Знайти найменше значення функції за допомогою похідної. Застосування похідної знаходження найбільшого і найменшого значень безперервної функції на проміжку

Дорогі друзі! До групи завдань, пов'язаних з похідною, входять завдання — в умові дано графік функції, кілька точок на цьому графіку і стоїть питання:

У якій точці значення похідної найбільше (найменше)?

Коротко повторимо:

Похідна в точці дорівнює кутовому коефіцієнтудотичної проходить черезцю точку графіка.

Уголовний коефіцієнт дотичної у свою чергу дорівнює тангенсукута нахилу цієї дотичної.

*Мається на увазі кут між дотичною та віссю абсцис.

1. На інтервалах зростання функції похідна має позитивне значення.

2. На інтервалах її спадання похідна має від'ємне значення.

Розглянемо наступний ескіз:

У точках 1,2,4 похідна функції має негативне значення, оскільки ці точки належать інтервалам спадання.

У точках 3,5,6 похідна функції має позитивне значення, оскільки ці точки належать інтервалам зростання.

Як бачимо, зі значенням похідної все ясно, тобто визначити який вона має знак (позитивний чи негативний) у певній точці графіка зовсім нескладно.

При чому, якщо ми подумки побудуємо дотичні в цих точках, то побачимо, що прямі кути, що проходять через точки 3, 5 і 6 утворюють з віссю оХ, що лежать в межах від 0 до 90 про, а прямі проходять через точки 1, 2 і 4 утворюють з віссю оХ кути в межах від 90 до 180 о.

*Взаємозв'язок зрозумілий: дотичні проходять через точки, що належать інтервалам зростання, функції утворюють з віссю оХ гострі кути, дотичні проходять через точки належать інтервалам зменшення функції утворюють з віссю оХ тупі кути.

Тепер важливе питання!

А як змінюється значення похідної? Адже щодо в різних точкахграфіка безперервної функціїутворює різні кути, Залежно від того, через яку точку графіка вона проходить.

*Або, кажучи простою мовою, дотична розташована як би «горизонтальніше» або «вертикальніше». Подивіться:

Прямі утворюють з віссю оХ кути в межах від 0 до 90 о

Прямі утворюють з віссю оХ кути в межах від 90 до 180 о

Тому, якщо стоятимуть питання:

— в якій із точок графіка значення похідної має найменше значення?

— у якій із даних точок графіка значення похідної має найбільше значення?

то для відповіді необхідно розуміти, як змінюється значення тангенсу кута дотичної в межах від 0 до 180 о.

*Як уже сказано, значення похідної функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до осі оХ.

Значення тангенсу змінюється так:

При зміні кута нахилу прямої від 0 до 90 про значення тангенса, а значить і похідної, змінюється відповідно від 0 до +∞;

При зміні кута нахилу прямий від 90 до 180 значення тангенса, а значить і похідної, змінюється відповідно –∞ до 0.

Наочно це видно за графіком функції тангенсу:

Говорячи простою мовою:

При куті нахилу дотичної від 0 до 90 про

Чим він ближче до 0о, тим більше значення похідної буде близько до нуля (з позитивного боку).

Чим кут ближче до 90о, тим більше значення похідної буде збільшуватися до +∞.

При куті нахилу дотичної від 90 до 180 про

Чим він ближчий до 90 про, тим більше значення похідної зменшуватиметься до –∞.

Чим кут буде ближче до 180 про, тим більше значення похідної буде близько до нуля (з негативного боку).

317543. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та відзначені точки–2, –1, 1, 2. У якій із цих точок значення похідної найбільше? У відповіді вкажіть цю точку.

Маємо чотири точки: дві з них належать інтервалам на яких функція зменшується (це точки -1 і 1) і два інтервалам на яких функція зростає (це точки -2 і 2).

Можемо відразу зробити висновок у тому, що у точках –1 і 1 похідна має негативне значення, у точках –2 і 2 вона має позитивне значення. Отже в даному випадкунеобхідно проаналізувати точки –2 і 2 і визначити у якій їх значенні буде найбільшим. Побудуємо дотичні, що проходять через зазначені точки:

Значення тангенса кута між прямою a і віссю абсцис буде більше значеннятангенса кута між прямою b і цією віссю. Це означає, що значення похідної у точці –2 буде найбільшим.

Відповімо на таке запитання: у якій із точок –2, –1, 1 чи 2 значення похідної є найбільшим негативним? У відповіді вкажіть цю точку.

Похідна матиме негативне значення в точках, що належать інтервалам спадання, тому розглянемо точки -2 і 1. Побудуємо дотичні проходять через них:

Бачимо, що тупий кутміж прямою b і віссю оХ знаходиться «ближче» до 180о , Тому його тангенс буде більше тангенса кута, утвореного прямою а і віссю ОХ.

Таким чином, у точці х = 1 значення похідної буде найбільшим негативним.

317544. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та відзначені точки–2, –1, 1, 4. У якій із цих точок значення похідної найменше? У відповіді вкажіть цю точку.

Маємо чотири точки: дві з них належать інтервалам, на яких функція зменшується (це точки –1 та 4) та дві інтервалам, на яких функція зростає (це точки –2 та 1).

Можемо відразу зробити висновок у тому, що у точках –1 і 4 похідна має негативне значення, у точках –2 і 1 вона має позитивне значення. Отже, у разі необхідно проаналізувати точки –1 і 4 і визначити – у якому їх значенні буде найменшим. Побудуємо дотичні, що проходять через зазначені точки:

Значення тангенсу кута між прямою a і віссю абсцис буде більшим за значення тангенса кута між прямою b і цією віссю. Це означає, що значення похідної у точці х = 4 буде найменшим.

Відповідь: 4

Сподіваюся, що «не перенавантажив» вас кількістю написаного. Насправді все дуже просто, варто тільки зрозуміти властивості похідної, її геометричний змісті як змінюється значення тангенсу кута від 0 до 180 о.

1. Спочатку визначте знаки похідної в даних точках (+ або -) та оберіть необхідні точки (залежно від поставленого питання).

2. Побудуйте дотичні у цих точках.

3. Користуючись графіком тангесоїди, схематично позначте кути та відобразітьА Олександр.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

На уроці на тему «Застосування похідної для знаходження найбільшого та найменшого значень безперервної функції на проміжку» будуть розглянуті відносно прості завдання на знаходження найбільшого та найменшого значень функції на заданому проміжку за допомогою похідної.

Тема: Похідна

Урок: Застосування похідної знаходження найбільшого і найменшого значень безперервної функції на проміжку

На цьому занятті розглянемо більше просте завдання, А саме, буде заданий проміжок, буде задана безперервна функція на цьому проміжку. Потрібно дізнатися найбільше і найменше значеннязаданою функціїна заданому проміжку.

№32.1 (б). Дано: , . Намалюємо графік функції (див. рис.1).

Мал. 1. Графік функції.

Відомо, що ця функція зростає на проміжку, отже, вона зростає і на відрізку. Отже, якщо визначити значення функції в точках і , то будуть відомі межі зміни цієї функції, її найбільше і найменше значення.

Коли аргумент збільшується від до 8, функція збільшується від до .

Відповідь: ; .

№ 32.2 (а) Дано: Знайти найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку.

Побудуємо графік цієї функції (див. рис.2).

Якщо аргумент змінюється на проміжку , то функція збільшується від -2 до 2. Якщо аргумент збільшується від , то функція зменшується від 2 до 0.

Мал. 2. Графік функції.

Знайдемо похідну.

, . Якщо , то це значення належить заданому відрізку . Якщо то . Легко перевірити, якщо набуває інших значень, відповідні стаціонарні точки виходять за межі заданого відрізка. Порівняємо значення функції на кінцях відрізка та у відібраних точках, у яких похідна дорівнює нулю. Знайдемо

;

Відповідь: ;.

Отже, відповідь отримано. Похідну в даному випадку можна використовувати, можна не використовувати, застосувати властивості функції, які були вивчені раніше. Так буває не завжди, іноді застосування похідної – це єдиний метод, який дозволяє вирішувати подібні завдання.

Дано: , . Знайти найбільше та найменше значення функції на даному відрізку.

Якщо в попередньому випадку можна було обійтися без похідної - ми знали, як поводиться функція, то в даному випадку функція досить складна. Тому ту методику, яку ми згадали на попередньому завданні, застосуємо в повному обсязі.

1. Знайдемо похідну. Знайдемо критичні точки, Звідси, - критичні точки. З них вибираємо ті, що належать даному відрізку: . Порівняємо значення функції у точках , , . Для цього знайдемо

Проілюструємо результат малюнку (див. рис.3).

Мал. 3. Межі зміни значень функції

Бачимо, якщо аргумент змінюється від 0 до 2, функція змінюється не більше від -3 до 4. Функція змінюється не монотонно: вона або зростає, або зменшується.

Відповідь: ;.

Отже, на трьох прикладах було продемонстровано загальна методиказнаходження найбільшого та найменшого значення функції на проміжку, в даному випадку – на відрізку.

Алгоритм розв'язання задачі на знаходження найбільшого та найменшого значень функції:

1. Знайти похідну функцію.

2. Знайти критичні точки функції та відібрати ті точки, що знаходяться на заданому відрізку.

3. Знайти значення функції на кінцях відрізка та у відібраних точках.

4. Порівняти ці значення, і вибрати найбільше та найменше.

Розглянемо ще один приклад.

Знайти найбільше та найменше значення функції , .

Раніше було розглянуто графік цієї функції (див. рис.4).

Мал. 4. Графік функції.

На проміжку область значення цієї функції . Крапка - точка максимуму. При – функція зростає, при – функція зменшується. З креслення видно, що - не існує.

Отже, на уроці розглянули завдання про найбільше та найменше значення функції, коли заданим проміжком є ​​відрізок; сформулювали алгоритм розв'язання таких завдань.

1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.

2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.

3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіздля 10 класу ( навчальний посібникдля учнів шкіл та класів з поглибленим вивченнямматематики).-М.: Просвітництво, 1996.

4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного анализа.-М.: Просвітництво, 1997.

5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.І., Капелюшник Л.Я., Чинкіна Алгебра та початку аналізу. 8-11 кл.: Посібник для шкіл та класів з поглибленим вивченням математики (дидактичні матеріали).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.

9. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.

10. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. 9-10 класи (посібник для вчителів).-М.: Просвітництво, 1983

Додаткові веб-ресурси

2. Портал Природних наук ().

Зроби вдома

№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра та початки аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) під ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозіна, 2007.)

З практичного погляду найбільший інтереспредставляє використання похідної знаходження найбільшого і найменшого значення функції. З чим це пов'язано? Максимізація прибутку, мінімізація витрат, визначення оптимального завантаження устаткування... Інакше кажучи, у багатьох сферах життя доводиться вирішувати завдання оптимізації будь-яких параметрів. А це і є завдання на знаходження найбільшого та найменшого значення функції.

Слід зазначити, що найбільше і найменше значення функції зазвичай шукається на деякому інтервалі X , який є всією областю визначення функції або частиною області визначення. Сам інтервал X може бути відрізком, відкритим інтервалом , нескінченним проміжком.

У цій статті ми говоритимемо про знаходження найбільшого та найменшого значень явно заданої функціїоднієї змінної y = f (x).

Навігація на сторінці.

Найбільше та найменше значення функції – визначення, ілюстрації.

Стисло зупинимося на основних визначеннях.

Найбільшим значенням функції , що для будь-кого справедлива нерівність.

Найменшим значенням функції y=f(x) на проміжку X називають таке значення , що для будь-кого справедлива нерівність.

Ці визначення інтуїтивно зрозумілі: найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) значення, що приймається на аналізованому інтервалі при абсцисі.

Стаціонарні точки– це значення аргументу, у яких похідна функції перетворюється на нуль.

Для чого нам стаціонарні точки при знаходженні найбільшого та найменшого значень? Відповідь це питання дає теорема Ферма. З цієї теореми випливає, що якщо функція, що диференціюється, має екстремум (локальний мінімум або локальний максимум) у певній точці, то ця точка є стаціонарною. Таким чином, функція часто приймає своє найбільше (найменше) значення на проміжку X в одній зі стаціонарних точок цього проміжку.

Також часто найбільше та найменше значення функція може приймати в точках, в яких не існує перша похідна цієї функції, а функція визначена.

Відразу відповімо на одне з найпоширеніших питань на цю тему: "Чи завжди можна визначити найбільше (найменше) значення функції"? Ні не завжди. Іноді межі проміжку X збігаються з межами області визначення функції або інтервал X нескінченний. А деякі функції на нескінченності та на межах області визначення можуть набувати як нескінченно великих так і нескінченно малих значень. У цих випадках нічого не можна сказати про найбільше та найменше значення функції.

Для наочності дамо графічну ілюстрацію. Подивіться малюнки – і багато проясниться.

На відрізку

На першому малюнку функція приймає найбільше (max y) та найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відрізка [-6;6].

Розглянемо випадок, зображений другого малюнку. Змінимо відрізок на . У цьому прикладі найменше значення функції досягається в стаціонарній точці, а найбільше - у точці з абсцисою, що відповідає правій межі інтервалу.

На малюнку №3 граничні точки відрізка [-3;2] є абсцисами точок, що відповідають найбільшому та найменшому значенню функції.

На відкритому інтервалі

На четвертому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відкритого інтервалу (-6; 6).

На інтервалі про найбільше значення ніяких висновків зробити не можна.

На нескінченності

У прикладі, представленому на сьомому малюнку, функція приймає найбільше значення (max y) у стаціонарній точці з абсцисою x = 1, а найменше значення (min y) досягається на правій межі інтервалу. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y=3.

На інтервалі функція не досягає найменшого, ні найбільшого значення. При прагненні до x=2 праворуч значення функції прагнуть мінус нескінченності (пряма x=2 є вертикальною асимптотою), а при прагненні абсциси до плюс нескінченності, значення функції асимптотично наближаються до y=3 . Графічна ілюстрація цього прикладу наведено малюнку №8.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення безперервної функції на відрізку.

Запишемо алгоритм, що дозволяє знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку.

1. Знаходимо область визначення функції та перевіряємо, чи міститься у ній весь відрізок .
2. Знаходимо всі точки, в яких не існує перша похідна і які містяться у відрізку (зазвичай такі точки збігаються у функцій з аргументом під знаком модуля і у статечних функційз дрібно-раціональним показником). Якщо таких точок немає, переходимо до наступного пункту.
3. Визначаємо всі стаціонарні точки, що потрапляють у відрізок. Для цього, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідне коріння. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє у відрізок, переходимо до наступного пункту.
4. Обчислюємо значення функції у відібраних стаціонарних точках (якщо такі є), у точках, у яких не існує перша похідна (якщо такі є), а також при x=a та x=b .
5. З отриманих значень функції вибираємо найбільше та найменше - вони і будуть шуканими найбільшим та найменшим значеннями функції відповідно.

Розберемо алгоритм при вирішенні прикладу на знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

приклад.

Знайти найбільше та найменше значення функції

• на відрізку;
• на відрізку [-4;-1].

Рішення.

Областю визначення функції є все безліч дійсних чисел, За винятком нуля, тобто . Обидва відрізки потрапляють у область визначення.

Знаходимо похідну функції по:

Очевидно, похідна функції існує у всіх точках відрізків та [-4;-1] .

Стаціонарні точки визначимо з рівняння. Єдиним дійсним коренемє x=2. Ця стаціонарна точка потрапляє у перший відрізок.

Для першого випадку обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, тобто при x = 1 x = 2 і x = 4 :

Отже, найбільше значення функції досягається при x=1 , а найменше значення - При x = 2 .

Для другого випадку обчислюємо значення функції лише на кінцях відрізка [-4;-1] (оскільки він не містить жодної стаціонарної точки):

Іноді завдання B15 трапляються «погані» функції, котрим складно знайти похідну. Раніше таке було лише на пробниках, але зараз ці завдання настільки поширені, що вже не можуть бути ігноровані під час підготовки до ЄДІ.

У цьому випадку працюють інші прийоми, один з яких - монотонність.

Функція f (x ) називається монотонно зростаючою на відрізку , якщо для будь-яких точок x 1 і x 2 цього відрізка виконується таке:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Функція f (x ) називається монотонно спадаючою на відрізку , якщо для будь-яких точок x 1 і x 2 цього відрізка виконується таке:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Іншими словами, для зростаючої функції чим більше x, тим більше f(x). Для спадної функції все навпаки: чим більше x, тим менше f(x).

Наприклад, логарифм монотонно зростає, якщо основа a > 1, і монотонно зменшується, якщо 0< a < 1. Не забывайте про область допустимих значеньлогарифму: x > 0.

f(x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметичний квадратний (і не тільки квадратний) корінь монотонно зростає на всій ділянці визначення:

Показова функція поводиться аналогічно логарифму: зростає при a > 1 і меншає при 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показова функціявизначено для всіх чисел, а не тільки для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Нарешті, ступеня з негативним показником. Можна записувати їх як дріб. Мають точку розриву, у якій монотонність порушується.

Всі ці функції ніколи не зустрічаються в чистому вигляді. У них додають багаточлени, дроби та інше марення, через яке стає важко вважати похідну. Що при цьому відбувається – зараз розберемо.

Координати вершини параболи

Найчастіше аргумент функції замінюється на квадратний тричленвиду y = ax 2 + bx + c. Його графік – стандартна парабола, в якій нас цікавлять:

1. Гілки параболи - можуть йти вгору (при a > 0) або вниз (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Вершина параболи - точка екстремуму квадратичної функції, у якій ця функція набуває найменше (для a > 0) чи найбільше (a< 0) значение.

Найбільший інтерес має саме вершина параболи, абсцису якої розраховується за формулою:

Отже, ми виявили точку екстремуму квадратичної функції. Але якщо вихідна функція монотонна, для неї точка x0 теж буде точкою екстремуму. Таким чином, сформулюємо ключове правило:

Крапки екстремуму квадратного тричленаі складної функції, куди він входить, збігаються. Тому можна шукати x0 для квадратного тричлена, а на функцію – забити.

З наведених міркувань залишається незрозумілим, яку саме точку ми отримуємо: максимум чи мінімум. Однак завдання спеціально складаються так, що це не має значення. Судіть самі:

1. Відрізок за умови завдання відсутня. Отже, обчислювати f (a) і f (b) не потрібно. Залишається розглянути лише точки екстремуму;
2. Але таких точок всього одна - це вершина параболи x 0 координати якої обчислюються буквально усно і без будь-яких похідних.

Таким чином, рішення задачі різко спрощується і зводиться всього до двох кроків:

1. Виписати рівняння параболи y = ax 2 + bx + c та знайти її вершину за формулою: x 0 = −b /2a ;
2. Знайти значення вихідної функції у цій точці: f (x 0). Якщо жодних додаткових умовні, це і буде відповіддю.

На перший погляд, цей алгоритм та його обґрунтування можуть здатися складними. Я навмисно не викладаю «голу» схему рішення, оскільки бездумне застосування таких правил загрожує помилками.

Розглянемо справжні завдання з пробного ЄДІз математики - саме там даний прийомтрапляється найчастіше. Заодно переконаємося, що таким чином багато завдань B15 стають майже усними.

Під корінням стоїть квадратична функція y = x 2 + 6x + 13. Графік цієї функції – парабола гілками догори, оскільки коефіцієнт a = 1 > 0.

Вершина параболи:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Оскільки гілки параболи спрямовані вгору, у точці x 0 = −3 функція y = x 2 + 6x + 13 набуває найменшого значення.

Корінь монотонно зростає, отже x 0 – точка мінімуму всієї функції. Маємо:

Завдання. Знайдіть найменше значення функції:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Під логарифмом знову квадратична функція: y = x 2 + 2x + 9. Графік - парабола гілками вгору, т.к. a = 1> 0.

Вершина параболи:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Отже, у точці x 0 = −1 квадратична функція набуває найменшого значення. Але функція y = log 2 x - монотонна, тому:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

У показнику стоїть квадратична функція y = 1 − 4x − x 2 . Перепишемо її в нормальному вигляді: y = −x 2 − 4x + 1.

Очевидно, що графік цієї функції – парабола, гілки вниз (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Вихідна функція – показова, вона монотонна, тому найбільше значення буде у знайденій точці x 0 = −2:

Уважний читач напевно зауважить, що ми не виписували область допустимих значень кореня та логарифму. Але цього й не вимагалося: усередині стоять функції, значення яких завжди позитивні.

Наслідки в галузі визначення функції

Іноді вирішення завдання B15 недостатньо просто знайти вершину параболи. Шукане значення може лежати на кінці відрізка, а зовсім не в точці екстремуму. Якщо завдання взагалі не вказаний відрізок, дивимося на область допустимих значеньвихідної функції. А саме:

Зверніть увагу ще раз: нуль цілком може бути під коренем, але в логарифмі чи знаменнику дробу – ніколи. Подивимося, як це працює на конкретних прикладах:

Завдання. Знайдіть найбільше значення функції:

Під коренем знову квадратична функція: y = 3 − 2x − x 2 . Її графік - парабола, але гілки вниз, оскільки a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратний коріньіз негативного числа не існує.

Виписуємо область допустимих значень (ОДЗ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Тепер знайдемо вершину параболи:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x 0 = −1 належить відрізку ОДЗ – і це добре. Тепер вважаємо значення функції в точці x 0, а також на кінцях ОДЗ:

y(−3) = y(1) = 0

Отже, отримали числа 2 та 0. Нас просять знайти найбільше – це число 2.

Завдання. Знайдіть найменше значення функції:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Усередині логарифму стоїть квадратична функція y = 6x − x 2 − 5. Це парабола гілками вниз, але в логарифмі не може бути негативних чиселтому виписуємо ОДЗ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Зверніть увагу: нерівність сувора, тому кінці не належать ОДЗ. Цим логарифм відрізняється від кореня, де кінці нас повністю влаштовують.

Шукаємо вершину параболи:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболи підходить за ОДЗ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Але оскільки кінці відрізка нас не цікавлять, вважаємо значення функції лише у точці x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Нехай функція у =f(х)безперервна на відрізку [ a, b]. Як відомо, така функція на цьому відрізку досягає найбільшого та найменшого значень. Ці значення функція може прийняти або в внутрішньої точкивідрізка [ a, b], або межі відрізка.

Для знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку [ a, b] необхідно:

1)знайти критичні точки функції в інтервалі ( a, b);

2) обчислити значення функції у знайдених критичних точках;

3) обчислити значення функції на кінцях відрізка, тобто при x=аі х = b;

4) з усіх обчислених значень функції вибрати найбільше та найменше.

приклад.Знайти найбільше та найменше значення функції

на відрізку.

Знаходимо критичні точки:

Ці точки лежать усередині відрізка; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

у точці x= 3 і в точці x= 0.

Дослідження функції на опуклість та точку перегину.

Функція y = f (x) називається опуклою вгоруна проміжку (a, b) , якщо її графік лежить під дотичною, проведеною в будь-якій точці цього проміжку, і називається опуклою вниз (увігнутою)якщо її графік лежить над дотичною.

Точка, при переході через яку опуклість змінюється увігнутістю чи навпаки, називається точкою перегину.

Алгоритм дослідження на опуклість та точку перегину:

1. Знайди критичні точки другого роду, тобто точки в яких друга похідна дорівнює нулю чи немає.

2. Завдати критичні точки на числову пряму, розбиваючи її на проміжки. Знайти знак другої похідної кожному проміжку; якщо , то функція опукла вгору, якщо функція опукла вниз.

3. Якщо при переході через критичну точку другого роду поміняє знак і в цій точці друга похідна дорівнює нулю, то ця точка абсцесу точки перегину. Знайти її ординату.

Асимптоти графіка функції. Дослідження функції асимптоти.

Визначення.Асимптотою графіка функції називається пряма, Що володіє тим властивістю, що відстань від будь-якої точки графіка до цієї прямої прагне нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Існують три види асимптоту: вертикальні, горизонтальні та похилі.

Визначення.Пряма називається вертикальною асимптотоюграфіка функції у = f(х)якщо хоча б одна з односторонніх меж функції в цій точці дорівнює нескінченності, тобто

де - точка розриву функції, тобтоне належить області визначення.

приклад.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – точка розриву.

Визначення.Пряма у =Aназивається горизонтальною асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , якщо

приклад.

Визначення.Пряма у =kх +b (k≠ 0) називається похилою асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , де

Загальна схема дослідження функцій та побудови графіків.

Алгоритм дослідження функціїу = f(х) :

1. Знайти область визначення функції D (y).

2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з осями координат (при x= 0 і при y = 0).

3. Дослідити на парність та непарність функції( y (‒ x) = y (x) ‒ парність; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ непарність).

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Знайти інтервали монотонності функції.

6. Знайти екстремуми функції.

7. Знайти інтервали опуклості (увігнутості) та точки перегину графіка функції.

8. З проведених досліджень побудувати графік функції.

приклад.Дослідити функцію та побудувати її графік.

1) D (y) =

x= 4 ‒ точка розриву.

2) При x = 0,

(0; ‒ 5) ‒ точка перетину з oy.

При y = 0,

3) y(‒ x)= функція загального вигляду(ні парна, ні непарна).

4) Досліджуємо на асимптоти.

а) вертикальні

б) горизонтальні

в) знайдемо похилі асимптоти де

‒рівняння похилої асимптоти

5) У даному рівнянніне потрібно знайти інтервали монотонності функції.

6)

Ці критичні точки розбивають всю область визначення функції на інтервалі (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)і (10; +∞). Отримані результати зручно подати у вигляді наступної таблиці.