Лінійно залежні вектори. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори

У цій статті ми розповімо:

• що таке колінеарні вектори;
• які існують умови колінеарності векторів;
• які існують властивості колінеарних векторів;
• що таке лінійна залежність колінеарних векторів

Колінеарні вектори – це вектори, які є паралелями однієї прямої або лежать на одній прямій.

Приклад 1

Умови колінеарності векторів

Два вектори є колінеарними, якщо виконується будь-яка з наступних умов:

• умова 1 . Вектори a і b колінеарні за наявності такого числа λ, що a = b;
• умова 2 . Вектори a і b колінеарні при рівному відношеннікоординат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• умова 3 . Вектори a та b колінеарні за умови рівності векторного твору та нульового вектора:

a b ⇔ a , b = 0

Зауваження 1

Умова 2 не застосовується, якщо одна з координат вектора дорівнює нулю.

Зауваження 2

Умова 3 застосовується лише до тих векторів, які в просторі.

Приклади завдань дослідження коллінеарності векторів

Досліджуємо вектори а = (1; 3) і b = (2; 1) на колінеарність.

Як вирішити?

У даному випадкунеобхідно скористатися 2 умовою коллінеарності. Для заданих векторів воно виглядає так:

Рівність неправильна. Звідси можна дійти невтішного висновку, що вектори a і b неколлинеарны.

Відповідь : a | | b

Приклад 2

Яке значення m вектора a = (1; 2) і b = (- 1; m) необхідне для колінеарності векторів?

Як вирішити?

Використовуючи другу умову коллінераності, вектори будуть колінеарними, якщо їх координати будуть пропорційними:

Звідси видно, що m = -2.

Відповідь: m = -2.

Критерії лінійної залежності та лінійної незалежності систем векторів

Система векторів векторного простору лінійно залежить тільки у тому випадку, коли один із векторів системи можна виразити через інші вектори даної системи.

Доказ

Нехай система e 1, e 2,. . . , n є лінійно залежною. Запишемо лінійну комбінацію цієї системи рівну нульовому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + a n e n = 0

в якій хоча б один із коефіцієнтів комбінації не дорівнює нулю.

Нехай a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, . . . , n.

Ділимо обидві частини рівності на ненульовий коефіцієнт:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (ak - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Позначимо:

Ak - 1 a m , де m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В такому випадку:

β 1 e 1 +. . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 +. . . + β n e n = 0

або e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Звідси випливає, що один із векторів системи виражається через всі інші вектори системи. Що потрібно було довести (ч.т.д.).

Достатність

Нехай один із векторів можна лінійно виразити через решту векторів системи:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносимо вектор e k праву частинуцієї рівності:

0 = γ 1 e 1 +. . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Оскільки коефіцієнт вектора e k дорівнює -1 ≠ 0, у нас виходить нетривіальне уявлення нуля системою векторів e1, e2,. . . , e n , а це, у свою чергу, означає, що дана системавектори лінійно залежні. Що потрібно було довести (ч.т.д.).

Наслідок:

• Система векторів є лінійно незалежною, коли жоден із її векторів не можна виразити через решту векторів системи.
• Система векторів, яка містить нульовий вектор або два рівних вектора, Лінійно залежна.

Властивості лінійно залежних векторів

1. Для 2-х та 3-х мірних векторіввиконується умова: два лінійно залежні вектори - колінеарні. Два колінеарні вектори - лінійно залежні.
2. Для 3-х мірних векторів виконується умова: три лінійно залежні вектори – компланарні. (3 компланарні вектори - лінійно залежні).
3. Для n-вимірних векторів виконується умова: n + 1 вектор завжди лінійно залежні.

Приклади розв'язання задач на лінійну залежність або лінійну незалежність векторів

Перевіримо вектори a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 на лінійну незалежність.

Рішення. Вектори є лінійно залежними, оскільки розмірність векторів менше кількостівекторів.

Приклад 4

Перевіримо вектори a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 на лінійну незалежність.

Рішення. Знаходимо значення коефіцієнтів, при яких лінійна комбінація дорівнюватиме нульовому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записуємо векторне рівнянняу вигляді лінійного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Вирішуємо цю систему за допомогою методу Гауса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

З 2-го рядка віднімаємо 1-й, з 3-го - 1-й:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

З 1-го рядка віднімаємо 2-й, до 3-го додаємо 2-й:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

З рішення випливає, що система має безліч рішень. Це означає, що є ненульова комбінація значення таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , у яких лінійна комбінація a , b , c дорівнює нульовому вектору. Отже, вектори a, b, c є лінійно залежними.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Вектори, їх властивості та дії з ними

Векторні дії з векторами, лінійний векторний простір.

Вектори-упорядкована сукупність кінцевої кількостідійсних чисел.

Дії: 1.Умножение вектора на число: лямда*вектор х=(лямда*х 1 , лямда*х 2 … лямда*х n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2.Складання векторів (належать тому самому векторному простору) вектор х+вектор у = (х 1 +у 1, х 2 +у 2, … х n +у n ,)

3. Вектор 0=(0,0…0)--n E n – n-мірне ( лінійний простір) вектор х + вектор 0 = вектор х

Теорема. Для того, щоб система n векторів, n-мірного лінійного простору була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб один із векторів були лінійною комбінацією іншим.

Теорема. Будь-яка сукупність n+ 1ого вектора n-мірного лінійного простору явл. лінійно залежною.

Додавання векторів, множення векторів на числа. Віднімання векторів.

Сумою двох векторів називається вектор, спрямований з початку вектора в кінець вектора за умови, що початок збігається з кінцем вектора. Якщо вектори задані їх розкладаннями по базисним ортам, при складанні векторів складаються їх відповідні координати.

Розглянемо це з прикладу декартової системи координат. Нехай

Покажемо, що

З малюнка 3 видно, що

Сума будь-якого кінцевого числавекторів може бути знайдена за правилом багатокутника (рис. 4): щоб побудувати суму кінцевого числа векторів, достатньо поєднати початок кожного наступного вектора з кінцем попереднього та побудувати вектор, що з'єднує початок першого вектора з кінцем останнього.

Властивості операції складання векторів:

У цих виразах m, n – числа.

Різницею векторів називають вектор Друге доданок є вектором, протилежним вектору за напрямом, але рівним йому по довжині.

Таким чином, операція віднімання векторів замінюється на операцію складання

Вектор, початок якого знаходиться на початку координат, а кінець - у точці А (x1, y1, z1) називають радіус-вектором точки А і позначають або просто. Оскільки його координати збігаються з координатами точки А, його розкладання по ортам має вигляд

Вектор, що має початок у точці А(x1, y1, z1) та кінець у точці B(x2, y2, z2), може бути записаний у вигляді

де r 2 - радіус-вектор точки; r 1 – радіус-вектор точки А.

Тому розкладання вектора по ортах має вигляд

Його довжина дорівнює відстані між точками А та В

УМНОЖЕННЯ

Так, у разі плоскої задачі добуток вектор на a = (ax; ay) на число b знаходиться за формулою

a · b = (ax · b; ay · b)

Приклад 1. Знайти добуток вектора a = (1; 2) на 3.

3 · a = (3 · 1; 3 · 2) = (3; 6)

Так, у разі просторового завдання добуток вектора a = (ax; ay; az) на число b знаходиться за формулою

a · b = (ax · b; ay · b; az · b)

Приклад 1. Знайти добуток вектора a = (1; 2; -5) на 2.

2 · a = (2 · 1; 2 · 2; 2 · (-5)) = (2; 4; -10)

Скалярний добуток векторів та де - Кут між векторами і; якщо або , то

З визначення скалярного твору випливає, що

де, наприклад, є величина проекції вектора напрям вектора .

Скалярний квадрат вектор:

Властивості скалярного твору:

Скалярний твір у координатах

Якщо то

Кут між векторами

Кут між векторами – кут між напрямками цих векторів (найменший кут).

Векторний витвір(Векторний твір двох векторів)це псевдовектор, перпендикулярна площина, побудованої за двома співмножниками, що є результатом бінарної операції. векторне множеннянад векторами в тривимірному Евклідовому просторі. Твір не є ні коммутативним, ні асоціативним (він є антикомутативним) і відрізняється від скалярного твору векторів. У багатьох завданнях інженерії та фізики потрібно мати можливість будувати вектор, перпендикулярний двом наявним – векторний твір надає цю можливість. Векторний добуток корисний для «вимірювання» перпендикулярності векторів - довжина векторного добутку двох векторів дорівнює добутку їх довжин, якщо вони перпендикулярні, і зменшується до нуля, якщо вектори паралельні або антипаралельні.

Векторний твір визначено лише у тривимірному та семимірному просторах. Результат векторного твору, як і скалярного, залежить від метрики Евклідова простору.

На відміну від формули для обчислення за координатами векторів скалярного твору в тривимірній прямокутній системі координат, формула для векторного твору залежить від орієнтації прямокутної системи координат або інакше її «хіральності»

Колінеарність векторів.

Два ненульові (не рівні 0) вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Допустимо, але не рекомендується синонім - «паралельні» вектори. Колінеарні вектори можуть бути однаково спрямовані («соннаправлені») або протилежно спрямовані ( останньому випадкуїх іноді називають "антиколлінеарними" або "антипаралельними").

Змішане вироблення векторів( a, b, c)- скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів b і c:

(a, b, c) = a ⋅ (b × c)

іноді його називають потрійним скалярним творомвекторів, мабуть через те, що результатом є скаляр (точніше - псевдоскаляр).

Геометричний зміст: Модуль змішаного твору чисельно дорівнює обсягу паралелепіпеда, освіченого векторами(a, b, c) .

Властивості

Змішаний твіркососиметрично по відношенню до всіх своїх аргументів:т. е. перестановка будь-яких двох співмножників змінює знак твору. Звідси випливає, що Змішаний твір у правій декартовій системікоординат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів та:

Змішаний добуток у лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів і взятому зі знаком "мінус":

Зокрема,

Якщо будь-які два вектори паралельні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють змішаний твір, що дорівнює нулю.

Якщо три вектори лінійно залежні (тобто компланарні, лежать у одній площині), їх змішаний твір дорівнює нулю.

Геометричний зміст - Змішаний твір по абсолютного значеннядорівнює обсягу паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами і; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів правою чи лівою.

Компланарність векторів.

Три вектори (або більша кількість) називаються компланарними, якщо вони, будучи наведеними до спільному початкулежать в одній площині

Властивості компланарності

Якщо хоча б один із трьох векторів- нульовий, то три вектори також вважаються компланарними.

Трійка векторів, що містить пару колінеарних векторів, є компланарною.

Змішане твір компланарних векторів. Це критерій компланарності трьох векторів.

Компланарні вектори – лінійно залежні. Це – також критерій компланарності.

У 3-мірному просторі 3 некомпланарні вектори утворюють базис

Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори.

Лінійно залежні та незалежні системи векторів.Визначення. Система векторів називається лінійно залежноюякщо існує хоча б одна нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, що дорівнює нульовому вектору. Інакше, тобто. якщо тільки тривіальна лінійна комбінація даних векторів дорівнює нульовому вектору, вектори називаються лінійно незалежними.

Теорема (критерій лінійної залежності). Для того щоб система векторів лінійного простору була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб, принаймні, один із цих векторів був лінійною комбінацією інших.

1) Якщо серед векторів є хоча б один нульовий вектор, то вся система векторів є лінійно залежною.

Справді, якщо, наприклад, то, вважаючи, маємо нетривіальну лінійну комбінацію.

2) Якщо серед векторів деякі утворюють лінійно залежну систему, і вся система лінійно залежна.

Справді, нехай вектори , лінійно залежні. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація, що дорівнює нульовому вектору. Але тоді, гадаючи отримаємо також нетривіальну лінійну комбінацію , рівну нульовому вектору.

2. Базис та розмірність. Визначення. Система лінійно незалежних векторів векторного простору називається базисомцього простору, якщо будь-який вектор може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів цієї системи, тобто. для кожного вектора є речові числа такі, що має місце рівність Ця рівність називається розкладання вектораза базисом , а числа називаються координатами вектора щодо базису(або у базисі) .

Теорема (про єдиність розкладання за базисом). Кожен вектор простору може бути розкладений за базисом. єдиним чином, тобто. координати кожного вектора у базисі визначаються однозначно.

Лінійна залежність та лінійна незалежність векторів.
Векторні бази. Афінна система координат

В аудиторії знаходиться візок із шоколадками, і кожному відвідувачу сьогодні дістанеться солодка парочка – аналітична геометрія з лінійною алгеброю. У цій статті будуть порушені відразу два розділи вищої математики, і ми подивимося, як вони вживаються в одній обгортці. Зроби паузу, з'їж «Твікс»! …млинець, ну і нісенітниця суперечок. Хоча гаразд, забивати не буду, зрештою, на навчання має бути позитивний настрій.

Лінійна залежність векторів, лінійна незалежність векторів, базис векторівта ін терміни мають не тільки геометричну інтерпретацію, але, перш за все, алгебраїчне значення . Саме поняття «вектор» з погляду лінійної алгебри– це далеко не завжди той «звичайний» вектор, який ми можемо зобразити на площині чи просторі. За доказом далеко не треба ходити, спробуйте намалювати вектор п'ятивимірного простору. . Або вектор погоди, за яким я щойно сходив на Гісметео: – температура та атмосферний тисквідповідно. Приклад, звичайно, некоректний з точки зору властивостей векторного простору, проте ніхто не забороняє формалізувати дані параметри вектором. Дихання осені.

Ні, я не збираюся вантажити вас теорією, лінійними векторними просторами, завдання полягає в тому, щоб зрозумітивизначення та теореми. Нові терміни (лінійна залежність, незалежність, лінійна комбінація, базис і т.д.) придатні до всіх векторів з точки зору алгебри , але приклади будуть дані геометричні. Таким чином, все просто, доступно та наочно. Крім завдань аналітичної геометріїми розглянемо і деякі типові завданняалгебри. Для освоєння матеріалу бажано ознайомитись з уроками Вектори для чайниківі Як визначити обчислювач?

Лінійна залежність та незалежність векторів площини.
Базис площини та афінна система координат

Розглянемо площину комп'ютерного столу (просто столу, тумбочки, підлоги, стелі, кому що подобається). Завдання полягатиме в наступних діях:

1) Вибрати базис площини. Грубо кажучи, стільниця має довжину і ширину, тому інтуїтивно зрозуміло, що для побудови базису потрібно два вектори. Одного вектора явно мало, три вектори – зайва.

2) На основі обраного базису встановити систему координат(координатну сітку), щоб присвоїти координати всім предметам, що знаходяться на столі.

Не дивуйтесь, спочатку пояснення будуть на пальцях. Причому на ваших. Будь ласка, помістіть вказівний палець лівої рукина край стільниці так, щоб він дивився на монітор. Це буде вектор. Тепер помістіть мізинець правої руки на край столу так само - щоб він був спрямований на екран монітора. Це буде вектор. Усміхніться, ви чудово виглядаєте! Що можна сказати про вектори? Дані вектори колінеарні, а значить, лінійновиражаються один через одного:
, ну, чи навпаки: , де – деяке число, відмінне від нуля.

Картинку цього дійства можна переглянути на уроці Вектори для чайниківде я пояснював правило множення вектора на число.

Чи будуть ваші пальчики задавати базис на площині комп'ютерного столу? Очевидно, що ні. Колінеарні вектори подорожують туди-сюди одномунапрямку, а площина має довжину і ширину.

Такі вектори називають лінійно залежними.

Довідка: Слова «лінійний», «лінійно» позначають той факт, що в математичних рівняннях, виразів немає квадратів, кубів, інших ступенів, логарифмів, синусів і т.д. Є тільки лінійні (1-го ступеня) вирази та залежності.

Два векторні площині лінійно залежнітоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Схрестіть пальці на столі, щоб між ними був будь-який кут крім 0 або 180 градусів. Два векторні площинілінійно незалежні в тому і лише тому випадку, якщо вони не колінеарні. Отже, базис отримано. Не треба бентежитись, що базис вийшов «косим» з неперпендикулярними векторами різної довжини. Незабаром ми побачимо, що для його побудови придатний не тільки кут 90 градусів, і не тільки одиничні, рівні за довжиною вектори.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномрозкладається по базису:
, де - дійсні числа. Числа називають координатами векторау цьому базисі.

Також кажуть, що векторпредставлений у вигляді лінійної комбінаціїбазисних векторів. Тобто вираз називають розкладання векторапо базисуабо лінійною комбінацієюбазових векторів.

Наприклад, можна сказати, що вектор розкладений за ортонормованим базисом площини, а можна сказати, що він представлений у вигляді лінійної комбінації векторів.

Сформулюємо визначення базисуформально: Базисом площининазивається пара лінійно незалежних (неколлінеарних) векторів, , при цьому будь-якийВектор площини є лінійною комбінацією базисних векторів.

Істотним моментом визначення є той факт, що вектори взяті в певному порядку . Базиси – це два абсолютно різні базиси! Як то кажуть, мізинець лівої руки не переставиш на місце мізинця правої руки.

З базисом розібралися, але його недостатньо, щоб задати координатну сітку та присвоїти координати кожному предмету вашого комп'ютерного столу. Чому замало? Вектори є вільними та блукають по всій площині. То як привласнити координати тим маленьким брудним точкам столу, які залишилися після бурхливих вихідних? Необхідний відправний орієнтир. І таким орієнтиром є знайома всім точка – початок координат. Розбираємось із системою координат:

Почну зі «шкільної» організації. Вже на вступному уроці Вектори для чайниківя виділяв деякі відмінності між прямокутною системою координат та ортонормованим базисом. Ось стандартна картина:

Коли говорять про прямокутної системи координат, то найчастіше мають на увазі початок координат, координатні осі та масштаб по осях. Спробуйте набрати в пошуковій системі «прямокутна система координат», і ви побачите, що багато джерел вам розповідатимуть про знайомі з 5-6-го класу координатні осі і про те, як відкладати точки на площині.

З іншого боку, складається враження, що прямокутну системукоординат цілком можна визначити через ортонормований базис. І це майже так. Формулювання звучить так:

початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат площини . Тобто прямокутна система координат однозначновизначається єдиною точкою та двома одиничними ортогональними векторами. Саме тому ви бачите креслення, яке я привів вище – в геометричних завданнях часто (але далеко не завжди) малюють і вектори, і координатні осі.

Думаю, всім зрозуміло, що за допомогою точки (початку координат) та ортонормованого базису БУДЬ-ЯКІЙ ТОЧЦІ площині і БУДЬ-ЯКОМУ ВЕКТОРУ площиніможна присвоїти координати. Образно кажучи, "на площині все можна пронумерувати".

Чи мають координатні вектори бути одиничними? Ні, вони можуть мати довільну ненульову довжину. Розглянемо точку та два ортогональних вектордовільної ненульової довжини:

Такий базис називається ортогональним. Початок координат з векторами задають координатну сітку, і будь-яка точка площини будь-який вектор мають свої координати в даному базисі. Наприклад, або . Очевидна незручність полягає в тому, що координатні вектори в загальному випадку мають різні довжини, відмінні від одиниці. Якщо довжини дорівнюють одиниці, то виходить звичний ортонормований базис.

! Примітка : в ортогональному базисі, а також нижче афінних базисахплощини та простору одиниці по осях вважаються УМОВИМИ. Наприклад, в одній одиниці по осі абсцис міститься 4 см, в одній одиниці по осі ординат 2 см. Даної інформації достатньо, щоб при необхідності перевести «нестандартні» координати «наші звичайні сантиметри».

І друге питання, на яке вже насправді дана відповідь – чи обов'язково кут між базисними векторами має дорівнювати 90 градусам? Ні! Як свідчить визначення, базові вектори повинні бути лише неколінеарними. Відповідно кут може бути будь-яким, крім 0 та 180 градусів.

Точка площини, яка називається початком координат, і неколінеарнівектори , , задають афінну систему координат площини :

Іноді таку систему координат називають косокутноїсистемою. Як приклади на кресленні зображені точки та вектори:

Як розумієте, афінна система координат ще менш зручна, у ній не працюють формули довжин векторів та відрізків, які ми розглядали у другій частині уроку Вектори для чайників, багато смачні формули, пов'язані з скалярним твором векторів. Зате справедливі правила складання векторів і множення вектора на число, формули поділу відрізка в даному відношенні, а також деякі типи завдань, які ми швидко розглянемо.

А висновок такий, що найзручнішим окремим випадком афінної системикоординат є декартова прямокутна система. Тому її, рідну, найчастіше і доводиться бачити. …Втім, все в цьому житті відносно – існує чимало ситуацій, в яких доречна саме косокутна (або якась інша, наприклад, полярна) система координат. Та й гуманоїдам такі системи можуть прийтись до смаку =)

Переходимо до практичної частини. Усі завдання даного урокусправедливі як прямокутної системи координат, так загального афінного випадку. Складного тут немає, весь матеріал доступний навіть школяру.

Як визначити колінеарність векторів площини?

Типова річ. Для того, щоб два вектори площині були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб їхні відповідні координати були пропорційними. Фактично, це покоординатная деталізація очевидного співвідношення .

Приклад 1

а) Перевірити, чи колінеарні вектори .
б) Чи утворюють базис вектори ?

Рішення:
а) З'ясуємо, чи існує для векторів коефіцієнт пропорційності, такий, щоб виконувались рівності:

Обов'язково розповім про «піжонський» різновид застосування цього правила, яка цілком прокочує на практиці. Ідея полягає в тому, щоб одразу скласти пропорцію і подивитися, чи буде вона вірною:

Складемо пропорцію із відносин відповідних координат векторів:

Скорочуємо:
, таким чином, відповідні координати пропорційні, отже,

Ставлення можна було скласти і навпаки, це рівноцінний варіант:

Для самоперевірки можна використовувати те, що колінеарні вектори лінійно виражаються один через одного. У цьому випадку мають місце рівності . Їхня справедливість легко перевіряється через елементарні діїз векторами:

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони колінеарні (лінійно незалежні). Досліджуємо на колінеарність вектори . Складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , з другого рівняння випливає, що , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, відповідні координати векторів не є пропорційними.

Висновок: вектори лінійно незалежні та утворюють базис.

Спрощена версія рішення виглядає так:

Складемо пропорцію з відповідних координат векторів :
, Отже, ці вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Зазвичай такий варіант бракують рецензенти, але виникає проблема у випадках, коли деякі координати дорівнюють нулю. Ось так: . Або так: . Або так: . Як тут діяти через пропорцію? (Справді, на нуль ж ділити не можна). Саме з цієї причини я назвав спрощене рішення «піжонським».

Відповідь:а), б) утворюють.

Невеликий творчий прикладдля самостійного рішення:

Приклад 2

При якому значенні параметра вектори будуть колінеарні?

У зразку рішення параметр знайдено через пропорцію.

Існує витончений алгебраїчний спосібперевірки векторів на коллінеарність., систематизуємо наші знання і п'ятим пунктом додамо його:

Для двох векторів площини еквівалентні наступні твердження:

2) вектори утворюють базис;
3) вектори не колінеарні;

+ 5) визначник, складений координат даних векторів, відмінний від нуля.

Відповідно, еквівалентні наступні протилежні твердження:
1) вектори лінійно залежні;
2) вектори не утворюють базис;
3) вектори колінеарні;
4) вектори можна лінійно виразити один через одного;
+ 5) визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю.

Я дуже сподіваюся, що на даний моментвам вже зрозумілі всі терміни, що зустрілися, і затвердження.

Розглянемо докладніше новий, п'ятий пункт: два вектори площині колінеарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю:. Для застосування цієї ознаки, природно, потрібно вміти знаходити визначники.

ВирішимоПриклад 1 другим способом:

а) Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, отже, ці вектори колінеарні.

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони колінеарні (лінійно незалежні). Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Відповідь:а), б) утворюють.

Виглядає значно компактніше та симпатичніше, ніж рішення з пропорціями.

З допомогою розглянутого матеріалу можна встановлювати як колінеарність векторів, а й доводити паралельність відрізків, прямих. Розглянемо пару завдань із конкретними геометричними фігурами.

Приклад 3

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є паралелограмом.

Доказ: Креслення в задачі будувати не потрібно, оскільки рішення буде чисто аналітичним Згадуємо визначення паралелограма:
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Таким чином, необхідно довести:
1) паралельність протилежних сторін та ;
2) паралельність протилежних сторін та .

Доводимо:

1) Знайдемо вектори:

2) Знайдемо вектори:

Вийшов той самий вектор («по шкільному» – рівні вектори). Колінеарність дуже очевидна, але рішення таки краще оформити з толком, з розстановкою. Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, ці вектори колінеарні, і .

Висновок: Протилежні сторониЧотирикутники попарно паралельні, отже, він є паралелограмом за визначенням. Що й потрібно було довести.

Більше фігур хороших та різних:

Приклад 4

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є трапецією.

Для суворішого формулювання докази краще, звичайно, роздобути визначення трапеції, але досить і просто згадати, як вона виглядає.

Це завдання самостійного рішення. Повне рішеннянаприкінці уроку.

А тепер настав час потихеньку перебиратися з площини в простір:

Як визначити колінеарність векторів простору?

Правило дуже схоже. Для того щоб два вектори простору були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх відповідні координати були пропорційними.

Приклад 5

З'ясувати, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:

а);
б)
в)

Рішення:
а) Перевіримо, чи є коефіцієнт пропорційності для відповідних координат векторів:

Система не має рішення, отже вектори не колінеарні.

«Спрощенка» оформляється перевіркою пропорції. В даному випадку:
– відповідні координати не пропорційні, отже вектори не колінеарні.

Відповідь:вектори не колінеарні.

б-в) Це пункти самостійного рішення. Спробуйте оформити його двома способами.

Існує метод перевірки просторових векторів на колінеарність та через визначник третього порядку, даний спосібосвітлений у статті Векторний твір векторів.

Аналогічно плоскому випадку розглянутий інструментарій може застосовуватися з метою дослідження паралельності просторових відрізків і прямих.

Ласкаво просимо до другого розділу:

Лінійна залежність та незалежність векторів тривимірного простору.
Просторовий базис та афінна система координат

Багато закономірностей, які ми розглянули на площині, будуть справедливими і простору. Я постарався мінімізувати конспект з теорії, оскільки левова часткаінформації вже розжована. Тим не менш, рекомендую уважно прочитати вступну частину, оскільки з'являться нові терміни та поняття.

Тепер замість площини комп'ютерного столу досліджуємо тривимірний простір. Спочатку створимо його базис. Хтось зараз знаходиться у приміщенні, хтось на вулиці, але в будь-якому випадку нам нікуди не подітися від трьох вимірів: ширини, довжини та висоти. Тому для побудови базису потрібно три просторові вектори. Одного-двох векторів мало, четвертий – зайвий.

І знову розминаємось на пальцях. Будь ласка, підніміть руку вгору і розчепірте в різні сторони великий, вказівний та середній палець . Це будуть вектори, вони дивляться в різні боки, мають різну довжинуі мають різні кутиміж собою. Вітаю, базис тривимірного простору готовий! До речі, не потрібно демонструвати таке викладачам, як не крути пальцями, а від визначень нікуди не подітися =)

Далі поставимо важливим питанням, будь-які три вектори утворюють базис тривимірного простору ? Будь ласка, щільно притисніть три пальці до стільниці комп'ютерного столу. Що сталося? Три вектори розташувалися в одній площині, і, грубо кажучи, у нас зник один із вимірів – висота. Такі вектори є компланарнимиі цілком очевидно, що базису тривимірного простору не створюють.

Слід зазначити, що компланарні вектори нічого не винні лежати у одній площині, можуть перебувати у паралельних площинах(Тільки не робіть цього з пальцями, так відривався тільки Сальвадор Далі =)).

Визначення: вектори називаються компланарнимиякщо існує площина, якою вони паралельні. Тут логічно додати, що якщо такої площини не існує, то вектори будуть не компланарні.

Три компланарні вектори завжди лінійно залежнітобто лінійно виражаються один через одного. Для простоти знову припустимо, що вони лежать в одній площині. По-перше, вектори мало того, що компланарні, можуть бути ще колінеарні, тоді будь-який вектор можна виразити через будь-який вектор. У другому випадку, якщо, наприклад, вектори не колінеарні, то третій вектор виражається через них єдиним чином: (а чому легко здогадатися за матеріалами попереднього розділу).

Справедливо та зворотне затвердження:три некомпланарні вектори завжди лінійно незалежні, тобто аж ніяк не виражаються один через одного. І, очевидно, лише такі вектори можуть утворити базис тривимірного простору.

Визначення: Базисом тривимірного просторуназивається трійка лінійно незалежних (некомпланарних) векторів, взятих у певному порядкупри цьому будь-який вектор простору єдиним чиномрозкладається по даному базису , де координати вектора в даному базисі

Нагадую, також можна сказати, що вектор представлений у вигляді лінійної комбінаціїбазових векторів.

Поняття системи координат вводиться так само, як і для плоского випадку, достатньо однієї точки та будь-яких трьох лінійно незалежних векторів:

початком координат, і некомпланарнівектори , взяті у певному порядку, задають афінну систему координат тривимірного простору :

Звичайно, координатна сітка «коса» і малозручна, але побудована система координат дозволяє нам однозначновизначити координати будь-якого вектора та координати будь-якої точки простору. Аналогічно площині, в афінній системі координат простору не працюватимуть деякі формули, про які я вже згадував.

Найбільш звичним і зручним окремим випадком афінної системи координат є прямокутна система координат простору:

Точка простору, яка називається початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат простору . Знайоме зображення:

Перед тим, як перейти до практичних завдань, знову систематизуємо інформацію:

Для трьох векторів простору еквівалентні такі твердження:
1) вектори лінійно незалежні;
2) вектори утворюють базис;
3) вектори не компланарні;
4) вектори не можна лінійно виразити один через одного;
5) визначник, складений координат даних векторів, відмінний від нуля.

Протилежні висловлювання, гадаю, зрозумілі.

Лінійна залежність/незалежність векторів простору традиційно перевіряється за допомогою визначника (пункт 5). Ті, що залишилися практичні завданняноситимуть яскраво виражений алгебраїчний характер. Пора повісити на цвях геометричну ключку і орудувати бейсбольною битою лінійною алгебри:

Три векторні просторукомпланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів, дорівнює нулю : .

Звертаю увагу на невеликий технічний нюанс: координати векторів можна записувати не тільки у стовпці, а й у рядки (значення визначника від цього не зміниться – див. властивості визначників). Але набагато краще у стовпці, оскільки це вигідніше для вирішення деяких практичних завдань.

Тим читачам, які трошки забули методи розрахунку визначників, а може і взагалі слабо в них орієнтуються, рекомендую один із моїх найстаріших уроків: Як визначити обчислювач?

Приклад 6

Перевірити, чи утворюють базис тривимірного простору такі вектори:

Рішення: Фактично все рішення зводиться до обчислення визначника

а) Обчислимо визначник, складений із координат векторів (визначник розкритий по першому рядку):

, Отже, вектори лінійно незалежні (не компланарні) і утворюють базис тривимірного простору.

Відповідь: дані вектори утворюють базис

б) Це пункт самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Зустрічаються і творчі завдання:

Приклад 7

За якого значення параметра вектори будуть компланарні?

Рішення: Вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів дорівнює нулю:

Фактично, потрібно вирішити рівняння з визначником. Налітаємо на нулі як шуліки на тушканчиків - визначник найвигідніше розкрити по другому рядку і відразу ж позбутися мінусів:

Проводимо подальші спрощення та зводимо справу до найпростішого лінійному рівнянню:

Відповідь: при

Тут легко виконати перевірку, для цього потрібно підставити отримане значення у вихідний визначник та переконатися, що , розкривши його наново.

На закінчення розглянемо ще одну типове завдання, Що носить більше алгебраїчний характер і традиційно включається до курсу лінійної алгебри. Вона настільки поширена, що заслуговує на окремий топік:

Довести, що 3 вектори утворюють базис тривимірного простору
та знайти координати 4-го вектора в даному базисі

Приклад 8

Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис тривимірного простору та знайти координати вектора у цьому базисі.

Рішення: Спочатку розбираємось з умовою За умовою дано чотири вектори, і, як бачите, вони вже мають координати в деякому базисі. Який це базис – нас не цікавить. А цікавить така річ: три вектори цілком можуть утворювати новий базис. І перший етап повністю збігається з рішенням Прикладу 6, необхідно перевірити, чи вектори справді лінійно незалежні:

Обчислимо визначник, складений координат векторів :

, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис тривимірного простору.

! Важливо : координати векторів обов'язковозаписуємо у стовпцівизначника, а не в рядки. Інакше буде плутанина у подальшому алгоритмі розв'язання.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Рішення.Шукаємо спільне рішеннясистеми рівнянь

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

методом Гауса. Для цього запишемо цю однорідну систему за координатами:

Матриця системи

Дозволена система має вигляд: (r A = 2, n= 3). Система спільна та невизначена. Її загальне рішення ( x 2 – вільна змінна): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Наявність ненульового приватного рішення, наприклад, говорить про те, що вектори a 1 , a 2 , a 3 лінійно залежні.

приклад 2.

З'ясувати, чи дана система векторів є лінійно залежною або лінійно незалежною:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Рішення.Розглянемо однорідну систему рівнянь a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

або у розгорнутому вигляді (за координатами)

Система однорідна. Якщо вона невироджена, вона має єдине рішення. В разі однорідної системи- нульове (тривіальне) рішення. Отже, у разі система векторів незалежна. Якщо ж система вироджена, вона має ненульові рішення і, отже, вона залежна.

Перевіряємо систему на виродженість:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невироджена і, отже, вектори a 1 , a 2 , a 3 лінійно незалежні.

Завдання.З'ясувати, чи дана система векторів є лінійно залежною або лінійно незалежною:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Довести, що система векторів буде лінійно залежною, якщо вона містить:

а) два рівні вектори;

б) два пропорційні вектори.

Нехай L- довільний лінійний простір, a i Î L,- Його елементи (вектори).

Визначення 3.3.1.Вираз де , - довільні речові числа, що називається лінійною комбінацією векторів a 1 , a 2 ,…, a n.

Якщо вектор р = , то кажуть, що р розкладений за векторами a 1 , a 2 ,…, a n.

Визначення 3.3.2.Лінійна комбінація векторів називається нетривіальноюякщо серед чисел є хоча б одне відмінне від нуля. В іншому випадку, лінійна комбінація називається тривіальною.

Визначення 3.3.3 . Вектори a 1 , a 2 ,…, a nназиваються лінійно залежними, якщо існують їхня нетривіальна лінійна комбінація, така що

= 0 .

Визначення 3.3.4. Вектори a 1 ,a 2 ,..., a nназиваються лінійно незалежними, якщо рівність = 0 можливо лише у випадку, коли всі числа l 1, l 2,…, l nодночасно дорівнюють нулю.

Зазначимо, що будь-який ненульовий елемент a 1 можна розглядати як лінійно незалежну систему, бо рівність l a 1 = 0 можливо лише за умови l= 0.

Теорема 3.3.1.Необхідним та достатньою умовоюлінійної залежності a 1 , a 2 ,…, a nє можливість розкладання, принаймні, одного з цих елементів щодо інших.

Доказ. Необхідність. Нехай елементи a 1 , a 2 ,…, a nлінійно залежні. Це означає, що = 0 , причому хоча б одне з чисел l 1, l 2,…, l nна відміну від нуля. Нехай для певності l 1 ¹ 0. Тоді

тобто елемент a 1 розкладений за елементами a 2 , a 3 , …, a n.

Достатність. Нехай елемент a 1 розкладений елементами a 2 , a 3 , …, a n, Т. е. a 1 = . Тоді = 0 , отже, існує нетривіальна лінійна комбінація векторів a 1 , a 2 ,…, a n, рівна 0 тому вони є лінійно залежними .

Теорема 3.3.2. Якщо хоча б один із елементів a 1 , a 2 ,…, a nнульовий, ці вектори лінійно залежні.

Доказ . Нехай a n= 0 тоді = 0 що означає лінійну залежність зазначених елементів.

Теорема 3.3.3. Якщо серед n векторів будь-які p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Доказ. Нехай для визначеності елементи a 1 , a 2 ,..., a pлінійно залежні. Це означає, що існує така нетривіальна лінійна комбінація, що = 0 . Зазначена рівність збережеться, якщо додати до обох його частин елемент . Тоді + = 0 при цьому хоча б одне з чисел l 1, l 2,…, lpна відміну від нуля. Отже, вектори a 1 , a 2 ,..., a nє лінійно залежними.

Наслідок 3.3.1.Якщо n елементів лінійно незалежні, то будь-які з них лінійно незалежні (k< n).

Теорема 3.3.4. Якщо вектори a 1 , a 2 ,…, a n - 1 лінійно незалежні, а елементи a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n лінійно залежні, то вектор a n можна розкласти за векторами a 1 , a 2 ,…, a n - 1 .

Доказ.Оскільки за умовою a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n лінійно залежні, то існує їхня нетривіальна лінійна комбінація = 0 , причому (інакше, виявляться лінійно залежними вектори a 1 , a 2 ,…, a n - 1). Але тоді вектор

,

що й потрібно було довести.