Паралельне пряме повідомлення. Паралельні лінії

Вони не перетинаються, хоч би скільки їх продовжували. Паралельність прямих на листі позначають так: AB|| ЗE

Можливість існування таких прямих доводиться теоремою.

Теорема.

Через будь-яку точку, взяту поза цією прямою, можна провести паралельну цій прямій.

Нехай ABдана пряма і Зякась точка, взята поза нею. Потрібно довести, що через Зможна провести пряму, паралельнуAB. Опустимо на ABз точки З перпендикулярЗDі потім проведемо ЗE^ ЗD, що можливо. Пряма CEпаралельна AB.

Для доказу припустимо неприємне, тобто, що CEперетинається з ABв деякій точці M. Тоді з точки Mдо прямої ЗDми мали б два різні перпендикуляри MDі MС, що неможливо. Значить, CEне може перетнутися з AB, тобто. ЗEпаралельна AB.

Слідство.

Два перпендикуляри (СEіDB) до однієї прямої (СD) паралельні.

Аксіома паралельних ліній.

Через ту саму точку не можна провести двох різних прямих, паралельних однієї й тієї ж прямий.

Так, якщо пряма ЗD, проведена через точку Зпаралельна прямий AB, то будь-яка інша пряма ЗE, проведена через ту саму точку З, не може бути паралельна AB, тобто. вона при продовженні перетнетьсяз AB.

Доказ цієї цілком очевидної істини виявляється неможливим. Її приймають без доказу як необхідне припущення (postulatum).

Наслідки.

1. Якщо пряма(ЗE) перетинається з однією з паралельних(СВ), то вона перетинається і з іншого ( AB), тому що в іншому випадку через одну і ту ж точку Зпроходили б дві різні прямі, паралельні AB, що неможливо.

2. Якщо кожна з двох прямих (AіB) паралельні одній і тій же третій прямій ( З) , то вони паралельніміж собою.

Справді, якщо припустити, що Aі Bперетинаються в деякій точці M, то тоді через цю точку проходили б дві різні прямі, паралельні З, що неможливо.

Теорема.

Якщо пряма перпендикулярнадо однієї з паралельних прямих, вона перпендикулярна і до іншої паралельною.

Нехай AB || ЗDі EF ^ AB. Потрібно довести, що EF ^ ЗD.

ПерпендикулярEF, перетинаючи з AB, неодмінно перетне і ЗD. Нехай точка перетину буде H.

Припустимо тепер, що ЗDне перпендикулярна до EH. Тоді якась інша пряма, наприклад HK, буде перпендикулярна до EHі, отже через одну й ту саму точку Hпроходитимуть дві прямі паралельні AB: одна ЗD, за умовою, а інша HKза доведеним раніше. Так як це неможливо, то не можна припустити, що СВбула не перпендикулярна до EH.

Які лежать в одній площині або збігаються, або не перетинаються. В деяких шкільних визначенняхпрямі, що збігаються, не вважаються паралельними, тут таке визначення не розглядається.

Властивості

1. Паралельність - бінарне відношення еквівалентності , тому розбиває безліч прямих на класи паралельних між собою прямих.
2. Через будь-яку точку можна провести одну пряму, паралельну даній. Це відмінна властивість евклідової геометрії, в інших геометріях число 1 замінено на інші (у геометрії Лобачевського таких прямих мінімум дві)
3. 2 паралельні прямі у просторі лежать у одній площині.
4. При перетині 2 паралельних прямих третьої, званої січучої:
   1. Сікуча обов'язково перетинає обидві прямі.
   2. При перетині утворюється 8 кутів, деякі характерні пари яких мають особливі назви та властивості:
      1. Нахрест лежатькути рівні.
      2. Відповіднікути рівні.
      3. Одностороннікути у сумі становлять 180°.

У геометрії Лобачевського

У геометрії Лобачевського у площині через точку Неможливо розібрати вираз ( лексична помилка): Cпоза цією прямою $AB$

Проходить нескінченна безлічпрямих, що не перетинають AB. З них паралельними до ABназиваються лише дві.

Пряма CEназивається рівнобіжною (паралельною) прямою ABу напрямку від Aдо B, якщо:

1. крапки Bі Eлежать по одну сторону від прямої AC ;
2. пряма CEне перетинає пряму AB, але всякий промінь, що проходить усередині кута ACE, перетинає промінь AB .

Аналогічно визначається пряма, рівнобіжна ABу напрямку від Bдо A .

Всі інші прямі, що не перетинають дану, називаються ультрапаралельнимиабо розбіжними.

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Схрещувальні прямі
• Нестеріхін, Юрій Єфремович

Дивитися що таке "Паралельні прямі" в інших словниках:

ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ- ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ, прямі, що не перетинаються, лежать в одній площині … Сучасна енциклопедія

ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ Великий Енциклопедичний словник

Паралельні прямі- ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ, прямі, що не перетинаються, лежать в одній площині. … Ілюстрований енциклопедичний словник

Паралельні прямі- в евклідовій геометрії, прямі, що лежать в одній площині і не перетинаються. В абсолютній геометрії через точку, що не лежить на даній прямій, проходить хоча б одна пряма, що не перетинає дану. У… … Велика Радянська Енциклопедія

паралельні прямі- Непересічні прямі, що лежать в одній площині. * * * ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ, прямі, що не перетинаються, лежать в одній площині … Енциклопедичний словник

ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ- в евклідовій геометрії прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються. В абсолютній геометрії через точку, що не лежить на цій прямій, проходить хоча б одна пряма, що не перетинає цю. В евклідовій геометрії існує лише одна… Математична енциклопедія

ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ- прямі, що не перетинаються, лежать в одній площині … Природознавство. Енциклопедичний словник

Паралельні світи у фантастиці– Можливо, ця стаття містить оригінальне дослідження. Додайте посилання на джерела, інакше вона може бути виставлена ​​видалення. Додаткові відомості можна знайти на сторінці обговорення. Це … Вікіпедія

Паралельні світи- Паралельний світ (у фантастиці) реальність, яка існує якимось чином одночасно з нашою, але незалежно від неї. Ця автономна реальність може мати різні розміри: від невеликої географічної областідо цілого всесвіту. У паралельному … Вікіпедія

Паралельні- Прямі лінії називаються П., якщо ні вони, ні їх продовження взаємно не перетинаються. Вестки однієї з таких прямих знаходяться на однаковій відстані від іншої. Однак, прийнято говорити: дві П. прямі перетинаються в безкінечності. Такий… … Енциклопедія Брокгауза та Єфрона

Книги

• Набір таблиць. Математика. 6 клас. 12 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціямидля вчителя. Навчальний альбом із 12 аркушів. Ділімість ...

Ця стаття про паралельні прямі і про паралельність прямих. Спочатку дано визначення паралельних прямих на площині та у просторі, введено позначення, наведено приклади та графічні ілюстрації паралельних прямих. Далі розібрано ознаки та умови паралельності прямих. Наприкінці показані рішення характерних завданьна доказ паралельності прямих, які задані деякими рівняннями прямої прямокутної системикоординат на площині та тривимірному просторі.

Навігація на сторінці.

Паралельні прямі основні відомості.

Визначення.

Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають загальних точок.

Визначення.

Дві прямі в тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Зауважте, що застереження «якщо вони лежать в одній площині» у визначенні паралельних прямих у просторі дуже важливе. Пояснимо цей момент: дві прямі в тривимірному просторі, які не мають спільних точок і не лежать в одній площині не є паралельними, а схрещуються.

Наведемо кілька прикладів паралельних прямих. Протилежні краї листа зошита лежать на паралельних прямих. Прямі, за якими площина стіни будинку перетинає площину стелі та підлоги, є паралельними. Залізничні колії на рівній місцевості також можна розглядати як паралельні прямі.

Для позначення паралельних прямих використовується символ «». Тобто якщо прямі а і b паралельні, то можна коротко записати а b .

Зверніть увагу: якщо прямі a і b паралельні, можна сказати, що пряма a паралельна прямий b , і навіть, що пряма b паралельна прямий a .

Озвучимо твердження, яке грає важливу рольщодо паралельних прямих на площині: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Це твердження приймається як факт (воно не може бути доведено на основі відомих аксіом планіметрії), і воно називається аксіомою паралельних прямих.

Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих (її доказ можна знайти в підручнику геометрії 10-11 клас, який вказаний наприкінці статті у списку літератури).

Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих.

Паралельність прямих - ознаки та умови паралельності.

Ознакою паралельності прямихє достатня умовапаралельності прямих, тобто така умова, виконання якої гарантує паралельність прямих. Іншими словами, виконання цієї умови достатньо для того, щоб констатувати факт паралельності прямих.

Також існують необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у тривимірному просторі.

Пояснимо зміст фрази «необхідна та достатня умова паралельності прямих».

З достатньою умовою паралельності прямих ми вже розібралися. А що ж таке? необхідна умовапаралельності прямих»? За назвою "необхідне" зрозуміло, що виконання цієї умови необхідне для паралельності прямих. Іншими словами, якщо необхідна умова паралельності прямих не виконано, то прямі не є паралельними. Таким чином, необхідна та достатня умова паралельності прямих- Це умова, виконання якого як необхідно, так і достатньо для паралельності прямих. Тобто, з одного боку це ознака паралельності прямих, з другого боку – це властивість, яким мають паралельні прямі.

Перш ніж сформулювати необхідну та достатню умову паралельності прямих, доцільно нагадати кілька допоміжних визначень.

Поточна пряма- Це пряма, яка перетинає кожну з двох заданих прямих.

При перетині двох прямих січної утворюються вісім нерозгорнутих. У формулюванні необхідної та достатньої умови паралельності прямих беруть участь так звані навхрест лежачі, відповідніі односторонні кути. Покажемо їх на кресленні.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині пересічені січною, то для їх паралельності необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівні, або відповідні кутибули рівні, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.

Покажемо графічну ілюстрацію цієї необхідної та достатньої умови паралельності прямих на площині.

Докази цих умов паралельності прямих можна знайти у підручниках геометрії за 7 -9 класи.

Зауважимо, що ці умови можна використовувати і в тривимірному просторі – головне, щоб дві прямі та січна лежали в одній площині.

Наведемо ще кілька теорем, які часто використовуються за доказом паралельності прямих.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині паралельні до третьої прямої, то вони паралельні. Доказ цієї ознаки випливає з аксіоми паралельних прямих.

Існує аналогічна умова паралельності прямих у тривимірному просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі у просторі паралельні третьої прямої, всі вони паралельні. Доказ цієї ознаки розглядається на уроках геометрії у 10 класі.

Проілюструємо озвучені теореми.

Наведемо ще одну теорему, що дозволяє доводити паралельність прямих на площині.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, вони паралельні.

Існує аналогічна теорема для прямих у просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі в тривимірному просторі перпендикулярні до однієї площини, вони паралельні.

Зобразимо малюнки, які відповідають цим теоремам.

Всі сформульовані вище теореми, ознаки та необхідні та достатні умови чудово підходять для доказу паралельності прямих методами геометрії. Тобто, щоб довести паралельність двох заданих прямих потрібно показати, що вони паралельні третьої прямої, або показати рівність навхрест кутів, що лежать, і т.п. Безліч подібних завданьвирішується на уроках геометрії в середній школі. Однак слід зазначити, що у багатьох випадках зручно користуватися методом координат для доказу паралельності прямих на площині або тривимірному просторі. Сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямих, які задані у прямокутній системі координат.

Паралельність прямих у прямокутній системі координат.

У цьому пункті статті ми сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямиху прямокутній системі координат залежно від виду рівнянь, що визначають ці прямі, а також наведемо докладні рішенняхарактерних завдань.

Почнемо з умови паралельності двох прямих на площині прямокутної системі координат Oxy . В основі його доказу лежить визначення напрямного вектора прямої та визначення нормального вектора прямої на площині.

Теорема.

Для паралельності двох неспівпадаючих прямих на площині необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, або нормальні вектори цих прямих були колінеарні, або напрямний вектор однієї прямої був перпендикулярний до нормального вектора другої прямої.

Очевидно, умова паралельності двох прямих на площині зводиться до (напрямних векторів прямих або нормальних векторів прямих) або до (напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора другої прямої). Таким чином, якщо і - напрямні вектори прямих a і b а і - нормальні вектори прямих a та b відповідно, то необхідна та достатня умова паралельності прямих а та b запишеться як , або , або де t - деяке дійсне число. У свою чергу координати напрямних та (або) нормальних векторів прямих a та b знаходяться за відомими рівняннями прямих.

Зокрема, якщо пряму a у прямокутній системі координат Oxy на площині задає загальне рівняння прямого виду , а пряму b - то нормальні вектори цих прямих мають координати і відповідно, а умова паралельності прямих a і b запишеться як .

Якщо прямий a відповідає рівняння прямий з кутовим коефіцієнтом виду , а прямий b - , то нормальні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності цих прямих набуде вигляду . Отже, якщо прямі на площині прямокутної системі координат паралельні і можуть бути задані рівняннями прямих з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнтиПрямих будуть рівні. І навпаки: якщо прямі, що не збігаються, на площині в прямокутній системі координат можуть бути задані рівняннями прямої з рівними кутовими коефіцієнтами, то такі прямі паралельні.

Якщо пряму a та пряму b у ​​прямокутній системі координат визначають канонічні рівняння прямої на площині виду і , або параметричні рівняння прямої на площині виду і відповідно, напрямні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності прямих a і b записується як .

Розберемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Чи паралельні прямі і?

Рішення.

Перепишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівняння прямої: . Тепер видно, що – нормальний вектор прямий , а нормальний вектор прямий . Ці вектори не колінеарні, тому що не існує такого дійсного числа t , для якого правильна рівність ( ). Отже, не виконується необхідна та достатня умова паралельності прямих на площині, тому задані прямі не паралельні.

Відповідь:

Ні, прямі не паралельні.

приклад.

Чи є прямі та паралельними?

Рішення.

Наведемо канонічний рівняння прямої до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: . Вочевидь, що рівняння прямих і однакові (у разі задані прямі були б збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже, вихідні прямі паралельні.

Прямі лінії називаються П., якщо ні вони, ні їх продовження взаємно не перетинаються. Всі точки однієї з таких прямих знаходяться на однаковій відстані від іншої. Однак прийнято говорити: "дві П. прямі перетинаються в нескінченності". Такий спосіб вираження залишається логічно вірним, тому що він рівносильний виразу: "Дві. П. Прямі перетинаються в кінці чогось не має кінця",а це рівносильно тому, що вони не перетинаються. Тим часом вираз: "перетинаються в нескінченності" вносить велика зручність: завдяки йому можна стверджувати, наприклад, що всякі дві прямі на площині перетинаються і мають лише одну точку перетину. Цілком також надходять в аналізі, кажучи, що приватне від розподілу одиниці на нескінченність дорівнює нулю. Насправді не існує нескінченно великої кількості; в аналізі ж нескінченністю називається величина, яка може бути зроблена більш за будь-яку дану величину. Положення: "приватне від розподілу одиниці на нескінченність дорівнює нулю" треба розуміти в тому сенсі, що приватне від розподілу одиниці на якесь число буде тим ближче до нуля, чим більше дільник. До теорії П. ліній належить і знаменита ХІ-а аксіома Евкліда, значення якої з'ясовано працями Лобачевського (див. Лобачевський). Якщо до будь-якої кривої проводити нормалі (див.) і на них відкладати від кривої однакові відрізки, то геометричне місце кінців цих відрізків називається лінією, паралельною до даної кривої.

• - Див. гомологічні мутації.

  Молекулярна біологіята генетика. Тлумачний словник

• - Поперечно орієнтовані кісткові пластинки в області ростової зони довгих кісток. Формуються у періоди затримки ростових процесів організму. Фіксація можлива при рентгенографії кістки.

  Фізична антропологія. Ілюстрований тлумачний словник

• Природознавство. Енциклопедичний словник

• - М., що призводять до однакових змін фенотипу у родинних видів...

  Великий медичний словник

• - у діатонич. системі мажору та мінору пара тональностей протилежного способу, що мають один і той же склад осн. щаблів; тоніч. тризвучтя П. т. включають загальну велику терцію...

  Музична енциклопедія

• - так називаються ті як би додаткові класи, які відкриваються в навчальному закладіу випадках нестачі вакансій у відповідному класі.
• - такі ряди поколінь у деяких попелиць, які походять з яєць одних і тих самок, напр., деяких хермесів, а саме з яєць, відкладених безкрилими самками, що живуть на проміжній рослині, походять...

  Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• - в евклідовій геометрії, прямі, що лежать в одній площині і не перетинаються. В абсолютній геометрії через точку, що не лежить на даній прямій, проходить хоча б одна пряма, що не перетинає цю пряму.
• - спільно протікають хімічні реакції, у яких принаймні одне вихідна речовинає загальним...

  Велика Радянська енциклопедія

• - прямі, що не перетинаються, лежать в одній площині.

  Сучасна енциклопедія

• - прямі, що не перетинаються, лежать в одній площині.

  Великий енциклопедичний словник

• - Ті, хто має однакове числознаків у ключі...
• - шкільні класиз абсолютно однаковим. курсом, поділ. тільки внаслідок переповнення учнями...

  Словник іноземних слівросійської мови

• - Кола, що проводяться на глобусі паралельно екватору.

  Словник іноземних слів російської мови

• - лінії, що лежать в одній площині і віддалені на всьому своєму протязі на однакову відстань одна від іншої, отже при продовженні в ту чи іншу сторону не перетинаються.

  Словник іноземних слів російської мови

• - Місця зі творів різних письменників, які мають однаковий чи подібний зміст...

  Словник іноземних слів російської мови

"Паралельні лінії" у книгах

IX ЛІНІЇ ЖИТТЯ, ЛІНІЇ СМЕРТІ 1984