Визначення швидкості за графіком. Як знайти середню швидкість за графіком

Якщо траєкторія руху точки відома, то залежність шляху, пройденого точкою, від проміжку часу, що минув. повний описцього руху. Ми бачили, що з рівномірного руху таку залежність можна у вигляді формули (9.2). Зв'язок між та для окремих моментів часу можна задавати також у вигляді таблиці, що містить відповідні значення проміжку часу та пройденого шляху. Нехай нам дано, що швидкість деякого рівномірного руху дорівнює 2 м/с. Формула (9.2) має у разі вид . Складемо таблицю шляху та часу такого руху:

Залежність однієї величини від іншої часто буває зручно зображати не формулами чи таблицями, а графіками, які показують картину зміни змінних величин і можуть полегшувати розрахунки. Побудуємо графік залежності пройденого шляху часу для аналізованого руху. Для цього візьмемо дві взаємно перпендикулярні прямі осі координат; одну з них (вісь абсцис) назвемо віссю часу, а іншу (вісь ординат) – віссю шляху. Виберемо масштаби для зображення проміжків часу та шляху та приймемо точку перетину осей за початковий момент та за початкову точкуна траєкторії. Нанесемо на осях значення часу і пройденого шляху для руху (рис. 18). Для «прив'язування» значень пройденого шляху до моментів часу проведемо з відповідних точок на осях (наприклад, точок 3 і 6 м) перпендикуляри до осей. Точка перетину перпендикулярів відповідає одночасно обох величин: шляхи і моменту - цим способом і досягається «прив'язка». Така ж побудова можна виконати і для будь-яких інших моментів часу та відповідних шляхів, отримуючи для кожної такої пари значень час - шлях одну точку на графіку. На рис. 18 виконано таку побудову, що замінює обидва рядки таблиці одним рядом точок. Якби така побудова була виконана для всіх моментів часу, то замість окремих точок вийшла б суцільна лінія(Також показана на малюнку). Ця лінія називається графіком залежності шляху від часу або, коротше, графіком шляху.

Рис. 18. Графік шляху рівномірного руху зі швидкістю 2 м/с

Рис. 19. До вправи 12.1

У нашому випадку графік шляху виявився прямою лінією. Можна показати, що графік шляху рівномірного руху є пряма лінія; і навпаки: якщо графік залежності шляху від часу є пряма лінія, рух поступово.

Повторюючи будову для іншої швидкості руху, знайдемо, що точки графіка для більшої швидкості лежать вище, ніж відповідні точки графіка для меншої швидкості (рис. 20). Таким чином, чим більше швидкістьрівномірного руху, тим крутіше прямолінійний графік шляху, тобто тим більший кут він складає з віссю часу.

Рис. 20. Графіки шляху рівномірних рухів зі швидкостями 2 та 3 м/с

Рис. 21. Графік того ж руху, що на рис. 18, викреслений в іншому масштабі

Нахил графіка залежить, звичайно, не тільки від числового значенняшвидкості, а й від вибору масштабів часу та довжини. Наприклад, графік, зображений на рис. 21 дає залежність шляху від часу для того ж руху, що і графік рис. 18, хоч і має інший нахил. Звідси ясно, що порівнювати рухи по нахилу графіків можна лише тому випадку, якщо вони викреслені у тому самому масштабі.

За допомогою графіків шляху можна легко вирішувати різні завданняпро рух. Наприклад на рис. 18 штриховими лініями показані побудови, необхідні для того, щоб вирішити наступні задачі даного руху: а) знайти шлях, пройдений протягом 3,5 з; б) знайти час, за який пройдено шлях 9 м. На малюнку графічним шляхом (штрихові лінії) знайдено відповіді: а) 7 м; б) 4,5 с.

На графіках, що описують рівномірний прямолінійний рух, можна відкладати по осі ординат замість шляху координату точки, що рухається. Такий опис відкриває великі можливості. Зокрема, воно дозволяє розрізняти напрямок руху по відношенню до осі . Крім того, прийнявши початок відліку часу за нуль, можна показати рух точки в попередні моменти часу, які слід вважати негативними.

Рис. 22. Графіки рухів з однією і тією ж швидкістю, але при різних початкових положеннях точки, що рухається

Рис. 23. Графіки кількох рухів із негативними швидкостями

Наприклад, на рис. 22 пряма I є графік руху, що відбувається з позитивною швидкістю 4 м/с (т. е. в напрямку осі ), причому в початковий момент точка, що рухається, знаходилася в точці з координатою м. Для порівняння на тому ж малюнку дано графік руху, яке відбувається з тією ж швидкістю, але при якому в початковий момент точка, що рухається знаходиться в точці з координатою (пряма II). Пряма. III відповідає нагоди, коли в момент рухома точка знаходилася в точці з координатою м. Нарешті, пряма IV описує рух у разі, коли точка, що рухається, мала координату в момент с.

Ми бачимо, що нахили всіх чотирьох графіків однакові: нахил залежить тільки від швидкості точки, що рухається, а не від її початкового положення. При зміні початкового положення весь графік просто переноситься паралельно собі уздовж осі вгору чи вниз на відповідну відстань.

Графіки рухів, що відбуваються з негативними швидкостями (тобто у напрямку, протилежному напрямку осі), показано на рис. 23. Вони є прямі, нахилені вниз. Для таких рухів координата точки з часом зменшується., мала координати

Графіки шляху можна будувати і для випадків, коли тіло рухається рівномірно протягом певного проміжку часу, потім рухається рівномірно, але з іншою швидкістю протягом іншого проміжку часу, потім знову змінює швидкість і т. д. Наприклад, на рис. 26 показаний графік руху, в якому тіло рухалося протягом першої години зі швидкістю 20 км/год, протягом другої години - зі швидкістю 40 км/год і протягом третьої години - зі швидкістю 15 км/год.

Завдання: 12.8. Побудуйте графік шляху руху, у якому за послідовні годинні проміжки тіло мало швидкості 10, -5, 0, 2, -7 км/год. Чому одно сумарне переміщення тіла?

Запитання.

1. Запишіть формулу, за якою можна розрахувати векторну проекцію миттєвої швидкостіпрямолінійного рівноприскореного руху, якщо відомі: а) проекція вектора початкової швидкостіта проекція вектора прискорення; б) проекція вектора прискорення у тому, що початкова швидкість дорівнює нулю.

2. Що є графіком проекції вектора швидкості рівноприскореного руху при початковій швидкості: а) рівної нулю; б) не дорівнює нулю?

3. Чим подібні і чим відрізняються один від одного рухи, графіки яких представлені на рисунках 11 та 12?

В обох випадках рух відбувається з прискоренням, однак у першому випадку прискорення позитивне, а по-друге негативне.

Вправи.

1. Хокеїст злегка вдарив ключкою по шайбі, надавши їй швидкість 2 м/с. Чому дорівнюватиме швидкість шайби через 4 с після удару, якщо в результаті тертя об лід вона рухається з прискоренням 0,25 м/с 2 ?

2. Лижник з'їжджає з гори зі стану спокою із прискоренням, що дорівнює 0,2 м/с 2 . Через який проміжок часу швидкість зросте до 2 м/с?

3. В тих самих координатних осях побудуйте графіки проекції вектора швидкості (на вісь Х, сонаправленную з вектором початкової швидкості) при прямолінійному рівноприскореному русідля випадків: а) v ox = 1м/с, ax = 0,5 м/с2; б) v ox = 1м/с, ax = 1 м/с2; в) v ox = 2 м/с, a x = 1 м/с2.
Масштаб у всіх випадках однаковий: 1см-1м/с; 1см – 1с.

4. У тих самих координатних осях побудуйте графіки проекції вектора швидкості (на вісь Х, сонаправленную з вектором початкової швидкості) при прямолінійному рівноприскореному русі для випадків: а) v ox = 4,5 м/с, a x = -1,5 м/с 2; б) v ox = 3 м/с, a x = -1 м/с 2
Масштаб виберіть самі.

5. На малюнку 13 представлені графіки залежності модуля вектора швидкості від часу при прямолінійному русідвох тел. З яким модулем прискоренням рухається тіло I? тіло ІІ?

« Фізика – 10 клас»

Чим відрізняється рівномірний рух від рівноприскореного?
Чим відрізняється графік шляху при рівноприскореному русі від графіка шляху рівномірному русі?
Що називається проекцією вектора на якусь вісь?

У разі рівномірного прямолінійного руху можна визначити швидкість графіку залежності координати від часу.

Проекція швидкості чисельно дорівнює тангенсу кута нахилу прямої x(t) до осі абсцис. При цьому, чим більша швидкість, тим більше кутнахилу.

Прямолінійний рівноприскорений рух.

На малюнку 1.33 зображені графіки залежності проекції прискорення від часу трьох різнихзначень прискорення при прямолінійному рівноприскореному русі точки. Вони є прямі лінії, паралельні осі абсцис: а х = const. Графіки 1 і 2 відповідають руху, коли вектор прискорення спрямований уздовж осі ОХ, графік 3 - коли вектор прискорення спрямований протилежну осі ОХ сторону.

При рівноприскореному русі проекція швидкості залежить від часу лінійно: x = 0x + a x t. На малюнку 1.34 представлені графіки цієї залежності для зазначених трьох випадків. У цьому початкова швидкість точки однакова. Проаналізуємо цей графік.

Проекція прискорення З графіка видно, що чим більше прискорення точки, тим більше кут нахилу прямої до осі t і більше тангенс кута нахилу, який визначає значення прискорення.

За той самий проміжок часу при різних прискореннях швидкість змінюється різні значення.

При позитивне значенняпроекції прискорення за той самий проміжок часу проекція швидкості у разі 2 збільшується в 2 рази швидше, ніж у випадку 1. При негативне значенняпроекції прискорення на вісь ОХ проекція швидкості по модулю змінюється на те саме значення, що і у випадку 1, але швидкість зменшується.

Для випадків 1 та 3 графіки залежності модуля швидкості від часу збігатимуться (рис. 1.35).

Використовуючи графік залежності швидкості часу (рис 1.36), знайдемо зміна координати точки. Ця зміна чисельно дорівнює площі заштрихованої трапеції, даному випадкузміна координати за 4 с x = 16 м.

Ми знайшли зміну координати. Якщо потрібно визначити координату точки, то до знайденого числа необхідно додати її початкове значення. Нехай у початковий момент часу х 0 = 2 м, тоді значення координати точки в заданий момент часу, що дорівнює 4 с, дорівнює 18 м. У даному випадку модуль переміщення дорівнює шляху, пройденому точкою, або зміни її координати, тобто 16 м .

Якщо рух рівноуповільнений, то точка протягом вибраного інтервалу часу може зупинитися і почати рухатися в протилежному напрямку початковому. На малюнку 1.37 показано залежність проекції швидкості від часу такого руху. Ми, що у момент часу, рівний 2 з, напрям швидкості змінюється. Зміна координати буде чисельно рівна алгебраїчній суміплощ заштрихованих трикутників.

Обчислюючи ці площі, бачимо, що зміна координати дорівнює -6 м, це означає, що у напрямку, протилежному осі ОХ, точка пройшла більша відстань, ніж у напрямку цієї осі.

Площа надвіссю t беремо зі знаком «плюс», а площу підвіссю t, де проекція швидкості негативна - зі знаком «мінус».

Якщо в початковий момент часу швидкість деякої точки дорівнювала 2 м/с, то координата її в момент часу, що дорівнює 6 с, дорівнює -4 м. Модуль переміщення точки в даному випадку також дорівнює 6 м - модулю зміни координати. Однак шлях, пройдений цією точкою, дорівнює 10 м - сумі площ заштрихованих трикутників, показаних на малюнку 1.38.

Зобразимо на графіку залежність координати точки від часу. Згідно з однією з формул (1.14) крива залежності координати від часу - x(t) - парабола.

Якщо рух точки відбувається зі швидкістю, графік залежності якої від часу зображений на малюнку 1.36, то гілки параболи спрямовані вгору, оскільки х > 0 (рис. 1.39). За цим графіком ми можемо визначити координату точки, а також швидкість будь-якої миті часу. Так, в момент часу, що дорівнює 4 с, координата точки дорівнює 18 м.

Для початкового моменту часу, проводячи дотичну до кривої точки А, визначаємо тангенс кута нахилу α 1 , який чисельно дорівнює початковій швидкості, тобто 2 м/с.

Для визначення швидкості в точці проведемо дотичну до параболі в цій точці і визначимо тангенс кута α 2 . Він дорівнює 6, отже швидкість дорівнює 6 м/с.

Графік залежності шляху від часу – така сама парабола, але проведена з початку координат (рис. 1.40). Ми бачимо, що шлях безперервно збільшується з часом, рух відбувається в один бік.

Якщо рух точки відбувається зі швидкістю, графік залежності проекції якої від часу зображений на малюнку 1.37, то гілки параболи спрямовані вниз, тому що а x< 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.

Починаючи з часу t = 2 з, тангенс кута нахилу стає негативним, яке модуль збільшується, це означає, що рух точки відбувається у напрямку, протилежному початковому, у своїй модуль швидкості руху збільшується.

Модуль переміщення дорівнює модулюрізниці координат точки в кінцевий і початковий моментичасу та дорівнює 6 м.

p align="justify"> Графік залежності пройденого точкою шляху від часу, показаний на малюнку 1.42 відрізняється від графіка залежності переміщення від часу (див. рис. 1.41).

Хоч би як була спрямована швидкість, шлях, пройдений точкою, безперервно збільшується.

Виведемо залежність координати точки від проекції швидкості. Швидкість = 0x + a x t, звідси

У разі x 0 = 0 а х > 0 і x > > 0x графік залежності координати від швидкості є параболою (рис. 1.43).

При цьому чим більше прискорення, тим гілка параболи буде менш крутою. Це легко пояснити, оскільки, чим більше прискорення, тим менша відстань, яка повинна пройти точка, щоб швидкість збільшилася на те саме значення, що і при русі з меншим прискоренням.

У разі а х< 0 и υ 0x >0 проекція швидкості зменшуватиметься. Перепишемо рівняння (1.17) як де а = |а x |. Графік цієї залежності - парабола з гілками, спрямованими вниз (рис. 1.44).

Прискорений рух.

За графіками залежності проекції швидкості від часу можна визначити координату та проекцію прискорення точки у будь-який момент часу за будь-якого типу руху.

Нехай проекція швидкості точки залежить від часу, як показано на малюнку 1.45. Очевидно, що в проміжку часу від 0 до t 3 рух точки вздовж осі X відбувалося зі змінним прискоренням. Починаючи з часу, рівного t 3 , рух рівномірний з постійною швидкістюυ Dx. За графіком бачимо, що прискорення, з яким рухалася точка, безперервно зменшувалася (порівняйте кут нахилу дотичної в точках і З).

Зміна координати точки за час t 1 чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції OABt 1 за час t 2 - площі OACt 2 і т. д. Як бачимо за графіком залежності проекції швидкості від часу можна визначити зміну координати тіла за будь-який проміжок часу.

За графіком залежності координати від часу можна визначити значення швидкості у будь-який момент часу, обчислюючи тангенс кута нахилу дотичної до кривої в точці, що відповідає даному моментучасу. З малюнка 1.46 випливає, що в момент t 1 проекція швидкості позитивна. У проміжку часу від t2 до t3 швидкість дорівнює нулю, тіло нерухоме. В момент часу t 4 швидкість також дорівнює нулю (дотична до кривої в точці D паралельна осі абсцис). Потім проекція швидкості стає негативною, напрямок руху точки змінюється на протилежне.

Якщо відомий графік залежності проекції швидкості від часу, можна визначити прискорення точки, а також знаючи початкове положення визначити координату тіла в будь-який момент часу, тобто вирішити основне завдання кінематики. За графіком залежності координати від часу можна визначити одну з найважливіших кінематичних характеристик руху – швидкість. Крім цього, за вказаними графіками можна визначити тип руху вздовж обраної осі: рівномірне, з постійним прискореннямчи рух із змінним прискоренням.

Рівномірний рух– це рух із постійною швидкістю, тобто коли швидкість не змінюється (v = const) та прискорення чи уповільнення не відбувається (а = 0).

Прямолінійний рух– це рух прямої лінії, тобто траєкторія прямолінійного руху – це пряма лінія.

Рівномірний прямолінійний рух- Це рух, при якому тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Наприклад, якщо ми розіб'ємо якийсь часовий інтервал на відрізки по одній секунді, то при рівномірному русі тіло переміщатиметься на однакову відстань за кожен із цих відрізків часу.

Швидкість рівномірного прямолінійного руху залежить від часу й у кожній точці траєкторії спрямовано як і переміщення тіла. Тобто вектор переміщення збігається у напрямку вектора швидкості. При цьому середня швидкість за будь-який проміжок часу дорівнює миттєвій швидкості:

Швидкість рівномірного прямолінійного руху– це фізична векторна величина, що дорівнює відношенню переміщення тіла за будь-який проміжок часу до значення цього проміжку t:

Отже, швидкість рівномірного прямолінійного руху показує, яке переміщення робить матеріальна точка за одиницю часу.

Переміщенняпри рівномірному прямолінійному русі визначається формулою:

Пройдений шляхпри прямолінійному русі дорівнює модулю переміщення. Якщо позитивний напрямок осі ОХ збігається з напрямком руху, то проекція швидкості на вісь ОХ дорівнює величині швидкості і позитивна:

v x = v, тобто v > 0

Проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:

s = vt = x - x 0

де x 0 - Початкова координата тіла, х - кінцева координата тіла (або координата тіла в будь-який момент часу)

Рівняння руху, тобто залежність координати тіла від часу х = х(t), набуває вигляду:

Якщо позитивний напрямок осі ОХ протилежний напрямку руху тіла, то проекція швидкості тіла на вісь ОХ негативна, швидкість менша за нуль (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Залежність швидкості, координат та шляхи від часу

Залежність проекції швидкості тіла іноді показано на рис. 1.11. Оскільки швидкість стала (v = const), то графіком швидкості є пряма лінія, паралельна осі часу Ot.

Рис. 1.11. Залежність проекції швидкості тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Проекція переміщення на координатну вісь чисельно дорівнює площі прямокутника ОАВС (рис. 1.12), оскільки величина вектора переміщення дорівнює добутку вектора швидкості на час, за який переміщення було здійснено.

Рис. 1.12. Залежність проекції переміщення тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Графік залежності переміщення від часу показано на рис. 1.13. З графіка видно, що проекція швидкості дорівнює

v = s 1 / t 1 = tg α

де - кут нахилу графіка до осі часу.

Чим більший кут α, тим швидше рухається тіло, тобто тим більша його швидкість ( більший шляхтіло проходить за менший час). Тангенс кута нахилу щодо графіка залежності координати від часу дорівнює швидкості:

Рис. 1.13. Залежність проекції переміщення тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Залежність координати від часу показано на рис. 1.14. З малюнка видно, що

tg α 1 > tg α 2

отже, швидкість тіла 1 вища за швидкість тіла 2 (v 1 > v 2).

tg α 3 = v 3< 0

Якщо тіло спочиває, то графіком координати є пряма, паралельна осічасу, тобто

Рис. 1.14. Залежність координати тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Зв'язок кутових та лінійних величин

Окремі точки тіла, що обертається, мають різні лінійні швидкості. Швидкість кожної точки, спрямована по дотичній до відповідного кола, безперервно змінює свій напрямок. Величина швидкості визначається швидкістю обертання тіла і відстанню R розглянутої точки від осі обертання. Нехай за короткий проміжок часу тіло повернулося на кут (рис 2.4). Точка, що знаходиться на відстані R від осі, проходить при цьому шлях, рівний

Лінійна швидкість точки визначення.

Тангенціальне прискорення

Скориставшись тим самим ставленням (2.6) отримуємо

Таким чином, як нормальне, так і тангенціальне прискорення ростуть лінійно з відстанню точки від осі обертання.

Основні поняття.

Періодичним коливаннямназивається процес, при якому система (наприклад, механічна) повертається в один і той же стан через певний проміжок часу. Цей проміжок часу називається періодом вагань.

Повертаюча сила- Сила, під дією якої відбувається коливальний процес. Ця сила прагне тіло або матеріальну точку, відхилену від стану спокою, повернути у вихідне положення.

Залежно від характеру впливу на тіло, що вагається, розрізняють вільні (або власні) коливання і вимушені коливання.

Вільні коливаннямають місце тоді, коли на тіло, що вагається, діє тільки повертає сила. У тому випадку, якщо не відбувається розсіювання енергії, вільні коливанняє незатухаючими. Проте, реальні коливальні процеси загасають, т.к. на тіло, що вагається, діють сили опору руху (в основному сили тертя).

Вимушені коливаннявідбуваються під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється, яку називають змушує. У багатьох випадках системи роблять коливання, які вважатимуться гармонійними.

Гармонічними коливанняминазивають такі коливальні рухи, у яких зміщення тіла від положення рівноваги відбувається за законом синуса чи косинуса:

Для ілюстрації фізичного сенсу розглянемо коло, і обертатимемо радіус ОК з кутовий швидкістюω проти годинникової (7.1) стрілки. Якщо початковий момент часу ОК лежав у горизонтальній площині, через час t він зміститься на кут. Якщо початковий кут відмінний від нуля і дорівнює φ 0 , Тоді кут повороту дорівнюватиме Проекціяна вісь ХО 1 дорівнює . У міру обертання радіуса ОК змінюється величина проекції, і точка буде здійснювати коливання щодо точки-вгору, вниз і т.д. При цьому максимальне значення х дорівнює А і називається амплітудою коливань; ω - кругова або циклічна частота; - фаза коливань; - Початкова фаза. За один оберт точки К по колу її проекція зробить одне повне коливання і повернеться у вихідну точку.

Періодом Тназивається час одного повного коливання. Після закінчення часу Т повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують коливання. За один період точка, що коливається, проходить шлях, чисельно рівний чотирьом амплітудам.

Кутова швидкістьвизначається з умови, що з період Т радіус ОК зробить один оборот, тобто. повернеться на кут 2π радіан:

Частота коливань- Число коливань точки в одну секунду, тобто. частота коливань визначається як величина, обернена до періоду коливань:

Пружинний маятник пружні сили.

Пружинний маятник складається з пружини та масивної кулі, насадженої на горизонтальний стрижень, уздовж якого він може ковзати. Нехай на пружині укріплена кулька з отвором, що ковзає вздовж напрямної осі (стрижня). На рис. 7.2,а показано положення кулі в стані спокою; на рис. 7.2,б - максимальне стиск і на рис. 7.2,в-довільне положення кульки.

Під дією сили, що повертає, рівної силі стиснення, кулька буде здійснювати коливання. Сила стиснення F = -kx де k - Коефіцієнт жорсткості пружини. Знак мінус показує, що напрямок сили F і усунення х протилежні. Потенційна енергія стиснутої пружини

кінетична.

Для виведення рівняння руху кульки необхідно зв'язати х та t. Висновок ґрунтується на законі збереження енергії. Повна механічна енергія дорівнює сумі кінетичної та потенційної енергії системи. В даному випадку:

. У положенні б): .

Так як у розглянутому русі виконується закон збереження механічної енергії, можна записати:

. Визначимо звідси швидкість:

Але у свою чергу і, отже, . Розділимо змінні . Інтегруючи цей вираз, отримаємо: ,

де - Постійна інтегрування. З останнього випливає, що

Таким чином, під дією пружної сили тіло здійснює гармонійні коливання. Сили іншої природи, ніж пружні, але у яких виконується умова F = -kx, називаються квазіпругкими. Під дією цих сил тіла також здійснюють гармонійні коливання. При цьому:

усунення:
швидкість:
прискорення:

Математичний маятник.

Математичним маятником називається матеріальна точка, підвішена на нерозтяжній невагомій нитці, що здійснює коливальний рух в одній вертикальній площині під дією сили тяжіння.

Таким маятником можна вважати важку кулю масою m, підвішену на тонкій нитці, довжина l якої набагато більше розмірів кулі. Якщо його відхилити на кут α (рис.7.3) від вертикальної лінії, під впливом сили F – однієї з складових ваги Р він буде коливати. Інша складова , спрямована вздовж нитки, не враховується, т.к. врівноважується силою натягу нитки. При малих кутах усунення, тоді координату х можна відраховувати по горизонтальному напрямку. З рис.7.3 видно, що складова ваги, перпендикулярна до нитки, дорівнює

Знак мінус у правій частині означає, що сила F спрямована у бік зменшення кута α. З урахуванням малості кута α

Для виведення закону руху математичного та фізичного маятників використовуємо основне рівняння динаміки обертального руху

Момент сили щодо точки О: , і момент інерції: M = FL. Момент інерції Jв даному випадку Кутове прискорення:

З урахуванням цих величин маємо:

Його рішення ,

Як бачимо, період коливань математичного маятника залежить від його довжини та прискорення сили тяжіння і не залежить від амплітуди коливань.

Загасні коливання.

Усі реальні коливальні системиє дисипативними. Енергія механічних коливань такої системи поступово витрачається на роботу проти сил тертя, тому вільні коливання завжди згасають – їхня амплітуда поступово зменшується. У багатьох випадках, коли відсутнє сухе тертя, у першому наближенні можна вважати, що при невеликих швидкостях руху сили, що викликають загасання механічних коливань, пропорційні швидкості. Ці сили, незалежно від їхнього походження, називають силами опору.

Перепишемо це рівняння у такому вигляді:

і позначимо:

де становить ту частоту, з якою відбувалися б вільні коливання системи за відсутності опору середовища, тобто. при r = 0. Цю частоту називають своєю частотою коливання системи; β - коефіцієнт загасання. Тоді

Шукатимемо рішення рівняння (7.19) у вигляді де U - деяка функція від t.

Продиференціюємо двічі цей вираз за часом t і, підставивши значення першої та другої похідних до рівняння (7.19), отримаємо

Розв'язання цього рівняння істотно залежить від знака коефіцієнта, що стоїть при U. Розглянемо випадок, коли цей коефіцієнт позитивний. Введемо позначення тоді З речовим рішенням цього рівняння, як ми знаємо, є функція

Таким чином, у разі малого опору середовища, рішенням рівняння (7.19) буде функція

Графік цієї функції показано на рис. 7.8. Пунктирними лініями показані межі, в яких знаходиться зміщення точки, що коливається. Величину називають власною циклічною частотою коливань дисипативної системи. Затухаючі коливання є неперіодичні коливання, тому що в них ніколи не повторюються, наприклад, максимальні значення зсуву, швидкості та прискорення. Величину зазвичай називають періодом загасаючих коливань, правильніше - умовним періодом загасаючих коливань,

Натуральний логарифм відношення амплітуд зсувів, що йдуть один за одним через проміжок часу, рівний періодуТ називають логарифмічним декрементом згасання.

Позначимо через τ проміжок часу, протягом якого амплітуда коливань зменшується в раз. Тоді

Отже, коефіцієнт загасання є фізична величина, зворотна проміжку часу τ, протягом якого амплітуда зменшується в раз. Розмір τ називається часом релаксації.

Нехай N - число коливань, після яких амплітуда зменшується в раз,

Отже, логарифмічний декремент згасання δ є фізична величина, обернена числу коливань N, після якого амплітуда зменшується в раз

Вимушені коливання.

У разі вимушених коливань, система коливається під дією зовнішньої (вимушальної) сили, і за рахунок роботи цієї сили періодично компенсуються втрати енергії системи. Частота вимушених коливань (що змушує частота) залежить від частоти зміни зовнішньої сили Визначимо амплітуду вимушених коливань тіла масою m, вважаючи коливання незатухаючими внаслідок постійно діючої сили .

Нехай ця сила змінюється з часом за законом, де амплітуда примушує сили. Повертаюча сила і сила опору Тоді другий закон Ньютона можна записати в наступному вигляді.

Прямолінійний рух– це рух прямої лінії, тобто траєкторія прямолінійного руху – це пряма лінія.

V cp = v

V x = v, тобто v > 0

Проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:

S = vt = x - x 0

де x 0 - Початкова координата тіла, х - кінцева координата тіла (або координата тіла в будь-який момент часу)

Рівняння руху, тобто залежність координати тіла від часу х = х(t), набуває вигляду:

Х = х 0 + vt

Х = x 0 – vt

Залежність швидкості, координат та шляхи від часу

Рис. 1.11. Залежність проекції швидкості тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Рис. 1.12. Залежність проекції переміщення тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Графік залежності переміщення від часу показано на рис. 1.13. З графіка видно, що проекція швидкості дорівнює

V = s 1 / t 1 = tg α

де α – кут нахилу графіка до осі часу. Чим більший кут α, тим швидше рухається тіло, тобто тим більша його швидкість (більший шлях тіло проходить за менший час). Тангенс кута нахилу щодо графіка залежності координати від часу дорівнює швидкості:

Tg α = v

Рис. 1.13. Залежність проекції переміщення тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Залежність координати від часу показано на рис. 1.14. З малюнка видно, що

Tg α 1 > tg α 2

отже, швидкість тіла 1 вища за швидкість тіла 2 (v 1 > v 2).

Tg α 3 = v 3< 0

Якщо тіло спочиває, то графіком координати є пряма, паралельна до осі часу, тобто

Х = х 0

Рис. 1.14. Залежність координати тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.