Користуючись визначенням межі довести що лім. Універсальне визначення межі функції по гейні та по коші

Постійне число аназивається межею послідовності(x n ), якщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0 існує номер N, що всі значення x n, у яких n>N, задовольняють нерівності

| x n - a |< ε. (6.1)

Записують це так: або x n → a.

Нерівність (6.1) рівносильна подвійну нерівність

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

яке означає, що точки x n, починаючи з деякого номера n>N, лежать усередині інтервалу (a-ε, a+ ε ), тобто. потрапляють у будь-яку малуε -околиця точки а.

Послідовність, що має межу, називається схожій, в іншому випадку - розходиться.

Поняття межа функції є узагальненням поняття межа послідовності, оскільки межу послідовності можна розглядати як межу функції x n = f(n) цілого аргументу n.

Нехай дана функція f(x) та нехай a - гранична точкаобласті визначення цієї функції D(f), тобто. така точка, будь-яка околиця якої містить точки множини D(f), відмінні від a. Крапка aможе належати множині D(f), а може і не належати йому.

Визначення 1.Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо для будь-якої послідовності (x n ) значень аргументу, що прагне а, відповідні їм послідовності (f(x n)) мають одну і ту ж межу А.

Це визначення називають визначенням межі функції за Гейном,або “ мовою послідовностей”.

Визначення 2. Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо, задавши довільне як завгодно мале позитивне число ε, можна знайти таке δ>0 (що залежить від ε), що для всіх xлежачи вε-околиці числа а, тобто. для x, що задовольняють нерівності
0 < x-a< ε значення функції f(x) будуть лежати вε-околиці числа А, тобто.|f(x)-A|< ε.

Це визначення називають визначенням межі функції по Коші,або “на мові ε - δ “.

Визначення 1 та 2 рівносильні. Якщо функція f(x) за x →a має межа, рівний А, записується у вигляді

. (6.3)

У тому випадку, якщо послідовність (f(x n)) необмежено зростає (або зменшується) за будь-якого способу наближення xдо своєї межі а, то говоритимемо, що функція f(x) має нескінченна межа, і записувати це у вигляді:

Змінна величина (тобто послідовність чи функція), межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою величиною.

Змінна величина, межа якої дорівнює нескінченності, називається нескінченно великою величиною.

Щоб знайти межу практично користуються наступними теоремами.

Теорема 1 . Якщо існує кожна межа

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Зауваження. Вирази виду 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знайти межу такого виду зветься "розкриття невизначеностей".

Теорема 2. (6.7)

тобто. можна переходити до межі на підставі ступеня за постійного показника, зокрема, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

де e » 2.7 - основа натурального логарифму. Формули (6.10) і (6.11) звуться перший чудової межіта друга чудова межа.

Використовуються на практиці та наслідки формули (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

зокрема межа,

Якщо x → a і при цьому x > a, пишуть x→a + 0. Якщо, зокрема, a = 0, замість символу 0+0 пишуть +0. Аналогічно якщо x →a і при цьому x a-0. Числа і називаються відповідно межа праворучі межа зліва функції f(x) у точці а. Щоб існувала межа функції f(x) при x→a необхідно і достатньо, щоб . Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо межа

. (6.15)

Умову (6.15) можна переписати у вигляді:

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона безперервна у цій точці.

Якщо рівність (6.15) порушена, то кажуть, що при x = x o функція f(x) має розрив.Розглянемо функцію y = 1/x. Областю визначення цієї функції є безліч R, крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D(f), оскільки у її околиці, тобто. у будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D(f), але вона сама не належить цій множині. Значення f(x o)= f(0) не визначено, у точці x o = 0 функція має розрив.

Функція f(x) називається безперервної праворуч у точці x o , якщо межа

і безперервної зліва в точці x o, якщо межа

Безперервність функції у точці x oрівносильна її безперервності у цій точці одночасно праворуч і ліворуч.

Для того, щоб функція була безперервною у точці x o, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існувала кінцева межа , а по-друге, щоб ця межа дорівнювала f(x o). Отже, якщо хоча б одна з цих двох умов не виконується, то функція матиме розрив.

1. Якщо межа існує і не дорівнює f(x o), то кажуть, що функція f(x) у точці x o має розрив першого роду,або стрибок.

2. Якщо межа дорівнює+∞ або -∞ або не існує, то кажуть, що в точці x o функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y = ctg x за x→ +0 має межу, рівну +∞, Отже, у точці x = 0 вона має розрив другого роду. Функція y = E(x) (ціла частина від x) у точках з цілими абсцисами має розриви першого роду, або стрибки.

Функція, безперервна в кожній точці проміжку, називається безперервнийв. Безперервна функція зображується суцільною кривою.

До другої чудової межі приводять багато завдань, пов'язані з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, належать: зростання вкладу згідно із законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій тощо.

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, що дає інтерпретацію числа eу завданні про складні відсотки. Число eє межа . У ощадбанках відсоткові гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, оскільки у освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай у банк покладено 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо відсоткові гроші будуть приєднані до основного капіталу лише через рік, то до цього терміну 100 ден. од. перетворяться на 200 ден.од. Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після півріччя 100 ден. од. зростуть у 100× 1,5 = 150, а ще через півроку – у 150× 1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то через рік 100 ден. од. перетворяться на 100× (1 +1/3) 3 » 237 (ден. од.). Частішатимемо терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді зі 100 ден. од. через рік вийде:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. од.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. од.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. од.).

При безмежному скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до певної межі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби нарослі відсотки приєднувалися до капіталу секунду, тому що межа

Приклад 3.1.Користуючись визначенням межі числової послідовності, довести, що послідовність x n =(n-1)/n має межу, що дорівнює 1.

Рішення.Нам треба довести, що яке бε > 0 ми взяли, йому знайдеться натуральне число N, таке, що всіх n N має місце нерівність| x n -1 |< ε.

Візьмемо будь-яке e > 0. Оскільки ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то відшукання N досить вирішити нерівність 1/n< e. Звідси n>1/e і, отже, за N можна прийняти цілу частину від 1/ e, N = E(1/ e ). Ми тим самим довели, що .

Приклад 3.2 . Знайти межу послідовності, заданої спільним членом .

Рішення.Застосуємо теорему межу суми і знайдемо межу кожного доданка. При n→ ∞ чисельник і знаменник кожного доданка прагне нескінченності, і ми можемо безпосередньо застосувати теорему межа приватного. Тому спочатку перетворимо x nрозділивши чисельник і знаменник першого доданку на n 2, а другого на n. Потім, застосовуючи теорему межу частки та межу суми, знайдемо:

Приклад 3.3. . Знайти.

Рішення. .

Тут ми скористалися теоремою про межу ступеня: межа ступеня дорівнює ступеня від межі основи.

Приклад 3.4 . Знайти ( ).

Рішення.Застосовувати теорему межу різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ∞-∞ . Перетворимо формулу загального члена:

Приклад 3.5 . Дано функцію f(x)=2 1/x . Довести, що межі немає.

Рішення.Скористаємося визначенням 1 межі функції через послідовність. Візьмемо послідовність ( x n ), що сходить до 0, тобто. Покажемо, що величина f(x n)= для різних послідовностей поводиться по-різному. Нехай xn = 1/n. Очевидно, що тоді межа Виберемо тепер як x nпослідовність із загальним членом x n = -1/n, що також прагне до нуля. Тому межі немає.

Приклад 3.6 . Довести, що межі немає.

Рішення.Нехай x 1 , x 2 ,..., x n ,... - послідовність, для якої
. Як поводиться послідовність (f(x n)) = (sin x n ) при різних x n → ∞

Якщо x n = p n то sin x n = sin p n = 0 при всіх nі межа Якщо ж
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 всім nі отже межа. Отже, немає.

Віджет для обчислення меж on-line

У верхньому вікні замість sin(x)/x введіть функцію, межу якої потрібно знайти. У нижнє віконце введіть число, до якого прагне х і натисніть кнопку Calcular, отримайте межу, що шукається. А якщо у вікні результату натиснете Show steps у правому верхньому кутку, то отримаєте докладне рішення.

Правила введення функцій: sqrt(x)- квадратний корінь, cbrt(x) - кубічний корінь, exp(x) - експонента, ln(x) - натуральний логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan (x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксінус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * множення, / поділу, зведення в ступінь, замість нескінченності Infinity. Приклад: функція вводиться так sqrt(tan(x/2)).

Межа функції- Число aбуде межею деякої величини, що змінюється, якщо в процесі своєї зміни ця змінна величина необмежено наближається до a.

Або іншими словами, число Aє межею функції y = f(x)у точці x 0, якщо для будь - якої послідовності точок з області визначення функції , не рівних x 0, і яка сходиться до точки x 0 (lim x n = x0), послідовність відповідних значень функції сходиться до A.

Графік функції, межа якої при аргументі, що прагне нескінченності, дорівнює L:

Значення Ає межею (граничним значенням) функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якої послідовності точок , яка сходиться до x 0, але яка не містить x 0як один із своїх елементів (тобто в проколотій околиці x 0), послідовність значень функції сходиться до A.

Межа функції по Коші.

Значення Aбуде межею функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якого вперед взятого невід'ємного числа ε буде знайдено відповідне йому невід'ємне число δ = δ(ε) таке, що для кожного аргументу x, що задовольняє умову 0 < | x - x0 | < δ , буде виконано нерівність | f(x) A |< ε .

Буде дуже просто, якщо ви розумієте суть межі та основні правила знаходження його. Те, що межа функції f (x)при xщо прагне до aдорівнює A, записується таким чином:

Причому значення, якого прагне змінна x, може бути не лише числом, а й нескінченністю (∞), іноді +∞ або -∞, або межі може взагалі не бути.

Щоб зрозуміти, як знаходити межі функціїнайкраще подивитися приклади рішення.

Необхідно знайти межі функції f (x) = 1/xпри:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Знайдемо рішення першої межі. Для цього можна просто підставити замість xчисло, якого вона прагне, тобто. 2, отримаємо:

Знайдемо другу межу функції. Тут підставляти в чистому вигляді 0 замість xне можна, тому що. ділити на 0 не можна. Але ми можемо брати значення, наближені до нуля, наприклад, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 і так далі, причому значення функції f (x)збільшуватиметься: 100; 1000; 10000; 100000 і так далі. В.о., можна зрозуміти, що за x→ 0 значення функції, що стоїть під знаком межі, необмежено зростатиме, тобто. прагнути до нескінченності. А значить:

Стосовно третьої межі. Така ж ситуація, як і в минулому випадку, неможливо підставити ∞ В чистому вигляді. Потрібно розглянути випадок необмеженого зростання x. По черзі підставляємо 1000; 10000; 100000 і так далі маємо значення функції f (x) = 1/xбуде спадати: 0,001; 0,0001; 0,00001; і так далі, прагнучи нуля. Тому:

Необхідно обчислити межу функції

Приступаючи до вирішення другого прикладу, бачимо невизначеність. Звідси знаходимо старший ступінь чисельника та знаменника - це x 3, Виносимо в чисельнику і знаменнику його за дужки і далі скорочуємо на нього:

Відповідь

Першим кроком у знаходження цієї межі, підставимо значення 1 замість x, у результаті маємо невизначеність . Для її вирішення розкладемо чисельник на множники, зробимо це методом знаходження коріння квадратного рівняння x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 +12 = 16→ √ D =√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Таким чином, чисельник буде таким:

Відповідь

Це визначення його конкретного значенняабо певної області, куди потрапляє функція, обмежена межею.

Щоб вирішити межі, дотримуйтесь правил:

Розібравшись у суті та основних правилах вирішення межі, ви отримаєте базове поняттяпро те, як їх вирішувати.

Тут ми розглянемо визначення кінцевої межіпослідовності. Випадок послідовності, що сходить до нескінченності, розглянутий на сторінці «Визначення нескінченно великої послідовності» .

Визначення.
( x n )якщо для будь-якого позитивного числа ε > 0 існує таке натуральне число N ε , що залежить від ε , що для всіх натуральних n > N ε виконується нерівність
| x n - a |< ε .
Межа послідовності позначається так:
.
Або при .

Перетворимо нерівність:
;
;
.

Відкритий інтервал (a - ε, a + ε) називають ε - околицею точки a.

Послідовність, у якої існує межа називається послідовністю, що збігається. Також кажуть, що послідовність сходитьсядо a. Послідовність, яка не має межі, називається розбіжною.

З визначення випливає, що, якщо послідовність має межу a , що яку б ε - околиці точки a ми не вибрали, за її межами може виявитися лише кінцеве число елементів послідовності, або взагалі жодного ( порожня безліч). А будь-яка ε - околиця містить нескінченне числоелементів. Насправді, задавши певне число ε , ми, тим самим, маємо число . Отже, всі елементи послідовності з номерами , за визначенням, знаходяться в ε - околиці точки a . Перші елементи можуть знаходитися де завгодно. Тобто поза ε - околиці може бути трохи більше елементів - тобто кінцеве число.

Також зауважимо, що різниця зовсім не повинна монотонно прагнути до нуля, тобто постійно зменшуватися. Вона може прагнути до нуля не монотонно: може то зростати, то зменшуватися, маючи локальні максимуми. Однак ці максимуми, зі зростанням n, повинні прагнути нуля (можливо теж не монотонно).

За допомогою логічних символів існування та загальності, визначення межі можна записати так:
(1) .

Визначення, що число a не є межею

Тепер розглянемо зворотне затвердження, Що число a не є межею послідовності.

Число a не є межею послідовностіякщо існує таке, що для будь-якого натурального n існує таке натуральне m > n, що
.

Запишемо це твердження з допомогою логічних знаків.
(2) .

Твердження, що число a не є межею послідовності, означає, що
можна вибрати таку ε - околицю точки a , за межами якої перебуватиме нескінченна кількість елементів послідовності.

Розглянемо приклад. Нехай задана послідовність із загальним елементом
(3)
Будь-яка околиця точки містить безліч елементів. Однак ця точка не є межею послідовності, оскільки будь-яка околиця точки також містить нескінченну кількість елементів. Візьмемо ε - околиця точки з ε = 1 . Це буде інтервал (-1, +1) . Усі елементи, крім першого, з парними n належать цьому інтервалу. Але всі елементи з непарними n знаходяться поза цим інтервалом, оскільки вони задовольняють нерівності x n > 2 . Оскільки число непарних елементів нескінченне, то поза обраної околиці буде перебувати нескінченне число елементів. Тому точка не є межею послідовності.

Тепер покажемо це, суворо дотримуючись утвердження (2). Точка не є межею послідовності (3), оскільки існує таке , так що для будь-якого натурального n існує непарне , для якого виконується нерівність
.

Також можна показати, що будь-яка точка a не може бути межею цієї послідовності. Ми можемо вибрати таку ε - околиця точки a , яка містить або точку 0, або точку 2. І тоді поза обраної околиці перебуватиме нескінченне число елементів послідовності.

Еквівалентне визначення

Можна дати еквівалентне визначення межі послідовності, якщо розширити поняття - околиці. Ми отримаємо рівносильне визначення, якщо в ньому замість ε - околиці буде фігурувати будь-яка околиця точки a .

Визначення околиці точки
Околицею точки aназивається будь-який відкритий інтервал, що містить цю точку. Математично околиця визначається так: , де ε 1 та ε 2 - Довільні позитивні числа.

Тоді визначення межі буде наступним.

Еквівалентне визначення межі послідовності
Число a називається межею послідовностіякщо для будь-якої її околиці існує таке натуральне число N , що всі елементи послідовності з номерами належать цьому околиці.

Це визначення можна уявити й у розгорнутому вигляді.

Число a називається межею послідовності, якщо для будь-яких позитивних чисел і існує таке натуральне число N , що залежить від і , що для всіх натуральних виконуються нерівності
.

Доказ рівносильності визначень

Доведемо, що представлені вище, два визначення межі послідовності рівносильні.

Нехай число a є межею послідовності згідно з першим визначенням. Це означає, що є функція , так що для будь-якого позитивного числа виконуються нерівності:
(4) при .

Покажемо, що число a є межею послідовності та за другим визначенням. Тобто нам потрібно показати, що існує така функція, так що для будь-яких позитивних чисел ε 1 та ε 2 виконуються нерівності:
(5) при .

Нехай ми маємо два позитивні числа: ε 1 та ε 2 . І нехай ε - найменша з них: . Тоді; ; . Використовуємо це в (5):
.
Але нерівності виконуються при . Тоді і нерівності (5) виконуються при .

Тобто ми знайшли таку функцію , при якій виконуються нерівності (5) для будь-яких позитивних чисел ε 1 та ε 2 .
Першу частину доведено.

Тепер нехай число a є межею послідовності згідно з другим визначенням. Це означає, що є функція , так що для будь-яких позитивних чисел ε 1 та ε 2 виконуються нерівності:
(5) при .

Покажемо, що число a є межею послідовності та за першим визначенням. Для цього потрібно покласти. Тоді при виконуються нерівності:
.
Це відповідає першому визначенню з.
Рівносильність визначень доведено.

Приклади

Тут ми розглянемо кілька прикладів, у яких потрібно довести, що задане число a є межею послідовності. При цьому потрібно задати довільні позитивне число і визначити функцію N від таку, що для всіх виконується нерівність .

Приклад 1

Довести, що .

(1) .
У нашому випадку ;
.

.
Скористаємося властивостями нерівностей. Тоді якщо і , то
.

.
Тоді
при .
Це означає, що число є межею заданої послідовності:
.

Приклад 2

За допомогою визначення межі послідовності довести, що
.

Випишемо визначення межі послідовності:
(1) .
У нашому випадку , ;
.

Вводимо позитивні числа та:
.
Скористаємося властивостями нерівностей. Тоді якщо і , то
.

Тобто, для будь-якого позитивного ми можемо взяти будь-яке натуральне число, більше або рівне :
.
Тоді
при .
.

Приклад 3

Вводимо позначення , .
Перетворюємо різницю:
.
Для натуральних n = 1, 2, 3, ... маємо:
.

Випишемо визначення межі послідовності:
(1) .
Вводимо позитивні числа та:
.
Тоді якщо і , то
.

Тобто, для будь-якого позитивного ми можемо взяти будь-яке натуральне число, більше або рівне :
.
При цьому
при .
Це означає, що число є межею послідовності:
.

Приклад 4

Використовуючи визначення межі послідовності довести, що
.

Випишемо визначення межі послідовності:
(1) .
У нашому випадку , ;
.

Вводимо позитивні числа та:
.
Тоді якщо і , то
.

Тобто, для будь-якого позитивного ми можемо взяти будь-яке натуральне число, більше або рівне :
.
Тоді
при .
Це означає, що число є межею послідовності:
.

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.

(x)у точці x 0 :
,
якщо
1) існує така проколота околиця точки x 0
2) для будь-якої послідовності ( x n ), що сходить до x 0 :
, елементи якої належать околиці ,
послідовність (f(x n))сходиться до a:
.

Тут x 0 і a можуть бути як кінцевими числами, так і нескінченно віддаленими точками. Околиця може бути як двосторонньою, так і односторонньою.

Друге визначення межі функції (за Кошою)

Число a називається межею функції f (x)у точці x 0 :
,
якщо
1) існує така проколота околиця точки x 0 , де функція визначена;
2) для будь-якого позитивного числа ε > 0 існує таке число δε > 0 , що залежить від ε , що для всіх x , що належать проколоті δ ε - околиці точки x 0 :
,
значення функції f (x)належать ε - околиці точки a:
.

Крапки x 0 і можуть бути як кінцевими числами, так і нескінченно віддаленими точками. Околиця також може бути як двосторонньою, так і односторонньою.

Запишемо це визначення за допомогою логічних символів існування та загальності:
.

У цьому вся визначенні використовуються околиці з рівновіддаленими кінцями. Можна дати і еквівалентне визначення, використовуючи довільні околиці точок.

Визначення з використанням довільних околиць
Число a називається межею функції f (x)у точці x 0 :
,
якщо
1) існує така проколота околиця точки x 0 , де функція визначена;
2) для будь-якого околиці U (a)точки a існує така проколота околиця точки x 0 , що для всіх x , що належать проколоті околиці точки x 0 :
,
значення функції f (x)належать околиці U (a)точки a:
.

За допомогою логічних символів існування та загальності це визначення можна записати так:
.

Односторонні та двосторонні межі

Наведені вище визначення універсальні тому, що їх можна використовувати будь-яких типів околиць. Якщо, як ми використовуємо лівосторонню проколоту околицю кінцевої точкито отримаємо визначення лівосторонньої межі. Якщо в околиці використовувати околицю нескінченно віддаленої точки, то отримаємо визначення межі на нескінченності.

Для визначення межі по Гейні це зводиться до того що, що на довільну, схожу до , послідовність накладається додаткове обмеження - її елементи повинні належати відповідної проколотої околиці точки .

Для визначення межі по Коші необхідно у кожному разі перетворити висловлювання й у нерівності, використовуючи відповідні визначення околиці точки.
Див. «Навколо точки».

Визначення, що точка a не є межею функції

Часто виникає необхідність використовувати умову, що точка a не є межею функції при . Побудуємо заперечення до викладених вище ухвал. Вони ми припускаємо, що функція f (x)визначена на деякій проколотій околиці точки x 0 . Точки a та x 0 можуть бути як кінцевими числами, так і нескінченно віддаленими. Все сформульоване нижче стосується як двосторонніх, так і односторонніх меж.

За Гейном.
Число a не ємежею функції f (x)у точці x 0 : ,
якщо існує така послідовність ( x n ), що сходить до x 0 :
,
елементи якої належать околиці,
що послідовність (f(x n))не сходиться до a:
.
.

По Коші.
Число a не ємежею функції f (x)у точці x 0 :
,
якщо існує таке позитивне число? > 0 так для будь-якого позитивного числа δ > 0 існує таке x , що належить проколотій δ - околиці точки x 0 :
,
що значення функції f (x)не належить ε - околиці точки a :
.
.

Зрозуміло, якщо точка a не є межею функції при , то це не означає, що у неї не може бути межі. Можливо, існує межа , але вона не дорівнює a . Також можливий випадок, коли функція визначена в проколоті околиці точки , але не має межі при .

Функція f(x) = sin(1/x)не має межі за x → 0.

Наприклад, функція визначена при , але межі немає. Для доказу візьмемо послідовність. Вона сходиться до точки 0 : . Оскільки, то.
Візьмемо послідовність. Вона також сходиться до точки 0 : . Але оскільки, то.
Тоді межа не може дорівнювати жодному числу a. Дійсно, при , Існує послідовність , З якої . Тому будь-яке відмінне від нуля число не є межею. Але також не є межею, оскільки існує послідовність , з якою .

Еквівалентність визначень межі по Гейні та Коші

Теорема
Визначення межі функції по Гейні та Коші еквівалентні.

Доведення

При доказі ми припускаємо, що функція визначена в деякій проколоті околиці точки (кінцевої або нескінченно віддаленої). Точка a також може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою.

Доказ Гейне ⇒ Коші

Нехай функція має у точці межу a згідно з першим визначенням (за Гейном). Тобто для будь-якої послідовності, що належить околиці точки і має межу
(1) ,
межа послідовності дорівнює a:
(2) .

Покажемо, що функція має межу в точці Коші. Тобто для кожного існує, що для всіх.

Допустимо неприємне. Нехай умови (1) та (2) виконані, але функція не має межі по Коші. Тобто існує таке, що для будь-кого існує, тож
.

Візьмемо , де n – натуральне число. Тоді існує , причому
.
Таким чином ми побудували послідовність, що сходить до, але межа послідовності не дорівнює a. Це суперечить умові теореми.

Першу частину доведено.

Доказ Коші ⇒ Гейне

Нехай функція має в точці межу a відповідно до другого визначення (за Кошою). Тобто для будь-кого існує, що
(3) для всіх .

Покажемо, що функція має межу a у точці за Гейном.
Візьмемо довільне число. Згідно з визначенням Коші, існує число , так що виконується (3).

Візьмемо довільну послідовність, що належить проколотому околиці і сходить до. За визначенням послідовності, що сходить, для будь-якого існує , що
при .
Тоді з (3) випливає, що
при .
Оскільки це виконується для будь-кого, то
.

Теорему доведено.

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.

Математика - наука, що будує світ. Як вчений, так і проста людина - ніхто не зможе обійтися без неї. Спочатку маленьких дітей вчать рахувати, потім складати, віднімати, множити і ділити, до середній школіу хід вступають літерні позначення, а старшій без них вже не обійтися.

Але сьогодні йтиметься про те, на чому будується вся відома математика. Про угруповання чисел під назвою «межі послідовностей».

Що таке послідовності і де їхня межа?

Значення слова "послідовність" трактувати неважко. Це така побудова речей, де хтось чи щось розташовані в певному порядкучи черги. Наприклад, черга за квитками до зоопарку — це послідовність. До того ж вона може бути тільки одна! Якщо, наприклад, подивитися на чергу до магазину, це одна послідовність. А якщо одна людина з цієї черги раптом піде, то це вже інша черга, інший порядок.

Слово "межа" також легко трактується - це кінець чогось. Однак у математиці межі послідовностей — це значення на числової прямий, яких прагне послідовність чисел. Чому прагне, а чи не закінчується? Все просто, у числової прямої немає кінця, а більшість послідовностей, як промені, мають тільки початок і виглядають так:

х 1, х 2, х 3, … х n …

Звідси визначення послідовності – функція натурального аргументу. Більше простими словами- Це ряд членів деякої множини.

Як будується числова послідовність?

Найпростіший приклад числової послідовностіможе виглядати так: 1, 2, 3, 4, …n…

Найчастіше для практичних цілей послідовності будуються із цифр, причому кожен наступний член ряду, позначимо його Х, має своє ім'я. Наприклад:

х 1 - перший член послідовності;

х 2 - другий член послідовності;

х 3 - третій член;

х n - енний член.

У практичні методипослідовність задається загальною формулою, В якій є деяка змінна. Наприклад:

Х n =3n, тоді сам ряд чисел виглядатиме так:

Варто не забувати, що при спільного записупослідовностей можна використовувати будь-які Латинські букви, Не тільки Х. Наприклад: y, z, k тощо.

Арифметична прогресія як частина послідовностей

Перш ніж шукати межі послідовностей, доцільно глибше поринути в саме таке поняття. числового ряду, з яким усі стикалися, будучи в середніх класах. Арифметична прогресія — це низка чисел, у якому різниця між сусідніми членами стала.

Завдання: «Нехай а 1 = 15, а крок прогресії числового ряду d = 4. Побудуйте перші 4 члени цього ряду»

Рішення: а 1 = 15 (за умовою) - перший член прогресії (числового ряду).

а 2 = 15 + 4 = 19 - другий член прогресії.

а 3 = 19 + 4 = 23 - третій член.

а 4 = 23 + 4 = 27 - четвертий член.

Однак подібним методом важко дістатися до великих значень, Наприклад, до а 125. . Спеціально для таких випадків було виведено зручну для практики формулу: а n =a 1 +d(n-1). У даному випадкуа 125 = 15 +4 (125-1) = 511.

Види послідовностей

Більшість послідовностей нескінченні, це варто запам'ятати протягом усього життя. Існує два цікавих видівчислового ряду. Перший задається формулою а n = (-1) n . Математики часто називають цю послідовність мигалкою. Чому? Перевіримо її числовий ряд.

1, 1, -1, 1, -1, 1 і т. д. подібному прикладістає зрозумілим, що числа в послідовностях можуть легко повторюватися.

Факторіальна послідовність. Легко здогадатися - у формулі, що задає послідовність, є факторіал. Наприклад: а n = (n+1)!

Тоді послідовність буде виглядати так:

а 2 = 1х2х3 = 6;

а 3 = 1х2х3х4 = 24 і т.д.

Послідовність, задана арифметичною прогресією, називається нескінченно спадаючою, якщо всім її членів дотримується нерівність -1

а 3 = - 1/8 тощо.

Існує навіть послідовність, що складається з одного й того ж числа. Так, а n = 6 складається з нескінченної множини шісток.

Визначення межі послідовності

Межі послідовностей давно існують у математиці. Звичайно, вони заслужили на своє власне грамотне оформлення. Отже, час дізнатися про визначення меж послідовностей. Для початку докладно розглянемо межу для лінійної функції:

Усі межі позначаються скорочено lim.
Запис межі складається зі скорочення lim, будь-якої змінної, що прагне до певного числа, нуля або нескінченності, а також самої функції.

Легко зрозуміти, що визначення межі послідовності може бути сформульовано так: це деяке число, до якого нескінченно наближаються всі члени послідовності. Простий приклад: x = 4x+1. Тоді сама послідовність буде виглядати так.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Таким чином, дана послідовність нескінченно збільшуватиметься, а, отже, її межа дорівнює нескінченності при x→∞, і записувати це слід так:

Якщо ж взяти схожу послідовність, але їх буде прагнути до 1, то отримаємо:

А ряд чисел буде таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 і т. д. Щоразу потрібно підставляти число дедалі більше наближене до одиниці (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). З цього ряду видно, що межа функції це п'ять.

З цієї частини варто запам'ятати, що така межа числової послідовності, визначення та метод вирішення простих завдань.

Загальне позначення межі послідовностей

Розібравши межу числової послідовності, визначення його та приклади, можна приступити до більш складної теми. Абсолютно всі межі послідовностей можна сформулювати однією формулою, яку зазвичай розбирають у першому семестрі.

Отже, що означає цей набір букв, модулів і знаків нерівностей?

∀ - квантор загальності, що замінює фрази "для всіх", "для всього" і т.п.

∃ — квантор існування, у разі означає, що існує деяке значення N, що належить безлічі натуральних чисел.

Довга вертикальна паличка, наступна за N, означає, що це безліч N «таке, що». Насправді вона може означати «така, що», «такі, що» тощо.

Для закріплення матеріалу прочитайте формулу вголос.

Невизначеність та визначеність межі

Метод знаходження межі послідовностей, який розглядався вище, хай і простий у застосуванні, але не такий раціональний на практиці. Спробуйте знайти межу для такої функції:

Якщо підставляти різні значення «ікс» (щоразу збільшуються: 10, 100, 1000 і т. д.), то в чисельнику отримаємо ∞, але в знаменнику теж ∞. Виходить досить дивний дріб:

Але чи це так насправді? Обчислити межу числової послідовності у разі здається досить легко. Можна було б залишити все, як є, адже відповідь готова, і отримана вона на розумних умовах, однак є ще один спосіб спеціально для таких випадків.

Для початку знайдемо старший ступінь у чисельнику дробу - це 1, тому що х можна уявити як х 1 .

Тепер знайдемо старший ступінь у знаменнику. Теж 1.

Розділимо і чисельник, і знаменник на змінну найвищою мірою. У разі дроб ділимо на х 1 .

Далі знайдемо, якого значення прагне кожне доданок, що містить змінну. У разі розглядаються дроби. При х→∞ значення кожного дробу прагне нуля. При оформленні роботи в письмовому вигляді варто зробити такі виноски:

Виходить наступне вираз:

Звичайно, дроби, що містять х, не стали нулями! Але їх значення настільки мало, що можна не враховувати його при розрахунках. Насправді ж х ніколи не дорівнюватиме 0 в даному випадку, адже на нуль ділити не можна.

Що таке околиця?

Припустимо, у розпорядженні професора складна послідовність, задана, очевидно, щонайменше складною формулою. Професор знайшов відповідь, але чи підходить він? Адже всі люди помиляються.

Огюст Коші свого часу вигадав відмінний спосіб для доведення меж послідовностей. Його спосіб назвали оперуванням околицями.

Припустимо, що є певна точка а, її околиця в обидві сторони на числової прямої дорівнює ε («епсілон»). Оскільки остання змінна — відстань, її значення завжди позитивно.

Тепер поставимо деяку послідовність х n і покладемо, що десятий член послідовності (x 10) входить в околицю а. Як записати цей факт математичною мовою?

Припустимо, х 10 знаходиться правіше від точки а тоді відстань х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Тепер настав час роз'яснити практично ту формулу, про яку йшлося вище. Деяке число а справедливо називати кінцевою точкою послідовності, якщо для будь-якої її межі виконується нерівність ε>0, причому вся околиця має свій натуральний номер N, такий, що всі члени послідовності з більш значними номерами виявляться всередині послідовності | x n - a |< ε.

З такими знаннями легко здійснити вирішення меж послідовності, довести чи спростувати готову відповідь.

Теореми

Теореми про межі послідовностей - важлива складова теорії, без якої неможлива практика. Є лише чотири головні теореми, запам'ятавши які, можна в рази полегшити хід рішення чи докази:

Єдиність межі послідовності. Межа в будь-якій послідовності може бути тільки одна або не бути зовсім. Той самий приклад із чергою, в якої може бути лише один кінець.
Якщо ряд чисел має межу, то послідовність цих чисел обмежена.
Межа суми (різниці, твори) послідовностей дорівнює сумі (різниці, твору) їх меж.
Межа приватного від поділу двох послідовностей дорівнює приватній межі тоді і лише тоді, коли знаменник не звертається в нуль.

Доказ послідовностей

Іноді потрібно вирішити обернену задачу, довести задану межу числової послідовності. Розглянемо з прикладу.

Довести, що межа послідовності, заданої формулою, дорівнює нулю.

За розглянутим вище правилом, для будь-якої послідовності має виконуватися нерівність | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Виразимо n через «епсілон», щоб показати існування певного номера та довести наявність межі послідовності.

На цьому етапі важливо нагадати, що «епсілон» та «ен» - числа позитивні і не дорівнюють нулю. Тепер можна продовжувати подальші перетворення, використовуючи знання про нерівності, отримані у середній школі.

Звідки виходить, що n> -3 + 1/ε. Оскільки варто пам'ятати, що йдеться про натуральні числа, то результат можна округлити, занісши його в квадратні дужки. Таким чином, було доведено, що для будь-якого значення околиці «епсілон» точки а=0 знайшлося таке, що виконується початкова нерівність. Звідси можна сміливо стверджувати, що число є межа заданої послідовності. Що й потрібно було довести.

Ось таким зручним методом можна довести межу числової послідовності, якою б складною вона на перший погляд не була. Головне — не впадати в паніку, побачивши завдання.

А може, його нема?

Існування межі послідовності необов'язково практично. Легко можна зустріти такі ряди чисел, які справді не мають кінця. Наприклад, та сама «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, що послідовність, що складається лише з двох цифр, що циклічно повторюються, не може мати межі.

Та ж історія повторюється з послідовностями, що складаються з одного числа, дробовими, що мають під час обчислень невизначеність будь-якого порядку (0/0, ∞/∞, ∞/0 тощо). Однак слід пам'ятати, що неправильне обчислення теж має місце. Іноді межу послідовностей знайти допоможе повторно перевіряти своє рішення.

Монотонна послідовність

Вище розглядалися кілька прикладів послідовностей, методи їх вирішення, а тепер спробуємо взяти певніший випадок і назвемо його «монотонною послідовністю».

Визначення: будь-яку послідовність справедливо називати монотонно зростаючою, якщо для неї виконується сувора нерівність x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Поряд із цими двома умовами існують також подібні несуворі нерівності. Відповідно, x n ≤ x n +1 (незменшуюча послідовність) і x n ≥ x n +1 (незростаюча послідовність).

Але легше розуміти таке на прикладах.

Послідовність, задана формулою х n = 2+n, утворює наступний ряд чисел: 4, 5, 6 тощо. буд. Це монотонно зростаюча послідовність.

А якщо взяти x n = 1/n, то отримаємо ряд: 1/3, ¼, 1/5 і т. д. Це монотонно спадна послідовність.

Межа схожої та обмеженої послідовності

Обмежена послідовність - послідовність, що має межу. Сходящаяся послідовність — ряд чисел, що має нескінченно малу межу.

Таким чином, межа обмеженої послідовності – це будь-яке дійсне чи комплексне число. Пам'ятайте, що межа може бути лише одна.

Межа послідовності, що сходить, - це величина нескінченно мала (дійсна або комплексна). Якщо накреслити діаграму послідовності, то певній точці вона буде сходитися, прагнути звернутися у певну величину. Звідси і назва - послідовність, що збігається.

Межа монотонної послідовності

Межа такої послідовності може бути, а може і не бути. Спочатку корисно зрозуміти, коли він є, звідси можна відштовхнутися за доказом відсутності межі.

Серед монотонних послідовностей виділяють схожу і розбіжну. Східна - це така послідовність, яка утворена безліччю х і має в даній множині дійсну або комплексну межу. Розбіжна - послідовність, яка не має межі у своїй множині (ні дійсної, ні комплексної).

Причому послідовність сходиться, якщо з геометричному зображенні її верхній і нижній межі сходяться.

Межа послідовності, що сходить, у багатьох випадках може дорівнювати нулю, так як будь-яка нескінченно мала послідовність має відому межу (нуль).

Яку послідовність, що сходить, не візьми, всі вони обмежені, проте далеко не всі обмежені послідовності сходяться.

Сума, різниця, добуток двох послідовностей, що сходяться - також послідовність, що сходить. Однак приватне може бути також схожим, якщо воно визначено!

Різні дії з межами

Межі послідовностей - це така ж істотна (у більшості випадків) величина, як і цифри та числа: 1, 2, 15, 24, 362 і т. д. Виходить, що з межами можна проводити деякі операції.

По-перше, як і цифри та числа, межі будь-яких послідовностей можна складати та віднімати. Виходячи з третьої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа суми послідовностей дорівнює сумі їх меж.

По-друге, виходячи з четвертої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа добутку n-ої кількості послідовностей дорівнює добутку їх меж. Те ж справедливо і для поділу: межа приватного двох послідовностей дорівнює частці їх меж, за умови що межа не дорівнює нулю. Адже якщо межа послідовностей дорівнюватиме нулю, то вийде поділ на нуль, що неможливо.

Властивості величин послідовностей

Здавалося б, межа числової послідовності вже розібрано досить докладно, проте неодноразово згадуються такі фрази, як «нескінченно маленькі» і «нескінченно великі» числа. Очевидно, якщо є послідовність 1/х, де x→∞, то такий дріб нескінченно малий, а якщо той самий послідовність, але межа прагне нуля (х→0), то дріб стає нескінченно великою величиною. А такі величини мають свої особливості. Властивості межі послідовності, що має будь-які малі або великі величини, полягають у наступному:

Сума будь-якої кількості скільки завгодно малих величин буде також малою величиною.
Сума будь-якої кількості великих величин буде нескінченно великою величиною.
Твір як завгодно малих величин нескінченно мало.
Добуток скільки завгодно великих чисел — величина нескінченно більша.
Якщо вихідна послідовність прагне нескінченно великому числу, то величина, їй зворотна, буде нескінченно малою і прагнути нуля.

Насправді обчислити межу послідовності – не таке складне завдання, якщо знати простий алгоритм. Але межі послідовностей — тема, яка потребує максимуму уваги та посидючості. Звичайно, досить просто вловити суть вирішення подібних виразів. Починаючи з малого, згодом можна досягти великих вершин.