Множення двійкових чисел. Розмноження десяткових дробів: правила, приклади, рішення

| 8 класи | Планування уроків на навчальний рік | Двійкова система числення

Урок 27
Двійкова система числення
Подання чисел у пам'яті комп'ютера

Історія чисел та систем числення

Питання, що вивчаються:

- десяткова та двійкова системи числення.
- Переклад двійкових чиселу десяткову систему числення.
- Переведення десяткових чисел у двійкову систему.
- Двійкова арифметика.
- Непозиційні системи давнини.
- позиційні системи.

Історія чисел та систем числення. Позиційні системи

Позиційні системи

Вперше ідея позиційної системи числення виникла у Стародавньому Вавилоні.

У позиційних системах числення кількісне значення, що позначається цифрою запису числа, залежить від позиції цифри в числі.

Основа позиційної системи числення дорівнює кількості використовуваних у системі цифр.

Система числення, що застосовується в сучасної математики, є позиційною десятковою системою . Її основа дорівнює десяти, тому що запис будь-яких чисел проводиться за допомогою десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Хоча десяткову систему прийнято називати арабською, але зародилася вона в Індії у V столітті. У Європі про цю систему дізналися в XII столітті з арабських наукових трактатів, які були перекладені латиною. Цим пояснюється назва «арабські цифри». Широке розповсюдженняу науці й у побуті десяткова позиційна система отримала лише XVI столітті. Ця система дозволяє легко виконувати будь-які арифметичні обчислення, записувати скільки завгодно великі числа. Розповсюдження арабської системидало потужний поштовх розвитку математики.

З позиційною десятковою системою числення ви знайомі з раннього дитинстваТільки, можливо, не знали, що вона так називається.

Що означає властивість позиційності системи числення, легко зрозуміти з прикладу будь-якого багатозначного десяткового числа. Наприклад, серед 333 перша трійка означає три сотні, друга - три десятки, третя - три одиниці. Одна й та цифра в залежності від позиції в записі числа позначає різні значення.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Ще приклад:

32478 = 3 10 ТОВ + 2 1000 + 4100 + 7 10 + 8 =
= 3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0 .

Звідси видно, що всяке десяткове числоможна уявити, як суму творів складових його цифр на відповідні ступені десятки. Те саме стосується і десяткових дробів.

26,387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .

Очевидно, що число «десять» - не єдине можлива підставапозиційної системи. Відомий російський математик М. М. Лузін висловився з цього приводу: «Переваги десяткової системи не математичні, а зоологічні. Якби у нас на руках було не десять пальців, а вісім, то людство мало б восьмеричну систему».

За основу позиційної системи числення можна прийняти будь-яке натуральне число, більше 1. Згадана вище вавілонська система мала основу 60. Сліди цієї системи збереглися до наших днів у порядку рахунку одиниць часу (1 година = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секунд).

Для запису чисел у позиційній системі з основою nпотрібно мати алфавіт з nцифр. Зазвичай для цього при n≤ 10 використовують nперших арабських цифр, а при n≥ 10 до десяти арабських цифр додають літери.

Ось приклади алфавітів кількох систем.

Основа системи, до якої належить число, зазвичай позначається підрядковим індексом до цього числа:

101101 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .

А як будується низка натуральних чисел у різних позиційних системах числення? Відбувається це за тим же принципом, що і в десятковій системі. Спочатку йдуть однозначні числа, потім двоцифрові, потім трицифрові і т. д. Найбільше однозначне числоу десятковій системі - 9. Потім слідують двозначні - 10, 11, 12, ... Найбільше двозначне число- 99, далі йдуть 100, 101, 102 і т. д. до 999, потім 1000 і т.д.

Наприклад розглянемо п'ятіркову систему. У ній ряд натуральних чисел виглядає так:
1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34,
40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, ..., 444, 1000, ...

Видно, що тут число цифр наростає швидше, ніж у десятковій системі. Найшвидше число цифр зростає в двійковій системіобчислення. У наступній таблиці зіставляються початку натуральних рядів десяткових чи двійкових чисел:

Математичний-Калькулятор-Онлайн v.1.0

Калькулятор виконує такі операції: додавання, віднімання, множення, розподіл, робота з десятковими, вилучення кореня, зведення в ступінь, обчислення відсотків та ін операції.

Рішення:

Як працювати з математичним калькулятором

Алгоритм роботи онлайн-калькулятора на прикладах

Додавання.

Додавання цілих натуральних чисел ( 5 + 7 = 12 )

Додавання цілих натуральних і негативних чисел { 5 + (-2) = 3 }

Додавання десяткових дробових чисел (0,3 + 5,2 = 5,5)

Віднімання.

Віднімання цілих натуральних чисел ( 7 - 5 = 2 )

Віднімання цілих натуральних і негативних чисел ( 5 - (-2) = 7 )

Віднімання десяткових дробових чисел ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

множення.

Добуток цілих натуральних чисел ( 3 * 7 = 21 )

Добуток цілих натуральних і негативних чисел ( 5 * (-3) = -15 )

Добуток десяткових дробових чисел ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Розподіл.

Розподіл цілих натуральних чисел ( 27 / 3 = 9 )

Розподіл цілих натуральних і негативних чисел ( 15 / (-3) = -5 )

Розподіл десяткових дробових чисел ( 6,2 / 2 = 3,1 )

Вилучення кореня з числа.

Вилучення кореня з цілого числа ( корінь(9) = 3 )

Вилучення кореня з десяткових дробів(корінь (2,5) = 1,58)

Вилучення кореня із суми чисел ( корінь(56 + 25) = 9 )

Вилучення кореня з різниці чисел ( корінь (32 – 7) = 5 )

Зведення числа у квадрат.

Зведення в квадрат цілого числа ((3) 2 = 9)

Зведення в квадрат десяткових дробів ((2,2) 2 = 4,84)

Переклад у десяткові дроби.

Обчислення відсотків від числа

Збільшити на 15% число 230 (230 + 230 * 0,15 = 264,5)

Зменшити на 35% число 510 (510 - 510 * 0,35 = 331,5)

18% від числа 140 це (140 * 0,18 = 25,2)

Приклад №2. Знайти двійковий твір 11011*1100. Перекласти відповідь у десяткову систему.
Рішення. Множення починаємо з молодших розрядів: якщо поточний розряд другого числа дорівнює 0, скрізь записуємо нулі, якщо 1 - то переписуємо перше число.

Приклад №3. 1101.11*101
Помножуватимемо числа без урахування плаваючої точки: 110111 x 101
Множення починаємо з молодших розрядів: якщо поточний розряд другого числа дорівнює 0, скрізь записуємо нулі, якщо 1 - то переписуємо перше число.

На минулому уроці ми навчилися складати та віднімати десяткові дроби (див. урок «Складання та віднімання десяткових дробів»). Заодно оцінили, наскільки спрощуються обчислення порівняно із звичайними двоповерховими дробами.

На жаль, з множенням та розподілом десяткових дробів подібного ефекту не виникає. У деяких випадках десятковий запис числа навіть ускладнює ці операції.

Спочатку введемо нове визначення. Ми зустрічатимемося з ним досить часто, і не лише на цьому уроці.

Значна частина числа - це все, що знаходиться між першою та останньою ненульовою цифрою, включаючи кінці. Мова йдетільки про цифри, десяткова точка не враховується.

Цифри, що входять до значну частинучисла, що називаються значущими цифрами. Вони можуть повторюватися і навіть дорівнювати нулю.

Наприклад, розглянемо кілька десяткових дробів та випишемо відповідні їм значущі частини:

1. 91,25 → 9125 (значні цифри: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (значні цифри: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (значні цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (значні цифри: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (значна цифравсього одна: 3).

Зверніть увагу: нулі, що стоять усередині значущої частини числа, нікуди не подіються. Ми вже стикалися з чимось подібним, коли вчилися переводити десяткові дроби у звичайні (див. урок «Десятичні дроби»).

Цей момент настільки важливий, а помилки тут припускаються так часто, що найближчим часом я опублікую тест на цю тему. Обов'язково потренуйтесь! А ми, озброївшись поняттям значущої частини, почнемо, власне, тему уроку.

Розмноження десяткових дробів

Операція множення складається із трьох послідовних кроків:

1. Для кожного дробу виписати значну частину. Вийдуть два звичайних цілих числа - без усіляких знаменників та десяткових точок;
2. Помножити ці числа будь-яким зручним способом. Безпосередньо, якщо числа невеликі, або стовпчиком. Отримаємо значну частину шуканого дробу;
3. З'ясувати, куди і скільки розрядів зрушується десяткова точка у вихідних дробах щоб одержати відповідної значущої частини. Виконати зворотні зрушення для частини, отриманої на попередньому кроці.

Ще раз нагадаю, що нулі, що стоять з обох боків від значущої частини, ніколи не враховуються. Ігнорування цього правила призводить до помилок.

1. 0,28 · 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 · 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Працюємо з першим виразом: 0,28 · 12,5.

1. Випишемо значущі частини для чисел із цього виразу: 28 і 125;
2. Їх добуток: 28 · 125 = 3500;
3. У першому множнику десяткову точку зсунуто на 2 цифри вправо (0,28 → 28), а в другій - ще на 1 цифру. Усього потрібен зрушення вліво на три цифри: 3500 → 3,500 = 3,5.

Тепер розберемося з виразом 6,3 · 1,08.

1. Випишемо значущі частини: 63 та 108;
2. Їх добуток: 63 · 108 = 6804;
3. Знову два зсуви вправо: на 2 та 1 цифру відповідно. Усього – знову 3 цифри вправо, тому зворотний зсув буде на 3 цифри вліво: 6804 → 6,804. На цей раз нулів на кінці немає.

Дісталися третього виразу: 132,5 · 0,0034.

1. Значні частини: 1325 та 34;
2. Їх добуток: 1325 · 34 = 45050;
3. У першому дробі десяткова точка йде вправо на 1 цифру, а в другому - на цілих 4. Разом: 5 вправо. Виконуємо зсув на 5 вліво: 45050 → ,45050 = 0,4505. Наприкінці прибрали нуль, а спереду дописали, щоб не залишати «голу» десяткову точку.

Наступний вираз: 0,0108 · 1600,5.

1. Пишемо значущі частини: 108 та 16 005;
2. Примножуємо їх: 108 · 16005 = 1728540;
3. Вважаємо цифри після десяткової точки: у першому числі їх 4, у другому – 1. Усього – знову 5. Маємо: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Наприкінці забрали «зайвий» нуль.

Нарешті, останній вираз: 5,25 · 10 000.

1. Значні частини: 525 та 1;
2. Примножуємо їх: 525 · 1 = 525;
3. У першому дробі виконано зрушення на 2 цифри праворуч, а у другому - на 4 цифри ліворуч (10 000 → 1,0000 = 1). Разом 4 − 2 = 2 цифри вліво. Виконуємо зворотний зсув на 2 цифри вправо: 525 → 52 500 (довелося дописати нулі).

Зверніть увагу на останній приклад: оскільки десяткова точка переміщається в різних напрямках, сумарний зсув перебуває через різницю. Це дуже важливий момент! Ось ще приклад:

Розглянемо числа 1,5 та 12 500. Маємо: 1,5 → 15 (зрушення на 1 вправо); 12500 → 125 (зсув на 2 вліво). Ми крокуємо на 1 розряд праворуч, а потім - на 2 ліворуч. У результаті, ми зробили крок на 2 − 1 = 1 розряд вліво.

Розподіл десяткових дробів

Поділ - це, мабуть, найскладніша операція. Звичайно, тут можна діяти за аналогією з множенням: ділити значні частини, а потім рухати десяткову точку. Але в цьому випадку виникає багато тонкощів, які зводять нанівець потенційну економію.

Тому давайте розглянемо універсальний алгоритм, який трохи довший, але набагато надійніший:

1. Перекласти всі десяткові дроби на звичайні. Якщо трохи потренуватися, на цей крок у вас будуть йти лічені секунди;
2. Розділити отримані дроби класичним способом. Іншими словами, помножити перший дріб на «перевернутий» другий (див. урок «Множення та розподіл числових дробів»);
3. Якщо можливо, результат знову подати у вигляді десяткового дробу. Цей крок теж виконується швидко, оскільки найчастіше у знаменнику вже стоїть ступінь десятки.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Вважаємо перший вираз. Для початку переведемо обидва дроби в десяткові:

Аналогічно надійдемо з другим виразом. Чисельник першого дробу знову розкладеться на множники:

У третьому та четвертому прикладах є важливий момент: після позбавлення від десяткового записувиникають скорочувані дроби. Однак ми не будемо виконувати це скорочення.

Останній приклад цікавий тим, що у чисельнику другого дробу стоїть просте число. Тут просто нема чого розкладати на множники, тому вважаємо «напролом»:

Іноді в результаті розподілу виходить ціле число (це про останній приклад). У такому разі третій крок взагалі не виконується.

Крім того, при розподілі часто виникають «некрасиві» дроби, які не можна перевести в десяткові. Цим розподіл відрізняється від множення, де результати завжди представлені в десятковій формі. Зрозуміло, у такому разі останній крок знову ж таки не виконується.

Зверніть також увагу на 3-й та 4-й приклади. У них ми навмисно не скорочуємо звичайні дробиотримані з десяткових. Інакше це ускладнить зворотне завдання- Подання кінцевої відповіді знову в десятковому вигляді.

Запам'ятайте: основна властивість дробу (як і будь-яке інше правило в математиці) саме по собі ще не означає, що його треба застосовувати скрізь і завжди, за будь-якої зручної нагоди.

В курсі середньої та старшої школиучні проходили тему «Дроби». Однак це поняття набагато ширше, ніж дається у процесі навчання. Сьогодні поняття дробу зустрічається досить часто, і не кожен може провести обчислення якогось виразу, наприклад, множення дробів.

Що таке дріб?

Так історично склалося, що дробові числа виникли через необхідність вимірювати. Як показує практика, часто зустрічаються приклади визначення довжини відрізка, обсягу прямокутного прямокутника.

Спочатку учні знайомляться з таким поняттям як частка. Наприклад, якщо розділити кавун на 8 частин, то кожному дістанеться по одній восьмій кавуна. Ось ця одна частина з восьми і називається часткою.

Частка, що дорівнює ½ від будь-якої величини, називається половиною; ⅓ - третю; ¼ – чвертю. Записи виду 5/8, 4/5, 2/4 називають звичайними дробами. Звичайний дріб поділяється на чисельник та знаменник. Між ними знаходиться межа дробу, або дробова характеристика. Дробну межу можна намалювати у вигляді як горизонтальної, так і похилої лінії. У даному випадкувона означає знак розподілу.

Знаменник представляє, скільки однакових часток поділяють величину, предмет; а чисельник - скільки однакових часток взято. Чисельник пишеться над дробовою рисою, знаменник - під нею.

Найзручніше показати звичайні дроби на координатному промені. Якщо одиничний відрізок розділити на 4 рівні частки, позначити кожну частку латинською літерою, то в результаті можна отримати відмінне наочний посібник. Так, точка А показує частку, що дорівнює 1/4 від усього одиничного відрізка, а точка відзначає 2 / 8 від даного відрізка.

Різновиди дробів

Дроби бувають прості, десяткові, і навіть змішані числа. Крім того, дроби можна розділити на правильні та неправильні. Ця класифікація найбільше підходить для звичайних дробів.

Під правильним дробомрозуміють число, у якого чисельник менше знаменника. Відповідно, неправильний дріб- Число, у якого чисельник більше знаменника. Другий вигляд зазвичай записують як змішаного числа. Такий вираз складається з цілої та дробової частини. Наприклад, 1½. 1 - ціла частина, ½ - дробова. Однак якщо потрібно провести якісь маніпуляції з виразом (розподіл чи множення дробів, їх скорочення чи перетворення), змішане число перетворюється на неправильний дріб.

Правильне дробовий вираззавжди менше одиниці, а неправильне - більше чи одно 1.

Що стосується то під цим виразом розуміють запис, в якому представлено будь-яке число, знаменник дробового виразу якого можна виразити через одиницю з кількома нулями. Якщо дріб правильний, то ціла частина в десятковому записі дорівнюватиме нулю.

Щоб записати десятковий дріб, потрібно спочатку написати цілу частину, відокремити її від дробової за допомогою коми і потім уже записати дробовий вираз. Необхідно пам'ятати, що після коми чисельник повинен містити стільки ж цифрових символів, скільки нулів у знаменнику.

приклад. Подати дріб 7 21 / 1000 у десятковому записі.

Алгоритм переведення неправильного дробу в змішане число і навпаки

Записувати у відповіді завдання неправильний дріб некоректно, тому його потрібно перевести в змішане число:

• розділити чисельник на наявний знаменник;
• в конкретному прикладінеповне приватне – ціле;
• і залишок - чисельник дрібної частини, причому знаменник залишається незмінним.

приклад. Перевести неправильний дріб у змішане число: 47/5 .

Рішення. 47: 5. Неповне приватне дорівнює 9, залишок = 2. Значить, 47/5 = 9 2/5.

Іноді потрібно уявити змішане число як неправильний дроб. Тоді потрібно скористатися наступним алгоритмом:

• ціла частина множиться на знаменник дрібного виразу;
• отриманий твір додається до чисельника;
• Результат записується в чисельнику, знаменник залишається незмінним.

приклад. Подати число у змішаному вигляді як неправильний дроб: 9 8 / 10 .

Рішення. 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 – чисельник.

Відповідь: 98 / 10.

Розмноження дробів звичайних

Над звичайними дробами можна здійснювати різні операції алгебри. Щоб перемножити два числа, потрібно чисельник перемножити з чисельником, а знаменник із знаменником. Причому множення дробів з різними знаменниками не відрізняється від добутку дробових чисел з однаковими знаменниками.

Трапляється, що після знаходження результату потрібно скоротити дріб. У обов'язковому порядкупотрібно максимально спростити вираз, що вийшов. Звичайно, не можна сказати, що неправильний дріб у відповіді - це помилка, але й назвати правильною відповіддю її теж важко.

приклад. Знайти добуток двох звичайних дробів: ½ і 20/18.

Як видно з прикладу, після знаходження твору вийшла скоротлива дробовий запис. І чисельник, і знаменник у разі ділиться на 4, і результатом виступає відповідь 5 / 9 .

Розмноження дробів десяткових

Добуток десяткових дробів досить сильно відрізняється від твору звичайних за своїм принципом. Отже, множення дробів полягає в наступному:

• два десяткові дроби потрібно записати один під одним так, щоб крайні праві цифри опинилися одна під одною;
• потрібно перемножити записані числа, незважаючи на коми, тобто як натуральні;
• підрахувати кількість цифр після знака комою у кожному із чисел;
• в отриманому після перемноження результаті потрібно відрахувати праворуч стільки цифрових символів, скільки міститься в сумі в обох множниках після коми, і поставити знак, що відокремлює;
• якщо цифр у творі виявилося менше, тоді перед ними потрібно написати стільки нулів, щоб покрити цю кількість, поставити кому і приписати цілу частину, що дорівнює нулю.

приклад. Обчислити добуток двох десяткових дробів: 2,25 та 3,6.

Рішення.

Розмноження змішаних дробів

Щоб вирахувати твір двох змішаних дробів, потрібно використовувати правило множення дробів:

• перевести числа у змішаному вигляді у неправильні дроби;
• знайти добуток чисельників;
• знайти твір знаменників;
• записати результат, що вийшов;
• максимально спростити вираз.

приклад. Знайти добуток 4½ та 6 2/5.

Розмноження числа на дріб (дроби на число)

Крім знаходження твору двох дробів, змішаних чисел, зустрічаються завдання, де потрібно помножити на дріб.

Отже, щоб знайти добуток десяткового дробу та натурального числа, потрібно:

• записати число під дробом так, щоб крайні праві цифри опинилися одна над одною;
• знайти твір, незважаючи на кому;
• в отриманому результаті відокремити цілу частину від дробової за допомогою коми, відрахувавши праворуч кількість знаків, яка знаходиться після коми в дробі.

Щоб помножити звичайний дрібна число, слід знайти добуток чисельника та натурального множника. Якщо у відповіді виходить скоротитий дріб, його слід перетворити.

приклад. Обчислити добуток 5/8 та 12.

Рішення. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Відповідь: 7 1 / 2.

Як видно з попереднього прикладу, необхідно було скоротити результат і перетворити неправильне дробове вираз у змішане число.

Також множення дробів стосується і знаходження добутку числа у змішаному вигляді та натурального множника. Щоб перемножити ці два числа, слід цілу частину змішаного множника помножити на число, чисельник помножити на це значення, а знаменник залишити незмінним. Якщо потрібно, потрібно максимально спростити результат, що вийшов.

приклад. Знайти твір 9 5/6 та 9.

Рішення. 9 5/6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Відповідь: 88 1 / 2.

множення на множники 10, 100, 1000 або 0,1; 0,01; 0,001

З попереднього пункту випливає наступне правило. Для множення дробу десяткового на 10, 100, 1000, 10000 і т. д. потрібно пересунути кому вправо на стільки символів цифр, скільки нулів у множнику після одиниці.

Приклад 1. Знайти добуток 0,065 та 1000.

Рішення. 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Відповідь: 65.

Приклад 2. Знайти добуток 3,9 та 1000.

Рішення. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Відповідь: 3900.

Якщо потрібно перемножити натуральне число та 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 і т. д., слід пересунути вліво кому в творі на стільки символів цифр, скільки нулів знаходиться до одиниці. Якщо необхідно, перед натуральним числомзаписуються нулі у достатній кількості.

Приклад 1. Знайти добуток 56 та 0,01.

Рішення. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Відповідь: 0,56.

Приклад 2. Знайти твір 4 та 0,001.

Рішення. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Відповідь: 0,004.

Отже, знаходження твору різних дробів повинно викликати труднощів, хіба що підрахунок результату; у такому разі без калькулятора просто не обійтись.