Рівняння прямої та лінії 2 порядку. Лінії другого порядку

Завантажити з Depositfiles

Лекція №9. Тема 3: Лінії другого порядку

Нехай у деякій ДСК задана лінія, яка визначається рівнянням другого ступеня

де коефіцієнти
одночасно не дорівнюють нулю. Ця лінія називаєтьсякривою або лінією другого порядку.

Може статися, що немає точок
з дійсними координатами, що задовольняють рівняння (1). У цьому випадку вважають, що рівняння (1) визначає уявну лінію другого порядку. Наприклад,
 це рівняння уявного кола.

Розглянемо три важливі окремі випадки рівняння (1).

3.1. Еліпс

Еліпс визначається рівнянням

(2)

Коефіцієнти аі b називаються відповідно великою і малою півосями, а рівняння (2) –канонічним рівнянням еліпса.

Покладемо
і відзначимо на осіПро хкрапки

званіфокусами еліпса. Тоді еліпс можна визначити як

геометричне місце точок, сума відстаней від яких до фокусів є постійна величина, рівна 2а.

у

b

M K

— аF 1 O F 2 a x

— b

Покажемо це. Нехай крапка
 поточна точка еліпса. У цьому випадку отримуємо Тоді повинна виконуватись рівність

Вираз (3) подаємо у вигляді

і зведемо в квадрат обидві частини виразу

Звідси отримуємо

Ще раз зведемо цей вираз у квадрат і скористаємося співвідношенням.
тоді

(4)

Розділивши обидві частини виразу (4) на
, остаточно отримуємо канонічне рівнянняеліпса

Досліджуємо рівняння (2). Якщо в рівнянні замінити , то рівняння (2) не зміниться. Це означає, що еліпс симетричний щодо координатних осей. Тому докладно розглянемо частину еліпса, що знаходиться в першій чверті. Вона визначається рівнянням
Очевидно, що еліпс проходить через точки
. Виконавши схематичну побудову у першій чверті, симетрично відобразимо його графік у всі чверті. Таким чином, еліпс є безперервною замкненою кривою. Крапки називаютьсявершинами еліпса.

Ставлення
називаєтьсяексцентриситетомеліпса. Для еліпса
.

Прямі
називаютьсядиректрисами еліпса.

Справедливо наступна властивість директрис:

Відношення відстаней від фокусу і директриси для точок еліпса є постійна величина, рівна ексцентриситету, тобто.

Доводиться аналогічно, як і рівність (3).

Зауваження 1. Окружність
є окремим випадком еліпса. Для неї

3.2. Гіперболу

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд

тобто. у рівнянні (1) потрібно покласти

Коефіцієнти аі b називаються відповідно речовинної та уявної півосями.

Поклавши
, відзначимо на осіПро хкрапки
званіфокусами гіперболи. Тоді гіперболу можна визначити як

геометричне місце точок, різниця відстаней від яких до фокусів по абсолютній величині дорівнює 2а, тобто.

у

До М

F 1 —а Про аF 2 х

Доводиться так само, як і для еліпса. По виду рівняння гіперболи так само укладаємо, що її графік симетричний щодо осей системи координат. Частина гіперболи, що лежить у першій чверті, має рівняння
З цього рівняння видно, що за досить великиххгіпербола близька до прямої
. Після схематичного побудови у першій чверті симетрично відображаємо графік у всі чверті.

Крапки
називаютьсявершинами гіперболи. Прямі
називаютьсяасимптотами – це прямі, яких прагнуть гілки гіперболи, не перетинаючи їх.

Ставлення називаєтьсяексцентриситетомгіперболи. Для гіперболи
.

Прямі називаютьсядиректрисами гіперболи. Для директрис гіперболи має місце властивість, аналогічна, як і для директоріс еліпса.

приклад. Знайти рівняння еліпса, вершини якого знаходяться у фокусах, а фокуси у вершинах гіперболи
.

За умовою
а

Остаточно отримуємо

10.3. Парабола

Парабола визначається канонічним рівнянням
тобто. у рівнянні (1) потрібно покласти

До оефіцієнтрназивається Доу

фокальним параметром. М

Зазначимо на осі хточку

звану фокусом

 еліпс;

 парабола;

 гіпербола.

Рівняннякривих у велику кількістьзустрічаютьсяпри читанні економічної литературы.Вкажем деякі з цих кривих.

Крива байдужості - крива, що показує різні комбінації двох продуктів, мають однакове споживче значення, чи корисність, для споживача.

Крива споживчого бюджету - крива, що показує різні комбінації кількостей двох товарів, які споживач може купити при цьому рівні його грошового доходу.

Крива виробничих можливостей - крива, що показує різні комбінації двох товарів чи послуг, які можуть бути зроблені в умовах повної зайнятості та повного обсягу виробництва в економіці з постійними запасами ресурсів та незмінною технологією.

Крива інвестиційного попиту - крива, що показує динаміку відсоткової ставки та обсяг інвестицій за різних відсоткових ставок.

Крива Філліпса- крива, що показує існування сталого зв'язку між рівнем безробіття та рівнем інфляції.

Крива Лаффера- крива, що показує зв'язок між ставками податків і податковими надходженнями, виявляє таку податкову ставку, коли він податкові надходження досягають максимуму.

Вже просте перерахування термінів показує, наскільки важливе для економістів вміння будувати графіки та аналізувати рівняння кривих, якими є прямі лінії та криві другого порядку - коло, еліпс, гіпербола, парабола. Крім того, при вирішенні великого класузадач потрібно виділити на площині область, обмежену будь-якими кривими, рівняння яких задані. Найчастіше ці завдання формулюються так: знайти найкращий планвиробництва за заданих ресурсах. Завдання ресурсів зазвичай має вигляд нерівностей, рівняння яких дані. Тому доводиться шукати найбільше чи найменше значення, прийняті деякою функцією області, заданої рівняннями системи нерівностей.

У аналітичної геометріїлінія на площинівизначається як безліч точок, координати яких задовольняють рівняння F(x, y)=0. При цьому на функцію F повинні бути накладені обмеження так, щоб з одного боку це рівняння мало нескінченна безлічрішень і, з іншого боку, щоб це безліч рішень не заповнювало “шматок площини”. Важливий клас ліній складають ті, для яких функція F(x,y) є багаточленом від двох змінних, у цьому випадку лінія, яка визначається рівнянням F(x,y)=0, називається алгебраїчної. Алгебраїчні лінії, що задаються рівнянням першого ступеня, є прямими. Рівняння другого ступеня, що має безліч рішень, визначає еліпс, гіперболу, параболу або лінію, що розпадається на дві прямі.

Нехай на площині задано прямокутну декартову систему координат. Пряма на площині може бути задана одним із рівнянь:

1 0 . Загальне рівняння прямої

Ax + By + C = 0. (2.1)

Вектор n(А,В) ортогональний прямий, числа A і B одночасно не дорівнюють нулю.

2 0 . Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

y - y o = k (x - x o), (2.2)

де k - кутовий коефіцієнтпрямий, тобто k = tg a , де a - Величина кута, утвореного прямою з віссю Оx, M (x o , y o) - деяка точка, що належить прямий.

Рівняння (2.2) набуває вигляду y = kx + b, якщо M (0, b) є точка перетину прямої з віссю Оy.

3 0 . Рівняння прямої у відрізках

x/a + y/b = 1, (2.3)

де a і b - величини відрізків, що відсікаються прямою на осях координат.

4 0 . Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки - A(x 1 , y 1) та B(x 2 , y 2):

. (2.4)

5 0 . Рівняння прямої, що проходить через цю точку A(x 1 , y 1) паралельно даному вектору a(m, n)

. (2.5)

6 0 . Нормальне рівняння прямої

rnпро - р = 0, (2.6)

де r- радіус-довільної точки M(x, y) цієї прямої, nпро - одиничний вектор, ортогональний цієї прямої і спрямований від початку координат до прямої; р - відстань від початку координат до прямої.

Нормальне в координатної формимає вигляд:

x cos a + y sin a - р = 0,

де a - Величина кута, утвореного прямою з віссю Оx.

Рівняння пучка прямих із центром у точці А(x 1 , y 1) має вигляд:

y-y 1 = l (x-x 1),

де l - Параметр пучка. Якщо пучок задається двома прямими, що перетинаються A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, то його рівняння має вигляд:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

де l і m - параметри пучка, що не звертаються до 0 одночасно.

Величина кута між прямими y = kx + b і y = k 1 x + b 1 задається формулою:

tg j =.

Рівність 1 + k 1 k = 0 є необхідною і достатня умоваперпендикулярність прямих.

Для того, щоб два рівняння

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

задавали одну і ту ж пряму, необхідно і достатньо, щоб їх коефіцієнти були пропорційними:

A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.

Рівняння (2.7), (2.8) задають дві різні паралельні прямі, якщо A 1 /A 2 = B 1 /B 2 і B 1 /B 2¹ C1/C2; прямі перетинаються, якщо A 1 /A 2¹ B 1 /B 2 .

Відстань d від точки M (x про, y про) до прямої є довжина перпендикуляра, проведеного з точки M про до прямої. Якщо пряма задана нормальним рівнянням, то d =ê rо nпро - р ê , де rпро - радіус-вектор точки M або, в координатній формі, d =ê x cos a + y sin a - р ê .

Загальне рівняння кривої другого порядку має вигляд

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

Передбачається, що серед коефіцієнтів рівняння a 11 a 12 a 22 є відмінні від нуля.

Рівняння кола з центром у точці С(a, b) та радіусом, рівним R:

(x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 . (2.9)

Еліпсомназивається геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох даних точок F 1 і F 2 (фокусів) є постійна величина, рівна 2a.

Канонічне (найпростіше) рівняння еліпса

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Еліпс, заданий рівнянням(2.10), симетричний щодо осей координат. Параметри aі bназиваються півосямиеліпса.

Нехай a>b тоді фокуси F 1 і F 2 знаходяться на осі Оx на відстані
c = від початку координат. Відношення c/a = e < 1 называется ексцентриситетомеліпса. Відстань від точки M(x, y) еліпса до його фокусів (фокальні радіуси-вектори) визначаються формулами:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Якщо ж a< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Якщо a = b, то еліпс є коло з центром на початку координат радіусу a.

Гіперболоюназивається геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох даних точок F 1 і F 2 (фокусів) дорівнює по абсолютній величині даному числу 2a.

Канонічне рівняння гіперболи

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Гіпербола, задана рівнянням (2.11), симетрична щодо осей координат. Вона перетинає вісь Оx у точках A(a,0) та A(-a,0) - вершинах гіперболи і не перетинає вісь Оy. Параметр aназивається речовинною піввіссю, b -уявною піввіссю. Параметр c= відстань від фокуса до початку координат. Відношення c/a = e >1 називається ексцентриситетомгіперболи. Прямі, рівняння яких y =± b/a x називаються асимптотамигіперболи. Відстань від точки M(x,y) гіперболи до її фокусів (фокальні радіуси-вектори) визначаються формулами:

r 1 = e e x - a ê , r 2 = e e x + a ê .

Гіпербола, у якої a = b називається рівносторонній, її рівняння x 2 - y 2 = a 2 а рівняння асимптот y =± x. Гіперболи x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 називаються пов'язаними.

Параболоюназивається геометричне місце точок, однаково віддалених від даної точки (фокусу) та даної прямої (директриси).

Канонічне рівняння параболи має два види:

1) y 2 = 2рx – парабола симетрична щодо осі Оx.

2) x 2 = 2рy – парабола симетрична щодо осі Оy.

В обох випадках р>0 і вершина параболи, тобто точка, що лежить на осі симетрії, знаходиться на початку координат.

Парабола, рівняння якої y 2 = 2рx має фокус F(р/2,0) та директрису x = - р/2, фокальний радіус-вектор точки M(x,y) на ній r = x+ р/2.

Парабола, рівняння якої x 2 =2рy має фокус F(0, р/2) та директрису y = - р/2; фокальний радіус-вектор точки M(x,y) параболи дорівнює r = y + р/2.

Рівняння F(x, y) = 0 задає лінію, що розбиває площину дві чи кілька частин. В одних із цих частин виконується нерівність F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Іншими словами, лінія
F(x, y)=0 відокремлює частину площини, де F(x, y)>0, від частини площини, де F(x, y)<0.

Пряма, рівняння якої Ax+By+C = 0, розбиває площину дві напівплощини. На практиці для з'ясування того, в якій напівплощині ми маємо Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0 застосовують метод контрольних точок. Для цього беруть контрольну точку (зрозуміло, що не лежить на прямій, рівняння якої Ax+By+C = 0) і перевіряють, який знак має у цій точці вираз Ax+By+C. Той самий знак має вказаний вираз і в усій напівплощині, де лежить контрольна точка. У другій напівплощині Ax+By+C має протилежний знак.

Так само вирішуються і нелінійні нерівності з двома невідомими.

Наприклад, розв'яжемо нерівність x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Його можна переписати у вигляді (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Рівняння (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 задає коло з центром у точці C(2,-3) та радіусом 5. Коло розбиває площину на дві частини - внутрішню та зовнішню. Щоб дізнатися, в якій з них має місце ця нерівність, візьмемо контрольну точку в внутрішньої областінаприклад, центр C(2,-3) нашого кола. Підставляючи координати точки C в ліву частинунерівності, отримуємо від'ємне число-25. Значить, і у всіх точках, що лежать усередині кола, виконується нерівність
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

приклад 1.5.Складіть рівняння прямих, що проходять через точку A(3,1) і нахилених до прямої 2x+3y-1 = 0 під кутом 45 o .

Рішення.Шукатимемо у вигляді y=kx+b. Оскільки пряма проходить через точку A, її координати задовольняють рівнянню прямий, тобто. 1=3k+b,Þ b = 1-3k. Величина кута між прямими
y= k 1 x+b 1 та y= kx+b визначається формулою tg j =. Оскільки кутовий коефіцієнт k 1 вихідної прямої 2x+3y-1=0 дорівнює - 2/3, а кут j = 45 o , маємо рівняння визначення k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 або (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Маємо два значення k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Знаходячи відповідні значення b за формулою b=1-3k, отримаємо дві прямі, рівняння яких: x - 5y + 2 = 0 і
5x + y – 16 = 0.

Приклад 1.6. При якому значенні параметра tпрямі, рівняння яких 3tx-8y+1 = 0 та (1+t)x-2ty = 0, паралельні?

Рішення.Прямі, задані загальними рівняннями, паралельні, якщо коефіцієнти при xі yпропорційні, тобто. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо t: t 1 = 2, t 2 = -2/3

Приклад 1.7. Знайти рівняння загальної хорди двох кіл:
x 2 + y 2 = 10 і x 2 + y 2 -10x-10y + 30 = 0.

Рішення.Знайдемо точки перетину кіл, для цього вирішимо систему рівнянь:

Вирішуючи перше рівняння, знаходимо значення x 1 = 3, x 2 = 1. З другого рівняння - відповідні значення y: y 1 = 1, y 2 = 3. Тепер отримаємо рівняння загальної хорди, знаючи дві точки А(3,1) і B(1,3), що належать цій прямій: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), або y+ x - 4 = 0.

Приклад 1.8. Як розташовані на площині точки, координати яких задовольняють умовам (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Рішення.Перше нерівність системи визначає нутро кола, без включаючи кордон, тобто. коло з центром у точці (3,3) та радіуса . Друга нерівність задає напівплощину, що визначається прямою, рівняння якої x = y, причому, так як нерівність суворе, точки самої прямої не належать напівплощині, а всі точки нижче цієї прямої належать напівплощині. Оскільки ми шукаємо точки, що задовольняють обох нерівностей, то потрібна область - начинка півкола.

приклад 1.9.Обчислити довжину сторони квадрата, вписаного в еліпс, рівняння якого x2/a2+y2/b2=1.

Рішення.Нехай М(с, с)- Вершина квадрата, що лежить у першій чверті. Тоді сторона квадрата дорівнюватиме 2 з. Т.к. крапка Мналежить еліпсу, її координати задовольняють рівняння еліпса c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, звідки
c = ab/; отже, сторона квадрата - 2ab/.

приклад 1.10.Знаючи рівняння асимптот гіперболи y =± 0,5 x і одну з її точок М(12, 3), скласти рівняння гіперболи.

Рішення.Запишемо канонічне рівняння гіперболи: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Асимптоти гіперболи задаються рівняннями y =± 0,5 x, отже, b/a = 1/2, звідки a=2b. Оскільки М- точка гіперболи, її координати задовольняють рівнянню гіперболи, тобто. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Враховуючи, що a = 2b, знайдемо b: b 2 =9Þ b=3 та a=6. Тоді рівняння гіперболи – x 2/36 – y 2/9 = 1.

приклад 1.11.Обчислити довжину сторони правильної трикутника ABC, вписаного в параболу з параметром р, припускаючи, що точка А збігається з вершиною параболи.

Рішення.Канонічне рівняння параболи з параметром рмає вигляд y 2 = 2рx, вершина її збігається з початком координат, і парабола симетрична щодо осі абсцис. Оскільки пряма AB утворює з віссю Ox кут 30 o , то рівняння прямої має вигляд: y = x. великою кількістю графіків

Отже, можемо знайти координати точки B, вирішуючи систему рівнянь y 2 =2рx, y = x, звідки x = 6р, y = 2 р. Отже, відстань між точками A(0,0) та B(6р,2 р) дорівнює 4 р.

Лінії другого порядку.
Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність

Після ґрунтовного опрацювання прямих на площиніпродовжуємо вивчати геометрію двовимірного світу. Ставки подвоюються, і я запрошую вас відвідати мальовничу галерею еліпсів, гіпербол, парабол, які є типовими представниками ліній другого порядку. Екскурсія вже розпочалася, і спочатку коротка інформаціяпро всю експозицію на різних поверхах музею:

Поняття алгебраїчної лінії та її порядку

Лінію на площині називають алгебраїчної, якщо в афінної системи координатїї рівняння має вигляд , де – многочлен, що складається з доданків виду ( – дійсне число, – цілі неотрицательные числа).

Як бачите, рівняння лінії алгебри не містить синусів, косінусів, логарифмів та іншого функціонального бомонду. Тільки «ікси» та «ігреки» в цілих невід'ємнихступенях.

Порядок лініїдорівнює максимальному значенню складових, що входять до нього.

За відповідною теоремою, поняття алгебраїчної лінії, а також її порядок не залежать від вибору афінної системи координат, тому для легкості буття вважаємо, що всі наступні викладки мають місце в декартових координатах.

Загальне рівняннялінії другого порядку має вигляд , де - довільні дійсні числа (прийнято записувати з множником-«двійкою»), причому коефіцієнти не дорівнюють одночасно нулю.

Якщо , то рівняння спрощується до , і якщо коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, то це точно загальне рівняння «плоської» прямої, яка є лінію першого порядку.

Багато хто зрозумів зміст нових термінів, але, проте, з метою 100%-го засвоєння матеріалу сунемо пальці в розетку. Щоб визначити порядок лінії, потрібно перебрати всі доданкиїї рівняння та у кожного з них знайти суму ступеніввхідних змінних.

Наприклад:

доданок містить «ікс» в 1-му ступені;
доданок містить «гравець» в 1-му ступені;
у складі змінні відсутні, тому сума їх ступенів дорівнює нулю.

Тепер розберемося, чому рівняння задає лінію другогопорядку:

доданок містить «ікс» у 2-му ступені;
у доданку сума ступенів змінних: 1 + 1 = 2;
доданок містить «гравець» у 2-му ступені;
решта доданків – меншоюступеня.

Максимальне значення: 2

Якщо до нашого рівняння додатково приплюсувати, скажімо, то воно вже буде визначати лінію третього порядку. Очевидно, що загальний вигляд рівняння лінії 3-го порядку містить «повний комплект» доданків, сума ступенів змінних у яких дорівнює трьом:
, Де коефіцієнти не рівні одночасно нулю.

У тому випадку, якщо додати одне або кілька відповідних доданків, які містять , то мова вже зайде про лінії 4-го порядку, і т.д.

З лініями алгебри 3-го, 4-го і більш високих порядків нам доведеться зіткнутися ще не раз, зокрема, при знайомстві з полярною системою координат.

Однак повернемося до загального рівняння та згадаємо його найпростіші шкільні варіації. Як приклади напрошується парабола, рівняння якої легко призвести до загального вигляду, та гіпербола з еквівалентним рівнянням . Однак не все так гладко.

Істотний недолік загального рівнянняполягає в тому, що майже завжди не зрозуміло, яку задає лінію. Навіть у найпростішому випадку не відразу зрозумієш, що це гіпербола. Такі розклади хороші лише на маскараді, тому в курсі аналітичної геометрії розглядається типове завдання приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду.

Що таке канонічний вид рівняння?

Це загальноприйнятий стандартний виглядрівняння, як у лічені секунди стає зрозуміло, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, за канонічним рівнянням «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .

Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:

Класифікація ліній другого порядку

За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з таких видів:

(і – позитивні дійсні числа)

1) - канонічне рівняння еліпса;

2) - канонічне рівняння гіперболи;

3) - канонічне рівняння параболи;

4) – уявнийеліпс;

5) - пара прямих, що перетинаються;

6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);

7) – пара паралельних прямих;

8) – пара уявнихпаралельних прямих;

9) - пара прямих, що збіглися.

У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті № 7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осіординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.

Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видівліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.

Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значеннядля вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базильова/Атанасяна чи Александрова.

Еліпс та його канонічне рівняння

Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».

Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:

Як побудувати еліпс?

Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частинастудентів не зовсім грамотно справляються із кресленням:

Приклад 1

Побудувати еліпс, заданий рівнянням

Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічному вигляду:

Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .

У даному випадку :


Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число називають великою піввіссюеліпса;
число – малою піввіссю.
у прикладі: .

Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.

Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми . І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворої дійсностіна столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.

Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але в загальному випадкудуже бажано знайти додаткові точки.

Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. В разі крайньої потребиБудь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:

Далі рівняння розпадається на дві функції:
- Визначає верхню дугу еліпса;
- Визначає нижню дугу еліпса.

Заданий канонічним рівнянням еліпс симетричний щодо координатних осей, і навіть щодо початку координат . І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція . Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами . Настукаємо три смс-ки на калькуляторі:

Безумовно, приємно й те, що якщо допущено серйозну помилку в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.

Зазначимо на кресленні крапки (червоний колір), симетричні точкина інших дугах ( синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:


Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?

Визначення еліпса. Фокуси еліпса та ексцентриситет еліпса

Еліпс – це окремий випадоковалу. Слово «овал» не слід розуміти в обивательському сенсі («дитина намалювала овал» і т.п.). Це математичний термін, Що має розгорнуте формулювання. Метою даного урокуне є розгляд теорії овалів та різних їх видів, яким практично не приділяється уваги у стандартному курсі аналітичної геометрії. І, відповідно до більш актуальних потреб, ми відразу переходимо до строгому визначеннюеліпса:

Еліпс– це безліч усіх точок площини, сума відстаней до кожної з яких від двох даних точок , фокусамиеліпса, - є величина постійна, чисельно рівна довжинівеликий осі цього еліпса: .
При цьому відстані між фокусами менші даного значення: .

Тепер стане все зрозуміліше:

Уявіть, що синя крапка «їздить» еліпсом. Так от, яку б точку еліпса ми не взяли, сума довжин відрізків завжди буде однією і тією ж:

Переконаємося, що у нашому прикладі значення суми справді дорівнює восьми. Подумки помістіть точку «ем» у праву вершину еліпса, тоді: , що потрібно перевірити.

На визначенні еліпса заснований ще один спосіб його креслення. Вища математика, часом, причина напруги та стресу, тому саме час провести черговий сеанс розвантаження. Будь ласка, візьміть ватман або великий лист картону і приколоти його до столу двома гвоздиками. Це будуть фокуси. До капелюшків цвяхів, що стирчать, прив'яжіть зелену нитку і до упору відтягніть її олівцем. Гриф олівця опиниться в деякій точці, яка належить еліпсу. Тепер починайте олівець по аркушу паперу, зберігаючи зелену нитку сильно натягнутою. Продовжуйте процес доти, доки не повернетеся в вихідну точку… відмінно… креслення можна здати на перевірку лікареві викладачеві =)

Як знайти фокуси еліпса?

У наведеному прикладі я зобразив «готові» точки фокусу, і зараз ми навчимося видобувати їх із надр геометрії.

Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його фокуси мають координати , де це відстань від кожного з фокусів до центру симетрії еліпса.

Обчислення простіше пареної ріпи:

! Зі значенням «це» не можна ототожнювати конкретні координати фокусів!Повторюся, що це ВІДСТАНЬ від кожного з фокусів до центру(який у випадку ні розташовуватися саме на початку координат).
І, отже, відстань між фокусами теж не можна прив'язувати до канонічного становища еліпса. Іншими словами, еліпс можна перенести в інше місце і значення залишиться постійним, тоді як фокуси, звичайно, змінять свої координати. Будь ласка, враховуйте Наразів ході подальшого вивченнятеми.

Ексцентриситет еліпса та його геометричний зміст

Ексцентриситетом еліпса називають відношення, яке може набувати значень у межах.

У нашому випадку:

З'ясуймо, як форма еліпса залежить від його ексцентриситету. Для цього зафіксуємо ліву та праву вершинианалізованого еліпса, тобто значення великої півосі залишатиметься постійним. Тоді формула ексцентриситету набуде вигляду: .

Почнемо наближати значення ексцентриситету до одиниці. Це можливо лише в тому випадку, якщо . Що це означає? …згадуємо про фокуси . Це означає, що фокуси еліпса «роз'їжджатимуться» по осі абсцис до бічних вершин. І, оскільки «зелені відрізки не гумові», то еліпс неминуче почне сплющуватися, перетворюючись на все більш тонку сосиску, нанизану на вісь.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету еліпса до одиниці, тим еліпс більш довгастий.

Тепер змоделюємо протилежний процес: фокуси еліпса пішли назустріч один одному, наближаючись до центру. Це означає, що значення «це» стає дедалі менше і, відповідно, ексцентриситет прагне нулю: .
При цьому "зеленим відрізкам" буде, навпаки - "ставати тісно" і вони почнуть "виштовхувати" лінію еліпса вгору і вниз.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету до нуля, тим еліпс більше схожий… дивимося граничний випадок, коли фокуси успішно возз'єдналися на початку координат:

Окружність – це окремий випадок еліпса

Справді, у разі рівності півосей канонічне рівняння еліпса набуває вигляду , який рефлекторно перетворюється на – добре відомого зі школи рівняння кола з центром на початку координат радіусу «а».

Насправді частіше використовують запис із «говорящей» буквою «ер»: . Радіусом називають довжину відрізка, при цьому кожна точка кола віддалена від центру на відстань радіуса.

Зауважте, що визначення еліпса залишається повністю коректним: фокуси збіглися, і сума довжин відрізків, що збіглися, для кожної точки кола – є величина постійна. Оскільки відстань між фокусами, то ексцентриситет будь-якого кола дорівнює нулю.

Будується коло легко і швидко, достатньо озброїтися циркулем. Тим не менш, іноді буває потрібно з'ясувати координати деяких її точок, у цьому випадку йдемо знайомим шляхом – наводимо рівняння до бадьорого матанівського вигляду:

– функція верхнього півкола;
– функція нижнього півкола.

Після чого знаходимо потрібні значення, диференціюємо, інтегруємоі робимо інші добрі речі.

Стаття, звичайно, має довідковий характер, але як на світі без кохання прожити? Творче завданнядля самостійного рішення

Приклад 2

Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомий один із його фокусів і мала піввісь (центр знаходиться на початку координат). Знайти вершини, додаткові точки та зобразити лінію на кресленні. Обчислити ексцентриситет.

Рішення та креслення наприкінці уроку

Додамо екшену:

Поворот та паралельне перенесення еліпса

Повернемося до канонічного рівняння еліпса , зокрема, до умови , загадка якого мучить допитливі уми ще з часів першої згадки про цю криву. Ось ми розглянули еліпс але хіба на практиці не може зустрітися рівняння ? Адже тут, однак, це начебто як і еліпс!

Подібне рівняння не часто, але справді трапляється. І воно справді визначає еліпс. Розвіємо містику:

Внаслідок побудови отримано наш рідний еліпс, повернутий на 90 градусів. Тобто, – це неканонічний записеліпса . Запис!- Рівняння не ставить якийсь інший еліпс, оскільки на осі немає точок (фокусів), які б задовольняли визначенню еліпса.

1. Лінії другого порядку на евклідовій площині.

2. Інваріанти рівнянь ліній другого порядку.

3. Визначення виду ліній другого порядку за інваріантами її рівняння.

4. Лінії другого порядку на афінній площині. Теорема єдиності.

5. Центри ліній другого порядку.

6. Асимптоти та діаметри ліній другого порядку.

7. Привид рівнянь ліній другого порядку до найпростішого.

8. Головні напрями та діаметри ліній другого порядку.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Лінії другого порядку в евклідовій площині.

Визначення:

Евклідова площина- Це простір розмірності 2,

Лінії другого порядку являють собою лінії перетину кругового конусаіз площинами, що не проходять через його вершину.

Ці лінії часто зустрічаються у різних питаннях природознавства. Наприклад, рух матеріальної точкипід впливом центрального поля сили тяжіння відбувається однією з цих ліній.

Якщо січна площина перетинає всі прямолінійні утворюють одну порожнину конуса, то в перерізі вийде лінія, звана еліпсом(Рис. 1.1, а). Якщо січна площина перетинає утворюють обох порожнин конуса, то в перерізі вийде лінія, яка називається гіперболою(Рис. 1.1,6). І, нарешті, якщо січна площина паралельна до однієї з утворюючих конуса (на 1.1, в- це утворююча АВ),то в перетині вийде лінія, яка називається параболою.Мал. 1.1 дає наочне уявлення про форму аналізованих ліній.

Малюнок 1.1

Загальне рівняння лінії другого порядку має наступний вигляд:

(1)

(1*)

Еліпсом називається безліч точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок F 1 і F 2 цієї площини, званих фокусами, є постійна величина.

При цьому не виключається збіг фокусів еліпса. Очевидно, якщо фокуси збігаються, то еліпс є коло.

Для виведення канонічного рівняння еліпса виберемо початок декартової системикоординат у середині відрізка F 1 F 2 , а осі Охі Оунаправимо так, як зазначено на рис. 1.2 (якщо фокуси F 1 і F 2 збігаються, то О збігається з F 1 і F 2 , а за вісь Охможна взяти будь-яку вісь, що проходить через О).

Нехай довжина відрізка F 1 F 2 F 1 і F 2 відповідно мають координати (-с, 0) та (с, 0). Позначимо через 2апостійну, про яку йдеться у визначенні еліпса. Вочевидь, 2а > 2с, тобто. а > с (Якщо М- точка еліпса (див. рис. 1.2), то | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , а оскільки сума двох сторін MF 1 і MF 2 трикутника MF 1 F 2 більше третьої сторони F 1 F 2 = 2c, то 2а> 2с. Випадок 2а = 2с природно виключити, тому що тоді точка Мрозташовується на відрізку F 1 F 2 і еліпс вироджується у відрізок. ).

r 1 + r 2 = 2а (1.1)

є необхідною та достатньою умовою розташування точки М (х, у) на даному еліпсі.

Використовуючи формулу відстані між двома точками, отримаємо

З (1.1) і (1.2) випливає, що співвідношення

є необхідною і достатньою умовою розташування точки М з координатами х і у на даному еліпсі.Тому співвідношення (1.3) можна як рівняння еліпса.Шляхом стандартного прийому«Знищення радикалів» це рівняння наводиться до вигляду

Оскільки рівняння (1.4) є алгебраїчне слідстворівняння еліпса (1.3), то координати х і убудь-якої точки Меліпса задовольнятимуть і рівняння (1.4). Оскільки при алгебраїчних перетвореннях, пов'язаних з рятуванням від радикалів, могли з'явитися «зайві коріння», ми повинні переконатися в тому, що будь-яка точка М,координати якої задовольняють рівняння (1.4), розташовується цьому еліпсі. Для цього, очевидно, достатньо довести, що величини r 1 та r 2 кожної точки задовольняють співвідношенню (1.1). Отже, нехай координати хі украпки Мзадовольняють рівняння (1.4). Підставляючи значення у 2з (1.4) праву частинувирази (1.2) для г 1 після нескладних перетворень знайдемо, що

Абсолютно аналогічно знайдемо, що

тобто. r 1 + r 2 = 2а,і тому точка М розташовується на еліпсі. Рівняння (1.4) називається канонічним рівнянням еліпса.Величини аі bназиваються відповідно великою та малою півосями еліпса(Найменування «велика» і «мала» пояснюється тим, що а>Ь).

Зауваження. Якщо півосі еліпса аі bрівні, то еліпс є коло, радіус якого дорівнює R = a = b, а центр збігається з початком координат.

Гіперболою називається безліч точок площини, для яких абсолютна величинарізниці відстаней до двох фіксованих точок, F 1 і F 2 цієї площини, званих фокусами, є величина постійна (Фокуси F 1 і F 2 гіперболи природно вважати різними, бо якщо зазначена у визначенні гіперболи постійна не дорівнює нулю, то немає жодної точки площини при збігу F 1 і F 2 , яка б задовольняла вимоги визначення гіперболи. Якщо ж ця постійна дорівнює нулю і F 1 Зівпадає з F 2 , то будь-яка точка площини відповідає вимогам визначення гіперболи. ).

Для виведення канонічного рівняння гіперболи виберемо початок координат у середині відрізка F 1 F 2 , а осі Охі Оунаправимо так, як зазначено на рис. 1.2. Нехай довжина відрізка F 1 F 2 дорівнює 2с. Тоді у вибраній системі координат точки F 1 і F 2 відповідно мають координати (-с, 0) та (с, 0) Позначимо через 2 апостійну, про яку йдеться у визначенні гіперболи. Очевидно, 2a< 2с, т. е. a < с. Ми повинні переконатися, що рівняння (1.9), отримане шляхом алгебраїчних перетвореньрівняння (1.8), не набуло нового коріння. Для цього достатньо довести, що для кожної точки М,координати хі уякої задовольняють рівняння (1.9), величини r 1 і r 2 задовольняють співвідношення (1.7). Проводячи міркування, аналогічні тим, які були зроблені при виведенні формул (1.6), знайдемо для цікавих величин r 1 і r 2 наступні вирази:

Таким чином, для цієї точки Ммаємо

Рівняння (1.9) називається канонічним рівнянням гіперболиВеличини аі bназиваються відповідно дійсною та уявною півосями гіперболи

Параболою називається безліч точок площини, для яких відстань до деякої фіксованої точки F цій площині дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої, також розташованої в площині, що розглядається.

Встановимо на площині прямокутну системукоординат та розглянемо загальне рівняння другого ступеня

в котрому
.

Безліч усіх точок площини, координати яких задовольняють рівняння (8.4.1), називається кривий (лінією) другого порядку.

Для будь-якої кривої другого порядку існує прямокутна система координат, звана канонічної, в якій рівняння цієї кривої має один із таких видів:

1)
(Еліпс);

2)
(Уявний еліпс);

3)
(пара уявних прямих, що перетинаються);

4)
(Гіперболу);

5)
(пара прямих, що перетинаються);

6)
(парабола);

7)
(пара паралельних прямих);

8)
(пара уявних паралельних прямих);

9)
(Пара збігаються прямих).

Рівняння 1)–9) називаються канонічними рівняннями кривих другого порядку

Розв'язання задачі приведення рівняння кривої другого порядку до канонічного виду включає знаходження канонічного рівняння кривої та канонічної системи координат. Приведення до канонічного вигляду дозволяє обчислити параметри кривої та визначити її розташування щодо вихідної системи координат. Перехід від вихідної прямокутної системи координат
до канонічної
здійснюється шляхом повороту осей вихідної системи координат навколо точки Прона деякий кут  та подальшого паралельного перенесення системи координат.

Інваріантами кривої другого порядку(8.4.1) називаються такі функції від коефіцієнтів її рівняння, значення яких не змінюються під час переходу від однієї прямокутної системи координат до іншої такої самої системи.

Для кривої другого порядку (8.4.1) сума коефіцієнтів за квадратів координат

,

визначник, складений із коефіцієнтів при старших членах

та визначник третього порядку

є інваріантами.

Значення інваріантів s, ,  можна використовувати для визначення типу та складання канонічного рівняння кривої другого порядку (табл. 8.1).

Таблиця 8.1

Класифікація кривих другого порядку, що ґрунтується на інваріантах

Розглянемо докладніше еліпс, гіперболу та параболу.

Еліпсом(рис. 8.1) називається геометричне місце точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок
цієї площини, званих фокусами еліпса, є постійна величина (більша, ніж відстань між фокусами). При цьому не виключається збіг фокусів еліпса. Якщо фокуси збігаються, то еліпс є коло.

Напівсуму відстаней від точки еліпса до його фокусів позначають через а, половину відстаней між фокусами – з. Якщо прямокутна система координат на площині вибрана так, що фокуси еліпса розміщуються на осі Проxсиметрично щодо початку координат, то в цій системі координат еліпс задається рівнянням

, (8.4.2)

званим канонічним рівнянням еліпса, де
.

Мал. 8.1

При вказаному виборі прямокутної системи координат еліпс симетричний щодо осей координат та початку координат. Осі симетрії еліпса називають його осями, а центр його симетрії – центром еліпса. Водночас часто осями еліпса називають числа 2 aі 2 b, а числа aі b – великийі малою піввіссювідповідно.

Крапки перетину еліпса з його осями називаються вершинами еліпса. Вершини еліпса мають координати ( а, 0), (–а, 0), (0, b), (0, –b).

Ексцентриситетом еліпсаназивається число

. (8.4.3)

Оскільки 0  c < a, ексцентриситет еліпса 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Звідси видно, що ексцентриситет характеризує форму еліпса: чим ближче до нуля, тим більше еліпс схожий на коло; у разі збільшення  еліпс стає більш витягнутим.

Нехай
- Довільна точка еліпса,
і
- Відстань від точки Мдо фокусів F 1 та F 2 відповідно. Числа r 1 та r 2 називаються фокальними радіусами точки М еліпсата обчислюються за формулами

Директрисамивідмінного від кола еліпсаз канонічним рівнянням (8.4.2) називаються дві прямі

.

Директриси еліпса розташовані поза еліпсом (рис. 8.1).

Відношення фокального радіусу крапкиMеліпса до відстані  цього еліпса (фокус і директорка вважаються відповідними, якщо вони розташовані по одну сторону від центру еліпса).

Гіперболою(рис. 8.2) називається геометричне місце точок площини, для яких модуль різниці відстаней до двох фіксованих точок і цієї площини, званих фокусами гіперболиє величина постійна (не дорівнює нулю і менша, ніж відстань між фокусами).

Нехай відстань між фокусами дорівнює 2 з, а вказаний модуль різниці відстаней дорівнює 2 а. Виберемо прямокутну систему координат так само, як і для еліпса. У цій системі координат гіпербола задається рівнянням

, (8.4.4)

званим канонічним рівнянням гіперболи, де
.

Мал. 8.2

При цьому виборі прямокутної системи координат осі координат є осями симетрії гіперболи, а початок координат її центром симетрії. Осі симетрії гіперболи називають її осями, а центр симетрії – центром гіперболи. Прямокутник зі сторонами 2 aі 2 bрозташований, як показано на рис. 8.2, називається основним прямокутником гіперболи. Числа 2 aі 2 b- Осі гіперболи, а числа aі b– її півосі. Прямі, що є продовженням діагоналей основного прямокутника, утворюють асимптоти гіперболи

.

Точки перетину гіперболи з віссю Oxназиваються вершинами гіперболи. Вершини гіперболи мають координати ( а, 0), (–а, 0).

Ексцентриситетом гіперболиназивається число

. (8.4.5)

Оскільки з > a, ексцентриситет гіперболи  > 1. Перепишемо рівність (8.4.5) у вигляді

.

Звідси видно, що ексцентриситет характеризує форму основного прямокутника і, отже, форму самої гіперболи: чим менше , більше витягується основний прямокутник, а за ним і сама гіпербола вздовж осі Ox.

Нехай
- Довільна точка гіперболи,
і
- Відстань від точки Мдо фокусів F 1 та F 2 відповідно. Числа r 1 та r 2 називаються фокальними радіусами точки М гіперболита обчислюються за формулами

Директрисами гіперболиз канонічним рівнянням (8.4.4) називаються дві прямі

.

Директриси гіперболи перетинають основний прямокутник і проходять між центром та відповідною вершиною гіперболи (рис. 8.2).

Про ставлення фокального радіусу крапкиM гіперболи до відстані від цієї точки до фокусу, що відповідає директриси і ексцентриситету цієї гіперболи (фокус та директриса вважаються відповідними, якщо вони розташовані по одну сторону від центру гіперболи).

Параболою(рис. 8.3) називається геометричне місце точок площини, для яких відстань до деякої фіксованої точки F (фокус параболи) цієї площини дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої ( директриси параболи), також розташованої в площині, що розглядається.

Виберемо початок Пропрямокутної системи координат у середині відрізка [ FD], що є перпендикуляром, опущеним з фокусу Fна директрису (передбачається, що фокус не належить директрисі), а осі Oxі Ойнаправимо так, як показано на рис. 8.3. Нехай довжина відрізка [ FD] дорівнює p. Тоді у вибраній системі координат
і канонічне рівняння параболимає вигляд

. (8.4.6)

Величина pназивається параметром параболи.

Парабола має вісь симетрії, яка називається віссю параболи. Точка перетину параболи з її віссю називається вершиною параболи. Якщо парабола задана своїм канонічним рівнянням (8.4.6), віссю параболи є вісь Ox. Очевидно, вершиною параболи є початок координат.

приклад 1.Крапка А= (2, -1) належить еліпсу, точка F= (1, 0) є його фокусом, що відповідає Fдиректриса задана рівнянням
. Складіть рівняння цього еліпса.

Рішення.Вважатимемо систему координат прямокутною. Тоді відстань від крапки Адо директорки
відповідно до співвідношення (8.1.8), в якому


, одно

.

Відстань від крапки Адо фокусу Fодно

,

що дозволяє визначити ексцентриситет еліпса

.

Нехай M = (x, y) – довільна точка еліпса. Тоді відстань
від крапки Мдо директорки
за формулою (8.1.8) одно

а відстань від крапки Мдо фокусу Fодно

.

Оскільки для будь-якої точки еліпса відношення є величина постійна, рівна ексцентриситету еліпса, звідси маємо

,

приклад 2.Крива задана рівнянням

у прямокутній системі координат. Знайдіть канонічну систему координат та канонічне рівняння цієї кривої. Визначте тип кривої.

Рішення.Квадратична форма
має матрицю

.

Її характеристичний багаточлен

має коріння  1 = 4 та  2 = 9. Отже, в ортонормованому базисі з власних векторівматриці АРозглянута квадратична форма має канонічний вигляд

.

Перейдемо до побудови матриці ортогонального перетворення змінних, що приводить квадратичну форму до зазначеного канонічного виду. Для цього будуватимемо фундаментальні системирозв'язків однорідних систем рівнянь
та ортонормувати їх.

При
ця система має вигляд

Її спільним рішенням є
. Тут одна вільна змінна. Тому фундаментальна система рішень складається з одного вектора, наприклад, вектора
. Нормуючи його, отримаємо вектор

.

При
також побудуємо вектор

.

Вектори і вже ортогональні, тому що відносяться до різних власних значень симетричної матриці А. Вони становлять канонічний ортонормований базис даної квадратичної форми. Зі стовпців їх координат будується шукана ортогональна матриця (матриця повороту)

.

Перевіримо правильність знаходження матриці Рза формулою
, де
– матриця квадратичної форми у базисі
:

Матриця Рзнайдено правильно.

Виконаємо перетворення змінних

і запишемо рівняння даної кривої в новій прямокутній системі координат зі старим центром та напрямними векторами
:

де
.

Отримали канонічне рівняння еліпса

.

З огляду на те, що результуюче перетворення прямокутних координат визначається формулами

,

,

канонічна система координат
має початок
та напрямні вектори
.

приклад 3.Застосовуючи теорію інваріантів, визначте тип та складіть канонічне рівняння кривої

Рішення.Оскільки

,

відповідно до табл. 8.1 укладаємо, що це – гіпербола.

Оскільки s = 0, характеристичний багаточлен матриці квадратичної форми

Його коріння
і
дозволяють записати канонічне рівняння кривої

де Ззнаходиться з умови

,

.

Шукане канонічне рівняння кривої

.

У задачах цього параграфа координатиx, yпередбачаються прямокутними.

8.4.1. Для еліпсів
і
знайдіть:

а) півосі;

б) фокуси;

в) ексцентриситет;

г) рівняння директрис.

8.4.2. Складіть рівняння еліпса, знаючи його фокус
, відповідну директрису x= 8 та ексцентриситет . Знайдіть другий фокус і другу директорію еліпса.

8.4.3. Складіть рівняння еліпса, фокуси якого мають координати (1, 0) та (0, 1), а велика вісь дорівнює двом.

8.4.4. Дана гіпербола
. Знайдіть:

а) півосі aі b;

б) фокуси;

в) ексцентриситет;

г) рівняння асимптот;

д) рівняння директрис.

8.4.5. Дана гіпербола
. Знайдіть:

а) півосі аі b;

б) фокуси;

в) ексцентриситет;

г) рівняння асимптот;

д) рівняння директрис.

8.4.6. Крапка
належить гіперболі, фокус якої
, а відповідна директриса задана рівнянням
. Складіть рівняння цієї гіперболи.

8.4.7. Складіть рівняння параболи, якщо дано її фокус
та директорка
.

8.4.8. Дані вершина параболи
та рівняння директриси
. Складіть рівняння цієї параболи.

8.4.9. Складіть рівняння параболи, фокус якої знаходиться у точці

та директорка задана рівнянням
.

8.4.10. Складіть рівняння кривої другого порядку, знаючи її ексцентриситет
, фокус
та відповідну директрису
.

8.4.11. Визначте тип кривої другого порядку, складіть її канонічне рівняння та знайдіть канонічну систему координат:

г)
;

8.4.12.

є еліпсом. Знайдіть довжини півосей та ексцентриситет цього еліпса, координати центру та фокусів, складіть рівняння осей та директрис.

8.4.13. Доведіть, що крива другого порядку, задана рівнянням

є гіперболою. Знайдіть довжини півосей та ексцентриситет цієї гіперболи, координати центру та фокусів, складіть рівняння осей, директрис та асимптот.

8.4.14. Доведіть, що крива другого порядку, задана рівнянням

,

є параболою. Знайдіть параметр цієї параболи, координати вершин та фокусу, складіть рівняння осі та директриси.

8.4.15. Кожне з таких рівнянь приведіть до канонічного вигляду. Зобразіть на кресленні відповідну криву другого порядку щодо вихідної прямокутної системи координат:

8.4.16. Використовуючи теорію інваріантів, визначте тип і складіть канонічний рівняння кривої.