Властивості показових ступенів. Функції та графіки

Урок №2

Тема: Показова функція, її властивості та графік.

Ціль:Перевірити якість засвоєння поняття «показова функція»; сформувати вміння та навички з розпізнавання показової функції, щодо використання її властивостей та графіків, навчити учнів користуватися аналітичною та графічною формамизаписи показової функції; забезпечити робочу обстановку під час уроку.

Обладнання:дошка, плакати

Форма уроку: класно-урочна

Вигляд уроку: практичне заняття

Тип уроку: урок навчання вмінням та навичкам

План уроку

1. Організаційний момент

2. Самостійна роботата перевірка домашнього завдання

3. Розв'язання задач

4. Підбиття підсумків

5. Завдання додому

Хід уроку.

1. Організаційний момент :

Вітаю. Відкрийте зошити, запишіть сьогоднішнє число та тему уроку «Показова функція». Сьогодні продовжуватимемо вивчати показову функцію, її властивості та графік.

2. Самостійна робота та перевірка домашнього завдання .

Ціль:перевірити якість засвоєння поняття «показова функція» та перевірити виконання теоретичної частини домашнього завдання

Метод:тестове завдання, фронтальне опитування

Як домашнє завдання вам були задані номери із задачника та параграф із підручника. Виконання номерів із підручника перевіряти зараз не будемо, але ви здасте зошити наприкінці уроку. Зараз же буде проведено перевірку теорії у вигляді маленького тіста. Завдання у всіх однакове: вам дано перелік функцій, ви повинні дізнатися, які з них є показовими (підкреслити їх). І поруч із показовою функцією необхідно написати є вона зростаючою, чи спадною.

Варіант 1

Відповідь

Б)

Д) - показова, спадна

Варіант 2

Відповідь

Г) - показова, спадна

Д) - показова, зростаюча

Варіант 3

Відповідь

а) - показова, зростаюча

Б) - показова, спадна

Варіант 4

Відповідь

а) - показова, спадна

в) - показова, зростаюча

Тепер разом пригадаємо, яка функція називається показовою?

Функція виду , де і називається показовою функцією.

Яка область визначення цієї функції?

Усі дійсні числа.

Яка область значень показової функції?

Усі позитивні дійсні числа.

Убуває якщо основа ступеня більше нуляале менше одиниці.

У якому разі показова функція зменшується у своїй області визначення?

Зростає, якщо основа ступеня більше одиниці.

3. Розв'язання задач

Ціль: сформувати вміння та навички з розпізнавання показової функції, використання її властивостей та графіків, навчити учнів користуватися аналітичною та графічною формами запису показової функції

Метод: демонстрація вчителем вирішення типових завдань, усна робота, робота на дошці, робота в зошит, розмова вчителя з учнями.

Властивості показової функції можна використовувати при порівнянні 2-х чи більше чисел. Наприклад: № 000. Порівняйте значення і , якщо а) ..gif" width="37" height="20 src=">, то це досить складна робота: нам би довелося витягувати кубічний коріньз 3 та з 9, і порівнювати їх. Але ми знаємо, що зростає, це в свою чергу означає, що при збільшенні аргументу збільшується значення функції, тобто нам достатньо порівняти між собою значення аргументу і очевидно, що (можна продемонструвати на плакаті із зображеною зростаючою показовою функцією). І завжди при вирішенні таких прикладів спочатку визначаєте основу показової функції, порівнюєте з 1, визначаєте монотонність і переходите до порівняння аргументів. У випадку зменшення функції: при збільшенні аргументу зменшується значення функції, отже, знак нерівності змінюємо при переході від нерівності аргументів до нерівності функцій. Далі вирішуємо усно: б)

в)

г)

- № 000. Порівняйте числа: а) та

Отже, функція зростає, тоді

Чому?

Зростаюча функція та

Отже, функція зменшується, тоді

Обидві функції зростають по всій своїй області визначення, тому що вони є показовими з основою ступеня більшим одиниці.

Який сенс у ній закладено?

Будуємо графіки:

Яка функція швидше зростає при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20

Яка функція швидше зменшується, за бажання https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20

На проміжку яка з функцій має більше значенняу конкретно заданій точці?

Г) http://www.pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif.

Так, область визначення цих функцій усі дійсні числа.

Назвіть область значення кожної з цих опцій.

Області значень цих функцій збігаються: усі позитивні дійсні числа.

Визначте тип монотонності кожної функції.

Всі три функції спадають на всій своїй області визначення, тому що вони є показовими з підставою ступеня меншими одиниці і більшими за нуль.

Яка особлива точкаІснує у графіка показової функції?

Який сенс у ній закладено?

Яке б не було підстави ступеня показової функції, якщо в показнику стоїть 0, то значення цієї функції 1.

Будуємо графіки:

Давайте проаналізуємо графіки. Скільки точок перетину графіків функцій?

Яка функція швидше зменшується, при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41

Яка функція швидше зростає, при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41

На проміжку яка з функцій має більше значення у конкретно заданій точці?

Чому показові функції з різними підставамимають лише одну точку перетину?

Показові функції є строго монотонними по всій своїй області визначення, тому можуть перетинатися лише у одній точці.

Наступне завдання буде спрямоване використання цієї властивості. № 000. Знайдіть найбільше та наї менше значення заданої функціїна заданому проміжку а). Згадаймо, що суворо монотонна функціяприймає свої найменше та найбільше значення на кінцях заданого відрізка. І якщо функція зростаюча, то її найбільше значеннябуде правому кінці відрізка, а найменше лівому кінці відрізка (демонстрація на плакаті, з прикладу показової функції). Якщо функція спадна, її найбільше значення буде у лівому кінці відрізка, а найменше правому кінці відрізка (демонстрація на плакаті, з прикладу показової функції). Функція зростаюча, т. к., отже, найменше значення функції буде в точці. ) , в) г) вирішіть самостійно зошити, перевірку проведемо усно.

Учні вирішують завдання у зошити

Знижена функція

найбільше значення функції на відрізку

найменше значення функції на відрізку

Зростаюча функція

найменше значення функції на відрізку

найбільше значення функції на відрізку

- № 000. Знайдіть найбільше та найменше значення заданої функції на заданому проміжку а) . Це завдання практично таке саме, як і попереднє. Але тут дано не відрізок, а промінь. Ми знаємо, що функція - зростаюча, при чому вона не має ні найбільшого, ні найменшого свого значення на всій числовій прямій width="68" height ="20">, і прагне до при , тобто на промені функція при прагне до 0, але не має свого найменшого значення, але у неї існує найбільше значення в точці . Пункти б) , в) , г) вирішіть самостійно зошити, перевірку проведемо усно.

1.Показова функція – це функція виду у(х) =а х, залежить від показника ступеня х, за постійного значення підстави ступеня a , де а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – безліч дійсних чисел).

Розглянемо графік функції, якщо основа не задовольнятиме умові: а>0
a) a< 0
Якщо a< 0 – возможно возведение в целую степень или в раціональний ступіньз непарним показником.
а = -2

Якщо а = 0 - функція у = визначена та має постійне значення 0

в) а = 1
Якщо а = 1 – функція у = визначена та має постійне значення 1

2. Розглянемо докладніше показову функцію:

0

Область визначення функції (ООФ)

Область допустимих значень функції (ОДЗ)

3. Нулі функції (у = 0)

4. Точки перетину з віссю ординат oy (x = 0)

5. Зростання, зменшення функції

Якщо , то функція f(x) зростає
Якщо , то функція f(x) зменшується
Функція y= при 0 Функція у = при a> 1 монотонно зростає
Це випливає з властивостей монотонності ступеня із дійсним показником.

6. парність, непарність функції

Функція у = не симетрична щодо осі 0у і щодо початку координат, отже не є ні парною, ні непарною. (Функція загального вигляду)

7. Функція у = екстремумів не має

8. Властивості ступеня із дійсним показником:

Нехай > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Тоді для xR; yϵR:

Властивості монотонності ступеня:

якщо то
Наприклад:

Якщо a> 0, то .
Показова функція безперервна у будь-якій точці ϵ R.

9. Відносне розташування функції

Чим більша основа а, тим ближче до осей ох і оу

a > 1, a = 20

Якщо а0, то показова функція набуває вигляду близького до y = 0.
Якщо а1, то далі від осей ох і оу і графік набуває вигляду близького до функції у = 1.

приклад 1.
Побудувати графік у =

Гіпермаркет знань >>Математика >>Математика 10 клас >>

Показова функція, її властивості та графік

Розглянемо вираз 2х і знайдемо його значення за різних раціональних значеннях змінної х, наприклад, при х=2;

Взагалі, яке б раціональне значеннями не додали змінної х, завжди можна обчислити відповідне числове значеннявирази 2 х. Таким чином, можна говорити про показову функціїу=2 х, визначеної на множині Q раціональних чисел:

Розглянемо деякі властивості цієї функції.

Властивість 1.- Зростаюча функція. Доказ здійснимо у два етапи.
Перший етап.Доведемо, якщо r - позитивне раціональне число, то 2 r >1.
Можливі два випадки: 1) r - натуральне число, R = n; 2) звичайна нескоротна дріб,

У лівій частині останньої нерівності маємо , а правої 1. Значить, останню нерівність можна переписати як

Отже, у разі виконується нерівність 2 р > 1, що й потрібно довести.

Другий етап.Нехай x 1 та x 2 - числа, причому x 1 та x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(Ми позначили різницю х 2 -х 1 літерою r).

Оскільки r- позитивне раціональне число, то з доведеному першому етапі 2 r > 1, тобто. 2 r -1 >0. Число2х" також позитивно, отже, позитивним є і добуток 2 x-1 (2 Г -1). Тим самим ми довели, що справедливо нерівність 2 Хг -2х ">0.

Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Властивість 2.обмежена знизу та не обмежена зверху.
Обмеженість функції знизу випливає з нерівності 2 х >0, справедливого для будь-яких значень х області визначення функції. Водночас яке б додатне числоМ ні взяти, завжди можна підібрати такий показник х, що виконуватиметься нерівність 2 х >М - що й характеризує необмеженість функції зверху. Наведемо низку прикладів.

Властивість 3.немає ні найменшого, ні найбільшого значень.

Те, що дана функціяне має найбільшого значення, очевидно, оскільки вона, як ми щойно бачили, не обмежена зверху. Але знизу вона обмежена, чому ж вона не має найменшого значення?

Припустимо, що 2 г – найменше значення функції (r – деякий раціональний показник). Візьмемо раціональне число q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Все це добре, скажете ви, але чому ми розглядаємо функцію у-2 х тільки на безлічі раціональних чисел, чому ми не розглядаємо її, як інші відомі функції на всій числовій прямій або на якомусь суцільному проміжку числової прямої? Що нам заважає? Обміркуємо ситуацію.

Числова пряма містить не тільки раціональні, а й раціональні числа. Для вивчених раніше функцій це нас не бентежило. Наприклад, значення функції у = х 2 ми однаково легко знаходили як за раціональних, і при ірраціональних значеннях х: досить було задане значення х звести у квадрат.

А ось з функцією у = 2 x справа складніше. Якщо аргументу х надати раціональне значення, то у принципі x обчислити можна (поверніться ще раз до початку параграфа, де саме це й робили). А якщо аргументу х надати ірраціональне значення? Як, наприклад, вирахувати? Цього ми поки що не знаємо.
Математики знайшли вихід із становища; ось як вони міркували.

Відомо що Розглянемо послідовність раціональних чисел - десяткових наближень числа за нестачею:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Зрозуміло, що 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Щоб уникнути подібних повторів, відкинемо ті члени послідовності, які закінчуються цифрою 0.

Тоді отримаємо зростаючу послідовність:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Відповідно зростає і послідовність

Усі члени цієї послідовності - позитивні числа, менші, ніж 22, тобто. ця послідовність - обмежена. А по теоремі Вейєрштраса (див. § 30), якщо послідовність зростає і обмежена, вона сходиться. Крім того, з § 30 нам відомо, що якщо послідовність сходиться, то лише до однієї межі. Цю єдину межу домовилися вважати значенням числового виразу. І неважливо, що знайти навіть приближене значення числового виразу 2 дуже важко; важливо, що це - конкретне число (врешті-решт ми ж не боялися говорити, що, наприклад, - корінь раціонального рівняння, корінь тригонометричного рівняння, не особливо замислюючись над тим, а що це саме за числа:
Отже, ми з'ясували, який сенс вкладають математики у символ 2^. Аналогічно можна визначити, що таке і взагалі, що таке а a де а - ірраціональне число і а > 1.
А як бути у випадку, коли 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Тепер ми можемо говорити не тільки про ступеня з довільними раціональними показниками, а й про ступеня з довільними дійсними показниками. Доведено, що ступеня з будь-якими дійсними показниками мають всі звичні властивості ступенів: при множенні ступенів з однаковими основами показники складаються, при розподілі - віднімаються, при зведенні ступеня в ступінь - перемножуються і т.д. Але найголовніше, що тепер ми можемо говорити про функцію у-ах, визначену на багатьох всіх дійсних чисел.
Повернемося до функції у = 2 х, збудуємо її графік. І тому складемо таблицю значень функції у=2 x:

Зазначимо точки на координатної площини(Мал. 194), вони намічають деяку лінію, проведемо її (Мал. 195).

Властивості функції у - 2 х:
1)
2) не є ні парною, ні непарною; 248
3) зростає;

5) немає ні найбільшого, ні найменшого значень;
6) безперервна;
7)
8) випукла вниз.

Суворі докази перерахованих властивостей функції у-2х наводять у курсі вищої математики. Частина цих властивостей ми тією чи іншою мірою обговорили раніше, частина їх наочно демонструє побудований графік (див. рис. 195). Наприклад, відсутність парності або непарності функції геометрично пов'язана з відсутністю симетрії графіка відповідно щодо осі або щодо початку координат.

Аналогічні властивості має будь-яка функція виду у = а х, де а > 1. На рис. 196 в одній системі координат побудовані, графіки функцій у = 2х, у = 3х, у = 5х.

Розглянемо тепер функцію , складемо нею таблицю значень:

Зазначимо точки на координатній площині (рис. 197), вони намічають деяку лінію, проведемо її (рис. 198).

Властивості функції

1)
2) не є ні парною, ні непарною;
3) зменшується;
4) не обмежена згори, обмежена знизу;
5) немає ні найбільшого, ні найменшого значень;
6) безперервна;
7)
8) випукла вниз.
Аналогічними властивостями має будь-яка функція виду у = а х, де<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Зверніть увагу: графіки функцій тобто. у=2 х, симетричні щодо осі у (рис. 201). Це - наслідок загального затвердження (див. § 13): графіки функцій у = f(х) та у = f(-х) симетричні щодо осі у. Аналогічно будуть симетричні щодо осі у графіки функцій у = 3 х

Підсумовуючи сказане, дамо визначення показової функції і виділимо найважливіші її характеристики.

Визначення.Функцію виду називають показовою функцією.
Основні властивості показової функції у = x

Графік функції у = х для а> 1 зображено на рис. 201, а для 0<а < 1 - на рис. 202.

Криву, зображену на рис. 201 або 202 називають експонентою. Насправді математики експонентою зазвичай. називають саму показову функцію у = а х. Отже термін " експонента " використовується у двох сенсах: і найменування показової функції, й у назви графіка показової функції. Зазвичай за змістом буває ясно, йдеться про показову функцію або її графік.

Зверніть увагу на геометричну особливість графіка показової функції у = ах: вісь х є горизонтальною асимптотою графіка. Щоправда, зазвичай це твердження уточнюють в такий спосіб.
Вісь х є горизонтальною асимптотою графіка функції

Іншими словами

Перше важливе зауваження. Школярі часто плутають терміни: статечна функція, показова функція. Порівняйте:

Це приклади статечних функцій;

- Це приклади показових функцій.

Взагалі, у = х г, де г - конкретне число, - статечна функція (аргумент х міститься на підставі ступеня);
у = а", де а - конкретне число (позитивне та відмінне від 1), - показова функція (аргумент х міститься в показнику ступеня).

Атаку «екзотичну» функцію, як у = х", не вважають ні показовою, ні статечною (її іноді називають показово-статечною).

Друге важливе зауваження. Зазвичай не розглядають показову функцію з основою а = 1 або з основою а, що задовольняє нерівність а<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0і а Справа в тому, що якщо а = 1, то для будь-якого значення х виконується рівність Iх = 1. Таким чином, показова функція у = а" при а = 1 "вироджується" в постійну функцію у = 1 - це нецікаво. а = 0, то 0х = 0 для будь-якого позитивного значення х, тобто ми отримуємо функцію у = 0, визначену при х > 0, - це теж нецікаво.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Перш ніж переходити до рішення прикладів, зауважимо, що показова функція суттєво відрізняється від усіх функцій, які ви вивчали досі. Щоб ґрунтовно вивчити новий об'єкт, треба розглянути його з різних сторін, у різних ситуаціях, тому прикладів буде багато.
приклад 1.

Рішення, а) Побудувавши в одній системі координат графіки функцій у = 2 х та у = 1, помічаємо (рис. 203), що вони мають одну загальну точку (0; 1). Отже, рівняння 2х = 1 має єдине коріння х =0.

Отже, із рівняння 2х = 2° ми отримали х = 0.

б) Побудувавши в одній системі координат графіки функцій у = 2 х та у = 4, помічаємо (рис. 203), що вони мають одну загальну точку (2; 4). Значить, рівняння 2х = 4 має єдиний корінь x = 2.

Отже, з рівняння 2 х = 22 ми отримали х = 2.

в) і г) Виходячи з тих же міркувань, робимо висновок, що рівняння 2 х = 8 має єдиний корінь, причому для відшукання графіки відповідних функцій можна і не будувати;

ясно, що х=3, оскільки 23=8. Аналогічно знаходимо єдиний корінь рівняння

Отже, з рівняння 2х = 23 ми отримали х = 3, а з рівняння 2х = 2x ми отримали х = -4.
д) Графік функції у = 2 х розташований вище за графік функції у = 1 при x >0 - це добре читається за рис. 203. Отже, розв'язанням нерівності 2х > 1 є проміжок
е) Графік функції у = 2 x розташований нижче за графік функції у = 4 при х<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Ви помітили, напевно, що в основі всіх висновків, зроблених за рішенням прикладу 1, лежала властивість монотонності (зростання) функції у = 2 х. Аналогічні міркування дозволяють переконатися у справедливості наступних двох теорем.

Рішення.Можна діяти так: побудувати графік функції у-3 х, потім здійснити розтяг від осі х з коефіцієнтом 3, а потім отриманий графік підняти вгору на 2 одиниці масштабу. Але зручніше користуватися тим, що 3- 3* =3 *+1, і, отже, будувати графік функції у=З х*1 + 2.

Перейдемо, як неодноразово вже робили у таких випадках, до допоміжної системи координат з початком у точці (-1; 2) – пунктирні прямі х = – 1 та 1x = 2 на рис. 207. «Прив'яжемо» функцію у=3* до нової системи координат. Для цього виберемо контрольні точки для функції , але будувати їх будемо не в старій, а в новій системі координат (ці точки відзначені на рис. 207). Потім по точках побудуємо експоненту - це буде необхідний графік (див. рис. 207).
Щоб знайти найбільше та найменше значення заданої функції на відрізку [-2, 2], скористаємося тим, що задана функція зростає, а тому свої найменше та найбільше значення вона набуває відповідно у лівому та правому кінцях відрізка.
Отже:

приклад 4.Розв'язати рівняння та нерівності:

Рішення, а) Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = 5 * і у = 6-х (рис. 208). Вони перетинаються лише у точці; судячи з креслення, це - точка (1; 5). Перевірка показує, що насправді точка (1; 5) задовольняє і рівняння у = 5 *, і рівняння у = 6-х. Абсцис цієї точки служить єдиним коренем заданого рівняння.

Отже, рівняння 5 х = 6 х має єдиний корінь х = 1.

б) і в) Експонента у-5х лежить вище за пряму у=6-х, якщо х>1, - це добре видно на рис. 208. Отже, розв'язання нерівності5*>6-х можна записати так: х>1. А розв'язання нерівності 5х<6 - х можно записать так: х < 1.
Відповідь: а) х = 1; б) х> 1; в) х<1.

Приклад 5.Дана функція Довести, що
Рішення.За умовою Маємо.

Концентрація уваги:

Визначення. Функція виду називається показовою функцією .

Зауваження. Виняток із значень основи aчисел 0; 1 та негативних значень aпояснюється такими обставинами:

Сам аналітичний вираз a xу зазначених випадках зберігає сенс і може зустрічатися у вирішенні завдань. Наприклад, для вираження x yкрапка x = 1; y = 1 входить у область допустимих значень.

Побудувати графіки функцій: і .



Графік показової функції
y = a x, a > 1	y = a x , 0< a < 1

Властивості показової функції

Властивості показової функції	y = a x, a > 1	y = a x , 0< a < 1
Область визначення функції
2. Область значень функції
3.Проміжки порівняння з одиницею	при x> 0, a x > 1	при x > 0, 0< a x < 1
	при x < 0, 0< a x < 1	при x < 0, a x > 1
4. парність, непарність.	Функція не є ні парною, ні непарною (функція загального вигляду).
5.Монотонність.	монотонно зростає на R	монотонно зменшується на R
6. Екстремуми.	Показова функція екстремумів немає.
7.Асимптота	Вісь O xє горизонтальною асимптотою.
8. За будь-яких дійсних значень xі y;

Коли заповнюється таблиця, паралельно із заповненням вирішуються завдання.

Завдання № 1. (Для знаходження області визначення функції).

Які значення аргументу є допустимими для функцій:

Завдання № 2. (Для знаходження області значень функції).

На малюнку зображено графік функції. Вкажіть область визначення та область значень функції:

Завдання № 3. (Для вказівки проміжків порівняння з одиницею).

Кожен з наступних ступенів порівняйте з одиницею:

Завдання № 4. (Для дослідження функції на монотонність).

Порівняти за величиною дійсні числа mі nякщо:

Завдання № 5. (Для дослідження функції на монотонність).

Зробіть висновок щодо основи a, якщо:

y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4 x

Як розташовуються графіки показових функцій щодо один одного при x > 0 x = 0 x< 0?

В одній координатній площині побудовано графіки функцій:

y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x .

Як розташовуються графіки показових функцій щодо один одного при x > 0 x = 0 x< 0?

Число одна з найважливіших постійних у математиці. За визначенням, воно дорівнює межі послідовності при необмеженому зростанні n . Позначення eввів Леонард Ейлер в 1736 р. він обчислив перші 23 знаки цього числа в десяткового запису, А саме число назвали на честь Непера «неперовим числом».

Число eвідіграє особливу роль у математичний аналіз. Показова функція з основою e, називається експонентою і позначається y = e x.

Перші знаки числа eзапам'ятати нескладно: два, кома, сім, рік народження Льва Толстого - два рази, сорок п'ять, дев'яносто, сорок п'ять.

Домашнє завдання:

Колмогорів п. 35; №445-447; 451; 453.

Повторити алгоритм побудови графіків функцій, які містять змінну під знаком модуля.

ПОКАЗНА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ VIII

§ 179 Основні властивості показової функції

У цьому параграфі ми вивчимо основні властивостіпоказової функції

у = а x (1)

Нагадаємо, що під а у формулі (1) ми маємо на увазі будь-яке фіксоване позитивне число, відмінне від 1.

Властивість 1. Область визначення показової функції є сукупність всіх дійсних чисел.

Справді, за позитивного а вираз а x визначено для будь-кого дійсного числа х .

Властивість 2. Показова функція набуває лише позитивних значень.

Справді, якщо х > 0, те, як було доведено у § 176,

а x > 0.

Якщо ж х <. 0, то

а x =

де - х вже більше за нуль. Тому а - x > 0. Але тоді й

а x = > 0.

Нарешті, при х = 0

а x = 1.

2-ге властивість показової функції має просте графічне тлумачення. Воно полягає в тому, що графік цієї функції (рис. 246 і 247) розташовується повністю вище осі абсцис.

Властивість 3. Якщо а >1, то при х > 0 а x > 1, а при х < 0 а x < 1. Якщо ж а < 1, то, навпаки, при х > 0 а x < 1, а при х < 0 а x > 1.

Ця властивість показової функції також припускає просту геометричну інтерпретацію. При а > 1 (рис. 246) криві у = а x розташовуються вище прямої у = 1 при х > 0 і нижче за пряму у = 1 при х < 0.

Якщо ж а < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые у = а x розташовуються нижче прямої у = 1 при х > 0 і вище цієї прямої при х < 0.

Наведемо суворий доказ 3-го якості. Нехай а > 1 та х - Довільне позитивне число. Покажемо, що

а x > 1.

Якщо число х раціонально ( х = m / n ) , то а x = а m / n = n √a m .

Оскільки а > 1, то й а m > 1, Але корінь у складі, більшої одиниці, очевидно, також більше 1.

Якщо х ірраціонально, тобто позитивні раціональні числа х" і х" , які є десятковими наближеннями числа x :

х"< х < х" .

Але тоді за визначенням ступеня з ірраціональним показником

а x" < а x < а x"" .

Як показано вище, число а x" більше одиниці. Тому і число а x більше, ніж а x" , також має бути більше 1,

Отже, ми показали, що за a >1 і довільному позитивному х

а x > 1.

Якби число х було негативним, то ми мали б

а x =

де число - х було б позитивним. Тому а - x > 1. Отже,

а x = < 1.

Таким чином, при а > 1 і довільному негативному x

а x < 1.

Випадок, коли 0< а < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Властивість 4. Якщо х = 0, то незалежно від а а x =1.

Це випливає із визначення нульового ступеня; нульова ступінь будь-якого числа, відмінного від нуля, дорівнює 1. Графічно це властивість виявляється у тому, що з будь-якому а крива у = а x (див. рис. 246 та 247) перетинає вісь у у точці з ординатою 1.

Властивість 5. При а >1 показова функція у = а x є монотонно зростаючою, а при < 1 - монотонно спадаючою.

Ця властивість також припускає просту геометричну інтерпретацію.

При а > 1 (рис. 246) крива у = а x зі зростанням х піднімається все вище і вище, а при а < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Наведемо суворий доказ 5-го властивості.

Нехай а > 1 та х 2 > х 1 . Покажемо, що

а x 2 > а x 1

Оскільки х 2 > х 1 ., то х 2 = х 1 + d , де d - деяке позитивне число. Тому

а x 2 - а x 1 = а x 1 + d - а x 1 = а x 1 (а d - 1)

За 2-ою властивістю показової функції а x 1 > 0. Оскільки d > 0, то з 3-го властивості показової функції а d > 1. Обидва множники у творі а x 1 (а d - 1) позитивні, тому саме цей твір позитивно. Значить, а x 2 - а x 1 > 0, або а x 2 > а x 1 , що потрібно було довести.

Отже, за a > 1 функція у = а x є монотонно зростаючою. Аналогічно доводиться, що за а < 1 функция у = а x є монотонно спадаючою.

Слідство. Якщо два ступеня однієї й тієї ж позитивного числа, відмінного від 1, рівні, то рівні та його показники.

Іншими словами, якщо

а b = а c (а > 0 та а =/= 1),

b = с .

Справді, якби числа b і з були не рівні, то через монотонність функції у = а x більшому з них відповідало б при а >1 більше, а при а < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или а b > а c , або а b < а c . І те й інше суперечить умові а b = а c . Залишається визнати, що b = с .

Властивість 6. Якщо а > 1, то при необмеженому зростанні аргументу х (х -> ∞ ) значення функції у = а x також необмежено зростають (у -> ∞ ). При необмеженому спаданні аргументу х (х -> -∞ ) значення цієї функції прагнуть нуля, залишаючись у своїй позитивними (у->0; у > 0).

Беручи до уваги доведену вище монотонність функції у = а x , можна сказати, що в даному випадку функція у = а x монотонно зростає від 0 до ∞ .

Якщо 0 <а < 1, то при необмеженому зростанні аргументу х (х -> ∞) значення функції у = а x прагнуть нуля, залишаючись при цьому позитивними (у->0; у > 0). При необмеженому спаданні аргументу х (х -> -∞ ) значення цієї функції необмежено зростають (у -> ∞ ).

В силу монотонності функції у = а x можна сказати, що в цьому випадку функція у = а x монотонно убуває від ∞ до 0.

6-те властивість показової функції наочно відбито на малюнках 246 і 247. Строго доводити його ми будемо.

Нам залишилося лише встановити область зміни показової функції у = а x (а > 0, а =/= 1).

Вище ми довели, що функція у = а x набуває тільки позитивних значень і або монотонно зростає від 0 до ∞ (при а > 1), або монотонно убуває від ∞ до 0 (при 0< а <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция у = а x при своїй зміні якихось стрибків? Чи будь-які позитивні значення вона набуває? Питання це вирішується позитивно. Якщо а > 0 та а =/= 1, то, яке б не було позитивне число у 0 обов'язково знайдеться х 0 , таке, що

а x 0 = у 0 .

(В силу монотонності функції у = а x вказане значення х 0 буде, звичайно, єдиним.)

Доказ цього факту виходить за межі нашої програми. Геометрична інтерпретаціяйого полягає в тому, що за будь-якого позитивне значення у 0 графік функції у = а x обов'язково перетнеться з прямою у = у 0 і до того лише в одній точці (рис. 248).