Що таке основа циліндра. Циліндр як геометрична фігура

Циліндр(ін.-грец. κύλινδρος - валик, каток) - геометричне тіло, обмежене циліндричною поверхнеюта двома паралельними площинами, що перетинають її. Циліндрична поверхня - поверхня, що отримується таким поступальним рухом прямої (утворюючої) у просторі, що виділена точка утворює рухається вздовж плоскої кривої (напрямної). Частина поверхні циліндра, обмежена циліндричною поверхнею, називається бічною поверхнею циліндра. Інша частина, обмежена паралельними площинами, це основи циліндра. Таким чином, межа основи формою співпадатиме з напрямною.

У більшості випадків під циліндром мається на увазі прямий круговий циліндр, у якого напрямна - коло і підстави перпендикулярні до утворює. Такий циліндр має вісь симетрії.

Інші види циліндра - (по нахилу утворює) косою або похилий (якщо утворює стосується основи не під прямим кутом); (за формою основи) еліптичний, гіперболічний, параболічний.

Призма також є різновидом циліндра – з основою у вигляді багатокутника.

Площа поверхні циліндра

Площа бічної поверхні

До обчислення площі бічної поверхні циліндра

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює довжині твірної, помноженої на периметр перерізу циліндра площиною, перпендикулярною твірної.

Площа бічної поверхні прямого циліндра обчислюється за його розгорткою. Розгортка циліндра є прямокутником з висотою і довжиною , рівної периметрупідстави. Отже, площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі розгортки і обчислюється за формулою:

Зокрема, для прямого кругового циліндра:

Для похилого циліндра площа бічної поверхні дорівнює довжині утворюючої, помноженої на периметр перерізу перпендикулярного утворює:

Простої формули, що виражає площу бічної поверхні косого циліндра через параметри основи та висоту, на відміну від об'єму, на жаль, не існує.

Площа повної поверхні

Площа повної поверхніциліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та її основ.

Для прямого кругового циліндра:

Об'єм циліндра

Для похилого циліндра існують дві формули:

Для прямого циліндра , і , і об'єм дорівнює:

Для кругового циліндра:

де d- Діаметр основи.

Примітки

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Циліндр" в інших словниках:

- (Лат. Cylindrus) 1) геометричне тіло, обмежене зрештою двома колами, з боків площиною, що обгинає ці кола. 2) у годинниковій майстерності: особливий важіль подвійного колеса. 3) капелюх, що має форму циліндра. Словник іноземних слів,… … Словник іноземних слів російської мови

циліндр- а, м. cylindre m., нім. Zylinder, лат. cylindrus гр. 1. Геометричне тіло, яке утворюється обертання прямокутника навколо однієї з його сторін. Об'єм циліндра. БАС 1. Товстота циліндра дорівнює площі його основи, помноженої на висоту. Даль ... Історичний словникгалицизмів російської мови

Чол., грец. пряма стопка, вал; облець, хмара; тіло, обмежене нарешті двома колами, а з боків гнутою по колах площиною. Товстота циліндра дорівнює площі його основи, помноженої на висоту, геом. Паровий циліндр, халява, труба, в якій… Тлумачний словникДаля- Високий чоловічий капелюх з шовкового плюшу з невеликими твердими полями. Великий Енциклопедичний словник

ЦИЛІНДР, тверде тілоабо поверхню, що утворюються обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін як осі. Об'єм циліндра, якщо позначити його висоту як h, а радіус основи як r дорівнює pr2h, а площа вигнутої поверхні 2prh … Науково-технічний енциклопедичний словник

Циліндр, циліндра, чоловік. (Від грец. kylindros). 1. Геометричне тіло, що утворюється обертанням прямокутника біля однієї з його сторін, званої віссю, і має в основі коло (мат.). 2. Частина машин (двигунів, насосів, компресорів і т.д.) в ... Тлумачний словник Ушакова

Циліндр, а, чоловік. 1. Геометричне тіло, освічене обертаннямпрямокутника довкола однієї з його сторін. 2. Колонновидний предмет, напр. частина поршневої машини. 3. Високий твердий капелюх такої форми з невеликими полями. Чорний ц. | прил.… … Тлумачний словник Ожегова

- (Steam cylinder) одна з основних деталей поршневих машин. Виконується як порожнистого круглого Ц., у якому рухається поршень. Ц. парових машинзабезпечується зазвичай паровою сорочкою для обігріву його стінок з метою зменшення конденсації пари.

Нескінченне тіло, обмежене замкненою нескінченною циліндричною поверхнею, називається нескінченним циліндром, обмежене замкнутим циліндричним променем та його основою, називається відкритим циліндром. Основу та утворюють циліндричного променя називають відповідно основою та утворюючими відкритого циліндра.

Кінцеве тіло, обмежене замкненою кінцевою циліндричною поверхнею і двома перерізами, що виділили її, називається кінцевим циліндром, або власне циліндром. Перерізи називаються основами циліндра. За визначенням кінцевої циліндричної поверхні, підстави циліндра рівні.

Очевидно, що утворюють бічній поверхні циліндра - рівні по довжині (званої заввишкициліндра) відрізки, що лежать на паралельних прямих, а кінцями лежать на підставах циліндра. До математичних курйозів відносять визначення будь-якої кінцевої тривимірної поверхні без самоперетинів як циліндра нульової висоти (цю поверхню вважають одночасно обома основами кінцевого циліндра). Основи циліндра якісно впливають на циліндр.

Якщо основи циліндра плоскі (і, отже, площини, що їх містять, паралельні), то циліндр називають стоять на площині. Якщо підстави циліндра, що стоїть на площині, перпендикулярні до утворюючої, то циліндр називається прямим.

Зокрема, якщо основа циліндра, що стоїть на площині - коло, то говорять про круговий (круглий) циліндр; якщо еліпс - то еліптичний.

Об'єм кінцевого циліндра дорівнює інтегралу площі основи утворює. Зокрема, об'єм прямого кругового циліндра дорівнює

(де – радіус основи, – висота).

Площа бічної поверхні циліндра вважається за такою формулою:

Площа повної поверхні циліндра складається з площі бічної поверхні та площі основ. Для прямого кругового циліндра:

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Циліндр (геометрія)" в інших словниках:

Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (крапок, ліній, кутів, двовимірних та тривимірних об'єктів), їх розмірів та взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію. У… … Енциклопедія Кольєра

- (γήμετρώ земля, μετρώ мірю). Поняття про простір, становище і форму належать до початкових, з якими людина була знайома вже в давнину. Перші кроки в Р. були зроблені єгиптянами та халдеями. У Греції Р. була введена… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

ГЕОМЕТРІЯ ВІЛЬНОЇ ПОВЕРХНІ- форма вільної поверхні, що утворюється під дією сили тяжіння та відцентрової силипри обертанні рідкого металунавколо осі обертання. При горизонтальної осіобертання вільна поверхня є круговим циліндром, при вертикальній … Металургійний словник

Розділ геометрії, у якому геометричні образи вивчаються методами математичного аналізу. Головними об'єктами Д. г. є довільні досить гладкі криві (лінії) та поверхні евклідового простору, а також сімейства ліній та …

Цей термін має й інші значення, див. Пірамідацу (значення). Достовірність цього розділу статті поставлена ​​під сумнів. Необхідно перевірити точність фактів, викладених у цьому розділі. На сторінці обговорення можуть бути … Вікіпедія

Теорія, що вивчає зовнішню геометрію та зв'язок між зовнішньою та внутрішньою. геометрією підбагаток евклідова або риманова простору. П. м. р. є узагальненням класич. диференціальної геометріїповерхонь в евклідовому просторі. Математична енциклопедія

Декартова система координат Аналітична геометріярозділ геометрії, в якому … Вікіпедія

Розділ геометрії, в якому вивчаються геометрич. образи, насамперед криві та поверхні, методами математич. аналізу. Зазвичай у Д. р. вивчаються властивості кривих і поверхонь у малому, тобто властивості як завгодно малих їх шматків. Крім того, у … Математична енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Обсяг (значення). Обсяг це адитивна функція від множини (заходу), що характеризує місткість області простору, яку вона займає. Спочатку виникло і застосовувалося без строгого ... Вікіпедія

Частина геометрії, що входить до елементарної математики (Див. елементарна математика). Кордони Е. р., як і взагалі елементарної математики, Не є строго окресленими. Кажуть, що Е. р. є та частина геометрії, яка вивчається в… Велика Радянська Енциклопедія

Книги

• Геометрія. 10-11 класи. Технологічні карти уроків (CD). ФГОС, Гілярова Марина Геннадіївна. Інтерактивна дошкана уроках у старших класах – електронний сучасний інструмент, що значно прискорює доступ до необхідної інформації, Що полегшує її сприйняття і сприяє…

Циліндром(точніше круговим циліндром) називається тіло, яке складається з двох кіл, що лежать у паралельних площинах і поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точкицих кіл. Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл, – утворюючими.

Циліндр має такі властивості, що випливають з того факту, що підстави циліндра поєднуються паралельним переносом:

1. Основи циліндра рівні.

2. Утворювальні циліндри паралельні і рівні.

Циліндр називається прямимякщо його утворюють перпендикулярні площин підстав. Надалі розглядатимемо переважно прямі циліндри, тому, якщо не обумовлено зворотне, під циліндром розумітимемо прямий циліндр.

Радіусомциліндра називається радіус його основи. Висотоюциліндра називається відстань між площинами його основ. Для прямого циліндра висота дорівнює утворюючим. Ос'юциліндра називається пряма, що проходить через центри основ.

Циліндр є тілом обертання, оскільки може бути отриманий обертанням прямокутника навколо осі.

Завдання

18.1Висота циліндра 6, радіус основи 5. Кінці відрізка , рівного 10, лежать на колах обох основ. Знайти найкоротшу відстань від цього відрізка до осі циліндра.

18.2У рівносторонньому циліндрі (діаметр дорівнює висотіциліндра) точка кола верхньої основи з'єднана з точкою кола нижньої основи. Кут між радіусами, проведеним у ці точки, дорівнює 60 о. Знайти кут між проведеним відрізком та віссю циліндра.

Конус

Визначення конуса

Конусом(точніше круговим конусом) називається тіло, що складається з кола – основи конуса, точки, що не лежать у площині основи, – вершини конусата всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основи. Відрізки, що з'єднують вершини конуса з точками кола основи, називаються утворюючими конуса.

Вистій конусаназивається перпендикуляр, опущений з вершини конуса на площину основи. Якщо основа висоти збігається з центром кола основи, конус називається прямим. Далі під конусом зазвичай розумітимемо прямий конус.

Ос'юпрямого кругового конусаназивається пряма, що містить його висоту. Такий конус може бути отриманий обертанням прямокутного трикутникадовкола одного з катетів.

Усічений конус

Площина, паралельна до основи конуса, відсікає від нього подібний конус. Остання частина називається усіченим конусом.

Завдання

19.1Дві утворюють конуса, що спираються на кінці діаметра основи, становлять між собою кут 60 про. Радіус конуса дорівнює 3. Знайти утворює конуса та його висоту.

19.2Через середину висоти конуса проведена пряма, паралельна утворюючою. Знайти довжину відрізка прямої, укладеної усередині конуса.

19.3Утворююча конуса дорівнює 13, висота 12. Конус перетнутий прямою, паралельною підставі; відстань від неї до основи дорівнює 6, а до висоти - 2. Знайти відрізок прямий, укладений усередині конуса.

19.4 Радіуси підстав усіченого конуса дорівнюють 3 і 6, висота – 4. Знайти утворюючу.

Визначення кулі

Кулькоюназивається тіло, яке складається з усіх точок простору, що знаходяться на відстані, не більше від певної точки, званої центром кулі. Ця відстань називається радіусом кулі.

Кордон кулі називається кульовою поверхнеюабо сферою. Таким чином, точками сфери є всі точки кулі, віддалені від центру кулі на відстань, що дорівнює радіусу.

Відрізок, що з'єднує дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром кулі.

Куля, як і циліндр і конус, є тілом обертання. Він виходить при обертанні півкола навколо її діаметра.

Завдання

20.1На поверхні кулі дано три точки. Прямолінійні відстані між ними 6, 8 та 10. Радіус кулі 13. Знайти відстань від центру кулі до площини, що проходить через ці три точки.

20.2 Діаметр кулі 25. На його поверхні дано точку та коло, всі точки якої віддалені (по прямій) від на 15. Знайти радіус цього кола.

20.3Радіус кулі дорівнює 7. На його поверхні дано два кола, що мають загальну хорду завдовжки 2. Знайти радіуси кіл, знаючи, що їхні площини перпендикулярні.

Циліндр

Опр. Циліндром називається тіло, яке складається з двох кіл, що поєднуються

паралельним перенесенням та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки

цих кіл.

Кола називають основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл цих кіл – утворюють циліндра (рис. 1)

Рис. 1 рис. 2 рис. 3 рис. 4

Властивості циліндра:

1) Основи циліндра рівні і лежать у паралельних площинах.

2) Утворювальні циліндри рівні і паралельні.

Опр. Радіусом циліндра називається радіус його основи.

Опр. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ.

Опр. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином.

Осьовий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами 2R та l(у прямому циліндрі l= Н) рис. 2

Перетин циліндра, паралельні осі, є прямокутниками (рис. 3).

Перетин циліндра площиною, паралельним підставам- Коло, рівний підстав(Рис. 4)

Площа поверхні циліндра.

Бічна поверхня циліндра складена з утворюючих.

Повна поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні.

S повний = 2 S осн + S бік ; S осн = П ∙ R 2 ; S бік = 2 П ∙ R ∙НS повний = 2ПR ∙(R + Н)

Практична частина:

№1. Радіус циліндра дорівнює 3см, яке висота- 5см. Знайдіть площу осьового перерізуі площа пів-

ної поверхні циліндра.

№2. Діагональ осьового перерізу циліндра нахилена до площини основи під кутом.
і дорівнює 20 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

№3. Радіус циліндра дорівнює 2см, яке висота- 3см. Знайдіть діагональ осьового перерізу циліндра.

№4. Діагональ осьового перерізу циліндра, рівна
, утворює з площиною основи кут
. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

№5. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 15 . Знайдіть площу осьового перерізу.

№6. Знайдіть висоту циліндра, якщо площа його основи дорівнює 1, а S бік =
.

№7. Діагональ осьового перерізу циліндра має довжину 8см і нахилена до площини основи під кутом.
. Знайдіть повну поверхню циліндра.

Циліндрична димова труба з діаметром 65см має висоту 18м. Скільки жерсті потрібно для виготовлення, якщо на заклепку йде 10% матеріалу?

Циліндр є геометричним тілом, обмеженим двома паралельними площинами і циліндричною поверхнею. У статті поговоримо про те, як знайти площу циліндра і, застосувавши формулу, вирішимо для прикладу кілька завдань.

У циліндра є три поверхні: вершина, основа, і бічна поверхня.

Вершина та основа циліндра є колами, їх легко визначити.

Відомо, що площа кола дорівнює πr 2 . Тому формула площі двох кіл (вершини і основи циліндра) матиме вигляд πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третя, бічна поверхня циліндра є вигнутою стінкою циліндра. Для того щоб краще уявити цю поверхню, спробуємо перетворити її, щоб отримати впізнавану форму. Уявіть собі, що циліндр це звичайна консервна банка, яка не має верхньої кришки і дна. Зробимо вертикальний надріз на бічній стінці від вершини до основи банки (Крок 1 на малюнку) і спробуємо максимально розкрити (випрямити) отриману фігуру (Крок 2).

Після повного розкриттяОтримані банки ми побачимо вже знайому фігуру (Крок 3), це прямокутник. Площа прямокутника легко обчислити. Але перед цим повернемося на мить до початкового циліндра. Вершина вихідного циліндра є коло, а ми знаємо, що довжина кола обчислюється за формулою: L = 2πr. На малюнку вона позначена червоним кольором.

Коли бічна стінкациліндра повністю розкрита, бачимо, що довжина кола стає довжиною отриманого прямокутника. Сторонами цього прямокутника будуть довжина кола (L = 2πr) та висота циліндра (h). Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін – S = довжина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результаті ми отримали формулу для розрахунку площі бічної поверхні циліндра.

Формула площі бічної поверхні циліндра
S бік. = 2πrh

Площа повної поверхні циліндра

Зрештою, якщо ми складемо площу всіх трьох поверхонь, ми отримаємо формулу площі повної поверхні циліндра. Площі поверхні циліндра дорівнює площа вершини циліндра + площа основи циліндра + площа бічної поверхні циліндра або S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Іноді цей вираз записується ідентичною формулою 2πr (r + h).

Формула площі повної поверхні циліндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радіус циліндра, h – висота циліндра

Приклади розрахунку площі поверхні циліндра

Для розуміння наведених формул спробуємо порахувати площу поверхні циліндра на прикладах.

1. Радіус основи циліндра дорівнює 2, висота дорівнює 3. Визначте площу бічної поверхні циліндра.

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S бік. = 2πrh

S бік. = 2*3,14*2*3

S бік. = 6,28*6

S бік. = 37,68

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 37,68.

2. Як знайти площу поверхні циліндра, якщо висота дорівнює 4, а радіус 6?

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

Площа поверхні циліндра дорівнює 376,8.