Знайти площу трикутника якщо всі сторони відомі. Як обчислити площу трикутника

Трикутник - це така геометрична фігура, яка складається з трьох прямих, що з'єднуються в точках, що не лежать на одній прямій. Точки з'єднання прямих – це вершини трикутника, які позначаються латинськими літерами(наприклад, A, B, C). Прямі трикутники, що з'єднуються, називаються відрізками, які також прийнято позначати латинськими літерами. Розрізняють наступні типитрикутників:

• Прямокутний.
• Тупокутний.
• Гострокутний.
• Різнобічний.
• Рівносторонній.
• Рівностегновий.

Загальні формули для обчислення площі трикутника

Формула площі трикутника по довжині та висоті

S = a * h / 2,
де а – це довжина сторони трикутника, площу якого потрібно знайти, h-довжина проведеної до основи висоти.

Формула Герону

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
де √-це квадратний корінь, p-напівпериметр трикутника, a, b, c – це довжина кожної сторони трикутника. Напівпериметр трикутника можна обчислити за формулою p=(a+b+c)/2.

Формула площі трикутника за величиною кута та довжиною відрізка

S = (a*b*sin(α))/2,
де b,c -цедовжина сторін трикутника, sin(α) - синус кута між двома сторонами.

Формула площі трикутника по радіусу вписаного кола та трьом сторонам

S=p*r,
де p-це напівпериметр трикутника, площу якого потрібно знайти, r-радіус вписаної в цей трикутник кола.

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного навколо нього кола

S = (a * b * c) / 4 * R,
де a,b,c-це величина довжини кожної сторони трикутника, R-радіус описаної навколо трикутника кола.

Формула площі трикутника за декартовими координатами точок

Декартові координати точок - це координати в системі xOy, де x-це абсциса, y-ордината. Декартовою системою координат xOy на площині називають взаємно перпендикулярні числові осі Oх і Oy з загальним початкомвідліку в точці О. Якщо задані координати точок на цій площині у вигляді A(x1, y1), B(x2, y2) та C(x3, y3), то можна обчислити площу трикутника за такою формулою, яка отримана з векторного творудвох векторів.
S = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) |
де || позначає модуль.

Як знайти площу прямокутного трикутника

Прямокутний трикутник – це трикутник, у якого один кут становить 90 градусів. Такий кут трикутника може бути лише один.

Формула площі прямокутного трикутника за двома катетами

S = a * b / 2,
де a, b – це довжина катетів. Катетами називаються сторони, що належать до прямого кута.

Формула площі прямокутного трикутника з гіпотенузи та гострого кута

S = a * b * sin (α) / 2,
де a, b – це катети трикутника, а sin(α) – це синус кута, в якому перетинаються прямі a, b.

Формула площі прямокутного трикутника по катету та протилежному куту

S = a*b/2*tg(β),
де a, b – це катети трикутника, tg(β) – це тангенс кута, де з'єднуються катети a, b.

Як обчислити площу рівнобедреного трикутника

Рівностегновим називається такий трикутник, який має дві рівні сторони. Ці сторони називаються бічними, а інша сторона є основою. Для обчислення площі рівнобедреного трикутникаможна використовувати одну з таких формул.

Основна формула для обчислення площі рівнобедреного трикутника

S=h*c/2,
де с - це основа трикутника, h-це висота трикутника, опущеного до основи.

Формула рівнобедреного трикутника збоку та основи

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
де с - основа трикутника, a- величина однієї з бічних сторін рівнобедреного трикутника.

Як знайти площу рівностороннього трикутника

Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні. Для обчислення площі рівностороннього трикутникаможна використовувати таку формулу:
S = (√3 * a * a) / 4,
де a-це довжина сторони рівностороннього трикутника.

Наведені вище формули дозволять обчислити потрібну площу трикутника. Важливо пам'ятати, що для обчислення помилки трикутників потрібно враховувати тип трикутника та доступні дані, які можна використовувати для обчислення.

Інструкція

Сторониі кути вважаються основними елементами а. Трикутник повністю визначається будь-яким з таких основних елементів: або трьома сторонами, або однією стороною і двома кутами, або двома сторонами і кутом між ними. Для існування трикутника, що задається трьома сторонами a, b, c, необхідно і достатньо виконання нерівностей, які називають нерівностями трикутника:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Для побудови трикутникапо трьох сторонах a, b, c, необхідно з точки С відрізка СВ=a як провести циркулем окружність радіусом b. Потім аналогічним чином провести з точки B коло радіусом рівним стороні c. Точка їх перетину A – третя вершина шуканого трикутника ABC, де АВ = c, CB = a, CA = b - сторони трикутника. Завдання має , якщо сторони a, b, c, задовольняють нерівності трикутникавказаним у кроці 1.

Площа S, побудованого таким чином трикутника ABC з відомими сторонами a, b, c обчислюється за формулою Герона:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
де a, b, c – сторони трикутника, p – напівпериметр.
p = (a+b+c)/2

Якщо трикутник є рівностороннім, тобто всі його сторони дорівнюють (a=b=c). трикутникаобчислюється за такою формулою:
S=(a^2 v3)/4

Якщо трикутник є прямокутним, тобто один із його кутів дорівнює 90°, а сторони, що його утворюють, катетами, третя сторона гіпотенузою. У даному випадку площадорівнює добутку катетів, поділеному на два.
S=ab/2

Щоб знайти площа трикутникаможна скористатися однією з численних формул. Формулу вибирайте залежно від того, які відомості вже відомі.

Вам знадобиться

• знання формул для знаходження площі трикутника

Інструкція

Якщо ви знаєте величину однієї зі сторін і величину висоти, опущеної на цю сторону з протилежного їй кута, то можна знайти площу за наступною: S = a * h/2, де S - площа трикутника, a - одна зі сторін трикутника, а h - Висота, до сторони a.

Існує відома для визначення площі трикутника, якщо відомі три сторони. Вона є формулою Герона. Для спрощення її запису вводять проміжну величину - напівпериметр: p = (a+b+c)/2 де a, b, c - . Тоді формула Герона наступним чином: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, зведення в ступінь.

Припустимо, що вам відома одна із сторін трикутника та три кути. Тоді легко знайти площу трикутника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), де β - кут, що протилежить стороні a, а α і γ - прилеглі до сторони кути.

Відео на тему

Зверніть увагу

Сама загальна формула, Що підходить для всіх випадків - це формула Герона.

Джерела:

Порада 3: Як знайти по трьох сторонах площу трикутника

Пошук площі трикутника – одне з найпоширеніших завдань шкільної планіметрії. Знання трьох сторін трикутника достатньо визначення площі будь-якого трикутника. У окремих випадках і рівностороннього трикутників достатньо знати довжини двох і однієї сторони відповідно.

Вам знадобиться

• довжини сторін трикутників, формула Герона, теорема косінусів

Інструкція

Формула Герона для площі трикутника наступним чином: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Якщо розписати напівпериметр p, то вийде: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Можна вивести формулу площі трикутника і з міркувань, наприклад, застосувавши теорему косінусів.

За теоремою косінусів AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Використовуючи введені позначення, ці також можна у вигляді: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Звідси, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Площа трикутника знаходиться також за формулою S = a*c*sin(ABC)/2 через дві сторони та кут між ними. Сінус кута ABCможна висловити через нього за допомогою основного тригонометричного тотожності: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Підставляючи синус у формулу для площі та розписуючи його, можна прийти до формули для площі трикутника ABC.

Відео на тему

Для проведення ремонтних робітбуває необхідно виміряти площастін. Так простіше розрахувати необхідна кількістьфарби або шпалери. Для вимірювань найкраще скористатися рулеткою чи сантиметровою стрічкою. Виміри слід проводити вже після того, як стінибули вирівняні.

Вам знадобиться

• -Рулетка;
• -драбинка.

Інструкція

Щоб порахувати площастін, вам необхідно знати точну висотустель, а також виміряти довжину по підлозі. Робиться це так: візьміть сантиметр, прокладіть його над плінтусом. Зазвичай сантиметра для всієї довжини не вистачає, тому закріпіть його в кутку, потім розмотайте максимальну довжину. У цій точці поставте позначку олівцем, запишіть отриманий результат і подальший вимір проводьте так само, починаючи з останньої точки виміру.

Стандартна стель у типових - 2 метри 80 сантиметрів, 3 метри та 3 метри 20 сантиметрів, залежно від будинку. Якщо будинок був побудований до 50-х років, то, швидше за все, реальна висота дещо нижча за вказану. Якщо ви обчислюєте площадля ремонтних робіт, то невеликий запас не зашкодить - рахуйте, виходячи зі стандарту. Якщо все ж таки необхідно знати реальну висоту - проведіть виміри. Принцип аналогічний виміру довжини, але потрібно драбини.

Перемножте отримані показники – це і є площавашої стіни. Щоправда, при фарбувальні роботи або для необхідно відняти площадверних та віконних отворів. Для цього прокладіть сантиметр уздовж отвору. Якщо мова йдепро двері, які ви згодом збираєтеся міняти, то проводите зі знятою дверною коробкою, враховуючи тільки площабезпосередньо самого отвору. Площа вікна обчислюється за периметром його рами. Після того як площавікна та дверного отвору вираховано, відніміть результат із загальної отриманої площі кімнати.

Врахуйте, що виміри довжини та ширини кімнати проводити удвох, так легше зафіксувати сантиметр або рулетку і, відповідно, отримати точніший результат. Проводьте один і той же замір кілька разів, щоб переконатися в точності отриманих цифр.

Відео на тему

Знаходження обсягу трикутника справді нетривіальне завдання. Річ у тім, що трикутник – двомірна постать, тобто. він повністю лежить в одній площині, а це означає, що в нього просто немає обсягу. Зрозуміло, не можна знайти те, чого не існує. Але не опускатимемо руки! Можна прийняти таке припущення - об'єм двомірної фігури, це її площа. Площу трикутника ми й шукатимемо.

Вам знадобиться

• аркуш паперу, олівець, лінійка, калькулятор

Інструкція

Накресліть на аркуші паперу за допомогою лінійки та олівця. Уважно розглянувши трикутник, ви зможете переконатися, що у нього дійсно немає, оскільки він намальований на площині. Підпишіть сторони трикутника: нехай одна сторона буде стороною "а", інша стороною "b", і третя - стороною "c". Підпишіть вершини трикутника літерами "A", "B" та "C".

Виміряйте лінійкою будь-яку сторону трикутника і запишіть результат, що вийшов. Після цього відновіть перпендикуляр до виміряної сторони протилежної їй вершини, такий перпендикуляр буде висотою трикутника. У випадку, наведеному на малюнку, перпендикуляр "h" відновлено до сторони "c" з вершини "A". Виміряйте висоту лінійкою і запишіть результат вимірювання.

Може статися, що вам буде важко відновити точний перпендикуляр. У цьому випадку вам слід користуватися іншою формулою. Виміряйте всі сторони трикутника лінійкою. Після цього підрахуйте півпериметр трикутника "p", склавши довжини сторін, що вийшли, і розділивши їх суму навпіл. Маючи у своєму розпорядженні значення напівпериметра, ви можете за формулою Герона. Для цього необхідно витягти квадратний корінь з наступного: p(p-a)(p-b)(p-c).

Ви отримали потрібну величину площі трикутника. Завдання знаходження обсягу трикутника не вирішена, але як говорилося вище, обсягу не . Ви можете знайти об'єм , яка по суті трикутником у тривимірному світі. Якщо уявити, що наш первісний трикутник став тривимірною пірамідою, то обсяг такої піраміди буде добутком довжини її основи на отриману нами площу трикутника.

Зверніть увагу

Підрахунки будуть тим точнішими, чим ретельніше ви проводитимете вимірювання

Джерела:

• Калькулятор "Все у всі" - портал за довідковими величинами
• обсяг трикутника у 2019

Три точки, що однозначно визначають трикутник в Декартової системикоординат – це його вершини. Знаючи їх положення щодо кожної з координатних осей можна обчислити будь-які параметри цієї плоскої фігури, включаючи і периметром, що обмежується її площа. Це можна зробити кількома способами.

Інструкція

Використовуйте формулу Герона для розрахунку площі трикутника. У ній задіяні розміри трьох сторін фігури, тому обчислення починайте з . Довжина кожної сторони повинна дорівнювати кореню із суми квадратів довжин її проекцій на координатні осі. Якщо позначити координати A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) та C(X₃,Y₃,Z₃), довжини їх сторін можна виразити так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Для спрощення розрахунків введіть додаткову змінну - напівпериметр (Р). З , що це половина суми довжин всіх сторін: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Трикутник – добре знайома всім постать. І це, незважаючи на багате розмаїття його форм. Прямокутний, рівносторонній, гострокутний, рівнобедрений, тупокутний. Кожен із них чимось відрізняється. Але для кожного потрібно дізнаватися площу трикутника.

Загальні для всіх трикутників формули, в яких використовуються довжини сторін або висот

Позначення, прийняті в них: сторони - а, в, с; висоти на відповідні сторони н а, н в, н с.

1. Площа трикутника обчислюється, як добуток, сторони і висоти, опущеної на неї. S = ½ * а * н а. Аналогічно слід записати формули для двох інших сторін.

2. Формула Герона, у якій фігурує напівпериметр (його прийнято позначати маленькою літерою р, на відміну повного периметра). Напівпериметр необхідно порахувати так: скласти всі сторони і розділити їх на 2. Формула напівпериметра: р = (а + в + с) / 2. Тоді рівність для площі фігури виглядає так: S = √ (р * (р - а) * ( р - в) * (р - с)).

3. Якщо не хочеться використовувати напівпериметр, то стане в нагоді така формула, в якій присутні тільки довжини сторін: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в – с)). Вона трохи довша за попередню, але виручить, якщо забулося, як знаходити напівпериметр.

Загальні формули, у яких фігурують кути трикутника

Позначення, які потрібні для прочитання формул: α, β, γ – кути. Вони лежать навпроти сторони, в, з, відповідно.

1. По ній половина добутку двох сторін та синуса кута між ними дорівнює площі трикутника. Тобто: S = ½ а * в * sin γ. Так само слід записати формули для двох інших випадків.

2. Площа трикутника можна обчислити по одній стороні та трьох відомих кутах. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Існує ще формула з одного відомою стороноюі двома прилеглими до неї кутами. Вона виглядає таким чином: S = з 2/(2 (ctg α + ctg β)).

Дві останні формули є не найпростішими. Запам'ятати їх досить складно.

Загальні формули для ситуації, коли відомі радіуси вписаних чи описаних кіл

Додаткові позначення: r, R – радіуси. Перший використовується для радіусу вписаного кола. Другий – для описаної.

1. Перша формула, за якою обчислюється площа трикутника, пов'язана із напівпериметром. S = р*r. Інакше її можна записати так: S = ½ r * (а + + с).

2. У другому випадку потрібно перемножити всі сторони трикутника і розділити їх на чотиризначний радіус описаного кола. У буквеному вираженніце виглядає так: S = (а * в * с) / (4R).

3. Третя ситуація дозволяє обійтися без знання сторін, але знадобляться значення всіх трьох кутів. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Частковий випадок: прямокутний трикутник

Це сама проста ситуація, оскільки потрібне знання лише довжини обох катетів. Вони позначаються латинськими літерами а і в. Площа прямокутного трикутникадорівнює половині площі добудованого щодо нього прямокутника.

Математично це має такий вигляд: S = ½ а * в. Вона запам'ятовується найпростіше. Тому що виглядає як формула для площі прямокутника, тільки з'являється ще дріб, що означає половину.

Частковий випадок: рівнобедрений трикутник

Оскільки в нього дві сторони рівні, деякі формули для його площі виглядають дещо спрощеними. Наприклад, формула Герона, за якою обчислюється площа рівнобедреного трикутника, набуває такого вигляду:

S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)).

Якщо її перетворити, то вона стане коротшою. У такому разі формула Герона для рівнобедреного трикутника записується так:

S = ¼ в √ (4 * a 2 - b 2).

Дещо простіше, ніж для довільного трикутника, виглядає формула площі, якщо відомі бічні сторонита кут між ними. S = ½ a 2 * sin β.

Окремий випадок: рівносторонній трикутник

Зазвичай у завданнях про нього відома сторона або її можна дізнатися. Тоді формула, за якою знаходиться площа такого трикутника, виглядає так:

S = (а 2 √3)/4.

Завдання на знаходження площі, якщо трикутник зображений на папері.

Найпростішою є ситуація, коли прямокутний трикутник накреслено так, що його катети збігаються з лініями паперу. Тоді потрібно просто порахувати кількість клітин, що укладаються в катети. Потім перемножити їх і поділити на два.

Коли трикутник є гострокутним або тупокутним, його потрібно домалювати до прямокутника. Тоді в фігурі, що вийшла, буде 3 трикутники. Один - той, що дано в задачі. А два інші — допоміжні та прямокутні. Визначити площі двох останніх потрібно за описаним вище способом. Потім порахувати площу прямокутника і відняти від нього ті, що обчислені для допоміжних. Площу трикутника визначено.

Набагато складнішою є ситуація, в якій жодна зі сторін трикутника не збігається з лініями паперу. Тоді його потрібно вписати у прямокутник так, щоб вершини вихідної фігури лежали на його сторонах. В цьому випадку допоміжних прямокутних трикутників буде три.

Приклад завдання на формулу Герона

Умови. У деякого трикутника відомі сторони. Вони дорівнюють 3, 5 і 6 см. Необхідно дізнатися про його площу.

Тепер можна обчислювати площу трикутника за зазначеною вище формулою. Під квадратним коренем виявляється добуток чотирьох чисел: 7, 4, 2 і 1. Тобто площа дорівнює √(4 * 14) = 2 √(14).

Якщо не потрібна велика точність, то можна витягти квадратний корінь із 14. Він дорівнює 3,74. Тоді площа дорівнюватиме 7,48.

Відповідь. S = 2√14 см 2 або 7,48 см 2 .

Приклад задачі із прямокутним трикутником

Умови. Один катет прямокутного трикутника більший, ніж другий на 31 см. Потрібно дізнатися про їх довжину, якщо площа трикутника дорівнює 180 см 2 .
Рішення. Прийде вирішити систему з двох рівнянь. Перше пов'язане із площею. Друге — із ставленням катетів, яке дано у завданні.
180 = ½ а * в;

а = + 31.
Спочатку значення «а» слід підставити на перше рівняння. Вийде: 180 = ½ (в + 31) * ст. У ньому лише одна невідома величина, тому його легко вирішити. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: в 2 + 31 в - 360 = 0. Воно дає два значення для "в": 9 і - 40. друге число не підходить як відповідь, так як довжина сторони трикутника не може бути негативною величиною.

Залишилося обчислити другий катет: додати до отриманого числа 31. Виходить 40. Це шукані завдання величини.

Відповідь. Катети трикутника дорівнюють 9 і 40 см.

Завдання на знаходження сторони через площу, бік та кут трикутника

Умови. Площа деякого трикутника 60 см2. Необхідно обчислити одну з сторін, якщо друга сторона дорівнює 15 см, а кут між ними дорівнює 30º.

Рішення. Виходячи з прийнятих позначень, шукана сторона «а», відома «в», заданий кут"γ". Тоді формулу площі можна переписати так:

60 = ½ а * 15 * sin 30 º. Тут синус 30 градусів дорівнює 0,5.

Після перетворень «а» виявляється рівним 60/(0,5*0,5*15). Тобто, 16.

Відповідь. Потрібна сторона дорівнює 16 см.

Завдання про квадрат, вписаний у прямокутний трикутник

Умови. Вершина квадрата зі стороною 24 см збігається із прямим кутом трикутника. Дві інші лежать на катетах. Третя належить гіпотенузі. Довжина одного з катетів дорівнює 42 см. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника?

Рішення. Розглянемо два прямокутні трикутники. Перший - заданий у завданні. Другий - спирається на відомий катетвихідного трикутника. Вони подібні, тому що мають загальний кутта утворені паралельними прямими.

Тоді відносини їхніх катетів рівні. Катети меншого трикутника дорівнюють 24 см (сторона квадрата) і 18 см (заданий катет 42 см відняти сторону квадрата 24 см). Відповідні катети великого трикутника- 42 см і х см. Саме цей "х" потрібен для того, щоб обчислити площу трикутника.

18/42 = 24/х, тобто х = 24*42/18 = 56 (см).

Тоді площа дорівнює творам 56 і 42, поділеному на два, тобто 1176 см 2 .

Відповідь. Шукана площа дорівнює 1176 см 2 .

Як ви можете пам'ятати з шкільної програмипо геометрії, трикутник - це фігура, утворена з трьох відрізків, що з'єднуються трьома точками, що не лежать на одній прямій. Трикутник утворює три кути, звідси і назва фігури. Визначення може бути іншим. Трикутник можна також назвати багатокутником з трьома кутами, відповідь буде так само вірною. Трикутники діляться за кількістю рівних сторін та за величиною кутів у фігурах. Так виділяють такі трикутники, як рівнобедрений, рівносторонній і різнобічний, а також прямокутний, гострокутний і тупокутний, відповідно.

Формул обчислення площі трикутника дуже багато. Вибирати, як знайти площу трикутника, тобто. якою формулою скористатися, лише вам. Але варто відзначити лише деякі позначення, які використовуються в багатьох формулах обчислення площі трикутника. Отже, запам'ятовуйте:

S – це площа трикутника,

a, b, c – це сторони трикутника,

h – це висота трикутника,

R – це радіус описаного кола,

p – це напівпериметр.

Ось основні позначення, які можуть стати вам у нагоді, якщо ви абсолютно забули курс геометрії. Нижче будуть наведені найбільш зрозумілі і не складні варіантиобчислення невідомої та загадкової площі трикутника. Це не складно і знадобиться як вам у домашніх потребах, так і для допомоги своїм дітям. Згадаймо, як обчислити площу трикутника простіше простого:

У нашому випадку площа трикутника дорівнює: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв. Пам'ятайте, що площа вимірюється в квадратних сантиметрах(Кв.см.).

Прямокутний трикутник та його площа.

Прямокутний трикутник - це трикутник, у якого один кут дорівнює 90 градусів (тому називається прямим). Прямий кут утворюють дві перпендикулярні лінії(у випадку з трикутником – два перпендикулярні відрізки). У прямокутному трикутнику прямий кут може лише один, т.к. сума всіх кутів одного будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів. Виходить, що 2 інших кута повинні ділити між собою 90 градусів, що залишилися, наприклад 70 і 20, 45 і 45 і т.д. Отже, основне ви згадали, залишилося дізнатися, як знайти площу прямокутного трикутника. Уявимо, що перед нами такий прямокутний трикутник, і нам необхідно знайти його площу S.

1. Найпростіший спосіб визначення площі прямокутного трикутника обчислюється за такою формулою:

У нашому випадку площа прямокутного трикутника дорівнює: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

У принципі, більше не потрібно вивіряння площі трикутника іншими методами, т.к. у побуті знадобиться і допоможе лише цей. Але існують і варіанти виміру площі трикутника через гострі кути.

2. Для інших способів обчислення необхідно мати таблицю косінусів, синусів та тангенсів. Поміркуйте самі, ось які варіанти обчислення площ прямокутного трикутника ще можна використовувати:

Ми вирішили скористатися першою формулою і з невеликими помарками (креслили в блокноті та використовували стару лінійку та транспортир), але у нас вийшов правильний розрахунок:

S = (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). У нас вийшли такі результати 3,6 = 3,7, але з урахуванням зсуву клітин цей нюанс нам можна пробачити.

Рівностегновий трикутник та його площа.

Якщо перед вами стоїть завдання обчислити формулу рівнобедреного трикутника, то найпростіше скористатися головною і як вважається класичною формулою площі трикутника.

Але для початку перед тим, як знайти площу рівнобедреного трикутника, дізнаємося, що це за фігура така. Рівностегновим трикутником називається трикутник, у якого дві сторони мають однакову довжину. Ці дві сторони називаються бічними, третя сторона називається основою. Не плутайте рівнобедрений трикутник із рівностороннім, тобто. правильним трикутником, У якого всі три сторони рівні. У такому трикутнику немає особливих тенденцій до кутів, точніше до їхньої величини. Однак кути біля основи в рівнобедреному трикутнику рівні, але відрізняються від кута між рівними сторонами. Отже, першу і головну формулу ви вже знаєте, залишилося дізнатися, які формули визначення площі рівнобедреного трикутника відомі:

Концепція площі

Поняття площі будь-якої геометричної фігури, зокрема трикутника, пов'язуватимемо з такою фігурою, як квадрат. За одиницю площі будь-якої геометричної фігури прийматимемо площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Для повноти, згадаємо два основні властивостідля поняття площ геометричних фігур.

Властивість 1:Якщо геометричні фігурирівні, значення їх площ також рівні.

Властивість 2:Будь-яка фігура може бути розбита на кілька фігур. Причому площа первісної фігури дорівнює сумі значень площ усіх складових її постатей.

Розглянемо приклад.

Приклад 1

Очевидно, що одна із сторін трикутника є діагоналлю прямокутника , у якого одна сторона має довжину $5$ (бо $5$ клітин), а друга $6$ (оскільки $6$ клітин). Отже, площа цього трикутника дорівнюватиме половині такого прямокутника. Площа прямокутника дорівнює

Тоді площа трикутника дорівнює

Відповідь: $15$.

Далі розглянемо кілька методів для знаходження площ трикутників, а саме за допомогою висоти та основи, за допомогою формули Герона та площа рівностороннього трикутника.

Як знайти площу трикутника через висоту та основу

Теорема 1

Площу трикутника можна знайти як половину добутку довжини сторони, на висоту, проведену до цієї сторони.

Математично це виглядає так

$S=\frac(1)(2)αh$

де $a$ – довжина сторони, $h$ – висота, проведена до неї.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $AC=α$. До цієї сторони проведена висота $BH$, яка дорівнює $h$. Добудуємо його до квадрата $AXYC$ як малюнку 2.

Площа прямокутника $AXBH$ дорівнює $h\cdot AH$, а прямокутника $HBYC$ дорівнює $h\cdot HC$. Тоді

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Отже, потрібна площа трикутника, за якістю 2, дорівнює

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теорему доведено.

Приклад 2

Знайти площу трикутника на малюнку нижче, якщо клітина має площу, рівну одиниці

Основа цього трикутника дорівнює $9$ (бо $9$ становить $9$ клітин). Висота також дорівнює $9$. Тоді, за теоремою 1, отримаємо

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Відповідь: $ 40,5 $.

Формула Герону

Теорема 2

Якщо нам дано три сторони трикутника $α$, $β$ і $γ$, то його площу можна знайти таким чином

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

тут $ρ$ означає півпериметр цього трикутника.

Доведення.

Розглянемо наступний малюнок:

За теоремою Піфагора з трикутника $ABH$ отримаємо

З трикутника $CBH$, за теоремою Піфагора, маємо

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

З цих двох співвідношень отримуємо рівність

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Оскільки $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, то $α+β+γ=2ρ$, отже

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

По теоремі 1, отримаємо

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$