Вирішення статечних рівнянь з різними основами. Показові рівняння

На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб бути в курсі всіх нових уроків відео.

Для початку згадаємо основні формули ступенів та їх властивості.

Добуток числа aсаме на себе відбувається n разів, цей вираз ми можемо записати як a a … a = a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Ступінні чи показові рівняння– це рівняння у яких змінні перебувають у ступенях (чи показниках), а основою є число.

Приклади показових рівнянь:

У даному прикладічисло 6 є основою воно завжди стоїть унизу, а змінна xступенем чи показником.

Наведемо приклади показових рівнянь.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Тепер розберемо, як вирішуються показові рівняння?

Візьмемо просте рівняння:

2 х = 2 3

Такий приклад можна вирішити навіть у думці. Видно, що x = 3. Адже щоб ліва і права частина дорівнювали потрібно замість x поставити число 3.
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:

2 х = 2 3
х = 3

Для того щоб вирішити таке рівняння, ми прибрали однакові підстави(тобто двійки) і записали те, що залишилося, це ступеня. Отримали відповідь.

Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення.

Алгоритм розв'язання показового рівняння:
1. Потрібно перевірити однаковічи підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові, шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємоступеня і вирішуємо отримане нове рівняння.

Тепер вирішуємо кілька прикладів:

Почнемо із простого.

Підстави в лівій і правій частині дорівнюють числу 2, отже ми можемо підставу відкинути і прирівняти їх ступеня.

x+2=4 Вийшло найпростіше рівняння.
x = 4 - 2
x=2
Відповідь: x=2

У наступний прикладвидно, що різні підстави це 3 і 9.

3 3х - 9 х +8 = 0

Для початку переносимо дев'ятку праворуч, отримуємо:

Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 = 3 2 . Скористаємося формулою ступенів (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х+8

Отримаємо 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 тепер видно що у лівій і правій стороні основи однакові та рівні трійці, отже ми їх можемо відкинути та прирівняти ступеня.

3x=2x+16 отримали найпростіше рівняння
3x - 2x = 16
x=16
Відповідь: x = 16.

Дивимося такий приклад:

2 2х + 4 - 10 4 х = 2 4

Насамперед дивимося на підстави, підстави різні два та чотири. А нам треба, щоб були однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

І ще використовуємо одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Додаємо до рівняння:

2 2х 2 4 - 10 2 2х = 24

Ми навели приклад до однакових підстав. Але нам заважають інші числа 10 та 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки:

2 2х (2 4 - 10) = 24

Порахуємо вираз у дужках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Усі рівняння ділимо на 6:

Представимо 4 = 2 2:

2 2х = 2 2 основи однакові, відкидаємо їх і прирівнюємо ступеня.
2х = 2 вийшло найпростіше рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х = 1
Відповідь: х = 1.

Розв'яжемо рівняння:

9 х - 12 * 3 х +27 = 0

Перетворюємо:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Отримуємо рівняння:
3 2х - 12 3 х +27 = 0

Підстави у нас однакові рівні трьом. У даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь у два рази (2x) більший, ніж у другої (просто x). У такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенемзамінюємо:

Тоді 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t:

t 2 - 12t + 27 = 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Повертаємось до змінної x.

Беремо t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало бути,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЬ ВИРІШИТИ ставити запитання, що цікавлять, ми Вам обов'язково відповімо.

Вступайте до групи

Приклади:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Як вирішувати показові рівняння

При розв'язанні будь-яке показове рівняння ми прагнемо привести до вигляду \(a^(f(x))=a^(g(x))\), а потім зробити перехід до рівності показників, тобто:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Наприклад:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Важливо! З тієї ж логіки випливають дві вимоги для такого переходу:
- число в ліворуч і праворуч має бути однаковим;
- ступеня ліворуч і праворуч мають бути «чистими»тобто не повинно бути ніяких множень, поділів і т.д.

Наприклад:

Для привиду рівняння до виду (a (f (x)) = a (g (x))) застосовуються і .

приклад . Розв'язати показове рівняння \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Рішення:

У цій статті ви познайомитеся з усіма типами показових рівняньта алгоритмами їх вирішення, навчитеся розпізнавати, до якого типу належить показове рівняння, яке вам потрібно вирішити, та застосовувати для його вирішення відповідний метод. Докладне вирішення прикладів показових рівнянькожного типу ви зможете подивитися у відповідних відеоуроках.

Показовим рівнянням називається рівняння, у якому невідоме міститься у показнику ступеня.

Перш ніж почати вирішувати показове рівняння, корисно зробити кілька попередніх дій , які можуть значно полегшити перебіг його вирішення. Ось ці дії:

1. Розкладіть усі підстави ступенів на прості множники.

2. Коріння подайте у вигляді ступеня.

3. Десяткові дроби подайте у вигляді звичайних.

4. Змішані числазапишіть як неправильних дробів.

Користь цих дій ви усвідомлюєте у процесі розв'язування рівнянь.

Розглянемо основні типи показових рівняньта алгоритми їх вирішення.

1. Рівняння виду

Це рівняння рівносильне рівнянню

Подивіться в цьому ВІДЕОУРОКУ рішення рівняння цього типу.

2. Рівняння виду

У рівняннях цього типу:

б) коефіцієнти при невідомому показнику рівні рівні.

Щоб вирішити це рівняння, потрібно винести за дужку множник якнайменше.

Приклад розв'язання рівняння цього типу:

подивіться у ВІДЕОУРОКУ.

3. Рівняння виду

Рівняння цього відрізняються тим, що

а) всі ступені мають однакові підстави

б) коефіцієнти при невідомому показнику ступеня різні.

Рівняння такого типу вирішуються за допомогою заміни змінних. Перш ніж запроваджувати заміну, бажано звільнитися від вільних членів у показнику ступеня. (, , і т.д)

Подивіться у ВІДЕОУРОКУ рішення рівняння цього типу:

4. Однорідні рівняннявиду

Відмінні ознаки однорідних рівнянь:

а) всі одночлени мають однаковий ступінь,

б) вільний член дорівнює нулю,

в) у рівнянні присутні ступеня з двома різними основами.

Однорідні рівняння вирішуються за подібним алгоритмом.

Щоб вирішити рівняння такого типу, розділимо обидві частини рівняння на (можна розділити на або на )

Увага!При розподілі правої та лівої частини рівняння на вираз, що містить невідоме, можна втратити коріння. Тому необхідно перевірити, чи не є коріння того виразу, на яке ми ділимо обидві частини рівняння, корінням вихідного рівняння.

У нашому випадку, оскільки вираз не дорівнює нулю за жодних значень невідомого, ми можемо ділити на нього без побоювання. Розділимо ліву частинурівняння цього вираз почленно. Отримаємо:

Скоротимо чисельник і знаменник другого та третього дробу:

Введемо заміну:

Причому title="t>0"">при всех !} допустимих значенняхневідомого.

Отримаємо квадратне рівняння:

Розв'яжемо квадратне рівняння, знайдемо значення, які задовольняють умові title="t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Дивіться у ВІДЕОУРОКУ докладне рішенняоднорідного рівняння:

При вирішенні цього рівняння виходитимемо з того, що title="f(x)>0"">!}

Вихідна рівність виконується у двох випадках:

1. Якщо , оскільки 1 будь-якою мірою дорівнює 1,

2. При виконанні двох умов:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0)))" ( )">!}

Подивіться у ВІДЕОУРОКУ докладне рішення рівняння

Що таке показове рівняння? приклади.

Отже, показове рівняння… Новий унікальний експонат на нашій спільній виставці найрізноманітніших рівнянь!) Як це майже завжди буває, ключовим словом будь-якого нового математичного термінає відповідне прикметник, що його характеризує. Так і тут. Ключовим словому терміні «показове рівняння» є слово «показове». Що воно значить? Це слово означає, що невідоме (ікс) знаходиться у показниках будь-яких ступенів.І лише там! Це дуже важливо.

Наприклад, такі прості рівняння:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 · 2 2 x -17 · 2 x +4 = 0

Або навіть такі монстри:

2 sin x = 0,5

Прошу відразу звернути увагу на одну важливу річ: підставахступенів (знизу) – тільки числа. А ось у показникахступенів (згори) – найрізноманітніші вирази з іксом. Цілком будь-які.) Все від конкретного рівняння залежить. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс де ще, крім показника (скажімо, 3 x = 18+x 2), то таке рівняння буде вже рівнянням змішаного типу . Такі рівняння немає чітких правил решения. Тому в даному уроціми їх не розглядатимемо. На радість учням.) Тут ми розглядатимемо лише показові рівняння у «чистому» вигляді.

Загалом кажучи, навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не всі і не завжди. Але серед усього багатого різноманіття показових рівнянь є певні типи, які можна вирішувати і потрібно. Ось саме ці типи рівнянь ми з вами розглянемо. І приклади обов'язково вирішуємо.) Так що влаштовуємося зручніше і в дорогу! Як і в комп'ютерних «стрілялках», наша подорож проходитиме за рівнями.) Від елементарної до простої, від простої – до середньої та від середньої – до складної. По дорозі на вас також чекатиме секретний рівень – прийоми та методи вирішення нестандартних прикладів. Ті, про які ви не прочитаєте здебільшого шкільних підручників… Ну, а наприкінці вас, зрозуміло, чекає фінальний бос у вигляді хати.

Що таке найпростіше показове рівняння? Вирішення найпростіших показових рівнянь.

Для початку розглянемо якусь відверту елементарщину. З чого ж треба починати, вірно? Наприклад, таке рівняння:

2 х = 2 2

Навіть без будь-яких теорій, за простою логікою і здоровому глуздуясно, що х = 2. Інакше ж ніяк, правда? Ніяке інше значення ікса не годиться ... А тепер звернемо наш погляд на запис рішенняцього крутого показового рівняння:

2 х = 2 2

Х = 2

Що ж у нас сталося? А сталося таке. Ми фактично взяли і… просто викинули однакові підстави (двійки)! Зовсім викинули. І що радує, потрапили в яблучко!

Так, дійсно, якщо в показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в будь-яких ступенях, то ці числа можна відкинути і просто прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє.) І далі можна працювати вже окремо з показниками і вирішувати куди простіше рівняння. Здорово, правда?

Ось і ключова ідеярішення будь-якого (так-так, саме будь-якого!) показового рівняння: за допомогою тотожних перетвореньнеобхідно домогтися того, щоб ліворуч і праворуч у рівнянні стояли однакові числа-підстави в різних ступенях. А далі можна сміливо прибрати однакові підстави та прирівняти показники ступенів. І працювати з більш простим рівнянням.

А тепер запам'ятовуємо залізне правило: прибирати однакові підстави можна тоді і тільки тоді, коли в рівнянні зліва та праворуч числа-основи стоять у гордій самотності.

Що означає, у гордій самоті? Це означає, без усіляких сусідів та коефіцієнтів. Пояснюю.

Наприклад, у рівнянні

3·3 x-5 = 3 2 x +1

Трійки прибирати не можна! Чому? Тому що ліворуч у нас стоїть не просто одинока трійка, а твір 3·3 x-5. Зайва трійка заважає: коефіцієнт, розумієш.

Те саме можна сказати і про рівняння

5 3 x = 5 2 x +5 x

Тут також всі підстави однакові – п'ятірка. Але праворуч у нас не одинокий ступінь п'ятірки: там – сума ступенів!

Коротше кажучи, прибирати однакові підстави маємо право лише тоді, коли наше показове рівняння виглядає так і тільки так:

af (x) = a g (x)

Такий вид показового рівняння називають найпростішим. Або, по-науковому, канонічним . І яке б навкручене рівняння перед нами не було, ми його, так чи інакше, зводитимемо саме до такого найпростішого (канонічного) вигляду. Або, в деяких випадках, до сукупностірівнянь такого виду. Тоді наше найпростіше рівняння можна загалом переписати ось так:

F(x) = g(x)

І все. Це буде еквівалентне перетворення. При цьому як f(x) і g(x) можуть стояти абсолютно будь-які вирази з іксом. Які завгодно.

Можливо, особливо допитливий учень поцікавиться: а з якої такої статі ми ось так легко і просто відкидаємо однакові підстави зліва і праворуч і прирівнюємо показники ступенів? Інтуїція інтуїцією, але раптом, у якомусь рівнянні та для якоїсь підстави даний підхідвиявиться невірним? Чи завжди законно викидати однакові підстави?На жаль, для суворої математичної відповіді на цей цікаве питанняпотрібно досить глибоко і серйозно занурюватися в загальну теоріюпристрої та поведінки функцій. А трохи конкретніше – явище Суворої монотонності.Зокрема, суворої монотонності показової функції y= a x. Оскільки саме показова функція та її властивості лежать в основі розв'язання показових рівнянь, так.) Розгорнуту відповідь на це питання буде дано в окремому спецуроці, присвяченому розв'язанню складних нестандартних рівнянь з використанням монотонності різних функцій.

Пояснювати докладно цей момент зараз - це лише виносити мозок середньостатистичного школяра і відлякувати його раніше сухою і важкою теорією. Я цього робити не буду.) Бо наша основна на Наразізавдання – навчитися розв'язувати показові рівняння!Найпростіші! Тому – поки не паримось і сміливо викидаємо однакові підстави. Це можна, можливо, повірте мені слово!) А далі вже вирішуємо еквівалентне рівняння f(x) = g(x). Як правило, простіше, ніж вихідне показове.

Передбачається, звичайно ж, що вирішувати хоча б, і рівняння, вже без іксів у показниках, народ на даний момент вже вміє. Інакше несолодко вам доведеться, так...

Я мовчу про ірраціональні, тригонометричні та інші звірячі рівняння, які також можуть спливти в процесі ліквідації підстав. Але не лякайтеся, відверту бляху в показниках ступенів ми з вами поки що розглядати не будемо: рано ще. Тренуватимемося лише на найпростіших рівняннях.)

Тепер розглянемо рівняння, які потребують деяких додаткових зусиль, щоб звести їх до найпростіших. Для відмінності назвемо їх простими показовими рівняннями. Отже, рухаємось на наступний рівень!

Рівень 1. Прості показові рівняння. Розпізнаємо ступені! Натуральні показники.

Ключовими правилами у вирішенні будь-яких показових рівнянь є правила дій зі ступенями. Без цих знань та вмінь нічого не вийде. На жаль. Так що якщо зі ступенями проблеми, то для початку милості прошу. Крім того, ще нам знадобляться. Ці перетворення (цілі два!) – основа розв'язання всіх рівнянь математики взагалі. І не лише показових. Так що, хто забув, теж прогуляйтеся посиланням: я їх не просто так ставлю.

Але одних лише дій зі ступенями та тотожних перетворень мало. Необхідна ще особиста спостережливість і кмітливість. Адже нам потрібні однакові підстави, чи не так? Ось і оглядаємо приклад і шукаємо їх у явному чи замаскованому вигляді!

Наприклад, таке рівняння:

3 2 x - 27 x +2 = 0

Перший погляд на основи. Вони різні! Трійка та двадцять сім. Але панікувати і впадати у відчай рано. Саме час згадати, що

27 = 3 3

Числа 3 і 27 – родички за рівнем! Причому близькі.) Отже, маємо повне правозаписати:

27 x +2 = (3 3) x+2

А ось тепер підключаємо наші знання про діях зі ступенями(А я попереджав!). Є там така дуже корисна формулка:

(a m) n = a mn

Якщо тепер запустити її в хід, то взагалі добре виходить:

27 x +2 = (3 3) x +2 = 3 3 (x +2)

Вихідний приклад тепер виглядає так:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Добре, підстави ступенів вирівнялися. Чого ми й домагалися. Полдела сделано.) А ось тепер запускаємо в хід базове тотожне перетворення - переносимо 3 3 (x +2) праворуч. Елементарні діїматематики ніхто не скасовував, так.) Отримуємо:

3 2 x = 3 3(x +2)

Що нам дає такий вид рівняння? А те, що тепер наше рівняння зведене до канонічного вигляду: зліва та справа однакові числа(трійки) у ступенях. Причому обидві трійки - у гордій самоті. Сміливо прибираємо трійки та отримуємо:

2х = 3(х+2)

Вирішуємо це і отримуємо:

X = -6

Ось і всі справи. Це правильна відповідь.)

А тепер осмислюємо перебіг рішення. Що нас урятувало у цьому прикладі? Нас врятувало знання ступенів трійки. Як саме? Ми упізналисеред 27 зашифровану трійку! Цей приймач (шифрування однієї і тієї ж підстави під різними числами) – один із найпопулярніших у показових рівняннях! Якщо тільки не найпопулярніший. Та й теж, до речі. Саме тому в показових рівняннях така важлива спостережливість і вміння розпізнавати в числах ступеня інших чисел!

Практична порада:

Ступені популярних чисел треба знати. В обличчя!

Звичайно, звести двійку на сьому ступінь або трійку на п'яту може кожен. Не в умі, то хоча б на чернетці. Але в показових рівняннях набагато частіше треба не зводити в ступінь, а навпаки - дізнаватися, яке число і в якій мірі ховається за числом, скажімо, 128 або 243. А це вже складніше, ніж просте зведення, погодьтеся. Відчуйте різницю, що називається!

Оскільки вміння розпізнавати ступені в обличчя стане в нагоді не тільки на цьому рівні, а й на наступних, ось вам невелике завдання:

Визначити, якими ступенями та яких чисел є числа:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Відповіді (вразки, звичайно):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Так Так! Не дивуйтеся, що відповідей більше, ніж завдань. Наприклад, 2 8 , 4 4 та 16 2 – це все 256.

Рівень 2. Прості показові рівняння. Розпізнаємо ступені! Негативні та дробові показники.

На цьому рівні ми вже використовуємо наші знання про ступені на повну котушку. А саме – залучаємо до цього захоплюючого процесу негативні та дробові показники! Так Так! Нам же треба нарощувати міць, правда?

Наприклад, таке страшне рівняння:

Знову перший погляд – на підставі. Підстави – різні! Причому цього разу навіть далеко не схожі другна друга! 5 та 0,04… А для ліквідації підстав потрібні однакові… Що ж робити?

Нічого страшного! Насправді все те саме, просто зв'язок між п'ятіркою і 0,04 візуально проглядається погано. Як викрутимося? А перейдемо в числі 0,04 до звичайного дробу! А там, дивишся, все й утворюється.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ух ти! Виявляється, 0,04 – це 1/25! Ну хто б міг подумати!

Ну як? Тепер зв'язок між числами 5 та 1/25 легше побачити? Ось те й воно…

А тепер уже за правилами дій зі ступенями з негативним показникомможна твердою рукою записати:

От і відмінно. Ось ми й дісталися однакової підстави – п'ятірки. Замінюємо тепер у рівнянні незручне нам число 0,04 на 5 -2 і отримуємо:

Знову ж таки, за правилами дій зі ступенями, тепер можна записати:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Про всяк випадок, нагадую (раптом, хто не в курсі), що базові правиладій зі ступенями справедливі для будь-якихпоказників! У тому числі й для негативних.) Тож сміливо беремо і перемножуємо показники (-2) та (х-1) за відповідним правилом. Наше рівняння стає все кращим і кращим:

Всі! Окрім одиноких п'ятірок у ступенях ліворуч і праворуч більше нічого немає. Рівняння зведено до канонічного вигляду. А далі – по накатаній колії. Забираємо п'ятірки та прирівнюємо показники:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Приклад практично вирішено. Залишилась елементарна математикасередніх класів – розкриваємо (правильно!) дужки та збираємо все зліва:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Вирішуємо це і отримуємо два корені:

x 1 = 1; x 2 = 3

От і все.)

А тепер знову поміркуємо. У цьому прикладі нам знову довелося розпізнати одне й те саме число різною мірою! А саме - побачити серед 0,04 зашифровану п'ятірку. Причому цього разу – у негативного ступеня!Як нам це вдалося? З ходу – ніяк. А ось після переходу від десяткового дробу 0,04 до звичайного дробу 1/25 все і висвітилося! І далі все рішення пішло як по маслу.

Тому чергова зелена практична порада.

Якщо в показовому рівнянні є десяткові дроби, то переходимо від десяткових дробів до звичайних. У звичайних дробахнабагато простіше розпізнати ступені багатьох популярних чисел! Після розпізнавання переходимо від дробів до ступенів із негативними показниками.

Майте на увазі, що такий фінт у показових рівняннях зустрічається дуже часто! А людина не в темі. Дивиться він, наприклад, числа 32 і 0,125 і засмучується. Невідомо йому, що це одна і та ж двійка, тільки в різних ступенях… Але ж ви вже в темі!)

Вирішити рівняння:

О! Зовнішність оманлива. Це найпростіше показове рівняння, незважаючи на його жахливий зовнішній вигляд. І зараз я вам це покажу.)

По-перше, розуміємося з усіма чиселами, що сидять в підставах та в коефіцієнтах. Вони, певна річ, різні, так. Але ми все ж таки ризикнемо і спробуємо зробити їх однаковими! Спробуємо дістатися до одного і того ж числа у різних ступенях. Причому, бажано, числа найменшого. Отже, починаємо розшифровку!

Ну, з четвіркою відразу все ясно – це 2 2 . Так, уже дещо.)

З дробом 0,25 – поки що незрозуміло. Перевіряти треба. Використовуємо практичну пораду – переходимо від десяткового дробу до звичайного:

0,25 = 25/100 = 1/4

Вже набагато краще. Бо тепер виразно видно, що 1/4 – це 2 -2 . Відмінно, і число 0,25 теж споріднено з двійкою.)

Поки що все йде добре. Але залишилося найгірше з усіх – корінь квадратний із двох!А із цим перцем що робити? Чи можна його також подати як ступінь двійки? А хто ж його знає?

Що ж, знову ліземо до нашої скарбниці знань про ступені! На цей раз додатково підключаємо наші знання про коріння. З курсу 9-го класу ми з вами мали винести, що будь-який корінь, за бажання, завжди можна перетворити на ступінь з дрібним показником.

Ось так:

У нашому випадку:

ВО як! Виявляється, корінь квадратний із двох – це 2 1/2 . Ось воно що!

От і прекрасно! Усі наші незручні числа насправді виявилися зашифрованою двійкою.) Не сперечаюся, десь витончено зашифрованою. Але й ми теж підвищуємо свій професіоналізм у розгадці подібних шифрів! А далі вже все очевидно. Замінюємо в нашому рівнянні числа 4, 0,25 і корінь із двох на ступені двійки:

Всі! Підстави всіх ступенів у прикладі стали однаковими – двійка. А тепер у хід йдуть стандартні дії зі ступенями:

a m ·a n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Для лівої частини вийде:

2 -2 · (2 ​​2) 5 x -16 = 2 -2 +2 (5 x -16)

Для правої частини буде:

І тепер наше зле рівняння стало виглядати так:

Хто не втрутився, як саме вийшло це рівняння, то тут питання не до показових рівнянь. Питання – до дій зі ступенями. Я просив терміново повторити тим, у кого проблеми!

Ось і фінальна пряма! Отримано канонічний виглядпоказового рівняння! Ну як? Переконав я вас, що не так страшно? ;) Забираємо двійки та прирівнюємо показники:

Залишилося лише вирішити це лінійне рівняння. Як? За допомогою тотожних перетворень, звісно.) Дорішайте, чого вже там! Помножуйте обидві частини на двійку (щоб прибрати дріб 3/2), переносіть доданки з іксами вліво, без іксів вправо, наводьте подібні, рахуйте – і буде вам щастя!

Повинно все вийти красиво:

X = 4

А тепер знову осмислюємо перебіг рішення. У цьому прикладі нас врятував перехід від квадратного кореня до ступеня з показником 1/2. І тільки таке хитре перетворення нам допомогло скрізь вийти на однакова основа(двійку), яке і врятувало становище! І, якби не воно, то ми мали всі шанси назавжди зависнути і так і не впоратися з цим прикладом, так…

Тому не нехтуємо черговою практичною порадою:

Якщо в показовому рівнянні є коріння, то переходимо від коренів до ступенів з дробовими показниками. Дуже часто тільки таке перетворення прояснює подальшу ситуацію.

Звичайно ж, негативні та дробові ступені вже набагато складніше натуральних ступенів. Хоча б з погляду візуального сприйняття і, особливо, розпізнавання справа наліво!

Зрозуміло, що безпосередньо звести, наприклад, двійку в ступінь -3 або четвірку в ступінь -3/2 не така вже й велика проблема. Для знаючих.)

А ось іди, наприклад, з ходу зрозумій, що

0,125 = 2 -3

Або

Тут тільки практика та багатий досвід керують, так. І, звичайно ж, чітке уявлення, що таке негативний та дробовий ступінь.А також - практичні поради! Так-так, ті самі зелені.) Сподіваюся, що вони все-таки допоможуть вам краще орієнтуватися у всьому різношерстому різноманітті ступенів і значно збільшать ваші шанси на успіх! Тож не нехтуємо ними. Я не дарма зеленим кольоромпишу іноді.)

Зате, якщо ви станете на «ти» навіть з такими екзотичними ступенями, як негативні та дробові, то ваші можливості у вирішенні показових рівнянь колосально розширяться, і вам вже буде під силу практично будь-який тип показових рівнянь. Ну, якщо не будь-який, то відсотків 80 усіх показових рівнянь – точно! Так-так, я не жартую!

Отже, наша перша частина знайомства із показовими рівняннями підійшла до свого логічного завершення. І, як проміжне тренування, я традиційно пропоную трохи вирішити самостійно.)

Завдання 1.

Щоб мої слова про розшифровку негативних і дробових ступенівне пропали задарма, пропоную зіграти у невелику гру!

Подайте у вигляді ступеня двійки числа:

Відповіді (безладно):

Вийшло? Чудово! Тоді робимо бойове завдання – вирішуємо найпростіші та найпростіші показові рівняння!

Завдання 2.

Вирішити рівняння (всі відповіді – безладно!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Відповіді:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Вийшло? Справді, куди простіше!

Тоді вирішуємо наступну партію:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x ·4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Відповіді:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

І ці приклади однієї лівої? Чудово! Ви ростете! Тоді ось вам на закуску ще приклади:

Відповіді:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

І це вирішено? Що ж, респект! Знімаю капелюх.) Значить, урок пройшов недаремно, і початковий рівеньрішення показових рівнянь вважатимуться успішно освоєним. Попереду – наступні рівні та більше складні рівняння! І нові прийоми та підходи. І нестандартні приклади. І нові сюрпризи.) Все це – у наступному уроці!

Щось не вийшло? Значить, швидше за все, проблеми у . Або в . Або в тому й іншому одразу. Тут я вже безсилий. Можу вкотре запропонувати лише одне – не лінуватися і прогулятися посиланнями.)

Далі буде.)

Показовими називаються рівняння, у яких невідоме міститься у показнику ступеня. Найпростіше показове рівняння має вигляд: а х = а b де а> 0, а 1, х - невідоме.

Основні властивості ступенів, з яких перетворюються показові рівняння: а>0, b>0.

При розв'язанні показових рівнянь користуються також такими властивостями показової функції: y = a x , a > 0, a1:

Для представлення числа як ступеня використовують основне логарифмическое тотожність: b = , a > 0, a1, b > 0.

Завдання та тести на тему "Показові рівняння"

• Показові рівняння

  Уроків: 4 Задань: 21 Тестів: 1

• Показові рівняння - Важливі темидля повторення ЄДІ з математики

  Завдань: 14

• Системи показових та логарифмічних рівнянь - Показова та логарифмічні функції 11 клас

  Уроків: 1 Задань: 15 Тестів: 1

• §2.1. Розв'язання показових рівнянь

  Уроків: 1 Задань: 27

• §7 Показові та логарифмічні рівняння та нерівності - Розділ 5. Показова та логарифмічна функції 10 клас

  Уроків: 1 Задань: 17

Для успішного розв'язання показових рівнянь Ви повинні знати основні властивостіступенів, властивості показової функції, основна логарифмічна тотожність.

При вирішенні показових рівнянь використовують два основні методи:

1. перехід від рівняння a f(x) = a g(x) до рівняння f(x) = g(x);
2. запровадження нових прямих.

приклади.

1. Рівняння, що зводяться до найпростіших. Вирішуються приведенням обох частин рівняння до ступеня з однаковою основою.

3 x = 9 x - 2.

Рішення:

3 x = (3 2) x - 2;
3 x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x = 4.

Відповідь: 4.

2. Рівняння, які вирішуються за допомогою винесення за дужки загального множника.

Рішення:

3 x - 3 x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 × 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x = 3.

Відповідь: 3.

3. Рівняння, які вирішуються за допомогою заміни змінної.

Рішення:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Позначаємо 2 х = у.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4.Рівняння немає рішень, т.к. 2 х > 0.
б) 2 х = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.

Відповідь: log 2 3.

4. Рівняння, що містять ступеня з двома різними (що не зводяться один до одного) підставами.

3 × 2 х + 1 - 2 × 5 х - 2 = 5 х + 2 х - 2.

3× 2 х + 1 – 2 х – 2 = 5 х – 2 × 5 х – 2
2 х - 2 × 23 = 5 х - 2
×23
2 х - 2 = 5 х - 2
(5/2) х-2 = 1
х - 2 = 0
х = 2.

Відповідь: 2.

5. Рівняння, однорідні щодо a x та b x .

Загальний вигляд: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Рішення:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Позначимо (3/2) x = y.
y 2 - 2,5 y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 =?

Відповідь: log 3/2 2; - log 3/2 2.