Гармонійна функція в математичній фізиці. Гармонійна функція

Розглянемо рівняння Лапласа на площині

Рівняння (33) при переході до полярних координат перетворюється на вигляд

(33*)

Рис 14 Рис 14.1

Якщо у просторі перейти до сферичних координат

то рівняння (34) набуде вигляду

Функції U = U (x, y)на площині та U = U (x, y, z)у просторі, що мають безперервні приватні похідні другого порядку та задовольняють, відповідно, рівняння Лапласа (33) або (34) в деякій області D, називаються гармонійнимив цій області. Найпростішими прикладами гармонійних функцій є лінійні функції: U = ах + by + сна площині та U = ax + by + cz + dв просторі. Особливий інтереспредставляють рішення рівняння Лапласа, що мають сферичну або циліндричну (у разі двох незалежних змінних - кругову) симетрію.

Рішення U=U(r), Що має сферичну симетрію, визначатиметься зі звичайного диференціального рівняння

Це рівняння вийде, якщо підставити шукану функцію рівняння Лапласа (34*), записане в сферичних координатах. Інтегруючи це рівняння, знаходимо

Де C 1і C 2- Довільні постійні. Вважаючи C 1 =1, C 2 =0, отримаємо функцію

Яку часто називають фундаментальним рішенням рівняння Лапласа у просторі.Функція U 0є гармонійною скрізь у просторі, крім початку координат 0 .

Аналогічно, вважаючи U=U(r)і користуючись рівнянням Лапласа в циліндричних або полярних координатах, знайдемо рішення, що мають циліндричну або кругову симетрію:

Вибираючи З 1 =-1і З 2 =0, матимемо функцію

Яку називають фундаментальним рішенням рівняння Лапласа на площині(у разі двох незалежних змінних). Функція U 0задовольняє рівняння Лапласа (33) всюди на площині, крім початку координат 0, де вона перетворюється на нескінченність. Фундаментальні рішеннярівняння Лапласа мають, крім великого значенняу теорії гармонійних функцій, важливий фізичний зміст.

Розглянемо у просторі електричне поле, утворене точковим зарядомвеличини q поміщеним на початок координат. Тоді потенціал цього поля дорівнює

Аналогічно, якщо розглянути поле, створюване зарядженої прямої, то потенціал такого поля дорівнюватиме

Теорема про середнє.Нехай функція U = U (x, y) Dрадіусу Rз центром (х o, у o)і безперервна у відповідному замкнутому коліТоді значення цієї функції в центрі кола дорівнює її середнього значення на колі Г , що обмежує дане коло, тобто

За доказом цієї теореми застосуємо інтегральну формулу Пуассона для кола, яка буде доведена пізніше в лекції 10 . Вона має вигляд (див. рис. 15)

Якщо у цій формулі покласти ρ=0 , то вийде формула (35).

Теорему про середнє можна уявити й іншій формі. Для цього запишемо формулу (35) для довільного кола радіусу r, Де (див. рис.15.1):

Мал. 15 Мал. 15.1

Помноживши обидві частини рівності (36) на rdrі проінтегрувавши по rв межах від 0 до R, Отримаємо:

де D- коло радіусу R. Розділивши обидві частини набутої рівності на R 2 /2, будемо мати

У правій частині формули (37) записано середнє значення гармонійної функції U(x, y)у колі радіусу R.

Має місце та зворотна теорема: якщо в деякій області Dфункція U = U (x, y)безперервна і для кожної точки виконується теорема про середнє в будь-якому скільки завгодно малому колі з центром у точці (х о, у о), то ця функція гармонічна в D. З формули (37) виходить:

Слідство. Якщо функція U = U (x, y)гармонійна в деякому колі Dрадіусу Rі безперервна у відповідному замкнутому колі

Число називають нормою функції U = U (x, y)в області D, і нерівність (38) можна переписати у вигляді

Нерівність (38) доводиться дуже просто, якщо скористатися відомою нерівністю Коші-Буняковського:

Застосуємо цю нерівність до формули (37):

Гармонічні функції, крім вищезгаданих властивостей, володіють і багатьма іншими властивостями. Наведемо ще два з них.

Нерівність Харнака.Нехай функція гармонійна в деякому колі Dрадіусу Rз центром (x o , у o)і безперервна у відповідному колі Тоді за будь-якого вона задовольняє нерівності

ГАРМОНІЧНІ ТА БІГАРМОНІЧНІ ФУНКЦІЇ.

КУРСОВА РОБОТА

Вступ…………………………………………………………………………3

Глава 1. Гармонійні функції.

1.1. Властивості гармонійних функцій.

Розділ 2. Бігармонійна функція.

Єдиність рішення.

Подання бігармонічних функцій через гармонійні функції.

Рішення бігармонійного рівняння для кола.

Вступ

Теорія гармонійних функцій є одним з найбільш витончених і струнких розділів класичного аналізу. Будучи у багатьох відношеннях природним узагальненням лінійних функційоднією змінною, гармонійні функції є в певному сенсінайпростішими функціями кількох змінних. Водночас запас таких функцій дуже багатий та різноманітний. Вони займають важливе місце у багатьох математичних дослідженнях, а й у додатках аналізу до фізики і механіці, де часто описуються різні стаціонарні процеси.

Проте цим вичерпується значення гармонійних функцій у аналізі. Ряд властивостей гармонійних та бігармонічних функцій, методи дослідження та апарат теорії, розглянуті в даної роботи, служать зразком для постановки завдань та отримання тих чи інших результатів, що належать до інших розділів аналізу, і насамперед до загальної теоріїдиференціальних рівнянь з окремими похідними еліптичного виду.

У традиційному університетському курсі математичного аналізу з різних причин немає місця для систематичного викладу основних чинників теорії гармонійних і бігармонічних функцій. Відомості, що містяться там про гармонійні і бігармонічні функції, як правило, є дуже мізерними, носять епізодичний характер і розкидані в різних місцях, де вони наводяться зазвичай на другому плані. Тому при написанні роботи було взято матеріал із книг, присвячених диференціальним рівнянням математичної фізики, векторному аналізу, теорії аналітичних функцій та інші.

Місце, яке займає теорія гармонійних функцій в аналізі, її безперервний розвиток різних напрямкахі розширення області застосувань виправдовують прагнення ознайомлення з цією теорією в її класичному варіанті, де вже досить чітко намічені деякі можливі точки зору і сформульовані типові методи, що багато в чому визначають напрямок низки сучасних досліджень. Саме з цією метою і написано цю роботу.

Глава 1. Гармонійні функції.

Гармонічною в області D функцією називається дійсна функція двох дійсних змінних, що володіє в цій області безперервними іншими приватними похідними і задовольняє диференційного рівняння

(Символ диференціального оператора). Це рівняння зазвичай називають рівнянням Лапласа. Однак Лаплас розглянув його в 1782 р., а задовго до нього це рівняння використовував Л. Ейлер у своїх роботах з гідродинаміки та інших розділів математичної фізики. Зауважимо відразу, що через лінійність рівняння Лапласа будь-яка лінійна комбінація

гармонійних функцій із дійсними постійними коефіцієнтами знову є гармонічною функцією.

Властивості гармонійних функцій.

З'ясуємо передусім зв'язок між поняттями аналітичних та гармонійних функцій. Цей зв'язок виявляється у наступних двох простих теоремах:

Теорема 1 .Дійсна та уявна частини довільної функції, однозначної та аналітичної в області D, є в цій галузі гармонійними функціями.

Доказ безпосередньо випливає із умов Коші-Рімана

Справді, оскільки аналітичні функції мають похідними всіх порядків, то рівняння можна диференціювати в. Диференціюючи перше їх, а друге і користуючись теоремою про рівність змішаних похідних знаходимо:

Для функції підтвердження аналогічне.

Дві гармонійні області D функції і, пов'язані умовами Коші – Рімана, називаються сполученими.

Теорема 2. Для будь-якої функції, гармонійної в однозв'язковій ділянці D, можна знайти пов'язану з нею гармонійну функцію.

Справді, розглянемо інтеграл

де - фіксована, а - змінна точка області D. Через рівняння Лапласа, цей інтеграл залежить від шляху інтегрування і є функцією лише точки; ми позначаємо цю функцію. Маємо, користуючись властивостями криволінійних інтегралів,

(ми можемо брати інтеграл від до по горизонтальному відрізку, на якому; аналогічно, . Отже, і є шуканою функцією, пов'язаною з функцією. Так як функція визначається своїми приватними похідними з точністю до постійного доданку, то сукупність всіх гармонійних функцій, пов'язаних з, дає формула

де С - довільна (дійсна) постійна.

Зауважимо, що у багатозв'язковій області D інтеграл визначає, взагалі кажучи, багатозначну функцію. Він може приймати різні значення вздовж двох шляхів L і, що з'єднують точки і якщо ці шляхи не можна деформувати один в одного, залишаючись в області D (тобто якщо всередині області, обмеженої L і є точки не належать D). Можна стверджувати, що у багатозв'язковій області загальна формуладля значень функції, що визначається інтегралом має вигляд:

де довільні цілі числа та інтеграли вздовж замкнутих контурів, кожен з яких містить у собі одну зв'язкову частину кордону D:

Постійні називаються періодами інтегралу

чи циклічними постійними.

Якщо в деякій ділянці D', що лежить в D, можна виділити однозначну і безперервну гілку функції, що визначається формулою

То ця гілка, очевидно, є гармонійною функцією, пов'язаною з тому функцію вважають багатозначною гармонійною функцією. Зауважимо, що окремі похідні цієї функції однозначні: ; це випливає із формули.

Теорему2 можна, очевидно, сформулювати так:

Теорема 2’. Будь-яку гармонічну в ділянці D функцію можна розглядати як дійсну або уявну частину деякої аналітичної функції; ця остання визначається з точністю до постійного доданку, відповідно уявного чи дійсного.

Теорема 3.Будь-яка гармонійна функція є аналітичною функцією своїх аргументів, і. в околиці кожної точки області D вона представляється у вигляді суми ряду, що абсолютно сходить.

Насправді, за теоремою 2' можна розглядати як дійсну частину функції, однозначної та аналітичної в деякій околиці точки. Нехай у цій околиці

де. Дійсна частина загального члена ряду, абсолютної величинине перевершує, бо оскільки з теоремі Абеля ряд абсолютно сходиться у кожному колі, тобто. ряд сходиться при, то й ряд із загальним членом абсолютно сходитися при. Цей ряд і є рядом для. Після перегрупування його членів (що законно через доведену абсолютну збіжність), ми отримуємо необхідний ряд

Теорему доведено.

Теорема 4 (про середнє).Якщо функція безперервна в замкнутому колі радіуса з центром у точці та гармонійна всередині цього кола, то

Доказ випливає безпосередньо з формули

відділенням дійсних елементів.

Теорема 5. Відмінна від постійної гармонійна функція не може досягати екстремуму в внутрішньої точкигалузі визначення.

Теорему досить довести на випадок максимуму, бо точка мінімуму гармонійної функції є точкою максимуму функції - ,також гармонійної. Припускаючи неприємне, припустимо, що гармонійна функція досягає максимуму у внутрішній точці області.

На околиці точки побудуємо однозначну аналітичну функцію таку, що. Функція аналітична і непостійна, а її модуль, на нашу думку, досягає максимуму у внутрішній точці області. це суперечить принципу максимуму. Теорему доведено.

Теорема 6. Якщо гармонічна у всій відкритій площині функція обмежена хоча б згори чи знизу, вона постійна.

Справді, нехай обмежена зверху: Побудуємо аналітичну у всій відкритій площині таку функцію. За умовою теореми всі значення функції лежать у напівплощині, отже, постійна, отже, постійна і.

Наступні дві теореми встановлюють характер ліній рівня гармонійних функцій, тобто. сукупностей точок, для яких.

Теорема 7. Якщо відмінна від постійної гармонійна функція має замкнуту лініюрівня всередині лінії знаходиться хоча б одна особлива точка цієї функції.

Насправді, в іншому випадку функція, безперервна в замкнутої області, обмеженою лінією рівня, має досягати свого найбільшого значенняі найменшого значення. По теоремі 5 крапки і мають лежати межі області, тобто. на лінії рівня; отже, і функція стала.

Теорема 8. Будь-яка досить мала околиця точки лінії рівня розбивається цією лінією на парне числосекторів, у яких поперемінно набуває значення, більші та менші.

Функція дорівнює нулю у точці; підібравши до неї пов'язану функцію так, щоб, отримаємо аналітичну функцію, також рівну нулю в точці. Позначимо через nПорядок цього нуля, тоді в околиці точки маємо і, отже, де і В- деякі постійні і означає малу порядку вище при. Звідси видно, що для досить малих при зміні від 0 до 2 різниця звертається в нуль 2 n разів, змінюючи у своїй знак. Теорему доведено.

Теорема 9. Якщо функція безперервна в області D і в будь-якій точці для малого

то функція гармонійна D.

Наш доказ ґрунтується на теоремі існування гармонійної функції, яка приймає на межі однозв'язкової області задані значення. Нехай - довільна точка D і - замкнута область, що належить D і містить точку всередині. Побудуємо гармонійну функцію, приймаючу межі області самі значення, як і функція і позначимо.

По побудові та умовам доказуваної теореми функція безперервна і дорівнює нулю на межі цієї області. Крім того, значення в центрі будь-якого кола, що належить, дорівнює середньому арифметичному її значень на колі цього кола, бо цією властивістю мають обидві функції і: перша за умовою, а друга за теоремою про середнє.

Звідси випливає, що функція не може досягати екстремуму у внутрішніх точках. Оскільки на кордоні всюди максимальне і мінімальне значення дорівнюють нулю, отже, всюди. Це означає, що всюди функція збігається з гармонійною функцією і, зокрема, гармонійна в точці. Оскільки довільна точка D то теорема доведена.

Теорема 10.Нехай задана послідовність функцій, гармонійних області D і безперервних в. Якщо ряд поступово сходиться на межі D, він рівномірно сходиться і всередині D, причому його сума є гармонійною в D функцією.

З принципу екстремуму випливає рівномірна збіжність ряду всередині D. Насправді, за відомою ознакою ознаки збіжності Коші з рівномірної збіжності ряду на межі області D випливає, що для будь-якого знайдеться ціле число N таке, що для будь-якого цілого позитивного рі всіх точок кордону

Так як сума, що стоїть під знаком модуля, гармонійна, то за принципом екстремуму і для всіх точок області

Але за тим самим принципом Коші звідси випливає рівномірна збіжність низки. Залишається показати, що сума цього ряду – гармонійна функція. Для цього скористаємося теоремами 9 і 4. Для будь-якого малого маємо:

(Почленное інтегрування низки законно з його рівномірної збіжності). По теоремі 4 інтеграли праворуч рівні, отже,

і по теоремі 9 функція гармонійна у точці. Теорему доведено, оскільки довільна точка області D.

Теорема 11.Якщо функція гармонійна в ділянці D і аналітична в деякій ділянці функція, значення якої лежать в D, то складна функціягармонійна в.

Справді, побудуємо (можливо, багатозначну) аналітичну функцію, на яку. Функція, очевидно, аналітична у сфері і, отже, гармонійна у цій галузі.

Теорема 12.Якщо функція гармонійна в однозв'язній ділянці D і безперервна разом зі своїми приватними похідними,

де C - межа області D і позначає похідну в напрямку нормалі до C, a - диференціал дуги.

Побудуємо у поєднану до гармонійну функцію; вона однозначна з однозв'язності D. Умови Коші – Рімана можна записати як

де позначає похідну в напрямку дотичної до деякої кривої, а - похідну в напрямку нормалі до неї (так, що обертання від вектора відбувається проти годинникової стрілки). З огляду на безперервність приватних похідних, отже, та його комбінацій і, рівність має місце і межі З області D. тому вздовж замкнутого контуруЗ

з однозначності функції.

Розділ 2. Бігармонійна функція.

Рівняння називається бігармонічним, яке рішення, мають похідні до 4-го порядку включно, називаються бігармонічними функціями.

Основне крайове завдання для бігармонічного рівняння ставиться так:

Знайти функцію, безперервну разом з першою похідною в замкнутій області S+C, що має похідні до 4-го порядку S, що задовольняє рівняння всередині S і граничним умовам на С

де і - безперервні функціїдуги s.

При вирішенні завдання (з граничними умовами та на кордоні, крім того, функція повинна задовольняти початковим умовам) з початковими умовами шляхом поділу змінних вважають, як завжди,

Підставляючи цей вираз у рівняння і розділяючи змінні, ми приходимо до завдання знайти. власних значеньрівняння

За граничних умов

1.1 Єдиність рішення.

Доведемо, що бігармонічне рівняння

за граничних умов

має єдине рішення.

Нехай існує два рішення. Розглянемо їхню різницю

Функція задовольняє бігармонійному рівнянню та однорідним граничним умовам

Застосовуючи формулу Гріна

до функцій, отримуємо:

Беручи до уваги, що отримуємо в. Отже, бігармонійна функція однозначно визначається граничними умовами

Подання бігармонічних функцій через гармонійні функції.

Доведемо таку теорему:

Якщо і - дві гармонійні в деякій області функції G, то функція бігармонійна в області G.

Для доказу скористаємось тотожністю

Вважаючи, знайдемо

Застосовуючи ще раз оператор, враховуючи, що отримаємо:

Якщо область G така, що кожна пряма паралельна осі, перетинає її межу лише у двох точках, має місце зворотна теорема:

для кожної заданої в області G бігармонійної функції знайдуться такі гармонічні функції, що

Для доказу цього твердження, очевидно, достатньо встановити можливість вибору функції, яка б задовольняла двом умовам:

З умови та формули випливає:

Цьому рівнянню задовольняє функція

Так як =, залежить тільки від:.

Визначимо функцію так, щоб і покладемо. Ця функція очевидно задовольнятиме умовам.

Розглянемо інший вид уявлення гармонійних функцій. Припустимо, що початок координат вибрано всередині області G в одній точці. Тоді будь-яка бігармонійна G функція може бути представлена ​​за допомогою двох гармонійних функцій і у вигляді. Тут

А – задана постійна. Це доводиться Аналогічно за допомогою тотожності

та співвідношень.

Рішення бігармонійного рівняння для кола.

Розглянемо коло радіусу з центром на початку координат і шукатимемо бігармонічну функцію, що задовольняє за граничних умов

Як було зазначено вище потрібну функцію можна представити у вигляді суми,

де - гармонійні функції. З граничних умов знаходимо:

Звідси видно, що є вирішення першого крайового завдання для рівняння Лапласа і може бути представлене за допомогою Пуассона інтеграла

З другої граничної умови отримуємо:

Неважко переконатися безпосереднім диференціюванням, що функція

Задовольняє рівняння Лапласа і тому може бути виражений інтегралом Пуассона

Продиференціювавши і підставляючи значення у формулу, знайдемо

Замінюючи у формулі та їх виразами, отримаємо:

Висновок.

Список використаної літератури

Володимиров B.C., Рівняння математичної фізики, М., 1967;

Гюнтер Н. М., Теорія потенціалу та її застосування до основних завдань математичної фізики, М., 1953;

Лаврентьев М. А., Ша6ат Би. Ст, Методи теорії функцій комплексного змінного, 3 видавництва, М., 1965.

Лаврентьєв М. М. Про деякі некоректні завдання математичної фізики Новосибірськ. 1962;

Маркушевич А. І., Теорія аналітичних функцій, 2 видавництва, т. 2, М., 1968;

Мусхелішвілі Н. І., Деякі основні завдання математичної теоріїпружності, 5 видавництва, М., 1966, гол. 2;

Привалов І. І. Граничні властивості аналітичних функцій, 2 видавництва, М.-Л. 1950;

Соломенцев Є. Д., Гармонічні та субгармонічні функції та їх узагальнення;

Тиман А. Ф., Трофімов Ст Н., Введення в теорію гармонійних функцій, М., 1968;

Закону. У пристроях-споживачах... гармонійний розвиток особистості Реферат >> Музика

Природними та суспільними умовами. Найважливішим завданням гармонійногорозвитку особистості та масового естетичного виховання... ставлення до життя та мистецтва характеризують цілісну, гармонійно розвинену особистість, моральне вдосконалення якої...

Розглянемо функцію U, гармонійну в обмеженій ділянці (D) з поверхнею (S). Вважаючи, що U безперервна разом з похідними другого порядку аж до (S) і застосовуючи формулу Гріна (6) до цієї функції U і гармонійної функції , отримаємо, в силу

тобто маємо першу властивість гармонійної функції: інтеграл від нормальної похідної гармонійної функції поверхнею області дорівнює нулю.

Якщо застосуємо до гармонійної функції U формулу (9), то в силу отримаємо

Це дає нам другу властивість гармонійної функції: значення гармонійної функції у будь-якій точці всередині області виражається через значення цієї функції та її нормальної похідної на поверхні області формулою (13).

Зазначимо, що інтеграли у формулах (12) і (13) не містять похідних другого порядку функції і для застосування цих формул досить припустити, що гармонійна функція безперервна разом з похідними першого порядку до (S). Щоб переконатися в цьому, достатньо трохи стиснути поверхню (S), написати формули (12) і (13) для стиснутої області (D), в якій є безперервність і похідних другого порядку аж до поверхні, а потім перейти до межі, розширюючи (D ) до (D). Стиснення можна зробити, наприклад, відкладаючи на внутрішній нормалі до (S) у кожній її точці один і той же малий відрізок довжини 8. Кінці цих відрізків утворюють нову (стислу) поверхню. При цьому поверхня (S) повинна бути такою, що описане перетворення при всіх досить малих 8 призводить до поверхні, яка не перетинає сама себе і є кусочно-гладкою. Це питання буде докладно викладено у томі IV.

Застосуємо формулу (13) до окремого випадку області, а саме до сфери з центром і радіусом R, вважаючи, звичайно, що

функція U гармонійна у цій сфері і безперервна з похідними першого порядку до її поверхні (21)

У даному випадкунапрямок зовнішньої нормалі збігається з напрямком радіусу сфери, тож ми матимемо

та формула (13) дає

Але на поверхні сфери величина має постійне значення R, так що

або, в силу (12), матимемо остаточно

Формула ця виражає третю властивість гармонійної функції: значення гармонійної функції в центрі сфери дорівнює середньому арифметичного значенняцієї функції лежить на поверхні сфери, т. е. дорівнює інтегралу від значень функції з поверхні сфери, поділеному площу цієї поверхні.

З цієї властивості майже з очевидністю випливає наступна четверта властивість гармонійної функції:

Функція, гармонійна всередині області і безперервна аж до кордону області, досягає свого найбільшого і найменшого значення тільки на межі області, крім того, коли ця функція є постійною. Наведемо докладний доказцього твердження. Нехай досягає найбільшого значення в деякій внутрішній точці тієї області, де гармонічна функція. Побудуємо сферу з центром і радіусом , що належить застосуємо формулу (14) і замінимо підінтегральну функцію U її найбільшим значенням на сфері.

причому знак рівності має місце лише у тому випадку, коли U на сфері є постійна, рівна . Оскільки за припущенням і є найбільше значення, ми можемо стверджувати, що має місце знак рівності, і що, отже,

Рівна постійної всередині та на поверхні будь-якої сфери з центром, що належить D. Покажемо, що звідси випливає, що є постійна і у всій області

Нехай N - будь-яка точка, що лежить усередині D. Нам треба показати, що З'єднаємо з N лінією кінцевої довжини, наприклад ламаною лінією, що лежить усередині і нехай d - найкоротша відстань від кордону S області D (d - додатне число). В силу доведеного вище дорівнює постійній кулі з центром і радіусом d. Нехай - остання точка перетину лінії з поверхнею згаданої кулі, якщо рахувати від Ми маємо і по доведеному вище дорівнює постійній і в кулі з центром і радіусом d. Нехай остання точка перетину l з поверхнею цієї кулі. Як і вище, функція дорівнює постійній і в кулі з центром і радіусом d і т. д. Шляхом побудови кінцевого числатаких куль ми й переконаємося в тому, що і потрібно довести. Можна також показати, що не може мати всередині D ні максимумів, ні мінімумів. Користуючись доведеною властивістю гармонійних функцій, дуже легко показати, що внутрішнє завдання Диріхле, про яку ми згадували у , може мати лише одне рішення. Дійсно, якщо припустити, що існують дві функції гармонійні всередині D і приймаючі на поверхні S цієї області одні і ті ж граничні значення, то різниця буде також задовольняти всередині D рівняння Лапласа, тобто буде гармонічною функцією, і її граничні значення на поверхні 5 скрізь дорівнюють нулю. Звідси, з доведеного вище, безпосередньо випливає, що звертається в нуль тотожно у всій області бо інакше вона мала б досягати всередині позитивного найбільшого значення чи негативного найменшого значення, що неможливо. Таким чином два розв'язання задачі Диріхле повинні збігатися у всій області D. Так само доводиться єдиність зовнішнього завданняДіріхле, якщо врахувати, що за умовою в нескінченно далекій точці гармонійна функція повинна перетворюватися на нуль.

Цілком аналогічні властивості виходять і для гармонійних функцій на площині. В даному випадку замість формули (13) ми матимемо формулу

і теорема про середнє виражатиметься у вигляді

де - коло з центром і радіусом R. Для зовнішньої задачі Дирихле в нескінченно далекій точці потрібно не звернення в нуль, як у тривимірному випадку, але лише існування будь-якого кінцевої межі, і єдиність завдання Діріхле треба доводити інакше, ніж у колишньому випадку. Ми наведемо цей доказ у тому IV, де розглянемо завдання Діріхле і Неймана докладніше.

Зазначимо зараз, що будь-яка постійна є гармонійною функцією, що задовольняє граничну умову

звідки видно, що якщо до розв'язання задачі Неймана додати довільну постійну, то отримана сума також буде розв'язанням задачі Неймана з тими самими граничними значеннями, тобто розв'язання задачі Неймана визначається з точністю до довільного постійного доданку. З формули (12) слід також, що функція, що входить у граничну умову внутрішнього завданняНеймана, не може бути довільною, але має задовольняти умову

На закінчення відзначимо ще, що формула (13) справедлива і в тому випадку, коли є гармонійна функція в нескінченній ділянці, утвореної частиною простору, що знаходиться поза поверхнею S. При цьому треба тільки зробити припущення про порядок трошки на нескінченності, тобто при Безмежне видалення точки М. Достатньо (і необхідно) припустити, що при безмежному видаленні мають місце нерівності

Зв'язок із аналітичними функціями. Аналітичні функції тісно пов'язані з гармонійними функціями двох змінних, т. е. з рішеннями двовимірного рівняння Лапласа

Насправді, диференціюючи першу з умов аналітичності

Ми знайдемо, що функція і дійсна частина аналітичної функції є гармонійною функцією. Так само доводиться, як і уявна частина аналітичної функції є функцією гармонійної.

буде аналітичною в D. Справді, через рівняння (1)

в однозв'язковій області є точним диференціалом деякої функції v, яка і є шуканою. Таким чином, пов'язані гармонійні функції перебувають простим інтегруванням.

З властивостей аналітичних функцій можна виводити відповідні властивості гармонійних функцій (за бажання можна надходити і навпаки). Так, ми можемо стверджувати, кожна гармонійна функція нескінченно диференційована. З формули (19) попереднього параграфа відділенням дійсних частин ми отримуємо теорему про середнє для гармонійних функцій:

належить області гармонійності та.

Ця теорема одна із основоположних фактів теорії гармонійних функцій. З неї, зокрема, виходить важливий принципекстремуму: непостійна гармонійна в ділянці D функція не може досягати всередині D ні максимуму, ні мінімуму.

повинна досягати і мак-

всюди D.

Виникає природне завдання відновлення гармонійної області функції за її граничним значенням. Це завдання є основним у теорії гармонійних функцій та її додатках і називається завданням Діріхле. Ось як вона формулюється:

Наведене вище міркування показує, що завдання Діріхле не може мати двох різних рішень, тобто доводить єдиність розв'язання цього завдання. Більш тонким і складним фактом є існування вирішення завдання Диріхле. Втім, для низки найпростіших областей існування рішення можна довести прямою конструкцією.

застосувати інтегральну формулу Коші:

і, отже, скористаємося теоремою

Тепер ми віднімемо цю рівність із попередньої, попередньо підрахувавши, що

1 ми маємо

ми отримаємо

тепер стоїть дійсний множник. Відокремлюючи в останній формулі дійсні частини, ми отримаємо так званий інтеграл Пуассона

визначає гармонійну в колі функцію u(z) із заданими граничними значеннями.

Перетворенням формули Коші (4), схожим на описане, можна отримати інтеграл Шварца, який відновлює аналітичну в одиничному колі функцію f(z) за граничними значеннями її дійсної частини:

це завдання, очевидно, вирішується з точністю до уявної постійної.

позначають, відповідно, значення дійсної частини f на нижній і верхній межахсмуги.

гармонійна в А. Теорема доводиться прямим підрахунком, за яким оператор Лапласа

Зокрема, гармонійність зберігається при конформних відображеннях, які є взаємно однозначними аналітичними перетвореннями.

Зв'язок теорії гармонійних функцій з теорією конформних відображень проявляється у зв'язку з відповідними граничними завданнями. Основним граничним завданням теорії конформних відображень є наступне завдання Рімана:

Реалізує конформне відображення однієї з цих областей на іншу.

Залишається повернутися до змінної г та скористатися збереженням гармонійності при конформних відображеннях; ми отримаємо шукане рішення:

Яку шукане

відображення f переводить до центру кола w = 0 (рис. 19).

У ній функція f повинна мати нуль, до того ж першого порядку, бо в околиці нулів вищого порядку аналітична функціяне взаємно однозначна (вона має характер ступеня). Тому на околиці z0 функція f повинна мати тейлорівське розкладання виду

Але тоді логарифм цієї

функції аналітичний в D, отже, його дійсна частина, тобто функція

має бути гармонійною в D.

Тепер вже неважко зрозуміти задум проведених побудов: адже якщо f відображає D на одиничний коло, то повинен дорівнювати 1 на межі D, а значить, ще не знаючи конформного відображення, ми знаємо граничні значення функції (9), вони рівні

та визначаються геометричною формоюмежі області та обраною точкою z0 (рис. 19). Щоб знайти конформне відображення, потрібно, отже, виконати наступні операції: 1) за відомими граничними значеннями (1СН побудувати гармонійну в D

функцію і(z) (завдання Диріхле); 2) знайти функцію v(z), гармонійно пов'язану з і (інтегрування). Тепер ми знаємо функцію

звідки шукане відображення знаходиться за формулою

Хочеться звернути увагу на деякі тонкощі, пов'язані із побудованим рішенням. З конструкції видно, що функція f аналітична D і що на межі D її модуль дорівнює 1. Однак залишається ще довести, що ця функція взаємно однозначно відображає D на одиничний коло. Це можна зробити прямою (але аж ніяк не простою) перевіркою. Якщо ж у нас є впевненість, що наше завдання можна розв'язати (тобто ми вміємо доводити теорему існування конформного відображення D на коло), то така перевірка зайва - проведені вище міркування показують, що якщо шукане відображення є, воно неодмінно відновлюється за формулою (11).

буде шуканим конформним відображенням.

ГАРМОНІЧНА ФУНКЦІЯ

- функція, безперервна зі своїми іншими похідними в області Gі задовольняє в G Лапласа рівняння=0. Р. ф. виникають під час вирішення завдань електростатики, теорії тяжіння, гідродинаміки стисливої ​​рідини, теорії пружності та інших. Р. ф. є, напр., потенціали сил у точках поза джерелами їхнього поля, потенціал швидкостей несжимаемой рідини. Найпростішим прикладом Р. ф. служить фундам. рішення ур-ня Лапласа, що описує потенціал точкового джерела. Будь-яку Р. ф. можна подати у вигляді суми потенціалів простого і подвійного шарів, що виражаються через значення Р. ф. іта її нормальною похідною: якщо r -відстань від будь-якої точки P 0всередині Gдо змінної точки Pна кордоні S,то у випадку трьох вимірів

Для Р. ф. справедливий принцип екстремуму: ф-ція, гармонійна всередині Gі безперервна у замкнутій області G+S,досягає свого найбільшого та найменшого значення тільки на S,крім того випадку, коли ця ф-ція стала. Цей принцип дозволяє встановлювати загальні властивостіфіз. величин, не вдаючись до обчислень. Напр., в електростатиці з нього випливає теорема Ірншоу. Зручний метод розв'язання задач для Р. ф. на площині дає теорія ф-цій комплексного змінного z = x + iy.Якщо w=u+iv -аналітична ф-ція від z до G,то і (х, у)і v(х, у) є Г. ф. в G.Тому багато. завдання вдається вирішити за допомогою конформного відображення області Gв нек-рую стандартну область (коло, напівплощину). Граничні умови для Р. ф. визначають відповідні крайові завдання, з яких брало частіше зустрічаються перше крайове завдання, або Діріхлі завдання,коли на кордоні SР. ф. приймає задані значення, і друге крайове завдання, або Наймане завдання,коли в кожній точці Sзадана нормальна похідна Р. ф.

Літа.: Смирнов Ст І., Курс вищої математики, Т. 2, 21 видавництво, M., 1974; Соболєв С. Л., Рівняння математичної фізики, 4 видавництва, M., 1966.

• - найменша гармонійна мажоранта сімейства - нижня огинаюча родина всіх супергармоничів. мажорант vk, сімейства субгармоній.

  Математична енциклопедія

• - термін, що іноді застосовується для позначення ємності множини в евклідовому просторі, одержуваної методом класичної потенціалу теорії за допомогою ньютонового потенціалу або логарифмічного потенціалу.

  Математична енциклопедія

• - пропорція, порівн. члени якої рівні, а останній членє різницею між першим і середнім: a:b = b:. Розкладання числа а два складових b і а-b зв. гармонійний. поділом або золотим перетином.
• - функція дек. змінних, безперервна в деякій області разом зі своїми приватними похідними 2-го порядку і задовольняє в цій галузі диференційному ур-нію Лапласа...

  Природознавство. Енциклопедичний словник

• - основна фізична характеристика квантової системи, функція динамічних змінних, що повністю описує стан системи...

  Початок сучасного Природознавства

• - послідовність виду 1/а, 1/в, 1/с... де а, в, с і т.д. є АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЄЮ. Найпростіший приклад- ряд чисел, обернених позитивним цілим: 1,1/2, 1/3, 1/4,.....

  Науково-технічний енциклопедичний словник

• - Син. терміна складчастість паралельна...

  Геологічна енциклопедія

• - А.-гармонічна середня із двох чисел виходить наступним чином. Нехай дані числа суть a і h і h1 = 2ah/...

  Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• - пропорція, середні члени якої рівні, а останній член є різницею між першим і середнім: а: b = b: ...

  Велика Радянська Енциклопедія

• - ГАРМОНІЧНА пропорція - пропорція, середні члени якої рівні, а останній член є різницею між першим і середнім: a:b=b:...
• - ГАРМОНІЧНА функція - функція декількох змінних, безперервна в деякій області разом зі своїми приватними похідними 2-го порядку і диференціальному Лапласа, що задовольняє в цій галузі рівняння...

  Великий енциклопедичний словник

• - Призначення мови бути засобом зав'язування контактів між індивідами.
• - Використання мови в тій чи іншій комунікативній сфері разом з іншою мовою у зв'язку з тим, що вона не в змозі самостійно повною мірою обслуговувати цю сферу.

  Словник лінгвістичних термінів Т.В. Жеребило

• - в математиці три числа, що мають таку властивість, що відношення двох з них дорівнює відношенню різниці між кожним з них і третім числом; напр. якщо А: В = А - З: В - З; то А, В і С становлять гарм. пропорції...

  Словник іноземних слівросійської мови

• - Одночасне функціонування різних мовв одній і тій же сфері чи підсфері...

  Словник лінгвістичних термінів Т.В. Жеребило

• - Використання мови для інтелектуального, емоційного чи вольового впливу на адресата.

  Словник лінгвістичних термінів Т.В. Жеребило

"ГАРМОНІЧНА ФУНКЦІЯ" у книгах

ГАРМОНІЧНА ФІЛЬТРАЦІЯ