Способи запам'ятовування таблиці синусів та косінусів. Короткий виклад та основні формули

Завжди знайдуться учні, які мають проблеми із запам'ятовуванням табличних значень тригонометричних функцій. Усі діти різні. В одних добре запам'ятовується логічно побудована система знань. Інші спираються на візуальні образи.

У першому випадку добре працює мнемонічний спосіб запам'ятовування значень тригонометричних функцій. Легко побачити закономірність: у синусів у чисельниках – коріння цілих послідовних чисел від нуля до чотирьох, у знаменнику – завжди число 2. У косінусів значення записуються у зворотному порядку.

З чисел 0, 1, 4 квадратний коріньлегко витягується, отримуємо раціональні числа.

Образ числового коладопомагає учням з розвиненою зорової пам'яті. Щоб легко запам'ятати, що значення sin α знаходимо на осі Оу, а значення соs α - на осі Ох, застосовуємо асоціативний прийом. Учні вигадують підказку – якесь слово, яке дозволить «прив'язати» косинуси до осі Ох, а синуси – до осі Оу. Наприклад, слово «коса» дозволяє об'єднати кіс інус та вісь а бсцис.

Уточнюємо позитивний напрямок - проти годинникової стрілки та негативний напрямок - за годинниковою стрілкою).

Учні повинні знати, де на одиничному колі знаходяться кути, для яких знаходимо значення синуса та косинуса.

На осі Ох знаходимо точку перетину одиничного кола та осі Ох - початкову точку. У криволінійній системі координат ця точка відповідає куту 0 радіан (0 0). У прямокутної системикоординат знаходимо значення sin0 = 0 та cos0 = 1.

Щоб на колі знайти точку, що відповідає куту π /3 (60 0), на осі Ох знаходимо точку з абсцисою ½ і проводимо пряму, перпендикулярну до осіОх. Ця пряма перетинає коло у точках, відповідних кутах π /3 і - π /3.

Щоб на колі знайти точку, яка відповідає куту π /6 (30 0), на осі Оу знаходимо точку з ординатою ½ і проводимо пряму, перпендикулярну до осі Оу. Ця пряма перетинає коло в точках, що відповідають кутам π /6 (30 0) та 5π / 6 (150 0).

Щоб на колі знайти точку, яка відповідає куту π /4 (45 0), проводимо бісектрису I координатного кута.

Дивлячись на одиничне коло, легко помітити, що точки, симетричні щодо осі Ох, мають однакові абсциси та протилежні ординати. Тому синуси протилежних кутівпротилежні, а косинуси цих кутів рівні.

Крапки, симетричні щодо осі Оу, мають однакові ординати та протилежні абсциси. Тому косинус цих кутів протилежні, а синуси рівні. Іншими словами:

• синуси кутів рівні, якщо сума кутів дорівнює 1800;
• косинуси кутів протилежні, якщо сума кутів дорівнює 1800.

Крапки, симетричні щодо початку координат, мають протилежні координати. Тому кути, які розташовані діаметрально протилежно на колі, мають протилежні значеннясинусів та косинусів.

А також бачимо, що синуси та косинуси гострих кутіврівні, якщо сума кутів дорівнює 900.

Розглядаючи ці особливості, закріплюємо також знання і з тем «Формули приведення», «Парність функції».

Значення тангенсів та котангенсів кутів знаходимо, використовуючи дані таблиці, за формулами tgα = sinα / cosα, сtgα = cosα / sinα.

Корисно запам'ятати розташування осі тангенсів та котангенсів для знаходження значення тангенсів та котангенсів кутів, рішення тригонометричних рівняньта нерівностей.

Ці методи допомагають моїм учням легко згадувати чи знаходити табличні значеннятригонометричних функцій. Сподіваюся, що вони допоможуть іншим учням.

У цій статті зібрані таблиці синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. Спочатку ми наведемо таблицю основних значень тригонометричних функцій, тобто таблицю синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів кутів 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусів ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадіан). Після цього ми дамо таблицю синусів та косінусів, а також таблицю тангенсів та котангенсів В. М. Брадіса, і покажемо, як використовувати ці таблиці при знаходженні значень тригонометричних функцій.

Навігація на сторінці.

Таблиця синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів для кутів 0, 30, 45, 60, 90, … градусів

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
• Брадіс В. М.Чотиризначні математичні таблиці: Для загальноутвор. навч. закладів. - 2-ге вид. - М: Дрофа, 1999. - 96 с.: іл. ISBN 5-7107-2667-2

Запам'ятовування таблиці значень тригонометричних функцій актуальна темане тільки для старшокласників, але й для самих вчителів та репетиторів з математики, які часто не можуть правильно розставити акценти на особливостях таблиці та тим самим вносять додаткові перешкоди для її використання. Чого тільки я не надивився у зошитах учнів за роки моєї практики. Таке враження, що самі вчителі та репетитори не знають, як краще діяти. Хтось пропонує окремі таблиці для прямих та окремо для зворотних тригонометричних функцій. Хтось пропонує тригонометр, записи з незручним поданням самих значень функцій і використовують, наприклад, замість числа, що вибивається з загального правила. За моєю статистикою, приблизно дітей не можуть самостійно відстежити закономірності. математичних формулта властивостей, що спрощують запам'ятовування. Шкільні викладачіне завжди звертають на них увагу і часто саме репетитор з математики відкриває дитині очі на очевидне.

Що має робити репетитор з математики?

Я запускаю на заняття якогось помічника - навігатора, що дозволяє полегшити учневі запам'ятовування практичного рішеннязадач інформації. Продумуються супровідні підказки у теоретичних шпаргалках, за яких:

• максимально широке охоплення відомостей забезпечується мінімальним обсягом записів.
• інформацію можна буде отримувати за допомогою деяких виявлених особливостей та закономірностей у поведінці чисел

Як цей принцип застосувати для запам'ятовування таблиці значень?

1) Репетитору з математики слід провести свого роду екскурсію по таблиці та розповісти про її особливості. Важливо зауважити, що для переведення кутів із градусів у радіани, досить згадати про те, який у цих радіанів повинен вийти знаменник. це , а це .Якщо у дитини хоча б трошки працює асоціативна пам'ять, то він пам'ятатиме, що в «радіанних знаменниках» розташовуються лише числа та 6. Вони ж стоять у розряді десятків відповідної їм градусного заходу. Тільки трійка відповідає шістці, шістка трійці, а четвірка (проміжна цифра) під час переходу до зберігається. Я говорю так - трійка змінюється на шістку, шістку на трійку, а четвірка завмирає і залишається першою цифрою градусної міри кута.

При перекладі можна побачити, що даний кут 5 разів більше, ніж . Тоді, помножуючи радіани на 5, отримуємо .

Значення синусів і косінусів для основних кутів найкраще по таблиці не дивитися, а згадати визначення їх функцій через тригонометричний коло.

Модулі значень функцій кутів більших симетричні значенням для кутів до . Треба лише врахувати негативні знакикосинуса, тангенсу та котангенсу у другій чверті.

Репетитору з математики залишається вивчити з учнем головну частинутаблиці. І тут є чудові закономірності. Якщо репетитор дав учневі для тригонометричної таблицічисла , то можна помітити, що якщо ми представимо у вигляді , то отримаємо єдину структурудробів і заучувати доведеться числа і . У цей момент учневі стане просто смішно та дивно: чому він раніше не бачив таких закономірностей.

Залишилося запам'ятати порядок. Оскільки синус у першій чверті зростає, то більшому куткувідповідає більша кількістьпід коренем. Я говорю так: більшому кутку — більший синус. Слабого учня я багаторазово повторюю: синус працює в прямому порядку: більший більший, а менший менший. Це повторення слів, як правило, відкладається у його голові.

Легко зрозуміти. що з косинусом все навпаки: менший кут — більший косинус. Те саме виявляється у тангенсів і котангенсів.

У таблицю значень тангенсів репетитору з математики необхідно записати числа без числа, що вибивається , а саме так: , і . Тоді окрім відповідності меншому - менше, а більшому - більшетангенси будуть утворені всіма різними комбінаціями дій розподілу чисел: 1 і . Після таких аналогій 90-95 відсотків учнів репетитора з математики не помиляються у табличних значеннях.

Обчислення арксінусів, арккосинусів, арктангенсів...

1. слово арксинус важко і довго вимовляється. Я навмисно ковтаю в деяких ситуаціях слово «синус» і говорю, наприклад, так: для знаходження арка, потрібно... Школярі розуміють, про що йде моваа репетитор з математики при цьому може акцентувати увагу на чомусь більш важливому.

2. У таблиці, яку ви бачите нижче, спеціально виділено область червоним кольором. Вона використовується для знаходження арків.

Поняття синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенса () нерозривно пов'язані з поняттям кута. Щоб добре розібратися в цих, на перший погляд, складних поняттях(які викликають у багатьох школярів стан жаху), і переконатися, що «не такий страшний чорт, як його малюють», почнемо від початку і розберемося в понятті кута.

Поняття кута: радіан, градус

Давай подивимося малюнку. Вектор "повернувся" щодо точки на певну величину. Так ось мірою цього повороту щодо початкового положення і виступатиме кут.

Що ще необхідно знати про поняття кута? Ну, звичайно ж, одиниці виміру кута!

Кут, як і геометрії, і у тригонометрії, може вимірюватися у градусах і радіанах.

Кутом в (один градус) називають центральний кутв колі, що спирається на кругову дугу, що дорівнює частині кола. Таким чином, все коло складається з «шматочків» кругових дуг, або кут, що описується колом, дорівнює.

Тобто малюнку вище зображений кут, рівний, тобто цей кут спирається на кругову дугу розміром довжини кола.

Кутом у радіан називають центральний кут в колі, що спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. Ну що, розібрався? Якщо ні, то давай розумітися на малюнку.

Отже, на малюнку зображено кут, рівний радіану, тобто цей кут спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (довжина дорівнює довжині або радіус дорівнює довжинідуги). Таким чином, довжина дуги обчислюється за такою формулою:

Де – центральний кут у радіанах.

Ну що, можеш, знаючи це, відповісти, скільки радіан містить кут, який описує коло? Так, для цього треба згадати формулу довжини кола. Ось вона:

Ну ось, тепер співвіднесемо ці дві формули і отримаємо, що кут, що описується коло дорівнює. Тобто, співвіднісши величину у градусах та радіанах, отримуємо, що. Відповідно, . Як можна побачити, на відміну «градусів», слово «радіан» опускається, оскільки одиниця виміру зазвичай зрозуміла з контексту.

А скільки радіан складають? Все вірно!

Вловив? Тоді вперед закріплювати:

Виникли проблеми? Тоді дивись відповіді:

Прямокутний трикутник: синус, косинус, тангенс, котангенс кута

Отже, з поняттям кута розібралися. А що ж таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута? Давай розбиратись. Для цього нам допоможе прямокутний трикутник.

Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти прямого кута (у прикладі це сторона); катети - це дві сторони, що залишилися і (ті, що прилягають до прямому куту), причому, якщо розглядати катети щодо кута, то катет - це прилеглий катет, А катет - протилежний. Отже, тепер дамо відповідь на запитання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?

Синус кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику.

Косинус кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику.

Тангенс кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).

У нашому трикутнику.

Котангенс кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).

У нашому трикутнику.

Ці визначення необхідні запам'ятати! Щоб було простіше запам'ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що в тангенсеі котангенсісидять тільки катети, а гіпотенуза з'являється тільки в синусіі косинус. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:

Косинус→торкатися→доторкнутися→прилежний;

Котангенс→торкатися→доторкнутися→прилежний.

Насамперед, необхідно запам'ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжин цих сторін (при одному вугіллі). Не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:

Розглянемо, наприклад, косинус кута. За визначенням, з трикутника: , але ми можемо обчислити косинус кута і з трикутника: . Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне й те саме. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать виключно від величини кута.

Якщо розібрався у визначеннях, то вперед закріплюйте їх!

Для трикутника, зображеного нижче малюнку, знайдемо.

Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те саме для кута.

Одиничне (тригонометричне) коло

Розбираючись у поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з рівним радіусом. Таке коло називається одиничною. Вона дуже знадобиться щодо тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи докладніше.

Як можна помітити, дане колопобудована в декартовій системікоординат. Радіус кола дорівнює одиниціПри цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі (у нашому прикладі це радіус).

Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі та координата по осі. А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити цілих два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник. Він прямокутний, оскільки є перпендикуляром до осі.

Чому дорівнює трикутнику? Все вірно. Крім того, нам відомо, що - це радіус одиничного кола, а значить, . Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:

А чому дорівнює трикутнику? Ну звичайно, ! Підставимо значення радіуса в цю формулу та отримаємо:

Так, а можеш сказати, які координати має точка, що належить колу? Ну що, аж ніяк? А якщо збагнути, що й – це просто числа? Який координаті відповідає? Ну, звісно, ​​координати! А якій координаті відповідає? Все правильно, координаті! Таким чином, точка.

А чому тоді рівні? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу і отримаємо, що, а.

А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому рисунку:

Що ж змінилося в даному прикладі? Давай розбиратись. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник: кут (як прилеглий до кута). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кута? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:

Ну от, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті; значення косинуса кута – координаті; а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення можна застосовувати до будь-яких поворотів радіус-вектора.

Вже згадувалося, що початкове становище радіус-вектора - вздовж позитивного спрямування осі. Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути, а при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.

Отже, ми знаємо, що цілий оберт радіус-вектора по колу становить або. А чи можна повернути радіус-вектор на чи на? Ну звісно, ​​можна! У першому випадку, таким чином, радіус-вектор зробить один повний оборот і зупиниться в положенні.

У другому випадку, тобто радіус-вектор зробить три повні обороти і зупиниться в положенні або.

Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на або (де - будь-яке ціле число), відповідають одному положенню радіус-вектора.

Нижче на малюнку зображено кут. Це зображення відповідає куту тощо. Цей список можна продовжити до безкінечності. Всі ці кути можна записати загальною формулою або (де – будь-яке ціле число)

Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:

Ось тобі на допомогу одиничне коло:

Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:

Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку відповідає точка з координатами, отже:

Не існує;

Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутам відповідають точки з координатами, відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.

Відповіді:

Не існує

Не існує

Не існує

Не існує

Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:

Немає потреби пам'ятати всі ці значення. Достатньо пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:

А ось значення тригонометричних функцій кутів і, наведених нижче в таблиці, необхідно запам'ятати:

Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовування відповідних значень:

Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута (), а також значення тангенсу кута. Знаючи ці значення, досить просто відновити всю таблицю цілком - значення косинуса переносяться відповідно до стрілочок, тобто:

Знаючи це можна відновити значення. Чисельник « » буде відповідати, а знаменник « » відповідає. Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити і запам'ятати схему зі стрілочками, достатньо пам'ятати всього значення з таблиці.

Координати точки на колі

А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, його радіус та кут повороту?

Ну, звісно, ​​можна! Давай виведемо загальну формулудля знаходження координат точки.

Ось, наприклад, перед нами таке коло:

Нам дано, що точка – центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, одержаної поворотом точки на градусів.

Як очевидно з малюнка, координаті точки відповідає довжина відрізка. Довжина відрізка відповідає координаті центру кола, тобто дорівнює. Довжину відрізка можна виразити, використовуючи визначення косинуса:

Тоді маємо, що для точки координат.

За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки. Таким чином,

Отже, у загальному виглядікоординати точок визначаються за формулами:

Координати центру кола,

Радіус кола,

Кут повороту вектор радіуса.

Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, оскільки координати центру дорівнюють нулю, а радіус дорівнює одиниці:

Ну що, спробуємо ці формули на смак, повправляючись у знаходженні крапок на колі?

1. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

2. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

3. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

4. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.

5. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.

Виникли проблеми у знаходженні координот точки на колі?

Розв'яжи ці п'ять прикладів (або добре розберись у рішенні) і ти навчишся їх знаходити!

1.

Можна зауважити, що. А ми знаємо, що відповідає повному обігу початкової точки. Таким чином, точка, що шукається, буде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:

2. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:

Можна зауважити, що. Ми знаємо, що відповідає двом повним оборотампочаткової точки. Таким чином, точка, що шукається, буде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:

Синус та косинус – це табличні значення. Згадуємо їх значення та отримуємо:

Таким чином, потрібна точка має координати.

3. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:

Можна зауважити, що. Зобразимо приклад на малюнку:

Радіус утворює з віссю кути, рівні та. Знаючи, що табличні значення косинуса та синуса рівні, і визначивши, що косинус тут набуває від'ємне значення, А синус позитивне, маємо:

Детальніше подібні прикладирозбираються щодо формул приведення тригонометричних функцій у темі .

Таким чином, потрібна точка має координати.

4.

Кут повороту радіуса вектора (за умовою)

Для визначення відповідних знаків синуса та косинуса побудуємо одиничне коло та кут:

Як можна побачити, значення, тобто позитивно, а значення, тобто – негативно. Знаючи табличні значення відповідних тригонометричних функцій, отримуємо, що:

Підставимо отримані значення в нашу формулу і знайдемо координати:

Таким чином, потрібна точка має координати.

5. Для вирішення цього завдання скористаємося формулами у загальному вигляді, де

Координати центру кола (у нашому прикладі,

Радіус кола (за умовою,)

Кут повороту векторного радіуса (за умовою,).

Підставимо всі значення у формулу та отримаємо:

та - табличні значення. Згадуємо та підставляємо їх у формулу:

Таким чином, потрібна точка має координати.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Синус кута - це відношення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.

Косинус кута - це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

Тангенс кута - це відношення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).

Котангенс кута - це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (далекого).