофема $h_n,$ звичайно, прагне $R$). Цілком аналогічно виводиться і формула для площі сектора $s$:

$s=\lim S_n=\lim (\frac(1)(2)l_nh_n)=$ $\frac(1)(2)\lim l_n⋅\lim h_n=$ $\frac(1)(2)lR =$ $\frac(1)(2)αR^2$

($ \ lim $ - читається "межа"). Тим самим було вирішено й завдання визначення площі сегмента з хордою $AB,$ бо вона представляється як різниця чи сума (рис. 1, 2) площ відповідних сектора та трикутника $AOB.$

І коло- геометричні постаті, взаємопов'язані між собою. є гранична ламана лінія(крива) кола,

Визначення. Окружність - замкнута крива, кожна точка якої рівновіддалена від точки, званої центром кола.

Для побудови кола вибирається довільна точка, прийнята за центр кола, і за допомогою циркуля проводиться замкнута лінія.

Якщо точку центру кола з'єднати з довільними точками на колі, то всі отримані відрізки будуть між собою рівні, і називаються такі відрізки радіусами, скорочено позначаються латинською маленькою або великою літерою"ер" ( rабо R). Радіусів у колі можна провести стільки ж, скільки точок має довжина кола.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола і проходить через її центр, називається діаметром. Діаметрскладається з двох радіусів, що лежить на одній прямій. Діаметр позначається латинською маленькою або великою літерою «де» ( dабо D).

Правило. Діаметркола дорівнює двом її радіусів.

d = 2r
D = 2R

Довжина кола обчислюється за формулою і залежить від радіусу (діаметра) кола. У формулі є число ¶, яке показує у скільки разів довжина кола більше, ніж його діаметр. Число ¶ має нескінченне числознаків після коми. Для обчислень прийнято = 3,14.

Довжина кола позначається великою латинською літерою «це» ( C). Довжина кола пропорційна її діаметру. Формули для розрахунку довжини кола за її радіусом та діаметром:

C = ¶d
C = 2¶r

• Приклади
• Дано: d = 100 див.
• Довжина кола: C = 3,14*100 см = 314 см
• Дано: d = 25 мм.
• Довжина кола: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

Сікна кола та дуга кола

Будь-яка січна (пряма лінія) перетинає коло у двох точках і ділить її на дві дуги. Величина дуги кола залежить від відстані між центром і січною і вимірюється по замкнутій кривій від першої точки перетину січної з колом до другої.

Дугикола діляться січучоюна велику та малу, якщо січна не збігається з діаметром, і на дві рівні дугиякщо січна проходить по діаметру кола.

Якщо січна проходить через центр кола, то її відрізок, розташований між точками перетину з колом, є діаметр кола, або найбільша хорда кола.

Чим далі січна розташована від центру кола, тим менше градусний західменшої дуги кола і більше - більшої дуги кола, а відрізок сіючої, званий хордий, зменшується в міру видалення січе від центру кола.

Визначення. Навколо називається частина площини, що лежить усередині кола.

Центр, радіус, діаметр кола є одночасно центром, радіусом та діаметром відповідного кола.

Так як коло - це частина площини, то одним із його параметрів є площа.

Правило. Площа кола ( S) дорівнює добутку квадрата радіусу ( r 2) на число ¶.

• Приклади
• Дано: r = 100 см
• Площа кола:
• S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
• Дано: d = 50 мм
• Площа кола:
• S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

Якщо у колі провести два радіуси до різним точкамкола, то утворюється дві частини кола, які називається секторами. Якщо у колі провести хорду, то частина площини між дугою та хордою називається сегментом кола.

МБОУ Великокрупецька ЗОШ

Окружність і коло – це та сама

фігура чи ні?

Проект виконано Матвєєвим Владиславом, учнем 5 класу

Вчитель:Сергачова К.В.

Д. Великий Крупець

План

1. Введення

2. Основна частина

1).З історії

2).Поняття кола та кола та їх елементів

3).Коло і коло в природі, повсякденному життіта віршах

3. Висновок

4. Література

Вступ

Багато предметів навколо нас мають форму, схожу на геометричні фігури. Щоб розібратися, що таке коло і чим воно відрізняється від кола, необхідно мати чітке уявлення про ці фігури.

Ця роботаприсвячена геометричним фігурам - колу та колу. Вибір теми не випадковий. Люди зустрічаються з колом та колом у житті практично на кожному кроці. Однак не всі можуть відрізнити коло від кола. Проведене мною опитування учнів школи та деяких дорослих показало: що розрізняють ці постаті лише 50% опитаних.

Завдання даного проекту: систематизувати відомості про коло та коло.

Презентація на тему буде на допомогу і учням, і вчителям.

З історії

Ще в давнину людям були відомі багато геометричних фігур, у тому числі коло і коло. Про це свідчать археологічні розкопки. Ще тоді доводилося вирішувати завдання на обчислення довжини кола.

Легенда свідчить, що коли давньогрецьке містоСиракузи, де жив свого часу Архімед, захопили римляни, вчений, займаючись науковими дослідженнями, креслив кола на піску. Солдатові, який прийшов убити його, він вигукнув: "Убий мене, але не чіпай моїх кіл".

У Стародавню Греціюколо та коло вважалися вінцем досконалості. Дійсно, в кожній своїй точці коло влаштовано однаковим чином, що дозволяє їй рухатися само по собі. Ця властивість кола уможливила виникнення колеса, оскільки вісь і втулка колеса повинні весь час бути в дотику.

Але ще до колеса люди використовували круглі колоди – ковзанки для перевезення ваг. Малюнки на стінах єгипетських пірамідрозповідають нам, що саме так доставлялося величезне каміння на будівництво цих пірамід.

Поняття кола та кола та їх елементів

Якщо поставити круглу склянку на аркуш паперу і обвести його олівцем, вийде лінія, що зображує коло. Якщо розглянути цю лінію під мікроскопом, ми побачимо товсту нерівну черту. Геометричне коло немає ширини. Усі її точки однаково віддалені від центру. Кільце, обруч нагадують своєю формою коло.Окружність – найпростіша крива лінія

Рис 1. Рис.2 Рис.3

Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, що знаходяться на даній відстані від цієї точки. Ця точка називаєтьсяцентром кола та зазвичай позначається О. (рис 1.,2.)

Що ж такеколо ? Коло ми можемо вирізати із паперу. Арена цирку, дно склянки чи тарілка мають форму кола. Якщо коло це «риса» (ми можемо ниткою викласти коло), то коло це все, що знаходиться всередині кола.

Навколо називається фігура, яка складається з усіх точок площини, що знаходяться на відстані не більшій за дану, від даної точки. Ця точка називаєтьсяцентром кола, а ця відстань –радіусом кола.Кордоном кола є коло з тими самими центром і радіусом.

Коло та коло складаються з різноманітних частин.

Відстань від точок кола до її центру називаєтьсярадіусом кола і зазвичай позначається R .Радіусом також називається будь-який відрізок, що з'єднує точку кола з її центром.Радіус – походить від латинського слова"радіус" - "спиця колеса".

Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називаєтьсяхордий кола, іхордий кола, обмеженого цим колом. (Рис.1.,3)Хорда - грецьке словоі перекладається - "струна".

Хорда, що проходить через центр кола чи кола, називаєтьсядіаметром кола або кола. Діаметр ділить коло на двапівкола , а коло – на двіпівкола . (Рис 3.)Діаметр - "діаметрос" - теж грецьке слово, перекладається - "діаметр".

Діаметр ділиться центром кола навпіл, і тому він дорівнює двом радіусам. Два радіуси розбивають коло насектори . Хорда розбиває коло насегменти .

Коло і коло в природі, повсякденному житті, у віршах

1.В природі

6. Математика. 10-11 класи: реферати Упоряд. Відеман та ін - Волгоград: Вчитель, 2009

Колом називається ряд рівновіддалених точок від однієї точки, яка, своєю чергою, є центром цього кола. Окружність має також свій радіус, рівний відстаніцих точок від центру.

Відношення довжини, якогось кола до її діаметру, для всіх кіл однаково. Це ставлення є число, що є математичною константою, що позначається грецькою літерою π .

Визначення довжини кола

Здійснити розрахунок кола можна за такою формулою:

L = π D = 2 π r

r- радіус кола

D- діаметр кола

L- довжина кола

π - 3.14

Завдання:

Обчислити довжину коламає радіус 10 сантиметрів.

Формула для обчислення діни коламає вигляд:

L = π D = 2 π r

де L – довжина кола, π – 3,14, r – радіус кола, D – діаметр кола.

Таким чином, довжина кола, що має радіус 10 сантиметрів, дорівнює:

L = 2×3,14×10 = 62,8 сантиметра

Окружністьє геометричною фігурою, що є сукупністю всіх точок на площині, віддалених від заданої точки, Яка називається її центром, на деяку відстань, рівне нулюі називається радіусом. Визначати її довжину з різним ступенемточності вчені вміли вже в давнину: історики науки вважають, що перша формула для обчислення довжини кола була складена приблизно в 1900 році до нашої ери в стародавньому Вавилоні.

З такими геометричними фігурами, як кола, ми стикаємося щодня та повсюдно. Саме її форму має зовнішня поверхня коліс, якими оснащуються різноманітні транспортні засоби. Ця деталь, незважаючи на свою зовнішню простоту і невигадливість, вважаються одним з найбільших винаходівлюдства, причому цікаво, що аборигени Австралії та американські індіанці аж до приходу європейців не мали уявлення про те, що це таке.

Найімовірніше, найперші колеса були відрізки колод, які насаджувалися на вісь. Поступово конструкція колеса вдосконалювалася, їх конструкція ставала дедалі складнішою, а їх виготовлення вимагалося використовувати масу різних інструментів. Спочатку з'явилися колеса, що складаються з дерев'яного обода і спиць, а потім, щоб зменшити зношування їх зовнішньої поверхні, її стали оббивати металевими смугами. Для того щоб визначити довжини цих елементів, і потрібно використовувати формулу розрахунку довжини кола (хоча на практиці, найімовірніше, майстри це робили «на око» або просто оперізуючи колесо смугою та відрізаючи необхідну її ділянку).

Слід зауважити, що колесовикористовується не тільки в транспортних засобах. Наприклад, його форму має гончарне коло, а також елементи шестерень зубчастих передач, що широко застосовуються в техніці. Здавна колеса використовувалися в конструкціях водяних млинів (найдавніші з відомих вченим споруд такого роду будувалися в Месопотамії), а також прядок, що застосовувалися для виготовлення ниток з вовни тварин і рослинних волокон.

Коланерідко можна зустріти й у будівництві. Їх форму мають досить поширені круглі вікна, дуже характерні для романського архітектурного стилю. Виготовлення цих конструкцій – справа дуже непроста і потребує високої майстерності, а також наявності спеціального інструменту. Одним із різновидів круглих вікон є ілюмінатори, що встановлюються в морських та повітряних суднах.

Таким чином, вирішувати завдання визначення довжини кола часто доводиться інженерам-конструкторам, які розробляють різні машини, механізми та агрегати, а також архітекторам та проектувальникам. Оскільки число π , необхідне для цього, є нескінченним, то з абсолютною точністювизначити цей параметр неможливо, і тому при обчисленнях враховується той її ступінь, який у тому чи іншому конкретному випадку є необхідною і достатньою.

Окружність - геометрична фігура, що складається зі всіх точок площини, розташованих на заданій відстані від цієї точки.

Ця точка (O) називається центром кола.
Радіус кола- Це відрізок, що з'єднує центр з будь-якою точкою кола. Всі радіуси мають ту саму довжину (за визначенням).
Хорда- Відрізок, що з'єднує дві точки кола. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром. Центр кола є серединою будь-якого діаметра.
Будь-які дві точки кола поділяють її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугого кола. Дуга називається півколоякщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром.
Довжина одиничного півкола позначається через π .
Сума градусних заходів двох дуг кола з спільними кінцямидорівнює 360º.
Частина площини, обмежена коло, називається кругом.
Круговий сектор- частина кола, обмежена дугою та двома радіусами, що з'єднують кінці дуги з центром кола. Дуга, яка обмежує сектор, називається дугою сектора.
Два кола, що мають спільний центр, називаються концентричними.
Два кола, що перетинаються під прямим кутом, називаються ортогональними.

Взаємне розташування прямої та кола

1. Якщо відстань від центру кола до прямої менша за радіус кола ( d), то пряма та коло мають дві загальні точки. У цьому випадку пряма називається січучоюпо відношенню до кола.
2. Якщо відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу кола, то пряма і коло мають лише одну загальну точку. Така пряма називається дотичної до кола, а їх загальна точканазивається точкою торкання прямої та кола.
3. Якщо відстань від центру кола до прямої більша за радіус кола, то пряма і коло не мають спільних точок
.

Центральні та вписані кути

Центральний кут- Це кут з вершиною в центрі кола.
Вписаний кут- Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло.

Теорема про вписаний вугілля

Вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається.

• Наслідок 1.
  Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.


• Наслідок 2.
  Вписаний кут, що спирається на півколо - прямий.

Теорема про твір відрізків хорд, що перетинаються.

Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди.

Основні формули

• Довжина кола:

• Довжина дуги кола:

• Діаметр:

• Довжина дуги кола:

• Площа кола:

• Площа кругового сектора:

Рівняння кола

• У прямокутної системикоординат рівняння кола радіусу rз центром у точці C(x про; y про) має вигляд:

• Рівняння кола радіуса r з центром на початку координат має вигляд: