Інтервал вираз приймає позитивні. Узагальнений метод інтервалів

Порівнювати величини та кількості при вирішенні практичних завдань доводилося ще з давніх часів. Тоді ж з'явилися і такі слова, як більше і менше, вище і нижче, легше і важче, тихіше і голосніше, дешевше і дорожче, що позначають результати порівняння однорідних величин.

Поняття більше і менше виникли у зв'язку з рахунком предметів, виміром та порівнянням величин. Наприклад, математики Стародавньої Греції знали, що сторона будь-якого трикутника менше сумидвох інших сторін і що проти більшого кутау трикутнику лежить велика сторона. Архімед, займаючись обчисленням довжини кола, встановив, що периметр будь-якого кола дорівнює потрійному діаметру з надлишком, який менше сьомої частини діаметра, але більше десяти сімдесят перших діаметра.

Символічно записувати співвідношення між числами та величинами за допомогою знаків > та b. Записи, в яких два числа з'єднані одним із знаків: > (більше), З числовими нерівностями ви зустрічалися і в молодших класах. Знаєте, що нерівності можуть бути вірними, а можуть бути й невірними. Наприклад, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) правильна числова нерівність, 0,23 > 0,235 - неправильна числова нерівність.

Нерівності, до яких входять невідомі, можуть бути вірними за одних значень невідомих і невірними за інших. Наприклад, нерівність 2x+1>5 правильна при х = 3, а при х = -3 - неправильна. Для нерівності з одним невідомим можна поставити завдання вирішити нерівність. Завдання розв'язання нерівностей практично ставляться і вирішуються не рідше, ніж завдання розв'язання рівнянь. Наприклад, багато економічні проблемизводяться до дослідження та вирішення систем лінійних нерівностей. Багато розділах математики нерівності зустрічаються частіше, ніж рівняння.

Деякі нерівності служать єдиним допоміжним засобом, що дозволяє довести чи спростувати існування певного об'єкта, наприклад, кореня рівняння.

Числові нерівності

Ви вмієте порівнювати цілі числа, десяткові дроби. Знаєте правила порівняння звичайних дробівз однаковими знаменниками, але різними чисельниками; з однаковими чисельниками, але різними знаменниками. Тут ви навчитеся порівнювати будь-які два числа за допомогою знаходження знака їх різниці.

Порівняння чисел широко застосовується практично. Наприклад, економіст порівнює планові показники з фактичними, лікар порівнює температуру хворого з нормальною, токар порівнює розміри деталі, що виточується, з еталоном. У таких випадках порівнюються деякі числа. Внаслідок порівняння чисел виникають числові нерівності.

Визначення.Число а більше числа b, якщо різницю а-bпозитивна. Число а менше числа b якщо різниця а-b негативна.

Якщо більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а Отже, нерівність а > b означає, що різницю а - b позитивна, тобто. а - b > 0. Нерівність а Для будь-яких двох чисел а і b з наступних трьох співвідношень a > b, a = b, a Порівняти числа а і b - означає з'ясувати, який із знаків >, = або Теорема.Якщо a > b та Ь > с, то а > с.

Теорема.Якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться.
Слідство.Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.

Теорема.Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме додатне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.
Слідство.Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.

Ви знаєте, що числові рівностіможна почленно складати та множити. Далі ви навчитеся виконувати аналогічні дії з нерівностями. Вміння почленно складати і множити нерівності часто застосовуються практично. Ці дії допомагають вирішувати завдання оцінювання та порівняння значень виразів.

При вирішенні різних завданьчасто доводиться складати чи множити почленно ліві та праві частини нерівностей. При цьому іноді кажуть, що нерівності складаються чи множаться. Наприклад, якщо турист пройшов у перший день понад 20 км, а в другий – понад 25 км, то можна стверджувати, що за два дні він пройшов понад 45 км. Так само якщо довжина прямокутника менше 13 см, а ширина менше 5 см, то можна стверджувати, що площа цього прямокутника менше 65 см2.

При розгляді цих прикладів застосовувалися такі теореми про складання та множення нерівностей:

Теорема.При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака: якщо а > b і c > d, то a + c > b + d.

Теорема.При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака: якщо а > b, c > d і а, b, с, d – позитивні числа, то ac > bd.

Нерівності зі знаком > (більше) і 1/2, 3/4 b, c Поряд зі знаками строгих нерівностей > і Точно так само нерівність \(a \geq b \) означає, що число а більше або дорівнює b, тобто а не менше b.

Нерівності, що містять знак (geq) або знак (leq), називають нестрогими. Наприклад, \ (18 \ geq 12 , \; 11 \ leq 12 \) - Нестрогі нерівності.

Усі властивості суворих нерівностей справедливі й у нестрогих нерівностей. При цьому якщо для суворих нерівностей протилежними вважалися знаки і ви знаєте, що для вирішення ряду прикладних завданьдоводиться становити математичну модель як рівняння чи системи рівнянь. Далі ви дізнаєтесь, що математичними моделямина вирішення багатьох завдань є нерівності з невідомими. Буде введено поняття розв'язання нерівності та показано, як перевірити, чи є це числовирішенням конкретної нерівності.

Нерівності виду
\(ax > b, \quad ax у яких а та b - задані числа, а x - невідоме, називають лінійними нерівностямиз одним невідомим.

Визначення.Рішенням нерівності з одним невідомим називається значення невідомого, у якому ця нерівність звертається у правильне числове нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти всі його рішення або встановити, що їх немає.

Вирішення рівнянь ви здійснювали шляхом приведення їх до найпростіших рівнянь. Аналогічно при розв'язанні нерівностей їх прагнуть за допомогою властивостей призвести до найпростіших нерівностей.

Розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною

Нерівності виду
\(ax^2+bx+c >0 \) і (ax^2+bx+c де x - змінна, a, b і c - деякі числа і \(a \neq 0 \), називають нерівностями другого ступеня з однією змінною.

Розв'язання нерівності
\(ax^2+bx+c >0 \) або \(ax^2+bx+c можна розглядати як знаходження проміжків, у яких функція \(y= ax^2+bx+c \) набуває позитивних або негативних значень Для цього достатньо проаналізувати, як розташований графік функції \(y= ax^2+bx+c \) в координатній площині: куди спрямовані гілки параболи - вгору чи вниз, чи перетинає парабола вісь x і якщо перетинає, то в яких точках.

Алгоритм розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною:
1) знаходять дискримінант квадратного тричлена (ax^2+bx+c) і з'ясовують, чи має тричлен коріння;
2) якщо тричлен має коріння, то відзначають їх на осі x і через зазначені точки проводять схематично параболу, гілки якої спрямовані вгору при a > 0 або вниз при a 0 або в нижній при a 3) знаходять на осі x проміжки, для яких точки параболи розташовані вище осі x (якщо вирішують нерівність \(ax^2+bx+c >0 \)) або нижче осі x (якщо вирішують нерівність
\(ax^2+bx+c Розв'язання нерівностей методом інтервалів

Розглянемо функцію
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Область визначення цієї функції є безліч всіх чисел. Нулями функції служать числа -2, 3, 5. Вони розбивають область визначення функції на проміжки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) і \( (5; + \ infty) \)

З'ясуємо, які знаки цієї функції у кожному із зазначених проміжків.

Вираз (х + 2) (х - 3) (х - 5) є твір трьох множників. Знак кожного з цих множників у розглянутих проміжках зазначений у таблиці:

Взагалі, нехай функція задана формулою
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
де x-змінна, а x 1, x 2, ..., x n - не рівні другдругий числа. Числа x 1 , x 2 ..., x n є нулями функції. У кожному з проміжків, куди область визначення розбивається нулями функції, знак функції зберігається, а під час переходу через нуль її знак змінюється.

Ця властивість використовується для вирішення нерівностей виду
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) де x 1 , x 2 , ..., x n - не рівні один одному числа

Розглянутий спосіб Розв'язання нерівностей називають методом інтервалів.

Наведемо приклади розв'язання нерівностей шляхом інтервалів.

Вирішити нерівність:

Наносимо на числову вісь нулі функції та обчислюємо знак на кожному проміжку:

Вибираємо проміжки, на яких функція менша або дорівнює нулю і записуємо відповідь.

Відповідь:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

На цьому уроці ми продовжимо рішення раціональних нерівностейметодом інтервалів для більш складних нерівностей. Розглянемо розв'язання дробово-лінійних та дробово-квадратичних нерівностей та супутні завдання.

Тепер повертаємось до нерівності

Розглянемо деякі супутні завдання.

Визначити найменше рішення нерівності.

Знайти число натуральних рішеньнерівності

Знайти довжину інтервалів, що становлять безліч розв'язків нерівності.

2. Портал Природних наук ().

3. Електронний навчально-методичний комплексдля підготовки 10-11 класів до вступним іспитамз інформатики, математики, російської мови ().

5. Центр освіти "Технологія навчання" ().

6. Розділ College.ru з математики ().

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. №№ 28(б,в); 29(б,в); 35(а,б); 37(б,в); 38(а).

Метод інтервалів- Простий спосіб вирішення дробово-раціональних нерівностей. Так називаються нерівності, що містять раціональні (або дробово-раціональні) вирази, що залежать від змінної.

1. Розглянемо, наприклад, таку нерівність

Метод інтервалів дозволяє вирішити його за кілька хвилин.

У лівій частині цієї нерівності – дробово-раціональна функція. Раціональна, тому що не містить ані коріння, ані синусів, ані логарифмів – тільки раціональні вирази. У правій – нуль.

Метод інтервалів заснований на наступному властивості дробно-раціональної функції.

Дробно-раціональна функція може змінювати знак лише у тих точках, у яких вона дорівнює нулю чи немає.

Нагадаємо, як розкладається на множники квадратний тричлен, тобто вираз виду .

Де і - коріння квадратного рівняння.

Малюємо вісь і розставляємо точки, в яких чисельник і знаменник перетворюються на нуль.

Нулі знаменника і - виколоті точки, тому що в цих точках функція в лівій частині нерівності не визначена (на нуль ділити не можна). Нулі чисельники і - зафарбовані, тому що нерівність не сувора. При і наша нерівність виконується, тому що обидві її частини дорівнюють нулю.

Ці точки розбивають вісь на проміжки.

Визначимо знак дробово-раціональної функції у лівій частині нашої нерівності кожному з цих проміжків. Ми пам'ятаємо, що дробово-раціональна функція може змінювати знак лише у тих точках, у яких вона дорівнює нулю чи немає. Це означає, що у кожному з проміжків між точками, де чисельник чи знаменник перетворюються на нуль, знак висловлювання у лівій частині нерівності буде постійним - або " плюс " , або " мінус " .

І тому визначення знака функції кожному такому проміжку ми беремо будь-яку точку, що належить цьому проміжку. Ту, яка нам зручна.
. Візьмемо, наприклад, і перевіримо виразний знак у лівій частині нерівності. Кожна з "дужок" негативна. Ліва частина має знак.

Наступний проміжок: . Перевіримо знак при . Отримуємо, що ліва частиназмінила знак на .

Візьмемо. При вираженні позитивно - отже, воно позитивно по всьому проміжку від до .

При ліва частина нерівності негативна.

І, нарешті, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Ми знайшли, на яких проміжках вираз позитивний. Залишилось записати відповідь:

Відповідь: .

Зверніть увагу: знаки на проміжках чергуються. Це сталося тому, що при переході через кожну точку рівно один з лінійних множників змінив знак, а інші зберегли його незмінним.

Ми бачимо, що метод інтервалів дуже простий. Для того щоб вирішити дробово-раціональна нерівністьметодом інтервалів, наводимо його до вигляду:

Або class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, або або .

(у лівій частині – дробово-раціональна функція, у правій – нуль).

Потім - відзначаємо на числовій прямій точці, в яких чисельник чи знаменник звертаються в нуль.
Ці точки розбивають всю числову пряму на проміжки, кожному з яких дробно-раціональна функція зберігає свій знак.
Залишається лише з'ясувати її знак на кожному проміжку.
Ми робимо це, перевіряючи знак вираження у будь-якій точці, що належить даному проміжку. Після цього – записуємо відповідь. От і все.

Але постає питання: чи завжди знаки чергуються? Ні не завжди! Треба бути уважним і не розставляти знаки механічно та бездумно.

2. Розглянемо ще одну нерівність.

Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3 \right))>0"> !}

Знову розставляємо крапки на осі. Крапки і - виколоті, оскільки це нулі знаменника. Крапка - теж виколота, оскільки нерівність сувора.

При чисельник позитивний, обидва множники у знаменнику негативні. Це легко перевірити, взявши будь-яке число з цього проміжку, наприклад, . Ліва частина має знак:

При чисельник позитивний; перший множник у знаменнику позитивний, другий множник негативний. Ліва частина має знак:

При ситуація та сама! Чисельник позитивний, перший множник у знаменнику позитивний, другий негативний. Ліва частина має знак:

Нарешті, при class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Відповідь: .

Чому порушилося чергування знаків? Тому що при переході через точку "відповідальний" за неї множник не змінив знак. Отже, не змінила знак і вся ліва частина нашої нерівності.

Висновок: якщо лінійний множник стоїть парною мірою (наприклад, у квадраті), то при переході через точку знак виразу в лівій частині не змінюється. У разі непарної міри знак, зрозуміло, змінюється.

3. Розглянемо більше складний випадок. Від попереднього відрізняється тим, що нерівність несувора:

Ліва частина та сама, що й у попередній задачі. Та ж буде і картина знаків:

Може, й відповідь буде такою самою? Ні! Додається рішення Це відбувається тому, що при і ліва, і права частини нерівності дорівнюють нулю - отже, ця точка є рішенням.

Відповідь: .

У задачі на ЄДІ з математики така ситуація трапляється часто. Тут абітурієнти потрапляють у пастку та втрачають бали. Будьте уважні!

4. Що робити, якщо чисельник чи знаменник не вдається розкласти на лінійні множники? Розглянемо таку нерівність:

Квадратний тричлен на множники розкласти не можна: дискримінант негативний, коріння немає. Але ж це й добре! Це означає, що символ висловлювання за всіх однаковий, саме - позитивний. Докладніше про це можна прочитати у статті про властивості квадратичної функції.

І тепер ми можемо поділити обидві частини нашої нерівності на величину, позитивну за всіх. Прийдемо до рівносильної нерівності:

Який легко вирішується методом інтервалів.

Зверніть увагу - ми поділили обидві частини нерівності на величину, яку точно знали, що вона позитивна. Звичайно, в загальному випадкуне варто множити чи ділити нерівність на змінну величинузнак якої невідомий.

5 . Розглянемо ще одну нерівність, на вигляд дуже просте:

Так і хочеться помножити його на . Але ми вже розумні, і не робитимемо цього. Адже може бути як позитивним, і негативним. А ми знаємо, якщо обидві частини нерівності помножити на негативну величину - знак нерівності змінюється.

Ми зробимо інакше - зберемо все в одній частині і приведемо до спільному знаменнику. У правій частині залишиться нуль:

Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

І після цього - застосуємо метод інтервалів.

А сьогодні раціональні нерівності не всі можуть вирішувати. Точніше, вирішувати можуть не тільки всі. Мало хто може це робити.
Кличко

Цей урок буде жорстким. Настільки жорстким, що до кінця його дійдуть лише Вибрані. Тому перед початком читання рекомендую прибрати від екранів жінок, кішок, вагітних дітей та...

Та гаразд, насправді все просто. Припустимо, ви освоїли метод інтервалів (якщо не освоїли - рекомендую повернутися і прочитати) і навчилися вирішувати нерівності виду $P\left(x \right) \gt 0$, де $P\left(x \right)$ - який-небудь багаточлен або добуток багаточленів.

Вважаю, що для вас не важко вирішити, наприклад, ось таку дичину (до речі, спробуйте для розминки):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Тепер трохи ускладнимо завдання і розглянемо не просто багаточлени, а так звані раціональні дроби виду:

де $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ — ті самі багаточлени виду $((a)_(n))((x)^(n))+(( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, або добуток таких многочленів.

Це і буде раціональна нерівність. Принциповим моментом є наявність змінної $x$ у знаменнику. Наприклад, ось це раціональні нерівності:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\\end(align)\]

А це — не раціональна, а звичайнісінька нерівність, яка вирішується методом інтервалів:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Забігаючи вперед, відразу скажу: існує як мінімум два способи розв'язання раціональних нерівностей, але вони так чи інакше зводяться до вже відомого нам методу інтервалів. Тому перш ніж розбирати ці способи, давайте згадаємо старі факти, інакше користі від нового матеріалу не буде ніякого.

Що вже треба знати

Важливих фактів не буває багато. Справді знадобиться нам лише чотири.

Формули скороченого множення

Так, так: вони будуть переслідувати нас протягом усієї шкільної програмиматематики. І в університеті також. Цих формул досить багато, але нам знадобляться лише такі:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2)) \right). \\ \end(align)\]

Зверніть увагу на останні дві формули – це сума та різниця кубів (а не куб суми чи різниці!). Їх легко запам'ятати, якщо помітити, що знак у першій дужці збігається зі знаком у вихідному виразі, а в другій протилежний знаку вихідного виразу.

Лінійні рівняння

Це самі прості рівняннявиду $ax+b=0$, де $a$ і $b$ - це звичайні числа, причому $a\ne 0$. Таке рівняння вирішується просто:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ & ax=-b; \ & x = - \ frac (b) (a). \\ \end(align)\]

Зазначу, що маємо право ділити на коефіцієнт $a$, адже $a\ne 0$. Ця вимога цілком логічна, оскільки за $a=0$ ми отримаємо ось що:

По-перше, у цьому рівнянні немає змінної $x$. Це, взагалі кажучи, не повинно нас бентежити (таке трапляється, скажімо, в геометрії, причому досить часто), але все ж таки перед нами вже не лінійне рівняння.

По-друге, рішення цього рівняння залежить лише від коефіцієнта $b$. Якщо $b$ теж нуль, то наше рівняння має вигляд $0=0$. Ця рівність вірна завжди; отже, $x$ — будь-яке число (зазвичай це записується так: $x\in \mathbb(R)$). Якщо ж коефіцієнт $b$ не дорівнює нулю, то рівність $b=0$ будь-коли виконується, тобто. відповідей немає (записується $x\in \varnothing$ і читається «безліч рішень порожньо»).

Щоб уникнути всіх цих складнощів, просто вважають $a\ne 0$, що анітрохи не обмежує нас у подальших роздумах.

Квадратні рівняння

Нагадаю, що квадратним рівнянням називається ось це:

Тут зліва многочлен другого ступеня, причому знову $a\ne 0$ (інакше замість квадратного рівняння отримаємо лінійне). Вирішуються такі рівняння через дискримінант:

1. Якщо $D \gt 0$, ми отримаємо два різні корені;
2. Якщо $ D = 0 $, то корінь буде один, але другий кратності (що це за кратність і як її враховувати про це трохи пізніше). Або можна сказати, що рівняння має два однакові корені;
3. При $D \lt 0$ коріння взагалі немає, а знак багаточлена $a((x)^(2))+bx+c$ за будь-якого $x$ збігається зі знаком коефіцієнта $a$. Це, до речі, дуже корисний факт, про який чомусь забувають розповісти під час уроків алгебри.

Саме коріння вважається за всією відомою формулою:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Звідси, до речі, обмеження на дискримінант. Адже квадратний коріньіз негативного числа не існує. З приводу коріння у багатьох учнів моторошна каша в голові, тому я спеціально записав цілий урок: що таке корінь в алгебрі і як його рахувати - дуже рекомендую почитати .:)

Дії з раціональними дробами

Все, що було написано вище, ви знаєте, якщо вивчали метод інтервалів. А ось те, що ми розберемо зараз, не має аналогів у минулому, — це зовсім новий факт.

Визначення. Раціональний дріб - це вираз виду

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

де $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ - багаточлени.

Очевидно, що з такого дробу легко отримати нерівність — достатньо лише приписати знак «більше» або «менше» праворуч. І трохи далі ми виявимо, що вирішувати такі завдання – одне задоволення, там усе дуже просто.

Проблеми починаються тоді, як у одному вираженні кілька таких дробів. Їх доводиться приводити до спільного знаменника - і саме в цей момент допускається велика кількістьобразливих помилок.

Тому для успішного вирішення раціональних рівняньнеобхідно твердо засвоїти дві навички:

1. Розкладання многочлена $P\left(x \right)$ на множники;
2. Власне, приведення дробів до спільного знаменника.

Як розкласти багаточлени на множники? Дуже просто. Нехай у нас є багаточлена виду

Прирівнюємо його до нуля. Отримаємо рівняння $n$-го ступеня:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Припустимо, ми вирішили це рівняння і отримали коріння $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (не лякайтеся: у більшості випадків цього коріння буде не більше двох) . У такому разі наш вихідний багаточлен можна переписати так:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

От і все! Зверніть увагу: старший коефіцієнт $((a)_(n))$ нікуди не зник - він буде окремим множником перед дужками, і при необхідності його можна внести в будь-яку з цих дужок (практика показує, що при $((a)_ (n))\ne \pm 1$ серед коренів майже завжди є дроби).

Завдання. Спростіть вираз:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Рішення. Спочатку подивимося на знаменники: всі вони — лінійні двочлени, і розкладати на множники тут нічого. Тому давайте розкладемо на множники чисельники:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\end(align)\]

Зверніть увагу: у другому багаточлені старший коефіцієнт «2» у повній відповідності до нашої схеми спочатку опинився перед дужкою, а потім був внесений до першої дужки, оскільки там виліз дріб.

Те саме сталося і в третьому багаточлені, тільки там ще й порядок переплутаних доданків. Однак коефіцієнт «−5» у результаті виявився внесений у другу дужку (пам'ятайте: вносити множник можна в одну і тільки в одну дужку!), що позбавило нас незручностей, пов'язаних з дробовим корінням.

Щодо першого багаточлена, там все просто: його коріння шукається або стандартно через дискримінант, або за теоремою Вієта.

Повернемося до вихідного виразу та перепишемо його з розкладеними на множники чисельниками:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

Відповідь: $5x+4$.

Як бачите, нічого складного. Небагато математики 7-8 класу - і все. Сенс всіх перетворень у тому й полягає, щоб отримати зі складного і страшного виразу щось просте, з чим легко працювати.

Однак, так буде не завжди. Тому зараз ми розглянемо більш серйозне завдання.

Але спочатку розберемося з тим, як привести два дроби до спільного знаменника. Алгоритм гранично простий:

1. Розкласти на множники обидва знаменники;
2. Розглянути перший знаменник і додати до нього множники, що є у другому знаменнику, проте відсутні у першому. Отриманий твір буде спільним знаменником;
3. З'ясувати, яких множників не вистачає кожного з вихідних дробів, щоб знаменники стали рівними загальному.

Можливо, цей алгоритм вам здасться просто текстом, в якому багато літер. Тому розберемо все на конкретному прикладі.

Завдання. Спростіть вираз:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Рішення. Такі об'ємні завдання краще вирішувати частинами. Випишемо те, що стоїть у першій дужці:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

На відміну від попереднього завдання, тут із знаменниками все не так просто. Розкладемо на множники кожен із них.

Квадратний тричлен $((x)^(2))+2x+4$ на множники не розкладається, оскільки рівняння $((x)^(2))+2x+4=0$ не має коріння (дискримінант негативний). Залишаємо його без змін.

Другий знаменник - кубічний багаточлен $((x)^(3))-8$ - при уважному розгляді є різницею кубів і легко розкладається за формулами скороченого множення:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \right)\]

Більше нічого розкласти на множники не можна, оскільки в першій дужці стоїть лінійний двочлен, а в другій — вже знайома нам конструкція, яка не має дійсних коренів.

Нарешті, третій знаменник є лінійний двочлен, який не можна розкласти. Таким чином, наше рівняння набуде вигляду:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Цілком очевидно, що спільним знаменником буде саме $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, і для приведення до нього всіх дробів необхідно перший дроб домножити на $\left(x-2 \right)$, а останню - на $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Потім залишиться лише навести такі:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ right))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matrix)\]

Зверніть увагу до другий рядок: коли знаменник вже загальний, тобто. замість трьох окремих дробів ми написали один великий, не варто відразу позбавлятися дужок. Краще напишіть зайвий рядокі відзначте, що, скажімо, перед третім дробом стояв мінус — і він нікуди не подінеться, а «висітиме» в чисельнику перед дужкою. Це позбавить вас безлічі помилок.

Ну і в останньому рядку корисно розкласти на множники чисельник. Тим більше, що це точний квадрат, і нам на допомогу знову приходять формули скороченого множення. Маємо:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Тепер так само розберемося з другою дужкою. Тут я просто напишу ланцюжок рівностей:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrix)\]

Повертаємося до вихідного завдання та дивимося на твір:

\[\frac(x-2)((((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Відповідь: \[\frac(1)(x+2)\].

Сенс цього завдання такий самий, як і в попередньої: показати, наскільки можуть спрощуватися раціональні вислови, якщо підійти до їхнього перетворення з розумом.

І ось тепер, коли ви все це знаєте, давайте перейдемо до основної теми сьогоднішнього уроку — розв'язання дрібних раціональних нерівностей. Тим більше що після такої підготовки самі нерівності ви клацатимете як горішки.:)

Основний спосіб розв'язання раціональних нерівностей

Існує щонайменше два підходи до вирішення раціональних нерівностей. Зараз ми розглянемо один із них — той, який є загальноприйнятим у шкільному курсіматематики.

Але для початку відзначимо важливу деталь. Усі нерівності поділяються на два типи:

1. Суворі: $f\left(x \right) \gt 0$ або $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Нестрогі: $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ або $ f \ left (x \ right) \ le 0 $.

Нерівності другого типу легко зводяться до першого, а також рівняння:

Це невелике «доповнення» $f\left(x \right)=0$ призводить до такої неприємної штуки, як зафарбовані точки - ми познайомилися з ними ще в методі інтервалів. В іншому ніяких відмінностей між строгими та нестрогими нерівностями немає, тому давайте розберемо універсальний алгоритм:

1. Зібрати всі ненульові елементи з одного боку знаку нерівності. Наприклад, ліворуч;
2. Привести всі дроби до спільного знаменника (якщо таких дробів виявиться кілька), навести подібні. Потім по можливості розкласти на чисельник та знаменник на множники. Так чи інакше ми отримаємо нерівність виду $ \ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ vee 0 $, де "галочка" - знак нерівності.
3. Прирівнюємо чисельник до нуля: $ P \ left (x \ right) = 0 $. Вирішуємо це рівняння і отримуємо коріння $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Потім вимагаємо, щоб знаменник дорівнював нулю: $Q\left(x \right)\ne 0$. Зрозуміло, насправді доводиться вирішити рівняння $Q\left(x \right)=0$, і ми отримаємо коріння $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$, $x_(3 )^(*)$, ... (у справжніх завданнях такого коріння навряд чи буде більше трьох).
4. Відзначаємо все це коріння (і зі зірочками, і без) на єдиній числовій прямій, причому коріння без зірок зафарбоване, а зі зірками — виколоте.
5. Розставляємо знаки «плюс» та «мінус», вибираємо ті інтервали, які нам потрібні. Якщо нерівність має вигляд $f\left(x \right) \gt 0$, то у відповідь підуть інтервали, відзначені плюсом. Якщо $f\left(x \right) \lt 0$, то дивимося на інтервали з мінусами.

Практика показує, що найбільші труднощівикликають пункти 2 і 4 - грамотні перетворення та правильне розміщеннячисел у порядку зростання. Ну, і на останньому кроці будьте дуже уважні: ми завжди розставляємо знаки, спираючись на остання нерівність, записана перед переходом до рівнянь. Це універсальне правилоуспадковане ще від методу інтервалів.

Отже, схема є. Давайте потренуємось.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Рішення. Перед нами сувора нерівність виду $f \ left (x \ right) \ lt 0 $. Очевидно, пункти 1 і 2 із нашої схеми вже виконані: всі елементи нерівності зібрані зліва, до спільного знаменника нічого не треба приводити. Тому переходимо одразу до третього пункту.

Прирівнюємо до нуля чисельник:

\[\begin(align) & x-3=0; \ & x = 3. \end(align)\]

І знаменник:

\[\begin(align) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

У цьому місці багато хто залипає, адже за ідеєю потрібно записати $x+7\ne 0$, як того вимагає ОДЗ (на нуль ділити не можна, ось це все). Але ж надалі ми виколюватимемо точки, що прийшли зі знаменника, тому зайвий разускладнювати свої викладки не варто — скрізь пишіть знак рівності і не парьтесь. Ніхто за це бали не знизить.

Четвертий пункт. Відзначаємо отримане коріння на числовій прямій:

Усі точки виколоті, оскільки нерівність — сувора

Зверніть увагу: всі точки виколоти, оскільки вихідна нерівність сувора. І тут уже неважливо: з чисельника ці точки прийшли чи зі знаменника.

Та й дивимося знаки. Візьмемо будь-яке число $((x)_(0)) \gt 3$. Наприклад, $((x)_(0))=100$ (але з тим самим успіхом можна було взяти $((x)_(0))=3,1$ або $((x)_(0)) = 1 \ 000 \ 000 $). Отримаємо:

Отже, праворуч від усіх коренів у нас позитивна область. А при переході через кожен корінь знак змінюється (так буде не завжди, але це пізніше). Тому переходимо до п'ятого пункту: розставляємо знаки та обираємо необхідне:

Повертаємося до останньої нерівності, яка була перед розв'язанням рівнянь. Власне, воно збігається з вихідним, адже жодних перетворень у цьому ми не виконували.

Оскільки потрібно вирішити нерівність виду $f\left(x \right) \lt 0$, я заштрихував інтервал $x\in \left(-7;3 \right)$ - він єдиний відзначений знаком "мінус". Це є відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-7;3 \right)$

От і все! Хіба складно? Ні, не складно. Щоправда, і завдання було легке. Зараз трохи ускладнимо місію і розглянемо «навороченішу» нерівність. При його вирішенні я вже не даватиму таких докладних викладок — просто позначу ключові моменти. Загалом, оформимо його так, як оформляли б на самостійної роботиабо екзамені.:)

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Рішення. Це несувора нерівність виду $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. Усі ненульові елементи зібрані зліва, різних знаменниківні. Переходимо до рівнянь.

Чисельник:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Знаменник:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \ & 13x = 4; \ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \end(align)\]

Не знаю, що за збоченець становив це завдання, але коріння вийшло не дуже: їх буде важко розставити на числовій прямій. І якщо з коренем $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ все більш-менш ясно (це єдине позитивне число - воно буде праворуч), то $((x)_(1) ))=-(1)/(7)\;$ і $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ вимагають додаткового дослідження: Яке з них більше?

З'ясувати це можна, наприклад, так:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Сподіваюся, не треба пояснювати, чому числовий дріб$-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Якщо потрібно, рекомендую згадати, як виконувати дії з дробами.

А ми відзначаємо всі три корені на числовій прямій:

Крапки з чисельника зафарбовані, зі знаменника - виколоти

Розставляємо знаки. Наприклад, можна взяти $((x)_(0))=1$ і з'ясувати знак у цій точці:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Остання нерівність перед рівняннями була $f\left(x \right)\ge 0$, тому нас цікавить знак «плюс».

Отримали дві множини: один — звичайний відрізок, а інший — відкритий промінь на числовій прямій.

Відповідь: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Важливе зауваження щодо чисел, які ми підставляємо для з'ясування знака на правому інтервалі. Зовсім необов'язково підставляти число, близьке до правого кореня. Можна брати мільярди або навіть «плюс-нескінченність» — у цьому випадку знак багаточлена стоїть у дужці, чисельнику чи знаменнику, визначається виключно знаком старшого коефіцієнта.

Давайте ще раз подивимося на функцію $f\left(x \right)$ з останньої нерівності:

У її записі присутні три багаточлени:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \ & Q \ left (x \ right) = 13x-4. \end(align)\]

Усі вони є лінійними двочленами, і в усіх старші коефіцієнти (числа 7, 11 та 13) позитивні. Отже, при підстановці дуже великих чиселсамі багаточлени теж будуть позитивні.

Це може здатися надмірно складним, але спочатку, коли ми розуміємо дуже легкі завдання. У серйозних нерівностях підстановка «плюс-нескінченності» дозволить нам з'ясувати знаки набагато швидше, ніж стандартне $((x)_(0))=100$.

Ми дуже скоро зіткнемося з такими завданнями. Але спочатку розберемо альтернативний спосіб розв'язання дрібно-раціональних нерівностей.

Альтернативний спосіб

Цей прийом мені підказала одна з моїх учениць. Сам я ніколи ним не користувався, проте практика показала, що багатьом учням справді зручніше вирішувати нерівності саме в такий спосіб.

Отже, вихідні дані самі. Потрібно вирішити дробово-раціональну нерівність:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Давайте подумаємо: чим багаточлен $Q\left(x \right)$ "гірше" багаточлена $P\left(x \right)$? Через що нам доводиться розглядати окремі групи коренів (зі зірочкою і без), думати про виколоті точки і т.д.? Все просто: у дробу є область визначення, згідно з якою дріб має сенс лише тоді, коли його знаменник відмінний від нуля.

В іншому ніяких відмінностей між чисельником і знаменником не простежується: ми так само прирівнюємо його до нуля, шукаємо коріння, потім відзначаємо їх на числовій прямій. Так чому б не замінити дробову межу (фактично - знак розподілу) звичайним множенням, а чи всі вимоги ОДЗ прописати у вигляді окремої нерівності? Наприклад, так:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Зверніть увагу: такий підхід дозволить звести завдання до методу інтервалів, але при цьому не ускладнить рішення. Адже все одно ми прирівнюватимемо багаточлен $Q\left(x \right)$ до нуля.

Погляньмо, як це працює на реальних завданнях.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Рішення. Отже, переходимо до методу інтервалів:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Перше нерівність вирішується елементарно. Просто прирівнюємо кожну дужку до нуля:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \ & x-11 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(align)\]

З другою нерівністю теж все просто:

Зазначаємо точки $((x)_(1))$ і $((x)_(2))$ на числовій прямій. Всі вони виколоті, оскільки нерівність сувора:

Права крапка виявилася виколотою двічі. Це нормально.

Зверніть увагу на точку $x=11$. Виходить, що вона «двічі виколота»: з одного боку, ми виколюємо її через суворість нерівності, з іншого — через додаткову вимогу ОДЗ.

У будь-якому випадку, це буде просто виколота крапка. Тому розставляємо знаки для нерівності $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ — останньої, яку ми бачили перед тим, як почали вирішувати рівняння:

Нас цікавлять позитивні області, оскільки ми вирішуємо нерівність виду $f\left(x \right) \gt 0$ - їх і зафарбуємо. Залишилося лише записати відповідь.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

На прикладі цього рішення хотів би застерегти вас від поширеної помилки серед учнів-початківців. А саме: ніколи не розкривайте дужки у нерівностях! Навпаки, намагайтеся все розкласти на множники - це спростить рішення і позбавить вас багатьох проблем.

Тепер спробуємо дещо складніше.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Рішення. Це несувора нерівність виду $ f \ left (x \ right) \ le 0 $, тому тут потрібно уважно стежити за зафарбованими точками.

Переходимо до методу інтервалів:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(align) \right.\]

Переходимо до рівняння:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1)) = 6,5; \ \ & 12x-9 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 0,75; \& & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Враховуємо додаткову вимогу:

Відзначаємо всі отримані коріння на числовій прямій:

Якщо точка одночасно і виколота, і зафарбована, вона вважається виколотою

Знову дві точки «накладаються» одна на одну – це нормально, так буде завжди. Важливо лише розуміти, що точка, позначена одночасно виколотою та зафарбованою, насправді є виколотою. Тобто. «виколювання» — сильніша дія, ніж «зафарбовування».

Це абсолютно логічно, адже виколюванням ми відзначаємо точки, які впливають на знак функції, але самі не беруть участі у відповіді. І якщо в якийсь момент число перестає нас влаштовувати (наприклад, не потрапляє до ОДЗ), ми викреслюємо його з розгляду до кінця завдання.

Загалом, вистачить філософствувати. Розставляємо знаки та зафарбовуємо ті інтервали, які позначені знаком «мінус»:

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

І знову хотів звернути вашу увагу на це рівняння:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Ще раз: ніколи не розкривайте дужки у таких рівняннях! Ви лише ускладните собі завдання. Пам'ятайте: добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, дане рівнянняпросто «розвалюється» на кілька дрібніших, які ми й вирішували у попередній задачі.

Облік кратності коренів

З попередніх завдань легко помітити, що найбільшу складність становлять саме несуворі нерівності, тому що доводиться стежити за зафарбованими точками.

Але в світі є ще більше зло - це кратне коріння в нерівностях. Тут уже доводиться стежити не за якимись там зафарбованими точками - тут знак нерівності може раптово не змінитись при переході через ці точки.

Нічого подібного ми у цьому уроці ще розглядали (хоча аналогічна проблема часто зустрічалася у методі інтервалів). Тому введемо нове визначення:

Визначення. Корінь рівняння $((\left(x-a \right))^(n))=0$ дорівнює $x=a$ і називається коренем $n$-ї кратності.

Власне, нас не дуже цікавить точне значеннякратності. Важливо лише те, парним чи непарним є це число $n$. Тому що:

1. Якщо $x=a$ корінь парної кратності, то знак функції при переході через нього не змінюється;
2. І навпаки, якщо $x=a$ — корінь непарної кратності, знак функції зміниться.

Приватним випадком кореня непарної кратності є попередні завдання, розглянуті у цьому уроці: там скрізь кратність дорівнює одиниці.

І ще. Перед тим, як ми почнемо вирішувати завдання, хотів би звернути вашу увагу на одну тонкість, яка здасться очевидною для досвідченого учня, але вганяє в ступор багатьох початківців. А саме:

Корінь кратності $n$ виникає тільки в тому випадку, коли в цей ступінь зводиться весь вираз: $((\left(x-a \right))^(n))$, а не $\left(((x)^( n))-a \right)$.

Ще раз: дужка $((\left(x-a \right))^(n))$ дає нам корінь $x=a$ кратності $n$, а ось дужка $\left(((x)^(n)) -a \right)$ або, як часто буває, $(a-((x)^(n)))$ дає нам корінь (або два корені, якщо $n$ — парне) першої кратності незалежно від того, чому і $n$.

Порівняйте:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Тут все чітко: вся дужка зводилася на п'яту ступінь, тому на виході ми отримали корінь п'ятого ступеня. А зараз:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Ми отримали два корені, але обидва вони мають першу кратність. Або ось ще:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

І нехай вас не бентежить десятий ступінь. Головне, що 10 - це парне числотому на виході маємо два корені, і обидва вони знову мають першу кратність.

Загалом будьте уважні: кратність виникає лише тоді, коли ступінь відноситься до всієї дужки, а не тільки до змінної.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

Рішення. Спробуємо вирішити її альтернативним способом через перехід від приватного до твору:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align ) \right.\]

Розбираємось з першою нерівністю методом інтервалів:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \ \ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x = 0 \ left (2k \ right); \& ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x + 4 = 0 \ Rightarrow x = -4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Додатково вирішуємо другу нерівність. Насправді ми вже вирішували його, але щоб перевіряючі не причепилися до рішення, краще вирішити його ще раз:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Зверніть увагу: жодних кратностей в останній нерівності немає. Справді: яка різниця, скільки разів викреслювати точку $x=-7$ на числовій прямій? Хоч один раз, хоч п'ять — результат буде той самий: виколота точка.

Зазначимо все, що ми отримали, на числовій прямій:

Як я й казав, точка $x=-7$ у результаті буде виколота. Кратності розставлені з рішення нерівності шляхом інтервалів.

Залишилося розставити знаки:

Оскільки точка $x=0$ є коренем парної кратності, знак під час переходу неї не змінюється. Інші точки мають непарну кратність, і з ними все просто.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Ще раз зверніть увагу на $x=0$. Через парну кратність виникає цікавий ефект: зліва від неї все зафарбовано, праворуч - теж, та й сама точка цілком собі зафарбована.

Як наслідок, її не потрібно відокремлювати під час запису відповіді. Тобто. не треба писати що-небудь на кшталт $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (хоча формально така відповідь теж буде правильною). Натомість відразу пишемо $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Такі ефекти можливі лише при коренях парної кратності. І в наступному завданні ми зіткнемося зі зворотним «виявом» цього ефекту. Чи готові?

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Рішення. На цей раз підемо за стандартною схемою. Прирівнюємо до нуля чисельник:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \ & (( \ left (x-3 \ right)) ^ (4)) = 0 \ Rightarrow ((x)_ (1)) = 3 \ left (4k \ right); \ \ & x-4 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(align)\]

І знаменник:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Оскільки ми вирішуємо несувору нерівність виду $f\left(x \right)\ge 0$, коріння зі знаменника (яке зі зірочками) буде виколоте, а з чисельника — зафарбоване.

Розставляємо знаки та штрихуємо області, відзначені «плюсом»:

Крапка $ x = 3 $ - ізольована. Це частина відповіді

Перед тим, як записати остаточну відповідь, уважно подивимося на картинку:

1. Крапка $x=1$ має парну кратність, але сама виколота. Отже, її доведеться відокремити у відповіді: потрібно записати $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. Крапка $x=3$ теж має парну кратність і зафарбована. Розташування знаків свідчить, що сама точка нас влаштовує, але крок ліворуч-праворуч — і ми потрапляємо в область, яка нас точно не влаштовує. Такі точки називаються ізольованими і записуються як $x\in \left\( 3 \right\)$.

Об'єднуємо всі отримані шматочки в загальну кількість і записуємо відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Визначення. Вирішити нерівність - значить знайти безліч його рішень, або довести, що це безліч порожньо.

Здавалося б: що тут може бути незрозумілим? Та в тому й річ, що безлічі можна ставити по-різному. Давайте ще раз випишемо відповідь до останнього завдання:

Читаємо буквально, що написано. Змінна «ікс» належить нікому множині, що виходить об'єднанням (значок «U») чотирьох окремих множин:

• Інтервал $\left(-\infty ;1 \right)$, який буквально означає "всі числа, менші одиниці, але не сама одиниця";
• Інтервал $ \ left (1; 2 \ right) $, тобто. «всі числа не більше від 1 до 2, але з самі числа 1 і 2»;
• Безліч $ \ left \ (3 \ right \) $, Що складається з одного-однини - трійки;
• Інтервал $ \ left [4; 5 \ right) $, що містить всі числа в межах від 4 до 5, а також саму четвірку, але не п'ятірку.

Інтерес тут є третім пунктом. На відміну від інтервалів, які задають нескінченні набори чисел і лише позначають межі цих наборів, безліч $ \ left \ (3 \ right \) $ задає строго одне число шляхом перерахування.

Щоб зрозуміти, що ми саме перераховуємо конкретні числа, що входять до множини (а не задаємо межі або ще), використовуються фігурні дужки. Наприклад, запис $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ означає саме «множина, що складається з двох чисел: 1 і 2», але ніяк не відрізок від 1 до 2. У жодному разі не плутайте ці поняття.

Правило складання кратностей

Ну і на закінчення сьогоднішнього уроку трохи бляхи від Павла Бердова.:)

Уважні учні вже напевно запитали: а що буде, якщо в чисельнику і знаменнику виявиться однакове коріння? Так ось, працює таке правило:

Кратності однакового коріння складаються. Завжди. Навіть якщо це коріння зустрічається і в чисельнику, і в знаменнику.

Іноді краще вирішувати, аніж говорити. Тому вирішуємо таке завдання:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Поки що нічого особливого. Прирівнюємо до нуля знаменник:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Виявлено два однакові корені: $((x)_(1))=-2$ і $x_(4)^(*)=-2$. Обидва мають першу кратність. Отже, замінюємо їх одним коренем $x_(4)^(*)=-2$, але вже з кратністю 1+1=2.

Крім того, є ще однакові корені: $((x)_(2))=-4$ і $x_(2)^(*)=-4$. Вони також першої кратності, тому залишиться лише $x_(2)^(*)=-4$ кратності 1+1=2.

Зверніть увагу: в обох випадках ми залишили саме виколотий корінь, а зафарбований викинули з розгляду. Тому що ще на початку уроку домовилися: якщо точка одночасно і виколота, і зафарбована, ми все одно вважаємо її виколотою.

У результаті у нас є чотири корені, причому всі виявилися виколоті:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Зазначаємо їх на числовій прямій з урахуванням кратності:

Розставляємо знаки і зафарбовуємо області, що цікавлять нас:

Всі. Жодних ізольованих точок та інших збочень. Можна записувати відповідь.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Правило множення кратностей

Іноді зустрічається ще більше неприємна ситуація: рівняння, що має кратне коріння, саме зводиться в деякий ступінь. При цьому змінюються кратності всіх вихідних коренів.

Таке зустрічається рідко, тому більшість учнів не мають досвіду вирішення подібних завдань. А правило тут таке:

При зведенні рівняння ступінь $n$ кратності всіх його коренів теж збільшуються в $n$ разів.

Іншими словами, зведення у ступінь призводить до множення кратностей на цей же ступінь. Розглянемо це правило з прикладу:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Рішення. Прирівнюємо до нуля чисельник:

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. З першим множником зрозуміло: $x=0$. А ось далі починаються проблеми:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Як бачимо, рівняння $((x)^(2))-6x+9=0$ має єдиний корінь другої кратності: $x=3$. Потім усе це рівняння зводиться квадрат. Отже, кратність кореня становитиме $2\cdot 2=4$, що ми у результаті записали.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Зі знаменником теж жодних проблем:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

У сумі у нас вийшло п'ять крапок: дві виколоті і три зафарбовані. Збігаються коріння в чисельнику і знаменнику не спостерігається, тому просто відзначаємо їх на числовій прямій:

Розставляємо знаки з урахуванням кратностей і зафарбовуємо інтервали, що цікавлять нас:

Знову одна ізольована точкаі одна виколота

Через коріння парної кратності знову отримали пару «нестандартних» елементів. Це $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \left[ 0;2 \right)$, а також ізольована точка $ x\in \left\(3 \right\)$.

Відповідь. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Як бачите, все не так складно. Головне – уважність. Останній розділ цього уроку присвячений перетворенням - тим, які ми обговорювали на самому початку.

Попередні перетворення

Нерівності, які ми розберемо у цьому розділі, не можна назвати складними. Однак, на відміну від попередніх завдань, тут доведеться застосувати навички з теорії. раціональних дробів- Розкладання на множники та приведення до спільного знаменника.

Ми детально обговорювали це питання на початку сьогоднішнього уроку. Якщо ви не впевнені, що розумієте, про що мова — рекомендую повернутися і повторити. Тому що немає жодного сенсу зубрити методи розв'язання нерівностей, якщо ви «плаваєте» у перетворенні дробів.

У домашній роботі, До речі, теж буде багато подібних завдань. Вони винесені до окремого підрозділу. І там на вас чекають дуже нетривіальні приклади. Але це буде в хаті, а зараз давайте розберемо кілька таких нерівностей.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Рішення. Переносимо все вліво:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Приводимо до спільного знаменника, розкриваємо дужки, наводимо подібні доданкиу чисельнику:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \) right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Тепер перед нами класична дробово-раціональна нерівність, вирішення якої вже не становить труднощів. Пропоную вирішити його альтернативним методом- через метод інтервалів:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Не забуваємо обмеження, що прийшло зі знаменника:

Відзначаємо всі числа та обмеження на числовій прямій:

Усі коріння мають першу кратність. Ніяких проблем. Просто розставляємо знаки та зафарбовуємо потрібні нам області:

Це все. Можна записувати відповідь.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Зрозуміло, це був зовсім просто приклад. Тому зараз розглянемо завдання серйозніше. І до речі, рівень цього завдання цілком відповідає самостійним та контрольним роботамна цю тему в 8 класі.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Рішення. Переносимо все вліво:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Перед тим, як приводити обидва дроби до спільного знаменника, розкладемо ці знаменники на множники. Раптом вилізуть однакові дужки? З першим знаменником легко:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

З другим трохи складніше. Не соромтеся вносити множник-константу в ту дужку, де виявився дріб. Пам'ятайте: вихідний багаточлен мав цілі коефіцієнти, тому велика ймовірність, що і розкладання на множники матиме цілі коефіцієнти (насправді так буде завжди, за винятком випадків, коли дискримінант є ірраціональним).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Як бачимо, є загальна дужка: $ \ left (x-1 \ right) $. Повертаємося до нерівності та наводимо обидва дроби до спільного знаменника:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Прирівнюємо до нуля знаменник:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( align)\]

Жодних кратностей і збігаються коріння. Зазначаємо чотири числа на прямій:

Розставляємо знаки:

Записуємо відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ right) $.

Метод інтервалів прийнято вважати універсальним на вирішення нерівностей. Іноді цей метод називають методом проміжків. Застосуємо як для розв'язання раціональних нерівностей з однією змінною, так і для нерівностей інших видів. У нашому матеріалі ми постаралися приділити увагу всім аспектам питання.

Що чекає на вас у даному розділі? Ми розберемо метод проміжків та розглянемо алгоритми розв'язання нерівностей за його допомогою. Торкнемося теоретичні аспекти, на яких ґрунтується застосування методу.

Особливу увагу ми приділяємо нюансам тем, які зазвичай не торкаються в рамках шкільної програми. Наприклад, розглянемо правила розміщення знаків на інтервалах і сам метод інтервалів у загальному виглядібез його прив'язки до раціональних нерівностей.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Алгоритм

Хто пам'ятає, як відбувається знайомство із методом проміжків у шкільному курсі алгебри? Зазвичай усе починається з розв'язання нерівностей виду f(x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >або ≥). Тут f(x) може бути багаточленом або відношенням багаточленів. Багаточлен, у свою чергу, може бути представлений як:

• добуток лінійних двочленів з коефіцієнтом 1 при змінній х;
• твір квадратних тричленівзі старшим коефіцієнтом 1 і з негативним дискримінантом їхнього коріння.

Наведемо кілька прикладів таких нерівностей:

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3> 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 · x + 7) · (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 · (x - 1) · (x - 3) 7 ≤ 0 .

Запишемо алгоритм розв'язання нерівностей такого виду, як ми навели у прикладах, методом проміжків:

• знаходимо нулі чисельника та знаменника, для цього чисельник і знаменник виразу в лівій частині нерівності прирівнюємо до нуля і вирішуємо отримані рівняння;
• визначаємо точки, які відповідають знайденим нулям і відзначаємо їх рисками на осі координат;
• визначаємо знаки виразу f(x)з лівої частини розв'язуваної нерівності на кожному проміжку та проставляємо їх на графіку;
• наносимо штрихування над потрібними ділянками графіка, керуючись наступним правилом: у разі, якщо нерівність має знаки< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >або ≥ , то виділяємо штрихуванням ділянки, позначені знаком «+».

Четреж, з яким ми працюватимемо, може мати схематичний вигляд. Зайві подробиці можуть перевантажувати малюнок та ускладнювати рішення. Нас мало цікавитиме масштаб. Достатньо дотримуватись правильного розташуванняточок у міру зростання значень їх координат.

При роботі зі строгими нерівностями ми будемо використовувати позначення точки у вигляді кола із незафарбованим (порожнім) центром. У разі нестрогих нерівностей точки, які відповідають нулям знаменника, ми зображатимемо порожніми, а решта звичайними чорними.

Зазначені точки розбивають координатну пряму кілька числових проміжків. Це дозволяє нам отримати геометричне уявлення числової множини, яка фактично є вирішенням даної нерівності.

Наукові засади методу проміжків

Заснований підхід, покладений в основу методу проміжків, заснований на наступній властивості безперервної функції: функція зберігає постійний знакна інтервалі (a, b), на якому ця функція безперервна і не звертається в нуль. Ця ж властивість характерна для числових променів(− ∞ , a) та (a, + ∞).

Наведена властивість функції підтверджується теоремою Больцано-Коші, яка наведена у багатьох посібниках для підготовки до вступних випробувань.

Обґрунтувати сталість знака на проміжках можна також на основі властивостей числових нерівностей. Наприклад, візьмемо нерівність x – 5 x + 1 > 0 . Якщо ми знайдемо нулі чисельника та знаменника і нанесемо їх на числову пряму, то отримаємо ряд проміжків: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) та (5 , + ∞) .

Візьмемо будь-який із проміжків і покажемо на ньому, що на всьому проміжку вираз із лівої частини нерівності матиме постійний знак. Нехай це буде проміжок (− ∞ , − 1) . Візьмемо будь-яке число t із цього проміжку. Воно буде задовольняти умови t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Використовуючи обидві отримані нерівності та властивість числових нерівностей, ми можемо припустити, що t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения tна проміжку (− ∞ , − 1) .

Використовуючи правило розподілу негативних чисел, ми можемо стверджувати, що значення виразу t – 5 t + 1 буде позитивним. Це означає, що значення виразу x - 5 x + 1 буде позитивним за будь-якого значення xз проміжку (− ∞ , − 1) . Усе це дозволяє нам стверджувати, що у проміжку, взятому для прикладу, вираз має постійний знак. У нашому випадку це знак "+".

Знаходження нулів чисельника та знаменника

Алгоритм знаходження нулів простий: прирівнюємо вирази з чисельника та знаменника до нуля і вирішуємо отримані рівняння. У разі труднощів можна звернутися до теми «Рішення рівнянь шляхом розкладання на множники». У розділі ми обмежимося лише розглядом прикладу.

Розглянемо дріб x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Для того, щоб знайти нулі чисельника та знаменника, прирівняємо їх до нуля для того, щоб отримати та розв'язати рівняння: x · (x − 0 , 6) = 0 і x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 = 0.

У першому випадку ми можемо перейти до сукупності двох рівнянь x = 0 і x − 0,6 = 0, що дає нам два корені 0 і 0,6. Це нулі чисельника.

Друге рівняння рівносильне сукупності трьох рівнянь x7 = 0, (x 2 + 2 · x + 7) 2 = 0, (X + 5) 3 = 0 . Проводимо ряд перетворень та отримуємо x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0. Корінь першого рівняння 0 у другого рівняння коренів немає, так як воно має негативний дискримінант, корінь третього рівняння - 5 . Це нулі знаменника.

0 в даному випадкує одночасно і банкрутом чисельника, і банкрутом знаменника.

У загальному випадку, коли в лівій частині нерівності дріб, який не обов'язково є раціональним, чисельник і знаменник так само прирівнюються до нуля для отримання рівнянь. Розв'язання рівнянь дозволяє знайти нулі чисельника та знаменника.

Визначити знак інтервалу просто. Для цього можна знайти значення виразу з лівої частини нерівності для будь-якої обраної точки з даного інтервалу. Отриманий знак значення виразу в довільно вибраній точці проміжку співпадатиме зі знаком всього проміжку.

Розглянемо це твердження з прикладу.

Візьмемо нерівність x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. Нулей чисельника вираз, розташований у лівій частині нерівності, нулів немає. Нулем знаменника буде число -3. Отримуємо два проміжки на числовій прямій (− ∞ , − 3) та (− 3 , + ∞) .

Щоб визначити знаки проміжків, обчислимо значення виразу x 2 - x + 4 x + 3 для точок, взятих довільно кожному з проміжків.

З першого проміжку (− ∞ , − 3) візьмемо −4. При x = − 4маємо (-4) 2 - (-4) + 4 (-4) + 3 = - 24 . Ми отримали від'ємне значення, Отже, весь інтервал буде зі знаком «-».

Для проміжку (− 3 , + ∞) проведемо обчислення з точкою, що має нульову координату. За x = 0 маємо 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Отримали позитивне значеннящо означає, що весь проміжок матиме знак «+».

Можна використати ще один спосіб визначення символів. Для цього ми можемо знайти знак на одному з інтервалів та зберегти його або змінити під час переходу через нуль. Для того, щоб все зробити правильно, необхідно дотримуватись правила: при переході через нуль знаменника, але не чисельника, чи числителя, але не знаменника ми можемо поміняти знак на протилежний, якщо ступінь виразу, що дає цей нуль, непарна, і не можемо поміняти знак , якщо ступінь парний. Якщо ми отримали точку, яка є одночасно нулем чисельника та знаменника, то поміняти знак на протилежний можна тільки в тому випадку, якщо сума ступенів виразів, що дають нуль, непарна.

Якщо згадати нерівність, яку ми розглянули на початку першого пункту цього матеріалу, то на крайньому правому проміжку ми можемо поставити знак "+".

Тепер звернемося до прикладів.

Візьмемо нерівність (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 і вирішимо його методом інтервалів. Для цього нам необхідно знайти нулі чисельника та знаменника та відзначити їх на координатній прямій. Нулями чисельника будуть точки 2 , 3 , 4 , знаменника точки 1 , 3 4 . Зазначимо їх на осі координат рисками.

Нулі знаменника відзначимо порожніми точками.

Оскільки ми маємо справу з несуворим нерівністю, то рисочки, що залишилися, замінюємо звичайними точками.

Тепер розставимо крапки на проміжках. Крайній правий проміжок (4 , + ∞) буде символом + .

Просуваючись праворуч наліво проставлятимемо знаки інших проміжків. Переходимо через точку з координатою 4 . Це одночасно нуль чисельника та знаменника. У сумі ці нулі дають вирази (x − 4) 2і x − 4. Складемо їх ступеня 2 + 1 = 3 і отримаємо непарне число. Це означає, що під час переходу у разі змінюється на протилежний. На інтервалі (3, 4) буде знак мінус.

Переходимо до інтервалу (2, 3) через точку з координатою 3 . Це теж нуль і чисельник, і знаменник. Ми його отримали завдяки двом виразам (x − 3) 3 та (x − 3) 5сума ступенів яких дорівнює 3 + 5 = 8 . Отримання парного числа дозволяє залишити знак інтервалу незмінним.

Крапка з координатою 2 – це нуль чисельника. Ступінь виразу х - 2 дорівнює 1 (непарна). Це означає, що з переході цю точку знак необхідно змінити на протилежний.

У нас залишився останній інтервал (−∞, 1). Крапка з координатою 1 – це нуль знаменника. Він був отриманий з виразу (x − 1) 4, з парним ступенем 4 . Отже, знак залишається тим самим. Підсумковий малюнок матиме такий вигляд:

Застосування методу інтервалів є особливо ефективним у випадках, коли обчислення значення виразу пов'язане з великим обсягом роботи. Прикладом може бути необхідність обчислення значення виразу

x + 3 - 3 4 3 · x 2 + 6 · x + 11 2 · x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 · x - 2 3 5 · (x - 12)

у будь - якій точці інтервалу 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Тепер займемося застосуванням отриманих знань та навичок на практиці.

Приклад 1

Розв'яжіть нерівність (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0 .

Рішення

Доцільно застосувати на вирішення нерівності метод інтервалів. Знаходимо нулі чисельника та знаменника. Нулі чисельники 1 і - 5 нули знаменника 7 і 1 . Зазначимо їх на числовій прямій. Ми маємо справу з несуворою нерівністю, тому нулі знаменника відзначимо порожніми точками, нуль чисельника - 5 відзначимо звичайною зафарбованою точкою.

Проставимо знаки проміжків, використовуючи правила зміни знака під час переходу через нуль. Почнемо з крайнього правого проміжку, котрим обчислимо значення висловлювання з лівої частини нерівності у точці, довільно взятої з проміжку. Отримаємо знак "+". Перейдемо послідовно через усі точки на координатній прямій, розставляючи знаки, та отримаємо:

Ми працюємо з несуворою нерівністю, яка має знак ≤ . Це означає, що нам необхідно відзначити штрихуванням проміжки, позначені знаком «-».

Відповідь: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Вирішення раціональних нерівностей у більшості випадків вимагає їх попереднього перетворення до потрібного вигляду. Тільки після цього з'являється можливість використати метод інтервалів. Алгоритми проведення таких перетворень розглянуто у матеріалі «Рішення раціональних нерівностей».

Розглянемо приклад перетворення квадратних тричленів у записі нерівностей.

Приклад 2

Знайдіть розв'язання нерівності (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 · x - 8 > 0 .

Рішення

Давайте подивимося, чи справді дискримінанти квадратних тричленів у записі нерівності негативні. Це дозволить нам визначити, чи дозволяє вид даної нерівності застосувати для вирішення метод інтервалів.

Обчислимо дискримінант для тричлена x 2 + 3 · x + 3: D = 3 2 − 4 · 1 · 3 = − 3< 0 . Тепер обчислимо дискримінант для тричлена x 2 + 2 · x − 8: D ' = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Як бачите, нерівність вимагає попереднього перетворення. Для цього представимо тричлен x 2 + 2 · x − 8 як (x + 4) · (x − 2)а потім застосуємо метод інтервалів для вирішення нерівності (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0 .

Відповідь: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Узагальнений метод проміжків застосовується на вирішення нерівностей виду f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , де f (x) – довільний вираз з однією змінною x.

Усі дії проводяться по певному алгоритму. При цьому алгоритм розв'язання нерівностей узагальненим методом інтервалів дещо відрізнятиметься від того, що ми розібрали раніше:

• знаходимо область визначення функції f і нулі цієї функції;
• відзначаємо на координатній осі граничні точки;
• наносимо на числову пряму нулі функції;
• визначаємо знаки проміжків;
• наносимо штрихування;
• записуємо відповідь.

На числовій прямій необхідно відзначати навіть окремі точки області визначення. Наприклад, областю визначення функції служить безліч (− 5 , 1 ) ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Це означає, що нам необхідно відзначити точки з координатами − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 і 10 . Крапки − 5 і 7 зобразимо порожніми, інші можна виділити кольоровим олівцем для того, щоб відрізняти їх від нулів функції.

Нулі функції у разі несуворих нерівностей наносяться звичайними (зафарбованими) точками, строгих – порожніми точками. Якщо нулі збігаються з граничними точками або окремими точкамиобласті визначення, їх можна перефарбувати в чорний колір, зробивши порожніми або зафарбованими залежно від виду нерівності.

Запис відповіді є числове безліч, Що включає в себе:

• проміжки зі штрихуванням;
• окремі точки області визначення зі знаком плюс, якщо ми маємо справу з нерівністю, знак якої > або ≥ або зі знаком мінус, якщо у нерівності є знаки< или ≤ .

Тепер стало зрозуміло, що той алгоритм, який ми навели на початку теми, є окремим випадком алгоритму застосування узагальненого методу інтервалів.

Розглянемо приклад застосування узагальненого методу інтервалів.

Приклад 3

Розв'яжіть нерівність x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7< 0 .

Рішення

Вводимо функцію f таку, що f(x) = x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7 . Знайдемо область визначення функції f:

x 2 + 2 · x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Тепер знайдемо нулі функції. Для цього проведемо рішення ірраціонального рівняння:

x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 = 0

Отримуємо корінь x = 12 .

Для позначення граничних точок на осі координат використовуємо помаранчевий колір. Крапки – 6, 4 у нас будуть зафарбованими, а 7 залишаємо порожньою. Отримуємо:

Відзначимо нуль функції порожньою точкою чорного кольору, оскільки ми працюємо із суворою нерівністю.

Визначаємо знаки на окремих проміжках. Для цього візьмемо по одній точці з кожного проміжку, наприклад, 16 , 8 , 6 і − 8 , і обчислимо в них значення функції f:

f(16) = 16 2 + 2 · 16 - 24 - 3 4 · 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 · 8 - 24 - 3 4 · 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (-8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Розставляємо щойно певні знаки, і наносимо штрихування над проміжками зі знаком мінус:

Відповіддю буде об'єднання двох проміжків зі знаком «-»: (− ∞ , − 6 ) ∪ (7 , 12) .

У відповідь ми включили точку з координатою -6. Це не нуль функції, який ми не включили б у відповідь при вирішенні суворої нерівності, а гранична точка області визначення, яка входить до області визначення. Значення функції у цій точці негативне, це, що вона задовольняє нерівності.

Точку 4 ми у відповідь не включили, так само, як не включили весь проміжок [4, 7). У цій точці, так само, як і на всьому зазначеному проміжку значення функції позитивно, що не задовольняє нерівності, що вирішується.

Запишемо це ще раз для більш чіткого розуміння: кольорові точки необхідно включати у відповідь у таких випадках:

• ці точки є частиною проміжку зі штрихуванням,
• ці точки є окремими точками області визначення функції, значення функції в яких задовольняють нерівності, що вирішується.

Відповідь: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter