Визначення лінгвістичної змінної

Приклад: ЛП «дисципліна»

Приклад: товщина деталі

Приклад: товщина деталі

Види ЛП

Нечіткі числа

Операції над нечіткими числами

L-R нечіткі числа

L-R нечіткі числа

L-R нечіткі числа

Нечіткий висновок

Нечітке (логіко-лінгвістичне) моделювання

Логіко-лінгвістичний опис систем, нечіткі моделі

Система "Набір баскетболістів"

Схеми нечіткого висновку

Алгоритм Мамдані

Алгоритм Мамдані

Алгоритм Мамдані

Приведення до чіткості (скаляризація)

Алгоритм Ларсена

Завдання про керування кондиціонером

Алгоритм Цукамото

Алгоритм Суджено та Такажі

Алгоритм спрощеного вибору

Алгоритм спрощеного вибору

Нейрони та нейронні мережі

Нейронні мережі…

Завдання, що успішно вирішуються нейромережами

Сфери знань

Нейрокомп'ютер.

Історія нейрокомп'ютера

Деякі відомості про мозок

Біологічний нейрон

Нервовий імпульс

Мембрана

Нейроподібний елемент (НПЕ) або формальний нейрон

Принцип роботи НПЕ

Види функцій активації F

Жорстка сходинка та полога сходинка

Гіперболічний тангенс та функція Фермі

Особливі функції активації

Вибір функції активації

Обмеження моделі нейрона

Нейроподібна мережа

Особливості архітектури нейромережі

Штучні нейронні мережі

Найважливіші властивості біологічних нейромереж

Відмінності між біологічними НР та ЕОМ на архітектурі фон Неймана

Підходи до створення нейронних мереж

Методи дослідження нейроподібних мереж

Категорії моделей нейронних мереж

Види навчання нейронних мереж

Алгоритми навчання

Методи навчання МСП

Персептрон Розенблатта

Алгоритм навчання персептрона Розенблатта

Характеристики персептрону

Багатошаровий персептрон

3) будь-якої іншої точки на графіку функції, відмінної від c і x 0,5, наприклад, наближеної межі носія (x 0,01) або ядра (x 0,99) – за результатами обчислюється значення параметра b.

3.Операції над нечіткими множинами

Виділяють дві групи операцій над нечіткими множинами:

1) теоретико-множинніоперації , які є узагальнення операцій класичної теорії множин на випадок нечітких множин;

2) операції, що істотно враховують нечіткість множини-

ства, що не мають сенсу для звичайних множин.

У загальному випадку теоретико-множинні операції над нечіткими множинами визначаються так, щоб, будучи застосованими до чітких множин, вони збігалися зі звичайними, класичними теоретико-множинними операціями.

З операцій першої групи розглянемо операції доповнення

перетину, об'єднання та декартового твору , з операцій другої групи – операціюзведення у ступінь.

3.1. Доповнення

Нехай A – нечітка множина на множині X з функцією приналежності μ A. Додатком A називається нечітка множина A з функцією приналежності

Операція доповнення зазвичай використовується для представлення логічного модифікатора "НЕ".

Приклад виконання операції нечіткого доповнення наведено на рис. 3.1, з якого видно, що існують елементи області визначення, що належать як самій множині, так і його доповненню, при цьому дані елементи не належать жодній з цих множин повністю, зі ступенем належності, що дорівнює 1. Іншими словами, в нечіткій логіці не діють добре відомі з класичної логіки принцип несуперечності та закон виключеного третього, що таки обумовлено нечіткістю меж між поняттям та його запереченням.

Мал. 3.1. Приклад виконання операції нечіткого доповнення

3.2. Перетин та об'єднання

Розглянемо один із найбільш поширених підходів до визначення операцій перетину та об'єднання нечітких множин, званий іноді мінімаксним підходом.

Нехай A і B – нечіткі множини на множині X з функціями належності A і B відповідно. Тоді перетин A ∩ B і об'єднання A B цих множин є нечіткими множинами на X з функціями належності відповідно:

з використанням мінімаксного підходу показано на рис. 3.2.

Мал. 3.2. Приклади виконання операцій перетину та об'єднання нечітких множин з використанням мінімаксного підходу

Операція перетину зазвичай використовується уявлення логічного зв'язки «І», а операція об'єднання – уявлення зв'язки «АБО ».

Легко бачити, що якщо в якості операндів A і B взяти звичайні, чіткі множини, то певні таким чином операції перетину та об'єднання зводяться до своїх класичних теоретико-множинних аналогів. Крім того, для цих операцій справедливі такі властивості:

A (B C) = (AB) ∩ (AC).

Розглянутий підхід до визначення операцій нечіткого перетину та об'єднання не є єдиним можливим. Досить часто використовується інший підхід, відповідно до якого:

Цей підхід іноді називають імовірнісним, оскільки відповідні вирази за своєю формою збігаються з виразами для визначення ймовірностей перетину та об'єднання випадкових подій. Приклади виконання операцій перетину та об'єднання з використанням ймовірнісного підходу показані на рис. 3.3.

Мал. 3.3. Приклади виконання операцій перетину та об'єднання нечітких множин з використанням ймовірнісного підходу

Для операцій перетину та об'єднання, визначених з використанням ймовірнісного підходу, залишаються справедливими властивості комутативності та асоціативності, а також граничні ус-

ловія. Властивості ідемпотентності та дистрибутивності не виконують.

ються, але справедливі їх менш жорсткі аналоги:

A ∩ A A, A A A;

A ∩ (B C) (A ∩ B) (A ∩ C),

A (B∩ C) (A B) ∩ (AC).

Введені підходи до визначення операцій нечіткого перетину та об'єднання можна розглядати як окремі випадки узагальненого підходу, заснованого на використанні трикутних норм та конорм.

Нехай на області × (тобто на одиничному квадраті) задана функція двох змінних T (x, y), що приймає значення на відрізку і задовольняє наступним умовам (для всіх можливих значень x і y):

1) комутативність: T(x, y) = T(y, x);

2) монотонність : x1 ≤ x2 , y1 ≤ y2 T(x1 , y1 ) ≤ T(x2 , y2 );

3) асоціативність: T(T(x, y), z) = T(x, T(y, z));

4) гранична умова: T(x, 1) = T(1, x) = x.

Аналогічно, нехай на цій же області задана функція S (x, y), що приймає значення на відрізку і для всіх можливих значень x і y, що задовольняє наступним умовам:

1) комутативність: S(x, y) = S(y, x);

2) монотонність : x1 ≤ x2 , y1 ≤ y2 S(x1 , y1 ) ≤ S(x2 , y2 );

3) асоціативність: S(S(x, y), z) = S(x, S(y, z));

4) гранична умова: S(x, 0) = S(0, x) = x.

Тоді функція T (x, y) називається трикутною нормоюабо

T-нормою, а S(x, y) – трикутною конормою чи S-нормою.

Прикладами T-норм та S-норм є:

Використовуючи T- та S-норми, можна ввести наступне узагальнене визначення операцій перетину та об'єднання нечітких множин:

де T – деяка T-норма, S – деяка S-норма.

Наведемо деякі з основних операцій, які можна здійснювати над нечіткими множинами.

1. Доповненнянечіткої множини Апозначається символом і визначається так:

(5.15)

Операція доповнення відповідає логічному запереченню. Наприклад, якщо А- назва нечіткої множини, то "не А"розуміється як (див. приклад нижче).

2. Об'єднаннянечітких множин Аі Упозначається А+В(або АЕВ) і визначається :

(5.16)

Об'єднання відповідає логічному зв'язку « або». Наприклад, якщо Аі У- Назви нечітких множин, то запис « А чи В» розуміється як А+В.

u більшез .

Примітка:слід мати на увазі, що логічна зв'язка Ú в даному контексті означає визначення max (тобто ); Ù означає min (тобто.).

3. Перетин Аі Упозначаються АСВі визначається так:

(5.17)

Перетин відповідає логічному зв'язку « u», тобто .

А і В = АÇВ(5.18)

При визначенні ступеня належності елементів uнової нечіткої множини, вибирають менше(див. зауваження вище).

4. Твір Аі Упозначається АВта визначається формулою

(5.19)

якщо (5.20)

Приклад 5.5.Якщо

U=1+2+…+10

A=0.8/3+1/5+0.6/6 (5.21)

B=0.7/3+1/4+0.5/6,

То ØА=1/1+1/2+0.2/3+1/4+0.4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

А+В=0.8/3+1/4+1/5+0.6/6

АÇВ=0.7/3+0.5/6 (береться min із двох значень m)(5.22)

АВ=0.56/3+0.3/6

0.4А=0.32/3+0.4/5+0.24/6

5. Декартове твірнечітких множин А 1, …, А nуніверсальних множин U 1 ,…,U nвідповідно позначається А 1 ´…´А nі визначається як нечітка підмножина множини U 1 ´…´U nз функцією власності.

Приклад 5.6.Якщо

U 1 =U 2 =3+5+7

A 1 =0.5/3+1/5+0.6/7

A 2 =1/3+0.6/5, то

A 1 ´A 2 =0.5/3.3+1/5.3+0.6/7.6+0.5/3.5+0.6/5.5+0.6/7.5

Нечіткі стосунки.

Нечітке ставлення R: X®Yє нечіткою множиною декартового твору X'Y. Rнаступним чином описується за допомогою функції приналежності двох змінних:

(5.25)

Нечітким ставленням на безлічі X'Y називається сукупність пар

(5.26)

де - функція приналежності нечіткого відношення R, має той самий сенс, як і функція власності нечіткої множини.

Взагалі n- Арне ставлення є нечітке підмножина декартового твору X 1 ´X 2 ´…´X n, причому

(5.27)

Приклади нечітких відносин:

« Xприблизно дорівнює Y»,

« Xзначно більше Y»,

« Аістотно краще У».

Приклад 5.7.Припустимо, що X = (Юрій, Сергій), Y=(Максим, Михайло).

Тоді бінарне нечітке відношення «подібності» між елементами множин X та Y можна записати у вигляді

подібність = 0.8 / (Юрій, Максим) + 0.6 / (Юрій, Михайло) + 0.2 / (Сергій, Максим) + 0.9 / (Сергій, Михайло).

Крім цього, це ставлення можна представити у вигляді матриці відносин.

(5.28)

В якій (i,j)-й елемент дорівнює значенню функції для i-го значення xта j-го значення y.

Якщо R- Відношення X®Y(або, що те саме, ставлення до X'Y), а S- Відношення Y®Z, то композицією Rі Sє нечітке відношення X®Z, що позначається R° Sта визначається формулою

де ° – знак композиції, знаки Ú і Ù позначають відповідно maxі min, V y- Верхня грань по області значень у.

Тут (5.29) є композицією відносин.

Вираз (5.29) визначає максмінний твір Rі S.

Так, для дійсних чисел аі b:

(5.30)

(5.31)

Якщо X,Y,Z- Кінцеві множини, то матриця відносини R° Sє максмінний твір матриць відносин Rі S. У максмінному добутку матриць замість операції складання та множення використовуються операції Ú і Ù відповідно.

Приклад максмінного твору

(5.32)

Тут кількість рядків має дорівнювати кількості стовпців. Рядок множиться на стовпець і береться максимальне значення з мінімальних значень пар.

Лекція №4. Операції з нечіткими множинами

Визначення операцій, що виконуються з нечіткими множинами, багато в чому аналогічно операціям із звичайними (чіткими) множинами.

Еквівалентність.Дві нечіткі множини Аі Уеквівалентні (це
позначається як ) тоді і лише тоді, коли для всіх має місце .

Мал. 2.4. Операції з нечіткими множинами

Увімкнення. Нечітка безліч Аміститься в нечіткій множині У() тоді і тільки тоді, коли

Об'єднання, або диз'юнкція(disjunction), двох нечітких множин А і відповідає логічної операції " АБОі визначається як найменша нечітка множина, що містить обидва множини А і В. Функція приналежності для цієї множини знаходиться за допомогою операції взяття максимуму(Рис.2.4, б)

Перетин, або кон'юнкція(Conjunction), відповідає логічній операції " Іі визначається як найбільша нечітка множина, що є одночасно підмножиною обох множин.

Функція приналежності множини виражається за допомогою операції знаходження мінімуму(Рис. 2.4, в)

Доповнення(complement) нечіткої множини А, що позначається через (або A), відповідає логічному запереченню " НЕі визначається формулою (рис. 2.4, г)

Легко бачити, що стосовно класичних "чітких" множин, для яких функції приналежності приймають лише 2 значення: 0 або 1, формули визначають відомі операції логічного "АБО", "І", "НЕ".

Наведемо визначення ще двох досить поширених операцій над нечіткими множинами - твори алгебри та алгебраїчної суми нечітких множин.

Алгебраїчний твір АВнечітких множин Аі Увизначається так:

Алгебраїчна сума:

Крім перелічених є й інші операції, які виявляються корисними під час роботи з лінгвістичними змінними.

Операція концентрації(concentration) CON(А) визначається як алгебраїчне твір нечіткої множини Ана самого себе: тобто.

В результаті застосування цієї операції до множини Азменшуються ступеня належності елементів хцій множині, причому якщо , то це зменшення відносно мало, а для елементів з малим ступенем приналежності - відносно велике. У природній мові застосування цієї операції до того чи іншого значення лінгвістичної змінної А відповідає використанню терму, що посилює, "дуже" (наприклад, "дуже високий", "дуже старий" і т.д.).

Операція розтягування(dilation) DIL(A) визначається як

DIL(A)= A 0,5 , де

Дія цієї операції протилежна дії операції концентрації і відповідає невизначеному терму "досить", що виконує функцію ослаблення наступного за ним (основного) терму А: "досить високий", "досить старий" і т.п.

Можна ввести інші аналогічні за змістом операції, що дозволяють модифікувати значення лінгвістичної змінної, збільшуючи, таким чином, їх кількість. Так, терм "більше ніж" можна визначити наступним чином:

складовий терм "дуже-дуже":

Розглянемо застосування зазначених операцій на наступному прикладі. Нехай змінна ххарактеризує "вік людини", X- інтервал. Тоді нечіткі підмножини, що описуються термами "молодий" і "старий", можна уявити за допомогою функції приналежності (рис. 2.5).

Мал. 2.5. Графічне уявлення лінгвістичної змінної "вік людини"

Тоді, відповідно до виразу, знаходимо (рис. 2.5)

Так само, використовуючи (2.10) і (2.14), отримуємо (рис. 2.5)

Наприклад, якщо конкретній людині виповнилося 55 років (тобто. х= 55), то відповідно до цих функцій приналежності маємо:

До цих пір передбачалося, що йдеться про єдину змінну , Що приймає значення на числової числової осі.

Для випадку двох речових змінних (і) можна говорити про нечіткому відношенні R: X→Y, Що визначає деяку відповідність між елементами множини X і множини У за допомогою двовимірної функції приналежності μ( х,у):

Наведемо ще один приклад.

Припустимо, що ми маємо два набори чисел

і нехай суб'єктивні думки експертів щодо порівняльної величини цих чисел представлені у вигляді нечітких відносин:

R 1 (x, y) = "x більше, ніж у",

R 2 (x, y) = "x приблизно дорівнює у".

Задамо відношення R1 за допомогою табл.2.1, а відношення R2 - за допомогою табл. 2.2.

Тут ( i,j) - й елемент таблиці дорівнює значенню відповідної функції приналежності для i-го значення хі j-го значення у. Тоді операції об'єднання та перетину зазначених відносин можуть бути інтерпретовані як

Функції власності та за допомогою операцій знаходження максимуму та мінімуму, і набувають вигляду табл. 2.3, 2.4.

Логічні операції

Увімкнення.Нехай Аі У- нечіткі множини на універсальній множині е.Кажуть що Аміститься в В,якщо

Позначення: А⊂ Ст.

Іноді використовують термін домінування,тобто. у випадку, коли А⊂ В,кажуть що Удомінує А.

Рівність.А і В рівні, якщо

Позначення: А = В.

Доповнення.Нехай М = , Аі У– нечіткі множини, задані на Є. Аі Удоповнюють один одного, якщо

Позначення:

Очевидно, що (додаток визначено для М= , але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого М).

Перетин. А⋂ У- найбільше нечітке підмножина, що міститься одночасно в Аі В:

Об'єднання.A∪У- найменше нечітке підмножина, що включає як А,так і В,з функцією приналежності:

Різниця. з функцією приналежності:

Диз'юнктивна сума

А ⊕ У = (A - B) ∪ (B - A) = (A ⋂ ̅ B) ∪ ( ̅A ⋂ B )

з функцією приналежності:

приклади. Нехай

Тут:

1) А ⊂ В,тобто А міститься в Bабо Bдомінує А; З незрівнянноні з A, ні з В,тобто. пари ( А, С) та ( А, С) - пари недомінованих нечітких множин.

2) A≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 1/x 3 + 0/x 4 ; ̅B = 0,3/x 1 + 0,1/x 2 + 0,9/x 3 +0/x 4 .

4) А⋂ В = 0,4/x 1 + 0,2/x 2 + 0/x 3 + 1 /х 4 .

5) A∪ У= 0,7/ x 1+ 0,9/x 2 + 0,1/x 3 + 1/x 4 .

6) А - В= А⋂̅В = 0,3/x 1 + 0,l/ x 2 + 0/x 3 + 0/x 4 ;

У- А= ̅А⋂ У= 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,l/ x 3 + 0/x 4 .

7) А⊕ В = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,1/x 3 + 0/x 4 .

Наочне уявлення логічних операцій над нечіткими множинами. Для нечітких множин можна будувати візуальну виставу. Розглянемо прямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладаються значення μ А (х),на осі абсцис у довільному порядку розташовані елементи Е(Ми вже використовували таке уявлення в прикладах нечітких множин). Якщо Еза своєю природою впорядковано, цей порядок бажано зберегти у розташуванні елементів на осі абсцис. Таке уявлення робить наочними прості логічні операції над нечіткими множинами (див. рис. 1.3).

Мал. 1.3. Графічна інтерпретація логічних операцій: α - нечітка безліч А; б- нечітка безліч ̅А, в - А⋂̅А; г- A∪ ̅А

На рис. 1.3α заштрихована частина відповідає нечіткому множині Аі, якщо говорити точно, зображує область значень Аі всіх нечітких множин, що містяться в А.На рис. 1.3 б, в, гдані ̅ А, А ⋂ ̅ A, A U ̅А.

Властивості операцій ∪ і ⋂

Нехай А, В, С- нечіткі множини, тоді виконуються такі властивості:

На відміну від чітких множин, для нечітких множин загалом

випадку:

A⋂̅A ≠∅, A ∪ ̅A ≠ E

(що, зокрема, проілюстровано вище з прикладу наочного уявлення нечітких множин).

Зауваження . Введені вище операції над нечіткими множинами засновані на використанні операцій max min. Теоретично нечітких множин розробляються питання побудови узагальнених, параметризованих операторів перетину, об'єднання та доповнення, що дозволяють врахувати різноманітні смислові відтінки відповідних їм зв'язок «і», «або», «ні».

Один з підходів до операторів перетину та об'єднання полягає в їх визначенні класі трикутних норм та конорм.

Трикутною нормою(t-Нормою) називається двомісна дійсна функція T: x → , що задовольняє наступним умовам:

Приклади трикутних норм

min( μ A, μ B)

твір μ A· μ B

max(0, μ A+ μ B- 1 ).

Трикутною конормою(t-конормою) називається двомісна дійсна функція S: x → із властивостями:

Прикладиt-конорм

max( μ A, μ B)

μ A+ μ B- μ A· μ B

min(1, μ A+ μ B).

Алгебраїчні операції над нечіткими множинами

Алгебраїчний твір Аі Упозначається A· Уі визначається так:

Алгебраїчна сумацих множин позначається А+ Ві визначається так:

Для операцій (-, +) виконуються властивості:

Не виконуються:

Зауваження.При спільному використанні операцій ( U, ⋂, + , ) виконуються властивості:

На основі операції алгебраїчного твору визначається операція зведення у ступінь αнечіткої множини А,де α - додатне число. Нечітка безліч А αвизначається функцією приналежності μ α A = μ α A ( x). Окремим випадком зведення у ступінь є:

1) CON( А) = А 2- Операція концентрування (ущільнення);

2) DIL( А) = А 0,5- Операція розтягування,

які використовуються під час роботи з лінгвістичними невизначеностями (рис. 1.4).

Мал. 1.4. Ілюстрація до поняття операцій концентрування (ущільнення) та розтягування

Множення на число.Якщо α - позитивне число, таке, що, то нечітка безлічαАмає функцію приналежності:

μ αА(х) = αμA(x).

Випукла комбінація нечітких множин.Нехай A 1 , А 2,..., Аn- нечіткі множини універсальної множини Е, a ω 1 , ω 2 , …, ωn- Невід'ємні числа, сума яких дорівнює 1.

Випуклою комбінацією A 1 , А 2 , ..., Аnназивається нечітка безліч Аз функцією приналежності:

Декартове(пряме) твір нечітких множин.Нехай A 1 , А 2 , ..., Аn- нечіткі підмножини універсальних множин Е 1, Е 2, ..., Еnвідповідно. Декартово, або прямий твір А = А 1 x А 2 x... x Аnє нечітким підмножиною множини Е = Е 1 x Е 2 x... x Еnз функцією приналежності:

Оператор збільшення нечіткостівикористовується для перетворення чітких множин у нечіткі і для збільшення нечіткості нечіткої множини.

Нехай А- нечітка множина, Е- Універсальна безліч і для всіх хϵ Евизначено нечіткі множини До(х).Сукупність усіх До(х)називається ядром оператора збільшення нечіткості Ф. Результатом дії оператора Ф на нечітку множину Ає нечітка безліч виду

де μ А(х)К(х)- Добуток числа на нечітку безліч.

приклад . Нехай

Е =(1,2,3,4); А = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4; До(1)= 1/1 + 0,4/2;

До(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; До(3) = 1/3 + 0,5/4; До(4)= 1/4.

Тоді

Чітка безліч α-рівня(або рівня α).Безліч α-рівня нечіткої множини Ауніверсальної множини Еназивається чіткепідмножина А αуніверсальної множини Е,що визначається у вигляді

А α ={ x/μ A(x) ≥ α },

де α ≤ 1.

приклад.Нехай А = 0,2/x 1 + 0/x 2 + 0,5/x 3 + 1/x 4 , тоді A 0,3 = { x 3 , x 4 } , A 0,7 = {х 4} .

Досить очевидна властивість: якщо α 1≥ 2, то А α1≤ А α2.