Математичні константи. Постійна тонка структура

Друзі, невеликий вступ!
Перед прочитанням новини, дозвольте запросити вас у найбільша спільнотавласників 3D-принтерів. Так, так, воно вже існує на сторінках нашого проекту!

У той час як побутовий тривимірний друк став досить простим і недорогим для домашнього застосування, А асортимент витратних матеріалів збільшується не по днях, а по годинах, залишається один напрям, так і не досяг свого повного потенціалу. Йтиметьсяпро 3D-друк металом.

Власне металевими друкованими виробами вже нікого не здивувати. Ентузіасти та професіонали знають про можливості таких технологій, як вибіркове лазерне спікання або електронно-променева плавка. Ці методи дозволяють створювати тривимірні металеві моделі, що практично не відрізняються від литих або штампованих деталей, але часто перевершують свої традиційні аналоги за легкістю і ціновою доступністю, хоча дещо поступаються за міцністю.

На жаль, вищезгадані технології вимагають створення складних, дорогих пристроїв із чималими габаритами. Гірше того, витратні матеріали дефіцитні і часто дуже дорогі, адже методи спікання та плавки вимагають використання порошкоподібних матеріалів, що виробляються у досить невеликих обсягах.

Які ж перспективи 3D-друку металом за допомогою звичних екструзійних принтерів?

Почнемо з того, що саме екструзійні принтери, тобто пристрої, що друкують методом пошарового наплавлення (FDM), і стали першими 3D-принтерами по металу. Існуюча технологіядозволяє використовувати змішаний матеріал із металевих частинок та сполучної речовини. Готова модель може мати вигляд металевого виробу, але не матиме відповідних механічними характеристиками. Як варіант, можливий випалювання готової моделі для спікання металевих частинок або, що більш характерно, для виплавки сполучного матеріалу з одночасним просоченням відносно легкоплавким металом або сплавом - наприклад, бронзою. Природно, готовий виріб не відрізнятиметься міцністю литих аналогів, та й сам процес вимагає використання спеціальних гончарних печей, що веде до подорожчання технології.

Приклад металевої моделі
створеної методом екструзійного друку з наступним випалом

В цілому, даний методдобре підходить для створення моделей, які не призначені для високих механічних навантажень і не потребують високої зносостійкості - наприклад, ювелірних виробів. Попит на подібні 3D-принтери для друку металом досить великий: зараз розробляються кілька перспективних пристроїв для друку металевою глиною, включаючи Mini Metal та Newton 3D. Справжнім проривом стала б можливість 3D-друку готових металевих виробів із використанням виключно технології FDM. Однак можливості існуючих екструзійних пристроїв досить обмежені.

Проблеми мають конструктивний характер. Почнемо з того, що температура екструдера рідко перевищує 300°С, а екструдери найчастіше виготовляються з алюмінію з температурою плавлення близько 650°С. Зрозуміло, це виключає можливість друку сталлю, титаном або будь-якими іншими тугоплавкими металамита сплавами. З іншого боку, екструдери можуть бути виконані з тугоплавких матеріалів з метою підвищення робочого температурного діапазону. Серед ентузіастів розглядається навіть можливість керамічних голівок.

Другою проблемою є фонова температура. Хоча, загалом, підвищена температура в робочій камері вітається, теплове випромінюванняпоблизу екструдера при спробі друкування тугоплавкими металами може бути досить високим для пошкодження пластикових деталей і проводки в конструкції самого принтера.

Третьою проблемою є забезпечення досить швидкого нагрівання витратного матеріалу для своєчасної екструзії.

І нарешті, використання металу як витратний матеріал може призвести до щільного засмічення екструдера. Якщо очищення друкуючої головки від застиглого пластику є головним болем, то очищення від застиглого алюмінію або сталі може стати непідйомною справою.

Досі спроби друку однорідним металом або сплавами обмежувалися легкоплавкими матеріалами, такими як припій або олово. Результати важко назвати вдалими. Навіть такі легкоплавкі матеріалишвидко засмічували сопло, а також викликали підвищений знос: за словами випробувачів, діаметр алюмінієвого сопла збільшувався з 1мм до 2мм після проходження 500 г припою, що використовувався в ході експерименту. Тим не менш, певний прогрес при мінімальних витратах є.

Ілюстрація аматорського експерименту з екструзійного друку оловом

Нещодавно на виставці Maker Faire у Нью-Йорку була представлена ​​розробка під назвою Vader. Як запевняють розробники, Скотт та Зак Вейдери, їх пристрій здатний здійснювати екструзивний друк алюмінієм. Насторожує лише один простий факт - розробники не надали жодного єдиного зразканадрукованих моделей, а згодом визнали, що пристрій ще не має відповідного екструдера. При цьому конструктори роблять сміливі заяви: максимальна роздільна здатність складатиме 50 мікрон, а купити 3D-принтер по металу можна буде «лише» за $10000. Що ж, поживемо-побачимо.

Принтер для друку металом є. Екструдера немає.
Як виявляється, все не так просто

Проте, розробка методів друку металами продовжується у промислових масштабах. Розробники з Університету Техасу в Ель-Пасо отримали необхідне фінансування понад $2млн для будівництва першої у світі виробничої 3D-друкованої лінії замкнутого циклу. Метою проекту є створення пристрою, здатного створювати високотехнологічні пристрої, включаючи безпілотні. літальні апарати. Однією з особливостей системи буде можливість автоматичного механізованого встановлення готових електронних компонентів та виготовлення електричної проводки.

Hybrid Fab – прототип 3D-друкарської виробничої лінії

Зрозуміло, друк проводки має на увазі 3D-друк металом, та ще й у комбінації з пластиком і керамікою. Навіть найдосконаліші промислові системилазерного спікання не здатні до виробництва різнорідних об'єктів через особливості технології. Можна друкувати металом, можна друкувати пластиком, але не водночас. В даний час НАСА працює над технологією EBFȝ, що поєднує елементи електронно-променевої плавки та екструзійного друку, що може дозволити практичний друк композитних конструкцій, але ця технологія обіцяє залишитися недоступною для обивателя за рахунок високої складностіта вартості. З іншого боку, якщо розробники з Університету Техасу до Ель-Пасо досягнуть позитивних результатівУ світі тривимірного друку може статися справжня революція: комбінований друк пластиком і металом може призвести до появи доступних принтерів, здатних друкувати електронні компоненти.

В основі технології, що розробляється, лежить нова системаподачі витратного матеріалу, оптимізована для використання металів. Екструдер оснащений спеціальним нагріваючим елементом великої довжини, Що дозволяє розплавляти метал до подачі на сопло, а термоізоляція дозволяє уникнути втрати конструкції пристрою. І хоча друк сталлю чи титаном, швидше за все, залишиться поза можливостями цієї технології, стабільний друк міддю чи алюмінієм вже можна вважати проривом. В принципі, навіть якщо нова методикадруку металом не виправдає себе, то проект все одно має шанси на успіх, адже основною метою є створення виробничого комплексу, який заздалегідь використовує деякі готові компоненти. Тим не менш, хотілося б сподіватися на повний успіх розробки, включаючи друк металу.

Надії високі, оскільки розробники вже надали конкретні зразки своєї праці. Продемонстровані результати дуже далекі від дозволу, необхідного для друку мікросхем, але початок покладено. У разі успіху технології буде принаймні можливим виробництво електромеханічних компонентів - таких, як покрокові електромотори, що використовуються для приводу екструдерів, робочих платформ та вентиляторів. У цьому випадку стане можливим створенняповноцінних RepRap пристроїв - 3D-принтерів, що самовідтворюються. Що примітно, основним партнером учених у розробці експериментальної виробничої лінії є компанія Stratasys – один із піонерів та поточних лідерів ринку тривимірного друку. Цікавим моментомстав той факт, що Stratasys не стала вкладатися в розвиток чи придбання технологій лазерного чи електронно-променевого спікання. Цілком можливо, що Stratasys вважає розробку 3D-принтерів для друку металом на основі FDM перспективнішими.

Паралельно розробкам з 3D-друку методом FDM розвивається відкритий проект з адаптування технології електронно-променевої плавки для побутового використання, який отримав назву MetalicaRap. Поки що, побутова та напівпрофесійна 3D-друк металом залишиться обмеженою створенням композитних матеріалів на основі металевої крихти з можливістю додаткової термічної обробки для створення суцільнометалевих моделей. І хоча за своєю міцністю такі вироби поступаються литим, в арсеналі ентузіастів залишається приємна можливість, недоступна для дорогих промислових пристроїв - можливість друку різнокольорових моделей на основі металів, адже колір полімерних наповнювачів легко змінити.

3D друк із алюмінію відбувається шляхом спікання алюмінієвого порошку разом з лазером для виробництва металевих деталей, які однаково гарні, як оброблені моделі.

3D-друкований алюміній не схожий на традиційний блискучий подрібнений алюміній. Натомість він має матовий сірий відділ з трохи грубішою і менш визначеною поверхнею. Тонкий блиск, який ви помітите, викликаний наявністю кремнію у сплаві.

Типове використання

Ціни на друк алюмінієм

• Обсяг моделі: обсяг вашої моделі використовується для розрахунку вартості матеріалу (мм³)
• Маса моделі: об'єм маса моделі (г)
• Орієнтація. Те, як ваша модель позиціонується на платформі друку, вплине створення підтримки і, отже, на ціну.

Рівень складності друку настільки високий, що наші фахівці зможуть повідомити точну ціну лише після отримання макета деталі або габаритів.

Технологія друку алюмінієм

Металевий 3D-друк - також відомий як Direct Metal Laser Sintering (DMLS) і Select Laser Plting (SLM) - це лазерна технологіявикористовує порошкові метали.

Подібно до лазерного спікання, потужний лазер селективно зв'язує частинки на порошковому шарі, в той час як машина розподіляє рівні шари металевого порошку. Структури підтримки автоматично генеруються та створюються одночасно в одному матеріалі та згодом видаляються вручну.

Після завершення частина піддається термообробці.

додаткова інформація

Можна створювати непрямокутні, органічно сформовані об'єкти, які можуть бути отримані будь-яким іншим процесом.

Оскільки опори необхідно видалити вручну, деякі докази віддалених структур підтримки можуть залишитись на вашій моделі.

Будь-які «нависаючі» структури (наприклад, нижня сторона таблиці) або кути менше 35° матимуть тенденцію бути менш привабливими із цим процесом.

Ідеальна форма для цього процесу – це сітка. Легко спроектувати та забезпечити найкращі результати

Другий період розвитку математики відомий у літературі як період математики постійних величин(або елементарної математики). Він розпочався у VII ст. до зв. е. та закінчився у XVII ст. н. е. Основним досягненням математичної думки, що характеризує початок цього періоду, було виникнення та розвиток поняття про доказ. Грецькі математики свідомо прагнули розташувати математичні докази в такі ланцюжки, щоб перехід від однієї ланки до наступної не залишав жодного місця сумнівів і змушував усіх погодитися з ним.

На жаль, до нашого часу не дійшли тексти, якими можна було б судити про виникнення цього дедуктивного методу». Традиція називає першим із філософів, що застосував у математиці докази, грецького вченого Фалеса з Мілета (міста в Малій Азії), що жив у VII-VI ст. до н.е. За відомостями, що дійшли до нас, Фалес довів деякі найпростіші геометричні твердження: рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів, одна з ознак рівності трикутників, рівність частин, на які діаметр розбиває коло, і т.д.

Створений Фалесом метод логічного доказу математичних тверджень було розвинено і вдосконалено вченими піфагорійської школи період між кінцем VI в. та серединою V ст. до зв. е., які довели, зокрема, твердження, зване тепер теоремою Піфагора (формулювання цього твердження було відоме ще вавилонянам).

Піфагорійці зробили першу спробу звести геометрію та алгебру того часу до арифметики. Вони вважали, що «все число», розуміючи під словом «число» лише натуральні числа. Зокрема, вони були довгий часпереконані, що довжини будь-яких відрізків можна порівняти один з одним, а тому для вимірювання будь-яких величин достатньо раціональних чисел.

Поворотним пунктомбуло відкриття піфагорійцями того, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною. Це відкриття, зроблене на основі теореми Піфагора, показало неспроможність спроби звести всю геометрію до натуральним числам. Аналіз отриманого доказу призвів до дослідження початкових питаньтеорії чисел (парності та непарності) простих чисел, розкладання чисел на прості множники, властивостей взаємно простих чисел і т. д.).

Після робіт Піфагора стало ясно, що не всі величини виражаються раціональними числами. Оскільки поняття ірраціонального числа не могло бути створене в ту епоху, грецькі математики зробили іншу спробу – обґрунтувати всю математику на основі геометричних понять. Вони почали розвивати геометричну алгебру, тлумачачи, наприклад, додавання величин, як додавання відрізків, а множення - як побудова прямокутника з заданими сторонами. У цьому говорили про рівність відрізків, а чи не про рівність їх довжин, оскільки довжина відрізка виражається числом, а числа було вигнано з давньогрецької математики. Сліди такого підходу до алгебри збереглися у сучасних термінах квадрат числа, куб числа, геометричне середнє, геометрична прогресіяі т.д.

Давньогрецька математикапросунулися дуже далеко. Вони провели, наприклад, класифікацію квадратичних ірраціональностей, відкрили всі види правильних багатогранників, вивели формули для обсягів багатьох тіл, досліджували різноманітні криві лінії (еліпс, гіперболу, параболу, спіралі). Визначну рольу формуванні математики як теоретичної науки зіграла знаменита книга Евкліда «Початку», що представляла синтез та систематизацію основних результатів давньогрецької математичної думки та тривалий часслужила джерелом знань та взірцем суворого математичного викладу.

Книга Евкліда є першою з спроб аксіоматичного викладу, що дійшли до нашого часу. математичної дисципліни. Хоча в часи Евкліда не вставало ще питання про опис логічних засобів, що застосовуються для вилучення змістових наслідків з аксіом, в системі Евкліда була вже чітко проведена основна ідея отримання всього основного змісту геометричної теорії суто дедуктивним шляхом з невеликої кількості тверджень - аксіом, істинність яких представлялася наочно очевидною.

У ХІХ ст. було показано, що список аксіом Евкліда неповний і багато теорем він доводив, залучаючи твердження, що не увійшли до цього списку. Не було у Евкліда і аксіом порядку. Ознаки рівності трикутників доводилися з урахуванням поняття накладання постатей, т. е., насправді, з урахуванням ідеї руху, що належить швидше до механіці, ніж до математики.

Протягом двох тисячоліть основна увага критиків та коментаторів Евкліда була спрямована на аксіому про паралельних, оскільки передбачалося, що її можна довести на основі решти аксіом. Лише відкриття у початку XIXв. Неевклідова геометрія показала безнадійність спроб такого доказу.

На формулювання аксіом Евкліда сильний впливвиявили суперечки між прихильниками і противниками атомізму, що тривали довгий час. Атомісти (Демокріт, Левкіпп) стверджували, що матерія складається з неподільних атомів, причому існує межа ділимості простору (тобто що і простір складається з неподільних частинок далі). Їх противники вважали, що простір безмежно ділимо і тому неприпустимо вважати, що лінії складаються з точок, оскільки точки не мають ні частин, ні розмірів, а лінії мають певну довжину.

Хоча атомісти досягли великих успіхіву геометрії (наприклад, Демокріт вивів формулу обсягу піраміди), їх спроби дати логічне обґрунтування геометрії не мали успіху. Справа в тому, що з атомістичних поглядів випливала сумірність будь-яких двох відрізків, а це суперечило відомої вже на той час теоремі про несумірність сторони та діагоналі квадрата. У той же час Євклідові вдалося побудувати логічно замкнуту системугеометрії, в якій вважалося, що будь-який відрізок безмежно ділимо, а тому немає неподільних елементів простору.

Книга Евкліда підбила також підсумок тривалого розвитку ідеї нескінченності, що призвело до формування, з одного боку, поняття про нескінченному рядінатуральних чисел, а з іншого - поняття про безмежно поділені геометричних фігур(Відрізках, колах і т. д.). Однак нескінченність розумілася лише як потенційна можливість продовжувати певний процес (додавання одиниці до натурального числа, поділу навпіл відрізка тощо). Ідея про актуальну (закінчену) нескінченність виганялася з робіт Евкліда та його послідовників (Архімеда, Аполлонія та ін.). Ця ідея була дискредитована в результаті відкриття грецьким філософом Зеноном труднощів, до яких вело її використання. Наприклад, Зенон «доводив», що стріла не може пролетіти свій шлях, оскільки вона повинна спочатку пролетіти половину шляху, а до цього – половину половини і т. д. – отже, він ніколи не зрушить з місця.

Тому формули для об'єму кулі та конуса, площі кола тощо викладалися без застосування граничного переходу, без розкладання на нескінченно малі частини, хоча знаходження цих формул математики застосовували «заборонені прийоми». Архімед вирішив такі складні для тодішньої математики завдання, як відшукання об'єму сегмента параболоїда обертання та площі сектора архімедової спіралі.

Недоліком геометричного підходу до математики було те, що він перешкоджав розвитку алгебри (хоча греки і вміли, наприклад, у геометричній формівирішувати квадратні рівняння) - неможливо було уявити геометрично четверту і вищі ступенядовжини, а, крім того, не можна було складати вирази різних ступенів: ця сума геометричного сенсу не мала

З тієї ж причини в грецькій математиці був негативних чисел і нуля, ірраціональних чиселта літерного обчислення. Лише у ІІІ ст. н. е. у роботах олександрійського математика Діофанта з'являються зачатки літерного числення. Але цим роботам не судилося мати продовження у грецькій математиці, оскільки після прийняття християнства V ст. н. е. язичницька культура, складовоюякою була математика, виявилася зруйнованою, а 529 р. імператор Юстиніан під страхом смертної каризаборонив заняття математикою.

Центр математичних досліджень перемістився на Схід – до Індії, Китаю та арабського світу. Індійські математики ввели нуль і негативні числа, проводили дослідження з комбінаторики (Аріабхатта, V ст. н. е.). Основною заслугою арабських математиків (аль-Беруні, Омар Хайям, ГіяседдінДжемшид, IX-XIII ст. н. е.) слід вважати розвиток тригонометрії (у зв'язку з астрономічними дослідженнями) і, особливо, створення нової областіматематики – алгебри.

Алгебра, яку тепер розглядають як загальне вченняпро формальні дії та їх властивості, з'явилася в арабів як наука про рішення рівнянь. Саме слово «алгебра» арабського походження і означало «відновлення», тобто перенесення негативних доданків в іншу частину рівнянь.

З початку XIIIв. знову відроджуються математичні дослідженняв Європі. Але лише у XVI ст. були отримані перші наукові результати, що перевершили досягнення греків і арабів, - італійські математики дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррарі та ін. вивели формули для вирішення рівнянь третього та четвертого ступенів. Водночас формується система алгебраїчних позначень, словесна алгебра поступово замінюється буквеною. У початку XVIIв. у працях французьких та англійських математиків (Вієта, Декарта, Герріота) завершується розвиток алгебраїчної символіки, створюються правила літерного числення. Одночасно з розвитком символіки відбувається розширення поняття про число: ще в середині XVI століття в математиці остаточно затверджуються негативні числа, а незабаром з'являються і комплексні числа(хоча вони довгий час не знаходили визнання, оскільки не допускали витлумачення відомими на той час засобами). При цьому виявилося, що правила буквеної алгебри в рівною міроюзастосовні до числа будь-якого виду.

Найважливішу рользіграли роботи італійського вченого Бомбеллі (XVI ст.) та французького математика Р. Декарта (XVII ст.), які фактично запровадили ідею дійсного числа, звільнивши цим алгебру від невластивої їй геометричної одягу. Користуючись цим, Декарт, на відміну від грецьких математиків, які зводили проблеми алгебри до геометрії, почав алгебраїчно вирішувати геометричні завдання. Цим було започатковано аналітичну геометрію.

Другий період розвитку математики відомий у літературі як період математики постійних величин(або елементарної математики).Він розпочався у VII ст. до зв. е. та закінчився у XVII ст. н. е. Основним досягненням математичної думки, що характеризує початок цього періоду, було виникнення та розвиток поняття про доказ. Грецькі математики свідомо прагнули розташувати математичні докази в такі ланцюжки, щоб перехід від однієї ланки до наступної не залишав жодного місця сумнівів і змушував усіх погодитися з ним.

На жаль, до нашого часу не дійшли тексти, якими можна було б судити про виникнення цього «дедуктивного методу». Традиція називає першим із філософів, що застосував у математиці докази, грецького вченого Фалеса з Мілета (міста в Малій Азії), що жив у VII-VI ст. до зв. е. За даними, що дійшли до нас, Фалес довів деякі найпростіші геометричні твердження:

рівність кутів на підставі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів, одна з ознак рівності трикутників, рівність частин, на які діаметр розбиває коло, і т.д.

Створений Фалесом метод логічного доказу математичних тверджень було розвинено і вдосконалено вченими піфагорійської школи період між кінцем VI в. та серединою V ст. до зв. е., які довели, зокрема, твердження, зване тепер теорема Піфагора(формулювання цього твердження було відоме ще вавилонянам).

Піфагорійці зробили першу спробу звести геометрію та алгебру того часу до арифметики. Вони вважали, що «все число», розуміючи під словом «число» лише натуральні числа. Зокрема, вони були довгий час переконані, що довжини будь-яких відрізків можна порівняти один з одним, а тому для вимірювання будь-яких величин достатньо раціональних чисел.

Поворотним пунктом було відкриття піфагорійцями того, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною. Це відкриття, зроблене з урахуванням теореми Піфагора, показало неспроможність спроби звести геометрію до натуральним числам. Аналіз отриманого доказу привів до дослідження початкових питань теорії чисел (парності та непарності простих чисел, розкладання чисел на прості множники, властивостей взаємно простих чисел тощо).

Після робіт Піфагора стало ясно, що не всі величини виражаються раціональними числами. Оскільки поняття ірраціонального числа не могло бути створене в ту епоху, грецькі математики зробили іншу спробу обґрунтувати всю математику на основі геометричних понять. Вони стали розвивати геометричну алгебру, тлумачачи, наприклад, додавання величин, як додавання відрізків, а множення - як побудова прямокутника із заданими сторонами. У цьому говорили про рівність відрізків, а чи не про рівність їх довжин, оскільки довжина відрізка виражається числом, а числа було вигнано з давньогрецької математики. Сліди такого підходу до алгебри збереглися у сучасних термінах квадрат числа, куб числа, геометричне середнє, геометрична прогресіяі т.д.

Давньогрецькі математики просунулися дуже далеко. Вони провели, наприклад, класифікацію квадратичних ірраціональностей, відкрили всі види правильних багатогранників, вивели формули для обсягів багатьох тіл, досліджували різноманітні криві лінії (еліпс, гіперболу, параболу, спіралі). Визначну роль формуванні математики як теоретичної науки зіграла знаменита книга Евкліда «Початку», що представляла синтез і систематизацію основних результатів давньогрецької математичної думки і тривалий час служила джерелом знань і взірцем суворого математичного викладу.

Книга Евкліда є першою з спроб аксіоматичного викладу математичної дисципліни, що дійшли до нашого часу. Хоча в часи Евкліда не вставало ще питання про опис логічних засобів, що застосовуються для вилучення змістових наслідків з аксіом, в системі Евкліда була вже чітко проведена основна ідея отримання всього основного змісту геометричної теорії суто дедуктивним шляхом з невеликої кількості тверджень - аксіом, істинність яких представлялася наочно очевидною.

У ХІХ ст. було показано, що список аксіом Евкліда неповний і багато теорем він доводив, залучаючи твердження, що не увійшли до цього списку. Не було у Евкліда і аксіом порядку. Ознаки рівності трикутників доводилися з урахуванням поняття накладання постатей, т. е., насправді, з урахуванням ідеї руху, що належить швидше до механіці, ніж до математики.

Протягом двох тисячоліть основна увага критиків та коментаторів Евкліда була спрямована на аксіому про паралельних, оскільки передбачалося, що її можна довести на основі решти аксіом. Лише відкриття на початку ХІХ ст. Неевклідова геометрія показала безнадійність спроб такого доказу.

На формулювання аксіом Евкліда сильний вплив справили суперечки між прихильниками і противниками атомізму. Атомісти (Демокріт, Левкіпп) стверджували, що матерія складається з неподільних атомів, причому існує межа ділимості простору (тобто що і простір складається з неподільних частинок далі). Їх противники вважали, що простір безмежно ділимо і тому неприпустимо вважати, що лінії складаються з точок, оскільки точки не мають ні частин, ні розмірів, а лінії мають певну довжину.

Хоча атомісти досягли великих успіхів у геометрії (наприклад, Демокріт вивів формулу обсягу піраміди), їхні спроби дати логічне обґрунтування геометрії не мали успіху. Справа в тому, що з атомістичних поглядів випливала сумірність будь-яких двох відрізків, а це суперечило відомої вже на той час теоремі про несумірність сторони та діагоналі квадрата. У той же час Евкліду вдалося побудувати логічно замкнуту систему геометрії, в якій вважалося, що будь-який відрізок ділимо безмежно, а тому не існує неподільних елементів простору.

Книга Евкліда підвела також підсумок тривалого розвитку ідеї нескінченності, що призвело до формування, з одного боку, поняття про нескінченний ряд натуральних чисел, а з іншого - поняття про безмежно поділені геометричні фігури (відрізки, круги і т. д.). Однак нескінченність розумілася лише як потенційна можливість продовжувати певний процес (додавання одиниці до натурального числа, поділу навпіл відрізка тощо). Ідея проактуальної (закінченої) нескінченності виганялася з робіт Евкліда та її послідовників (Архімеда, Аполлонія та інших.). Ця ідея була дискредитована в результаті відкриття грецьким філософом Зеноном труднощів, до яких вело її використання. Наприклад, Зенон «доводив», що стріла не може пролетіти свій шлях, оскільки вона повинна спочатку пролетіти половину шляху, а до цього – половину половини і т. д. – отже, він ніколи не зрушить з місця.

Тому формули для обсягу кулі та конуса, площі кола тощо викладалися без застосування граничного переходу, без розкладання нанескінченно малі частини, хоча знаходження цих формул математики застосовували «заборонені прийоми». Архімед вирішив такі складні для тодішньої математики завдання, як відшукання об'єму сегмента параболоїда обертання та площі сектора архімедової спіралі.

Недоліком геометричного підходу до математики було те, що вінперешкоджав розвитку алгебри (хоча греки і вміли, наприклад, у геометричній формі вирішувати квадратні рівняння) - неможливо було уявити геометрично четвертий і вищий ступінь довжини, а, крім того, не можна було складати вирази різних ступенів: ця сума геометричного сенсу не мала.

З тієї ж причини в грецькій математиці не було негативних чисел і нуля, ірраціональних чисел та літерного обчислення. Лише у ІІІ ст. н. е. у роботах олександрійського математика Діофанта з'являються зачатки літерного числення. Але цим роботам не судилося мати продовження у грецькій математиці, оскільки після прийняття християнства V ст. н. е. язичницька культура, складовою якої була математика, виявилася зруйнованою, а 529 р. імператор Юстиніан під страхом смертної кари заборонив заняття математикою.

Центр математичних досліджень перемістився на Схід – до Індії, Китаю та арабського світу. Індійські математики ввели нуль та негативні числа, проводили дослідження з комбінаторики (Аріабхатта, V ст. н. е.). Основною заслугою арабських математиків (аль-Беруні, Омар Хайям, Гіяседдін Джемшид, IX-XIII ст. н.е.) слід вважати розвиток тригонометрії (у зв'язку з астрономічними дослідженнями) і, особливо, створення нової галузі математики – алгебри.

Алгебра, яку тепер розглядають як загальне вчення про формальні дії та їх властивості, з'явилася в арабів як наука про розв'язання рівнянь. Саме слово «алгебра» арабського походження і означало «відновлення», тобто перенесення негативних доданків в іншу частину рівнянь.

З початку XIII ст. знову відроджуються математичні дослідження у Європі. Але лише у XVI ст. були отримані перші наукові результати, що перевершили досягнення греків і арабів, - італійські математики дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррарі та ін. вивели формули для вирішення рівнянь третього та четвертого ступенів. Водночас формується система алгебраїчних позначень, словесна алгебра поступово замінюється буквеною. На початку XVII ст. у працях французьких та англійських математиків (Вієта, Декарта, Герріота) завершується розвиток алгебраїчної символіки, створюються правила літерного числення. Одночасно з розвитком символіки відбувається розширення поняття про число: ще в середині XVI століття в математиці остаточно затверджуються негативні числа, а незабаром з'являються і комплексні числа (хоча вони довгий час не знаходили визнання, оскільки не допускали тлумачення відомими на той час засобами). При цьому виявилося, що правила буквеної алгебри однаковою мірою застосовуються до чисел будь-якого виду.

Найважливішу роль відіграли роботи італійського вченого Бомбеллі (XVI ст.) та французького математика Р. Декарта (XVII ст.), які фактично ввели ідею дійсного числа, звільнивши тим самим алгебру від невластивого їй геометричного одягу. Користуючись цим, Декарт, на відміну грецьких математиків, які зводили проблеми алгебри до геометрії, почав алгебраїчно вирішувати геометричні завдання. Цим було започатковано аналітичної геометрії

E математична константа, основа натурального логарифму, ірраціональне та трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера (не плутати з так званими числами Ейлера I роду) або числом Непера. Позначається малою латинською літерою«e».… … Вікіпедія

Для покращення цієї статті бажано?: Додати ілюстрації. Доповнити статтю (стаття надто коротка або містить лише словникове визначення). У 1919 році … Вікіпедія

Постійна Ейлера Маскероні або постійна Ейлера математична константа, що визначається як межа різниці між частковою сумою гармонійного рядуі натуральним логарифмомчисла: Константа введена Леонардом Ейлером у 1735, який запропонував… … Вікіпедія

Константа: Постійна Математична Фізична Константа(у програмуванні) Константа дисоціації кислоти Константа рівноваги Константа швидкості реакції Константа (Залишитися в живих) Див.

У статті розглядається математичний базис загальної теорії відносності. Загальна теоріявідносності … Вікіпедія

У статті розглядається математичний базис загальної теорії відносності. Загальна теорія відносності Математичне формулювання ОТО Космологія Фундаментальні ідеї … Вікіпедія

Теорія деформованого пластичного твердого тіла, в якій досліджуються завдання, що перебувають у визначенні полів вектора переміщень і(х, t).або вектора швидкостей v(x,t), тензора деформації eij(х, t).або швидкостей деформації vij(x, t).і тензора… … Математична енциклопедія

Магічний, або чарівний квадрат це квадратна таблиця, заповнена n2 числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці та обох діагоналях однакова. Якщо у квадраті рівні суми чисел лише у рядках та стовпцях, то він … Вікіпедія