Методи побудови функцій власності нечітких множин. Розділ Fuzzy Logic Toolbox

Універсум

Елементи нечіткої множинивибираються (черпаються) з універсальної множиниабо коротше універсуму. Універсум включає всі елементи, які можна використовувати при розгляді безлічі. Зокрема у вище розглянутому прикладі універсумом є безліч

U= [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ].

Можна сказати, що універсум є областю визначення множини, отже, та її функції власності. Тим не менш, універсум залежить від контексту, як показує такий приклад.

Приклад 1.3 (універсум). а) безліч «молоді люди» може мати як універсумувсіх людей, які мешкають на землі. Як альтернативу універсумомможна вважати людей, вік яких лежить між 0 і 100 роками; ці люди будуть представляти змінну вік(Рис. 1.3).

Безліч «менш молодий», «дуже молодий» і «не дуже молодий» отримані з множини «молодий» і «старий»;

б) безліч x>>10 (x набагато більше 10 вольт) може мати як універсумвсі позитивні результативимірів напруги.

Застосування універсуму дозволяє виключити з розгляду помилкові результативимірювань, наприклад від'ємні значеннядля рівня води у баку.

У тому випадку, коли ми маємо справу з нечисловими змінними, наприклад, зі змінною смак їжі, які не можуть бути виміряні щодо чисельного масштабу, ми не можемо використовувати як універсум безліч чисел. При цьому елементи універсуму мають бути взяті, як то кажуть, з психологічного континууму (суцільного середовища); для даного прикладутаким універсумом може бути ( гіркий, солоний, кислий, солодкийий, ...).

Визначення (нечітка безліч). Якщо Uє набір елементів (іншими словами, універсум), що позначаються традиційно x, то нечітка безліч Aв Uвизначається як упорядковане безліч пар:

де називається функцією власності(ФП) xдо A.

Кожен елемент в універсумі є членом (елементом) нечіткої множини Aз деякою мірою приналежності, можливо і з нульової.

ФП є просто ступенем, з яким елемент xналежить до безлічі A.ФП перетворює універсум Uв інтервал,

: U,

тобто. кожному елементу xуніверсуму Uставить у відповідність певна кількістьз інтервалу. Якщо =0,8, то кажуть, що елемент x iна 80% належить нечіткій множині A.

Нечітка множина строго визначається за допомогою функції приналежності, іншими словами, логіка визначення поняття нечіткої множини не містить ніякої нечіткості. Чітке безліч є окремим випадком нечіткої множини, тобто. поняття нечіткої множини є розширеним поняттям, що охоплює поняття чіткої множини.

Безперервне та дискретне уявлення. Існують два альтернативні уявлення функцій приналежності на комп'ютері: безперервний і дискретний. У безперервній формі функція власності є математична функціяможливо програма. Функція приналежності може бути дзвоноподібною (так звана - крива), s-образної (звана s-кривий), зворотна s-образної (звана z-кривий), трикутної або трапецієдальної. На рис. 1.2 зображено як приклад - крива. У дискретній формі функція приналежності та універсум є дискретними значеннями (точками) у списку (векторі). У ряді випадків зручно мати справу з дискретними уявленнями.

Відповідно до емпіричного правила безперервна форма вимагає більш швидкодіючого, але з меншою пам'яттю АЦП, ніж дискретна форма.

Приклад 1.4 (безперервна форма). Функція косинуса може бути використана для побудови різних функцій приладдя. Так s-крива може бути описана як

, (1.3)

де a l - ліва точка зламу, а a r - права точка зламу кривої. z-крива є дзеркальним відображенням s-кривою щодо точки (a r - a l)/2:

. (1.4)

При цьому - крива може бути інтерпретована як комбінація s-кривої та z-кривої, тоді в інтервалі за умови значення функції власності

однакові та максимальні.

На рис. 1.2 зображена - крива, що описується функцією

Приклад 1.5 (дискретна форма). Щоб отримати дискретну виставу, еквівалентну кривою, зображеною на рис. 1.2, припустимо, що універсум U= uпредставлений дискретними значеннямискажімо такими

u =.

Занесемо результати обчислень за формулами (1.3), (1.4) та (1.5) до відповідного списку значень

або в короткому вигляді,

[ 0 0,04 0,31 0,69 0,96 1 ].

До речі, символічно прийнято нечітку множину на універсумі записувати як безліч упорядкованих пар,

для безперервних та дискретних універсумів відповідно. Тут символи іне мають жодного відношення до операцій інтегрування та підсумовування. Так нечітка множина, представлена ​​ФП на рис. 1.2, можна записати у вигляді

З наведених прикладів бачимо, що конструкція нечіткої множини залежить від двох речей: вибору відповідного універсумуі вибору відповідної функції належності. Ще раз зазначимо, що вибір функції власності є по суті суб'єктивнимсправою, з чого випливає, що обрані різними людьмиФункції приналежності для одного і того ж поняття (скажімо, холодний) можуть значно відрізнятися. Ця суб'єктивність походить з невизначеної природи абстрактних понятьі немає нічого спільного з ймовірністю. Тому суб'єктивністьі невипадковість нечітких множинє головною відмінністю вивчення нечітких множин та теорії ймовірності. Остання має справу з об'єктивним трактуванням випадкових подій(Явів).

Нормалізація. Нечітка множина називається нормалізованим, якщо саме велике значенняфункції приналежності, так звана висотанечіткої множини, одно 1, Ви нормалізуєте нечітку множину шляхом поділу кожного елемента його функції належності на згадане найбільше значення, a/max(a). При використанні функції приладдя розрізняють інші параметри, зокрема ядро ​​або серцевину (див. малюнок нижче).

Ядроабо серцевинанормалізованої нечіткої множини A включає всі елементи xдля яких =1. Чітке підмножина елементів, що мають відмінну від нуля ступінь належності, називають основним (опорним)для нечіткої множини або носіємнечіткої множини. Опораабо основанечіткої множини A включає всі елементи xдля яких 0.

Нечітка безліч- ключове поняттянечіткої логіки. Нехай Е — універсальна безліч, х- Елемент Е, a R - деяка властивість. Звичайне (чітке) підмножина Ауніверсальної множини Е,елементи якого задовольняють властивості R, визначається як безліч упорядкованих пар

А = (μA(x) / x},

де μ А (х) —характеристична функція, приймаюча значення 1, якщо хзадовольняє властивості R, і 0 - інакше.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайного тем, що для елементів хз Енемає однозначної відповіді «так-ні» щодо властивості R. У зв'язку з цим нечітке підмножина Ауніверсальної множини Евизначається як безліч упорядкованих пар

А = (μA(x) / x},

де μ А (х) — характеристична функція власності(або просто функція власності), Що приймає значення в деякому цілком упорядкованому множині М(наприклад, М = ).

Функція приладдя вказує ступінь (або рівень) приналежності елемента хпідмножиною А.Безліч Мназивають безліччю приладдя. Якщо М= (0, 1), то нечітка підмножина Аможе розглядатися як звичайна чи чітка множина.

Приклади запису нечіткої множини

Нехай Е = {x 1 , x 2 , х з,x 4 , x 5), М = ; А— нечітка множина, для якої μ A ( x 1 )= 0,3; μ A ( х 2)= 0; μ A ( х 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A ( х 5)= 0,9.

Тоді Аможна уявити у вигляді

А ={0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 } ,

або

А={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },

або

Зауваження. Тут знак «+» перестав бути позначенням операції складання, а має сенс об'єднання.

Основні характеристики нечітких множин

Нехай М= і А- нечітка множина з елементами з універсальної множини Еі безліччю приладдя М.

Величина називається заввишкинечіткої множини А.Нечітка безліч А нормально,якщо його висота дорівнює 1, тобто. верхня межайого функції власності дорівнює 1 (= 1). При< 1нечеткое множество называется субнормальним.

Нечітка безліч порожньо,якщо ∀ xϵ E μ A ( x) = 0. Непусте субнормальне безліч можна нормалізувати за формулою

Нечітка безліч унімодально,якщо μ A ( x) = 1 тільки на одному хз е.

. Носіємнечіткої множини Ає звичайна під-множина з властивістю μ A ( x)>0, тобто. носій А = {x/x ϵ E, μ A ( x)>0}.

Елементи xϵ E, для яких μ A ( x) = 0,5 , називаються точками переходубезлічі А.

Приклади нечітких множин

1. Нехай Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М =. Нечітка безліч«Декілька» можна визначити наступним чином:

"Кілька" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; його характеристики:висота = 1, носій = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки переходу — {3, 8}.

2. Нехай Е = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Нечітку безліч «Малий» можна визначити:

3. Нехай Е= (1, 2, 3, . . ., 100) і відповідає поняттю «Вік», тоді нечітка множина «Молодий» може бути визначена за допомогою

Нечітка безліч «Молодий» на універсальній множині Е"= (ІВАНІВ, ПЕТРІВ, СИДОРІВ,...) задається за допомогою функції приналежності μ Молодий ( x) на Е =(1, 2, 3, . . ., 100) (вік), званої по відношенню до Е"функцією сумісності, при цьому:

де х- Вік СИДОРОВА.

4. Нехай Е= (ЗАПОРІЖЕЦЬ, ЖИГУЛІ, МЕРСЕДЕС,… ) - безліч марок автомобілів, а Е"= - Універсальна безліч «Вартість», тоді на Е"ми можемо визначити нечіткі множини типу:

Рис. 1.1. Приклади функцій приладдя

«Для бідних», «Для середнього класу», «Престижні», з функціями приналежності виду рис. 1.1.

Маючи ці функції та знаючи вартості автомобілів з Ев Наразічасу, ми тим самим визначимо на Е"нечіткі множини з цими ж назвами.

Так, наприклад, нечітка множина «Для бідних», задана на універсальній множині Е =(ЗАПОРІЖЕЦЬ, ЖИГУЛІ, МЕРСЕДЕС,...), виглядає так, як показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Приклад завдання нечіткої множини

Аналогічно можна визначити нечітку множину «Швидкісні», «Середні», «Тихохідні» тощо.

5. Нехай Е- безліч цілих чисел:

Е= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тоді нечітке підмножина чисел, по абсолютної величиниблизьких до нуля, можна визначити, наприклад, так:

А ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Про методи побудови функцій приналежності нечітких множин

У наведених вище прикладах використано пряміспособи, коли експерт чи легко ставить кожному за х ϵ Езначення μ А (х),чи визначає функцію сумісності. Як правило, прямі методи завдання функції приналежності використовуються для вимірних понять, таких як швидкість, час, відстань, тиск, температура і т.д., або коли виділяються полярні значення.

У багатьох завданнях при характеристиці об'єкта можна виділити набір ознак і кожного з них визначити полярні значення, відповідні значенням функції власності, 0 чи 1.

Наприклад, завдання розпізнавання осіб можна назвати шкали, наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1. Шкали в задачі розпізнавання облич

Для конкретної особиАексперт, виходячи з наведеної шкали, задаєμ A(х) ϵ, формуючи векторну функцію приналежності (μ A(х 1) , μ A(х 2),…, μ A(х 9)}.

При прямих методах використовуються також групові прямі методи, коли, наприклад, групі експертів пред'являють конкретна особа і кожен повинен дати одну з двох відповідей: «ця людина лиса» або «ця людина не лиса», тоді кількість ствердних відповідей, ділена на загальне числоекспертів, дає значення μ лисий ( даної особи). (У цьому прикладі можна діяти через функцію сумісності, але тоді доведеться вважати число волосин на голові у кожного з пред'явлених експерту осіб.)

Непряміметоди визначення значень функції приналежності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей, через які визначається цікава для нас нечітка безліч. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якби значення функцій приналежності були нам відомі, наприклад, μ A(х-i) = ω i , i= 1, 2, ..., nто попарні порівняння можна представити матрицею відносин А= (a ij), де a ij= ω i/ ω j(Операція поділу).

Насправді експерт сам формує матрицю А, У цьому передбачається, що діагональні елементи рівні 1, а елементів симетричних щодо діагоналі a ij = 1/a ij , тобто. якщо один елемент оцінюється в α раз сильніше, ніж інший, цей останній має бути в 1/α раз сильніше, ніж перший. У загальному випадкузадача зводиться до пошуку вектора ω, що задовольняє рівняння виду Aw= λ max w, де λ max - найбільше власне значення матриці А. Оскільки матриця Апозитивна по побудові, розв'язання цієї задачі існує і є позитивним.

Можна відзначити ще два підходи:

• використання типових формкривих для завдання функцій належності (у формі (L-R)-Типу - див. нижче) з уточненням їх параметрів відповідно до даних експерименту;
• використання відносних частотза даними експерименту як значень приналежності.

Класифікація функцій належності нормальних нечітких множин

Нечітке безліч називається нормальним, якщо його функції власності справедливо ствердження, що є такий , у якому .

s

Функція приналежності класу sвизначається як:

Функція приналежності класу π

Функція приналежності класу π визначається через функцію класу s:

Функція приналежності класу γ

Функція приналежності класу γ визначається як:

Функція приналежності класу t

Функція приналежності класу tвизначається як:

Функція приналежності класу L

Функція приналежності класу Lвизначається як:

Визначимо лінгвістичну змінну (ЛП) як змінну, значення якої визначається набором словесних характеристикдеякої якості. Наприклад, ЛП "вік" може мати значення

ЛП = МЛВ, ДВ, ВВ, ЮВ, МВ, ЗВ, ПВ, СВ,

що позначають вік дитячий, дитячий, підлітковий, юнацький, молодий, зрілий, похилий і старий, відповідно. Безліч M - це шкала прожитих людиною років. Функція приналежності визначає, наскільки ми впевнені, що цю кількість прожитих років можна зарахувати до даному значеннюЛП. Припустимо, що деяким експертом до молодому вікувіднесені люди у віці 20 років зі ступенем впевненості 0,8, у віці 25 років зі ступенем впевненості 0,95, у віці 30 років зі ступенем впевненості 0,95 та у віці 35 років зі ступенем впевненості 0,7. Отже:

μ(X 1)=0,8; μ(X 2)=0,95; μ(X 3)=0,95; μ(X 4)=0,7;

Значення ЛП=МВ можна записати:

МВ = μ (X 1) / X 1 + μ (X 2) / X 2 + μ (X 3) / X 3 + μ (X 4) / X 4 = = 0,8 / X 1 + 0,95 / X2+0,95/X3+0,7/X4.

Таким чином, нечіткі множини дозволяють враховувати суб'єктивні думкиокремих експертів. Для більшої наочності покажемо безліч МВ графічно з допомогою функції власності (рис. 2.7).

Рис. 2.7.Графік функції приладдя

Для операцій з нечіткими множинамиіснують різні операції, наприклад, операція "нечітке АБО" (інакше) задається в логіці Заде , :

μ(x)=max(μ 1 (x), μ 2 (x))

і при ймовірнісному підходітак:

μ(x)=μ 1 (x)+μ 2 (x)-μ 1 (x) · μ 2 (x).

Розглянемо ці операції як діаграм. У ранній статті про нечіткі множини Заде запропонував оператор мінімуму для перетину та оператор максимуму для об'єднання двох нечітких множин. Легко бачити, що ці оператори збігаються з чітким об'єднанням і перетином, якщо ми розглядаємо лише належність до 0 та 1.

Щоб роз'ясняти це, розглянемо кілька прикладів. Припустимо, А є нечіткий інтервал між 5 і 8, а B - нечітке число, приблизно 4. Наступна діаграмапоказує нечітку множину між 5 і 8 І (AND - перетин) приблизно 4 (синя лінія).

Нечітка множина між 5 і 8 АБО (OR-об'єднання) приблизно 4 показується в наступній діаграмі (знов, синій лінією).

Наступна діаграма є прикладом заперечення. Синя лінія - ЗАМОВИННЯ нечіткої множини A.

Існують інші операції над нечіткими числами, такі як розширені бінарні арифметичні операції (складення, множення тощо) для нечітких чисел, що визначаються через відповідні операції для чітких чисел з використанням принципу узагальнення і т.д.

Baldwin J.F.. Fuzzy logic and fuzzy reasoning. - London, Academic Press, 1981.

Для завдання нечіткої істинності Балдвін запропонував такі функції приналежності нечітких "істинно" та "хибно".

Fuzzy Logic Toolbox включає 11 вбудованих функцій приладдя, які використовують такі основні функції:

• шматково-лінійну;
• гауссівський розподіл;
• сигмоїдну криву;
• квадратичну та кубічні криві.

Для зручності імена всіх вбудованих функцій приналежності закінчуються на mf.Виклик функції приладдя здійснюється так:

namemf(x, params),

де namemf- Найменування функції власності;
x- Вектор, для координат якого необхідно розрахувати значення функції приналежності;
params- Вектор параметрів функції приналежності.

Найпростіші функції приналежності трикутна ( trimf) та трапецієподібна ( trapmf) формується з використанням шматково-лінійної апроксимації. Трапецієподібна функція приналежності є трикутною узагальнення, вона дозволяє задавати ядро ​​нечіткої множини у вигляді інтервалу. У разі трапецієподібної функції належності можлива наступна зручна інтерпретація: ядро ​​нечіткої множини – оптимістична оцінка; носій нечіткої множини – песимістична оцінка.

Дві функції приналежності – симетрична гауссівська ( gaussmf) та двостороння гауссівська ( gaussmf) формується з використанням гаусівського розподілу. Функція gaussmfдозволяє задавати асиметричну функцію приналежності. Узагальнена дзвоноподібна функція приналежності ( gbellmf) за своєю формою схожа на гауссівські. Ці функції приналежності часто використовуються в нечітких системах, так як на всій області визначення вони гладкі і набувають ненульових значень.

Функції приладдя sigmf,dsigmf, psigmfзасновані на використанні кривої сигмоїдної. Ці функції дозволяють формувати функції приналежності, значення яких, починаючи з деякого значення аргументу і до + (-), рівні 1. Такі функції зручні для завдання лінгвістичних термів типу "високий" або "низький".

Поліноміальна апроксимація застосовується при формуванні функцій zmf, pimfі smf, графічні зображенняяких схожі на функції sigmf,dsigmf, psigmfвідповідно.

Основна інформація про вбудовані функції приладдя зведена в табл. 6.1. На рис. 6.1 наведено графічні зображення функцій приладдя, отримані за допомогою демонстраційного сценарію mfdemo. Як видно з малюнка, вбудовані функції приналежності дозволяють задавати різноманітні нечіткі множини.

У Fuzzy Logic Toolboxпередбачена можливість для користувача створення власної функціїприладдя. Для цього необхідно створити m-функцію, що містить два вхідні аргументи – вектор, координат якого необхідно розрахувати значення функції приналежності і вектор параметрів функції приналежності. Вихідним аргументом функції має бути вектор ступенів власності. Нижче наведено m-функція, що реалізує дзвоноподібну функцію власності :

function mu = bellmf (x, params)
% Bellmf - Bell membership function;
%x - input vector;
%params(1) – concentration coefficient (>0);
%params(2) – coordinate of maximuma.
a = params (1);
b = params (2);
mu=1./(1+ ((x-b)/a).^2);

Малюнок 6.1. Вбудовані функції приладдя

Таблиця 6.1. Функції приладдя

Функція приналежності μ A (x) ∈ ставить у відповідність кожному числу

x ∈ X - число з інтервалу, що характеризує ступінь належності рішення до підмножини А.

Тобто. це деяка не ймовірнісна суб'єктивна міра нечіткості, яка визначається в результаті опитування експертів про ступінь відповідності елемента x поняття, що формується нечіткою множиною A. На відміну від ймовірнісної міри, яка є оцінкою стохастичної невизначеності, що має справу з неоднозначністю настання деякої події в різні моменти міра є чисельною оцінкою лінгвістичної невизначеності, що з неоднозначністю і розпливчастістю категорій людського мислення. При побудові функції приналежності μ A (x) з кожною нечіткою множиною A асоціюється деяка властивість, ознака або атрибут, який характеризує деяку сукупність об'єктів X. Чим більшою мірою конкретний об'єкт x ∈ X має цю властивість, тим більше близько до 1 відповідне значення μ A (x). Якщо елемент x ∈ X виразно має цю властивість, то μ A (x)=1, якщо ж x ∈ X виразно не володіє цією властивістю, то μ A (x)=0.

Основні види функцій власності

На практиці зручно використовувати функції приналежності, які допускають аналітичне уявлення у вигляді деякої простої математичної функції.

1. Шматково-лінійні,

використовуються для завдання невизначеностей типу: «приблизно одно», «середнє значення», «розташований в інтервалі», «подібний до об'єкта», «схожий на предмет» тощо.

Трикутна trimf

Трапецеїдальна trapmf

2. S-подібні,

використовуються завдання невизначеностей типу: «велика кількість», «велике значення», «значна величина», «високий рівень» тощо.

Квадратичний S-сплайн smf

3. Z-подібні,

використовуються для завдання невизначеностей типу "мала кількість", "невелике значення е", "незначна величина", "низький рівень" і т.п.

КвадратичнийZ-сплайн zmf

4. П-подібні,

використовуються завдання невизначеностей типу: «приблизно не більше від і до», «приблизно одно», «біля» тощо.

До цього типу функцій приналежності можна віднести цілий клас кривих, які за своєю формою нагадують дзвін, згладжену трапецію або букву "П".

Дзвоноподібна gbellmf

a – коефіцієнт концентрації функції належності; b – коефіцієнт крутості функції власності; c – координата максимуму функції власності.

Гаусовська gaussmf

a – координата максимуму функції власності; b – коефіцієнт концентрації функції власності.

Методи побудови функцій власності

Прямі та непрямі

Залежно від кількості залучених до опитування експертів як прямі, і непрямі методи поділяються на одиночніі групові.

Прямі

У прямих методах експерт чи група експертів просто задають кожному за

x ∈ X значення функції приналежності μ A (x).

Як правило, прямі методи побудови функцій приналежності використовуються для таких властивостей, які можуть бути виміряні деякою кількісною шкалою. Наприклад, такі фізичні величини, як швидкість, час, відстань, тиск, температура та інші мають відповідні одиниці та еталони для свого виміру.

При прямій побудові функцій приналежності слід враховувати, що теорія нечітких множин вимагає абсолютно точного завдання функцій приналежності. Найчастіше буває достатньо зафіксувати лише найбільше характерні значеннята вид функції власності.

Так, наприклад, якщо необхідно побудувати нечітку множину, яка представляє властивість "швидкість руху автомобіля приблизно 50 км/год", на початковому етапі може виявитися достатнім представити відповідну нечітку множину трикутної функції приладдя з параметрами а = 40 км/год, b = 60 км /год і с = 50 км/год. Надалі функція приналежності може бути уточнена дослідним шляхом на основі аналізу результатів розв'язання конкретних завдань.

Процес побудови чи завдання нечіткої множини з урахуванням деякого відомого заздалегідь кількісного значення вимірної ознаки отримав навіть спеціальну назву - фаззификация чи приведення до нечеткости. Йдеться тому, що хоч іноді нам буває відомо деяке значення вимірної величини, ми визнаємо той факт, що це значення відомо неточно, можливо з похибкою чи випадковою помилкою. При цьому чим менше ми впевнені в точності вимірювання ознаки, тим більшим буде інтервал носія відповідної нечіткої множини. Слід пам'ятати, що у більшості практичних випадків абсолютна точність виміру є лише зручною абстракцією для побудови математичних моделей. Саме з цієї причини фазифікація дозволяє більш адекватно уявити об'єктивно присутню неточність результатів фізичних вимірів.

Метод відносних частот (прямий груповий)

Нехай є mекспертів, n 1 з яких питання приналежності елемента x ∈ X нечіткому множині A відповідають позитивно. Інша частина експертів n 2 = m – n 1 відповідає це питання негативно. Тоді приймається μ A(x) = n 1 / (n 1 + n 2) = n 1/m.

приклад.Розглянемо нечітку множину A, яка відповідає поняттю «швидкість зміни температури позитивна середня». Об'єкт x – швидкість зміни температури. Експертам пред'являються різні значення швидкості зміни температури x, і кожному з них запитує: чи вважає експерт, що дана швидкістьзміни температури x позитивна середня. Результати опитування зведено у табл.

Як безперервне уявлення даної нечіткої змінної можна використовувати гауссівську ФП gaussmf з максимумом функції а=5 і коефіцієнтом концентрації функції b=1.7:

μ(x) = exp [ – (x–5) 2 / 2*1.7 2 ]

Непрямі

Використовуються під час вирішення завдань, котрим властивості фізичних величин неможливо знайти виміряні. Найбільшого поширення серед непрямих методів набув метод парних порівнянь.

Метод парних порівнянь

Інтенсивність приналежності визначають, з попарних порівнянь аналізованих елементів.

Для кожної пари елементів універсальної множини експерт оцінює перевагу одного елемента над іншим по відношенню до властивості нечіткої множини. Парні порівняння зручно представляти наступною матрицею:

,

де - рівень переваги елементанад(), що визначається за дев'ятибальною шкалою Сааті:

1 – якщо відсутня перевага елемента над елементом;

3 - якщо є слабка перевага над;

5 - якщо є істотна перевага над;

7 - якщо є явна переваганад;

9 - якщо є абсолютна перевага над;

2, 4, 6, 8 – проміжні порівняльні оцінки.

приклад.Побудувати функцію приналежності нечіткої множини високий чоловікна універсальній множині (170, 175, 180, 185, 190, 195), якщо відомі такі експертні парні порівняння:

абсолютну перевагу 195 над 170;

явна перевага 195 над 175;

суттєва перевага 195 над 180;

слабка перевага 195 над 185;

відсутня перевага 195 над 190.

Наведеним експертним висловлюванням відповідає така матриця парних порівнянь:

При узгоджених думках експерта матриця парних порівнянь має такі властивості:

вона діагональна, тобто a ii = 1, i = 1..n;

вона обернено симетрична, тобто елементи, симетричні щодо головної діагоналі, пов'язані залежністю a ij =1/a ji , i,j=1..n ;

вона транзитивна, тобто a ik a kj = a ij, i, j, k = 1.

Наявність цих властивостей дозволяє визначити всі елементи матриці парних порівнянь:

Після визначення всіх елементів матриці парних порівнянь, ступеня належності нечіткої множини обчислюються за формулою:

Для нормалізації нечіткої множини розділимо всі ступені належності на максимальне значення, тобто. на 0.3588.