Чому дорівнює значення дисперсії числа 5. Математичне очікування дискретної випадкової величини

Це різниця математичного очікування квадрата випадкової величиниі квадрат її мат очікування.

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

Дисперсія характеризує ступінь розсіювання значення випадкової величини щодо її мат очікування. Якщо всі значення тісно сконцентровані біля її мат очікування і більше відхилення від мат ожид, то така випадкова величина має малу дисперсію, а якщо розсіяні і велика ймовірність великих відхилень від М, випадок величина має велику дисперсію.

Властивості:

1. Дисперсія постійно дорівнює 0 D (C) = 0

2.Дисперсія твору випадок величини на постійну С дорівнює десперсії випадок велич Х на квадрат постійної D(CX)=C^2D(X)

3. Якщо випадок велич X і Y незалежні, дисперсія їх суми (різниці) дорівнює сумі дисперсій

D(X Y) = D(X)+D(Y)

4.Дисперсія випадок велич не зміниться якщо до неї додати постійну

Теорема:

Дисперсія числа поява соб А в n незалежних випробуванняху кожному з яких ймовірність появи соб постійна і дорівнює p, дорівнює добутку числа випробування на ймовірність появи та ймовірності непояви соб в одному випробуванні

Середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратом відхиленням випадкової величини Х називається арифметичний коріньз дисперсія

Безперервні випадкові величини. Функція розподілу ймовірностей та її властивості.

Випадкова величина, значення якої заповнює певний проміжок, називається безперервний.

Проміжки можуть бути кінцевими, напівнескінченними або нескінченними.

Функція розподіл св.

Способи завдання ДСВ не застосовуються для безперервної. У зв'язку з цим вводиться поняття функції розподілу ймовірностей.

Функція розподілу називають функцію F(x) визначальну для кожного значення х ймовірність того, що випадок велич Х прийме значення менше х тобто

Функція розподілу ДСВ, що приймають значення (x1, x2, x3) з ймовірністю (p1, p2, p3), визначається

Так, наприклад, функція розподілу біномного розподілувизначається формулою:

Випадкову величину називають безперервною, якщо її функція розподілу є безперервна, частково диференційована функція з безперервною похідною.

Властивості:

1. значення функції належить

2. функція розподілу є незменшуюча функція F(x2)

3.Ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення укладеного в інтервалі (α,β) дорівнює збільшенню функції розподілу на цьому інтервалі P(α

Слідство. Імовірність того, що випадок велич прийме одне значення дорівнює 0.

4.Якщо всі можливі значення випадків велич Х належить (a,b) то F(x)=0 при x a і F(x)=1 при x b

5.Вірогідність того, що випадок велич Х прийме значення більше ніж x дорівнює різниці між одиницею та функцією розподілу

Урок передачі-засвоєння нових знань, умінь та навичок.

Тема: Дисперсія. Її властивості.

Цілі уроку:

• Пізнавальна: 1) передача учням певної системи математичних знань, умінь, навичок; 2) вироблення в учнів уміння
  вирішувати основні типи завдань теорії ймовірності та застосовувати теорію у конкретних різних ситуаціях; 3) формування уявлень про ідеї та методи вищої математики; 4) формування в учнів на матеріалі навчального предмета вищої математики методів навчально-пізнавальної діяльності.
• Розвиваюча: 1) розвиток мислення; 2) розвиток пам'яті; 3) розвиток елементів творчої діяльності як якостей мислення; 4) розвиток мови, що полягає в оволодінні математичною термінологією, а також прийомами побудови визначень, понять та оперування ними.
• Виховує: 1) виховати в учнів любов до обраної професії та даного предмета.

Завдання: полягає у визначенні властивостей дисперсії випадкової величини та у виведенні формули для її розрахунку.

Хід уроку.

1. Організаційний момент.
2. Повторення старого та вивчення нового матеріалу.
3. Закріплення нового матеріалу.
4. Домашнє завдання.

1. Перевірка присутніх учнів під час уроку.

2. Математика – королева всіх наук!
Без неї не летять кораблі,
Без неї не поділиш ні акра землі,
Навіть хліба не купиш, рубля не вважаєш,
Що по не впізнаєш, а дізнавшись не зрозумієш!

Вчитель: “Отже, математичне очікуванняв повному обсязі характеризує випадкову величину”

Учень 1: "О як же так виходить я зовсім дрібниця".

Учень 2: "Так, ти право, правду говориш".

Учень 1: “Але хто раптом замінить мене, адже моя формула, то всім потрібна”.

Учень 2: "Так, ти спочатку про себе все згадай".

Учень 1: “Без проблем, ці формули, вони відомі всім. І якщо безліч значень нескінченне, то очікування знаходиться як ряд, точніше його сума:

А якщо величина раптом безперервна, то розглянути маємо право ми граничний випадок, і ось в результаті що отримаємо:

Учень 2: “Але це все смішно, адже очікування не існує. Немає його!".

Учень 1: "Ні, очікування існує, коли є абсолютно схожим і інтеграл і сума".

Учень 2: “І все ж я тверджу одне, нам очікування не потрібне”.

Учень 1: “А як же так? Та це просто”.

Вчитель: “Стоп, стоп, закінчимо суперечку. Візьміть ручку та зошит, і в дорогу ми будемо з вами суперечку вирішувати. Але перш ніж почати, давайте згадаємо лише одне, чому відхилення від математичного очікування одно”.

Учень 3: “О, я можу згадати”.

Вчитель: "Будь ласка, ось крейда, дошка".

Учень 4: “Різниця X – М(Х) називається відхиленням випадкової величини X від її математичного очікування М(Х). Відхилення є випадковою величиною. Так як математичне очікування випадкової величини -величина постійна і математичне очікування постійної дорівнює цій

постійної, то М(Х – М(Х)) = М(Х) – М(М(Х)) = М(Х) – М(Х) = 0. т, е, М(Х – М(Х)) ) = 0.”.

Вчитель: “Так, все правильно, але друзі за міру розсіювання відхилення випадкової величини від її математичного це не можна прийняти. І з цього піде, що розглядають модулі чи квадрати відхилень. А ось тепер послухайте визначення: X випадкової величини – дисперсія чи розсіювання – це математичне очікування квадрата її відхилення. Позначається як D(X), а формула має вигляд: D(X) = М((Х – М(Х)) 2). (1) Тепер давайте, визначимо, який знак величині привласним ми?”.

Учень 5: “З властивостей та визначення математичного очікування можемо отримати, лише одне, що величина дисперсія неотрицательна D(X) > 0” (2).

Вчитель: “З огляду на рівність один отримаємо формулу для знаходження дисперсії: D(X) = М(Х 2) – (М(Х)) 2 . Яку може хто-небудь доведе”.

Учень 6: “Я спробую. D(X)=M((X – М(Х)) 2) = М(Х 2 - 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(ХМ(Х)+ М((М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(Х)М(Х)+(М(Х)) 2 =М(Х 2) – (М(Х)) 2”. 3)

Вчитель: “Розглянемо властивості випадкової величини:

1. Дисперсія С – як постійної величинидорівнює нулю: D(C) - 0 (З - const). (4)

2. Постійний множникможна винести за знак дисперсії, звівши його до квадрата: D(CX)=C 2 D(X). (5)

3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6)

4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7)

Доведемо ці властивості з огляду на властивості очікування:

D(C) = М((С – М(С)) 2) = М((С – С 2)) = М(0) = 0. Перше властивість доведено воно означає, що постійна величина не має розсіювання так як приймає одне й теж значення.

А тепер доведемо другу властивість: D(CX) – М((СХ – М(СХ)) 2) = М((СХ)

СМ(Х)) 2) = М(З 2 (Х - М(Х)) 2) = З 2 М((Х - М(Х)) 2) = C 2 D(X).

Для доказу третьої властивості використовуємо формулу три:

D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2) = M(X 2) +2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y) – (M(Y)) 2 = M(X 2) - (M( X)) 2 +M(Y 2) – (M(Y)) 2 = D(X) – D(Y).

Третя властивість поширюється на будь-яке число попарно-незалежних випадкових величин.

Доказ четвертої властивості випливає з формул (5) та (6).

D(X – Y) = D(X+(-Y)) – D(X) +D(–Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D( Y).

Якщо випадкова величина X є дискретною і заданий її закон розподілу Р(Х=х k) = p k (k= 1,2,3,n).

Таким чином, випадкова величина (X - М(Х)) 2 має наступний закон розподілу: (к=1,2,3,n), =l.

Виходячи з визначення математичного очікування, отримуємо формулу

Дисперсія безперервної випадкової величини X, всі можливі значення корою належать відрізку [а,Ь], визначається формулою:

D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx (8)

де р(х) – густина розподілу цієї величини. Дисперсію можна обчислювати за такою формулою:

Для учнів, які мають оцінку “4” та “5”, необхідно вдома довести формулу (9).

3. Закріплення нового матеріалу як тестової роботи.

1) Тестова робота на тему “Дисперсія та її властивості”.

1. Продовжити визначення: дисперсія – це.

2. Виберіть правильну формулу для розрахунку дисперсії:

а) D (X) = D (X) 2 - (D (X)) 2;
б) D (X) = M (X - D (X 2));
в) D (X) = M ((X-M (X)) 2);
г) D (X) = M (X) 2 - (M (X)) 2;

1. 
   Нехай подія А = (1,2,3), а подія В = (1,2,3,4,5,6). Вкажіть правильний вислів.
2. 
   Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 5. Чому дорівнює значення дисперсії D (-2X)
3. 
   Під час обстеження окремого регіону фірмою, що надає інтернет-послуг, виявлено, що (в середньому) з кожних 100 сімей, 80 мають комп'ютер, підключений до Інтернету. Оцінити ймовірність того, що з 400 сімей цього мікрорайону, від 300 до 360 сімей мають комп'ютер, підключений до інтернету.
4. 
   Розглядаються дві випадкові величини X і Y. Їх математичне очікування та дисперсія відповідно дорівнюють: М (X) = 3; D(X) = 2; M (Y) = 2; D(Y) =1. Вкажіть правильні співвідношення.

Яка з таких формул використовується для обчислення числа розміщення?

5. 
   Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n та P. Вкажіть за якою формулою обчислюється дисперсія D(X).
6. 
   Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n і P. За якою формулою обчислюється математичне очікування M (X)

Кинуті дві гральні кістки. Яка з таких сукупностей отриманого числа утворює повну групу подій?

Монета кидається 2 рази, яка ймовірність випадання поспіль двох гербів?

7. 
   На малюнку представлені графіки нормальних розподілів N1, N2, N3. Розташуйте ці розподіли у порядку зростання їхнього математичного очікування.
8. 
   На малюнку представлені графіки нормальних розподілів N1, N2, N3. Розташуйте ці розподіли у порядку зростання їх дисперсії.
9. 
   Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини Х, заданої наступним законом розподілу

Чи відрізняються поняття «перестановки із трьох елементів» та «розміщення із трьох елементів по три»?

10. 
    
11. 
    Встановити послідовність відповідей
12. 
    Математичне очікування та дисперсія випадкової величини X, відповідно, рівні М (Х) = 3; D(X) =2. Розташуйте такі вирази у порядку зростання їх значень.
13. 
    Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 5. Чому дорівнює значення дисперсії D (X-1)
14. 
    Чому дорівнює математичне очікування M (X-Y) різниці двох випадкових величин X і Y, а якщо відомі значення математичних очікувань кожної з них: M (X) = 3; M(Y) = 4?
15. 
    Вкажіть назви ймовірностей, що входять до формули Байєса.
16. 
    Нехай подія А = (1,2.3.4,5), а подія В = (5,4,3,2,1). Вкажіть правильний вислів.
17. 
    
18. 
    Що означає записані нижче формули.
19. 
    Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 5. Чому дорівнює значення дисперсії D (3X+6)

Математичне очікування випадкової величини Х дорівнює 5: M(X) =5. Чому дорівнює значення математичного очікування М (Х-1)?

Математичне очікування випадкової величини Х дорівнює 5: M(X) =5. Чому дорівнює значення математичного очікування М (-2Х)?

20. 
    У серії з n незалежних випробувань, що проводяться за схемою Бернуллі, спостерігається настання події А. Що означають наведені нижче компоненти формули Бернуллі? Pm,n=Cmnpmqn-m, де q=1-p. Що означають у цій формулі: 1) Pm,n 2) Cmn 3) p
21. 
    Нехай А -випадкова подія, ймовірність якого відмінна від нуля і 1; ? -Достовірне і O - неможлива подія. Події B, C та D визначені як: B=A+A; C = A +?; D=A* O

Чому дорівнює значення середнього квадратичного відхилення числа 4?

Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) =5. Чому дорівнює значення дисперсії D (-2X)?

Математичне очікування випадкової величини Х дорівнює 5: M(X) =5. Чому дорівнює значення математичного очікування М (3Х+6)?

Концепція факторіалу. Який із наступних виразів неправильний?

Порівняйте два числа та вкажіть правильну відповідь. Порівняйте два числа. Яка з них більша? Яке із чисел більше 10! чи 1010?

22. 
    Порівняйте два числа та вкажіть правильну відповідь.
23. 
    Охарактеризуйте подію: 2х2 = 5

Чому дорівнює сума протилежних подій?

Чому дорівнює твір протилежних подій?

Кинуті дві гральні кістки. Яка з таких сукупностей отриманого числа очок утворює повну групу подій?

24. 
    Події утворюють повну групу якщо вони:

Чому дорівнює сума випадкових подій, що утворюють повну групу?

25. 
    Нехай подія А = 1, 2, 3, а подія B = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вкажіть вірний вислів.
26. 
    Нехай подія А = 1,2,3,4,5, а подія B = 5,4,3,2,1. Вкажіть правильний вислів.

Скільки елементів містить багато елементарних подій, що описують результат кидання грального кубика?

Яка з таких формул використовується для обчислення числа розміщень?

27. 
    Розміщення та перестановки. Нехай P – число можливих перестановок із n елементів, і А- число розміщень із n елементів по m (n>m). Яким є співвідношення між величинами P і А? Вкажіть правильну відповідь:

Чи розрізняються поняття "перестановки з трьох елементів" та "розміщення з трьох елементів по три"?

28. 
    Властивості поєднань. Нехай C – число поєднань з n елементів m

Монета кидається двічі. Яка ймовірність випадання поспіль двох гербів?

Монета кидається тричі. Яка ймовірність випадання поспіль трьох гербів?

29. 
    Нехай А та В – випадкові події. Порівняйте величини P(A+B) та Р(А)+Р(В) та вкажіть правильну відповідь.

Чому дорівнює ймовірність суми протилежних подій?

Чому дорівнює можливість твору протилежних подій?

Нехай А – випадкова подія, ймовірність якої – Р(А) = 0,3. Чому дорівнює ймовірність події Р(А+А)?

Нехай А – випадкова подія, ймовірність якої – Р(А) = 0,3. Чому дорівнює ймовірність добутку подій Р (А * А)?

30. 
    Імовірність твору достовірного та випадкового подій. Нехай
31. 
    Імовірність суми неможливого та випадкового подій. Нехай
32. 
    Імовірність твору неможливого та випадкового подій. Нехай

Чому дорівнює ймовірність Р суми подій, що утворюють повну групу?

33. 
    Імовірність суми достовірного та випадкового подій. Нехай
34. 
    Формула Бернуллі. Формула Бернуллі має вигляд:

Які причини використання асимптотичних наближень формули Бернуллі?

35. 
    Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n та P. Вкажіть, за якою формулою обчислюється дисперсія D(X):
36. 
    Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n та P. Вкажіть, за якою формулою обчислюється математичне очікування M(X):

Що означає у цій формулі P?

37. 
    Законом рідкісних явищ називають:

Що означає у цій формулі P?

38. 
    Вкажіть властивість функції Гауса. (див. нижче):
39. 
    Зазначте критерій використання інтегральної теореми (формули) Муавра-Лапласа. Інтегральна формула Муавра-Лапласа має вигляд:
40. 
    Властивості функції Лапласа (див. нижче):

Яка характеристика випадкової величини має сенс середнього значення?

41. 
    Чому дорівнює математичне очікування M (X + Y) суми двох випадкових величин X і Y, якщо відомі значення математичних очікувань кожної з них: M (X) = 3 і M (Y) = 4?
42. 
    Чому дорівнює математичне очікування M (X-Y) різниці двох випадкових величин X і Y, якщо відомі значення математичних очікувань кожної з них: M (X) = 3 і M (Y) = 4?

Математичне очікування випадкової величини X дорівнює 5: М(X) = 5. Чому дорівнює значення математичного очікування М(X-1)?

Математичне очікування випадкової величини X дорівнює 5: М(X) = 5. Чому дорівнює значення математичного очікування М(-2X)?

Математичне очікування випадкової величини X дорівнює 5: М(X) = 5. Чому дорівнює значення математичного очікування М(3X+6)?

Яка характеристика випадкової величини визначає міру її розсіювання?

43. 
    Чому дорівнює дисперсія суми D (X+Y) двох незалежних випадкових величин X та Y, якщо відомі значення дисперсій кожної з них: D(X) =3 та D(Y) =4?

Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) = 5. Чому дорівнює значення дисперсії D(X-1)?

Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) = 5. Чому дорівнює значення дисперсії D(-2X)?

Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) = 5. Чому дорівнює значення дисперсії D(3X+6)?

Чому дорівнює значення дисперсії числа 5: D(5) = ?

44. 
    Середнє квадратичне відхиленняодно:
45. 
    Охарактеризуйте безліч значень дискретної випадкової величини (вкажіть найповнішу відповідь):
46. 
    Завдання: Випадкова величина X приймає три можливі значення x=2; x=5; x = 8. Відомі ймовірності перших двох можливих значень: p=0,4 та p=0,15. Знайти ймовірність значення x; p=?
47. 
    Безліч значень безперервної випадкової величини є:

Яке значення безперервної випадкової величини Х визначає її медіана Ме (Х)?

48. 
    Мода Mo (X) випадкової величини Х характеризує (вкажіть правильну відповідь):

Функція розподілу. Імовірність якої події визначає функція розподілу F(X) випадкової величини X?

49. 
    Найменше значення функції розподілу. Безперервна випадкова величина X визначена по всій числовій осі. Чому дорівнює граничне значення її функції розподілу F(x) при x->
50. 
    Найбільше значення функції розподілу. Безперервна випадкова величина X визначена по всій числовій осі. Чому дорівнює граничне значення її функції розподілу F(x) за x->-? (вкажіть правильну відповідь серед нижчеперелічених) ?

Якою з наведених нижче властивостей має функція розподілу випадкової величини?

51. 
    Які значення може набувати біноміально розподілена випадкова величина Х? P (X = m) = Cpq, де: 0
52. 
    Чому дорівнює математичне очікування M (X) випадкової величини Х, розподіленої за біноміальним законом: P (X = m) = Cpq, де: 0
53. 
    Чому дорівнює дисперсія D(X) випадкової величини Х, розподіленої за біноміальним законом: P(X=m) = Cpq, де: 0

Які значення може набувати випадкова величина Х, яка описується законом розподілу Пуассона?

54. 
    Математичне очікування випадкової величини X, що має Пуассонівський закон розподілу, дорівнює 4: M(X) = 4. Чому дорівнює дисперсія D(X) цієї випадкової величини?
55. 
    Геометричне розподілення дискретної випадкової величини. Відповідно до розподілу: випадкова дискретна величина X, має геометричний розподіл з параметром p, приймає нескінченне (але лічильне) безліч значень 1,2, …, m, … з ймовірностями: P (X=m) = pq, де 0
56. 
    Рівномірний розподіл. Охарактеризуйте щільність ймовірності випадкової величини, рівномірно розподіленої на відрізку:
57. 
    Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у довільний момент часу. Яка ймовірність - на те, що чекати пасажиру доведеться не більше півхвилини?
58. 
    Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у довільний момент часу. Визначити математичне очікування M (X) випадкової величини X – часу очікування поїзда.
59. 
    Безперервна випадкова величина X має рівномірний законрозподілу на відрізку. Чому дорівнює її математичне очікування M(X)?
60. 
    Змістове значенняпараметра "a" нормального законурозподілу випадкової величини (див. нижче) це:
61. 
    Значення значення параметра "сигма квадрат" нормального розподілу(Закон Гауса).
62. 
    Вплив математичного очікування (параметра "a") на графік густоти ймовірності нормального закону (закону Гауса) розподілу випадкової величини (див. нижче) характеризується:
63. 
    Порівняння математичних очікувань. M (X) та М (Х) нормально розподілених випадкових величин Х та Х (див. малюнок нижче).
64. 
    Зменшення дисперсії (параметра "сигма квадрат") нормального закону (закону Гауса) розподілу випадкової величини (див. нижче) призводить до наступної зміни графіка кривої розподілу:
65. 
    Порівняння дисперсій D(X) та D(X) нормально розподілених випадкових величин X та X (див. малюнок нижче).
66. 
    Стандартним (нормованим) законом розподілу N (0; 1) називається:
67. 
    Правило трьох сигм.
68. 
    Значення закону великих чисел.
69. 
    Значення невласного інтеграла від густини ймовірності. Невласний інтегралв нескінченних межахвід щільності ймовірності безперервної випадкової величини дорівнює:

Чого прагне частота події, що спостерігається, при необмеженому збільшенні числа випробувань у схемі Бернуллі?

70. 
    З генеральної сукупностівідібрано десять елементів за принципом: брався кожен восьмий по порядку елемент генеральної сукупності. Як називається такий спосіб відбору?

Як називається варіанта, що характеризує найбільшу частоту у вибірці?

Рівень значущості під час перевірки статистичної гіпотезизаданий у 10%. Яка можливість помилки першого роду?

Яка з таких числових характеристик вибірки є зміщеною оцінкою?

До яких сполук належить властивість симетрії?

71. 
    Вкажіть, яке з наведених нижче властивостей числових характеристик випадкової величини записано неправильно (припускаючи, що X і Y - незалежні випадкові величини)?

Чому дорівнює значення математичного очікування числа 5: M(5) = ?

72. 
    Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X, заданої наступним закономрозподілу:
73. 
    Чому дорівнює дисперсія різниці D(X-Y) двох незалежних випадкових величин X та Y, якщо відомі значення дисперсій кожної з них: D(X) =3 та D(Y) =4?
74. 
    Розподіл Пуассон. Математичне очікування. Чому дорівнює математичне очікування M (X) випадкової величини X
75. 
    розподіленої згідно із законом Пуассона:
76. 
    Розподіл Пуассон. Дисперсія. Чому дорівнює D(X) випадкової величини X розподіленої за законом Пуассона:
77. 
    Вкажіть, яка сенсова інтерпретація такої випадкової величини Х:
78. 
    Знайти моду для генеральної сукупності заданої варіаційним рядом:
79. 
    Знайти генеральну середню генеральну сукупність, задану наступним варіаційним рядом:
80. 
    Знайти медіану для генеральної сукупності заданої варіаційним рядом:
81. 
    Визначити середню вибіркову для наступної вибірки:
82. 
    Знайти вибіркову середню наступну вибірку з генеральної сукупності:

Дисперсієювипадкової величини називають математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від свого математичного очікування (якщо останнє існує):

D(x) = M((x-M(x)) 2).

Для дискретної випадкової величини:

Якщо дискретна випадкова величина може приймати нескінченне числозначень, сума у ​​правій частині буде рядом.

Навіщо підраховують дисперсію? Математичне очікування саме собою дає нам вірного ставлення до характері досліджуваного явища, у тому, як може змінюватися випадкова величина. Ми дізнаємося тільки її середнє значення при великому числіекспериментів, але можемо судити у тому, який у середньому розкид її значень навколо цього числа. Судити звідси дозволяє дисперсія. Відхилення при її обчисленні беруться у квадраті, тому що в іншому випадку відхилення в різні сторони(Значення більше і менше середнього) компенсували б один одного. Вибір для позбавлення знака саме зведення в квадрат, а не будь-якої іншої дії (наприклад, взяття по модулю) пояснюється тим, що на цьому факті ґрунтується доказ деяких важливих властивостейдисперсії, що вивчаються математичною статистикою.

Наведений вираз для дисперсії є незручним при проведенні практичних обчислень, тому виведемо інше.

Наведемо без доказу деякі властивості дисперсії:

1) Дисперсія невід'ємна (за визначенням):

2) Дисперсія постійної дорівнює нулю:

с – const D(c) = 0

Наприклад, якщо працівник отримує постійну зарплату х = 30 (тис. руб.), То її дисперсія дорівнюватиме нулю (справді, характеристика розсіювання нульова).

3) Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:

с – const D(cx) = c 2 D(x)

Наприклад, нехай дисперсія заробітної плати працівника дорівнює 4 (х - заробітна плата, D (х) = 4). Інший працівник завжди одержує на 20% більше, ніж перший, тобто. заробітна плата другого працівника дорівнює 1,2 * х. Тоді дисперсія заробітної плати другого працівника дорівнює D(1,2*х) =
= 1,2 2 * D (х) = 1,44 * 4 = 5,76.

4) Для незалежних випадкових величин дисперсія їх суми дорівнює сумі дисперсій:

D(x + y) = D(x) + D(y) (для незалежних х та y)

Наприклад, нехай дисперсія заробітної плати одного працівника дорівнює 4 (х – його заробітна плата, D(х) = 4), а іншого – 5 (y – його заробітна плата, D(y) = 5). Тоді дисперсія сумарної заробітної плати становитиме D(x +
+ y) = D(x) + D(y) = 4 + 5 = 9. Однак, виконати розрахунок таким чином можна лише у випадку, коли заробітні платицих працівників залежать друг від друга. Якщо вони залежні, користуватися формулою не можна.

Слід зазначити, що дисперсія різниці двох випадкових величин дорівнюватиме також сумі дисперсій (а не різниці). Це випливає з властивостей (3) і (4), оскільки при зведенні квадрата змножувача (-1) отримують 1.

Властивість (4) буде вірною не тільки для двох, але для будь-кого кінцевого числавипадкових величин.

5) При збільшенні (зменшенні) всіх значень випадкової величини на константу, її дисперсія не зміниться (це випливає з властивостей (2) та (4):

с – const D(x - с) = D(x)

Наприклад, якщо дисперсія середньомісячної зарплати дорівнює 4, і із зарплати щомісяця віднімають 800 руб. на оплату проїзного квитка, то дисперсія зарплати за вирахуванням оплати проїзного буде однакова 4.

Наприклад, розглянемо випадкову величину х – кількість проданих на день автомобілів. Ця величина вимірювалася протягом 100 днів, і за цей час приймала значення (0; 1; 2; 3; 4) відповідно 18, 15, 28, 15 та 24 число разів. Необхідно визначити дисперсію імовірнісного розподілу х.

Вважатимемо, що кількість експериментів – 100 – досить велика, щоб можна було розглядати відносну частоту як емпіричну оцінку ймовірності. Тому, щоб визначити ймовірності, розділимо кожну з частот на 100. ймовірнісний розподілу вигляді табл.2, приписавши до неї два рядки для допоміжних обчислень.

Таблиця 2

6,46-2,12 2 1,97.

Використовувати отриману оцінку все ж таки важко. Її не можна порівняти з математичним очікуванням, оскільки її одиниці виміру немає економічного сенсу (“автомобілі у квадраті”). Тому, щоб визначити, чи справді розкид кількості продажів навколо величини 2,12 такий великий, витягнемо корінь з дисперсії . Отриманий результат має самі одиниці виміру, як і аналізована випадкова величина (в даному випадкувін вимірюється у кількості автомобілів, тобто. у штуках).

Цю величину називають середнім квадратичним відхиленням(СКО) та позначають .

СКО = 1,4 (шт.) – багато це чи мало? Ймовірно, якби обсяг продажів становив у середньому, наприклад, 10 машин на день, то така величина характеризувала невеликий розкид. У цьому випадку
М = 2,12 (прим.). Щоб оцінити отриманий результат, необхідно підрахувати відносний показникщо дозволить порівняти СКО з математичним очікуванням.

Ставлення СКО до математичного очікування випадкової величини називають коефіцієнтом варіації: . Він є безрозмірною величиною (можна перевести його у відсотки, помноживши на 100%).

Для розглянутого прикладу коефіцієнт варіації дорівнює 1,4/2,12 =
= 0,66 чи 66%.

Розглянуті вище математичне очікування, дисперсія, СКО та коефіцієнт варіації є числові характеристики довільної величини. Крім них, існують й інші числові характеристики, які поки що розглядати не будемо.

Математичним очікуванням (середнім значенням) випадкової величини X, заданої на дискретному імовірнісному просторі, називається число m = M [X] = ∑x i p i якщо ряд сходиться абсолютно.

Призначення сервісу. За допомогою сервісу в онлайн режимі обчислюються математичне очікування, дисперсія та середньоквадратичне відхилення(Див. приклад). Крім цього, будується графік функції розподілу F(X).

Властивості математичного очікування випадкової величини

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює їй самій: M [C] = C, C - Постійна;
2. M=C M[X]
3. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: M=M[X]+M[Y]
4. Математичне очікування добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань: M = M [X] M [Y], якщо X і Y незалежні.

Властивості дисперсії

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю: D(c)=0.
2. Постійний множник можна винести з-під символу дисперсії, звівши його в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Якщо випадкові величини X та Y незалежні, то дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Якщо випадкові величини X та Y залежні: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсії справедлива обчислювальна формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Приклад. Відомі математичні очікування та дисперсії двох незалежних випадкових величин X і Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Знайти математичне очікування та дисперсію випадкове величини Z=9X-8Y+7.
Рішення. Виходячи з властивостей математичного очікування: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 .
Виходячи з властивостей дисперсії: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Алгоритм обчислення математичного очікування

1. По черзі множимо пари: x i на p i.
2. Складаємо добуток кожної пари x i p i .
   Наприклад, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Приклад №1.

Приклад №2. Дискретна випадкова величина має наступний ряд розподілу:

Рішення. Величину a знаходимо із співвідношення: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 або 0.24 = 3 a, звідки a = 0.08

Приклад №3. Визначити закон розподілу дискретної випадкової величини, якщо відома її дисперсія, причому х 1 x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = x; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Рішення.
Тут треба скласти формулу знаходження дисперсії d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
де маточіння m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших даних
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
або -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Відповідно треба знайти коріння рівняння, причому їх буде два.
x 3 = 8, x 3 = 12
Вибираємо той, який задовольняє умову х 1 x 3 = 12

Закон розподілу дискретної випадкової величини
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3