Властивості числових нерівностей таблиці. Основні властивості числових нерівностей
Урок та презентація на тему: "Основні властивості числових нерівностей та способи їх вирішення."
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Комбінаторика та теорія ймовірностей Рівняння та нерівності
Введення в числові нерівності
Діти, з нерівностями ми вже стикалися, наприклад, коли починали знайомитися з поняттям квадратного кореня. Інтуїтивно зрозуміло, що за допомогою нерівностей можна оцінити, яке з цих чисел більше чи менше. Для математичного описудостатньо додати спеціальний символ, який означатиме або більше, або менше.Запис виразу $a>b$ на математичної мовиозначає, що число $a$ більше числа$b$. У свою чергу, це означає, що $a-b$ - додатне число.
Запис виразу $a
Як і майже всі математичні об'єкти нерівності мають деякі характеристики. Вивченням цих властивостей ми займемося на цьому уроці.
Властивість 1.
Якщо $a>b$ і $b>c$, то $a>c$.
Доведення.
Очевидно, що $10>5$, і $5>2$, і звичайно $10>2$. Але математика любить суворі докази для загального випадку.
Якщо $a>b$, $a-b$ - позитивне число. Якщо $b>c$, $b-c$ - позитивне число. Давайте складемо два отримані позитивні числа.
$a-b+b-c=a-c$.
Сума двох позитивних чисел є позитивним числом, але тоді $a-c$ також позитивним числом. З чого випливає, що $a>c$. Властивість доведено.
Найбільш наочно цю властивість можна показати, використовуючи числову пряму. Якщо $a>b$, то число $a$ на числовій прямій лежатиме праворуч від $b$. Відповідно, якщо $b>c$, то число $b$ лежатиме правіше від числа$з$.
Як видно з малюнка, точка $a$ у нашому випадку знаходиться правіше точки $c$, а це означає, що $a>c$.
Властивість 2.
Якщо $a>b$, то $a+c>b+c$.
Інакше кажучи, якщо число $a$ більше за число $b$, то яке б ми число не додали (позитивне або негативне) до цих чисел, знак нерівності буде також зберігатися. Доводиться ця властивість дуже легко. Потрібно виконати віднімання. Та змінна, яку додавали, зникне і вийде правильна вихідна нерівність.
Властивість 3.
а) Якщо обидві частини нерівності помножити на позитивне число, знак нерівності зберігається.
Якщо $a>b$ і $c>0$, тоді $ac>bc$.
б) Якщо обидві частини нерівності помножити на негативне число, знак нерівності слід поміняти на протилежний.
Якщо $a>b$ і $c Якщо $a
При розподілі слід діяти так само (ділимо на позитивне число - знак зберігається, ділимо на негативно число - знак змінюється).
Властивість 4.
Якщо $a>b$ і $c>d$, то $a+c>b+d$.
Доведення.
З умови: $a-b$ - позитивне число та $c-d$ - позитивне число.
Тоді сума $(a-b)+(c-d)$ - теж позитивне число.
Поміняємо місцями деякі доданки $(a+с)-(b+d)$.
Від зміни місць доданків сума не змінюється.
Отже $(a+с)-(b+d)$ - позитивне число і $a+c>b+d$.
Властивість доведено.
Властивість 5.
Якщо $a, b, c, d$ - позитивні числа і $a>b$, $c>d$, то $ac>bd$.
Доведення.
Оскільки $a>b$ і $c>0$, то, використовуючи властивість 3, маємо $ac>bc$.
Оскільки $c>d$ і $b>0$, то, використовуючи властивість 3, маємо $cb>bd$.
Отже, $ac>bc$ та $bc >bd$.
Тоді, використовуючи властивості 1, отримуємо $ac>bd$. Що і потрібно було довести.
Визначення.
Нерівності виду $a>b$ і $c>d$ ($a
Нерівності виду $a>b$ і $c
Тоді властивість 5 можна перефразувати. При множенні нерівностей одного сенсу, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того самого сенсу.
Властивість 6.
Якщо $a>b$ ($a>0$, $b>0$), $a^n>b^n$, де $n$ – будь-яке натуральне число.
Якщо обидві частини нерівності позитивні числа та їх звести в одну й ту саму натуральний ступінь, то вийде нерівність тієї самої сенсу.
Зауважимо: якщо $n$ - непарне число, то для будь-яких за знаком чисел $a$ і $b$ властивість 6 виконується.
Властивість 7.
Якщо $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $\frac(1)(a)
Доведення.
Щоб довести цю властивість, необхідно при відніманні $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ отримати від'ємне число.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.
Ми знаємо, що $a-b$ - позитивне число, і добуток двох позитивних чисел - теж позитивне число, тобто. $ ab> 0 $.
Тоді $\frac(-(a-b))(ab)$ - від'ємне число. Властивість доведено.
Властивість 8.
Якщо $a>0$, то виконується нерівність: $a+\frac(1)(a)≥2$.
Доведення.
Розглянемо різницю.
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ - невід'ємне число.
Властивість доведено.
Властивість 9.Нерівність Коші (середнє арифметичне більше або дорівнює середнього геометричного).
Якщо $a$ і $b$ - невід'ємні числа, виконується нерівність: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.
Доведення.
Розглянемо різницю:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b) )) ^ 2) (2) $ - невід'ємне число.
Властивість доведено.
Приклади розв'язання нерівностей
приклад 1.Відомо, що $-1.5
б) $-2b $.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $ b ^ 2 $.
е) $a^3$.
ж) $ \ frac (1) (b) $.
Рішення.
а) Скористаємося властивістю 3. Помножимо на позитивне число, отже знак нерівності не змінюється.
$-1.5*3
Б) Скористаємося властивістю 3. Помножимо на негативне число, отже знак нерівності змінюється. Г) Помножимо всі частини нерівності $3.1 Д) Усі частини нерівності позитивні, звівши їх у квадрат, отримаємо нерівність тієї самої сенсу. Е) Ступінь нерівності непарна, тоді можна сміливо зводити у ступінь і не міняти знак. Ж) Скористаємося властивістю 7. приклад 2. Рішення. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА НЕРІВНОСТІ I § 10 Основні властивості числових нерівностей
1. Якщо а > b, то b< а
, і, навпаки, якщо а< b
, то b > а.
Доведення.Нехай а > b
. За визначенням це означає, що число ( а - b
) Позитивно. Якщо перед ним поставимо знак мінус, то отримане число - ( а - b
) буде, очевидно, негативним. Тому - ( а - b
) < 0, или b - а
< 0. А это (опять же по определению) и означает, что b< a
. Зворотне твердження пропонуємо учням довести самостійно. Доведена властивість нерівностей допускає просту геометричну інтерпретацію: якщо точка А лежить на числовій прямій правіше точки В, то точка лежить лівіше точки А, і навпаки (див. рис. 20). 2. Якщо a > b, a b > c, то а > с.
Геометрично ця властивість полягає в наступному. Нехай точка А (відповідна числу а
) лежить правіше точки В (відповідної числа b
), а точка В, у свою чергу, лежить правіше точки С (відповідної числу з
). Тоді точка А і поготів буде лежати правіше точки С (рис. 21). Наведемо доказ алгебри цього властивості нерівностей. Нехай а > b
, a b > з
. Це означає, що числа ( а - b
) та ( b- с
) Позитивні. Сума двох позитивних чисел, очевидно, є позитивною. Тому ( а - b
) + (b- с
) > 0, або а - з
> 0. Але це означає, що а
> з
. 3. Якщо а > b, то для будь-якого числа з а + с > b + с, а - c > b - з.
Іншими словами, якщо до обох частин числової нерівності додати або від обох частин забрати одне й те саме число, то нерівність не порушиться. Доведення.Нехай а > b
. Це означає, що а - b
> 0. Але а - b
= (а + с
) - (b + с
). Тому ( а + с
) - (b + с
) > 0. А за визначенням це і означає, що а + с > b + с
. Аналогічно показується, що а - c > b - з
. Наприклад, якщо до обох частин нерівності 5 > 4 додати 1 1 / 2 то отримаємо Слідство.Будь-яке доданок однієї частини числової нерівності можна перенести на іншу частину нерівності, змінивши знак цього доданка на протилежний. Нехай, наприклад, а + b > с
. Потрібно довести, що а > с - b
. Для доказу від обох частин даної нерівності достатньо забрати число b
. 4. Нехай а > b. Якщо з > 0, то аc > bc
. Якщо ж з< 0
, то ас< bс
. Іншими словами, якщо обидві частини числової нерівності помножити на позитивне число, то нерівність не порушиться; Коротше ця властивість формулюється таким чином: Нерівність зберігається при почленном множенні на позитивне число і змінює знак протилежний при почленном множенні на негативне число. Наприклад, помноживши нерівність 5 > 1 почленно на 7, отримаємо 35 > 7. Почленное множення тієї ж нерівності на - 7 дає - 35< - 7. Підтвердження 4-го характеристики. Нехай а > b. Це означає, що число а - bпозитивно. Добуток двох позитивних чисел а - bі з
, очевидно, також позитивно, тобто ( а - b
) з
> 0, або Аналогічно розглядається випадок, коли число з
негативно. Добуток позитивного числа а - b
на негативне число з
, Зрозуміло, негативно, тобто. Слідство.Знак нерівності зберігається при почленном розподілі на позитивне число і змінюється протилежний при почленном розподілі на негативне число. Це випливає з того, що розподіл на число з
=/= 0 рівносильно множенню на число 1 /
c
. Вправи
81. Чи можна нерівність 2 > 1 помножити почленно на а) а
2+1; б) | а
|; в) а
; г) 1 - 2а + а
2 так щоб знак нерівності зберігся? 82. Чи завжди 5 х
більше 4 х
, а - у
менше у
? 83. Яким може бути число х
, якщо відомо, що - х
> 7? 84. Розташувати в порядку зростання числа: a) а 2, 5а 2, 2а 2; б) 5 а
, 2а
; в) а
, а
2 , а
3 . 85. Розташувати в порядку зменшення числа а - b
, а
- 2b
, а
- 3b
. 86. Дати геометричну інтерпретацію третій властивості числових нерівностей. 1) Основне поняття нерівності 2) Основні властивості числових нерівностей. Нерівності, що містять змінну. 3) Графічне рішеннянерівностей другого ступеня 4) Системи нерівностей. Нерівності та системи нерівностей із двома змінними. 5) Вирішення раціональних нерівностей методом інтервалів 6) Розв'язання нерівностей, що містять змінну під знаком модуля 1. Основне поняття нерівності Нерівність - співвідношення між числами (або будь-якими математичними виразами, здатними приймати чисельне значення), що вказує, яке з них більше або менше іншого. Над цими висловлюваннями можна по певним правиламвиробляти такі дії: додавання, віднімання, множення і розподіл (причому при множенні чи розподілі Н. на негативне число сенс його змінюється на протилежний). Одне з основних понять лінійного програмування
— лінійні нерівності
виду a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n * b, де a 1 ,..., a n, b- Постійні та знак * - один із знаків нерівності, напр. ≥, · Алгебраїчні · трансцендентні Алгебраїчні нерівності поділяються на нерівності першої, другої, і т. д. ступеня. Нерівність – алгебраїчна, другого ступеня. Нерівність – трансцендентна. 2.
Основні властивості числових нерівностей. Нерівності, що містять змінну 1) Графіком квадратичні функції y = ах 2 + bх + сє парабола з гілками, спрямованими вгору, якщо а > 0, і вниз, якщо а (іноді кажуть, що парабола спрямована опуклістю вниз, якщо а > 0і опуклістю вгору, якщо а). При цьому можливі три випадки:
2) Парабола перетинає вісь 0х (тобто рівняння ах 2 + bх + с = 0має два різних кореня). Тобто якщо а y = ах 2 + bх + сa>0 D>0 y = ах 2 + bх + сa D>0,
Парабола має вершину на осі 0х (тобто рівняння ах 2 + х + с = 0має один корінь, так званий дворазовий корінь) Тобто, якщо d=0, то при a>0 розв'язком нерівності служить вся числова пряма, а при a ах 2 + х + с y = ах 2 + bх + сa>0 D=
0
y = ах 2 + bх + сa D=0,
3) Якщо d0 і нижче за її при a y = ах 2 + bх + сa>0 D0
y = ах 2 + bх + сa D 0,
4) Вирішити нерівність графічним способом 1. Нехай f(x) = 3х 2 -4х - 7 тоді знайдемо такі х, при яких f(x) ; 2. Знайдемо нулі функції. f(x) при х. Відповідь f(x) при х. Нехай f(x)=х 2 +4х +5 тоді Знайдемо такі х за яких f(x)>0, D=-4 Немає нулів. 4. Системи нерівностей. Нерівності та системи нерівностей із двома змінними 1) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множини рішень нерівностей, що входять до неї. 2) Безліч розв'язків нерівності f(х;у)>0 можна графічно зобразити на координатної площини. Зазвичай лінія, задана рівнянням f(х;у)=0 розбиває площину на 2 частини, одна з яких є рішенням нерівності. Щоб визначити, яка частина, треба підставити координати довільної точки М(х0;у0) , що не лежить на лінії f(х;у)=0, в нерівність. Якщо f(х0;у0) > 0 то рішенням нерівності є частина площини, що містить точку М0. якщо f(х0; у0) 3) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множини рішень нерівностей, що входять до неї. Нехай, наприклад, задана система нерівностей: Для першої нерівності безліч розв'язків є коло радіусом 2 і з центром на початку координат, а для другого - напівплощина, розташована над прямою 2х+3у=0. Безліч рішень цієї системи служить перетинання зазначених множин, тобто. півколо. 4) Приклад. Вирішити систему нерівностей: Рішенням 1-ї нерівності служить безліч, 2-го безліч (2; 7) і третьої - безліч. Перетином зазначених множин є проміжок (2; 3), який і є безліч розв'язків системи нерівностей. 5. Вирішення раціональних нерівностей методом інтервалів В основі методу інтервалів лежить наступна властивість двочлена ( х-а): крапка х=αділить числову вісь на дві частини - праворуч від точки α
двочлен (х-α)>0, а зліва від точки α (х-α) . Нехай потрібно вирішити нерівність (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0де α 1 , α 2 ...α n-1 , α n — фіксовані числа, серед яких немає рівних, причому такі, що α 1 (x-α 1)(x-α 2)... n)>0 методом інтервалів надходять наступним чином: на числову вісь наносять числа 1, 2 ... n-1, n; у проміжку праворуч від найбільшого їх, тобто. числа α n, ставлять знак "плюс", у наступному за ним праворуч наліво інтервалі ставлять знак "мінус", потім - знак "плюс", потім знак "мінус" і т.д. Тоді безліч усіх розв'язків нерівності (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0буде об'єднання всіх проміжків, у яких поставлено знак «плюс», а безліч розв'язків нерівності (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) буде об'єднання всіх проміжків, у яких поставлено знак «мінус». 1) Вирішення раціональних нерівностей (тобто нерівностей виду P(x) Q(x) де - багаточлени) засноване на наступній властивості безперервної функції: якщо безперервна функціязвертається в нуль в точках х1 і х2 (х1; х2) і між цими точками немає іншого коріння, то в проміжках (х1; х2) функція зберігає свій знак. Тому для знаходження проміжків знаковості функції y=f(x) на числовій прямій відзначають усі точки, в яких функція f(x) звертається в нуль або зазнає розриву. Ці точки розбивають числову пряму кілька проміжків, всередині кожного у тому числі функція f(x) безперервна і звертається у нуль, тобто. зберігає знак. Щоб визначити цей знак, достатньо знайти знак функції в будь-якій точці проміжку числової прямої. 2) Для визначення інтервалів знаковості раціональної функції, тобто. Для вирішення раціональної нерівності, відзначаємо на числовому прямому корені чисельника і корені знаменника, які як і є корінням і точками розриву раціональної функції. Розв'язання нерівностей методом інтервалів Рішення. Область допустимих значеньвизначається системою нерівностей: Для функції f(x)= - 20. Знаходимо f(x): звідки x= 29 та x = 13. f(30) = - 20 = 0,3 > 0, f(5) = - 1 - 20 = - 10 Відповідь: приклад 1.Чи правильні нерівності 5 0, 0 0? Нерівність 5 0 - це складне висловлювання, що складається з двох простих висловлюваньпов'язаних логічним зв'язуванням"або" (диз'юнкція). Або 5 > 0 чи 5 = 0. Перше висловлювання 5 > 0 - істинно, друге висловлювання 5 = 0 - хибно. За визначенням диз'юнкції такий складний вислів істинний. Аналогічно обговорюється запис 00. Нерівності виду а > b, а< b
будемо називати строгими, а нерівності виду ab, ab- Нестрогі. Нерівності а > bі з > d(або а< b
і з< d
) називатимемо нерівностями однакового сенсу, а нерівності а > bі c< d
- Нерівностями протилежного сенсу. Зазначимо, що ці два терміни (нерівності однакового та протилежного сенсу) відносяться лише до форми запису нерівностей, а не до самих фактів, що виражаються цими нерівностями. Так, стосовно нерівності а< b
нерівність з< d
є нерівністю того самого сенсу, а в записі d > c(що означає те саме) - нерівністю протилежного сенсу. Поряд з нерівностями виду a > b, abвикористовуються так звані подвійні нерівності, тобто нерівності виду а< с < b
, ас< b
, a< cb
, а< с < b
(1) а< с
і з< b.
Аналогічний сенс мають нерівності асb, ас< b, а < сb.
Подвійну нерівність (1) можна записати так: (a< c < b) [(a < c) & (c < b)] а подвійна нерівність a ≤ c ≤ bможна записати в наступному вигляді: (a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)] Перейдемо тепер до викладу основних властивостей та правил дій над нерівностями, домовившись, що у цій статті літери a, b, спозначають дійсні числа, а nозначає натуральне число. 1) Якщо а > b та b > с, то a > с (транзитивність). Доведення. Бо за умовою а > bі b > c, то числа а - bі b - зпозитивні, і, отже, число а - с = (а - b) + (b - с)Як сума позитивних чисел, також є позитивним. Це означає, за визначенням, що а > с. 2) Якщо а > b, то за будь-якого з має місце нерівність а + с > b + c. Доведення. Так як а > b, то число а - bпозитивно. Отже, число (а + с) - (b + с) = a + c - b - c = а - bтакож є позитивним, тобто. 3) Якщо a + b > c, то a > b - c,тобто будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний. Доказ випливає з якості 2) досить до обох частин нерівності а + b > сдодати число - b. 4) Якщо а > b та с > d, то а + с > b + d,т. е. під час складання двох нерівностей однієї й тієї ж сенсу виходить нерівність тієї самої сенсу. Доведення. Через визначення нерівності досить показати, що різниця Слідство. З правил 2) та 4) випливає наступне Правиловіднімання нерівностей: якщо а > b, з > d, то a - d > b - с(Для доказу достатньо до обох частин нерівності а + с > b + dдодати число - c - d). 5) Якщо а > b, то при с > 0 маємо ас > bc, а при с< 0 имеем ас < bc.
Інакше висловлюючись, при множенні обох частин нерівності ні позитивне число знак нерівності зберігається (т. е. виходить нерівність, тієї самої сенсу), а при множенні на негативне число знак нерівності змінюється протилежний (т. е. виходить нерівність протилежного сенсу. Доведення. Якщо а > b, то а - bє число позитивне. Отже, знак різниці ас-bс = с(а - b)збігається зі знаком числа з: якщо з- позитивне число, те й різниця ас - bcпозитивна і тому ас > bс, а якщо з< 0
, то ця різниця негативна і тому bc - аспозитивно, тобто. bc > ас. 6) Якщо а > b > 0 і > d > 0, то ас > bd,т. е. якщо всі члени двох нерівностей однакового сенсу позитивні, то при почленном множенні цих нерівностей виходить нерівність того самого сенсу. Доведення. Маємо ас - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Так як з > 0, b > 0, a - b > 0, з - d > 0, ас - bd > 0, тобто ас > bd. Зауваження.З доказу видно, що умова d > 0у формулюванні властивості 6) несуттєво: для справедливості цієї властивості достатньо, щоб були виконані умови a > b > 0, > d, з > 0. Якщо ж (при виконанні нерівностей a > b, з > d) числа а, b, сне будуть всі позитивними, то нерівність ас > bdможе виконуватися. Наприклад, при а = 2, b =1, c= -2, d= -3 маємо a > b, з > d, але нерівність ас > bd(Тобто -4 > -3) не виконано. Таким чином, вимога позитивності чисел а, b, с у формулюванні властивості 6) суттєво. 7) Якщо a b > 0 і c > d > 0, то (розподіл нерівностей). Доведення. Маємо Зауваження.Відзначимо важливий окремий випадокправила 7), що утворюється при а = b = 1: якщо з > d > 0, то. Таким чином, якщо члени нерівності позитивні, то при переході до обернених величин отримуємо нерівність протилежного змісту. Пропонуємо читачам перевірити, що це правило зберігається і в7) Якщо ab > 0 і c > d > 0, то (поділ нерівностей). Доведення. те. Ми довели вище кілька властивостей нерівностей, записаних за допомогою знака >
(Більше). Проте ці властивості можна було б формулювати з допомогою знака <
(менше), оскільки нерівність b< а
означає, за визначенням, те саме, що й нерівність а > b. Крім того, як це неважко перевірити, доведені вище властивості зберігаються і для несуворих нерівностей. Наприклад, властивість 1) для нестрогих нерівностей матиме наступний вигляд: якщо аb та bс, то ас. Очевидно, сказаним вище не обмежуються загальні характеристики нерівностей. Існує ще цілий ряднерівностей загального вигляду, пов'язаних з розглядом статечної, показової, логарифмічної та тригонометричних функцій. Загальний підхіддля написання таких нерівностей полягає в наступному. Якщо деяка функція у = f(х)монотонно зростає на відрізку [а, b], то при x 1 > x 2 (де x 1 та x 2 належать цьому відрізку) ми маємо f (x 1) > f(x 2). Аналогічно, якщо функція y = f(x)монотонно зменшується на відрізку [а, b], то при х 1 > х 2 (де х 1і х 2 належать цьому відрізку) ми маємо f(x 1)< f(x 2
). Зрозуміло, сказане не відрізняється від визначення монотонності, але для запам'ятовування та написання нерівностей цей прийом дуже зручний. Так, наприклад, для будь-якого натурального n функція у = х nє монотонно зростаючою на промені }
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
в) Склавши нерівності однакового сенсу, отримаємо нерівність того самого сенсу.
$-1.5+3.1
Тепер виконаємо операцію додавання.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Порівняйте числа:
а) $ sqrt (5) + sqrt (7) $ і $ 2 + sqrt (8) $.
б) $π+sqrt(8)$ і $4+sqrt(10)$.
а) Зведемо кожне із чисел у квадрат.
$(sqrt(5)+sqrt(7))^2=5+2sqrt(35)+7=12+sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4sqrt(8)+8=12+sqrt(128)$.
Обчислимо різницю квадратів цих квадратів.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
Очевидно, отримали позитивне число, що означає:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
Так як обидва числа позитивних, то:
$\sqrt(5)+sqrt(7)>2+sqrt(8)$.Завдання для самостійного вирішення
1. Відомо, що $-2.2
а) $4a$.
б) $-3b $.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $ b ^ 4 $.
е) $a^3$.
ж) $ \ frac (1) (b) $.
2. Порівняйте числа:
а) $ sqrt (6) + sqrt (10) $ і $ 3 + sqrt (7) $.
б) $π+sqrt(5)$ і $2+sqrt(3)$. 
6 1/2 > 5 1/2. Віднімаючи від обох частин цієї нерівності число 5, отримаємо 0 > - 1.
якщо обидві частини нерівності помножити на негативне число, знак нерівності зміниться на протилежний.
ас - bс >
0. Тому ас > bс
.
(а - b) з<
0; тому ас - bс<
0, звідки ас< bс
.
acb. За визначенням запис
означає, що мають місце обидві нерівності:
a + с > b + с.
(а + с) - (b + c)позитивна. Цю різницю можна записати так:
(a + c) - (b + d) = (а - b) + (с - d).
Оскільки за умовою числа а - bі с - dпозитивні, то (a + с) - (b + d)також є позитивне число.
Чисельник дробу, що стоїть у правій частині, позитивний (див. властивості 5), 6)), знаменник також позитивний. Отже. Цим властивість 7) доведено.
