Синус, косинус, тангенс: що таке? Як знайти синус, косинус та тангенс? Формули подвійного кута та складання аргументів. Тригонометричні функції у житті

Одним із розділів математики, з якими школярі справляються з найбільшими труднощамиє тригонометрія. Не дивно: щоб вільно оволодіти цією областю знань, потрібна наявність просторового мислення, вміння знаходити синуси, косинуси, тангенси, котангенси за формулами, спрощувати висловлювання, вміти застосовувати у обчисленнях число пі. Крім цього, потрібно вміти застосовувати тригонометрію за доказом теорем, а це вимагає або розвиненої математичної пам'яті, або вміння виводити непрості логічні ланцюжки.

Витоки тригонометрії

Знайомство з цією наукою слід розпочати з визначення синуса, косинуса і тангенса кута, проте спочатку необхідно розібратися, чим займається тригонометрія.

Історично головним об'єктом дослідження цього розділу математичної наукибули прямокутні трикутники. Наявність кута в 90 градусів дає можливість здійснювати різні операції, що дозволяють по двох сторонах і одному куті або по двох кутах і одній стороні визначати значення всіх параметрів фігури, що розглядається. У минулому люди помітили цю закономірність і стали активно нею користуватися при будівництві будівель, навігації, астрономії і навіть у мистецтві.

Початковий етап

Спочатку люди міркували про взаємини кутів і сторін винятково з прикладу прямокутних трикутників. Потім були відкриті особливі формули, що дозволили розширити межі вживання в повсякденному життіцього розділу математики.

Вивчення тригонометрії у школі сьогодні починається з прямокутних трикутників, після чого отримані знання використовуються учнями у фізиці та вирішенні абстрактних тригонометричних рівнянь, робота з якими починається у старших класах

Сферична тригонометрія

Пізніше, коли наука вийшла на наступний рівень розвитку, формули із синусом, косінусом, тангенсом, котангенсом стали використовуватися у сферичній геометрії, де діють інші правила, а сума кутів у трикутнику завжди більша за 180 градусів. Цей розділне вивчається в школі, проте знати про його існування необхідно як мінімум тому, що земна поверхня, та й поверхня будь-якої іншої планети, є опуклою, а значить, будь-яка розмітка поверхні буде в тривимірному просторі"дугоподібної".

Візьміть глобус та нитку. Прикладіть нитку до двох будь-яких точок на глобусі, щоб вона виявилася натягнутою. Зверніть увагу - вона набула форми дуги. З такими формами і має справу сферична геометрія, що застосовується в геодезії, астрономії та інших теоретичних та прикладних сферах.

Прямокутний трикутник

Дещо дізнавшись про способи застосування тригонометрії, повернемося до базової тригонометрії, щоб надалі розібратися, що таке синус, косинус, тангенс, які розрахунки можна з їх допомогою виконувати і які формули при цьому використовувати.

Насамперед необхідно усвідомити поняття, які стосуються прямокутного трикутника. По-перше, гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти кута 90 градусів. Вона є найдовшою. Ми пам'ятаємо, що за теоремою Піфагора її чисельне значення дорівнює кореню із суми квадратів двох інших сторін.

Наприклад, якщо дві сторони дорівнюють 3 і 4 сантиметрам відповідно, довжина гіпотенузи становитиме 5 сантиметрів. До речі, про це знали ще давні єгиптяни близько чотирьох із половиною тисяч років тому.

Дві сторони, що залишилися, які утворюють прямий кут, звуться катетами. Крім того, треба пам'ятати, що сума кутів у трикутнику в прямокутної системикоординат дорівнює 180 градусів.

Визначення

Нарешті, твердо розуміючи геометричну основу, можна звернутися до визначення синуса, косинуса та тангенсу кута.

Синусом кута називається відношення протилежного катета(Тобто сторони, що розташовується навпроти потрібного кута) до гіпотенузи. Косинусом кута називається відношення прилеглого катетадо гіпотенузи.

Запам'ятайте, що ні синус, ні косинус не може бути більше одиниці! Чому? Тому що гіпотенуза - це за умовчанням найдовша Яким би довгим не був катет, він буде коротшим за гіпотенузу, а значить, їх відношення завжди буде менше одиниці. Таким чином, якщо у вас у відповіді до завдання вийшов синус або косинус зі значенням більшим, ніж 1, шукайте помилку в розрахунках або міркуваннях. Ця відповідь однозначно невірна.

Нарешті, тангенсом кута називається відношення протилежної сторони до прилеглої. Той самий результат дасть поділ синуса на косинус. Подивіться: відповідно до формули ми ділимо довжину сторони на гіпотенузу, після чого ділимо на довжину другої сторони та множимо на гіпотенузу. Таким чином, ми отримуємо те саме співвідношення, що і у визначенні тангенса.

Котангенс, відповідно, є відношенням прилеглої до кута сторони до протилежної. Той самий результат ми отримаємо, розділивши одиницю на тангенс.

Отже, ми розглянули визначення, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, і можемо зайнятися формулами.

Найпростіші формули

У тригонометрії не обійтися без формул – як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? Адже саме це потрібно при вирішенні завдань.

Перша формула, яку необхідно знати, починаючи вивчати тригонометрію, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса кута дорівнює одиниці. Ця формулає прямим наслідком теореми Піфагора, проте дозволяє заощадити час, якщо потрібно дізнатися про величину кута, а не сторони.

Багато учнів що неспроможні запам'ятати другу формулу, також дуже популярну під час вирішення шкільних завдань: сума одиниці і квадрата тангенса кута дорівнює одиниці, поділеної на квадрат косинуса кута. Придивіться: адже це те саме твердження, що й у першій формулі, тільки обидві сторони тотожності були поділені на квадрат косинуса. Виходить, проста математична операція робить тригонометричну формулу абсолютно невпізнанною. Пам'ятайте: знаючи, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, правила перетворення та кілька базових формулви будь-якої миті зможете самі вивести необхідні більше складні формулина папері.

Формули подвійного кута та складання аргументів

Ще дві формули, які потрібно вивчити, пов'язані зі значеннями синуса та косинуса при сумі та різниці кутів. Вони представлені нижче. Зверніть увагу, що в першому випадку обидва рази перемножується синус та косинус, а в другому складається попарний добуток синуса та косинуса.

Також є формули, пов'язані з аргументами у вигляді подвійного кута. Вони повністю виводяться з попередніх - як тренування спробуйте отримати їх самостійно, прийнявши кут альфа рівним кутубета.

Нарешті, зверніть увагу, що формули подвійного кута можна перетворити так, щоб знизити рівень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теореми

Двома основними теоремами в базовій тригонометрії є теорема синусів та теорема косінусів. За допомогою цих теорем ви легко зможете зрозуміти, як знайти синус, косинус і тангенс, а отже, і площу фігури, і величину кожної сторони тощо.

Теорема синусів стверджує, що в результаті розподілу довжини кожної зі сторін трикутника на величину протилежного кутами отримаємо однакове число. Більше того, це число дорівнюватиме двом радіусам описаного кола, тобто кола, що містить всі точки даного трикутника.

Теорема косінусів узагальнює теорему Піфагора, проеціруя її будь-які трикутники. Виявляється, із суми квадратів двох сторін відняти їх добуток, помножений на подвійний косинус суміжного їм кута - отримане значення виявиться рівним квадрату третьої сторони. Таким чином, теорема Піфагора виявляється окремим випадком теореми косінусів.

Помилки з неуважності

Навіть знаючи, що таке синус, косинус і тангенс, легко зробити помилку через неуважність або помилки в найпростіших розрахунках. Щоб уникнути таких помилок, ознайомимося з найпопулярнішими з них.

По-перше, не слід перетворювати звичайні дроби на десяткові до отримання остаточного результату - можна й відповідь залишити у вигляді звичайного дробу, якщо умові не обумовлено зворотне. Таке перетворення не можна назвати помилкою, проте слід пам'ятати, що на кожному етапі завдання можуть з'явитися нові корені, які за задумом автора повинні скоротитися. У цьому випадку ви дарма витратите час на зайві математичні операції. Особливо це актуально для таких значень, як корінь із трьох або з двох, адже вони зустрічаються в завданнях на кожному кроці. Те саме стосується заокруглень «некрасивих» чисел.

Далі, зверніть увагу, що до будь-якого трикутника застосовна теорема косінусів, але не теорема Піфагора! Якщо ви помилково забудете відняти подвійний твір сторін, помножений на косинус кута між ними, ви не тільки отримаєте абсолютно невірний результат, але й продемонструєте повне нерозуміння предмета. Це гірше, ніж помилка через неуважність.

По-третє, не плутайте значення для кутів 30 і 60 градусів для синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів. Запам'ятайте ці значення, адже синус 30 градусів дорівнює косінусу 60, і навпаки. Їх легко переплутати, внаслідок чого ви неминуче отримаєте хибний результат.

Застосування

Багато учнів не поспішають братися до вивчення тригонометрії, оскільки розуміють її прикладного сенсу. Що таке синус, косинус, тангенс для інженера чи астронома? Це поняття, завдяки яким можна обчислити відстань до далеких зірокпередбачити падіння метеорита, відправити дослідний зонд на іншу планету. Без них не можна збудувати будинок, спроектувати автомобіль, розрахувати навантаження на поверхню або траєкторію руху предмета. І це лише очевидні приклади! Адже тригонометрія у тому чи іншому вигляді використовується всюди, починаючи від музики та закінчуючи медициною.

На закінчення

Отже, ви синус, косинус, тангенс. Ви можете використовувати їх у розрахунках та успішно вирішувати шкільні завдання.

Вся суть тригонометрії зводиться до того, що за відомими параметрами трикутника потрібно вирахувати невідомі. Усього цих параметрів шість: довжини трьох сторіні величини трьохкутів. Вся різниця в завданнях полягає в тому, що даються різні вхідні дані.

Як знайти синус, косинус, тангенс, виходячи з відомих довжин катетів або гіпотенузи, ви тепер знаєте. Оскільки ці терміни позначають не що інше, як відношення, а відношення - це дріб, головною метою тригонометричного завданнястає знаходження коренів нормального рівняння або системи рівнянь. І тут вам допоможе звична шкільна математика.

Звідки

sin = 0,0035 sin cos= 0,0018 Син 2.

Таким чином, кут змінюється в межах від нуля (на екваторі, де =0, і на полюсах, де =90°) до 0,0018 рад або 6" (на широті 45°).

Напрямок сили Р збігається із напрямком нитки, натягнутої вантажем; яке називається напрямом схилу або вертикальним напрямом. Сила Fнаправлена ​​до центру Землі. Отже, вертикаль спрямовано центру Землі лише з полюсах і екваторі, відхиляючись на проміжних широтах на кут , визначається виразом (11).

Різниця F- Рдорівнює нулю на полюсах і досягає максимуму, що дорівнює 0,3% сили F , на екваторі. Через сплюснутість Землі у полюсів сила F сама по собі дещо варіює з широтою, будучи на екваторі приблизно на 0,2% менше, ніж у полюсів. Через війну прискорення вільного падіння змінюється із широтою не більше від 9,780 м/с 2 на екваторі до 9,832м/с 2 на полюсах. Значення g =9,80665 м/с 2 прийнято як нормальне (стандартне) значення.

Зауважимо, що щодо інерційної, наприклад, геліоцентричної системи відліку вільно падаюче тіло рухається з прискоренням (а не g). З рис. різних тілприскорення gвитікає і рівність прискорень w.Дійсно, трикутники, побудовані на векторах F gі Р для різних тіл, подібні (кути ата > для всіх тіл у даній точці земної поверхніоднакові). Отже, відношення Fg/P,яке збігається з ставленням ig,для всіх тіл одне й те саме, звідки випливає, що за однакових gвиходять однаковими

При русі тіла щодо системи відліку, що обертається, крім відцентрової сили інерції, з'являється ще одна сила, звана силою Коріоліса чи коріолісовою силою інерції.

Рис.6 (а, б)

Поява коріолісової сили можна виявити на наступному прикладі. Візьмемо горизонтально розташований диск, який може обертатися навколо вертикальної осі. Прочертимо на диску радіальну пряму ОА(рис. 6,а ). Запустимо у напрямку від О до Акулька зі швидкістю v". Якщо диск не обертається, кулька котитиметься вздовж прокресленої нами прямої. Якщо ж диск привести в обертання в напрямку, вказаному стрілкою, то кулька котитиметься зображеною пунктиром кривою. ВВ,причому його швидкість щодо диска v" буде змінювати свій напрямок. Отже, по відношенню до обертової системи відліку кулька поводиться так, як би на нього діяла сила F K , перпендикулярна до швидкості v"

Щоб змусити кульку котитися по диску, що обертається, вздовж радіальної прямої, потрібно зробити напрямну, наприклад, у вигляді ребра Про А(Рис. 6, б). При коченні кульки напрямне ребро діє нього з деякою силою F r . Щодо обертової системи (диска) кулька рухається з постійною за напрямом швидкістю. Це можна формально пояснити тим, що сила F r врівноважується прикладеною до кульки силою інерції F K , перпендикулярної швидкості v". Сила F K і є коріолісова сила інерції.

Знайдемо спочатку вираз сили Коріоліса для окремого випадку, коли частка трухається щодо обертової системи відліку рівномірно по колу,

Рис.7

що лежить у площині, перпендикулярній до осі обертання, з центром, що знаходиться на цій осі (рис. 7). Швидкість частинки щодо обертової системи позначимо v". Швидкість частинки щодо нерухомої (інерціальної) системи відліку v дорівнює за величиною +R у разі (а)і |-R у разі (б), де - кутова швидкістьсистеми, що обертається, R - радіус кола.

Для того щоб частка рухалася щодо нерухомої системи по колу зі швидкістю на неї повинна діяти спрямована до центру кола сила F, наприклад, сила натягу нитки, якою частка прив'язана до центру кола (див. рис. 7). ). Величина цієї сили дорівнює

F=m=== +2 m + mR (12)

Щодо обертової системи частка в цьому випадку рухається з прискоренням, тобто так, якби на неї діяла сила

Таким чином, в системі, що обертається, частка поводиться так, як би на неї, крім спрямованої до центру кола сили F, діяли ще дві спрямовані від центру сили: і сила Fk, модуль якої дорівнює 2 m (рис. 7) Cилу F K можна подати у вигляді

Сила (14) і є коріолісова сила інерції. При v"=0 ця сила відсутня. Сила F u 6не залежить від v" - вона, як ми вже зазначали, діє як на ті, що спочивають, так і на рухомі тіла. У випадку, зображеному на рис. 7

F=m=== -2 m + mR

Відповідно

Отже, в системі, що обертається, частка поводиться так, як би на неї діяли дві спрямовані до центру кола сили: F і Fk, а також спрямована від центру сила F u 6 =m 2 R . Сила Fk і в цьому випадку може бути подана у вигляді (14).

Тепер перейдемо до знаходження вираження сили Коріоліса для випадку, коли частка рухається щодо системи відліку, що обертається, довільним чином. Зв'яжемо з системою, що обертається, координатні осі х", y", z",причому вісь , z"сумісний із віссю обертання (рис. 8). Тоді радіус-вектор частки можна подати у вигляді (15)

Положення частки відносно нерухомої системи слід визначати за допомогою радіуса-вектора р. Однак символи г і г позначають один і той же вектор, проведений з початку координат до частки. Символом г позначив цей вектор спостерігач, що «живе» в системі відліку, що обертається; за його спостереженнями орти, е" у, е" гнерухомі, тому при диференціюванні виразу (15) він поводиться з цими ортами як із константами. Символом користується нерухомий спостерігач; для нього орти, е" у,обертаються зі швидкістю (орт e" zнерухомий). Тому при диференціюванні рівного г виразу (15) нерухомий спостерігач повинен поводитися з і е" уяк із функціями t,похідні яких рівні:

| Для других похідних ортів за часом виходять вирази:

Знайдемо швидкість частки щодо системи відліку, що обертається. Для цього продиференціюємо радіус-вектор (15) за часом, вважаючи орти константами

Повторне диференціювання цього виразу дасть прискорення частки щодо системи відліку, що обертається:

Тепер знайдемо швидкість частки щодо нерухомої системи відліку. Для цього продиференціюємо радіус-вектор (15) "з позицій" нерухомого спостерігача. Скориставшись позначенням г замість г" (нагадаємо, що г=г"), отримаємо:

Продиференціювавши цей вираз ще раз по t,знайдемо прискорення частки щодо нерухомої системи. Взявши до уваги формули (15), (16) і (18), отримане співвідношення можна перетворити на вигляд:

Співвідношення (20) можна записати так:

З (21) випливає, що прискорення частки щодо нерухомої системи відліку можна подати у вигляді суми трьох прискорень: прискорення щодо системи, що обертається w",

прискорення, рівного - R 1), та прискорення

w K =2[, v"], яке називається коріолісовим прискоренням.

Для того щоб частка рухалася з прискоренням (21), на неї повинні діяти якісь тіла з результуючою силою F=mw. Згідно (21)

mw r = mw - 2m[, v"] + m 2 R = F + 2m + m 2 R (22)

(перестановка співмножників змінює символ векторного твору). Отриманий результат означає, що при складанні рівняння другого закону Ньютона в системі відліку, що обертається,

крім сил взаємодії, потрібно враховувати відцентрову силуінерції, а також коріолісову силу. Зазначимо, що сила Коріоліса завжди лежить у площині, перпендикулярній до осі обертання.

З порівняння формул (19), (17) , (15) , і що з допомогою викладок, аналогічних тим, які призвели до співвідношення (21), можна переконатися, що

V=v"+[, r"]. (23)

Приклади рухів, у яких проявляється коріолісова сила інерції. При тлумаченні явищ, пов'язаних із рухом тіл щодо земної поверхні, у ряді випадків необхідно враховувати вплив коріолісових сил. Наприклад, при вільному падіннітіл на них діє коріолісова сила, що зумовлює відхилення на схід від лінії схилу (рис.9). Ця сила максимальна на екваторі і перетворюється на нуль на полюсах.

снаряд, Що Летить, також відчуває відхилення, обумовлені коріолісовими силами інерції (рис.10) . При пострілі з гармати, спрямованої на північ, снаряд відхилятиметься на схід у північній півкулі та на захід - у південній. При стрільбі вздовж меридіана на південь напрямки відхилення будуть протилежними. При стрільбі вздовж екватора сили Коріоліса притискатимуть снаряд до Землі, якщо постріл зроблений у напрямку на захід, і піднімати його догори, якщо постріл зроблено в східному напрямку. Надаємо читачеві самому переконатися в тому, що сила Коріоліса, що діє на тіло, що рухається вздовж меридіана в будь-якому напрямку (на північ або на південь), спрямована по відношенню до напрямку руху вправо в північній півкулі і вліво південній півкулі. Це призводить до того, що біля річок завжди підмивається правий берег у північній півкулі та лівий берег у південній півкулі. Ці ж причини пояснюють неоднакове зношування рейок при двоколійному русі.

Сили Коріоліса виявляються і при коливаннях маятника. На рис. 11 показано траєкторію вантажу маятника (для простоти припущено, що маятник знаходиться на полюсі). На північному полюсі сила Коріоліса буде весь час спрямована праворуч по ходу маятника, на південному полюсі- ліворуч. Через війну траєкторія має вигляд розетки.

Як випливає з малюнка, площина хитання маятника повертається щодо Землі у напрямку годинникової стрілки, причому за добу вона здійснює один оборот. Щодо геліоцентричної системи відліку справа так, що площина коливань залишається незмінною, а Земля повертається щодо неї, роблячи за добу один оборот. Можна показати, що на широті ф площина хитання маятника повертається за добу на кут 2я sin ф.

Таким чином, спостереження за обертанням площини хитання маятника (маятники, призначені для цієї мети, називаються маятниками Фуко) дають безпосередній доказ обертання Землі навколо своєї осі.

Вчителі вважають, що кожен школяр має вміти проводити розрахунки, знати тригонометричні формулиАле далеко не кожен викладач пояснює, що таке синус і косинус. Який їхній зміст, де вони використовуються? Чому ми говоримо про трикутники, а в підручнику намальовано коло? Спробуємо пов'язати всі факти докупи.

Шкільний предмет

Вивчення тригонометрії починається зазвичай у 7-8 класі середньої школи. У цей час учням пояснюють, що таке синус та косинус, пропонують вирішувати геометричні завданняіз застосуванням цих функцій. Пізніше з'являються складніші формули та вирази, які потрібно алгебраїчним способомперетворювати (формули подвійного та половинного кута, статечні функції), проводиться робота з тригонометричним колом.

Однак вчителі далеко не завжди можуть дохідливо пояснити зміст понять, що використовуються, і застосовність формул. Тому учень часто не бачить сенсу в даному предметі, а завчена інформація швидко забувається. Однак варто один раз пояснити старшокласнику, наприклад, зв'язок між функцією та коливальним рухом, і логічний зв'язокзапам'ятається багато років, а жарти на тему марності предмета відійдуть у минуле.

Використання

Заглянемо заради цікавості у різні розділи фізики. Бажаєте визначити дальність польоту снаряда? Чи вираховуєте силу тертя між об'єктом та якоюсь поверхнею? Розгойдуєте маятник, стежите за променями, що проходять крізь скло, вираховуєте індукцію? Практично у будь-якій формулі фігурують тригонометричні поняття. То що таке синус та косинус?

Визначення

Синус кута є відношенням протилежного катета до гіпотенузи, косинус - прилеглого катета все до тієї ж гіпотенузи. Тут немає нічого складного. Можливо, учнів зазвичай бентежать значення, які вони бачать у тригонометричної таблиці, адже там фігурує квадратне коріння. Так, отримувати з них десяткові дроби не дуже зручно, але хто сказав, що всі числа в математиці мають бути рівними?

Насправді в задачках по тригонометрії можна знайти кумедну підказку: більшість відповідей тут рівні і гіршому випадкумістять корінь із двох або з трьох. Висновок простий: якщо у вас у відповіді вийшов «багатоповерховий» дріб, перевірте ще раз рішення на предмет помилок у розрахунках або в міркуваннях. І ви їх, мабуть, знайдете.

Що потрібно запам'ятати

Як і будь-якій науці, в тригонометрії є такі дані, які необхідно вивчити.

По-перше, слід запам'ятати числові значеннядля синусів, косінусів прямокутного трикутника 0 та 90, а також 30, 45 та 60 градусів. Ці показники зустрічаються у дев'яти із десяти шкільних завдань. Підглядаючи ці значення у підручнику, ви втратите багато часу, а на контрольній чи іспиті подивитися взагалі буде ніде.

Слід пам'ятати, що значення обох функцій неспроможна перевищувати одиницю. Якщо де-небудь у розрахунках ви отримаєте значення, що виходить за межі діапазону 0-1, зупиніться та вирішіть задачу заново.

Сума квадратів синуса та косинуса дорівнює одиниці. Якщо ви вже знайшли одне із значень, скористайтеся цією формулою для знаходження того, що залишилося.

Теореми

У базовій тригонометрії є дві основні теореми: синусів і косінусів.

Перша говорить, що відношення кожної сторони трикутника до синуса протилежного кута однаково. Друга - що квадрат будь-якої сторони можна отримати, якщо скласти квадрати двох сторін, що залишилися, і відняти подвоєний їх твір, помножений на косинус кута, що лежить між ними.

Таким чином, якщо в теорему косінусів підставити значення кута в 90 градусів, ми отримаємо теорему Піфагора. Тепер, якщо потрібно вирахувати площу фігури, що не є прямокутним трикутником, можна більше не переживати - дві розглянуті теореми суттєво спростять розв'язання задачі.

Цілі і завдання

Вивчення тригонометрії значно спроститься, коли ви усвідомлюєте один простий факт: всі дії, що ви виконуєте, спрямовані на досягнення всього однієї мети. Будь-які параметри трикутника можуть бути знайдені, якщо ви знаєте про нього мінімум інформації - це може бути величина одного кута і довжини двох сторін або, наприклад, три сторони.

Для визначення синуса, косинуса, тангенса будь-якого кута цих даних достатньо, з їх допомогою можна легко вирахувати площу фігури. Практично завжди як відповідь потрібно навести одне зі згаданих значень, а знайти їх можна за одним і тим самим формулами.

Нестиковки щодо тригонометрії

Одним з незрозумілих питань, яких школярі вважають за краще уникати, є виявлення зв'язку між різними поняттямиу тригонометрії. Здавалося б, вивчення синусів і косінусів кутів використовуються трикутники, але позначення чомусь часто зустрічаються малюнку з окружностью. Крім того, існує і зовсім незрозумілий хвилеподібний графік під назвою синусоїда, який не має жодної зовнішньої подібності ні з колом, ні з трикутниками.

Більше того, кути вимірюються то в градусах, то в радіанах, а число Пі, яке записується просто як 3,14 (без одиниць виміру), чомусь фігурує у формулах, відповідаючи 180 градусам. Як усе це пов'язано?

Одиниці виміру

Чому число Пі дорівнює саме 3,14? Чи пам'ятаєте ви, що це за значення? Це кількість радіусів, що уміщаються в дузі на половині кола. Якщо діаметр кола - 2 сантиметри, довжина кола становитиме 3,14*2, або 6,28.

Другий момент: можливо, ви помічали схожість слів «радіан» та «радіус». Справа в тому, що один радіан чисельно дорівнює величинікута, відкладеного з центру кола на дугу завдовжки один радіус.

Тепер сумісний отримані знання і зрозуміємо, чому зверху на осі координат у тригонометрії пишеться «Пі навпіл», а ліворуч – «Пі». Це кутова величина, Виміряна в радіанах, адже півколо - це 180 градусів, або 3,14 радіана. А там, де є градуси, є синуси та косинуси. Трикутник легко провести від потрібної точки, відклавши відрізки до центру і на вісь координат.

Зазирнемо у майбутнє

Тригонометрія, що вивчається в школі, має справу з прямолінійною системою координат, де, хоч як це дивно не звучало, пряма - це пряма.

Але є і більше складні способироботи з простором: сума кутів трикутника тут буде більше 180 градусів, а пряма в нашому уявленні буде виглядати як справжнісінька дуга.

Перейдемо від слів до діла! Візьміть яблуко. Зробіть ножем три надрізи, щоб при погляді зверху виходив трикутник. Вийміть шматок яблука і подивіться на «ребра», де закінчується шкірка. Вони зовсім не прямі. Фрукт у ваших руках умовно можна назвати круглим, а тепер уявіть, якими складними мають бути формули, за допомогою яких можна знайти площу вирізаного шматка. Адже деякі фахівці вирішують такі завдання щодня.

Тригонометричні функції у житті

Чи звертали ви увагу, що найкоротший маршрут літака з точки А до точки Б на поверхні нашої планети має яскраво виражену форму дуги? Причина проста: Земля має форму кулі, отже, з допомогою трикутників багато чого не обчислиш - тут доводиться використовувати складніші формули.

Не обійтися без синуса/косинусу гострого кута у будь-яких питаннях, пов'язаних із космосом. Цікаво, що тут сходиться безліч факторів: тригонометричні функції потрібні при розрахунках руху планет по колам, еліпсам і різним траєкторіям. складних форм; процесу запуску ракет, супутників, шатлів, відстикування дослідницьких апаратів; спостереженні за далекими зіркамиі вивчення галактик, до яких людина в найближчому майбутньому дістатися не зможе.

Загалом поле для діяльності людини, яка володіє тригонометрією, дуже широко і, мабуть, згодом лише розширюватиметься.

Висновок

Сьогодні ми дізналися або, принаймні, повторили, що таке синус та косинус. Це поняття, яких не треба боятися – варто захотіти, і ви зрозумієте їхній зміст. Пам'ятайте, що тригонометрія – це не мета, а лише інструмент, який можна використовувати для задоволення реальних людських потреб: будувати будинки, забезпечувати безпеку руху, навіть освоювати простори всесвіту.

Дійсно, сама по собі наука може здаватися нудною, але як тільки ви знайдете в ній спосіб досягнення власної мети, самореалізації, процес навчання стане цікавим, а ваша особиста мотивація зросте.

В якості домашнього завданняспробуйте знайти способи застосувати тригонометричні функції у сфері діяльності, яка цікава особисто вам. Пофантазуйте, увімкніть уяву, і тоді напевно виявиться, що нові знання стануть вам у нагоді в майбутньому. Та й крім того, математика корисна для загального розвиткумислення.

У цій статті зібрані таблиці синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. Спочатку ми наведемо таблицю основних значень тригонометричних функцій, тобто таблицю синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів кутів 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусів ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадіан). Після цього ми дамо таблицю синусів та косінусів, а також таблицю тангенсів та котангенсів В. М. Брадіса, і покажемо, як використовувати ці таблиці при знаходженні значень тригонометричних функцій.

Навігація на сторінці.

Таблиця синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів для кутів 0, 30, 45, 60, 90, … градусів

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
• Брадіс В. М.Чотиризначні математичні таблиці: Для загальноутвор. навч. закладів. - 2-ге вид. - М: Дрофа, 1999. - 96 с.: іл. ISBN 5-7107-2667-2

У принципі, можна було б міряти всі кути в радіанах. Насправді широко використовується і градусне вимір кутів, хоча з суто математичної погляду воно неприродно. При цьому для малих кутів використовуються спеціальні одиниці: кутова хвилина та кутова секунда. Кутова хвилина – це 1/60 частина градуса; кутова секунда – це 1/60 частина кутової хвилини. Якщо, наприклад, величина кута дорівнює 129 градусів, 34 хвилин і 16 секунд, то пишуть: 129◦ 340 1600 .

Завдання 4.1. На який кут повертається за секунду:

а) годинна стрілкагодин;

б) хвилинна стрілка годинника;

в) секундна стрілка годинника?

Рішення. Розберемо лише пункт а). Повний оборотгодинна стрілка робить за 12 годин; отже, за годину вона повертається на 360/12 = 30◦. Отже, за хвилину годинна стрілка повернеться на кут, у 60 разів менший, ніж за годину, тобто на 300;

в свою чергу, за секунду стрілка повернеться на кут, у 60 разів менший, ніж за хвилину, тобто на 30 00 . Тепер ви бачите, на-

скільки мала кутова секунда: адже навіть кут, у тридцять разів більший (поворот годинникової стрілки за секунду часу) ми не

в стан помітити.

Уявлення про кутову хвилину дає такий факт: «роздільна здатність» людського ока(при стовідсотковому зорі та хорошому освітленні) дорівнює приблизно одній кутовій хвилині. Це означає, що дві точки, які видно під кутом 10 або менше, сприймаються на око як одна.

Подивимося, що можна сказати про синус, косинус і тангенс малих кутів. Якщо на рис. 4.2 кут α малий, то висота BC, дуга BD та відрізок BE, перпендикулярний AB, дуже близькі. Їхні довжини - це sin α, радіанна міра α і tg α. Отже, для малих кутів синус, тангенс і радіальний захід приблизно рівні один одному:

Мал. 4.1. Роздільна здатність.

Якщо α - малий кут, виміряний у радіанах, то sin α ≈ α; tg α ≈ α.

Завдання 4.2. Запишіть наближені формули для синуса та тангенсу малих кутів, вважаючи, що кут вимірюється у градусах.

Відповідь. sin α◦ ≈ πα/180.

Видно, що формули складніші, ніж для радіанної міри - ще один аргумент на її користь!

Завдання 4.3. Під яким кутом видно дерево заввишки 10 метрів з відстані 800 метрів? Дайте відповідь: а) у радіанах; б) у кутових хвилинах.

Завдання 4.4. Чому дорівнює відстань, що дорівнює одній хвилині дуги земного меридіана? Радіус Землі дорівнює приблизно 6370.

Відстань, про яку йде мовав цьому завданні приблизно дорівнює морській милі (саме так і з'явилася ця міра довжини).

Мал. 4.3. Парсік.

Мал. 4.4. Формула тисячних.

Завдання 4.5. В астрономії застосовується одиниця виміру відстаней, звана парсек. За визначенням, відстань в 1 парсек – це відстань з якої радіус земної орбіти 1 видно під кутом 100 (рис.4.3). Скільки кілометрів в одному парсеку? (Радіус земної орбіти дорівнює приблизно 150 мільйонів кілометрів.)

Завдання 4.6. Військові користуються одиницею виміру кутів, яка називається «тисячна». За визначенням, тисячна – це 1/3000 розгорнутого кута. Такий вимір кутів військові застосовують у наступній формулі для визначення відстані до віддалених предметів: = (/) · 1000. Тут – відстань до предмета, – його висота, – кут, під яким він видно, виміряний у тисячних (рис. 4.4). Чи точна ця формула? Чому їй можна скористатися на практиці? Чому дорівнює число π, на думку військових?

Ми бачимо, що формули sin α ≈ α, tg α ≈ α вірні з гарною точністю для малих кутів. Подивимося, що станеться,

1 Астрономи поправили б нас: не радіус (орбіта Землі – не коло, а еліпс), а велика піввісь(Повина відстані між найбільш віддаленими один від одного точками орбіти).

якщо кут не настільки малий. Для кута в 30◦ точне значення синуса дорівнює 0,5, а радіанна міра дорівнює π/6 ≈ 0,52. Помилка (або, як ще кажуть, похибка), яку дає формула sinα ≈ α дорівнює приблизно 0,02, що становить 4% від значення синуса. Можна сказати, що відносна похибка за такого обчислення (ставлення похибки до значення синуса) становить 4%. Для кутів, менших за 10◦ , відносна похибка формули sin α ≈ α менше одного відсотка. Чим менший кут α, тим менша відносна похибка формули sin α ≈ α.

Існують й інші формули, що дозволяють обчислювати синуси та тангенси – і не лише малих кутів – з гарною точністю. Наприклад, формула sin α ≈ α − α3 /6 (нагадуємо, що α вимірюється в радіанах!) дає відносну похибкуменше 1% вже для всіх кутів, що не перевищують 50◦. Згодом ми побачимо, як оцінити похибку наших формул.

Завдання 4.7. Нехай α - гострий кут, виміряний у радіанах. Доведіть нерівність cos α > 1 − α2.

Завдання 4.8. Для косінусів малих кутів як наближене значення можна брати 1. Доведіть, що при величині кута менше 5◦ відносна похибка цього наближення буде менше 1%.