Закон бернуллі каже. Перебіг рідини та рівняння бернуллі для новачків

Закон Бернуллі Закон Бернуллі Швейцарський вчений у галузі математики, механіки, фізіології, медицини, академік (1725), іноземний почесний членПетербурзькій АН (1733). Один із основоположників теоретичної гідродинаміки. Вивів основне рівняння стаціонарного руху ідеальної стисливої ​​рідини, що знаходиться під дією лише сил тяжіння. Розробляв кінетичні уявлення про гази. ()

1. Що затверджує закон збереження повної механічної енергії? 2. Що називається повною механічною енергією? 3. Яка енергія називається кінетичною? За якою формулою розраховується? 4. Яка енергія називається потенційною? Формули потенційної енергії.

При переході рідини з широкої ділянки у вузьку швидкість течії збільшується, це означає, що десь межі між вузьким і широким ділянкою труби рідина отримує прискорення. А за другим законом Ньютона для цього на цьому кордоні має діяти сила. Цією силою може бути лише різниця між силами тиску у широкому та вузькому ділянках труби. У широкій ділянці труби тиск має бути більшим, ніж у вузькому. Цей висновок випливає із закону збереження енергії.

Сила тиску рідини – це сила пружності стиснутої рідини. У широкій частині труби рідина дещо сильніша стиснена, ніж у вузькій. Щоправда, ми щойно казали, що рідина вважається нестерпною. Але це означає, що рідина не настільки стиснута, щоб скільки-небудь помітно змінився її об'єм. Дуже малий стиск, зухвала появасили пружності неминуче. Воно і зменшується у вузьких частинах труби.

Якщо у вузьких місцях труби збільшується швидкість рідини, то збільшується її кінетична енергія. Оскільки ми домовилися, що рідина тече без тертя, цей приріст кінетичної енергії має компенсуватися зменшенням потенційної енергії, оскільки повна енергія повинна залишатися постійної. Але це не потенціальна енергія mgh, тому що труба горизонтальна і висота h скрізь однакова. Отже, залишається лише потенційна енергія, пов'язана із силою пружності.

Щоб розібратися у причинах зменшення тиску у вузьких частинах та збільшення у широких, використовуємо закон збереження енергії та математичні навички. Робота сил тиску, виконана над елементом рідини при його переміщенні, дорівнює: Висновок: Чим більша швидкість потоку рідини, тим менший її тиск.

Залежність тиску від швидкості течії називають ефектом, а рівняння – законом Бернуллі на честь автора, швейцарського вченого Данила Бернуллі, який працював у Санкт-Петербурзі. Закон Бернуллі для ламінарних потоків рідини та газів є наслідком закону збереження енергії. Тут щільність рідини,Щільність швидкість потоку,швидкість висота, на якій знаходиться аналізований елемент рідини,висота тиск в точці простору, де розташований центр маси елемента рідини,тиск прискорення вільного падіння.прискорення вільного падіння

Практичні наслідки Закон Бернуллі пояснює ефект тяжіння між тілами, що знаходяться поблизу меж потоків рідин, що рухаються (газів). Іноді це тяжіння може становити загрозу безпеці. Наприклад, під час руху швидкісного поїзда «Сапсан» (швидкість руху понад 200 км/год) для людей на платформах виникає небезпека скидання під поїзд.

Поїзди зустрічі. Швидкісні поїздипри зустрічі повинні уповільнити хід, інакше шибки у вагонах розіб'ються. Чому? В який бік при цьому випадає скло: усередину вагонів чи назовні? Чи може статися таке, якщо потяги прямують в одному напрямку? Чи буде вас притягувати до поїзда або відштовхувати від нього, якщо ви опинитеся занадто близько від поїзда, що швидко йде? (Попереду поїзда, що швидко йде, створюється фронт високого тиску, а за ним - область низького тиску. Коли зустрічні поїзди роз'їжджаються, скло у вагонах може бути видавлене назовні, оскільки між поїздами виникає область зниженого тиску).

Восени 1912 р. океанський пароплав "Олімпік" плив у відкритому морі, а майже паралельно йому, на відстані сотні метрів, проходив з великою швидкістюінший корабель, набагато менший, броненосний крейсер Гаук. Коли обидва судна зайняли положення, зображене на малюнку, сталося щось несподіване: менше судно стрімко згорнуло зі шляху, немов підкоряючись невідомій силі, повернулося носом до великому кораблюі, не слухаючись керма, рушило майже прямо на нього. "Гаук" врізався носом у бік "Олімпіка". Удар був такий сильний, що "Гаук" зробив у борту "Олімпіка" велику пробоїну. Випадок зіткнення двох кораблів розглядався в морському суді. Капітана корабля "Олімпік" звинуватили у тому, що він не дав команду пропустити броненосець. Як ви вважаєте, що сталося? Чому менший корабель, не слухаючись керма, пішов навперейми "Олімпіку"?

Бернуллі вважається одним з основних законів гідромеханіки, він встановлює зв'язок між тиском в потоці рідини і швидкістю його руху в гідравлічних системах: зі збільшенням швидкості руху потоку тиск у ньому має падати. З його допомогою пояснюються багато гідродинамічних ефектів.

Розглянемо деякі добре відомі їх. Підйом і розпилення рідини в пульверизаторі (мал. 1) відбувається завдяки зниженому тиску в струмені повітря, що проходить з великою швидкістю над трубочкою, опущеною в посудину з рідиною. Підніматися рідина вгору змушує атмосферний тиск, яке більше тискуу струмені повітря.

Якщо подути між двома аркушами паперу, що стосуються один одного (рис. 5), то вони не розійдуться, здавалося б, має відбутися, а, навпаки, притиснуться один до одного. Листки рушать один до одного, хоча, здавалося б, ви вдунули між ними «більше» повітря і вони повинні були розсунутися. Але ж ви видує повітря між листками геть, створюючи тут тиск навіть нижче, ніж навколо. Отже, тиск повітря між листками робиться меншим, ніж зовні, і виникає сила, яка зводить їх разом.

Досвід з кулькою До кульки від настільного тенісу прикріпіть пластиліном нитку довжиною 4050 см і, тримаючи кульку за нитку, піднесіть її до струменя води. Чому кулька притягується та утримується в струмені? Коли з водопровідного крана тече струмінь води, вона захоплює прилеглий шар повітря. Коли кульку підносять до струменя, відбувається таке: поблизу струменя повітря рухається з деякою швидкістю і тиск тут менше, ніж з іншого боку кульки. У результаті за рахунок різниці тисків на кульку діє сила, що притискає його до струменя.

Ситуація 1. Вітер під будинком. У США було запропоновано проект житлового будинку, в якому поверхи, подібно до мостів, "підвішуються" між двома потужними стінами, а простір під будинком залишається відкритим. Зовні така будівля виглядає дуже привабливою, але вона абсолютно не придатна для вітряних районів. Одна з таких будівель була збудована на території Массачусетського технологічного інституту. І ось коли подули весняні вітри, швидкість вітру під будинком досягла 160 км/год. Чим викликане таке сильне збільшення швидкості вітру? (Вітер, що потрапляє на будинок, частково проганяється через нижній просвіт. При цьому швидкість його зростає).

У дощову вітряну погоду, кожен із нас помічав, що розкриті парасольки іноді "вивертаються навиворіт". Чому це відбувається? Аналогічна дія чинить на даху будинків сильний ураган. (Потік повітря, що набігає на вигнуту поверхню парасольки, рухається по руслу своєрідної труби, що звужується з більшою швидкістю, ніж повітря в нижній частині, отже, тиск знизу більше, ніж угорі, і парасолька вивертається)

Його дію (закону Бернуллі) можна спостерігати в повсякденному життіЩойно вмикаєш воду в душі, шторка вривається всередину кабінки, тому що збільшення швидкості повітря та води викликає стрибок у тиску. Різниця тисків усередині та зовні кабіни призводить до того, що шторку затягує всередину.

Досвід Для досвіду виготовимо циліндр із щільного, але не товстого паперу діаметром 5 см, довжиною см. На циліндр намотаємо стрічку, один кінець якої прикріпимо до лінійки. Різким рухом вздовж горизонтальній поверхністолу повідомимо циліндру складний рух (поступальний та обертальний). При великій швидкості циліндр піднімається нагору і описує невелику вертикальну петлю. Поясніть, чому це відбувається. Бернуллі пояснює таку поведінку рулону (і закрученого м'ячика): обертання порушує симетричність обтікання за рахунок ефекту прилипання. З одного боку паперового циліндра швидкість потоку більша (над циліндром вектор швидкості повітря сонаправлен вектору швидкості циліндра), значить, тиск там знижується, а під циліндром вектор швидкості повітря антипаралелен вектору швидкості циліндра. Через війну різниці тисків виникає підйомна сила, звана силою Магнуса. Ця сила піднімає циліндр нагору, а не по параболі.

Це явище зветься ефекту Магнуса, на ім'я вченого, який відкрив і досліджував його експериментально. Ефект Магнуса проявляється у таких природних явищахяк утворення смерчів над поверхнею океану. У місці зустрічі двох повітряних масз різними температурамиі швидкостями виникає обертається навколо вертикальної осістовп повітря і мчить уперед. У діаметрі такий стовп може досягати сотень метрів і мчить зі швидкістю близько 100 м/с. Через швидке обертання повітря відкидається до периферії вихору і тиск усередині нього знижується. Коли такий стовп наближається до води, то засмоктує її в себе, становлячи величезну небезпеку для суден.

Ситуація 6. У футболі одним із підступних ударів для воротаря вважається так званий "сухий лист". Схожий підрізаний удар - "сплін" застосовують у тенісі та інших іграх із м'ячем. Передбачити, куди попрямує такий кручений м'яч, недосвідченому спортсмену досить важко. Поясніть, чому так відбувається. ("Винна" у всьому сила Магнуса, що виявляється при русі закрученого вздовж своєї осі симетричного тіла - м'яча, циліндра і т.п.).

На жаль, великий Бернулліне знав про явище ежекції. Ежектор одночасно з інжектором був винайдений у Франції інженером Анрі Жиффаром в 1858, через століття після публікації формули Бернуллі. Виходить, що Бернуллі зробив своє відкриття, спираючись на свідчення вимірювального приладу, який вимірював зовсім не тиск у потоці, а суму статичного тиску та інтенсивності ежекції. У потоці рідини чи газу немає місця, де відсутній рух середовища, просто в одних місцях воно є ламінарним, а в інших – турбулентним, але ежекція проявляється і в тому, і в іншому випадку. Тому такий "манометр" правильніше буде назвати - "ежектомером". Ежекція - процес підсмоктування рідини або газу за рахунок кінетичної енергії струменя іншої рідини або газу.

Ежектор, працюючи за законом Ньютона, використовує перший потік частинок з високою кінетичною енергієюдля зносу по потоку частинок навколишнього середовища, що потрапляють у перший потік під тиском цієї ж довкілля, Що створює в просторі, що оточує переріз швидкісного потоку першого середовища, знижений тиск, що в свою чергу, викликає підсмоктування в цей простір частинок іншого середовища. А статичний тиск у першому потоці практично завжди більший, ніж у просторі навколишнього середовища.

Який стосунок до авіації має закон Бернуллі? Виявляється, найпряміше. З його допомогою можна пояснити виникнення підйомної сили крила літака та інших аеродинамічних сил.

Закон Бернуллі

Автор цього закону - швейцарський фізик-універсал, механік та математик. Данило Бернуллі – син відомого швейцарського математика Йоганна Бернуллі. У 1838 р. він опублікував фундаментальний наукова праця"Гідродинаміка", в якому і вивів свій знаменитий закон.

Слід сказати, що на той час аеродинаміка як наука ще існувала. А закон Бернуллі описував залежність швидкості потоку ідеальної рідини від тиску. Але на початку ХХ століття почала зароджуватись авіація. І ось тут закон Бернуллі виявився дуже доречним. Адже якщо розглядати повітряний потік як стисливу рідину, цей закон справедливий і для повітряних потоків. З його допомогою змогли зрозуміти, як підняти у повітря літальний апаратважче за повітря. Це найважливіший закономаеродинаміки, оскільки він встановлює зв'язок між швидкістю руху повітря і тиском, що діє в ньому, що допомагає робити розрахунки сил, що діють на літальний апарат.

Закон Бернуллі - це наслідок закону збереження енергії для стаціонарного потоку ідеальної та стисливої ​​рідини .

В аеродинаміці повітря розглядається як нестислива рідина тобто таке середовище, щільність якого не змінюється зі зміною тиску. А стаціонарним вважається потік, у якому частки переміщаються по незмінним у часі траєкторіям, які називають лініями струму. У таких потоках не утворюються вихори.

Щоб зрозуміти сутність закону Бернуллі, познайомимося із рівнянням нерозривності струменя.

Рівняння нерозривності струменя

З нього видно, що що швидкість течії рідини (а аеродинаміці – швидкість повітряного потоку), то менше тиск, і навпаки.

Ефект Бернуллі можна спостерігати сидячи біля каміна. Під час сильних поривів вітру швидкість повітряного потоку збільшується, а тиск падає. У кімнаті тиск повітря вищий. І язики полум'я прямують вгору в димар.

Закон Бернуллі та авіація

За допомогою цього закону дуже просто пояснити, як виникає підйомна сила для літального апарату важчим за повітря.

Під час польоту крило літака розрізає повітряний потік на дві частини. Одна частина обтікає верхню поверхню крила, інша нижню. Форма крила така, що верхній потік має подолати більший шляхщоб з'єднатися з нижнім в одній точці. Отже, він рухається із більшою швидкістю. А якщо швидкість більша, то й тиск над верхньою поверхнею крила менший, ніж під нижньою. За рахунок різниці цих тисків виникає підйомна сила крила.

Під час набору літаком висоти зростає різниця тисків, отже, збільшується і підйомна сила, що дозволяє літаку підніматися вгору.

Відразу зробимо уточнення, що описані вище закони діють, якщо швидкість руху повітряного потоку не перевищує швидкість звуку (до 340 м/с). Адже ми розглядали повітря як нестисливу рідину. Але виявляється, що при швидкостях вище за швидкість звуку повітряний потік веде себе по-іншому. Стиснення повітря нехтувати вже не можна. І повітря в цих умовах, як і будь-який газ, намагається розширитися і зайняти більший обсяг. З'являються значні перепади тиску чи ударні хвилі. А повітряний потік не звужується, а, навпаки, розширюється. Вирішенням задач про рух повітряних потоків зі швидкостями, близькими або перевищують швидкість звуку, займається газова динаміка , що виникла як продовження аеродинаміки

Використовуючи аеродинамічні закони, теоретична аеродинаміка дозволяє зробити розрахунки аеродинамічних сил, що діють на літальний апарат. А правильність цих розрахунків перевіряють, випробовуючи побудовану модель на спеціальних експериментальних установкахякі називаються аеродинамічними трубами . Ці установки дозволяють виміряти величину сил спеціальними приладами.

Крім дослідження сил, що діють на аеродинамічні моделі, за допомогою аеродинамічних вимірювань вивчають розподіл значень швидкості, щільності та температури повітря, що обтікає модель.

Документальні учбові фільми. Серія "Фізика".

Данило Бернуллі (Daniel Bernoulli; 29 січня (8 лютого) 1700 - 17 березня 1782), швейцарський фізик-універсал, механік та математик, один із творців кінетичної теоріїгазів, гідродинаміки та математичної фізики. Академік та іноземний почесний член (1733) Петербурзької академії наук, член Академій: Болонської (1724), Берлінської (1747), Паризької (1748), Лондонського королівського товариства(1750). Син Йоганна Бернуллі.

Закон (рівняння) Бернулліє (у найпростіших випадках) наслідком закону збереження енергії для стаціонарного потоку ідеальної (тобто без внутрішнього тертя) рідини, що не стискається:

Тут

Рівняння Бернуллі також може бути виведено як наслідок рівняння Ейлера, що виражає баланс імпульсу для рідини, що рухається.

У науковій літературізакон Бернуллі, як правило, називається рівнянням Бернуллі(не слід плутати з диференціальним рівняннямБернуллі), теоремою Бернулліабо інтегралом Бернуллі.

Константа у правій частині часто називається повним тискомі залежить, у випадку, від лінії струму.

Розмірність всіх доданків - одиниця енергії, що припадає на одиницю об'єму рідини. Перший і другий доданок в інтегралі Бернуллі мають сенс кінетичної та потенційної енергії, що припадає на одиницю об'єму рідини. Слід звернути увагу на те, що третій доданок за своїм походженням є роботою сил тиску і не є запасом будь-якого спеціального видуенергії («енергії тиску»).

Співвідношення, близьке до наведеного вище, було отримано в 1738 Данило Бернуллі, з ім'ям якого зазвичай пов'язують інтеграл Бернуллі. У сучасному виглядіінтеграл було отримано Йоганном Бернуллі близько 1740 року.

Для горизонтальної труби висота постійна і рівняння Бернуллі набуває вигляду: .

Ця форма рівняння Бернуллі може бути отримана шляхом інтегрування рівняння Ейлера для стаціонарного одновимірного потоку рідини, при постійній щільності: .

Згідно із законом Бернуллі, повний тиск у потоці рідини, що встановився, залишається постійним вздовж цього потоку.

Повний тискскладається з вагового, статичного та динамічного тисків.

Із закону Бернуллі випливає, що при зменшенні перетину потоку через зростання швидкості, тобто динамічного тиску, статичний тиск падає. Це основна причина ефекту Магнуса. Закон Бернуллі справедливий і для ламінарних потоків газу. Явище зниження тиску зі збільшенням швидкості потоку є основою роботи різного родувитратомірів (наприклад труба Вентурі), водо- та пароструминних насосів. А послідовне застосуванняЗакон Бернуллі призвело до появи технічної гідромеханічної дисципліни - гідравліки.

Закон Бернуллі справедливий у чистому виглядітільки для рідин, в'язкість яких дорівнює нулю. Для наближеного опису течій реальних рідину технічній гідромеханіці (гідравліці) використовують інтеграл Бернуллі з додаванням доданків, що враховують втрати на місцевих та розподілених опорах.

Відомі узагальнення інтеграла Бернуллі для деяких класів течій в'язкої рідини (наприклад, для плоскопаралельних течій), магнітної гідродинаміки, ферогідродинаміці.

Як ми згадували, у трубах не дуже довгих і досить широких тертя настільки невелике, що їх можна знехтувати. За цих умов падіння тиску так мало, що у трубі постійного перерізу рідина в манометричних трубках знаходиться практично на одній висоті. Однак, якщо труба має в різних місцях неоднаковий переріз, то навіть у тих випадках, коли тертям можна знехтувати, досвід виявляє, що статичний тиск у різних місцях по-різному.

Візьмемо трубу неоднакового перерізу (рис. 311) і пропускатимемо через неї постійний потік води. По рівнях у манометричних трубках ми побачимо, що у звужених місцях труби статичний тиск менший, ніж у широких. Значить, при переході з широкої частини труби у вужчий ступінь стиснення рідини зменшується (тиск зменшується), а при переході з більш вузької частини в широку - збільшується (тиск збільшується).

Мал. 311. У вузьких частинах труби статичний тиск поточної рідини менший, ніж у широких

Це тим, що у широких частинах труби рідина повинна текти повільніше, ніж у вузьких, оскільки кількість рідини, що протікає за однакові проміжки часу, однаково всім перерізів труби. Тому при переході з вузької частини труби в широку швидкість рідини зменшується: рідина гальмується, як би натікаючи на перешкоду, і ступінь стиснення її (а також її тиск) зростає. Навпаки, при переході з широкої частини труби у вузьку швидкість рідини збільшується і стиск її зменшується: рідина, прискорюючись, веде себе подібно до пружини, що розпрямляється.

Отже, ми бачимо, що тиск рідини, що тече по трубі, більший там, де швидкість руху рідини менша, і назад: тиск менший там, де швидкість руху рідини більша. Цю залежність між швидкістю рідини та її тиском називають законом Бернуллі на ім'я швейцарського фізика та математика Данила Бернуллі (1700-1782).

Закон Бернуллі має місце і для рідин та газів. Він залишається у силі й у руху рідини, не обмеженого стінками труби, - у вільному потоці рідини. У цьому випадку закон Бернуллі слід застосовувати наступним чином.

Припустимо, що рух рідини або газу не змінюється з плином часу (перебіг, що встановився). Тоді ми можемо уявити всередині потоку лінії, вздовж яких відбувається рух рідини. Ці лінії називаються лініями струму; вони розбивають рідину деякі струмені, які течуть поруч, не змішуючись. Лінії струму можна зробити видимими, вводячи в потік води рідку фарбу через тонкі трубочки. Струмки фарби розташовуються вздовж ліній струму. У повітрі для отримання видимих ​​ліній струму можна скористатися струмками диму. Можна показати, що закон Бернуллі застосовний для кожного струменя окремо: тиск більше в тих місцях струменя, де швидкість в ньому менша і, отже, де перетин струменя більший, і назад. З рис. 311 видно, що переріз струменя велике в тих місцях, де лінії струму розходяться; там же, де перетин струменя менший, лінії струму зближуються. Тому закон Бернуллі можна сформулювати ще так: у тих місцях потоку, де лінії струму густіший, тиск менший, а в тих місцях, де лінії струму рідше, тиск більший.

Візьмемо трубу, що має звуження, і пропускатимемо по ній з великою швидкістю воду. Згідно із законом Бернуллі, у звуженій частині тиск буде знижено. Можна так підібрати форму труби і швидкість потоку, що в звуженій частині тиск води буде меншим за атмосферний. Якщо тепер приєднати до вузької частини труби відвідну трубку (рис. 312), то зовнішнє повітря засмоктуватиметься в місце з меншим тиском: потрапляючи в струмінь, повітря нестиметься водою. Використовуючи це явище, можна побудувати насос, що розріджує - так званий водоструминний насос. У зображеній на рис. 313 моделі водоструминного насоса засмоктування повітря проводиться через кільцеву щілину 1, поблизу якої вода рухається з великою швидкістю. Відросток 2 приєднується до судини, що відкачується. Водоструйні насоси не мають твердих частин, що рухаються (як, наприклад, поршень у звичайних насосах), що становить одну з їх переваг.

Мал. 312. Повітря засмоктується у вузьку частину труби, де тиск менший за атмосферний.

Мал. 313. Схема водоструминного насоса

Продуватимемо повітря по трубці зі звуженням (рис. 314). При достатній швидкості повітря тиск у звуженій частині трубки буде нижчим за атмосферний. Рідина з судини засмоктуватиметься у бічну трубку. Виходячи з трубки, рідина розпорошуватиметься струменем повітря. Цей прилад називається пульверизатором – розпилювачем.

Мал. 314. Пульверизатор

Для стабільно поточного потоку (газу або рідини) сума кінетичної та потенційної енергії тиску на одиницю об'єму є постійною в будь-якій точці цього потоку.

Перший і другий доданок у Законі Бернуллімають сенс кінетичної та потенційної енергії, що припадає на одиницю об'єму рідини. А третій доданок у нашій формулі є роботою сил тиску і не запасає будь-якої енергії. З цього можна дійти невтішного висновку, що розмірність всіх доданків - одиниця енергії, що припадає на одиницю обсягу рідини чи газу.

Постійна у правій частині рівняння Бернулліназивається повним тиском і залежить в загальних випадкахтільки від лінії потоку.

Якщо у вас горизонтальна труба, то рівняння Бернуллі набуває якогось іншого вигляду. Так як h = 0, то потенційна енергія дорівнюватиме нулю, і тоді вийде:

З рівняння Бернуллі можна зробити один важливий висновок. При зменшенні перерізу потоку зростає швидкість руху газу або рідини (зростає динамічний тиск), але в цей момент зменшує статичний тиск слід, що при зменшенні перерізу потоку, через зростання швидкості, тобто динамічного тиску, статичний тиск падає.

Давайте дізнаємося, як літають літаки. Данило Бернуллі об'єднав закони механіки Ньютона із законом збереження енергії та умовою нерозривності рідини, і зміг вивести рівняння (), згідно з яким тиск з боку текучого середовища (рідина або газ) падає зі збільшенням швидкості потоку цього середовища. У випадку з літаком повітря обтікає крило літака знизу повільніше ніж зверху. І завдяки цьому ефекту зворотної залежностітиску від швидкості тиск повітря знизу, спрямоване вгору, виявляється більше тиску зверху, напрямленого вниз. В результаті, у міру набору літаком швидкості, зростає спрямована вгору різниця тисків, і на крила літака діє підйомна сила, що наростає в міру розгону. Як тільки вона починає перевищувати силу гравітаційного тяжіннялітака до землі, літак в буквальному значеннізлітає в небо. Ця ж сила утримує літак у горизонтальному польоті: на крейсерській швидкості та висоті підйомна сила врівноважує силу важкості.

У Формулі ми використали:

Щільність рідини чи повітря