Формула байєсу теорія. Ідеї байєсу для менеджерів
ІНФОРМАТИКА, ВИЧИСЛЮВАЛЬНА ТЕХНІКА ТА УПРАВЛІННЯ INFORMATION TECHNOLOGY, COMPUTER SCIENCE, AND MANAGEMENT
Про застосовність формули Байєса
DOI 10.12737/16076
А. І. Долгов **
1Акціонерне товариство «Конструкторське бюро з радіоконтролю систем управління, навігації та зв'язку», м. Ростов-на-Дону, Російська Федерація
On applicability of Bayes" formula*** A. I. Dolgov1**
1«Дизайн bureau on monitoring control, navigation and communication systems» JSC, Ростов-он-Дон, Російська Федерація
Предметом даного дослідженняє формула Байєса. Ціль справжньої роботи- аналіз та розширення сфери застосування формули. Першочерговим завданням є вивчення публікацій, присвячених зазначеній проблемі, що дозволило виявити недоліки застосування формули Байєса, що призводять до некоректних результатів. Наступне завдання – побудова модифікацій формули Байєса, які забезпечують облік різних одиночних свідоцтв із отриманням коректних результатів. І, нарешті, з прикладу конкретних вихідних даних порівнюються некоректні результати, одержувані із застосуванням формули Байєса, і коректні результати, обчислювані з допомогою запропонованих модифікацій. Під час проведення дослідження використано два методи. По-перше, проведено аналіз принципів побудови відомих виразів, що застосовуються для запису формули Байєса та її модифікацій. По-друге, виконано порівняльну оцінку результатів (у тому числі кількісну). Запропоновані модифікації забезпечують більш широке застосуванняформули Байєса в теорії та на практиці, у тому числі при вирішенні прикладних завдань.
Ключові слова: умовні ймовірності, несумісні гіпотези, сумісні та несумісні свідоцтва, нормування.
Bayes" formula is the research subject. The work objective is to analyze the formula application and widen the scope of its applicability. Першим пріоритетом проблем включають в себе ідентифікацію Bayes" формула суперечок, що базуються на вивченні релевантних публікацій, що беруть участь у неправильних результатах. . І, в кінцевому підсумку, у неправильних результатах одержаних з застосуванням Bayes" формула є compared to коректні результати, що calculated with the use of proposed formula formulations by example of the specific initial data. Два методи є використані в дослідженнях. Перший, analysis of principles of constructing the known expressions used to record the Bayesian formula and its modifications is conducted. Зрештою, comparative evaluation of the results (включаючи the quantitative one) is performed. The proposed modifications provide a wider application of Bayes" formula both in theory and practice including the solution of the applied problems.
Keywords: конкретні проблеми, несприятливі hypotheses, надійні і некомпітальні показники, нормалізовані.
Вступ. Формула Байєса знаходить все більш широке застосування в теорії та практиці, у тому числі при вирішенні прикладних завдань за допомогою обчислювальної техніки. Використання взаємно незалежних обчислювальних процедур дозволяє особливо ефективно застосовувати цю формулупри вирішенні завдань на багатопроцесорних обчислювальних системах, тому що в цьому випадку паралельна реалізація виконується на рівні загальної схеми, і при додаванні чергового алгоритму чи класу завдань немає необхідності повторно проводити розпаралелювання.
Предметом даного дослідження є застосування формули Байєса для порівняльної оцінки апостеріорних умовних ймовірностейнесумісних гіпотез при різних поодиноких свідченнях. Як показує аналіз, у таких випадках порівнюються нормовані ймовірності несумісних комбінованих подій, що на-
S X<и ч и
IS eö І IS X X<и H
"Робота виконана у рамках ініціативної НДР.
**E-mail: [email protected]
""Research is done within frame of the independent R&D.
спраглих різним повним групам подій. У цьому порівнювані результати виявляються неадекватними реальним статистичним даним. Це зумовлено такими факторами:
Використовується некоректне нормування;
Не береться до уваги наявність або відсутність перетинів свідчень, що враховуються.
З метою усунення виявлених недоліків виявляються випадки застосування формули Байєса. Якщо зазначена формула не застосовна, вирішується завдання побудови її модифікації, що забезпечує облік різних одиночних свідоцтв з отриманням коректних результатів. На прикладі конкретних вихідних даних виконано порівняльну оцінку результатів:
Некоректних – одержуваних з використанням формули Байєса;
Коректних - обчислюваних за допомогою запропонованої модифікації.
Вихідні становища. В основу викладених далі тверджень покладемо принцип збереження відносин ймовірностей: «Коректна обробка ймовірностей подій здійсненна лише при нормуванні із застосуванням одного загального нормуючого дільника, що забезпечує рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей» . Даний принцип є суб'єктивною основою теорії ймовірностей, проте не відображається належним чином у сучасній навчальній та науково-технічній літературі.
При порушенні зазначеного принципу спотворюються відомості про ступінь можливості подій, що розглядаються. Отримані з урахуванням спотворених відомостей результати і прийняті рішення виявляються неадекватними реальним статистичним данным.
У пропонованій статті будуть використані такі поняття:
Елементарна подія - подія, що не поділяється на елементи;
Комбіноване подія - подія, що представляє те чи інше поєднання елементарних подій;
Сумісні події - події, які у одних випадках порівняльної оцінки їх ймовірностей може бути несумісними, інших випадках спільними;
Несумісні події - події, які завжди є несумісними.
Відповідно до теореми множення ймовірностей, ймовірність Р (І ^ Е) твори елементарних подій І ^ і
Е обчислюється як твори ймовірностей Р(Ик Е) = Р(Е)Р(И^Е) . У зв'язку з цим формула Байєса часто
записується у вигляді Р(Ік\Е) =--- , що описує визначення апостеріорних умовних ймовірностей
Р(І^Е) гіпотез Ік (к = 1,...п) на основі нормування апріорних ймовірностей Р(І^Е) врахованих комбінованих несумісних подій І до Є. Кожна з таких подій представляє твір, співмножниками якого є одна з аналізованих гіпотез і одне свідчення, що враховується. При цьому все розглядає-
події ІкЕ (к = 1,...п) утворюють повну групу іІкЕ несумісних комбінованих подій, у зв'язку з
з чим їх ймовірності Р(Ік Е) мають бути нормовані з урахуванням формули повної ймовірності, згідно кото-
рій Р(Е) = 2 Р(Ік)Р(Е\Ік). Тому формула Байєса найчастіше записується в найбільш вживаному вигляді:
Р(Ік) Р(ЄІк)
Р(Ік\Е) = -. (1)
^ кацією формули Байєса.
й Аналіз особливостей побудови формули Байєса, націленої на вирішення прикладних завдань, а також приклади
«та її практичного застосування дозволяють зробити важливий висновок щодо вибору повної групи порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій (кожна з яких є твором двох елементарних подій – однією з гіпотез та свідоцтва, що враховується). Такий вибір здійснюється суб'єктивно особою, що приймає рішення, на основі об'єктивних вихідних даних, властивих типовим умовам обстановки: види і кількість оцінюваних гіпотез і свідоцтво, що конкретно враховується.
Незрівнянні ймовірності гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях. Формула Байєса традиційно застосовується у разі визначення не порівнюваних за ступенем можливості апостеріорних умовних віро-
ятностей гіпотез Н^ при поодиноких несумісних свідченнях, кожне з яких може з'явитися
тільки в комбінації з будь-якою з цих гіпотез». При цьому вибираються повні групи та НкЕ, комбіні-
ванних подій у вигляді творів, співмножниками яких є одне із свідоцтв ц. (1=1,...,т) та одна
з п аналізованих гіпотез.
Формула Байєса застосовується для порівняльної оцінки ймовірностей комбінованих подій кожної такої повної групи, що відрізняється від інших повних груп не тільки свідченням е, що враховується, але і в загальному випадкувидами гіпотез Н ^ та (або) їх кількістю п (див., наприклад, )
РНкИ = Р(Нк) Р(еН)
% Р(Нк) Р(Ег\Нк) до = 1
В окремому випадку при п = 2
РНк\Е,~ Р(Нк) Р(ЕН)
% Р(Нк) Р(Е,\Н к) до = 1
і отримані результати є правильними, зважаючи на дотримання принципу збереження відносин ймовірностей:
Р(Н1Е,) _ Р(Н 1)Р(Е,\Н1) / Р(Н2) Р(Е,\Н2) = Р(Н 1) Р(Е,\Н1)
Р(Н 2 = % РШ1!) РЕ, \ Н0 % ^) РЕ, \ Н) "Р (Н 2> 2>"
Суб'єктивність вибору повної групи порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій (з
тими чи іншими елементарними подіями, що змінюються) дозволяє вибрати повну групу подій і Нк Е ■ с
запереченням елементарної події Е ■ () і записати формулу Байєса (1 = 1,.. .,т) так:
Р(Нк\Е) -=-РНШ±.
% Р(Нк)Р(Е,Нк)
Така формула також застосовна і дає можливість отримати правильні результати, якщо обчислювані до
нормовані ймовірності порівнюються при різних аналізованих гіпотезах, але не при різних свід- ^
ствах. ¡^
Порівнянні ймовірності гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях. Судячи з відомих публ- ^
няється для порівняльної оцінки апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез при різних одиночних свід- ^
ствах. При цьому не приділяється увага наступному факту. У зазначених випадках порівнюються ймовірності, що нормуються ^ несумісних (несумісних) комбінованих подій, що належать різним повним групам н подій. Однак у даному випадкуформула Байєса незастосовна, оскільки порівнюються комбіновані події, що не входять в одну повну § групу, нормування ймовірностей яких здійснюється з використанням різних л нормуючих дільників. Нормовані ймовірності несумісних (несумісних) комбінованих подій можна порівнювати лише в тому випадку, якщо вони належать одній і тій же повній групі подій і нормовані ¡3 з використанням спільного дільника, рівного суміймовірностей всіх нормованих подій, що входять до повної §
У загальному випадку як несумісні свідчення можуть розглядатися:
Два свідчення (наприклад, свідчення та його заперечення); ^
Три свідчення (наприклад, у ігрової ситуаціївиграш, програш та нічия); ^
Чотири свідоцтва (зокрема, у спорті виграш, програш, нічия та перегравання) тощо.
Розглянемо досить простий приклад (відповідний прикладу, наведеному в) застосування формули ^ Байєса для визначення апостеріорних умовних ймовірностей гіпотези Н ^ при двох несумісних подіях
вигляді свідоцтва Л]- та її заперечення Л]
Р(Н,к) - ^. ^ Р (А ^ до », (2)
] Е Р (Нк> Р (А] \ вк> до - 1
■ _ Р(НкА]) Р(Нк> Р(А]\нк>
Р(Н,\А,) ----к-]-. (3)
V к\Л]> Р(А > п
] Е Р(Нк) Р(А]\Нк) до -1
У випадках (2) і (3) суб'єктивно обраними повними групами порівнюваних за ступенем можливості ком-
бінованих подій є відповідно безлічі і Н до А і Н до А. Це той випадок, коли формула
до-1 до ] до-1 до ]
Байєса не застосовується, тому що порушено принцип збереження відносин ймовірностей - не дотримується рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей:
Р(Н до А]] Р(Нк) Р(А]\Нк) / Р(Нк) Р(А]\Нк) Р(Нк) Р(А] Нк)
Р(Нк Е Р(Нк) Р(А]\Нк)/ Е Р(Нк) Р(А]\Нк) Р(Нк) Р(А] Нк)
до - 1 /к - 1 Відповідно до принципу збереження відносин ймовірностей, коректна обробка ймовірностей подій здійсненна лише за нормування із застосуванням одного загального нормуючого дільника, рівного сумі всіх порівнюваних нормованих виразів. Тому
Е Р(Нк)Р(А]\Нк) + Е Р(Нк)Р(А]\Нк) - Е Р(Нк)[Р(А]\Нк) + Р(Нк) Р(А]\Нк )] - ЕР(Нк) - 1. до -1 до -1 до -1 до -1
Таким чином, виявляється той факт, що існують різновиди формули Байєса, що відрізняються від
відомих відсутністю нормуючого дільника:
А,) - Р(Н) Р(А]\Нк), Р(Нк А) - Р(Н) Р(А, Н к). (4)
J до I ■> до
При цьому дотримується рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей:
т^А^ Р(Нк) Р(А]\Нк)
А,) Р(Н к) Р(А,Нк)
На основі суб'єктивного вибору нетрадиційно записуваних повних груп несумісних комбінованих подій можна збільшити кількість модифікацій формули Байєса, що включають свідчення, а також ту чи іншу кількість їх заперечень. Наприклад, найповнішій групі комбінованих подій
і і Нк /"./^ і і Нк Е відповідає (з урахуванням відсутності нормуючого дільника) модифікація формула; =1 А"=1 ; =1 ли Байєса
Р(Нк\~) - Р(Н к) ПЕ^^^
де елементарна подія у вигляді свідоцтва Е II II / "/ є одним з елементів зазначеного множини-
о За відсутності заперечень свідчень, тобто при Ё\ = // е і /"./,
^ Р(Н\Е) Р(Нк) Р(Е,\Нк)
Р(Нк) Р(Е\Нк) до - 1
Таким чином, модифікація формули Байєса, призначена для визначення порівнюваних за рівнем можливості умовних ймовірностей гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях виглядає наступним чином. У чисельнику міститься нормована ймовірність одного з комбінованих несумісних подій, про-110 разующих повну групу, виражену як твори апріорних ймовірностей, а знаменнику - сума всіх
нормованих ймовірностей. При цьому дотримується принцип збереження відносин ймовірностей - і результат, що отримується, є правильним.
Ймовірність гіпотез при одиночних сумісних свідченнях. Формули Байєса традиційно застосовуються визначення порівнюваних за рівнем можливості апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез Нк (к = 1,...,п) при одному з кількох аналізованих сумісних свідчень ЕЛ (1 = 1,...,т). Зокрема (див.
наприклад, і ), щодо апостеріорних умовних ймовірностей Р(Н 1Е^) і Р(Н 1 Е2) при кожному з двох сумісних свідоцтв Е1 і Е2 використовуються формули виду:
P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1-і P(H J E 2) =--1-. (5)
I P (Hk) PE \ Hk) I P (Hk) P (E2 Hk)
k = 1 k = 1 Необхідно врахувати, що це ще один випадок, коли формула Байєса не застосовується. Причому в даному випадку мають бути усунені дві недоліки:
Проілюстроване нормування ймовірностей комбінованих подій некоректно, зважаючи на належність різним повним групам подій, що розглядаються;
У символічних записах комбінованих подій HkEx і HkE2 не знаходить відображення той факт, що свідоцтва E х і E 2, що враховуються, є сумісними.
Для усунення останньої вади може бути використаний більш розгорнутий запис комбінованих подій з урахуванням того, що сумісні свідоцтва E1 та E2 в одних випадках можуть бути несумісними, а в інших спільними:
HkE1 = HkE1 E2 та HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, де E1 та E 2 є свідченнями, протилежними E1 та E 2.
Очевидно, що у таких випадках добуток подій Hk E1E2 враховується двічі. Крім того, воно може бути враховано ще раз окремо, проте цього не відбувається. Справа в тому, що в ситуації, що розглядається, на оцінювану обстановку впливають три ймовірних несумісних комбінованих події: HkE1E2, HkE 1E2 і
Hk E1E2. При цьому для особи, яка приймає рішення, цікавить оцінка за рівнем можливості лише
двох несумісних комбінованих подій: HkE1 E2 та HkE 1E2, що відповідає розгляду тільки g
одиночних свідоцтв. ¡Ц
Таким чином, при побудові модифікації формули Байєса для визначення апостеріорних умовних ве-^
роятностей гіпотез при одиночних сумісних свідченнях необхідно виходити з наступного. Обличчя, ^
що має рішення, цікавить, яка саме елементарна подія, представлена тим чи іншим свідченням з
числа аналізованих реально відбулося в конкретних умовах. Якщо відбувається інша елементарна подія до
вигляді одиночного свідоцтва, потрібно перегляд рішення, обумовленого результатами порівняльної оцінки н
апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез з неодмінним врахуванням інших умов, що впливають на реальну загальну
становлення. 3
Введемо наступне позначення: HkE- для одного (і тільки одного) несумісного комбінованого со-
буття, що у тому, що з m > 1 аналізованих елементарних подій Ei (i = 1,...,m) разом із гіпотезою «
Hk сталася одна елементарна подія Ex і не відбулися інші елементарні події. се"
У найбільш простому випадкурозглядаються два поодинокі несумісні свідоцтва. Якщо підтвер-
очікується одне з них, умовна ймовірність свідоцтва в загальному виглядівиражається формулою л
P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) g
У справедливості формули можна переконатися (рис. 1).
Мал. 1. Геометрична інтерпретаціяобчислення Р(Нк Е-) при / = 1,...,2 При умовно незалежних свідоцтвах
Р(К1К2\Нк) = р(Е\Нк)Р(Е2\Нк),
тому з урахуванням (6)
Р(Нк Е-) = РЕ Нк) - Р(Е1 Нк) Р(Е21Нк) = 1,.,2. (7)
Аналогічно ймовірність Р(НкЕ-) одного з трьох (/ = 1,...,3) несумісних подій НкЕ виражається формулою
Наприклад, при i = 1:
p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk)] + P(EiE2E3Hk)
p(HkE-) = P(E7|Hk)-P(E]E^Hk)-P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)
Справедливість цієї формули наочно підтверджує геометрична інтерпретація, подана на
Мал. 2. Геометрична інтерпретація обчислення Р(Нк Е-) при / = 1,...,3
Методом математичної індукціїможна довести загальну формулудля ймовірності Р(Нк Е-) при будь-якій кількості свідоцт е, 0=1,...,т):
Р(НкЕ-) = Р(Е,Нк)- т РЕ\Нк) Р(Е]\Нк) + 1 Р(Е\Нк) Р(Е]\Нк) Р(Е^Нк) +■■■ + (-1)
] = 1(] * 0 ],1 * 1
Використовуючи теорему множення ймовірностей, запишемо умовну ймовірність Р(НкЕ~-) у двох формах:
^ з яких випливає, що
P(Hk E -) = P(H k) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk
E-)= P(HkE-) "" P(E-)
З використанням формули повної ймовірності P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) виходить, що
Е-) = Р(НкЕТ)
2 Р(НкЕ-) до = 1
Підставивши в отриману формулу виразу для Р(НкЕ-) у вигляді правої частини (8), отримаємо остаточний вид формули для визначення апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез Н^ (к = 1,.. .,п) при одному з декількох несумісних одиночних свідчень, що розглядаються. : (Е ^ \Нк)
Р(Нк)[Р(Е,\Нк) - 2 Р(Е,\Нк) Р(Ер к) +...+ (-1)т-1 Р(П Р(Єрк)] Р(Н, Е~) =-] = 1(] * ■----(9)
до 1 п т т т
2 Р(Н к) 2 [Р(Е,\Н к) - 2 Р(ЕгНк) Р(Е^Нк) + ...+ (-1)т-1 Р(П Р (Єр к)]
к = 1, = 1) = 1 () *,) ■! =1
Порівняльні оцінки. Розглядаються досить прості, але наочні приклади, що обмежуються аналізом обчислюваних апостеріорних умовних ймовірностей однієї з двох гіпотез при двох одиночних свідченнях. 1. Імовірність гіпотез при несумісних одиночних свідченнях. Порівняємо результати, одержувані із застосуванням формул Байєса (2) і (3), на прикладі двох свідчень Л. = Л і Л. = Л при вихідних даних:
Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Л| Н^ = 0,1; Р(Л\н 1) = 0,9; Р(Л\Н2) = 0,6 Р(Л\Н2) = 0,4 У аналізованих прикладах з гіпотезою Н1 традиційні формули (2) і (3) призводять до наступних результатів:
Р(Н.) Р(А\Але 007
Р(Н, Л) =-- 11 = - = 0,28,
2 Р(Н к) Р(А\Нк) до = 1
Р(Н Л Р(А\Н 1) 0 63
Р(Н, Л) =-- 11 = - = 0,84,
2 Р(Нк) Р(А\Нк) до = 1
ормуючих ділить Р(Н 1 Л) = Р(Н^ Р(Л\Нр = 0,07; Р(Н^ А) = Р(Н1) Р(л|Н^ = 0,63).
Р<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07
а при запропонованих формулах (4), які не мають нормуючих дільників: «і
Таким чином, у разі застосування запропонованих формул відношення нормованих ймовірностей дорівнює відношенню до нормованих ймовірностей: До
гт ж Р(Н1) Р(А\Н1) А11 |
При використанні відомих формул при такому ж відношенні -;-=-= 0,11 нормованих веро- н
Р(Н 1) Р(А\Н 1) «§
ятностей, зазначених у чисельниках, відношення одержуваних нормованих ймовірностей: 2
Р(Н 1) Р(А\Н 1) Р(А\Н 1) 0,63
Р(Н1 Л) = 0,28 Р(Н1 Л) = 0,84
Тобто принцип збереження відносин імовірностей не дотримується і виходять невірні результати. При цьому £
у разі застосування відомих формул значення відносного відхилення відношення (11) апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез від коректних результатів (10) виявляється дуже суттєвим, оскільки становить
°, 33 - °, П х 100 = 242%.
2. Імовірність гіпотез при сумісних одиночних свідченнях. Порівняємо результати, одержувані з застосуванням формул Байєса (5) та побудованої коректної модифікації (9), використовуючи наступні вихідні дані: ^
Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Е1Н1) = 0,4; Р(Е2Н1) = 0,8; Р(Е1\Н2) = 0,7; Н2) = 0,2 113
У прикладах з гіпотезою H 2 у випадку використання традиційних формул (5):
P(H 2) P(E1 H 2) Q, 21
P(H 2 E1) =-2-!-2- = - = Q,429,
I p (Hk) p (El Hk) k = 1
P(H 2) P(E 2 H 2) Q,Q6
P(H 2 E 2) =-2-- = - = 0,097.
I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1
У разі застосування запропонованої формули (9) з урахуванням (7) P(H
P(H2) 0,168
E.) ----- 0,291,
Z P(Hk) Z "
P(H2) 0,018
E0) ----- 0,031.
Z P (Hk) Z k - 1 i - 1
При використанні пропонованих коректних формул, зважаючи на однакові знаменники, відношення P(H2) -
Нормованих ймовірностей, що вказуються в чисельниках, дорівнює відношенню
P(H2)
нормованих ймовірностей:
Тобто принцип збереження відносин імовірностей дотримується.
Однак у разі застосування відомих формул щодо зазначених у чисельниках нормованих ймовірностей
Р(Н 2) Р(Е1\Н 2) _ 0,21 _3 5 Р(Н 2)Р(Е 2 Н 2) 0,06 ,
відношення нормованих ймовірностей:
Р(Н 2 = 0.429 = 4,423. (13)
Р(Н 2 \е2) 0,097
Тобто принцип збереження відносин ймовірностей, як і раніше, не дотримується. При цьому у разі застосування відомих формул значення відносного відхилення відношення (13) апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез від коректних результатів (12) також виявляється дуже суттєвим:
9,387 4,423 х 100 = 52,9%.
Висновок. Аналіз побудови конкретних формульних співвідношень, що реалізують формулу Байєса та її модифікації, які пропонуються для вирішення практичних завдань, дозволяють стверджувати наступне. Повна група порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій може вибиратися суб'єктивно особою, яка приймає рішення. Цей вибір грунтується на об'єктивних вихідних даних, що враховуються, характерних для типової об-ї становки (конкретні види і кількість елементарних подій - оцінюваних гіпотез і свідчень). Представляє практичний інтерес суб'єктивний вибір інших варіантів повної групи порівнюваних за ступенем можли-
ності комбінованих подій - таким чином забезпечується суттєва різноманітність формульних співвідношень при побудові нетрадиційних варіантів модифікацій формули Байєса. На цьому, у свою чергу, може ґрунтуватися вдосконалення математичного забезпечення програмної реалізації, а також розширення області застосування нових формульних співвідношень для вирішення прикладних завдань.
бібліографічний список
1. Гнеденко, В.В. Kinchin. - 114 New York: Dover Publications, 1962. - 144р.
2. Вентцель, Є. С. Теорія ймовірностей/Є. С. Вентцель. - 10-те вид., стер. – Москва: Вища школа, 2006. – 575 с.
3. Андронов. А. М., Теорія ймовірностей та математична статистика / А. М. Андронов, Є. А. Копитов, Л. Я. Грінглаз. – Санкт-Петербург: Пітер, 2004. – 481 с.
4. Змітрович, А. І. Інтелектуальні інформаційні системи / А. І. Змітрович. – Мінськ: ТетраСі-стемс, 1997. – 496 с.
5. Чорноруцький, І. Г. Методи прийняття рішень / І. Г. Чорноруцький. – Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.
6. Naylor, C.-M. Build Your Own Expert System / C.-M. Naylor. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 p.
7. Романов, В. П. Інтелектуальні інформаційні системи економіки / В. П. Романов. - 2-ге вид., стер.
Москва: Іспит, 2007. – 496 с.
8. Економічна ефективність та конкурентоспроможність / Д. Ю. Муромцев [та ін.]. - Тамбов: Вид-во Тамб. держ. техн. ун-ту, 2007. - 96 с.
9. Долгов, А. І. Коректні модифікації формули Байєса для паралельного програмування / А. І. Долгов // Суперкомп'ютерні технології: матеріали 3-й всерос. наук-техн. конф. - Ростов-на-Дону. – 2014. – Т. 1 – С. 122-126.
10. Долгов, А. І. Про коректність модифікацій формули Байєса / А. І. Долгов // Вісник Дон. держ. техн. ун-ту.
2014. – Т. 14, № 3 (78). – С. 13-20.
1. Гнеденко, В.В., Хінчін, А.Я. Як елементарне введення в теорію проблеми. New York: Dover Publications, 1962, 144р.
2. Ventsel, E.S. Теорія веройатности. 10th ed., reimpr. Moscow: Vysshaya shkola, 2006, 575 p. (in Ukrainian).
3. Андронов, А.М., Копитов, Е.А., Грінглаз, Л.І. Теорія веройатности і математична статистика. St.Petersburg: Piter, 2004, 481 p. (in Ukrainian).
4. Змітровіч, А.1. Інтеллектуальні" інформаційні системи. Мінськ: TetraSistems, 1997, 496 р. (у Росії).
5. Чернорутскій, І.Г. Методи принятія решенії. St.Petersburg: BKhV-Peterburg, 2005, 416 p. (in Ukrainian).
6. Naylor, C.-M. Build Your Own Expert System. Chichester: John Wiley & Sons, 1987, 289 p.
7. Романов, V.P. Інтеллектуальні" інформаційні системи в ekonomice. 2nd ed., reimpr. Moscow: Ekzamen, 2007, 496 p. (in Russian).
8. Муромцев, Д.І., та ін. Економічна ефективність "і konkurentosposobnost". Tambov: Izd-vo Tamb. gos. tekhn. un-ta, 2007, 96 p. (in Ukrainian). IB
9. Дольгов, А1. Коректні modifikatsii формули Bayesa для parallel'nogo programmirovania. Superkomp'uternye технології: mat-ly 3-й veros. nauch-tekhn. konf. Rostov-on-Don, 2014, vol. 1, pp. 122-126 (in Ukrainian). ^
10. Дольгов, А1. Про коректність modifikatsij формули Bayesa. ^ Vestnik of DSTU, 2014, vol. 14, no. 3 (78), pp. 13-20 (у Russian). *
При виведенні формули ймовірності передбачалося, що подія А, Імовірність якого слід визначити, могло статися з однією з подій Н 1 , Н 2 , ... , Н n, що утворюють повну групу попарно несумісних подій У цьому ймовірності зазначених подій (гіпотез) відомі заздалегідь. Припустимо, що зроблено експеримент, в результаті якого подія Анастало. Ця додаткова інформація дозволяє провести переоцінку ймовірностей гіпотез Н i ,вирахувавши Р(Ні/А).
або, скориставшись формулою повної ймовірності, отримаємо
Цю формулу називають формулою Байєса або теоремою гіпотез. Формула Байєса дозволяє «переглянути» ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат досвіду, в результаті якого з'явилася подія А.
Ймовірності Р(Н i)− це апріорні ймовірності гіпотез (вони обчислені до досвіду). Імовірності ж Р(Ні/А)− це апостеріорні ймовірності гіпотез (вони обчислені після досвіду). Формула Байєса дозволяє обчислити апостеріорні ймовірності за їх апріорними ймовірностями та за умовними ймовірностями події А.
приклад. Відомо, що 5% всіх чоловіків та 0.25% всіх жінок дальтоніки. Навмання обрана особа за номером медичної картки страждає на дальтонізм. Яка ймовірність того, що це чоловік?
Рішення. Подія А– людина страждає на дальтонізм. Простір елементарних подій для досвіду – обрано людину за номером медичної картки – Ω = ( Н 1 , Н 2 ) складається з 2 подій:
Н 1 −обраний чоловік,
Н 2 − обрана жінка.
Ці події можуть бути обрані як гіпотези.
За умовою завдання (випадковий вибір) ймовірності цих подій однакові та рівні Р(Н 1 ) = 0.5; Р(Н 2 ) = 0.5.
При цьому умовні ймовірності того, що людина страждає на дальтонізм, рівні відповідно:
Р(А/Н 1 ) = 0.05 = 1/20; Р(А/Н 2 ) = 0.0025 = 1/400.
Оскільки відомо, що обраний людина дальтонік, т. е. подія сталося, то використовуємо формулу Байєса для переоцінки першої гіпотези:
приклад.Є три однакові на вигляд ящики. У першому ящику 20 білих куль, у другому – 10 білих та 10 чорних, у третій – 20 чорних куль. З вибраного навмання ящика вийняли білу кулю. Обчислити ймовірність того, що кулю вийнято з першої скриньки.
Рішення. Позначимо через Аподія – поява білої кулі. Можна зробити три припущення (гіпотези) про вибір скриньки: Н 1 ,Н 2 , Н 3 − вибір відповідно першої, другої та третьої скриньки.
Оскільки вибір будь-якого з ящиків рівноможливий, то ймовірності гіпотез однакові:
Р(Н 1 )=Р(Н 2 )=Р(Н 3 )= 1/3.
За умовою завдання ймовірність вилучення білої кулі з першої скриньки
Імовірність вилучення білої кулі з другої скриньки 
Імовірність вилучення білої кулі з третьої скриньки
Шукану ймовірність знаходимо за формулою Байєса:
Повторення випробувань. Формула Бернуллі.
Проводиться n випробувань, у кожному з яких подія може статися чи відбутися, причому ймовірність події А кожному окремому випробуванні постійна, тобто. не змінюється від досвіду до досвіду. Як знайти ймовірність події? А в одному досвіді ми вже знаємо.
Представляє особливий інтерес можливість появи певного числа разів (m разів) події А в n дослідах. подібні завдання вирішуються легко, якщо випробування є незалежними.
Опр.Кілька випробувань називаюсь незалежними щодо події А якщо ймовірність події А в кожному з них не залежить від результатів інших дослідів.
Імовірність Р n (m) настання події А рівно m разів (ненастання n-m разів, подія) у цих n випробуваннях. Подія А з'являється в різних послідовностях m раз).
– формулу Бернуллі.
Очевидні такі формули:
Р n (m
P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - ймовірність настання події А більше k разів у n випробуваннях.
