Незалежні випадкові величини. Операції над випадковими величинами

Випадкова величина є справжньою функцією, значення якої визначається результатом довільного експерименту. Інакше висловлюючись, випадкова величина присвоює речове значення кожній точці вибіркового простору. У попередньому розділіми визначали ймовірність кінцевих сукупностей подій, обчислюючи відносну частоту появи кожної події. Для визначення щільності ймовірності та функції розподілу безперервних випадкових величин, визначених на нескінченних множинах подій, використовується граничний перехід. Важливими для подальшого викладу будуть поняття ймовірності часу та ймовірності ансамблю, які безпосередньо призводять до визначення випадкового процесу як вибіркового простору, що складається з подій, що є функціями часу. Отже, випадковий процес можна як сукупність функцій часу. У гол. 3 буде дано огляд теорії випадкових процесів. У цьому розділі обмежимося лише випадковими величинами.

Коли вибірковий простір для випадкового експериментускладається з безперервної, а значить, з нескінченної множини значень, ймовірність отримання одного певного значення або елемента множини дорівнює нулю. Однак сума (імовірностей по нескінченному числу елементів у всьому вибірковому просторі повинна дорівнювати одиниці. У цих випадках зручно визначити функцію розподілу ймовірностей наступним чином:

де є ймовірність того, що менше або дорівнює . Щоб пов'язати це з отриманою раніше дискретною ймовірністю, слід лише відзначити, що ми просто визначаємо подію як те, що , або, висловлюючись суворіше, що подія є сукупністю результатів , що належать вибірковому простору , таких , що .

Якщо є подія

те, використовуючи ф-лу (2.16), отримаємо, що ймовірність події

Якщо , то з попереднього виразу знаходимо

(2.19)

Межа у ф-ле (2.19) при , якщо вона існує, називають функцією щільності ймовірності :

З визначення згідно (2.18) та події згідно (2.17) випливає, що

Таким чином, ймовірність того, що подія більша , але менша чи дорівнює ,рівнозначенню функції щільності ймовірності , помноженої на . З ур-ня (2.20) випливає, що функцію розподілу ймовірностей можна отримати інтегрування функції щільності ймовірності

. (2.22)

Деякі властивості густин ймовірностей та функцій розподілу, на які слід звернути увагу, наведені нижче:

для всіх (2.23в)

Для всіх (2.23г)

(2.23д)

Наведемо деякі приклади часто використовуваних безперервних розподілів(нижче у всіх випадках , ):

Рівномірне:

Експонентне:

Імпульсне:

Релеївське:

Гауссівське(нормальне):

Тут – дельта-функція; - Поодинока ступінчаста функція, що починається при ; - табульований інтеграл

.

Графіки наведених вище функцій наведено на рис 2.1. Імпульсний розподіл показує, що дискретні розподіли можуть бути представлені як безперервні з густиною у вигляді дельта-функцій. Нормальний розподіл є дуже важливим, у чому зможемо переконатися надалі.

Рис 2.1 Приклади безперервних розподілів ймовірності: а) рівномірний; б) експонеціальне; в) імпульсне; г) реліївське; д) Гауссівське

Якщо є дві випадкові величини і можна визначити двовимірну функцію розподілу ймовірностей:

яка є ймовірністю того, що менше або одно і менше або одно . Щоб пов'язати цю функцію з двовимірною дискретною функцієюрозподілу ймовірностей, слід лише помітити, як і в одновимірному випадку, що ми визначаємо подію, як подія, при якому ; іншими словами

(2.25)

Визначимо тепер подію так:

тоді ймовірність настання події

де події ,, і визначені як

Обидві частини ф-ли (2.25) можна розділити і записати через функції розподілу:

Переходячи до межі, отримаємо

Якщо тепер визначити межу при , отримаємо наступний важливий результат:

. (2.31)

Вираз є спільною функцією щільності ймовірності двох випадкових величин. З визначення події видно, що

Це є іншим визначенням щільності ймовірності двох випадкових величин. Імовірність того, що й лежать у прямокутній ділянці, утвореній прирощеннями, дорівнює значенню функції щільності ймовірності, помноженому на площу прямокутника, утвореного прирощеннями.

Функцію розподілу ймовірності можна записати, проінтегрувавши вираз (2.31):

. (2.33)

Деякі властивості двовимірних щільностей та функцій розподілу, на які слід звернути увагу, наведені нижче:

(2.34б)

Для всіх ; (2.34в)

Для всіх ; (2.34г)

(2.34д)

(2.34е)

для всіх та (2.34ж)

(2.34з)

Якщо є більше двох випадкових величин, система позначень, якою ми досі користувалися, стає громіздкою. Набагато вигідніше використовувати векторний запис. Тому зручно визначити -мірний вектор-стовпець як

(2.35)

де символ означає транспонування. Нам знадобиться також збільшення -мірного вектора, яке визначатимемо як

(2.36)

Тут є скалярним елементом. Слід бути уважними та відрізняти його від диференціального вектора, який визначатимемо як

(2.37)

Для зручності будемо говорити, що один вектор менший за інший, коли кожна складова першого менша за відповідну складову другого. Таким чином, такі записи еквівалентні:

У векторній формі:

(2.40)

(2.41)

де інтеграл із векторними межами є -мірним інтегралом. Ми зможемо неодноразово переконатися в тому, що векторне уявлення випадкових величин значно простіше для їхнього розуміння та операцій над ними, ніж еквівалентне скалярне уявлення.

Часто цікавить можливість отримання розподілу або щільності тільки однієї величини по спільному розподілучи щільності. Для двох випадкових величин з ф-л (2.33) та (2.34д) слід

(2.43)

Таким чином, індивідуальна щільність ймовірності

(2.44)

Для -вимірного випадку індивідуальна щільність ймовірності однієї величини ( -й компоненти вектора ) може бути легко виражена, якщо визначити мірний вектор як вихідний вектор , в якому виключена компонента, тобто.

Так як функція щільності імовірності випадкового векторає функцією спільної густини, то індивідуальна густина ймовірності може бути представлена ​​у вигляді

(2.46)

Цей результат легко поширюється на випадок, коли потрібно отримати спільну щільність більш ніж однієї випадкової величини із спільної щільності для випадкових величин.

У багатьох (випадках визначення безперервних випадкових величин потрібно знати умовні функції розподілу і щільності. Почнемо з двох випадкових величин скалярних величині , а потім поширимо результат на випадкові векторні величини і

Визначимо дві події та:

, (2.47)

Тоді згідно (2.10) ймовірність того, що більше ніж , але менше або дорівнює за умови, що значення лежить в інтервалі від до , дорівнює. Якщо покласти (2.65)

У багатьох випадках у теорії оцінювання та її застосування у зв'язку та управлінні необхідно обчислити густину ймовірності функції випадкових величин. Звернімо тепер увагу на це важливе завдання.

Дві випадкові величини $X$ і $Y$ називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї випадкової величини не змінюється від того, які можливі значення набула інша випадкова величина. Тобто, для будь-яких $x$ та $y$ події $X=x$ та $Y=y$ є незалежними. Оскільки події $X=x$ та $Y=y$ незалежні, то за теоремою твори ймовірностей незалежних подій$P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Приклад 1 . Нехай випадкова величина $X$ виражає грошовий виграш за квитками однієї лотереї «Російське лото», а випадкова величина $Y$ виражає грошовий виграш за квитками іншої лотереї «Золотий ключ». Вочевидь, що випадкові величини $X,\ Y$ будуть незалежними, оскільки виграш за квитками однієї лотереї залежить від закону розподілу виграшів за квитками інший лотереї. У тому випадку, коли випадкові величини $X,\Y$ виражали б виграш по одній і тій же лотереї, то, очевидно, дані випадкові величини були б залежними.

Приклад 2 . Двоє робітників працюють у різних цехах і виготовляють різні вироби, не пов'язані між собою технологіями виготовлення та використовуваною сировиною. Закон розподілу числа бракованих виробів, виготовлених першим робітником за зміну, має такий вигляд:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Число \ бракованих \ виробів \ x & 0 & 1 \\
\hline
Можливість & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(array)$

Число бракованих виробів, виготовлених другим робітником за зміну, підпорядковується таким закону розподілу.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Число \ бракованих \ виробів \ y & 0 & 1 \\
\hline
Можливість & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(array)$

Знайдемо закон розподілу числа бракованих виробів, виготовлених двома робітниками за зміну.

Нехай випадкова величина $X$ - кількість бракованих виробів, виготовлених першим робітником за зміну, а $Y$ - кількість бракованих виробів, виготовлених другим робітником за зміну. За умовою, випадкові величини $ X, \ Y $ незалежні.

Число бракованих виробів, виготовлених двома робітниками за зміну, є випадковою величиною $X+Y$. Її можливі значення дорівнюють $0,\1$ і $2$. Знайдемо ймовірності, з якими випадкова величина $X+Y$ набуває своїх значень.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) = 0,8 \ cdot 0,7 = 0,56.

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\Y=1\ або\X=1,\Y=0\right)=P\left(X=0\right )P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8cdot 0,3+0,2cdot 0,7 = 0,38. $

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) = 0,2 \ cdot 0,3 = 0,06.

Тоді закон розподілу числа бракованих виробів, виготовлених двома робітниками за зміну:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Число \ бракованих \ виробів & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Можливість & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end(array)$

У попередньому прикладі ми виконували операцію над випадковими величинами $X,\Y$, а саме знаходили їхню суму $X+Y$. Дамо тепер більше суворе визначенняоперацій (додавання, різницю, множення) над випадковими величинами і наведемо приклади рішень.

Визначення 1. Добутком $kX$ випадкової величини $X$ на постійну величину $k$ називається випадкова величина, яка приймає значення $kx_i$ з тими ж ймовірностями $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ dots ,\ n\ right) $.

Визначення 2. Сумою (різницею або добутком) випадкових величин $X$ і $Y$ називається випадкова величина, яка приймає всі можливі значення виду $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ або $x_i\cdot y_i$), де $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, з ймовірностями $p_(ij)$ того, що випадкова величина $X$ прийме значення $x_i$, а $Y$ значення $y_j$:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Так як випадкові величини $ X, \ Y $ незалежні, то по теоремі множення ймовірностей для незалежних подій: $ p_ (ij) = P \ left (X = x_i \ right) \ cdot P \ left (Y = y_j \ right) = p_i\cdot p_j$.

Приклад 3 . Незалежні випадкові величини $X,\Y$ задані своїми законами розподілу ймовірностей.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(array)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(array)$

Складемо закон розподілу випадкової величини $Z=2X+Y$. Сумою випадкових величин $X$ і $Y$, тобто $X+Y$, називається випадкова величина, яка набуває всіх можливих значень виду $x_i+y_j$, де $i=1,\ 2,\dots ,\ n$ , з ймовірностями $p_(ij)$ того, що випадкова величина $X$ прийме значення $x_i$, а $Y$ значення $y_j$: $p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Так як випадкові величини $ X, \ Y $ незалежні, то по теоремі множення ймовірностей для незалежних подій: $ p_ (ij) = P \ left (X = x_i \ right) \ cdot P \ left (Y = y_j \ right) = p_i\cdot p_j$.

Отже, має закони розподілу випадкових величин $2X$ і $Y$ відповідно.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(array)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(array)$

Для зручності знаходження всіх значень суми $Z=2X+Y$ та їх ймовірностей складемо допоміжну таблицю, у кожній клітині якої помістимо у лівому куті значення суми $Z=2X+Y$, а правому куті - ймовірності цих значень, отримані внаслідок перемноження ймовірностей відповідних значень випадкових величин $2X$ і $Y$.

В результаті отримаємо розподіл $Z=2X+Y$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(array)$

Двовимірнийназивають випадкову величину ( X; Y), можливі значення якої є пари чисел ( x; y).

Випадкові величини Xі Y, Розглянуті спільно, утворюють систему двох випадкових величин. Кожну з величин Xі Yназивають складника(компонентом).

Загальною характеристикою двовимірної випадкової величини є функція розподілу ймовірностей, яка є ймовірністю події ( X < x, Y < y); F(x,y) = P(X < x, Y < y).

Розрізняють дискретні (складові цих величин дискретні) і безперервні (складові цих величин безперервні) двовимірні випадкові величини.

Законом розподілу дискретної двовимірної випадкової величининазивають перелік можливих значень цієї величини (тобто пар чисел) (x i ; y i) та їх ймовірностей p(x i ; y j) (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m).

Закон розподілу двовимірної випадкової величини може бути заданийу вигляді таблиці з подвійним входом, що містить можливі значення та їх ймовірності, а також аналітично, наприклад, як функції розподілу.

Знаючи закон розподілу двовимірної дискретної величини, можна знайти закони розподілу кожної із складових.

Наприклад, події ( X = x 1 , Y = y 1), (X = x 1 , Y = y 2), …, (X = x 1 , Y = = y m) несумісні, тому

Таким чином, ймовірність того, що Xнабуде значення x i, що дорівнює сумі ймовірностей стовпця x i. Аналогічно, склавши ймовірність рядка y j, отримаємо ймовірність P(Y = y j).

Приклад 3.1. Знайти закони розподілу складових двовимірної випадкової величини, заданої законом розподілу у вигляді таблиці:

Рішення.Склавши ймовірності по стовпцях, отримаємо ймовірності можливих значень X: P(x 1) = 0,16; P(x 2) = 0,48; P(x 3) = 0,36.

Запишемо закон розподілу складової Xу формі таблиці:

Перевірка: 0,60+0,40=1.

3.1. Умовні закони розподілу ймовірностей складових дискретної двовимірної випадкової величини

Умовним розподілом складової Xпри Y = y jназивають сукупність умовних ймовірностей P(x 1  y j), P(x 2  y j), …, P(x n  y j), обчислених у припущенні, що подія Y = y j (jмає одне й те саме значення при всіх можливих значеннях X) вже настало.

Аналогічно визначається умовний розподіл складової Y.

Умовний закон розподілу Xу припущенні, що подія Y = y 1 вже відбулося, може бути знайдений за такою формулою:

. (77)

У випадку умовні закони для складової Xможуть бути представлені у вигляді формули

. (78)

Для складової Yумовні закони визначаються формулою

. (79)

Приклад 3.2. Знайти умовний закон розподілу складової Xза умови, що складова Yприйняла значення y 1 і двовимірна випадкова величина ( Х, Y) Задано таблицею:

Рішення.Використовуючи формулу

,

де P(y 1) = 0,10 + 0,30 + 0,20 = 0,60, знаходимо:

;

;

.

Розділ 2. Випадкові величини

Існує клас випадкових подій, що мають числові значення. Наприклад, у досвіді з гральної кісткою можливі результатикидка характеризуються числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Прийнято говорити, що у подібних дослідах спостерігаються випадкові величини, а чи не випадкові події. Роль випадкових подій грають можливі значення випадкової величини. Випадковими величинами називаються величини, які в результаті випробування можуть приймати з певними ймовірностями ті чи інші наперед невідомі можливі значення. Залежно від цього, яка потужність безлічі можливих значень випадкової величини, розрізняють дискретні і безперервні випадкові величини.

Дискретною називають випадкову величину, яка набуває окремих, ізольованих можливих значень з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим.

Безперервною називають випадкову величину, яка може набувати всіх значень деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Число можливих значень нескінченне. При описі безперервної випадкової величини принципово неможливо записати і пронумерувати всі її можливі значення, що належать досить невеликому інтервалу. Ці значення утворюють нескінченна безліч, Який називається континуум.

Теорія випадкових величин вивчає ймовірні явища в статиці, розглядаючи їх як деякі зафіксовані результати випробувань. Для опису процесів, що відображають розвиваються в часі, тобто динамічні випадкові явища, використовуються методи теорії випадкових процесів, які можуть бути дискретними і безперервними.

2.1. Дискретні випадкові величини

Завдання дискретної випадкової величини.Для завдання дискретної випадкової величини недостатньо перерахувати її можливі значення, ще необхідно вказати ймовірності цих значень.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями дискретної випадкової величини та їх ймовірностями. Його можна поставити таблично чи аналітично.

Наприклад, таблиця, що характеризує випадкову величину , що генерується гральною кісткою

де – можливі значення випадкової величини, а – ймовірність появи даних значень. При цьому .

Надалі випадкові величини на відміну від їх можливих значень будемо позначати більшими латинськими літерами.

Для ілюстрації аналітичного завданнярозподілу дискретної випадкової величини скористаємося умовами, для яких отримана формула Бернуллі, розглядаючи як число появи події у цих випробуваннях. Для знаходження закону розподілу потрібно визначити можливі значення та його ймовірності. Очевидно, подія у випробуваннях може або не з'явитися, або з'явитися 1 раз, або 2 рази. . . , чи раз. Отже, можливі значення такі: .

Імовірності цих можливих значень можуть бути обчислені за формулою Бернуллі , де . Ця формула і є аналітичним виразом шуканого закону розподілу. Цей розподіл, який визначається формулою Бернуллі, називається біноміальним. Назва пояснюється тим, що праву частинуцієї формули можна розглядати як спільний членрозкладання бінома Ньютона:

Перший член розкладання визначає ймовірність настання події, що розглядається, раз на незалежних випробуваннях, другий раз, останній член– подія не з'явиться жодного разу у випробуваннях.

Користуючись аналогічними міркуваннями, можна отримати аналітичний вираз для розподілу Пуассона, де .

Числові характеристики дискретних випадкових величин.Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий, і доводиться обмежуватись менше докладним описому вигляді числових характеристиквипадкових величин.

До найважливіших числових характеристик випадкових величин відносять математичне очікування .

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів її можливих значень з їхньої ймовірності, т. е. .

З визначення випливає, що математичне очікування дискретної випадкової величини є постійна невипадкова величина.

Імовірнісний зміст математичного очікування полягає в тому, що воно наближене (тим точніше, ніж більше числовипробувань) дорівнює середньому арифметичному значень випадкової величини, що спостерігаються.

Властивості математичного очікування:

а) математичне очікування постійної величиниі найпостійнішою;

б) постійний множникможна виносити за знак математичного очікування;

в) математичне очікування твору кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань;

г) математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань. Ця властивість справедлива як незалежних, так залежних випадкових величин;

д) математичне очікування кількості появи події Ав nнезалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань nна ймовірність pпояви події у кожному випробуванні, тобто математичне очікування біномного розподілу.

Насправді часто потрібно оцінити розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення. Відхиленням називається різниця між випадковою величиною та її математичним очікуванням, тобто, але, оскільки математичне очікування відхилення дорівнює нулю, тобто. , доцільно замінити відхилення їх квадратами. В результаті виходить наступна числова характеристика випадкової величини, яка називається дисперсієюта визначається за формулою:

Таким чином, дисперсією дискретної випадкової величини називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу

І тоді за визначенням дисперсія дорівнює

Однак зручніше користуватися наступною формулою.

Властивості дисперсії:

а) дисперсія постійної величини дорівнює нулю;

б) постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат ;

в) дисперсія суми кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин;

г) дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій;

д) дисперсія числа події у незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи і ймовірність не появи події в одному випробуванні, тобто дисперсія біномного розподілу;

е) дисперсія розподілу Пуассона;

ж) квадратний коріньз дисперсії випадкової величини Xназивається середньоквадратичним відхиленням випадкової величини X .

Властивості середньоквадратичного відхилення випадкової величини:

а) середньоквадратичне відхилення постійної величини дорівнює нулю;

б) при множенні випадкової величини на постійну її середньоквадратичне відхилення множиться на ту ж постійну;

в) середньоквадратичне відхилення суми кінцевого числапопарно незалежних випадкових величин дорівнює кореню квадратному із суми квадратів середньоквадратичних відхилень цих величин .

Багатовимірні дискретні випадкові величини

До цього часу розглядалися випадкові величини, можливі значення яких визначалися одним числом. Такі випадкові величини називаються одновимірними. Якщо можливі значення випадкових величин визначаються двома, трьома, . . . nчислами, їх називають двовимірними, тривимірними, . . . n -мірними випадковими величинами.

Законом розподілу дискретної двовимірної випадкової величини (X, Y)називають перелік можливих значень цієї величини, тобто пар чисел (x i, y j)та їх ймовірностей p(x i , y j). Закон розподілу може бути поставлений у вигляді таблиці.

Оскільки події (X = x i, Y = y i)при i = 1,2, . . ., nі j=1,2, . . . mутворюють повну групу подій, то сума ймовірностей у всіх клітинах таблиці дорівнює 1. Ймовірність того, що Xнабуде значення x iдорівнює сумі ймовірностей у i-м стовпці. Аналогічно ймовірність того, що Yнабуде значення y jдорівнює сумі ймовірностей у j-й рядку.

Щоб охарактеризувати залежність між складовими двовимірної випадкової величини вводиться поняття умовного розподілу. умовним розподілом, наприклад, складової Xпри Y=y jназивається сукупність умовних ймовірностей, обчислених у припущенні, що подія Y=y jвже настало.

Найважливішою характеристикоюУмовного розподілу є умовне математичне очікування. Умовним математичним очікуваннямдискретної випадкової величини Xпри Y=y, де y– певне можливе значення Y, називають добуток можливих значень Xна їх умовні ймовірності

.

Для опису системи двох випадкових величин, крім математичного очікування та дисперсій складових, використовуються й інші характеристики, до яких насамперед відносяться кореляційний моментта коефіцієнт кореляції.

Кореляційним моментом m xyвипадкових величин Xі Yназивають математичне очікування твору відхилень цих величин

Для обчислення кореляційного моменту можна скористатися формулою: .

Кореляційний момент двох незалежних випадкових величин Xі Yдорівнює 0.

Коефіцієнт кореляціївипадкових величин Xі Yназивається відношення кореляційного моменту до твору середньоквадратичних відхилень цих величин.

Дві випадкові величини Xі Yназиваються некорельованими, якщо їхній кореляційний момент дорівнює 0. Дві корельовані величини так само і залежні. Зворотне який завжди має місце, т. е. якщо дві випадкові величини Xі Yзалежні, то вони можуть бути корельованими та некорельованими. Отже, з корелюваності двох випадкових величин випливає їхня залежність, але із залежності ще не випливає кореленість. З незалежності двох випадкових величин випливає їхня некорелеваність, але з некорелеваності ще не можна зробити висновок про незалежність цих величин.

2.2. Безперервні випадкові величини

Завдання безперервної випадкової величини.Дискретна випадкова величина задається переліком її можливих значень та його ймовірностей. Такий спосіб не є спільним. Він за визначенням непридатний для безперервних випадкових величин.

У зв'язку з цим доцільно дати загальний спосібзавдання будь-яких (зокрема і дискретних) типів випадкових величин. З цією метою запроваджується поняття функції розподілу.

Функцією розподілу або інтегральною функцією розподілу називається функція, що визначає ймовірність того, що випадкова величина Xнабуде значення, менше xдля кожного значення x, тобто.

.

Ця функція має такі властивості.

1. Значення функції розподілу належать відрізку, тобто, що випливає з визначення.

2. - Незменшується функція, тобто. якщо.

3. Імовірність того, що випадкова величина Xнабуде значення, укладеного в інтервалі (a, b), дорівнює збільшенню функції розподілу у цьому інтервалі, тобто. .

4. Імовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме одне певне значення, Дорівнює 0, тобто. має сенс розглядати ймовірність влучення Xне в точку, а в інтервал, нехай скільки завгодно малий.

5. Якщо можливі значення випадкової величини належать до інтервалу (a, b), то. Якщо можливі значення випадкової величини розташовані на всій осі x, то мають місце такі граничні співвідношення ; .

Функція біномного закону розподілу ймовірностей , де , а x– випадкова величина, що набирає цілочисельних значень в діапазоні від 1 до n.

Біноміальний розподіл ймовірностей при перетворюється на розподіл Пуассона. Функція пуасонівського закону розподілу ймовірностей , де x- випадкова величина, що приймає цілочисельні значення в діапазоні від 1 до n.

Послідовність подій, що наступають у випадкові, заздалегідь невідомі моменти часу називається потоком подій. До основних властивостей, що характеризують потоки подій, відносяться властивості стаціонарності, відсутності післядії та ординарності.

Властивість стаціонарності потоку подій виявляється в тому, що ймовірність настання подій на будь-якому відрізку часу залежить тільки від кількості подій і від тривалості проміжку часу і не залежить від початку його відліку за умови, що різні проміжки часу неперетинаються.

Властивість відсутності післядії потоку подій виявляється в тому, що ймовірність настання подій на будь-якому відрізку часу не залежить від того, наступали чи не наступали події в моменти часу, які передували початку тимчасового відрізка, що розглядається. Таким чином, якщо потік подій має властивість відсутності післядії, то появи якогось числа подій у різні відрізки часу, що не перетинаються, вважаються взаємно незалежними.

Властивість ординарності потоку подій виявляється в тому, що настання двох і більше подій за малий проміжок часу практично неможливе. Таким чином, якщо потік подій має властивість ординарності, то за нескінченно малий проміжок часу може з'явитися не більше однієї події.

Потік подій, який має властивості стаціонарності, відсутності післядії та ординарності, називається найпростішим або пуасонівським потоком. Ймовірність появи kподій найпростішого потоку за тимчасовий відрізок tможна розрахувати за формулою Пуассона де – середня кількість подій, що наступають у одиницю часу, зване інтенсивністю потоку.

Безперервну випадкову величину можна задати не лише за допомогою інтегральної функціїрозподілу, а й з допомогою диференціальної функції розподілу ймовірностей, званої ще функцією щільності ймовірностей. Диференційна функціяне застосовується завдання розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Функція густини ймовірності визначається як перша похідна від функції розподілу, тобто.

У зв'язку з таким визначенням функції густини ймовірності можна стверджувати, що ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xнабуде значення, що належить інтервалу (a, b), дорівнює .

Знаючи функцію густини ймовірності можна знайти функцію розподілу .

Властивості функції густини ймовірності

1. Функція щільності ймовірності невід'ємна, тобто.

2. Інтеграл від функції густини ймовірності в межах від –µ до +µ дорівнює 1, тобто .

Отже, функція густини ймовірності визначає густину розподілу ймовірності для кожної точки x, Т. е. ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу, приблизно дорівнює (з точністю до нескінченно малих вищого порядкупо відношенню до Dx) добутку щільності ймовірності у точці xна довжину інтервалу Dx, Т. е. .

При розв'язанні задач, які висуває практика, стикаються з різними розподілами безперервних випадкових величин.

1. Рівномірний розподіл. Розподіл називається рівномірним, якщо на інтервалі, якому належать усі можливі значення випадкової величини, функція густини ймовірності має постійне значення, тобто аналітично це можна записати

2. Нормальний чи гауссовий розподіл. Нормальним або гаусовим розподілом називається розподіл безперервної випадкової величини, який описується функцією щільності ймовірності

.

Ця функція визначається двома параметрами aі s. Параметр aу цьому випадку розуміється як математичне очікування, а параметр s- Як середньоквадратичне відхилення нормального розподілу.

Графік цієї функції називається нормальною кривою або кривою Гауса. Її властивості:

а) дана функціявизначена на всій осі x;

б) нормальна крива розташована над віссю x, так як при всіх значеннях xфункція приймає позитивні значення;

в) межа функції при необмеженому зростанні xдорівнює нулю, тобто вісь xслужить горизонтальною асимптотою графіка;

г) функція досягає свого максимуму, рівного , при x=a;

д) графік функції симетричний щодо прямої x=a;

Зміна параметра a, Т. е. математичного очікування, не змінює форми нормальної кривої, а призводить до її зсуву вздовж осі абсцис. У разі зростання aзсув кривої відбувається вправо, при спаданні - вліво.

При збільшенні параметра sмаксимальна ордината нормальної кривої зменшується, а сама крива стає більш пологою, тобто стискається до осі абсцис. При зменшенні параметра s нормальна крива стає більш гострою і розтягується в позитивному напрямку осі ординат. Площа фігури, обмеженої нормальною кривою та віссю абсцис, за будь-яких значень параметрів aі sдорівнює одиниці. Якщо нормальний розподіл задано математичним очікуванням, рівним нулю, та середньоквадратичним відхиленням, рівним одиниціто нормальну криву називають нормованою кривою.

Якщо безперервна випадкова величина підпорядковується нормальному закону розподілу, то абсолютна величинаїї відхилення від математичного очікування вбирається у потрійного среднеквадратичного відхилення. Це твердження відоме під назвою правила трьох сигм.

Якщо випадкова величина Xрозподілено за нормальним законом, то за визначенням ймовірність того, що Xприйме значення, що належить інтервалу , дорівнює . Для використання цю формулу зручніше перетворити шляхом введення нової змінної, що забезпечує можливість зведення її до відомої табличні функціїЛапласа та отримання більш зручного вираження:

Числові характеристики безперервної випадкової величини.Поширимо визначення числових характеристик дискретної випадкової величини безперервну випадкову величину.

Математичне очікуваннябезперервної випадкової величини X,можливі значення якої належать інтервалу (a, b),визначається як

.

Якщо можливі значення належать до всієї осі, то .

Зокрема, математичне очікування рівномірного розподілу, а нормального.

Дисперсієюбезперервної випадкової величини Xназивають математичне очікування квадрата її відхилення або .

Зокрема дисперсія рівномірного розподілу , а нормального.

Середньоквадратичне відхиленнябезперервної випадкової величини визначається як і для дискретної.

Багатовимірні безперервні випадкові величини

За аналогією з одновимірним випадком функцією розподілу (X, Y)називають функцію W(x,y), що визначає для кожної пари чисел xі yймовірність того, що Xнабуде значення, менше x, і при цьому Yнабуде значення, менше y, тобто.

Функція густини ймовірностідвовимірної безперервної випадкової величини (X, Y)визначається як і, отже, .

Функцію можна розглядати як межу відношення ймовірності попадання випадкової точки у прямокутник із сторонами Dxі Dyдо площі цього прямокутника, коли обидві сторони прямокутника прагнуть нуля.

Для того щоб випадкові величини Xі Yбули незалежними, необхідно та достатньо, щоб функція розподілу системи (X, Y)дорівнювала добутку функцій розподілу складових. Аналогічно і стосовно функції щільності ймовірності.

Так само, як і для двовимірних дискретних випадкових величин для двовимірної безперервної випадкової величини визначається кореляційний моментта коефіцієнт кореляції.

Зберігаються самі відносини між поняттями незалежності і некоррельованості. Можна зробити суттєве доповнення, що стосується нормальнорозподілених складових двовимірної випадкової величини Для цього випадку поняття незалежності та некорелюваності рівносильні.

Узагальнюючи сказане про безперервні випадкові величини можна укласти:

1. Основними характеристиками безперервних випадкових величин є функція розподілу та функція густини ймовірності.

2. Числовими параметрами, що описують безперервну випадкову величину, є математичне очікування і дисперсія.

3. Статистичні зв'язкиміж окремими складовими багатовимірної випадкової величини описуються кореляційним моментом.

4. Некорельовані гауссові величини статистично незалежні.

Контрольні питаннядо лекції 17

17-1. Які події називаються достовірними?

17-2. Які події називаються неможливими?

17-3. Які події називаються випадковими?

17-4. Які події називаються несумісними?

17-5. Які події називаються єдино можливими?

17-6. Що називається повною групою подій?

17-7. Які події називаються рівноможливими?

17-8. Які події називаються протилежними?

17-9. Що називається сумою подій?

17-10. Що називається твором подій?

17-11. Що називається ймовірністю події?

17-12. Чому дорівнює можливість суми сумісних подій?

17-13. Чому дорівнює ймовірність суми несумісних подій?

17-14. Чому дорівнює сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу?

17-15. Що називається умовною ймовірністю?

17-16. Які події називаються незалежними?

17-17. Чому дорівнює ймовірність добутку двох випадкових залежних подій?

17-18. Чому дорівнює можливість твору двох випадкових незалежних подій?

17-19. Чому дорівнює ймовірність події, яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій , Що утворюють повну групу?

17-20. Навіщо служить формула Байєса?

17-21. Навіщо служить формула Бернуллі?

17-22. Навіщо служить локальна теорема Лапласа?

17-23. Навіщо служить інтегральна теорема Лапласа?

17-24. Навіщо служить формула Пуассона?

17-25. Яка випадкова величина називається дискретною?

17-26. Яка випадкова величина називається безперервною?

17-27. Що називається законом розподілу дискретної випадкової величини?

17-28. Якими засобами може бути заданий закон розподілу дискретної випадкової величини?

17-29. Який закон розподілу дискретної випадкової величини називається біномним?

17-30. Що називається математичним очікуванням дискретної випадкової величини?

17-31. У чому полягає імовірнісний сенсматематичного очікування?

17-32. Чому одно математичне очікування постійної величини?

17-33. Чому дорівнює математичне очікування добутку постійної величини на випадкову величину?

17-34. Чому одно математичне очікування твору кількох взаємно незалежних випадкових величин?

17-35. Чому одно математичне очікування суми кількох випадкових величин?

17-36. Чому дорівнює математичне очікування біномного розподілу?

17-37. Що називається дисперсією дискретної випадкової величини?

17-38. Чому дорівнює дисперсія постійної величини?

17-39. Чому дорівнює дисперсія добутку постійної величини на випадкову величину?

17-40. Чому дорівнює дисперсія суми кількох взаємно незалежних випадкових величин?

17-41. Чому дорівнює дисперсія різниці двох взаємно незалежних випадкових величин?

17-42. Чому дорівнює дисперсія біномного розподілу?

17-43. Чому дорівнює дисперсія розподілу Пуассона?

17-44. Як називається квадратний корінь із дисперсії випадкової величини?

17-45. Чому дорівнює середньоквадратичне відхилення постійної величини?

17-46. Які дискретні випадкові величини називають багатовимірними?

17-47. Що називається законом розподілу дискретної двовимірної випадкової величини?

17-48. Що називається умовним розподілом двовимірної випадкової величини?

17-49. Що називається умовним математичним очікуванням двовимірної випадкової величини?

17-50. Що називається кореляційним моментом системи двох випадкових величин?

17-51. Чому дорівнює кореляційний момент двох незалежних випадкових величин?

17-52. Що називається коефіцієнтом кореляції системи двох випадкових величин?

17-53. Що називається функцією розподілу безперервної випадкової величини?

17-54. Чи перерахуєте властивості функції розподілу безперервної випадкової величини?

17-55. Що називають потоком подій?

17-56. У чому полягає властивість стаціонарності потоку подій?

17-57. У чому полягає властивість відсутності післядії потоку подій?

17-58. У чому полягає властивість простоти потоку подій?

17-59. Який потік подій називається пуассонівським?

17-60. Що називається інтенсивністю пуассонівського потоку подій?

17-61. Що називається функцією густини ймовірності?

17-62. Перерахуйте властивості функції густини ймовірності.

17-63. Який розподіл називається рівномірним?

17-64. Який розподіл називається нормальним?

17-65. Перерахуйте властивості нормальної кривої.

17-66. Як позначається вигляді нормальної кривої зміна величини математичного очікування?

17-67. Як позначається вигляді нормальної кривої зміна величини среднеквадратичного відхилення нормального розподілу?

17-68. Як визначається математичне очікування безперервної випадкової величини?

17-69. Як визначається математичне очікування безперервної випадкової величини із рівномірним законом розподілу?

17-70. Як визначається математичне очікування безперервної випадкової величини з нормальним закономрозподілу?

17-71. Як визначається дисперсія безперервної випадкової величини?

17-72. Як визначається дисперсія безперервної випадкової величини із рівномірним законом розподілу?

17-73. Як визначається дисперсія безперервної випадкової величини із нормальним законом розподілу?

17-74. Як, використовуючи геометричну інтерпретацію, Чи можна розглядати функцію щільності ймовірності двовимірної безперервної випадкової величини?

17-75. Чому повинна дорівнювати функція розподілу системи (X, Y)для того, щоб випадкові величини Xі Yбули незалежними?