Випадкова функція задана канонічним розкладанням. Канонічне розкладання числа на прості множники

Формулювання.Дано натуральне число n (n > 1). Отримати його канонічне розкладання на прості співмножники, тобто подати у вигляді твору простих помножувачів. При цьому в розкладанні допустимо вказувати множник 1. Наприклад, 264 = 2 * 2 * 2 * 3 * 11 (програмі допустимо видати відповідь 264 = 1 * 2 * 2 * 2 * 3 * 11).

Рішення. Це завданнямає досить гарне рішення.

З основний теореми арифметикивідомо, що для будь-якого натурального числа більше 1 існує його канонічне розкладання на прості співмножники, причому це розкладання єдино з точністю до порядку проходження множників. Тобто, наприклад, 12 = 2 * 2 * 2 і 12 = 3 * 2 * 2 - це однакові розкладання.

Розглянемо канонічну формубудь-якого числа на конкретному прикладі. Наприклад, 264 = 2*2*2*3*11. Яким чином можна виявити цю структуру? Щоб відповісти на це питання, згадаємо викладені у будь-якому шкільному курсіалгебри правила поділу одночленів, уявивши, що числа у канонічному розкладі є змінними. Як відомо, якщо розділити вираз на змінну до певної міри, що міститься в цьому виразі в тій же мірі, воно викреслюється в її записі.

Тобто якщо ми розділимо 264 на 2, то в його канонічному розкладі піде одна двійка. Потім ми можемо перевірити, чи ділиться приватне, що знову вийшло, на 2. Відповідь буде позитивною, але втретє поділ дасть залишок. Тоді потрібно брати для розгляду наступне натуральне число 3 – на нього окремо розділиться один раз. У результаті, проходячи числову пряму в позитивному напрямку, ми дійдемо до числа 11, і після розподілу на 11 nбуде дорівнює 1, що говоритиме про необхідність закінчити процедуру.

Чому при такому «викреслюванні» знайдених співмножників ми не отримаємо подільності на складові числа? Насправді тут все просто – будь-яке складове число є твором простих співмножників, менших за нього. У результаті виходить, що ми викреслимо з nвсі співмножники будь-якого складового числа, поки дійдемо до нього самого в ланцюжку поділів. Наприклад, при такому переборі nніколи не розділиться на 4, тому що «по дорозі» до цього числа ми викреслимо з nвсі помножувачі-двійки.

Алгоритм природною мовою:

1) Введення n;

2) Присвоєння змінної pчисла 2;

3) Виведення числа n, знаку рівності та одиниці для оформлення розкладання;

4) Запуск циклу з передумовою n< > 1 . У циклі:

1. Якщо mmodp = 0, то вивести на екран знак множення та змінну p, потім розділити nна pінакше збільшити значення iна 1;

1. program PrimeFactors;
2. n, p: word;
3. begin
4. p:= 2;
5. readln(n);
6. write(n, '= 1');
7. while n<>1 do begin
8. if (n mod p) = 0 then begin
9. write(' * ', p);
10. n:= n div p
11. else begin
12. inc(p)

І. В. Яковлєв | Матеріали з математики MathUs.ru

Завдання С6 на ЄДІ з математики

1.6 Взаємно прості числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7 Послідовності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8 Арифметична прогресія. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Відомо, що на ЄДІ з математики багато школярів не приступають до завдання С6 і навіть не читають його (а навіщо? все одно, мовляв, не вирішу). І дуже дарма!

Як правило, завдання С6 складається із двох або трьох пунктів, серед яких є зовсім нескладні. За все завдання дається 4 первинні бали, по 1-2 бали за кожен пункт. Тому, зробивши хоча б частину завдання (скажімо, просто пред'явивши потрібний прикладв одному з пунктів), можна отримати собі в скарбничку додаткові первинні бали. А вони дадуть приріст підсумкового результату за стобальною шкалою!

Для розв'язання задачі С6 необхідний мінімальний запас знань. Це арифметика 6-го класу (все, що пов'язане з ділимістю) та відомості про прогресії з алгебри 9-го класу. Більше нічого.

Чому ж завдання С6 вважається (і, загалом, є) найскладнішим на ЄДІ з математики? Вона нестандартна. Вона вимагає так званої математичної культури вміння грамотно будувати міркування. А вміння це в переважній більшості школярів відсутнє начисто, адже в школі, на жаль, до розвитку математичної культури справа зазвичай не доходить.

Вчитися культурно міркувати можна і потрібно. Завдання С6 надає для цього відмінну можливість. Виходити почне далеко не відразу, так що готуватися до С6 слід розпочинати задовго до ЄДІ. Рецепт тут один: вирішувати, вирішувати та вирішувати.

Цей посібник написано з метою допомогти школярам навчитися вирішувати нестандартні завданнятипу С6. Воно містить весь потрібний теоретичний матеріалта завдання, більша частинаяких пропонувалася на ЄДІ та діагностичних роботахМІОО останнім часом.

До всіх завдань наведено рішення. При цьому не ставилася за мету зробити рішення лаконічним і максимально досконалим технічно (на шкоду викладу ідей). Адже вчитися з математики означає засвоювати ідеї; на прояснення ідей, що лежать в основі розв'язання кожного завдання, і зроблено основний наголос.

1 Необхідна теорія

1.1 Числові множини

У даному розділіми визначимо числові множини, необхідні завдання С6. Введену термінологію потрібно знати твердо!

Натуральні числа - це числа 1; 2; 3; : : : Натуральні числа ми використовуємо для рахунку, а рахунок починається з одиниці. Тому увага: нуль не є натуральним числом! (Адже нам навряд чи спаде на думку сказати: «На столі стоїть нуль чашок».)

Безліч натуральних чисел позначається N.

Цілі числа - це числа 0; 1; 2; 3; : : : Таким чином, цілі числа це нуль і «плюсмінус натуральні». Натуральні числа є цілими додатними числами.

Безліч цілих чисел позначається Z. (Саме це позначення ми постійно використовуємо в тригонометричних рівнянняхдля запису відповідей.)

Раціональні числа це всілякі дроби m=n з цілими m і n (при цьому, звичайно, n 6= 0; щоб уникнути даного застереження, говорять також, що m ціле, а n натуральне).

Будь-яке ціле число є водночас раціональним (наприклад, 3 = 6=2). Однак число 1/2 не є цілим.

Безліч раціональних чиселпозначається Q.

1.2 Подільність

Поняття ділимості належить до цілих чисел (зокрема, до натуральних). Починаючи з цього моменту, всі числа вважаються цілими. Якщо в якомусь випадку це виявиться не так, ми зробимо спеціальне застереження.

Цілі числа ми позначаємо a; b; c; : : : ; k; l; m; n; : : : ; x; y; z, тобто використовуємо все малі літерилатинської абетки.

Ви чудово знаєте, що число 12 ділиться на 4, але не ділиться на 5. Яким є формальне визначення ділимості? Ось воно.

Визначення. Число a поділяється на число b6 = 0, якщо знайдеться число c таке, що a = bc.

Якщо a поділяється на b, число b називається дільником числа a. Наприклад, число 12 має шість дільників: це 1, 2, 3, 4, 6 та 12.

Вправа. Доведіть, що якщо числа a та b діляться на c, то a + b також поділяється на c.

Сформулюємо найбільш важливі ознакиділимості.

a ділиться на 2, остання цифра a є 0, 2, 4, 6 або 8;

a ділиться на 5, остання цифра a є 0 або 5;

a ділиться на 10 , остання цифра дорівнює 0;

a ділиться на 3 сума цифр a ділиться на 3;

a ділиться на 9, сума цифр a ділиться на 9.

1.3 парність

Міркування, пов'язані з парністю чи непарністю, часто фігурують у задачах С6. Тому необхідні факти має сенс відзначити особливо.

Визначення. Число називається парним, якщо воно ділиться на 2. Число називається непарним, якщо воно не ділиться на 2.

Ось усі парні числа: 0; 2; 4; 6; : : : Якщо a парно, воно має вигляд a = 2n. А ось усі непарні числа: 1; 3; 5; : : : Ясно, що якщо a непарно, воно має вигляд a = 2n + 1.

Наступні твердження дуже очевидні, і ви можете використовувати їх при вирішенні задачі С6 (ніхто від вас не вимагатиме їхнього доказу). Але ви можете довести їх як вправу.

Сума будь-якого числа парних доданків парна.

Сума парного числанепарних доданків парна. Сума непарного числа непарних доданків непарна.

Нехай є твір кількох множників. Якщо всі множники непарні, то твір непарний. Якщо хоча б один множник парний, то твір парний.

1.4 Поділ із залишком

Число 13 не поділяється на 5. Найбільша кількість, Що ділиться на 5 і не перевищує 13, дорівнює 10 = 5 2. Таким чином, 13 = 5 2+3, і ми скажемо, що в результаті розподілу 13 на 5 виходить приватний 2 і залишок 3.

Виявляється, будь-яке число a можна розділити із залишком на будь-яке число b 6 = 0. А саме, знайдуться два числа q і r такі, що a = bq + r, і при цьому буде виконана нерівність 0 6 r< jbj. Число q назвается частным, а число r остатком от деления a на b.

Якщо r = 0, тобто a = bq, a ділиться на b.

Вправа. Знайдіть приватне та залишок від поділу: а) 7 на 2; б) 15 на 4; в) 2012 р. на 5; г) 1001 на 13; д) 9 на 8; е) 8 на 9.

Залишок від поділу будь-якого непарного числа на 2 дорівнює одиниці. Ось чому всяке непарне числоможе бути записано у вигляді 2n+1.

Залишки виявляються корисними у багатьох ситуаціях. Припустимо, в ході розв'язання задачі вам потрібно довести, що рівність n2 = 3k + 2 не може виконуватися за жодних цілих числах n і k. Розмірковуємо в такий спосіб.

Число n при розподілі на 3 може давати залишки 0, 1 або 2. Іншими словами, можливі три випадки: n = 3m, n = 3m + 1 або n = 3m + 2. Які залишки при розподілі на 3 будуть у числа n2 ? Давайте подивимося, що виходить у кожному із трьох випадків.

(3m)2 = 9m2 (залишок 0);

(3m + 1)2 = 9m2 + 6m + 1 (залишок 1);

(3m + 2)2 = 9m2 + 12m + 4 = (9m2 + 12m + 3) + 1 (залишок 1):

Таким чином, квадрат цілого числа при розподілі на 3 не може давати залишок 2. Отже, рівність n2 = 3k + 2 дійсно неможлива ні за яких n і k.

Вправа. Доведіть, що число 100: : : 004 (між 1 і 4 стоїть будь-яке число нулів) не є квадратом цілого числа.

Вправа. Доведіть, що квадрат цілого числа при розподілі на 4 може давати лише два залишки: 0 та 1.

Вправа. Доведіть, що n3 + 2n поділяється на 3.

1.5 Канонічне розкладання

Будь-яке число ділиться на 1 і на себе. Якщо натуральне число p не дорівнює 1 і не має інших натуральних дільників, крім 1 і p, таке число p називається простим.

Ось перші кілька простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Число 2 єдине парне просте число.

Число, що не дорівнює 1 і не є простим, називається складовим. Наприклад, 15 складове число (воно ділиться на 3). Число 1036 теж складне (воно парне). Одиниця не є ні простим числомні складним.

Вправа. Число 315 є складним. Чому?

Виявляється, будь-яке число можна розкласти на прості множники. Наприклад:

30 = 2 3 5; 504 = 2 2 2 3 3 7 = 23 32 7:

Таке розкладання єдино з точністю до порядку множників і називається канонічним розкладанням. Твердження про існування та єдиність канонічного розкладання носить назву основної теореми арифметики.

Канонічне розкладання повну картинудільників даного числа(І, зокрема, дозволяє знайти їх кількість). Саме, нехай a = pn 1 1 pn 2 2 : : : pn s s канонічне розкладання числа a. Тоді канонічне розкладання будь-якого дільника числа a складається з простих множників, що входять до набору fp1; p2; : : : ; ps g, показники ступеня яких не перевищують відповідно чисел n1; n2; : : : ; ns. Наприклад, будь-який дільник числа 504 = 23 32 7 має вигляд 2a 3b 7c де a 2 f0; 1; 2; 3g, b 2 f0; 1; 2g та c 2 f0; 1g.

Вправа. Нехай p просте число. Скільки дільників у числа: а) p2; б) p3; в) pn?

Вправа. Нехай p та q прості числа. Скільки дільників у числа: а) pq; б) p2 q3; в) pm qn?

Вправа. Узагальнивши міркування пункту в) попередньої вправи, покажіть, що кількість дільників числа a = pn 1 1 pn 2 2 : : : pn s s дорівнює (n1 + 1) (n2 + 1) : : : (ns + 1). Знайдіть, скільки дільників має число 504.

Вправа. Знайдіть канонічні розкладання чисел 540 і 252. За допомогою отриманих розкладів знайдіть НОД (540; 252) найбільший спільний дільник цих чисел.

1.6 Взаємно прості числа

Числа називаються взаємно простими, якщо вони не мають спільних дільниківкрім 1. Іншими словами, числа a і b взаємно прості, якщо НОД (a; b) = 1. Можна сказати і так: числа a і b взаємно прості тоді й тільки тоді, коли дріб a = b нескоротний.

Наприклад, числа 8 та 15 взаємно прості. Числа 9 і 15 є взаємно простими вони є спільний дільник 3.

Числа взаємно прості тоді й тільки тоді, коли їх канонічні розкладання складаються з наборів простих чисел, що не перетинаються. Наприклад, числа 23 5132 і 32 73 11 є взаємно простими.

Властивості взаємно простих чисел. Нехай числа a та b взаємно прості. Тоді справедливі такі твердження.

1. Якщо деяке число ділиться на a і b, воно ділиться і їх добуток ab.

2. Якщо an ділиться на b, n ділиться на b.

(Ви легко зрозумієте, чому так виходить, якщо уявите собі «неперетинаються» канонічні розкладання чисел a і b і до того ж пригадайте, що канонічне розкладання дільника служить частиною канонічного розкладання поділеного числа.)

Згідно з твердженням 1, наприклад, якщо деяке число ділиться на 8 і на 15, воно ділиться на 8 15 = 120. Те, що числа взаємно прості, важлива умова. Так, 12 ділиться на 4 та на 6, але не ділиться на 4 6 = 24.

Вправа. Які цифри можна вставити замість зірочок у записі 35 4 щоб отримане п'ятизначне число ділилося на 45?

Твердження 2 зазвичай працює в ситуаціях типу наступного. Нехай, наприклад, 5n=9m. Так як 5n ділиться на 9 і числа 5 і 9 взаємно прості, то n ділиться на 9. З тієї ж причини m ділиться на 5.

1.7 Послідовності

Що таке послідовність? Уявіть собі пристрій, який з деякими інтервалами видає один за одним. Наприклад: 2, 3, 15, 28, 6, 0, 3, . . . Набір чисел на виході цього пристрою буде послідовністю.

Суворіше, послідовність чисел, або числова послідовністьце набір чисел, у якому кожному числу можна надати деякий номер, причому кожному номеру відповідає однина даного набору. Номер це натуральне число; нумерація починається з одиниці.

Так, у наведеній вище послідовності перший номер має число 2 (це перший член послідовності), а п'ять номер 6 (це п'ятий член послідовності).

Число з номером n (тобто n-й членпослідовності) позначається an (або bn, cn, ...). Дуже зручно, коли n член послідовності можна задати деякою формулою. Наприклад, формула an = 2n 3 задає послідовність: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формула an = (1)n

задає послідовність: 1; 1; 1; 1; : : :

Вправа. Придумайте формулу n члена для наступних послідовностей: а) 1; 3; 5; 7; : : : ; б) 5; 8; 11; 14; : : : ; в 1; 4; 9; 16; : : : ; г) 1; 2; 3; 4; : : :

Всі розглянуті нами послідовності є нескінченними, тобто такими, що містять нескінченна безліччисел. Але бувають і кінцеві послідовності. Власне будь-який кінцевий набір чисел є кінцевою послідовністю. Наприклад, кінцева послідовність 1; 2; 3; 4; 5 складається із п'яти чисел.

У задачі С6 потрібні два спеціальних видупослідовностей: арифметична та геометрична прогресії.

1.8 Арифметична прогресія

Арифметична прогресія - це послідовність, кожен член якої (починаючи з другого) дорівнює суміпопереднього члена та деякого фіксованого числа:

an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):

Фіксоване число d називається різницею арифметичної прогресії.

Наприклад, послідовність 2; 5; 8; 11; : : : є арифметичною прогресієюз першим членом 2 та різницею 3.

Ця стаття дає відповіді питання про розкладанні числа на простирадлі множники. Розглянемо загальне уявленняпро розкладання із прикладами. Розберемо канонічну форму розкладання та її алгоритм. Буде розглянуто всі альтернативні способи за допомогою використання ознак ділимості та таблиці множення.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що означає розкласти число на звичайні множники?

Розберемо поняття прості множники. Відомо, кожен простий множник – це просте число. У творі виду 2 · 7 · 7 · 23 маємо, що у нас 4 простих множника у вигляді 2, 7, 7, 23.

Розкладання на множники передбачає його подання у вигляді творів простих. Якщо потрібно розкласти число 30 , тоді отримаємо 2 , 3 , 5 . Запис набуде вигляду 30 = 2 · 3 · 5 . Ймовірно, що множники можуть повторюватися. Таке число як 144 має 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 .

Не всі числа схильні до розкладання. Числа, які більше 1 і є цілими, можна розкласти на множники. Прості числа при розкладі діляться лише з 1 і самого себе, тому неможливо уявити ці числа як твори.

При z , що відноситься до цілих чисел, представляється у вигляді твору а та b , де z ділиться на а та на b . Складові числа розкладають на прості множники за допомогою основної теореми арифметики. Якщо число більше 1, його розкладання на множники p 1 , p 2 , … , p n набуває вигляду a = p 1 , p 2 , … , p n . Розкладання передбачається у єдиному варіанті.

Канонічне розкладання числа на прості множники

При розкладанні множники можуть повторюватися. Їх запис виконується компактно за допомогою ступеня. Якщо при розкладанні числа а маємо множник p 1 який зустрічається s 1 раз і так далі p n - S n разів. Таким чином розкладання набуде вигляду a = p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Цей запис має назву канонічного розкладання числа на прості множники.

При розкладанні числа 609840 отримаємо, що 609840 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 11 канонічний виглядбуде 609840 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 2 . За допомогою канонічного розкладання можна знайти всі дільники числа та їх кількість.

Щоб правильно розкласти на множники необхідно мати уявлення про прості та складових числах. Сенс полягає в тому, щоб отримати послідовну кількість дільників виду p 1 , p 2 , … , p n чисел a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, це дає можливість отримати a = p 1 · a 1, де a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , де a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n, де a n = a n - 1: p n. При отриманні a n = 1, то рівність a = p 1 · p 2 · … · p nотримаємо розкладання числа, що шукається, а на прості множники. Зауважимо, що p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Для знаходження найменших спільних дільників потрібно використовувати таблицю простих чисел. Це виконується на прикладі знаходження найменшого простого дільникачисла z. При взятті простих чисел 2, 3, 5, 11 і так далі, причому на них ділимо число z. Оскільки z не є простим числом, слід враховувати, що найменшим простим дільником більше z . Видно, що немає дільників z , тоді зрозуміло, що z є простим числом.

Приклад 1

Розглянемо з прикладу числа 87 . За його розподілі на 2 маємо, що 87: 2 = 43 із залишком рівним 1 . Звідси випливає, що 2 дільником не може бути, розподіл має проводитися націло. При розподілі на 3 отримаємо, що 87: 3 = 29 . Звідси висновок – 3 найменшим простим дільником числа 87 .

При розкладанні прості множники необхідно користуватися таблицею простих чисел, де a . При розкладанні 95 слід використовувати близько 10 простих чисел, а при 846 653 близько 1000 .

Розглянемо алгоритм розкладання на прості множники:

• знаходження найменшого множника при дільнику p 1 числа aза формулою a 1 = a: p 1 , коли a 1 = 1 тоді а є простим числом і включено в розкладання на множники, коли не дорівнює 1 тоді а = p 1 · a 1 і йдемо до пункту, що знаходиться нижче;
• знаходження простого дільника p 2 числа a 1 за допомогою послідовного перебору простих чисел, використовуючи a 2 = a 1: p 2 , коли a 2 = 1 , тоді розкладання набуде вигляду a = p 1 · p 2 , коли a 2 = 1 тоді а = p 1 · p 2 · a 2 , причому робимо перехід до наступного кроку;
• перебір простих чисел та знаходження простого дільника p 3числа a 2за формулою a 3 = a 2: p 3 коли a 3 = 1 , тоді отримаємо, що a = p 1 · p 2 · p 3 , коли не дорівнює 1, тоді a = p 1 · p 2 · p 3 · a 3 і робимо перехід до наступного кроку;
• проводиться перебування простого дільника p nчисла a n - 1за допомогою перебору простих чисел з p n - 1, а також a n = a n - 1: p n, де a n = 1 крок є завершальним, в результаті отримуємо, що a = p 1 · p 2 · … · p n .

Результат алгоритму записується як таблиці з розкладеними множниками з вертикальною рисою послідовно в стовпчик. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Отриманий алгоритм можна використовувати з розкладання чисел на прості множники.

Під час розкладання на прості множники слід дотримуватись основного алгоритму.

Приклад 2

Здійснити розкладання числа 78 на прості множники.

Рішення

Щоб знайти найменший простий дільник, необхідно перебрати всі прості числа, наявні в 78 . Тобто 78: 2 = 39. Поділ без залишку, це перший простий дільник, який позначимо як p 1 . Виходить, що a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39 . Прийшли до рівності виду a = p 1 · a 1 , де 78 = 2 · 39. Тоді a 1 = 39 тобто слід перейти до наступного кроку.

Зупинимося на знаходженні простого дільника p 2числа a 1 = 39. Слід перебрати прості числа, тобто 39: 2 = 19 (зуп. 1). Так як розподіл із залишком, що 2 не є дільником. При виборі числа 3 отримуємо, що 39: 3 = 13 . Отже, p 2 = 3 є найменшим простим дільником 39 за a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Отримаємо рівність виду a = p 1 · p 2 · a 2у вигляді 78 = 2 · 3 · 13 . Маємо, що a 2 = 13 не дорівнює 1 тоді слід переходить далі.

Найменший простий дільник числа a 2 = 13 шукається з допомогою перебору чисел, починаючи з 3 . Отримаємо, що 13: 3 = 4 (зуп. 1). Звідси видно, що 13 не ділиться на 5, 7, 11, тому що 13: 5 = 2 (зуп. 3), 13: 7 = 1 (зуп. 6) і 13: 11 = 1 (зуп. 2). Видно, що 13 є простим числом. За формулою виглядає так: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1 . Отримали, що a 3 = 1 що означає завершення алгоритму. Тепер множники записуються у вигляді 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Відповідь: 78 = 2 · 3 · 13 .

Приклад 3

Розкласти число 83006 на прості множники.

Рішення

Перший крок передбачає розкладання на прості множники p 1 = 2і a 1 = a: p 1 = 83006: 2 = 41503, де 83006 = 2 · 41503 .

Другий крок передбачає, що 2 , 3 і 5 не прості дільники для числа a 1 = 41503 , а 7 простий дільник, тому що 41503: 7 = 5929 . Отримуємо, що p 2 = 7 , a 2 = a 1: p 2 = 41503: 7 = 5929 . Очевидно, що 83006 = 2 · 7 · 5929 .

Знаходження найменшого простого дільника p 4 до a 3 = 847 дорівнює 7 . Видно, що a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, тому 83006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 121 .

Для знаходження простого дільника числа a 4 = 121 використовуємо число 11 тобто p 5 = 11 . Тоді отримаємо вираз виду a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, і 83006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 .

Для числа a 5 = 11число p 6 = 11є найменшим простим дільником. Звідси a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1 . Тоді a 6 = 1. Це свідчить про завершення алгоритму. Множники запишуться у вигляді 83006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 .

Канонічний запис відповіді набуде вигляду 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 .

Відповідь: 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 = 2 · 7 3 · 11 2 .

Приклад 4

Провести розкладання числа 897924289 на множники.

Рішення

Для знаходження першого простого множника зробити перебір простих чисел, починаючи з 2 . Кінець перебору посідає число 937 . Тоді p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 та 897 924 289 = 937 · 958 297 .

Другий крок алгоритму полягає у переборі менших простих чисел. Тобто починаємо з числа 937 . Число 967 можна вважати простим, тому що воно є простим дільником числа a 1 = 958297 . Звідси отримуємо, що p 2 = 967 , то a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 і 897924289 = 937 · 967 · 991 .

Третій крок свідчить, що 991 є простим числом, оскільки немає жодного простого дільника, який перевищує 991 . Зразкове значення підкореного виразумає вигляд 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Звідси видно, що p 3 = 991 та a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1 . Отримаємо, що розкладання числа 897924289 на прості множники виходить як 897924289 = 937 · 967 · 991 .

Відповідь: 897924289 = 937 · 967 · 991 .

Використання ознак ділимості для розкладання на прості множники

Щоб розкласти число на прості множники, потрібно дотримуватись алгоритму. Коли є невеликі числа, допускається використання таблиці множення та ознак подільності. Це розглянемо на прикладах.

Приклад 5

Якщо необхідно розкласти на множники 10 , то таблиці видно: 2 · 5 = 10 . Числа 2 і 5 є простими, тому вони є простими множниками для числа 10 .

Приклад 6

Якщо необхідно розкласти число 48 , то таблиці видно: 48 = 6 · 8 . Але 6 і 8 – це прості множники, оскільки їх можна розкласти як 6 = 2 · 3 і 8 = 2 · 4 . Тоді повне розкладаннязвідси виходить як 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Канонічний запис набуде вигляду 48 = 2 4 · 3 .

Приклад 7

При розкладанні числа 3400 можна скористатися ознаками подільності. У даному випадкуактуальні ознаки подільності на 10 і 100 . Звідси отримуємо, що 3400 = 34 · 100, де 100 можна розділити на 10, тобто записати у вигляді 100 = 10 · 10, а значить, що 3400 = 34 · 10 · 10. Грунтуючись на ознакі подільності отримуємо, що 3400 = 34 · 10 · 10 = 2 · 17 · 2 · 5 · 2 · 5 . Усі множники прості. Канонічне розкладання набуває вигляду 3400 = 2 3 · 5 2 · 17.

Коли ми знаходимо прості множники, необхідно використовувати ознаки поділення та таблицю множення. Якщо уявити число 75 як твори множників, необхідно враховувати правило ділимості на 5 . Отримаємо, що 75 = 5 · 15, причому 15 = 3 · 5. Тобто розкладання приклад вид твору 75 = 5 · 3 · 5 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Лекція 14 Випадкові процеси Канонічний розпад випадкових процесів. Спектральне розкладання стаціонарного випадкового процесу. СлуЛекція 14
Випадкові процеси
Канонічне розкладання випадкових процесів.
Спектральне розкладання стаціонарного випадкового
процесу. Випадкові процеси з незалежними
перерізами. Марківські процеси та ланцюги Маркова.
Нормальні довільні процеси. Періодично
нестаціонарні випадкові процеси
(Ахметов С.К.)

Канонічне розкладання випадкових процесів

Основні характеристики СП, заданого канонічним розкладанням

Спектральне розкладання стаціонарного СП

Спектральне розкладання стаціонарного СП (2)

Спектральне розкладання стаціонарного СП (3)

Випадкові процеси із незалежними перерізами

Марківські процеси та ланцюги Маркова

Нормальні (гаусівські) випадкові процеси