Математичне очікування є. Характеристики випадкової дискретної величини середнє значення випадкової величини

Випадкові величини, крім законів розподілу, можуть описуватися також числовими характеристиками .

Математичним очікуваннямМ(x) випадкової величини називається її середнє значення.

Математичне очікування дискретної випадкової величини обчислюється за формулою

де – значення випадкової величини, р i -їхймовірності.

Розглянемо властивості математичного очікування:

1. Математичне очікування константи дорівнює самій константі

2. Якщо випадкову величину помножити на деяке число k, то й математичне очікування помножиться на це число

М(kx) = kМ(x)

3. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань

М(x1+x2+…+xn) = М(x1)+М(x2)+…+М(xn)

4. М (x 1 - x 2) = М (x 1) - М (x 2)

5. Для незалежних випадкових величин x 1 , x 2 , … x n математичне очікування твору дорівнює твору їх математичних очікувань

М (x 1, x 2, … x n) = М (x 1) М (x 2) … М (x n)

6. М(x - М(x)) = М(x) - М(М(x)) = М(x) - М(x) = 0

Обчислимо математичне очікування для випадкової величини прикладу 11.

М(x) = = .

приклад 12.Нехай випадкові величини x 1 , x 2 задані відповідно до законів розподілу:

x 1 Таблиця 2

x 2 Таблиця 3

Обчислимо М (x 1) та М (x 2)

М (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 · 0,4 + 0,01 · 0,2 + 0,1 · 0,1 = 0

М (x 2) = (-20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 = 0

Математичні очікування обох випадкових величин однакові вони рівні нулю. Проте характер їхнього розподілу різний. Якщо значення x 1 мало відрізняються від свого математичного очікування, то значення x 2 в великого ступенявідрізняються від свого математичного очікування, і ймовірність таких відхилень не мала. Ці приклади показують, що за середнім значенням не можна визначити, які відхилення від нього мають місце як у меншу, так і більшу сторону. Так за однакової середньої величині опадів, що випадають у двох місцевостях, за рік не можна сказати, що ці місцевості однаково сприятливі для сільськогосподарських робіт. Аналогічно за показником середньої заробітної платинеможливо судити про питому вагу високо- і низкооплачиваемых працівників. Тому вводиться числова характеристика – дисперсія D(x) , яка характеризує ступінь відхилення випадкової величини від свого середнього значення:

D(x) = M(x - M(x)) 2 . (2)

Дисперсія - це математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від математичного очікування. Для дискретної випадкової величини дисперсія обчислюється за такою формулою:

D(x) = = (3)

З визначення дисперсії випливає, що D(x) 0.

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія константи дорівнює нулю

2. Якщо випадкову величину помножити на деяке число k то дисперсія помножиться на квадрат цього числа

D(kx) = k 2 D(x)

3. D(x) = М(x2) – М2(x)

4. Для попарно незалежних випадкових величин x 1 x 2 ... x n дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

D(x1+x2+…+xn) = D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

Обчислимо дисперсію для випадкової величини Прикладу 11.

Математичне очікування М(x) = 1. Тому за формулою (3) маємо:

D (x) = (0 – 1) 2 · 1/4 + (1 – 1) 2 · 1/2 + (2 – 1) 2 · 1/4 = 1 · 1/4 +1 · 1/4 = 1/2

Зазначимо, що дисперсію обчислювати простіше, якщо скористатися властивістю 3:

D(x) = М(x2) – М2(x).

Обчислимо дисперсії для випадкових величин x 1 x 2 з Прикладу 12 за цією формулою. Математичні очікування обох випадкових величин дорівнюють нулю.

D (x 1) = 0,01 · 0,1 + 0,0001 · 0,2 + 0,0001 · 0,2 + 0,01 · 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 · 0,3 + (-10) 2 · 0,1 + 10 2 · 0,1 + 20 2 · 0,3 = 240 +20 = 260

Чим ближче значення дисперсії нанівець, тим менше розкид випадкової величини щодо середнього значення.

Величина називається середньоквадратичним відхиленням. Модою випадкової величини x дискретного типу Mdназивається таке значення випадкової величини, якому відповідає найбільша ймовірність.

Модою випадкової величини x безперервного типу Md, називається дійсне число, Який визначається як точка максимуму щільності розподілу ймовірностей f(x).

Медіаною випадкової величини x безперервного типу Mnназивається дійсне число, що задовольняє рівняння

Виявляється, що цілий ряд практичних завданьможна вирішити з допомогою небагатьох характеристик розподілу, а знання точної функції розподілу випадкової величини виявляється необов'язковим. До таких визначальних характеристик випадкової величини відносяться, наприклад, її середнє та середнє квадратичне значення, а також середнє відхилення квадратичне.

Знаходити середні значення випадкових величин можна з досвіду, і навіть знаючи функції розподілу випадкових величин. Розглянемо, як знаходити ці середні значення у різних випадках.

Нехай випадкова величинаможе приймати: значення з ймовірністю або це значення випадає раз з

значення з ймовірністю або це значення випадає раз нарешті,

значення з ймовірністю або це значення випадає раз з

Тоді сума значень випадкової величини під час випробувань буде:

Щоб знайти середнє значення випадкової величини, тобто значення, що припадає на одне випробування, потрібно суму розділити на повну кількість випробувань:

Якщо ми маємо деяку середню величину знайдену за формулою (2.11), то, взагалі кажучи, при різних значенняхповного числа випробувань значення середньої величинитакож будуть різними, оскільки розміри, що розглядаються, носять випадковий характер. Однак зі збільшенням числа середнє значення цієї величини прагнутиме до певної межі а. І що більше буде кількість випробувань, то ближче визначене за формулою (2.11), наближатися до цього граничного значення:

Остання рівність є так званим законом великих чисел або теоремою Чебишева: середнє значення випадкової величини буде прагнути до постійному числупри дуже великому числівимірів.

Отже, середнє значення випадкової величини дорівнює сумі добутків випадкової величини на ймовірність її появи.

Якщо випадкова величина змінюється безперервно, її середнє значення можна знайти з допомогою інтегрування:

Середні величини мають ряд важливих властивостей:

1) середнє значення постійної величини дорівнює самій постійній величинітобто.

2) середнє значення деякої випадкової величини є постійна величина, тобто.

3) середнє значення суми кількох випадкових величин дорівнює сумі середніх значень цих величин, тобто.

4) середнє значення твору двох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку середніх значень кожної їх, тобто.

Поширюючи це правило на більша кількість незалежних величин, маємо:

Іноді з тих чи інших причин знання середнього значення випадкової величини виявляється недостатнім. У разі шукається непросто середнє значення випадкової величини, а середнє значення квадрата цієї величини (квадратичне). При цьому мають місце аналогічні формули:

для дискретних значень та

в разі безперервної змінидовільної величини.

Середнє квадратичне значення випадкової величини виявляється завжди позитивним і не перетворюється на нуль.

Часто доводиться цікавитися як середніми значеннями самої випадкової величини, а й з середніми значеннями деяких функцій від випадкової величини.

Наприклад, маючи розподіл молекул за швидкостями, ми можемо знайти середню швидкість. Але також нас може цікавити середня кінетична енергія теплового руху, що є квадратичною функцієюшвидкості. У таких випадках можна скористатися такими загальними формулами, що визначають середнє значення довільної функції випадкової величини для дискретного розподілу

для випадку безперервного розподілу

Для знаходження середніх значень випадкової величини або функції випадкової величини за допомогою ненормованої функції розподілу користуються формулами:

Тут всюди інтегрування проводиться у всій області можливих значень випадкової величини

Відхилення від середніх.У ряді випадків знання середнього та середнього квадратичного значення випадкової величини виявляється недостатнім для характеристики випадкової величини. Інтерес є також розподілом випадкової величини біля свого середнього значення. І тому досліджується відхилення випадкової величини від середнього значення.

Однак, якщо ми візьмемо середнє відхилення випадкової величини від її середнього значення, тобто середнє значення чисел:

то отримаємо, як у разі дискретного, і у разі безперервного розподілу, нуль. Справді,

Іноді можна знаходити середнє значення модулів відхилень випадкової величини від середнього значення, тобто величину:

Однак обчислення з абсолютними значеннямичасто складні, інколи ж і неможливі.

Тому набагато частіше для характеристики розподілу випадкової величини біля свого середнього значення використовують так зване середнє відхилення квадратичне або середній квадрат відхилення. Середній квадрат відхилення інакше називають дисперсією випадкової величини. Дисперсія визначається за формулами:

які перетворюються на один вид (див. задачі 5, 9).

де величина є квадратом відхилення випадкової величини від її середнього значення.

Квадратний корінь із дисперсії випадкової величини називається середнім квадратичним відхиленнямвипадкової величини, а для фізичних величин- флуктуацією:

Іноді вводиться відносна флуктуація, яка визначається за формулою

Таким чином, знаючи закон розподілу випадкової величини, можна визначити всі цікаві для нас характеристики випадкової величини: середнє значення, середнє квадратичне, середнє значення довільної функції від випадкової величини, середній квадрат відхилення або дисперсію і флуктуацію випадкової величини.

Тому однією з основних завдань статистичної фізики є віднайдення законів і функцій розподілу тих чи інших випадкових фізичних величин і параметрів у різних фізичних системах.

Нехай для випадкової величини xможливі значення:

X1, x2, …, xk.

Вимірювання проводяться Nраз, результат x iспостерігається N iраз, тоді

Середнє значення

(сума результатів вимірів)/(число всіх вимірів) =
.

При
з урахуванням (1.1)

отримуємо

. (1.5)

Для функції випадкової величини

. (1.5а)

Середнє значення величини дорівнює сумі творів її значень на ймовірності цих значень .

При
отримуємо
та (1.5а) дає нормування ймовірностей

. (1.6)

Властивості середнього

Для постійної
та незалежних випадкових величин xі yвиконується:

1)

– постійний множник виноситься з-під знака усереднення;

- Середнє від суми / різниці дорівнює сумі / різниці середніх;

3)

- Середнє від добутку незалежних величин дорівнює добутку їх середніх.

Доказ якості 1

З визначення середнього (1.5а)

отримуємо

Доказ якості 2

Функція
, що описує розподіл ймовірності длявипадкової величини x, однакова для функцій
і
тоді з визначення середнього (1.5а)

;

Доведеннявластивості 3

Використовуємо визначення середнього та функцію розподілу
незалежних випадкових величин xі y. Відповідно до теореми про незалежні події їх ймовірності перемножуються

Тоді отримуємо

.

Основні визначення

Відхилення від середньоговипадкової величини

.

Середнє відхилення від середньоговипадкової величини дорівнює нулю

Середня квадратична величина

. (1.7)

Для середніх значень випадкових величин xі yвиконується нерівність Коші-Буняковського-Шварця

. (1.7а)

З (1.7а) при
знаходимо

. (1.7б)

Середнє квадратичне більше або дорівнює квадрату середнього.

Дисперсія- Середнє квадратичне відхилення від середнього

З (1.7б) отримуємо
.

Флуктуація- Корінь квадратний з дисперсії

Відносна флуктуація

. (1.10)

Якщо xвипадковим чином змінюється з плином часу, то відносна флуктуація показує частку часу, протягом якої система перебуває в стані
.

Теорема:Відносна флуктуація адитивної величини, що характеризує систему, зменшується обернено пропорційно до кореня квадратного з числа незалежних підсистем і для макроскопічної системи вона мала. Прикладом адитивної величини (від латів. additivus - «додається») є енергія. Флуктуація енергії для макросистеми дуже мала, для мікросистеми вона істотна.

Доведення

Адитивна величина Xдля системи дорівнює сумі значень x kдля Nнезалежних підсистем

.

За якістю 2 усереднення – середнє від суми дорівнює сумі середніх

- Пропорційна числу підсистем.

Відхилення від середнього

,

дисперсія

.

При зведенні у квадрат
і усереднення результату для перехресних творів враховано властивість 3 усереднення –середнє від твору незалежних величин і твору їх середніх

,
,

і використано, що середнє відхилення від середнього дорівнює нулю

.

Не рівними нулю залишаються квадрати величин. В результаті флуктуація

.

Відносна флуктуація

(П.1.11)

зменшується обернено пропорційно до кореня квадратного з числа незалежних підсистем.

Виробнича функція. Є випадкова величина n, яка набуває дискретних значень в інтервалі
. Ймовірність отримання результату nдорівнює
. Визначаємо функцію, що виробляє

. (П.1.14)

Якщо відома функція, що виробляє, то розподіл ймовірності отримуємо з (П.1.14)

, (П.1.15)

де використано

Умови нормування (1.6)

вимагає виконання

. (П.1.16)

Для отримання середніх значень випадкової величини диференціюємо (П.1.14)

,

і знаходимо

. (П.1.17)

Дворазове диференціювання (П.1.14)

. (П.1.18)

Теорема про виконання функцій. Якщо відбуваються два незалежні види подій, які описуються розподілами ймовірностей з функціями, що виробляють
і
, то розподіл суми подій виражається добутком їх функцій

Функція розподілу містить повну інформаціюпро випадкову величину. Насправді функцію розподілу який завжди можна встановити; іноді такого вичерпного знання не потрібно. Часткову інформацію про випадкову величину дають числові характеристики, які в залежності від роду інформації поділяються на такі групи.
1. Характеристики положення випадкової величини на числовій осі (мода Мо, медіана Ме, математичне очікування М(Х)).
2. Характеристики розкиду випадкової величини близько середнього значення (дисперсія D(X), середнє квадратичне відхилення σ( х)).
3. Характеристики форми кривої y = φ( x) (асиметрія As, ексцес Ех).
Розглянемо докладніше кожну із зазначених характеристик.
Математичне очікування випадкової величини Хвказує деяке середнє значення, біля якого групуються всі можливі значення Х. Для дискретної випадкової величини, яка може приймати лише кінцеве числоможливих значень, математичним очікуванням називають суму творів усіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень:
. (2.4)
Для безперервної випадкової величини Х, що має задану щільністьрозподілу φ( x) математичним очікуванням називається наступний інтеграл:
. (2.5)
Тут передбачається, що невласний інтегралсходиться абсолютно, тобто. Існує.
Властивості математичного очікування:
1. М(С) = C, де З = const;
2. M(C∙Х) = З∙М(Х);
3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), де Xі Y- Будь-які випадкові величини;
4. М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y), де Xі Y- Незалежні випадкові величини.
Дві випадкові величини називаються незалежними якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша величина.
Модою дискретної випадкової величини, що позначається Мо, називається її найімовірніше значення (рис. 2.3), а модою безперервної випадкової величини – значення, у якому щільність ймовірності максимальна (рис. 2.4).



Рис. 2.3 Мал. 2.4
Медіаною безперервної випадкової величини Хназивається таке її значення Ме, для якого однаково ймовірно, чи виявиться випадкова величина меншою або більшою Ме, тобто.
Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)
З визначення медіани випливає, що Р(Х<Ме) = 0,5, тобто. F (Ме) = 0,5. Геометрично медіану можна тлумачити як абсцису, в якій ордината φ( x) ділить навпіл площа, обмежену кривою розподілу (рис. 2.5). У разі симетричного розподілу медіана збігається з модою та математичним очікуванням (рис. 2.6).

Рис. 2.5 Мал. 2.6

Дисперсія.

Дисперсія випадкової величини- міра розкиду цієї випадкової величини, тобто її відхилення від математичного очікування. Позначається D[X] у російській літературі та (англ. variance) у зарубіжній. У статистиці часто використовується позначення чи . Квадратний корінь з дисперсії, рівний, називається середньоквадратичним відхиленням, стандартним відхиленням або стандартним розкидом. Стандартне відхилення вимірюється у тих самих одиницях, як і сама випадкова величина, а дисперсія вимірюється у квадратах цієї одиниці виміру.

З нерівності Чебишова випливає, що випадкова величина віддаляється від її математичного очікування більш ніж kстандартних відхилень із ймовірністю менше 1/ k². Так, наприклад, як мінімум у 75 % випадків випадкова величина віддалена від її середнього не більше ніж на два стандартні відхилення, а приблизно 89 % - не більше ніж на три.

Дисперсією випадкової величини називається математичне очікування квадрата її відхилення від математичного очікування
D(X) = M(X –М(Х)) 2 .
Дисперсію випадкової величини Хзручно обчислювати за такою формулою:
а) для дискретної величини
; (2.6)
б) для безперервної випадкової величини
j( х)d x – 2 . (2.7)
Дисперсія має такі властивості:
1. D(C) = 0, де З = const;
2. D(C× X) = C 2 ∙ D(X);
3. D(X± Y) = D(X) + D(Y), якщо Xі Yнезалежні випадкові величини.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Хназивається арифметичний корінь із дисперсії, тобто.
σ( X) = .
Зауважимо, що розмірність σ( х) збігається з розмірністю самої випадкової величини Хтому середнє квадратичне відхилення зручніше для характеристики розсіювання.
Узагальнення основних числових характеристик випадкових величин є поняття моментів випадкової величини.
Початковим моментом k-го порядку α kвипадкової величини Хназивається математичне очікування величини Х k, тобто. α k = М(Х k).
Початковий момент першого порядку – це математичне очікування випадкової величини.
Центральним моментом k-го порядку μ kвипадкової величини Хназивається математичне очікування величини ( Х–М(Х))k, тобто. μ k = М(Х–М(Х))k.
Центральний момент другого порядку – дисперсія випадкової величини.
Для дискретної випадкової величини початковий момент виражається сумою? k= , а центральний – сумою μ k = де р i = p(X=x i). Для початкового та центрального моментів безперервної випадкової величини можна одержати такі рівності:
α k = ,  μ k = ,
де? x) - щільність розподілу випадкової величини Х.
Величина As= μ 3 / σ 3 називається коефіцієнтом асиметрії .
Якщо коефіцієнт асиметрії негативний, це говорить про великий вплив на величину m 3 негативних відхилень. У цьому випадку крива розподілу (рис.2.7) більш полога зліва від М(Х). Якщо коефіцієнт As позитивний, отже, переважає вплив позитивних відхилень, то крива розподілу (рис.2.7) більш полога справа. Практично визначають знак асиметрії розташування кривої розподілу щодо моди (точки максимуму диференціальної функції).


Рис. 2.7
Ексцесом Еkназивається величина
Еk= μ 4 / σ 4 - 3.

Запитання 24. Кореляція

Кореляція (кореляційна залежність) - статистична взаємозв'язок двох або кількох випадкових величин (або величин, які можна з деяким допустимим ступенем точності вважати такими). При цьому зміни значень однієї або кількох із цих величин супроводжують систематичну зміну значень іншої або інших величин. Математичною мірою кореляції двох випадкових величин служить кореляційне відношення, чи коефіцієнт кореляції ( чи ) . У разі, якщо зміна однієї випадкової величини не веде до закономірної зміни іншої випадкової величини, але призводить до зміни іншої статистичної характеристики даної випадкової величини, то подібний зв'язок не вважається кореляційним, хоча є статистичним.

Вперше до наукового обігу термін «кореляція» ввів французький палеонтолог Жорж Кюв'є у XVIII столітті. Він розробив «закон кореляції» частин і органів живих істот, за допомогою якого можна відновити вигляд викопної тварини, маючи лише частину її останків. У статистиці слово «кореляція» першим почав використовувати англійський біолог і статистик Френсіс Гальтон наприкінці ХІХ століття.

Деякі види коефіцієнтів кореляції можуть бути позитивними або негативними (можлива ситуація відсутності статистичного взаємозв'язку - наприклад, для незалежних випадкових величин). Якщо передбачається, що значення змінних задано ставлення суворого порядку, то негативна кореляція- кореляція, при якій збільшення однієї змінної пов'язане із зменшенням іншої змінної, при цьому коефіцієнт кореляції може бути негативним; позитивна кореляціяв таких умовах - кореляція, за якої збільшення однієї змінної пов'язане зі збільшенням іншої змінної, при цьому коефіцієнт кореляції може бути позитивним.

Теорія ймовірності – особливий розділ математики, який вивчають лише студенти вищих навчальних закладів. Ви любите розрахунки та формули? Вас не лякають перспективи знайомства з нормальним розподілом, ентропією ансамблю, математичним очікуванням та дисперсією дискретної випадкової величини? Тоді цей предмет вам буде дуже цікавим. Познайомимося з кількома найважливішими базовими поняттями цього розділу науки.

Згадаймо основи

Навіть якщо ви пам'ятаєте найпростіші поняття теорії ймовірності, не зневажайте перших абзаців статті. Справа в тому, що без чіткого розуміння основ ви не зможете працювати з формулами, що розглядаються далі.

Отже, відбувається деяка випадкова подія, якийсь експеримент. Через війну вироблених дій ми можемо отримати кілька результатів - одні зустрічаються частіше, інші - рідше. Імовірність події - це відношення кількості реально отриманих наслідків одного типу до загального числа можливих. Тільки знаючи класичне визначення даного поняття, ви зможете розпочати вивчення математичного очікування та дисперсії безперервних випадкових величин.

Середнє арифметичне

Ще в школі на уроках математики ви починали працювати із середнім арифметичним. Це поняття широко використовується в теорії ймовірності, і тому його не можна обминути. Головним для нас зараз є те, що ми зіткнемося з ним у формулах математичного очікування та дисперсії випадкової величини.

Ми маємо послідовність чисел і хочемо знайти середнє арифметичне. Все, що від нас вимагається - підсумувати все існуюче та розділити на кількість елементів у послідовності. Нехай ми маємо числа від 1 до 9. Сума елементів дорівнюватиме 45, і це значення ми розділимо на 9. Відповідь: - 5.

Дисперсія

Говорячи науковою мовою, дисперсія – це середній квадрат відхилень отриманих значень ознаки від середньої арифметичної. Позначається одна заголовною латинською літерою D. Що потрібно, щоб її розрахувати? Для кожного елемента послідовності порахуємо різницю між наявним числом та середнім арифметичним і зведемо у квадрат. Значень вийде рівно стільки, скільки може бути результатів у події, що ми розглядаємо. Далі ми підсумовуємо все отримане та ділимо на кількість елементів у послідовності. Якщо у нас можливі п'ять наслідків, то ділимо на п'ять.

У дисперсії є й властивості, які потрібно запам'ятати, щоб застосовувати під час вирішення завдань. Наприклад, зі збільшенням випадкової величини у X разів, дисперсія збільшується у X у квадраті разів (т. е. X*X). Вона ніколи не буває менше нуля і не залежить від зсуву значень на рівне значення у більшу чи меншу сторону. Крім того, для незалежних випробувань дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

Тепер нам обов'язково слід розглянути приклади дисперсії дискретної випадкової величини та математичного очікування.

Припустимо, що ми провели 21 експеримент та отримали 7 різних результатів. Кожен із них ми спостерігали, відповідно, 1,2,2,3,4,4 та 5 разів. Чому дорівнюватиме дисперсія?

Спочатку порахуємо середнє арифметичне: сума елементів, зрозуміло, дорівнює 21. Ділимо її на 7, отримуючи 3. Тепер із кожного числа вихідної послідовності віднімемо 3, кожне значення зведемо в квадрат, а результати складемо разом. Вийде 12. Тепер нам залишається розділити число на кількість елементів, і, начебто, все. Але є проблема! Давайте її обговоримо.

Залежність кількості експериментів

Виявляється, при розрахунку дисперсії у знаменнику може стояти одне з двох чисел: або N або N-1. Тут N - це число проведених експериментів або число елементів у послідовності (що, по суті, те саме). Від чого це залежить?

Якщо кількість випробувань вимірюється сотнями, ми повинні ставити в знаменник N. Якщо одиницями, то N-1. Кордон вчені вирішили провести досить символічно: на сьогоднішній день вона проходить за цифрою 30. Якщо експериментів ми провели менше 30, то ділити суму будемо на N-1, а якщо більше – то на N.

Завдання

Давайте повернемося до нашого прикладу розв'язання задачі на дисперсію та математичне очікування. Ми отримали проміжне число 12, яке потрібно було поділити на N чи N-1. Оскільки експериментів ми провели 21, що менше 30 виберемо другий варіант. Отже, відповідь: дисперсія дорівнює 12/2 = 2.

Математичне очікування

Перейдемо до другого поняття, яке ми обов'язково маємо розглянути цій статті. Математичне очікування - це результат складання всіх можливих наслідків, помножених на відповідні ймовірності. Важливо розуміти, що отримане значення, як і результат розрахунку дисперсії, виходить лише один раз для цілого завдання, скільки результатів у ній не розглядалося.

Формула математичного очікування досить проста: беремо результат, множимо з його ймовірність, додаємо те саме для другого, третього результату тощо. буд. Усе, що з цим поняттям, розраховується нескладно. Наприклад, сума матожиданий дорівнює маточку суми. Для твору актуально те саме. Такі прості операції дозволяє із собою виконувати далеко не кожна величина теорії ймовірності. Давайте візьмемо завдання і порахуємо значення одразу двох вивчених понять. Крім того, ми відволікалися на теорію - настав час попрактикуватися.

Ще один приклад

Ми провели 50 випробувань і отримали 10 видів результатів – цифри від 0 до 9 – які з'являються у різному відсотковому відношенні. Це відповідно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Нагадаємо, що для отримання ймовірностей потрібно розділити значення у відсотках на 100. Таким чином отримаємо 0,02; 0,1 і т.д. Представимо для дисперсії випадкової величини та математичного очікування приклад розв'язання задачі.

Середнє арифметичне розрахуємо за такою формулою, яку пам'ятаємо з молодшої школи: 50/10 = 5.

Тепер переведемо ймовірність у кількість наслідків «в штуках», щоб було зручніше рахувати. Отримаємо 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 і 9. З кожного отриманого значення віднімемо середнє арифметичне, після чого кожен із отриманих результатів зведемо в квадрат. Подивіться, як це зробити, з прикладу першого елемента: 1 - 5 = (-4). Далі: (-4) * (-4) = 16. Для решти значень проробіть ці операції самостійно. Якщо ви все зробили правильно, то після додавання всіх ви отримаєте 90.

Продовжимо розрахунок дисперсії та математичного очікування, розділивши 90 на N. Чому ми вибираємо N, а не N-1? Правильно тому, що кількість проведених експериментів перевищує 30. Отже: 90/10 = 9. Дисперсію ми отримали. Якщо у вас вийшло інше число, не засмучуйтесь. Швидше за все, ви припустилися банальної помилки при розрахунках. Перевірте ще раз написане, і напевно все встане на свої місця.

Зрештою, згадаємо формулу математичного очікування. Не будемо наводити всіх розрахунків, напишемо лише відповідь, з якою ви зможете звіритися, закінчивши всі необхідні процедури. Матоожидання дорівнюватиме 5,48. Нагадаємо лише, як здійснювати операції, з прикладу перших елементів: 0*0,02 + 1*0,1… тощо. Як бачите, ми просто множимо значення результату з його ймовірність.

Відхилення

Ще одне поняття, тісно пов'язане з дисперсією та математичним очікуванням – середнє квадратичне відхилення. Позначається воно або латинськими літерами sd, або грецькою «сигмою». Це поняття показує, наскільки у середньому відхиляються значення від центральної ознаки. Щоб знайти її значення, потрібно розрахувати квадратне коріння з дисперсії.

Якщо ви збудуєте графік нормального розподілу і захочете побачити безпосередньо на ньому квадратичного відхилення, це можна зробити в кілька етапів. Візьміть половину зображення зліва або праворуч від моди (центрального значення), проведіть перпендикуляр до горизонтальної осі так, щоб площі фігур були рівні. Величина відрізка між серединою розподілу і проекцією, що вийшла, на горизонтальну вісь і буде середнім квадратичним відхиленням.

Програмне забезпечення

Як видно з описів формул і наведених прикладів, розрахунки дисперсії та математичного очікування - не найпростіша процедура з арифметичної точки зору. Щоб не витрачати час, є сенс скористатися програмою, яка використовується у вищих навчальних закладах - вона називається «R». У ній є функції, що дозволяють розраховувати значення для багатьох понять із статистики та теорії ймовірності.

Наприклад, ви задаєте вектор значень. Робиться це так: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

На закінчення

Дисперсія та математичне очікування - це без яких складно надалі щось розрахувати. В основному курсі лекцій у вишах вони розглядаються вже у перші місяці вивчення предмета. Саме через нерозуміння цих найпростіших понять та невміння їх розрахувати багато студентів відразу починають відставати за програмою і пізніше отримують погані позначки за результатами сесії, що позбавляє їх стипендії.

Потренуйтесь хоча б один тиждень по півгодини на день, вирішуючи завдання, схожі на представлені в цій статті. Тоді на будь-якій контрольній теорії ймовірності ви впораєтеся з прикладами без сторонніх підказок і шпаргалок.