Визначення лінійного рівняння з однією змінною. Розв'язання лінійних рівнянь з однією змінною

Спершу необхідно зрозуміти, що це таке.

Є просте визначення лінійного рівняння, яке дають у звичайній школі: «Рівняння, в якому змінна зустрічається тільки в першому ступені». Але воно не зовсім вірне: рівняння не є лінійним, воно навіть не наводиться до такого, воно наводиться до квадратичного.

Більше точне визначеннятаке: лінійне рівняння– це рівняння, яке за допомогою еквівалентних перетвореньможна привести до вигляду , де title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Насправді, щоб зрозуміти, чи є рівняння лінійним чи ні, його необхідно спершу спростити, тобто спричинити вигляд, де його класифікація буде однозначною. Запам'ятайте, з рівнянням можна робити все, що завгодно, що не змінить його коріння – це і є еквівалентне перетворення. З найпростіших еквівалентних перетворень можна виділити:

1. розкриття дужок
2. приведення подібних
3. множення та/або розподіл обох частин рівняння на ненульове число
4. додавання та/або віднімання з обох частин одного і того ж числа або виразу*

Приклад 1:
(розкриємо дужки)
(Додамо до обох частин і віднімання /перенесемо зі зміною знака числа вліво, а змінні вправо)
(наведемо подібні)
(Поділимо на 3 обидві частини рівняння)

Ось ми і отримали рівняння, яке має таке ж коріння, як і вихідне. Нагадаємо читачеві, що "вирішити рівняння"- значить знайти все його коріння і довести, що інших немає, а "корінь рівняння"- це таке число, яке, будучи підставленим замість невідомої, зверне рівняння на правильну рівність. Ну так в останнє рівняння знайти число, що обертає рівняння у правильну рівність, дуже просто - це число. Жодне інше число тотожності з цього рівняння не зробить. Відповідь:

Приклад 2:
(помножимо обидві частини рівняння на , попередньо переконавшись, що ми не множимо на : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(розкриємо дужки)
(перенесемо доданки)
(наведемо подібні)
(Поділимо обидві частини на )

Приблизно так і вирішуються всі лінійні рівняння. Для молодших читачів, швидше за все, дане поясненняздалося складним, тому пропонуємо версію "лінійні рівняння для 5 класу"

У статті розглянемо принцип розв'язання таких рівнянь як лінійні рівняння. Запишемо визначення цих рівнянь, поставимо загальний вигляд. Розберемо всі умови знаходження рішень лінійних рівнянь, використовуючи, зокрема, практичні приклади.

Звернемо увагу, що матеріал нижче містить інформацію щодо лінійних рівнянь з однією змінною. Лінійні рівняння із двома змінними розглядаються в окремій статті.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що таке лінійне рівняння

Лінійне рівняння- Це рівняння, запис якого такий:
a · x = b, де x- Змінна, aі b- Деякі числа.

Таке формулювання використано у підручнику алгебри (7 клас) Ю.М.Макаричова.

Приклад 1

Прикладами лінійних рівнянь будуть:

3 · x = 11(Рівняння з однією змінною xпри а = 5і b = 10);

− 3 , 1 · y = 0 (лінійне рівняння зі змінною y, де а = - 3, 1і b = 0);

x = − 4і − x = 5 , 37(лінійні рівняння, де число aзаписано у явному вигляді і дорівнює 1 і - 1 відповідно. Для першого рівняння b = - 4;для другого - b = 5, 37) і т.п.

В різноманітних навчальних матеріалахможуть зустрічатися різні визначення. Наприклад, Віленкін Н.Я. до лінійних відносить також ті рівняння, які можна перетворити на вигляд a · x = bза допомогою перенесення доданків з однієї частини до іншої зі зміною знака та приведення подібних доданків. Якщо слідувати такому трактуванню, рівняння 5 · x = 2 · x + 6 -також лінійне.

А ось підручник алгебри (7 клас) Мордковіча А.Г. задає такий опис:

Визначення 2

Лінійне рівняння з однією змінною x – це рівняння виду a · x + b = 0, де aі b- Деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Приклад 2

Прикладом лінійних рівнянь такого виду можуть бути:

3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 · y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Але також наведено приклади лінійних рівнянь, які ми вже використовували вище: виду a · x = bнаприклад, 6 · x = 35.

Ми відразу домовимося, що в цій статті під лінійним рівнянням з однією змінною ми розумітимемо рівняння запису a · x + b = 0, де x- Змінна; a, b – коефіцієнти. Подібна формалінійного рівняння нам бачиться найбільш виправданою, оскільки лінійні рівняння – це алгебраїчні рівнянняпершого ступеня. А інші рівняння, зазначені вище, та рівняння, наведені рівносильними перетвореннями на вигляд a · x + b = 0, Визначимо, як рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь.

За такого підходу рівняння 5 · x + 8 = 0 – лінійне, а 5 · x = − 8- Рівняння, що зводиться до лінійного.

Принцип розв'язання лінійних рівнянь

Розглянемо, як визначити, чи буде задане лінійне рівняння мати коріння і, якщо так, то скільки і як його визначити.

Визначення 3

Факт наявності коренів лінійного рівняння визначаться значеннями коефіцієнтів aі b.Запишемо ці умови:

• при a ≠ 0лінійне рівняння має єдиний корінь x = - b a;
• при a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння не має коріння;
• при a = 0і b = 0лінійне рівняння має безліч коренів. По суті в даному випадкуБудь-яке число може стати коренем лінійного рівняння.

Дамо пояснення. Нам відомо, що в процесі розв'язування рівняння можливо здійснювати перетворення заданого рівняння в рівносильне йому, а значить має те ж коріння, що вихідне рівняння, або також не має коріння. Ми можемо робити наступні рівносильні перетворення:

• перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши знак на протилежний;
• помножити або розділити обидві частини рівняння на те саме число, не рівне нулю.

Таким чином, перетворимо лінійне рівняння a · x + b = 0, перенісши доданок bз лівої частини у праву частину зі зміною знака. Отримаємо: a · x = − b.

Отже, виробляємо поділ обох частин рівняння на рівне нулю число а,отримавши в результаті рівність виду x = - b a. Тобто, коли a ≠ 0 ,вихідне рівняння a · x + b = 0рівносильно рівності x = - ba , в якому очевидний корінь - ba .

Методом від протилежного можна продемонструвати, що знайдений корінь - єдиний. Задамо позначення знайденого кореня - b a як х 1 .Висловимо припущення, що є ще один корінь лінійного рівняння з позначенням х 2 .І звичайно: x 2 ≠ x 1 ,а це, у свою чергу, спираючись на визначення рівних чиселчерез різницю, рівносильно умові x 1 − x 2 ≠ 0 .З урахуванням вищесказаного ми можемо скласти такі рівності, підставивши коріння:
a · x 1 + b = 0і a · x 2 + b = 0.
Властивість числових рівностей дає можливість зробити почленное віднімання частин рівностей:

a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0, звідси: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0і далі a · (x 1 - x 2) = 0 .Рівність a · (x 1 − x 2) = 0є невірною, оскільки раніше умовою було поставлено, що a ≠ 0і x 1 − x 2 ≠ 0 .Отримана суперечність і служить доказом того, що при a ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0має лише один корінь.

Обґрунтуємо ще два пункти умов, що містять a = 0.

Коли a = 0лінійне рівняння a · x + b = 0запишеться як 0 · x + b = 0. Властивість множення числа на нуль дає нам право стверджувати, що яке б число не було взято як x, підставивши його на рівність 0 · x + b = 0отримаємо b = 0 . Рівність справедлива при b = 0; в інших випадках, коли b ≠ 0 ,рівність стає невірною.

Таким чином, коли a = 0та b = 0 , будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння a · x + b = 0, оскільки при виконанні цих умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо вірне числова рівність 0 = 0 . Коли ж a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0зовсім не матиме коріння, оскільки при виконанні зазначених умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо неправильну числову рівність b = 0.

Всі наведені міркування дають нам можливість записати алгоритм, що дає змогу знайти рішення будь-якого лінійного рівняння:

• за видом запису визначаємо значення коефіцієнтів aі bта аналізуємо їх;
• при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число стане коренем заданого рівняння;
• при a = 0і b ≠ 0
• при a, відмінному від нуля, починаємо пошук єдиного кореня вихідного лінійного рівняння:

1. перенесемо коефіцієнт bу праву частину зі зміною знака на протилежний, наводячи лінійне рівняння до виду a · x = − b;
2. обидві частини отриманої рівності ділимо на число a, що дасть нам корінь заданого рівняння, що шукається: x = - b a .

Власне описана послідовність дій і є відповідь на питання, як знаходити рішення лінійного рівняння.

Насамкінець уточнимо, що рівняння виду a · x = bвирішуються за схожим алгоритмом з єдиною відмінністю, що число bу такому записі вже перенесено в потрібну частину рівняння, і при a ≠ 0можна відразу виконувати розподіл частин рівняння на число a.

Таким чином, щоб знайти рішення рівняння a · x = b,використовуємо такий алгоритм:

• при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число може стати його коренем;
• при a = 0і b ≠ 0за дане рівнянняне матиме коріння;
• при a, не рівному нулю, обидві частини рівняння поділяються на число a, що дає можливість знайти єдиний корінь, який дорівнює b a.

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Необхідно вирішити лінійне рівняння 0 · x − 0 = 0.

Рішення

Після запису заданого рівняння бачимо, що a = 0і b = − 0(або b = 0,що те саме). Таким чином, задане рівняння може мати безліч коренів або будь-яке число.

Відповідь: x- Будь-яке число.

Приклад 4

Необхідно визначити, чи має коріння рівняння 0 · x + 2, 7 = 0.

Рішення

За записом визначаємо, що а = 0, b = 2, 7. Таким чином, задане рівняння не матиме коріння.

Відповідь:вихідне лінійне рівняння немає коренів.

Приклад 5

Задано лінійне рівняння 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 .Потрібно вирішити його.

Рішення

По запису рівняння визначаємо, що а = 0,3; b = - 0 , 027 що дозволяє нам стверджувати наявність єдиного кореня у заданого рівняння.

Наслідуючи алгоритм, переносимо b у праву частину рівняння, змінивши знак, отримуємо: 0,3 · x = 0,027.Далі розділимо обидві частини отриманої рівності на а = 0 3 тоді, x = 0 027 0 3 .

Здійснимо поділ десяткових дробів:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0, 09

Отриманий результат є коренем заданого рівняння.

Коротко рішення запишемо так:

0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .

Відповідь: x = 0,09.

Для наочності наведемо рішення рівняння запису a · x = b.

Приклад N

Задані рівняння: 1) 0 · x = 0; 2) 0 · x = − 9; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Потрібно вирішити їх.

Рішення

Усі задані рівняння відповідають запису a · x = b. Розглянемо по черзі.

У рівнянні 0 · x = 0, a = 0 і b = 0що означає: будь-яке число може бути коренем цього рівняння.

У другому рівнянні 0 · x = − 9: a = 0 і b = − 9 ,таким чином, це рівняння не матиме коріння.

По виду останнього рівняння - 3 8 · x = - 3 3 4 запишемо коефіцієнти: a = - 3 8, b = - 3 3 4, тобто. рівняння має єдиний корінь. Знайдемо його. Поділимо обидві частини рівняння на a отримаємо в результаті: x = - 3 3 4 - 3 8 . Спростимо дріб, застосувавши правило поділу негативних чисел з наступним перекладом змішаного числав звичайний дрібі розподілом звичайних дробів:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10

Коротко рішення запишемо так:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 x = 10 .

Відповідь: 1) x– будь-яке число, 2) рівняння немає коренів, 3) x = 10 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Навчитися вирішувати рівняння - це одне з головних завдань, які ставить алгебра перед учнями. Починаючи з найпростішого, коли воно складається з однієї невідомої, і переходячи до складніших. Якщо не засвоєно дій, які потрібно виконати з рівняннями з першої групи, буде важко розібратися з іншими.

Для продовження розмови потрібно домовитись про позначення.

Загальний вид лінійного рівняння з однією невідомою та принцип його вирішення

Будь-яке рівняння, яке може призвести до запису такого виду:

а * х = в,

називається лінійним. Це загальна формула. Але часто у завданнях лінійні рівняння записані у неявному вигляді. Тоді потрібно виконати тотожні перетворення, щоб отримати загальноприйнятий запис. До цих дій належать:

• розкриття дужок;
• переміщення всіх доданків з змінною величиноюв ліву частинурівності, а інших - у праву;
• приведення подібних доданків.

Якщо невідома величина стоїть у знаменнику дробу, потрібно визначити її значення, у яких вираз нічого очікувати мати сенсу. Інакше кажучи, потрібно дізнатися область визначення рівняння.

Принцип, яким вирішуються все лінійні рівняння, зводиться до того що, щоб розділити значення правої частини рівності на коефіцієнт перед змінної. Тобто «х» дорівнюватиме в/а.

Приватні випадки лінійного рівняння та їх вирішення

Під час міркувань можуть виникати такі моменти, коли лінійні рівняння приймають один із особливих видів. Кожен із них має конкретне рішення.

У першій ситуації:

а * х = 0, причому а ≠ 0.

Вирішенням такого рівняння завжди буде х = 0.

У другому випадку «а» набуває значення дорівнює нулю:

0 * х = 0.

Відповіддю такого рівняння буде будь-яке число. Тобто має нескінченну кількість коренів.

Третя ситуація виглядає так:

0 * х = в, де у ≠ 0.

Це рівняння немає сенсу. Тому що коріння, яке задовольняє йому, не існує.

Загальний вигляд лінійного рівняння із двома змінними

З його назви стає зрозумілим, що невідомих величин у ньому вже дві. Лінійні рівняння із двома зміннимивиглядають так:

а * х + в * у = с.

Оскільки в записі зустрічаються дві невідомі, то відповідь буде виглядати як пара чисел. Тобто недостатньо вказати лише одне значення. Це буде неповна відповідь. Пара величин, у яких рівняння перетворюється на тотожність, є рішенням рівняння. Причому у відповіді завжди першою записують ту змінну, яка йде раніше за абеткою. Іноді кажуть, що ці числа йому задовольняють. Причому таких пар може бути безліч.

Як вирішити лінійне рівняння із двома невідомими?

Для цього потрібно просто підібрати будь-яку пару чисел, яка виявиться правильною. Для простоти можна прийняти одну з невідомих рівною якомусь простому числу, а потім знайти другу.

При вирішенні часто доводиться виконувати дії спрощення рівняння. Вони називаються тотожними перетвореннями. Причому для рівнянь завжди справедливі такі властивості:

• кожне доданок можна перенести на протилежну частину рівності, замінивши в нього знак на протилежний;
• ліву та праву частини будь-якого рівняння дозволено ділити на одне й те саме число, якщо воно не дорівнює нулю.

Приклади завдань із лінійними рівняннями

Перше завдання.Розв'язати лінійні рівняння: 4х = 20, 8 (х - 1) + 2х = 2 (4 - 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15)/(х + 3) = 4.

У рівнянні, яке йде в цьому списку першим, досить просто виконати поділ 20 на 4. Результат дорівнюватиме 5. Це і є відповідь: х=5.

Третє рівняння вимагає, щоб було виконано тотожне перетворення. Воно полягатиме у розкритті дужок та приведенні подібних доданків. Після першої дії рівняння набуде вигляду: 8х - 8 + 2х = 8 - 4х. Потім треба перенести всі невідомі до лівої частини рівності, а решта — до правої. Рівняння виглядатиме так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. Після приведення подібних доданків: 14х = 16. Тепер воно виглядає так само, як і перше, і рішення його легко. Відповіддю буде х = 8/7. Але в математиці потрібно виділяти цілу частину з неправильного дробу. Тоді результат перетвориться, і «х» дорівнюватиме одній цілій і одній сьомій.

У решті прикладів змінні перебувають у знаменнику. Це означає, що спочатку потрібно дізнатися, за яких значень рівняння визначені. Для цього потрібно виключити числа, за яких знаменники звертаються до нуля. У першому прикладі це «-4», у другому воно «-3». Тобто ці значення слід виключити з відповіді. Після цього потрібно помножити обидві частини рівності на вирази у знаменнику.

Розкривши дужки та привівши подібні доданки, У першому з цих рівнянь вийде: 5х + 15 = 4х + 16, тоді як у другому 5х + 15 = 4х + 12. Після перетворень рішенням першого рівняння буде х = -1. Друге виявляється рівним "-3", це означає, що останнє рішень не має.

Друге завдання.Розв'язати рівняння: -7х + 2у = 5.

Припустимо, що перша невідома х = 1, тоді рівняння набуде вигляду -7 * 1 + 2у = 5. Перенісши в праву частину рівності множник «-7» і змінивши у нього знак на плюс, вийде, що 2у = 12. Значить, у =6. Відповідь: одне з розв'язків рівняння х = 1, у = 6.

Загальний вигляд нерівності з однією змінною

Усе можливі ситуаціїдля нерівностей представлені тут:

• а * х > в;
• а*х< в;
• а * х ≥в;
• а * х ≤ ст.

Загалом воно виглядає як найпростіше лінійне рівняння, тільки знак рівності замінений на нерівність.

Правила тотожних перетворень нерівності

Так само як лінійні рівняння та нерівності можна видозмінювати за певними законами. Вони зводяться до наступного:

1. до лівої та правою частинаминерівності можна додати будь-яке буквене або числове вираз, причому знак нерівності залишиться тим самим;
2. також можна і помножити або розділити на те саме додатне число, Від цього знову знак не змінюється;
3. при множенні або розподілі на те саме від'ємне числорівність залишиться вірною за умови зміни знака нерівності на протилежний.

Загальний вигляд подвійних нерівностей

У завданнях можуть бути такі варіанти нерівностей:

• в< а * х < с;
• в ≤ а * х< с;
• в< а * х ≤ с;
• у ≤ а * х ≤ с.

Подвійними воно називається, тому що обмежене знаками нерівності із двох сторін. Воно вирішується з допомогою тих самих правил, як і звичайні нерівності. І знаходження відповіді зводиться до ряду тотожних перетворень. Поки що не буде отримано найпростіше.

Особливості вирішення подвійних нерівностей

Першою є його зображення на координатної осі. Використовувати цей спосіб для простих нерівностейнемає необхідності. А ось у складних випадкахможе бути просто необхідним.

Для зображення нерівності слід зазначити на осі всі точки, які вийшли під час міркувань. Це і неприпустимі значення, Що позначаються виколотими точками, і значення з нерівностей, що виявилися після перетворень. Тут також важливо правильно намалювати крапки. Якщо нерівність сувора, тобто< или >, то ці значення виколоті. У несуворих нерівностях точки потрібно зафарбовувати.

Потім слід позначити сенс нерівностей. Це можна зробити за допомогою штрихування або дуг. Їхнє перетинання вкаже відповідь.

Друга особливість пов'язані з його записом. Тут пропонується два варіанти. Перший – це остаточна нерівність. Другий – у вигляді проміжків. Ось із ним буває, що виникають труднощі. Відповідь проміжками завжди виглядає як змінна зі знаком приналежності та дужок із числами. Іноді проміжків виходить кілька, тоді між дужками потрібно написати символ "і". Ці знаки виглядають так: ∈ та ∩. Дужки проміжків теж грають свою роль. Кругла ставиться тоді, коли точку виключено із відповіді, а прямокутна включає це значення. Знак нескінченності завжди стоїть у круглій дужці.

Приклади розв'язання нерівностей

1. Вирішити нерівність 7 - 5х ≥ 37.

Після нескладних перетворень виходить: -5х ≥ 30. Розділивши на «-5» можна отримати такий вираз: х ≤ -6. Це вже відповідь, але її можна записати і по-іншому: х∈(-∞;-6).

2. Вирішіть подвійна нерівність -4 < 2x + 6 ≤ 8.

Спочатку потрібно скрізь відняти 6. Вийде: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

• Рівність із змінною називають рівнянням.
• Вирішити рівняння – значить знайти безліч його коренів. Рівняння може мати один, два, кілька, безліч коренів або не мати їх зовсім.
• Кожне значення змінної, у якому дане рівняння перетворюється на правильну рівність, називається коренем рівняння.
• Рівняння, що мають те саме коріння, називаються рівносильними рівняннями.
• Будь-яке складове рівняння можна перенести з однієї частини рівності до іншої, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.
• Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

приклади. Вирішити рівняння.

1. 1,5 х +4 = 0,3 х-2.

1,5 х-0,3 х = -2-4. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість:

1,2 х = -6. Навели подібні доданки за правилом:

х = -6 : 1,2. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінній, оскільки

х = -5. Ділили за правилом розподілу десяткового дробу на десятковий дріб:

щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно перенести коми в діленому і дільнику на стільки цифр вправо, скільки їх коштує після коми в дільнику, а потім виконати поділ на натуральне число:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Відповідь: 5.

2. 3∙ (2х-9) = 4 ∙ (Х-4).

6х-27 = 4х-16. Розкрили дужки, використовуючи розподільчий закон множення щодо віднімання: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6х-4х = -16 +27. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.

2х = 11. Навели подібні доданки за правилом: щоб привести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти та отриманий результат помножити на їхню загальну буквену частину (тобто до отриманого результату приписати їхню загальну буквену частину).

х = 11 : 2. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінній, оскільки якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

Відповідь: 5,5.

3. 7х-(3+2х) = х-9.

7х-3-2х = х-9. Розкрили дужки за правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак «-»: якщо перед дужками стоїть знак "-", то прибираємо дужки, знак "-" і записуємо доданки, що стояли в дужках, із протилежними знаками.

7х-2х-х = -9 +3. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.

4х = -6. Навели подібні доданки за правилом: щоб привести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти та отриманий результат помножити на їхню загальну буквену частину (тобто до отриманого результату приписати їхню загальну буквену частину).

х = -6 : 4. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінній, оскільки якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

Відповідь: -1,5.

3 ∙ (х-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Помножили обидві частини рівності на 12 – найменший спільний знаменникдля знаменників цих дробів.

3х-15 = 84-8х +44. Розкрили дужки, використовуючи розподільчий закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна окремо зменшується і окремо віднімається помножити на третє число, а потім від першого результату відняти другий результат, тобто.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3х +8 х = 84 +44 +15. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.

При вирішенні лінійних рівнянь ми прагнемо знайти корінь, тобто таке значення для змінної, яке перетворить рівняння на правильну рівність.

Щоб знайти корінь рівняння потрібно рівносильними перетворення привести дане нам рівняння до виду

\(x=[число]\)

Це і буде корінням.

Тобто, ми перетворюємо рівняння, роблячи його з кожним кроком все простіше, доки не зведемо до примітивного рівняння «ікс = число», де корінь – очевидний. Найчастіше застосовуваними під час вирішення лінійних рівнянь є такі перетворення:

Наприклад: додамо \(5\) до обох частин рівняння \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Зверніть увагу, що той самий результат ми могли б отримати швидше - просто записавши п'ятірку з іншого боку рівняння і змінивши її знак. Власне, саме так і робиться шкільний «перенесення через рівно зі зміною знака на протилежний».

2. Множення або розподіл обох частин рівняння на однакове число або вираз.

НаприкладРозділимо рівняння \(-2x=8\) на мінус два

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Зазвичай даний кроквиконується в самому кінці, коли рівняння вже приведено до виду (ax = b), і ми ділимо на (a), щоб прибрати його зліва.

3. Використання властивостей та законів математики: розкриття дужок, приведення подібних доданків, скорочення дробів тощо.

Додаємо (2x) ліворуч і праворуч

Віднімаємо \(24\) з обох частин рівняння

Знову наводимо подібні доданки

Тепер ділимо рівняння на (-3), тим самим прибираючи перед іксом у лівій частині.

Відповідь : \(7\)

Відповідь знайдено. Однак давайте його перевіримо. Якщо сімка дійсно корінь, то при підстановці її замість ікса в початкове рівняння має вийти правильна рівність - однакові числаліворуч і праворуч. Пробуємо.

Перевірка:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Зійшлося. Значить, сімка і справді є коренем вихідного лінійного рівняння.

Не лінуйтеся перевіряти підстановкою знайдені відповіді, особливо якщо ви вирішуєте рівняння на контрольній або іспиті.

Залишається питання – а як визначити, що робити із рівнянням на черговому кроці? Як саме його перетворювати? Ділити на щось? Або віднімати? І що саме віднімати? На що ділити?

Відповідь проста:

Ваша мета – привести рівняння до виду \(x=[число]\), тобто зліва ікс без коефіцієнтів і чисел, а праворуч – лише число без змінних. Тому дивіться, що вам заважає та робіть дію, зворотне тому, що робить компонент, що заважає.

Щоб краще це зрозуміти, розберемо кроки рішення лінійного рівняння \(x+3=13-4x\).

Давайте подумаємо: чим це рівняння відрізняється від (x = [число])? Що нам заважає? Що не так?

Ну, по-перше, заважає трійка, бо ліворуч має бути лише самотній ікс, без чисел. А що "робить" трійка? Додаєтьсядо ікса. Значить, щоб її прибрати віднімемотаку ж трійку. Але якщо ми віднімаємо трійку зліва, то маємо відняти її і праворуч, щоб рівність не була порушена.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Добре. Тепер що заважає? \(4x\) праворуч, адже там мають бути лише числа. \(4x\) віднімається- прибираємо додатком.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Тепер наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч.

Вже майже готове. Залишилося забрати п'ятірку зліва. Що вона робить"? Помножуєтьсяна ікс. Тому прибираємо її розподілом.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Рішення завершено, корінь рівняння – двійка. Можете перевірити підстановку.

Зауважимо, що найчастіше корінь у лінійних рівняннях лише один. Однак можуть зустрітися два особливі випадки.

Особливий випадок 1 – у лінійному рівнянні немає коріння.

приклад . Розв'язати рівняння \(3x-1=2(x+3)+x\)

Рішення :

Відповідь : немає коренів

Насправді, те, що ми прийдемо до такого результату, було видно раніше, ще коли ми отримали \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: як можуть бути рівні \(3x\) з яких відняли \(1\), і \(3x\) до яких додали \(6\)? Очевидно, що ніяк, адже з тим самим зробили різні дії! Зрозуміло, що результати відрізнятимуться.

Особливий випадок 2 – у лінійному рівнянні нескінченна кількість коренів.

Рішення :

Відповідь : будь-яке число

Це, до речі, було помітно ще раніше, на етапі: (8x + 12 = 8x + 12). Справді, ліворуч і праворуч – однакові вирази. Який ікс не підстав - буде одне і те ж число і там, і там.

Більш складні лінійні рівняння.

Вихідне рівняння не завжди відразу виглядає як лінійне, іноді воно маскується під інші, більше складні рівняння. Однак у процесі перетворень маскування спадає.

приклад . Знайдіть корінь рівняння \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Рішення :

Відповідь : \(x=5\)

приклад . Розв'язати лінійне рівняння \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Рішення :

Відповідь : \ (x = -1,25 \)