Добуток синусів і косінусів формули. Основні тригонометричні тотожності, їх формулювання та висновок

У цій статті ми поговоримо про універсальній тригонометричній підстановці. Вона має на увазі вираз синуса, косинуса, тангенса та котангенса будь-якого кута через тангенс половинного кута. Більше того, така заміна проводиться раціонально, тобто без коріння.

Спочатку ми запишемо формули, що виражають синус, косинус, тангенс та котангенс через тангенс половинного кута. Далі покажемо виведення цих формул. На закінчення розглянемо кілька прикладів використання універсальної тригонометричної підстановки.

Навігація на сторінці.

Синус, косинус, тангенс та котангенс через тангенс половинного кута.

Спочатку запишемо чотири формули, що виражають синус, косинус, тангенс і котангенс кута через тангенс половинного кута .

Зазначені формули справедливі для всіх кутів , при яких визначені тангенси та котангенси, що входять до них:

Висновок формул

Розберемо висновок формул, що виражають синус, косинус, тангенс та котангенс кута через тангенс половинного кута. Почнемо з формул для синуса та косинуса.

Представимо синус та косинус за формулами подвійного кута як і відповідно. Тепер вирази і запишемо у вигляді дробів зі знаменником 1 як і . Далі на базі основного тригонометричного тотожності замінюємо одиниці в знаменнику на суму квадратів синуса та косинуса, після чого отримуємо і . Нарешті, чисельник і знаменник отриманих дробів поділяємо на його значення від нуля за умови ). У результаті, весь ланцюжок дій виглядає так:

і

На цьому висновок формул, що виражають синус та косинус через тангенс половинного кута, закінчено.

Залишилося вивести формули для тангенсу та котангенсу. Тепер, враховуючи отримані вище формули, і формули відразу отримуємо формули, що виражають тангенс і котангенс через тангенс половинного кута:

Отже, ми вивели всі формули для універсальної тригонометричної підстановки.

Приклади використання універсальної тригонометричної підстановки

Спочатку розглянемо приклад застосування універсальної тригонометричної підстановки при перетворенні виразів.

приклад.

Наведіть вираз до виразу, що містить лише одну тригонометричну функцію .

Рішення.

Відповідь:

Список літератури.

Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: іл.- isbn 5-09-002727-7
Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Одним із розділів математики, з якими школярі справляються з найбільшими труднощамиє тригонометрія. Не дивно: щоб вільно оволодіти цією областю знань, потрібна наявність просторового мислення, вміння знаходити синуси, косинуси, тангенси, котангенси за формулами, спрощувати висловлювання, вміти застосовувати у обчисленнях число пі. Крім цього, потрібно вміти застосовувати тригонометрію за доказом теорем, а це вимагає або розвиненої математичної пам'яті, або вміння виводити непрості логічні ланцюжки.

Витоки тригонометрії

Знайомство з цією наукою слід розпочати з визначення синуса, косинуса і тангенса кута, проте спочатку необхідно розібратися, чим займається тригонометрія.

Історично головним об'єктом дослідження цього розділу математичної наукибули прямокутні трикутники. Наявність кута в 90 градусів дає можливість здійснювати різні операції, що дозволяють по двох сторонах і одному куті або по двох кутах і одній стороні визначати значення всіх параметрів фігури, що розглядається. У минулому люди помітили цю закономірність і стали активно нею користуватися при будівництві будівель, навігації, астрономії і навіть у мистецтві.

Початковий етап

Спочатку люди міркували про взаємини кутів і сторін винятково з прикладу прямокутних трикутників. Потім були відкриті особливі формули, що дозволили розширити межі вживання в повсякденному життіцього розділу математики.

Вивчення тригонометрії у школі сьогодні починається з прямокутних трикутників, після чого отримані знання використовуються учнями у фізиці та вирішенні абстрактних тригонометричних рівнянь, робота з якими починається у старших класах

Сферична тригонометрія

Пізніше, коли наука вийшла на наступний рівень розвитку, формули із синусом, косінусом, тангенсом, котангенсом стали використовуватися у сферичній геометрії, де діють інші правила, а сума кутів у трикутнику завжди більша за 180 градусів. Цей розділне вивчається у школі, проте знати про його існування необхідно як мінімум тому, що земна поверхня, Та й поверхня будь-якої іншої планети, є опуклою, а значить, будь-яка розмітка поверхні буде в тривимірному просторі"дугоподібної".

Візьміть глобус та нитку. Прикладіть нитку до двох будь-яких точок на глобусі, щоб вона виявилася натягнутою. Зверніть увагу - вона набула форми дуги. З такими формами і має справу сферична геометрія, що застосовується в геодезії, астрономії та інших теоретичних та прикладних сферах.

Прямокутний трикутник

Дещо дізнавшись про способи застосування тригонометрії, повернемося до базової тригонометрії, щоб надалі розібратися, що таке синус, косинус, тангенс, які розрахунки можна з їх допомогою виконувати і які формули при цьому використовувати.

Насамперед необхідно усвідомити поняття, які стосуються прямокутного трикутника. По-перше, гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти кута 90 градусів. Вона є найдовшою. Ми пам'ятаємо, що за теоремою Піфагора її чисельне значення дорівнює кореню із суми квадратів двох інших сторін.

Наприклад, якщо дві сторони дорівнюють 3 і 4 сантиметрам відповідно, довжина гіпотенузи становитиме 5 сантиметрів. До речі, про це знали ще давні єгиптяни близько чотирьох із половиною тисяч років тому.

Дві сторони, що залишилися, які утворюють прямий кут, звуться катетами. Крім того, треба пам'ятати, що сума кутів у трикутнику в прямокутної системикоординат дорівнює 180 градусів.

Визначення

Нарешті, твердо розуміючи геометричну основу, можна звернутися до визначення синуса, косинуса та тангенсу кута.

Синусом кута називається відношення протилежного катета(Тобто сторони, що розташовується навпроти потрібного кута) до гіпотенузи. Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Запам'ятайте, що ні синус, ні косинус не може бути більше одиниці! Чому? Тому що гіпотенуза - це за умовчанням найдовша Яким би довгим не був катет, він буде коротшим за гіпотенузу, а значить, їх відношення завжди буде менше одиниці. Таким чином, якщо у вас у відповіді до завдання вийшов синус або косинус зі значенням більшим, ніж 1, шукайте помилку в розрахунках або міркуваннях. Ця відповідь однозначно невірна.

Нарешті, тангенсом кута називається відношення протилежної сторони до прилеглої. Той самий результат дасть поділ синуса на косинус. Подивіться: відповідно до формули ми ділимо довжину сторони на гіпотенузу, після чого ділимо на довжину другої сторони та множимо на гіпотенузу. Таким чином, ми отримуємо те саме співвідношення, що і у визначенні тангенса.

Котангенс, відповідно, є відношенням прилеглої до кута сторони до протилежної. Той самий результат ми отримаємо, розділивши одиницю на тангенс.

Отже, ми розглянули визначення, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, і можемо зайнятися формулами.

Найпростіші формули

У тригонометрії не обійтися без формул – як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? Адже саме це потрібно при вирішенні завдань.

Перша формула, яку необхідно знати, починаючи вивчати тригонометрію, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса кута дорівнює одиниці. Ця формулає прямим наслідком теореми Піфагора, проте дозволяє заощадити час, якщо потрібно дізнатися про величину кута, а не сторони.

Багато учнів що неспроможні запам'ятати другу формулу, також дуже популярну під час вирішення шкільних завдань: сума одиниці і квадрата тангенса кута дорівнює одиниці, поділеної на квадрат косинуса кута. Придивіться: адже це те саме твердження, що й у першій формулі, тільки обидві сторони тотожності були поділені на квадрат косинуса. Виходить, проста математична операція робить тригонометричну формулуабсолютно невпізнанною. Пам'ятайте: знаючи, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, правила перетворення та кілька базових формулви будь-якої миті зможете самі вивести необхідні більше складні формулина папері.

Формули подвійного кута та складання аргументів

Ще дві формули, які потрібно вивчити, пов'язані зі значеннями синуса та косинуса при сумі та різниці кутів. Вони представлені нижче. Зверніть увагу, що в першому випадку обидва рази перемножується синус та косинус, а в другому складається попарний добуток синуса та косинуса.

Також є формули, пов'язані з аргументами у вигляді подвійного кута. Вони повністю виводяться з попередніх - як тренування спробуйте отримати їх самостійно, прийнявши кут альфа рівним кутубета.

Нарешті, зверніть увагу, що формули подвійного кута можна перетворити так, щоб знизити рівень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теореми

Двома основними теоремами в базовій тригонометрії є теорема синусів та теорема косінусів. За допомогою цих теорем ви легко зможете зрозуміти, як знайти синус, косинус і тангенс, а отже, і площу фігури, і величину кожної сторони тощо.

Теорема синусів стверджує, що в результаті розподілу довжини кожної зі сторін трикутника на величину протилежного кутами отримаємо однакове число. Більше того, це число дорівнюватиме двом радіусам описаного кола, тобто кола, що містить всі точки даного трикутника.

Теорема косінусів узагальнює теорему Піфагора, проеціруя її будь-які трикутники. Виявляється, від суми квадратів двох сторін відняти їх добуток, помножений на подвійний косинуссуміжного їм кута - отримане значення виявиться рівним квадрату третьої сторони. Таким чином, теорема Піфагора виявляється окремим випадком теореми косінусів.

Помилки з неуважності

Навіть знаючи, що таке синус, косинус і тангенс, легко зробити помилку через неуважність або помилки в найпростіших розрахунках. Щоб уникнути таких помилок, ознайомимося з найпопулярнішими з них.

По-перше, не слід перетворювати звичайні дроби на десяткові до отримання остаточного результату - можна й відповідь залишити у вигляді звичайного дробу, якщо умові не обумовлено зворотне. Таке перетворення не можна назвати помилкою, проте слід пам'ятати, що на кожному етапі завдання можуть з'явитися нові корені, які за задумом автора повинні скоротитися. У цьому випадку ви дарма витратите час на зайві математичні операції. Особливо це актуально для таких значень, як корінь із трьох або з двох, адже вони зустрічаються в завданнях на кожному кроці. Те саме стосується заокруглень «некрасивих» чисел.

Далі, зверніть увагу, що до будь-якого трикутника застосовна теорема косінусів, але не теорема Піфагора! Якщо ви помилково забудете відняти подвійний твір сторін, помножений на косинус кута між ними, ви не тільки отримаєте абсолютно невірний результат, але й продемонструєте повне нерозуміння предмета. Це гірше, ніж помилка через неуважність.

По-третє, не плутайте значення для кутів 30 і 60 градусів для синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів. Запам'ятайте ці значення, адже синус 30 градусів дорівнює косінусу 60, і навпаки. Їх легко переплутати, внаслідок чого ви неминуче отримаєте хибний результат.

Застосування

Багато учнів не поспішають братися до вивчення тригонометрії, оскільки розуміють її прикладного сенсу. Що таке синус, косинус, тангенс для інженера чи астронома? Це поняття, завдяки яким можна обчислити відстань до далеких зірокпередбачити падіння метеорита, відправити дослідний зонд на іншу планету. Без них не можна збудувати будинок, спроектувати автомобіль, розрахувати навантаження на поверхню або траєкторію руху предмета. І це лише очевидні приклади! Адже тригонометрія у тому чи іншому вигляді використовується всюди, починаючи від музики та закінчуючи медициною.

На закінчення

Отже, ви синус, косинус, тангенс. Ви можете використовувати їх у розрахунках та успішно вирішувати шкільні завдання.

Вся суть тригонометрії зводиться до того, що за відомими параметрами трикутника потрібно вирахувати невідомі. Усього цих параметрів шість: довжини трьох сторіні величини трьохкутів. Вся різниця в завданнях полягає в тому, що даються різні вхідні дані.

Як знайти синус, косинус, тангенс, виходячи з відомих довжин катетів або гіпотенузи, ви тепер знаєте. Оскільки ці терміни позначають не що інше, як відношення, а відношення - це дріб, головною метою тригонометричного завданнястає знаходження коренів нормального рівняння або системи рівнянь. І тут вам допоможе звична шкільна математика.

Вивчення тригонометрії ми розпочнемо з прямокутного трикутника. Визначимо, що таке синус та косинус, а також тангенс та котангенс гострого кута. Це є основи тригонометрії.

Нагадаємо, що прямий кут- це кут, що дорівнює 90 градусів. Іншими словами, половина розгорнутого кута.

Гострий кут- менше 90 градусів.

Тупий кут- більший за 90 градусів. Стосовно такого кута «тупий» - не образа, а математичний термін:-)

Намалюємо прямокутний трикутник. Прямий кут зазвичай позначається. Звернімо увагу, що сторона, що лежить навпроти кута, позначається тією ж літерою, лише маленькою. Так, сторона, що лежить навпроти кута A, позначається .

Кут позначається відповідною грецькою літерою.

Гіпотенузапрямокутного трикутника - це сторона, що лежить навпроти прямого кута.

Катети- Сторони, що лежать навпроти гострих кутів.

Катет, що лежить навпроти кута, називається протилежним(По відношенню до кута). Інший катет, який лежить на одній із сторін кута, називається прилеглим.

Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:

Косінусгострого кута у прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

Тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення протилежного катета до прилеглого:

Інше (рівносильне) визначення: тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:

Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до протилежного (або, що те саме, відношення косинуса до синуса):

Зверніть увагу на основні співвідношення для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, які наведені нижче. Вони стануть у нагоді нам при вирішенні завдань.

Давайте доведемо деякі з них.

Добре, ми дали визначення та записали формули. А навіщо потрібні синус, косинус, тангенс і котангенс?

Ми знаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює.

Знаємо співвідношення між сторонамипрямокутний трикутник. Це теорема Піфагора: .

Виходить, знаючи два кути в трикутнику, можна знайти третій. Знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю. Значить, для кутів – своє співвідношення, для сторін – своє. А що робити, якщо у прямокутному трикутнику відомий один кут (крім прямого) та одна сторона, а знайти треба інші сторони?

З цим і зіткнулися люди в минулому, складаючи карти місцевості та зоряного неба. Адже не завжди можна безпосередньо виміряти усі сторони трикутника.

Синус, косинус та тангенс - їх ще називають тригонометричними функціями кута- дають співвідношення між сторонамиі кутамитрикутник. Знаючи кут, можна знайти всі його тригонометричні функції за спеціальними таблицями. А знаючи синуси, косинуси та тангенси кутів трикутника та одну з його сторін, можна знайти інші.

Ми також намалюємо таблицю значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для «хороших» кутів від до .

Зверніть увагу на два червоні прочерки в таблиці. При відповідних значеннях кутів тангенс та котангенс не існують.

Розберемо кілька завдань із тригонометрії з Банку завдань ФІПД.

1. У трикутнику кут дорівнює . Знайдіть .

Завдання вирішується за чотири секунди.

Оскільки , .

2 . У трикутнику кут дорівнює , , . Знайдіть .

Знайдемо за теоремою Піфагора.

Завдання вирішено.

Часто в задачах зустрічаються трикутники з кутами або з кутами і . Основні співвідношення для них запам'ятовуйте напам'ять!

Для трикутника з кутами і катет, що лежить навпроти кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Трикутник з кутами і рівнобедрений. У ньому гіпотенуза в раз більше катета.

Ми розглянули завдання розв'язання прямокутних трикутників - тобто перебування невідомих сторін чи кутів. Але це не все! У варіантах ЄДІз математики безліч завдань, де фігурує синус, косинус, тангенс чи котангенс зовнішнього кута трикутника. Про це – у наступній статті.

Поняття синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенса () нерозривно пов'язані з поняттям кута. Щоб добре розібратися в цих, на перший погляд, складних поняттях(які викликають у багатьох школярів стан жаху), і переконатися, що «не такий страшний чорт, як його малюють», почнемо від початку і розберемося в понятті кута.

Поняття кута: радіан, градус

Давай подивимося малюнку. Вектор "повернувся" щодо точки на певну величину. Так ось мірою цього повороту щодо початкового положення і виступатиме кут.

Що ще необхідно знати про поняття кута? Ну, звичайно ж, одиниці виміру кута!

Кут, як і геометрії, і у тригонометрії, може вимірюватися у градусах і радіанах.

Кутом в (один градус) називають центральний кутв колі, що спирається на кругову дугу, що дорівнює частині кола. Таким чином, все коло складається з «шматочків» кругових дуг, або кут, що описується колом, дорівнює.

Тобто малюнку вище зображений кут, рівний, тобто цей кут спирається на кругову дугу розміром довжини кола.

Кутом у радіан називають центральний кут в колі, що спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. Ну що, розібрався? Якщо ні, то давай розумітися на малюнку.

Отже, на малюнку зображено кут, рівний радіану, тобто цей кут спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (довжина дорівнює довжині або радіус дорівнює довжинідуги). Таким чином, довжина дуги обчислюється за такою формулою:

Де – центральний кут у радіанах.

Ну що, можеш, знаючи це, відповісти, скільки радіан містить кут, який описує коло? Так, для цього треба згадати формулу довжини кола. Ось вона:

Ну ось, тепер співвіднесемо ці дві формули і отримаємо, що кут, що описується коло дорівнює. Тобто, співвіднісши величину у градусах та радіанах, отримуємо, що. Відповідно, . Як можна побачити, на відміну «градусів», слово «радіан» опускається, оскільки одиниця виміру зазвичай зрозуміла з контексту.

А скільки радіан складають? Все вірно!

Вловив? Тоді вперед закріплювати:

Виникли проблеми? Тоді дивись відповіді:

Прямокутний трикутник: синус, косинус, тангенс, котангенс кута

Отже, з поняттям кута розібралися. А що ж таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута? Давай розбиратись. Для цього нам допоможе прямокутний трикутник.

Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти прямого кута (у прикладі це сторона); катети - це дві сторони, що залишилися і (ті, що прилягають до прямому куту), причому, якщо розглядати катети щодо кута, то катет - це прилеглий катет, А катет - протилежний. Отже, тепер дамо відповідь на запитання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?

Синус кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику.

Косинус кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику.

Тангенс кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).

У нашому трикутнику.

Котангенс кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).

У нашому трикутнику.

Ці визначення необхідні запам'ятати! Щоб було простіше запам'ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що в тангенсеі котангенсісидять тільки катети, а гіпотенуза з'являється тільки в синусіі косинус. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:

Косинус→торкатися→доторкнутися→прилежний;

Котангенс→торкатися→доторкнутися→прилежний.

Насамперед, необхідно запам'ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжин цих сторін (при одному вугіллі). Не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:

Розглянемо, наприклад, косинус кута. За визначенням, з трикутника: , але ми можемо обчислити косинус кута і з трикутника: . Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне й те саме. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать виключно від величини кута.

Якщо розібрався у визначеннях, то вперед закріплюйте їх!

Для трикутника, зображеного нижче малюнку, знайдемо.

Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те саме для кута.

Одиничне (тригонометричне) коло

Розбираючись у поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з рівним радіусом. Таке коло називається одиничною. Вона дуже знадобиться щодо тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи докладніше.

Як можна помітити, дане колопобудована в декартовій системікоординат. Радіус кола дорівнює одиниціПри цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі (у нашому прикладі це радіус).

Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі та координата по осі. А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити цілих два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник. Він прямокутний, оскільки є перпендикуляром до осі.

Чому дорівнює трикутнику? Все вірно. Крім того, нам відомо, що - це радіус одиничного кола, а значить, . Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:

А чому дорівнює трикутнику? Ну звичайно, ! Підставимо значення радіуса в цю формулу та отримаємо:

Так, а можеш сказати, які координати має точка, що належить колу? Ну що, аж ніяк? А якщо збагнути, що й – це просто числа? Який координаті відповідає? Ну, звісно, координати! А якій координаті відповідає? Все правильно, координаті! Таким чином, точка.

А чому тоді рівні? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу і отримаємо, що, а.

А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому рисунку:

Що ж змінилося в даному прикладі? Давай розбиратись. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник: кут (як прилеглий до кута). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кута? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:

Ну от, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті; значення косинуса кута – координаті; а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення можна застосовувати до будь-яких поворотів радіус-вектора.

Вже згадувалося, що початкове становище радіус-вектора - вздовж позитивного спрямування осі. Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути, а при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.

Отже, ми знаємо, що цілий оберт радіус-вектора по колу становить або. А чи можна повернути радіус-вектор на чи на? Ну звісно, можна! У першому випадку, таким чином, радіус-вектор зробить один повний оборот і зупиниться в положенні.

У другому випадку, тобто радіус-вектор зробить три повні обороти і зупиниться в положенні або.

Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на або (де - будь-яке ціле число), відповідають одному положенню радіус-вектора.

Нижче на малюнку зображено кут. Це зображення відповідає куту тощо. Цей список можна продовжити до безкінечності. Всі ці кути можна записати загальною формулою або (де – будь-яке ціле число)

Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:

Ось тобі на допомогу одиничне коло:

Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:

Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку відповідає точка з координатами, отже:

Не існує;

Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутам відповідають точки з координатами, відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.

Відповіді:

Не існує

Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:

Немає потреби пам'ятати всі ці значення. Достатньо пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:

А ось значення тригонометричних функцій кутів і, наведених нижче в таблиці, необхідно запам'ятати:

Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовування відповідних значень:

Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута (), а також значення тангенсу кута. Знаючи ці значення, досить просто відновити всю таблицю цілком - значення косинуса переносяться відповідно до стрілочок, тобто:

Знаючи це можна відновити значення. Чисельник « » буде відповідати, а знаменник « » відповідає. Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити і запам'ятати схему зі стрілочками, достатньо пам'ятати всього значення з таблиці.

Координати точки на колі

А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, його радіус та кут повороту?

Ну, звісно, можна! Давай виведемо загальну формулудля знаходження координат точки.

Ось, наприклад, перед нами таке коло:

Нам дано, що точка – центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, одержаної поворотом точки на градусів.

Як очевидно з малюнка, координаті точки відповідає довжина відрізка. Довжина відрізка відповідає координаті центру кола, тобто дорівнює. Довжину відрізка можна виразити, використовуючи визначення косинуса:

Тоді маємо, що для точки координат.

За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки. Таким чином,

Отже, у загальному виглядікоординати точок визначаються за формулами:

Координати центру кола,

Радіус кола,

Кут повороту вектор радіуса.

Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, оскільки координати центру дорівнюють нулю, а радіус дорівнює одиниці:

Ну що, спробуємо ці формули на смак, повправляючись у знаходженні крапок на колі?

1. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

2. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

3. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

4. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.

5. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.

Виникли проблеми у знаходженні координот точки на колі?

Розв'яжи ці п'ять прикладів (або добре розберись у рішенні) і ти навчишся їх знаходити!

Можна зауважити, що. А ми знаємо, що відповідає повному обігу початкової точки. Таким чином, точка, що шукається, буде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:

2. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:

Можна зауважити, що. Ми знаємо, що відповідає двом повним оборотампочаткової точки. Таким чином, точка, що шукається, буде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:

Синус та косинус - це табличні значення. Згадуємо їх значення та отримуємо:

Таким чином, потрібна точка має координати.

3. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:

Можна зауважити, що. Зобразимо приклад на малюнку:

Радіус утворює з віссю кути, рівні та. Знаючи, що табличні значення косинуса та синуса рівні, і визначивши, що косинус тут набуває негативне значення, А синус позитивне, маємо:

Детальніше подібні прикладирозбираються щодо формул приведення тригонометричних функцій у темі .

Таким чином, потрібна точка має координати.

Кут повороту радіуса вектора (за умовою)

Для визначення відповідних знаків синуса та косинуса побудуємо одиничне коло та кут:

Як можна побачити, значення, тобто позитивно, а значення, тобто – негативно. Знаючи табличні значення відповідних тригонометричних функцій, отримуємо, що:

Підставимо отримані значення в нашу формулу і знайдемо координати:

Таким чином, потрібна точка має координати.

5. Для вирішення цього завдання скористаємося формулами у загальному вигляді, де

Координати центру кола (у нашому прикладі,

Радіус кола (за умовою,)

Кут повороту векторного радіуса (за умовою,).

Підставимо всі значення у формулу та отримаємо:

та - табличні значення. Згадуємо та підставляємо їх у формулу:

Таким чином, потрібна точка має координати.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Синус кута - це відношення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.

Косинус кута - це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

Тангенс кута - це відношення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).

Котангенс кута - це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (далекого).

Косинус суми та різниці двох кутів

У цьому параграфі буде доведено такі дві формули:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Косинус суми (різниці) двох кутів дорівнює творукосінусів цих кутів мінус (плюс) добуток синусів цих кутів.

Нам зручніше розпочатиме з доказу формули (2). Для простоти викладу припустимо спочатку, що кути α і β задовольняють наступним умовам:

1) кожен з цих кутів невід'ємний і менший 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Нехай позитивна частина осі 0х є загальною початковою стороною кутів α і β .

Кінцеві стороницих кутів позначимо відповідно через 0А та 0В. Очевидно, що кут α - β можна розглядати як такий кут, який потрібно повернути промінь 0В навколо точки 0 проти годинникової стрілки, щоб його напрямок збіглося з напрямком променя 0А.

На променях 0А і 0В відзначимо точки М і N, віддалені від початку координат 0 з відривом 1, отже 0М = 0N = 1.

У системі координат х0у точка М має координати ( cos α, sin α), а точка N - координати ( cos β , sin β). Тому квадрат відстані між ними дорівнює:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Під час обчислень ми скористалися тотожністю

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Тепер розглянемо іншу систему координат В0С, яка виходить шляхом повороту осей 0х та 0у навколо точки 0 проти годинникової стрілки на кут β .

У цій системі координат точка М має координати (cos ( α - β ), sin ( α - β )), а точка N-координати (1,0). Тому квадрат відстані між ними дорівнює:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α-β) = 2 .

Але відстань між точками М та N не залежить від того, щодо якої системи координат ми розглядаємо ці точки. Тому

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Звідси випливає формула (2).

Тепер слід згадати про ті два обмеження, які ми наклали для простоти викладу на кути α і β .

Вимога, щоб кожен з кутів α і β був невід'ємний, насправді не суттєво. Адже до будь-якого з цих кутів можна додати кут, кратний 2я, що ніяк не позначиться на справедливості формули (2). Так само від кожного з цих кутів можна відняти кут, кратний 2π. Тому можна вважати, що 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Не суттєвою виявляється і умова α > β . Справді, якщо α < β , то β >α ; тому, враховуючи парність функції cos х , отримуємо:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

що з суті збігається з формулою (2). Таким чином, формула

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

вірна для будь-яких кутів α і β . Зокрема, замінюючи у ній β на - β та враховуючи, що функція cosх є парною, а функція sinх непарною, отримуємо:

cos (α + β) = cos [α - (-β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

що доводить формулу (1).

Отже, формули (1) та (2) доведені.

приклади.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15 ° = cos (45 ° - 30 °) = cos 45 ° cos 30 ° + sin 45 ° sin 30 ° =

Вправи

1 . Обчислити, не користуючись тригонометричними таблицями:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

б) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

в) cos 29 ° cos 74 ° + sin 29 ° sin 74 °;

г) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

д) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2. Спростити вирази:

a). cos ( α + π / 3 ) + cos (π/3 - α ) .

б). cos (36° + α ) cos (24 ° - α ) + sin (36° + α ) sin ( α - 24 °).

в). sin (π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

г) cos 2 α + tg α sin 2 α .

3 . Обчислити :

a) cos (α - β), якщо

cos α = - 2 / 5 , sin β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

б) cos ( α + π / 6), якщо cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . Знайти cos (α+β)та cos (α - β) ,якщо відомо, що sin α = 7 / 25 , cos β = - 5 / 13 і обидва кути ( α і β ) Закінчуються в одній і тій же чверті.

5 .Обчислити:

а). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

б). cos [arcsin 1/3 - arccos (-2/3)].

в). cos [ arctg 1 / 2 + arccos (-2) ]