Перевіряє функцію на гармонійність. Гармонійна функція

Гармонійна функція- речова функція $U$, визначена та двічі безперервно диференційована на евклідовому просторі $D$(або його відкритому підмножині), що задовольняє рівняння Лапласа:

$\backslash Delta\; U\; =\; 0,\backslash$

де $\backslash Delta=\backslash sum\_(i=1)^n\backslash frac(\backslash partial^2)(\backslash partial\; x\_i^2)$- оператор Лапласа, тобто сума других похідних по всіх прямокутних декартовим координатам x i (n= dim D- Розмірність простору).

Наприклад, гармонійною функцією є електростатичний потенціал у точках, де відсутня заряд.

Властивості

Принцип максимуму

Функція U, гармонійна в області $D$, досягає свого максимуму та мінімуму тільки на кордоні $\backslash partial\; D$. Таким чином, гармонійна функція не може мати у внутрішній точці області локального екстремуму , за винятком тривіального випадку постійної $D$функції. Однак функція може бути невизначена на кордоні, тому правильніше сказати

Теорема Ліувіля

Гармонійна функція, визначена на $\backslash Bbb(R)^n$та обмежена зверху або знизу, постійна .

Властивість середнього

Якщо функція $u$гармонійна в деякій кулі $B(x\_0)$з центром у точці $x\_0$, то її значення у точці $x\_0$дорівнює її середньому значенню по межі цієї кулі або за кулею:

$u(x\_0)\; =\; \backslash frac(1)(\backslash mu(\backslash partial\; B))\; \backslash int\backslash limits\_(\backslash partial\; B)\; u\; dS\; =\; \backslash frac(1)(\backslash mu(B))\; \backslash int\backslash limits\_(B)\; u\; dV$

де $\backslash mu\; (B)$- обсяг кулі $B(x\_0)$і $\backslash mu(\backslash partial\; B)$- Площа його кордону.

Назад, будь-яка безперервна функція, Що володіє властивістю середньої для всіх куль, що лежать в деякій області, є в цій гармонійній області.

Диференційність

Функція, гармонійна області, нескінченно диференційована у ній.

Нерівність Гарнака

Якщо функція $U(M)=U(x\_1,...x\_k)$, гармонійна в к-мірній кулі $Q\_r$радіусу $R$з центром у певній точці $M\_0$, Невід'ємна в цій кулі, то для її значень у точках $M$всередині кулі, що розглядається, справедливі нерівності: $((R^(k-2))(\backslash frac(R-r)((R+r)^(k-1)))U(M\_0))\backslash le(U(M))\backslash le(R^(k\; -2)\backslash frac(R+r)((R-r)^(k-1))U(M\_0))$, де

Теорема Гарнака

Нехай $v\_n(z)$- позитивні гармонічні функції у певній області $D$. Якщо ряд $\backslash sum\_(1)^\backslash infty\; v\_(n)(z)$сходиться хоча б в одній точці області $D$, то він поступово сходиться всередині $D$.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Гармонічна функція"

Примітки

Література

• Володимиров Ст С. , Жарінов Ст Ст.Рівняння математичної фізики. – Фізматліт, 2004. – ISBN 5-9221-0310-X.

Уривок, що характеризує Гармонійну функцію

Довго Ростові не мали звісток про Миколушку; тільки в середині зими графу було передано листа, на адресу якого він впізнав руку сина. Отримавши листа, граф злякано і поспішно, намагаючись не бути поміченим, навшпиньки пробіг до свого кабінету, замкнувся і почав читати. Ганна Михайлівна, дізнавшись (як вона і все знала, що робилося в домі) про отримання листа, тихим кроком увійшла до графа і застала його з листом у руках ридаючим і разом сміючись. Ганна Михайлівна, незважаючи на справи, що одужали, продовжувала жити у Ростових.

Гармонічна функція включає у собі як вертикальне складання хорової тканини, а й характер гармонійного розвитку з горизонталі. До її найважливіших компонентів і ознак належать розташування акорду, його щільність, кількість голосів і т.д. Найбільш типовим принципом вертикального розташування хорового акорду є принцип «від широкого – до вузького», суть якого у вибудовуванні широких інтервалів унизу з поступовим стиском їх у міру переходу до високих звуків відповідно до обертонового ряду. Розташування акорду в хорі може бути тісним, широким і змішаним (що включає і тісне, і широке). Тісне розташування, як правило, справляє враження компактності та зібраності. Зазвичай воно використовується в однорідному хорі (частіше – жіночому та дитячому, рідше – чоловічому). Широке розташування менш концентровано і разом, але більш об'ємно і повно. Воно переважно застосовується у змішаному та чоловічому хорі. Не менш часто в змішаних і чоловічих складах використовується і змішане розташування акорду (у чоловічому хорі воно будується на переважанні широких інтервалів у нижньому регістрі та вузьких - у верхньому, а в змішаному - у поступовому переході від широких інтервалів у чоловічих голосах до вужчих - у жіночих). При широкому розташуванні, на відміну тісного, полі вільного розвитку мелодійного голосу обмежується, що викликає необхідність звуження його діапазону.

У гомофонно-гармонійному складі історично виділилися три функції голосів:

У акордовому складі, на відміну гомофонного, - лише дві функції голосів: 1) бас; 2) гармонійні голоси.

В цілому ж звучання хорової вертикалі залежить від безлічі обставин та умов, серед яких дуже суттєвими є: склад хору (однорідний, змішаний, неповний), теситура (низька, висока, середня), щільність звучання, кількість голосів, особливості їх функціональних зв'язків, динаміка , темброве забарвлення. Особливе впливом геть характер звучання акорда надає реєстрова напруженість складових його звуків. У тому випадку, якщо звуки акорда розташовані в подібних регістрах, акорд звучатиме разом і врівноважено. Якщо ж звуки акорду розташовуються в різних за напруженістю регістрах, то одні з них можуть виявитися сильнішими, інші - слабшими. Природно, що це вимагатиме від хормейстера відповідного динамічного та тембрового коригування. Одним із прийомів такого коригування може бути зміна розташування акорду, оскільки тісне розташування ґрунтується на поєднанні одних, а широке - інших регістрів одного й того самого голосу. На відміну від однорідного хору, в якому більш урівноваженим є тісне розташування, у змішаному велику врівноваженість створює широке розташування. Воно надає звучанню м'якість та глибину, не позбавляючи його при цьому щільності та сили.

Тісне чи широке розташування голосів по вертикалі впливає динамічні нюанси. Так, при широкому розташуванні - через віддаленість голосів один від одного - не завжди вдається створити повноцінне насичене forte, яке легше досягається при компактному тісному розташуванні. Залежить динаміка і від цього, у якому (низькому, середньому чи високому) регістрі розташований акорд. Для акорду, рас 1 покладеного в низькому регістрі, найбільш природним нюансом буде piano, в середньому регістрі - mezzo-forte, у високому - forte. Найширша динамічна амплітуда можлива у середньому регістрі. У нижньому регістрі легко отримати найтише pianissimo, досягти ж яскравого, насиченого forte дуже важко. Якщо ж намагатися досягти великої звучності штучним шляхом, це може призвести до інтонаційних похибок. У високому регістрі, навпаки, становить велику складність спів piano, що нерідко викликає зниження інтонації. З метою збільшення насиченості, щільності хорової тканини та яскравості звучання композитори часто використовують поділ партій на кілька голосів (divizi). У однорідних та неповних складах хору такий поділ дозволяє отримати повнозвучні акордові комплекси, що компенсують відсутність будь-якого голосу. Використовується цей прийом для заповнення широких інтервалів між голосами в момент кульмінації, щоб створити компактну і напружену звучність. Divizi часто виникають у мелодійних ходах, що розходяться, з поступовим розшаруванням хорової партії до двох-триголосся. Найчастіше застосування divizi пов'язане з ущільненням гармонійної вертикалі хорового акорду шляхом октавних подвоєння (так звані дублювання), які створюють посилення звучності і додаткові фонічні ефекти (збіг октавних обертонів нижніх голосів з верхніми, що реально звучать). Разом з тим, divizi слід розглядати не тільки як засіб розцвічування багатоголосної хорової палітри, але і як фактор динамізації та розвитку звучності. У зв'язку з цим зворотний процес - злиття дивізії в унісон є фактором протилежного виразно-образотворчого впливу.

Однією з важливих умов зручності партитури з погляду ладу та ансамблю є ясність та логічність голосознавства. Чим ближче мелодійна лінія кожного голосу до природного розвитку в рамках гармонійної вертикалі, тим більше передумов для досягнення гарного ладу та ансамблю.

У хоровій практиці зафіксовані такі типові види голосознавства: пряме, коли голоси рухаються щодо одного напрямі; паралельне, коли голоси рухаються в одному напрямку, зберігаючи між собою однаковий інтервал; непряме, у якому одне із голосів залишається дома; протилежне, коли голоси рухаються у протилежному напрямку. Характер спільного руху накладає відповідний відбиток хоровий колорит. Так, пряме і особливо паралельне рух (як різновид прямого) створює умови для постійного обсягу звучності. При цьому врівноваження за звучністю верхньої та нижньої ліній відбувається більш природно, якщо композитор або аранжувальник вибрав для них подібні регістри голосів.

Непрямий і протилежний рух зазвичай пов'язаний із зміною загального фактурного та звукового наповнення та обсягу: відчуття розширення при розбіжному русі та звуження - при схожому. У чистому вигляді протягом усієї партитури ці типи руху використовуються досить рідко. Найчастіше вони гнучко поєднуються і взаємодіють залежно від мінливості музичного образу та характеру твору.

Зауважимо також, що від характеру голосознавства великою мірою залежить виразно-емоційна сторона твору. Деякі його типи завдяки яскраво вираженій експресії набули навіть значення свого роду знаку. Так, паралельний рух голосів при своєму образно-експресивному багатстві сприймається найчастіше як єдиний фонічний комплекс, позбавлений яскравої драматичної конкретності. Навпаки, зустрічний і протилежний рух мелодій і фактурних пластів, що означає зіткнення двох полярних тенденцій - спаду та підйому, ослаблення та посилення енергії, - сприймається як фактор, що свідчить про динамічний та драматургічний розвиток музичної тканини.

Нашару - прийом з'єднання, в якому порядок розташування голосів по вертикалі визначається їх природним висотним співвідношенням: тенори розташовуються над басами, альти - над тенорами, сопрано - над альтами.

Прийом перехрещування характеризується тим, що з його використанні хорова партія, нижча за тесситуре, розташовується над вищестоящої (альти - вище сопрано, баси - вище тенорів). Таке розташування зазвичай пов'язане з особливостями голосознавства або прагненням автора отримати максимально злите звучання акорду.

Слід зазначити, що справжній ансамбль у хорі виникає внаслідок взаємодії гармонійних та мелодійних функціональних елементів хорових голосів. Ілюстрацією такої взаємодії є, наприклад, мелодизація середніх голосів хорової партитури, що надає гармонійному розвитку гнучкості та плинності, або різноманітні прояви гармонійного початку в самій мелодиці. З'ясування ролі та характеру взаєморуху середніх голосів, що виконують роль серцевини фактури, її внутрішнього стрижня, для диригента та співаків дуже важливе. Як слушно зазначає В.О. Семенюк, «життя середніх голосів, інтонаційне виявлення їхніх взаємин (прояви "ростків" мелодійності в акордових послідуваннях тощо) є найбільш суттєвим і однією з головних сторін роботи над багатоголосною фактурою» 1 . Вплив мелодійної функції на гармонійну явно проглядається й у фактурі, зокрема у тісному чи широкому розташуванні голосів.

Солююча партія звучить більш рельєфно, якщо поблизу неї не розташовуються інші голоси з розвиненим голосознавством, що заважають сприйняттю провідного голосу. Вільний простір особливо необхідний у тих випадках, коли мелодія виявляється оточеною голосами, що виконують гармонійну функцію (з цим виконавці найчастіше зустрічаються при мелодико-гармонійному та гомофонному складі). Набагато більш виграшною для тембрового відокремлення є ситуація, коли мелодія розташована над або під супроводжуючими голосами (фоном).

Розглянемо функцію U, гармонійну в обмеженій ділянці (D) з поверхнею (S). Вважаючи, що U безперервна разом з похідними другого порядку аж до (S) і застосовуючи формулу Гріна (6) до цієї функції U і гармонійної функції , отримаємо, в силу

тобто маємо першу властивість гармонійної функції: інтеграл від нормальної похідної гармонійної функції поверхнею області дорівнює нулю.

Якщо застосуємо до гармонійної функції U формулу (9), то в силу отримаємо

Це дає нам другу властивість гармонійної функції: значення гармонійної функції у будь-якій точці всередині області виражається через значення цієї функції та її нормальної похідної на поверхні області формулою (13).

Зазначимо, що інтеграли у формулах (12) і (13) не містять похідних другого порядку функції і для застосування цих формул досить припустити, що гармонійна функція безперервна разом з похідними першого порядку до (S). Щоб переконатися в цьому, достатньо трохи стиснути поверхню (S), написати формули (12) і (13) для стиснутої області (D), в якій є безперервність і похідних другого порядку аж до поверхні, а потім перейти до межі, розширюючи (D ) до (D). Стиснення можна зробити, наприклад, відкладаючи на внутрішній нормалі до (S) у кожній її точці один і той же малий відрізок довжини 8. Кінці цих відрізків утворюють нову (стислу) поверхню. При цьому поверхня (S) повинна бути такою, що описане перетворення при всіх досить малих 8 призводить до поверхні, яка не перетинає сама себе і є кусочно-гладкою. Це питання буде докладно викладено у томі IV.

Застосуємо формулу (13) до окремого випадку області, а саме до сфери з центром і радіусом R, вважаючи, звичайно, що

функція U гармонійна у цій сфері і безперервна з похідними першого порядку до її поверхні (21)

В даному випадку напрямок зовнішньої нормалі збігається з напрямком радіусу сфери, тому ми матимемо

та формула (13) дає

Але на поверхні сфери величина має постійне значення R, тому

або, в силу (12), матимемо остаточно

Формула ця виражає третю властивість гармонійної функції: значення гармонійної функції в центрі сфери дорівнює середньому арифметичному значенню цієї функції на поверхні сфери, тобто дорівнює інтегралу від значень функції поверхні сфери, поділеному на площу цієї поверхні.

З цієї властивості майже з очевидністю випливає наступна четверта властивість гармонійної функції:

Функція, гармонійна всередині області і безперервна аж до кордону області, досягає свого найбільшого і найменшого значення тільки на межі області, крім того, коли ця функція є постійною. Наведемо докладний доказ цього твердження. Нехай досягає найбільшого значення в деякій внутрішньої точкитієї області, де гармонічна функція. Побудуємо сферу з центром і радіусом , що належить застосуємо формулу (14) і замінимо підінтегральну функцію U її найбільшим значенням на сфері.

причому знак рівності має місце лише у тому випадку, коли U на сфері є постійна, рівна . Оскільки за припущенням і є найбільше значення, ми можемо стверджувати, що має місце знак рівності, і що, отже,

Рівна постійної всередині та на поверхні будь-якої сфери з центром, що належить D. Покажемо, що звідси випливає, що є постійна і у всій області

Нехай N - будь-яка точка, що лежить усередині D. Нам треба показати, що З'єднаємо з N лінією кінцевої довжини, наприклад ламаною лінією, що лежить усередині і нехай d - найкоротша відстань від кордону S області D (d - позитивне число). В силу доведеного вище дорівнює постійній кулі з центром і радіусом d. Нехай - остання точка перетину лінії з поверхнею згаданої кулі, якщо рахувати від Ми маємо і по доведеному вище дорівнює постійній і в кулі з центром і радіусом d. Нехай остання точка перетину l з поверхнею цієї кулі. Як і вище, функція дорівнює постійної і в кулі з центром і радіусом d і т. д. Шляхом побудови кінцевого числа таких куль ми і переконаємося в тому, що потрібно було довести. Можна також показати, що не може мати всередині D ні максимумів, ні мінімумів. Користуючись доведеною властивістю гармонійних функцій, дуже легко показати, що внутрішнє завдання Диріхле, про яку ми згадували у , може мати лише одне рішення. Дійсно, якщо припустити, що існують дві функції гармонійні всередині D і приймаючі на поверхні S цієї області одні і ті ж граничні значення, то різниця буде також задовольняти всередині D рівняння Лапласа, тобто буде гармонічною функцією, і її граничні значення на поверхні 5 скрізь дорівнюють нулю. Звідси, з доведеного вище, безпосередньо випливає, що звертається в нуль тотожно у всій області бо інакше вона мала б досягати всередині позитивного найбільшого значення чи негативного найменшого значення, що неможливо. Таким чином два розв'язання задачі Диріхле повинні збігатися у всій області D. Так само доводиться єдиність зовнішньої задачі Діріхле, якщо врахувати, що за умовою в нескінченно далекій точці гармонійна функція повинна звертатися в нуль.

Цілком аналогічні властивості виходять і для гармонійних функцій на площині. В даному випадку замість формули (13) ми матимемо формулу

і теорема про середнє виражатиметься у вигляді

де - коло з центром і радіусом R. Для зовнішньої задачі Дирихле в нескінченно далекій точці потрібно не звернення в нуль, як у тривимірному випадку, але лише існування якоїсь кінцевої межі, і єдиність завдання Дирихле треба доводити інакше, ніж у колишньому випадку. Ми наведемо цей доказ у тому IV, де розглянемо завдання Діріхле і Неймана докладніше.

Зазначимо зараз, що будь-яка постійна є гармонійною функцією, що задовольняє граничну умову

звідки видно, що якщо до розв'язання задачі Неймана додати довільну постійну, то отримана сума також буде розв'язанням задачі Неймана з тими самими граничними значеннями, тобто розв'язання задачі Неймана визначається з точністю до довільного постійного доданку. З формули (12) випливає також, що функція, що входить у граничну умову внутрішнього завдання Неймана, не може бути довільною, але повинна задовольняти умову

На закінчення відзначимо ще, що формула (13) справедлива і в тому випадку, коли є гармонійна функція в нескінченній ділянці, утвореної частиною простору, що знаходиться поза поверхнею S. При цьому треба тільки зробити припущення про порядок трошки на нескінченності, тобто при Безмежне видалення точки М. Достатньо (і необхідно) припустити, що при безмежному видаленні мають місце нерівності

Функція а(t) називається гармонійною, якщо вона змінюється за синусоїдальним або косинусоїдальним законом:

а(t) = А m Cos(ωt + φ) = А m sin(ωt + ψ).

Тут аргумент υ(t) = ωt + ψ називається фазою. Величина ψ = φ + π/2, що дорівнює значенню фази при t = 0 називається початковою фазою. Найбільше значення функції – амплітуда А m, найменше значення – (–А m).

Фаза гармонійної функції збільшується в часі. Швидкість ω її зміни називається кутовою частотою і вимірюється в
рад/с. Гармонійна функція – найпростіший вид періодичної функції. Величина f, обернена до періоду функції Т, називається лінійною частотою і вимірюється в герцах, позначається Гц.

Режим схеми, що встановився, називається такою, при якому закон зміни напруги і струму не змінюється протягом всього досліджуваного ін-

тервала часу. В іншому випадку режим є перехідним.

Розглянемо усталені процеси.

Побудуємо графік гармонійної функції:

1. Виберемо масштаб. По осі абсцис - фазу ωt, щоб визначити період функції 2π. По осі ординат – ампери (якщо це функція струму) чи вольти (якщо це функція напруги). Відкладемо амплітуду функції А m (рис. 2.2):

3. Зрушуємо побудовану функцію осі абсцис на величину початкової фази ψ. Якщо ψ > 0, то зрушуємо її вліво, тобто функція а(ωt) випереджає початок відліку осі абсцис на величину ψ. Якщо ψ< 0, то сдвигаем вправо, то есть

функція а(ωt) відстає від початку відліку на величину?

Наприклад, при , отримаємо (рис. 2.4):

Приклад 9. Побудувати графік функції струму i(t) = 2 Sin(ωt + ) А.

1. Вибираємо масштаб по осях ординат (рис. 2.5).

2. Будуємо функцію i'(t) = 2 Sin(ωt +0) А (рис. 2.6).

3. Зсуваємо побудовану функцію по осі абсцис наліво, так як

Ψ = > 0 (рис. 2.7):

3. Зрушуємо побудовану функцію по осі абсцис направо, оскільки

Ψ = – < 0 (рис. 2.10).

Середнє та діюче значення гармонійних струмів та

напруг

Середнє значення періодичної функції i(t), u(t), за період Т визначається виразом:

Середнє значення залежить від часу t 0 .

Середнє значення період гармонійної функції (а такими є струм і напруга (е.д.с.)) дорівнює нулю.

Чинним значенням періодичної функції i(t) , u(t) називається середнє квадратичне значення цієї функції за період Т:

.

за фізичного змістучинне значення періодичного струму за період – це такий постійний струм, Що, проходячи черев постійний опір, виділяє те ж кількість тепла, що і даний струм.

Чинне значення I, U, E гармонійної функції i(t), u(t),

Раз менше амплітуди

) - 1 , ) - 1 , ) - 1 .

Отже,

Приклад 11. Струм i(t) = 5Sin(ωt + ). Визначити середнє, чинне та
амплітудне його значення.

Середнє значення I СР = 0, оскільки i(t) – гармонійна функція. Амплітудне значення I m = 5 А, а чинне) - 1 = 0,707 · 5 = = 3,535 А.

Операції з комплексними числами

У математиці та електротехніці знаходить достатньо широке застосування уявна одиниця, що лежить в основі комплексних чисел.

У загальному випадкукомплексні величини, за винятком струму та напруги, позначаються як символ і жирна риса під ним: А. Комплексні числа мають п'ять форм уявлення.

Алгебраїчна

А= а + jb; а = Rе [ A]; b = Im[ А] .

тут а і b – відповідно дійсна та уявна складові числа А .

Показова

А= А·е j ψ ,

де А = − модуль числа А, − аргумент числа А.

Полярна

Тригонометрична

А= АCosψ + jАSinψ,

де АCosψ = ​​а; АSinψ = b.

Геометрична –число у вигляді вектора на комплексної площини(Рис. 2.11).

Два комплексних числа називають сполученими, якщо їх речові складові збігаються, а уявні розрізняються лише знаками, Сполучене числу А комплексне числопозначається. Якщо А= а + jb, = а - jb.

Додавання та віднімання комплексних чисел можна робити в алгебраїчній та геометричні форми, однак у розрахунках – тільки в алгебраїчній:

А 1 + А 2 = (а 1 + jb 1) ± (а 2 + jb 2) = (а 1 ± а 2) + j(b 1 ± b 2)

Множення та поділ краще робити у показовій формі

А 1 · А 2 = А 1 · А 2 · = А 1 · А 2 · ,

=

приклад 12.Дано А 1 = 2 + j3; А 2 = 5 - j10. Визначити суму та різницю
чисел А 1 і А 2 .

А 1 + А 2 = 2 + j3 + (5 - j10) = 7 - j7;

А 1 – А 2 = 2 + j3 - (5 - j10) = - 3 + j13.

приклад 13.Дано А 1 = 10 · j 30 °; А 2 = 20 е -j6 0 °. Визначити твір
та приватне чисел А 1 і А 2 .

3 = А 1 · А 2 = 10 е j 30 ° · 20 е -j6 0 ° = 200 е -j3 0 ° .

4 = А 1 · = 10 · j 30º · (20 е -j6 0 °) -1 = 0,5 · j 90º = 0,5j.

Найчастіше у розрахунках виникає необхідність переходу від показової форми комплексного числа до алгебраїчної чи навпаки. Пропонуються алгоритми переходу.

Алгоритмпереходу від показової А е jψ форми до алгебраїчної а + jb.

1. Визначаємо Cosψ.

2. Визначаємо А·Cosψ = ​​а (скидання).

3. Визначаємо Sin ψ.

4. Визначаємо А · Sin ψ = b.

Алгоритмпереходу від алгебраїчної а + jb форми до показової А jj .

1. Визначаємо - Розрахований аргумент ψ.

2. Істинний аргумент ψ визначається за ψ РОЗЧ залежно від квадранта відповідно до схеми (рис. 2.12):

3. Визначаємо Sin ψ РОЗЧ.

4. Визначаємо .

Приклад 14. Перекласти А= 10 · в алгебраїчну форму.

А= 10 ·; .

10 · 0,865 + j10 · 0,5 = 8,65 + j5.

Перекласти А=3 + j6 у показову форму.

; ψ РОЗЧ = arctg 2 = 63 °; А = 6,7;

А= 6,7 j63 ° .

2.4. Подання гармонійної функції на комплексній
площині

Значення струмів і напруг, що встановилися лінійних схемпри впливі гармонійних сигналів у принципі можуть бути знайдені шляхом складання та вирішення відповідних цим процесам диференціальних рівнянь. Однак це досить складний шлях.

Наприкінці ХIХ століття американськими інженерами А. Кеннелі та І. Штейнметцем було запропоновано простіший шлях, заснований на уявленні гармонійних функцій часу у вигляді комплексних чисел, тобто на перекладі вихідних функцій з тимчасової області в частотну.

Введемо поняття комплексних амплітудних значень гармонійних функцій струму (напруги, е.р.с.). Уявімо для цього кожну з цих функцій у вигляді вектора на комплексній площині, довжина якого дорівнює амплітуді А m . При цьому він обертається з круговою частотою проти годинникової стрілки (рис. 2.13).

Якщо зупинити вектор у довільний момент часу t, його проекція а(t) на уявну вісь визначиться:

а(t) = А m · Sin (ωt + ψ).

При t = 0 а(0) = А m · Sinψ.

Таким чином, гармонійної функції а(t) = А m · Sin (ωt + ψ) відповідає комплексне число А m = А m е jψ.

Аналогічно гармонійним впливам

i(t) = I m · Sin (ωt + ψ i), u (t) = U m · Sin (ωt + ψ u) та е (t) = Е m · Sin (ωt + ψ е) значення струму або напруги гармонійної функції – це комплексне число, модуль якого дорівнює чинному значенню струму або напруги, а аргумент дорівнює початковій фазігармонійної функції. = 10 () 1 · = 7,07 В.

Справедливе та зворотне перетворення.

Відомо комплексне діюче значення струму = 0,2 j 70° А на частоті ω = 100 рад/с. Знайти гармонійну функцію струму.

i(t) = I m · Sin (ωt+ψ i) = I · · Sin (ωt+ψ i) = 0,2 · · Sin (100t+70°) =

Розглянемо рівняння Лапласа на площині

Рівняння (33) при переході до полярних координат перетворюється на вигляд

(33*)

Рис 14 Рис 14.1

Якщо у просторі перейти до сферичних координат

то рівняння (34) набуде вигляду

Функції U = U (x, y)на площині та U = U (x, y, z)у просторі, що мають безперервні приватні похідні другого порядку та задовольняють, відповідно, рівняння Лапласа (33) або (34) в деякій області D, називаються гармонійнимив цій області. Найпростішими прикладами гармонійних функцій є лінійні функції: U = ах + by + сна площині та U = ax + by + cz + dв просторі. Особливий інтереспредставляють рішення рівняння Лапласа, що мають сферичну або циліндричну (у разі двох незалежних змінних - кругову) симетрію.

Рішення U=U(r), Що має сферичну симетрію, визначатиметься зі звичайного диференціального рівняння

Це рівняння вийде, якщо підставити шукану функцію рівняння Лапласа (34*), записане в сферичних координатах. Інтегруючи це рівняння, знаходимо

Де C 1і C 2- Довільні постійні. Вважаючи C 1 =1, C 2 =0, отримаємо функцію

Яку часто називають фундаментальним рішенням рівняння Лапласа у просторі.Функція U 0є гармонійною скрізь у просторі, крім початку координат 0 .

Аналогічно, вважаючи U=U(r)і користуючись рівнянням Лапласа в циліндричних або полярних координатах, знайдемо рішення, що мають циліндричну або кругову симетрію:

Вибираючи З 1 =-1і З 2 =0, матимемо функцію

Яку називають фундаментальним рішенням рівняння Лапласа на площині(у разі двох незалежних змінних). Функція U 0задовольняє рівняння Лапласа (33) всюди на площині, крім початку координат 0, де вона перетворюється на нескінченність. Фундаментальні рішеннярівняння Лапласа мають, крім великого значенняу теорії гармонійних функцій, важливий фізичний зміст.

Розглянемо у просторі електричне поле, утворене точковим зарядомвеличини q поміщеним на початок координат. Тоді потенціал цього поля дорівнює

Аналогічно, якщо розглянути поле, створюване зарядженої прямої, то потенціал такого поля дорівнюватиме

Теорема про середнє.Нехай функція U = U (x, y) Dрадіусу Rз центром (х o, у o)і безперервна у відповідному замкнутому коліТоді значення цієї функції в центрі кола дорівнює її середнього значення на колі Г , що обмежує дане коло, тобто

За доказом цієї теореми застосуємо інтегральну формулуПуассона для кола, яка буде доведена пізніше у лекції 10 . Вона має вигляд (див. рис. 15)

Якщо у цій формулі покласти ρ=0 , то вийде формула (35).

Теорему про середнє можна уявити й іншій формі. Для цього запишемо формулу (35) для довільного кола радіусу r, Де (див. рис.15.1):

Мал. 15 Мал. 15.1

Помноживши обидві частини рівності (36) на rdrі проінтегрувавши по rв межах від 0 до R, Отримаємо:

де D- коло радіусу R. Розділивши обидві частини набутої рівності на R 2 /2, будемо мати

У правій частині формули (37) записано середнє значення гармонійної функції U(x, y)у колі радіусу R.

Має місце та зворотна теорема: якщо в деякій області Dфункція U = U (x, y)безперервна і для кожної точки виконується теорема про середнє в будь-якому скільки завгодно малому колі з центром у точці (х о, у о), то ця функція гармонічна в D. З формули (37) виходить:

Слідство. Якщо функція U = U (x, y)гармонійна в деякому колі Dрадіусу Rі безперервна у відповідному замкнутому колі

Число називають нормою функції U = U (x, y)в області D, і нерівність (38) можна переписати у вигляді

Нерівність (38) доводиться дуже просто, якщо скористатися відомою нерівністю Коші-Буняковського:

Застосуємо цю нерівність до формули (37):

Гармонічні функції, крім вищезазначених властивостей, мають і багато інших властивостей. Наведемо ще два з них.

Нерівність Харнака.Нехай функція гармонійна в деякому колі Dрадіусу Rз центром (x o , у o)і безперервна у відповідному колі Тоді за будь-якого вона задовольняє нерівності