Похідна збільшення функції. Записи з міткою "приріст аргументу"

з медичної та біологічної фізики

лекція №1

ВИРОБНИЧА І ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ.

ПРИВАТНІ ВИРОБНИЧІ.

1. Поняття похідної, її механічний та геометричний зміст.

а ) Збільшення аргументу та функції.

Нехай дана функція y = f (х), де х - значення аргументу з області визначення функції. Якщо вибрати два значення аргументу х о і х із певного інтервалу області визначення функції, то різницю між двома значеннями аргументу називається збільшенням аргументу: х - х о =∆х.

Значення аргументу x можна визначити через x 0 та його збільшення: х = х про + ∆х.

Різниця між двома значеннями функції називається збільшенням функції: ∆y = ∆f = f(х о +∆х) – f(х о).

Збільшення аргументу та функції можна представити графічно (рис.1). Приріст аргументу та збільшення функції може бути як позитивним, так і негативним. Як випливає з рис.1 геометрично збільшення аргументу ∆х зображується збільшенням абсциси, а збільшення функції ∆у - збільшенням ординати. Обчислення збільшення функції слід проводити в наступному порядку:

даємо аргументу збільшення ∆х і одержуємо значення – x+Δx;

2) знаходимо значення функції значення аргументу (х+∆х) – f(х+∆х);

3) знаходимо збільшення функції ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Приклад:Визначити збільшення функції y=х 2 якщо аргумент змінився від х про =1 до х=3. Для точки х про значення функції f(х о) = х²; для точки (х о +∆х) значення функції f(х о +∆х) = (х о +∆х) 2 = х² о +2х о ∆х+∆х 2 , звідки ∆f = f(х о + ∆х)–f(х о) = (х о +∆х) 2 –х² о = х² о +2х о ∆х+∆х 2 –х² о = 2х о ∆х+∆х 2 ; ∆f = 2х про ∆х+∆х 2; ∆х = 3-1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.

б)Завдання, що призводять до поняття похідної. Визначення похідної, її фізичне значення.

Поняття збільшення аргументу та функції необхідні для введення поняття похідної, яке історично виникло виходячи з необхідності визначення швидкості тих чи інших процесів.

Розглянемо, як можна визначити швидкість прямолінійного руху. Нехай тіло рухається прямолінійно згідно із законом: ∆Ѕ= ·∆t. Для рівномірного руху:= ∆Ѕ/∆t.

Для змінного руху значення ∆Ѕ/∆t визначає значення  порівн. , тобто  порівн. =∆Ѕ/∆t. Середня швидкістьне дає можливості відобразити особливості руху тіла та дати уявлення про справжню швидкість у момент часу t. При зменшенні проміжку часу, тобто. при ∆t→0 середня швидкість прагне до своєї межі – миттєвої швидкості:

 мгн. =
 порівн. =
∆Ѕ/∆t.

Так само визначається і миттєва швидкість хімічної реакції:

 мгн. =
 порівн. =
∆х/∆t,

де х - кількість речовини, що утворилася при хімічній реакції за час t. Подібні завданнявизначення швидкості різних процесів призвели до введення в математиці поняття похідної функції.

Нехай дана безперервна функція f(х), визначена на інтервалі ]а,в[іє приріст ∆f=f(х+∆х)–f(х).Ставлення
є функцією ∆х та виражає середню швидкість зміни функції.

Межа відносин , коли ∆х→0,за умови, що ця межа існує, називається похідною функції :

y" x =

.

Похідна позначається:
- (Ігрек штрих по ікс); " (х) - (еф штрих по ікс) ; y" – (гравець штрих); dy/dх – (Де ігрек по де ікс); - (Ігрек з точкою).

Виходячи з визначення похідної, можна сказати, що миттєва швидкість прямолінійного руху є похідною від шляху за часом:

 мгн. = S" t = f " (t).

Таким чином, можна дійти невтішного висновку, що похідна функції за аргументом х є миттєва швидкість зміни функції f(х):

у" x = f " (х) =  мгн.

У цьому полягає фізичний сенс похідної. Процес знаходження похідної називається диференціюванням, тому вираз «продиференціювати функцію» рівносильно виразу «знайти похідну функції».

в)Геометричний зміст похідної.

П
роизводная функції у = f(х) має простий геометричний зміст, пов'язаний з поняттям дотичної до кривої лінії в деякій точці M. У цьому, дотичну, тобто. пряму лінію аналітично виражають у вигляді у = кх = tg х, де  – кут нахилу дотичної (прямий) до осі Х. Представимо безперервну криву як функцію у = f (х), візьмемо на кривій точку Мі близьку до неї точку М 1 і наведемо через них січну. Її кутовий коефіцієнтдо сек =tg β = .Якщо наближати точку М 1 до M, то збільшення аргументу ∆х буде прагнути до нуля, а січе при β=α займе положення дотичної. З рис.2 випливає: tgα =
tgβ =
=у" x . Але tgα дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції:

до = tgα =
=у" x = f " (х). Отже, кутовий коефіцієнт щодо графіку функції в даній точці дорівнює значеннюїї похідною у точці торкання. У цьому полягає геометричний сенс похідної.

г)Загальне правило знаходження похідної.

З визначення похідної, процес диференціювання функції можна наступним чином:

f(х+∆х) = f(х)+∆f;

знаходять збільшення функції: ∆f= f(х + ∆х) - f(х);

становлять відношення збільшення функції до збільшення аргументу:

;

Приклад: f(х)=х 2; f " (х) =?.

Однак, як видно навіть із цього простого прикладу, Застосування зазначеної послідовності при взятті похідних - процес трудомісткий і складний. Тому для різних функцій вводяться загальні формулидиференціювання, представлені у вигляді таблиці «Основних формул диференціювання функцій».

Ціль:Ввести поняття «збільшення аргументу», «збільшення функції» і навчити учнів знаходити збільшення функції.

Методи:оповідання.

Обладнання:Дошка, картки із завданнями, комп'ютер (можливо).

Визначення: Збільшення аргументу, збільшення функції.

План проведення уроку:

1. Організаційний момент(1 хвилина).

2. Запровадження нового матеріалу (10 хвилин).

3. Розв'язання вправ (10 хвилин).

4. Самостійна робота(20 хвилин).

5. Підбиття підсумків уроку (3 хвилини).

6. Домашнє завдання(1 хвилина).

Завантажити:

Попередній перегляд:

Тема: Збільшення функції

Ціль: Ввести поняття «збільшення аргументу», «збільшення функції» і навчити учнів знаходити збільшення функції.

Методи: оповідання.

Обладнання: Дошка, картки із завданнями, комп'ютер (можливо).

Визначення : Збільшення аргументу, збільшення функції.

План проведення уроку:

1. Організаційний момент (1 хвилина).

2. Запровадження нового матеріалу (10 хвилин).

3. Розв'язання вправ (10 хвилин).

4. Самостійна робота (20 хвилин).

5. Підбиття підсумків уроку (3 хвилини).

6. Домашнє завдання (1 хвилина).

Хід уроку:

1. Організаційний момент.

Домогтися дисципліни у класі. Перевірити готовність учнів до уроку, мобілізувати увагу.

1. Запровадження нового матеріалу.

Нехай y = f (x) - функція , х і х 0 - два значення незалежної змінної з D(f); тоді різниця х - х о називається збільшенням незалежної змінної (або збільшенням аргументу) і позначається∆ x (читається "дельта ікс"). Таким чином,∆ x = х - х про (1).

З рівності (1) випливає, що х = х о + ∆x (2), тобто. первісне значеннязмінної отримало збільшення∆ x. Відповідно значення функції зміниться на величину

f (х) - f (х 0) = f (х 0 + ∆x) - f (х 0). (3)

Різниця між новим значенням функції f (х 0 + ∆x) та початковим її значенням f (х 0) називається збільшенням функції в точціх 0 і позначається символом∆ f (х 0) (читається «дельта еф в точці х 0 »), тобто ∆ f (х 0) = f (х 0 + ∆x) - f (х 0). (4)

Збільшення функції f у цій точці х 0 коротко позначають через∆ f або ∆y.

Приклад Для функції у = х 2 знайти ∆y якщо x = 2,5, х 0 = 2 .

Рішення . Маємо ∆ y = y (х 0 + ∆x) - y (х 0) = у (2,5) - у (2) = 6,25 - 4 = 2,25.

1. Розв'язання вправ

1. Знайти збільшення∆ х і ∆y у точці х 0 якщо у = х 2 , х 0 = 2 і

а) x = 1,9; б) х = 2,1. (Відповідь: а) -0,39; б) 0,41)

2. Дана функція у = х 2 + 2х - 4. Знайти збільшення∆y при х = 2 та ∆x = 0,5. (Відповідь: 3,25)

3. Дана функція у = 1/х . Знайти збільшення∆y при х = 1 та ∆x = 0,2. (Відповідь: -1/6)

4. Сторони прямокутника дорівнюють 15 м і 20 м. Знайдіть збільшення його периметра та площі, якщо: 1) меншу його сторону збільшили на 0,11 м; 2) велику його сторону збільшили на 0,2 м-коду.

1. Самостійна робота.

Самостійна робота виконується учнями у робочих зошитах у одному варіанті, завдання видається на картках.

1. Дана функція у = 2х + 5, знайдіть:

1) x і ∆y, якщо х 0 = 3 і ∆x = 0,2; 2) x та ∆y, якщо х 0 = 4 та ∆x = 0,06; 3) ∆y, якщо х 0 = 4 та ∆x = 0,1; 4) ∆y, якщо х 0 = 7 та ∆x = 0,01.

Відповіді:

1.1)3,2; 0,4; 3) 0,2.

2.1) 0,5; 2,25; 2) 0,15; 1,1475; 4) -0,2; 1,04.

3.1) 3/7; -1/14; 3) -33/35.

4. 1) 0,135; 2) 0,06.

1. Підбиття підсумків уроку.

Учні змінюються зошитами із сусідами по парті та перевіряють рішення та звіряють відповідь з учителем. Вчителем, можливо, вже винесені на дошку вірні відповіді, але тимчасово закриті учнів, можливо, відповіді оприлюднені з допомогою мультимедійних коштів (комп'ютера).

Вчитель із учнями обговорюють отримані результати.

Запитання для самоперевірки:

1) Що називається збільшенням аргументу?

2) Що називається збільшення функції?

Відзначити учнів, які активно працювали на уроці.

1. Домашнє завдання.

1. Знайти збільшення аргументу та функції, якщо 1), х 0 =, x =;

2) х 0 = 2,5, x = 2,6.

2 . а) Радіус кола дорівнює 2 см. Знайдіть похибку, допущену при обчисленні його площі, якщо похибка при вимірі довжини радіуса дорівнює: 1) 0,2 см; 2)∆R; 3) 0,1 см; 4) h.

б) Ребро куба х отримало приріст∆ х. Знайдіть збільшення площі повної поверхнікуб.

2) Придумати самостійно і по два приклади на цю тему в зошитах для домашніх робіт, а умови прикладів виписати на листочок.

3) Тренажер №1 (див.Додаток до уроку)

Додаток до уроку

Тренажер №1 ВИЧИСЛЕННЯ ПРИРОЩЕНЬ ФУНКЦІЇ

1. Обчислити збільшення функції y=f(x) на проміжку:

1. Обчислити збільшення функції y=f(x) на проміжку [х; х + ∆ х]:

Нехай х- Аргумент (незалежна змінна); y=y(x)- Функція.

Візьмемо фіксоване значення аргументу х = х 0 та обчислимо значення функції y 0 = y (x 0 ) . Тепер довільним чином поставимо приріст (зміна) аргументу та позначимо його  х ( хможе бути будь-якого знака).

Аргумент із збільшенням – це точка х 0 +  х. Допустимо, в ній також існує значення функції y=y(x 0 +  х)(Див. малюнок).

Таким чином, при довільній зміні значення аргументу отримано зміну функції, яка називається збільшенням значення функції:

і не є довільним, а залежить від виду функції та величини
.

Прирощення аргументу та функції можуть бути кінцевими, тобто. висловлюватися постійними числами, у разі їх іноді називають кінцевими різницями.

В економіці кінцеві прирости розглядаються дуже часто. Наприклад, у таблиці наведено дані про довжину залізничної мережі деякої держави. Очевидно, збільшення довжини мережі обчислюється шляхом віднімання попереднього значення з наступного.

Розглянемо довжину залізничної мережі як функцію, аргументом якої буде час (роки).

Саме собою збільшення функції (у разі довжини ж/д) мережі) погано характеризує зміна функції. У нашому прикладі з того, що 2,5>0,9 не можна зробити висновок, що мережа зростала швидше в 2000-2003 роках, ніж у 2004 р., тому що приріст 2,5 відноситься до трирічного періоду, а 0,9 - Лише до одного року. Тому цілком природно, що збільшення функції призводять до одиниці зміни аргументу. Приріст аргументу тут – періоди: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Отримаємо те, що в економічній літературі називають середньорічним приростом.

Можна уникнути операції приведення збільшення до одиниці зміни аргументу, якщо взяти значення функції для значень аргументу, що відрізняються на одиницю, що не завжди можливо.

У математичному аналізі, зокрема, у диференціальному обчисленні, розглядають нескінченно малі (БМ) збільшення аргументу та функції.

Диференціювання функції однієї змінної (похідна та диференціал) Похідна функції

Збільшення аргументу та функції у точці х 0 можна як порівняні нескінченно малі величини (див. тему 4, порівняння БМ), тобто. БМ одного порядку.

Тоді їх відношення буде мати кінцеву межу, яка визначається як похідна функції в т х 0 .

Межа відношення збільшення функції до БМ збільшення аргументу в точці х = х 0 називається похідний функції у цій точці.

Символічне позначення похідної штрихом (а, вірніше, римської цифрою I) запроваджено Ньютоном. Можна використовувати ще нижній індекс, який показує, якою змінною обчислюється похідна, наприклад, . Широко використовується також інше позначення, запропоноване основоположником обчислення похідних, німецьким математиком Лейбніцем:
. З походженням цього позначення ви докладніше познайомитеся у розділі Диференціал функції та диференціал аргументу.

Це число оцінює швидкістьзміни функції, що проходить через точку
.

Встановимо геометричний змістпохідної функції у точці. З цією метою збудуємо графік функції y=y(x)і відзначимо на ньому точки, що визначають зміну y(x)у проміжку

Стосовно графіка функції в точці М 0
будемо вважати граничне становище сіючої М 0 Мза умови
(крапка Мковзає за графіком функції до точки М 0 ).

Розглянемо
. Очевидно,
.

Якщо точку Мспрямувати вздовж графіка функції у напрямку до точки М 0 , то значення
буде прагнути до певної межі, яку позначимо
. При цьому.

Граничний кут  збігається з кутом нахилу дотичної, проведеної до графіка функції т.ч. М 0 тому похідна
чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної у вказаній точці.

-

геометричний зміст похідної функції у точці.

Таким чином, можна записати рівняння дотичної та нормалі ( нормаль – це пряма, перпендикулярна дотичній) до графіка функції в деякій точці х 0 :

Стосовна - .

Нормаль -
.

Цікаві випадки, коли ці прямі розташовані горизонтально або вертикально (див. тему 3, окремі випадки положення прямої на площині). Тоді,

якщо
;

якщо
.

Визначення похідної називається диференціюванням функції.

 Якщо функція в точці х 0 має кінцеву похідну, то вона називається диференційованоїу цій точці. Функція, що диференціюється у всіх точках деякого інтервалу, називається диференційованою на цьому інтервалі.

 Теорема . Якщо функція y=y(x)диференційована в т.ч. х 0 , то вона у цій точці безперервна.

Таким чином, безперервність- Необхідна (але не достатня) умова диференційності функції.

Початковий рівень

Похідна функції. Вичерпне керівництво (2019)

Уявімо пряму дорогу, що проходить по горбистій місцевості. Тобто вона йде то вгору, то вниз, але праворуч чи ліворуч не повертає. Якщо вісь направити вздовж дороги горизонтально, а вертикально, то лінія дороги буде дуже схожа на графік якоїсь безперервної функції:

Вісь - це певний рівень нульової висоти, в житті ми використовуємо як рівень моря.

Рухаючись вперед такою дорогою, ми також рухаємося вгору або вниз. Також можемо сказати: при зміні аргументу (просування вздовж осі абсцис) змінюється значення функції (рух вздовж осі ординат). А тепер давай подумаємо, як визначити «крутість» нашої дороги? Що може бути за величина? Дуже просто: на скільки зміниться висота під час просування вперед на певну відстань. Адже на різних ділянках дороги, просуваючись вперед (вздовж осі абсцис) на один кілометр, ми піднімемося або опустимося на різна кількістьметрів щодо рівня моря (вздовж осі ординат).

Просування вперед позначимо (читається "дельта ікс").

Грецьку букву (дельта) в математиці зазвичай використовують як приставку, що означає зміну. Тобто – це зміна величини, – зміна; тоді що таке? Правильно, зміна величини.

Важливо: вираз – це єдине ціле, одна змінна. Ніколи не можна відривати «дельту» від «ікса» чи будь-якої іншої літери! Тобто, наприклад, .

Отже, ми просунулися вперед, по горизонталі, на. Якщо лінію дороги ми порівнюємо з графіком функції, як ми позначимо підйом? Звісно, ​​. Тобто, при просуванні вперед на ми піднімаємось вище.

Величину порахувати легко: якщо спочатку ми знаходилися на висоті, а після переміщення опинилися на висоті, то. Якщо кінцева точкавиявилася нижчою за початкову, буде негативною - це означає, що ми не піднімаємося, а спускаємося.

Повернемося до «крутості»: це величина, яка показує, наскільки сильно (круто) збільшується висота при переміщенні вперед на одиницю відстані:

Припустимо, що на якійсь ділянці шляху під час просування на км дорога піднімається нагору на км. Тоді крутість у цьому місці дорівнює. А якщо дорога при просуванні на м опустилася на кілометр? Тоді крутість дорівнює.

А тепер розглянемо вершину якогось пагорба. Якщо взяти початок ділянки за півкілометра до вершини, а кінець через півкілометра після нього, видно, що висота практично однакова.

Тобто за нашою логікою виходить, що крутість тут майже дорівнює нулю, що явно не відповідає дійсності. Просто на відстані в кілометрах може багато чого змінитися. Потрібно розглядати більш маленькі ділянки для більш адекватної та точної оцінки крутості. Наприклад, якщо вимірювати зміну висоти при переміщенні на один метр, результат буде набагато точнішим. Але й цієї точності нам може бути недостатньо - адже якщо посеред дороги стоїть стовп, ми можемо просто проскочити. Яку відстань тоді виберемо? Сантиметр? Міліметр? Чим менше тим краще!

У реального життявимірювати відстань з точністю до міліметра - більш ніж достатньо. Але математики завжди прагнуть досконалості. Тому було вигадано поняття нескінченно малого, тобто величина по модулю менше за будь-яке число, яке тільки можемо назвати. Наприклад, ти скажеш: одна трильйонна! Куди менше? А ти поділи це число на - і буде ще менше. І так далі. Якщо хочемо написати, що величина нескінченно мала, пишемо так: (читаємо «ікс прагне нуля»). Дуже важливо розуміти, що це число не дорівнює нулю!Але дуже близько до нього. Це означає, що на нього можна ділити.

Поняття, протилежне нескінченно малому – нескінченно велике (). Ти вже напевно стикався з ним, коли займався нерівностями: це число за модулем більше за будь-яке число, яке тільки можеш придумати. Якщо ти придумав найбільше з можливих чисел, просто помнож його на два, і вийде ще більше. А нескінченність ще більш тогощо вийде. Фактично нескінченно велике і нескінченно мале обернені один одному, тобто при, і навпаки: при.

Тепер повернемось до нашої дороги. Ідеально порахована крутість - це куртизна, обчислена для нескінченно малого відрізка шляху, тобто:

Зауважу, що при нескінченно малому переміщенні зміна висоти теж буде нескінченно малою. Але нагадаю, нескінченно мале - не означає рівне нулю. Якщо поділити один на одного нескінченно малі числа, може вийти цілком звичайне числонаприклад, . Тобто одна мала величина може бути рівно в рази більша за іншу.

Навіщо все це? Дорога, крутість... Адже ми не в автопробіг вирушаємо, а математику вчимо. А в математиці все так само, тільки називається по-іншому.

Поняття похідної

Похідна функції це відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу.

Збільшенняму математиці називають зміну. Те, наскільки змінився аргумент () при просуванні вздовж осі, називається збільшенням аргументуі позначається Те, наскільки змінилася функція (висота) при просуванні вперед уздовж осі на відстань, називається збільшенням функціїта позначається.

Отже, похідна функції – це відношення до при. Позначаємо похідну тією ж літерою, що й функцію, тільки зі штрихом зверху праворуч: або просто. Отже, запишемо формулу похідної, використовуючи ці позначення:

Як і в аналогії з дорогою тут при зростанні функції похідна позитивна, а при зменшенні негативна.

А чи похідна буває дорівнює нулю? Звісно. Наприклад, якщо ми їдемо рівною горизонтальною дорогою, крутість дорівнює нулю. І справді, висота ж не зовсім змінюється. Так і з похідною: похідна постійної функції(Константи) дорівнює нулю:

оскільки збільшення такої функції дорівнює нулю за будь-якого.

Давай згадаємо приклад із вершиною пагорба. Там виходило, що можна так розташувати кінці відрізка по різні сторонивід вершини, що висота на кінцях виявляється однаковою, тобто відрізок розташовується паралельно осі:

Але великі відрізки – ознака неточного виміру. Підніматимемо наш відрізок вгору паралельно самому собі, тоді його довжина буде зменшуватися.

Зрештою, коли ми будемо нескінченно близькі до вершини, довжина відрізка стане нескінченно малою. Але при цьому він залишився паралельний осі, тобто різниця висот на його кінцях дорівнює нулю (не прагне, а саме дорівнює). Значить, похідна

Зрозуміти це можна так: коли ми стоїмо на самій вершині, дрібне зміщення вліво чи вправо змінює нашу висоту мізерно мало.

Є й суто алгебраїчне пояснення: лівіше вершини функція зростає, а правіше - зменшується. Як ми вже з'ясували раніше, у разі зростання функції похідна позитивна, а при зменшенні - негативна. Але змінюється вона плавно, без стрибків (бо дорога ніде не змінює нахил різко). Тому між негативними та позитивними значеннямиобов'язково має бути. Він і буде там, де функція не збільшується, не зменшується - у точці вершини.

Те саме справедливо і для западини (область, де функція зліва зменшується, а праворуч - зростає):

Трохи докладніше про збільшення.

Отже, ми змінюємо аргумент на величину. Змінюємо від якого значення? Яким він (аргумент) тепер став? Можемо вибрати будь-яку точку, і зараз від неї танцюватимемо.

Розглянемо точку з координатою. Значення функції у ній одно. Потім робимо те саме збільшення: збільшуємо координату на. Чому тепер рівний аргумент? Дуже легко: . А чому тепер дорівнює значення функції? Куди аргумент, туди та функція: . А що із збільшенням функції? Нічого нового: це, як і раніше, величина, на яку змінилася функція:

Потренуйся знаходити збільшення:

1. Знайди збільшення функції в точці при збільшенні аргументу, що дорівнює.
2. Те саме для функції в точці.

Рішення:

У різних точкахпри тому самому збільшенні аргументу збільшення функції буде різним. Значить, і похідна у кожній точці своя (це ми обговорювали на самому початку - крутість дороги у різних точках різна). Тому коли пишемо похідну, треба зазначати, в якій точці:

Ступінна функція.

Ступіньною називають функцію, де аргумент певною мірою (логічно, так?).

Причому - будь-якою мірою: .

Найпростіший випадок- це коли показник ступеня:

Знайдемо її похідну у точці. Згадуємо визначення похідної:

Отже, аргумент змінюється з до. Яке збільшення функції?

Приріст – це. Але функція у будь-якій точці дорівнює своєму аргументу. Тому:

Похідна дорівнює:

Похідна від рівна:

b) Тепер розглянемо квадратичну функцію (): .

А тепер згадаємо, що. Це означає, що значення приросту можна знехтувати, оскільки воно нескінченно мало, і тому незначно на тлі іншого доданку:

Отже, у нас народилося чергове правило:

c) Продовжуємо логічний ряд: .

Цей вираз можна спростити по-різному: розкрити першу дужку за формулою скороченого множення куб суми, або розкласти весь вираз на множники за формулою різниці кубів. Спробуй зробити це сам будь-яким із запропонованих способів.

Отже, у мене вийшло таке:

І знову пригадаємо, що. Це означає, що можна знехтувати всіма складовими, що містять:

Отримуємо: .

d) Аналогічні правила можна отримати і для більших ступенів:

e) Виявляється, це правило можна узагальнити для статечної функції з довільним показником, навіть не цілим:

Можна сформулювати правило словами: "ступінь виноситься вперед як коефіцієнт, а потім зменшується на".

Доведемо це правило пізніше (майже наприкінці). А зараз розглянемо кілька прикладів. Знайди похідну функцій:

1. (двома способами: за формулою та використовуючи визначення похідної - порахувавши збільшення функції);

1. . Не повіриш, але це статечна функція. Якщо у тебе виникли питання на кшталт «Як це? А де ж ступінь?», Згадуй тему «»!
   Так-так, корінь - це теж ступінь, лише дрібна: .
   Отже, наш квадратний корінь- це лише ступінь із показником:
   .
   Похідну шукаємо за нещодавно вивченою формулою:

   Якщо тут знову стало незрозуміло, повторюй тему « »!!! (про ступінь з негативним показником)

2. . Тепер показник ступеня:

   А тепер через визначення (не забув ще?):
   ;
   .
   Тепер, як завжди, нехтуємо доданком, що містить:
   .

3. . Комбінація попередніх випадків: .

Тригонометричні функції.

Тут будемо використовувати один факт із вищої математики:

При виразі.

Доказ ти дізнаєшся на першому курсі інституту (а щоб там опинитися, треба добре здати ЄДІ). Зараз лише покажу це графічно:

Бачимо, що при функції не існує - точка на графіку виколота. Але що ближче до значення, то ближче функція до. Це і є те саме «прагне».

Додатково можна перевірити це правило за допомогою калькулятора. Так-так, не соромся, бери калькулятор, адже ми не на ЄДІ ще.

Отже, пробуємо: ;

Не забудь перевести калькулятор у режим Радіани!

і т.д. Бачимо, що менше, тим ближче значення ставлення до.

a) Розглянемо функцію. Як завжди, знайдемо її збільшення:

Перетворимо різницю синусів на твір. І тому використовуємо формулу (згадуємо тему « »): .

Тепер похідна:

Зробимо заміну: . Тоді при нескінченно малому і нескінченно мало: . Вираз для набуває вигляду:

А тепер згадуємо, що при виразі. А також, що якщо нескінченно малою величиною можна знехтувати суму (тобто при).

Отже, отримуємо наступне правило:похідна синуса дорівнює косінусу:

Це базові («табличні») похідні. Ось вони одним списком:

Пізніше ми до них додамо ще кілька, але ці найважливіші, оскільки використовуються найчастіше.

Потренуйся:

1. Знайди похідну функції у точці;
2. Знайди похідну функцію.

Рішення:

1. Спершу знайдемо похідну в загальному вигляді, а потім підставимо замість його значення:
   ;
   .
2. Тут у нас щось схоже на статечну функцію. Спробуємо привести її до
   нормальному вигляду:
   .
   Відмінно тепер можна використовувати формулу:
   .
   .
3. . Ееєєєє….. Що це????

Гаразд, ти маєш рацію, такі похідні знаходити ми ще не вміємо. Тут ми маємо комбінацію кількох типів функцій. Щоб працювати з ними, потрібно вивчити ще кілька правил:

Експонента та натуральний логарифм.

Є в математиці така функція, похідна якої за будь-якого дорівнює значенню самої функції при цьому. Називається вона «експонента» і є показовою функцією

Підстава цієї функції – константа – це нескінченна десятковий дрібтобто число ірраціональне (таке як). Його називають число Ейлера, тому і позначають буквою.

Отже, правило:

Запам'ятати дуже просто.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм- Функції унікально прості з точки зору похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того як пройдемо правиладиференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число(Константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

1. (Похідна однакова у всіх точках, так як це лінійна функція, Пам'ятаєш?);

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функціюі знайдемо її приріст:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функцію в точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

Для цього скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто ніяк не записати до більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічні функціїмайже не зустрічаються в ЄДІ, але не зайве знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке " складна функція»? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні діїв зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми робимо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливістьскладних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для першого прикладу .

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції

1. Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
   А вихідна функція є їх композицією: .
2. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
3. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
4. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
5. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

Рішення:

1) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

2) Внутрішня: ;

(Тільки не здумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягаємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.

Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.

У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. У якому порядку робитимемо дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давайте визначимо порядок дій.

1. Підкорене вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все до купи:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.

У координатної площини хОурозглянемо графік функції y=f(x). Зафіксуємо точку М(х 0; f (x 0)). Надамо абсцисі х 0приріст Δх. Ми отримаємо нову абсцису х 0 +Δх. Це абсциса точки N, а ордината дорівнюватиме f (х 0 +Δх). Зміна абсциси спричинила зміну ординати. Цю зміну називають збільшення функції і позначають Δy.

Δy = f (х 0 + Δх) - f (x 0).Через крапки Mі Nпроведемо січну MNяка утворює кут φ з позитивним напрямом осі Ох. Визначимо тангенс кута φ з прямокутного трикутника MPN.

Нехай Δхпрагне нуля. Тоді січуча MNбуде прагнути зайняти положення щодо МТ, а кут φ стане кутом α . Значить, тангенс кута α є граничне значення тангенсу кута φ :

Межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, при прагненні останнього до нуля, називають похідною функції в даній точці:

Геометричний зміст похідної полягає в тому, що чисельно похідна функції в даній точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичної, проведеної через цю точку до даної кривої, і позитивним напрямом осі Ох:

приклади.

1. Знайти збільшення аргументу та збільшення функції y= x 2, якщо початкове значення аргументу дорівнювало 4 , а нове - 4,01 .

Рішення.

Нове значення аргументу х = х 0 +Δx. Підставимо дані: 4,01 = 4 + Δх, звідси збільшення аргументу Δх=4,01-4=0,01. Приріст функції, за визначенням, дорівнює різниці між новим і колишнім значеннями функції, тобто. Δy = f (х 0 + Δх) - f (x 0). Так як у нас функція y=x 2, то Δу=(х 0 +Δx) 2 - (х 0) 2 = (х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (х 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Відповідь: приріст аргументу Δх=0,01; збільшення функції Δу=0,0801.

Можна було збільшення функції знайти по-іншому: Δy= y (x 0 +Δx) -y (x 0) = у (4,01) - у (4) = 4,01 2 -4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Знайти кут нахилу щодо графіку функції y=f(x)у точці х 0, якщо f" (х 0) = 1.

Рішення.

Значення похідної у точці торкання х 0і є значення тангенса кута нахилу дотичної (геометричний зміст похідної). Маємо: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°,так як tg45 ° = 1.

Відповідь: дотична до графіка цієї функції утворює з позитивним напрямом осі Ох кут, рівний 45°.

3. Вивести формулу похідної функції y=x n.

Диференціювання- Це дія знаходження похідної функції.

При знаходженні похідних застосовують формули, які були виведені на підставі визначення похідної, так само, як ми вивели формулу похідного ступеня: (x n)" = nx n-1.

Ось ці формули.

Таблицю похіднихлегше буде завчити, промовляючи словесні формулювання:

1. Похідна постійної величинидорівнює нулю.

2. Ікс штрих дорівнює одиниці.

3. Постійний множникможна винести за знак похідної.

4. Похідна ступеня дорівнює добутку показника цього ступеня на ступінь з тією самою основою, але показником на одиницю менше.

5. Похідна кореня дорівнює одиниці, поділеній на два такі ж корені.

6. Похідна одиниці, поділеної на ікс дорівнює мінус одиниці, поділеної на ікс у квадраті.

7. Похідна синуса дорівнює косінусу.

8. Похідна косинуса дорівнює мінус синусу.

9. Похідна тангенса дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса.

10. Похідна котангенса дорівнює мінус одиниці, поділеної на квадрат синуса.

Вчимо правила диференціювання.

1. Похідна суми алгебри дорівнює алгебраїчній суміпохідних доданків.

2. Похідна твори дорівнює добутку похідної першого множника на другий плюс добуток першого множника на похідну другого.

3. Похідна "у", поділеного на "ве" дорівнює дробу, в чисельнику якої "у штрих помножений на "ве" мінус "у, помножений на ве штрих", а в знаменнику - "ве в квадраті".

4. Окремий випадокформули 3.

Вчимо разом!

Сторінка 1 з 1 1