Можливість що у наступний. Ймовірність події

В економіці, як і в інших областях людської діяльностіабо у природі, постійно доводиться мати справу з подіями, які неможливо точно передбачити. Так, обсяг продажів товару залежить від попиту, який може суттєво змінюватися, та від низки інших факторів, які врахувати практично нереально. Тому при організації виробництва та здійсненні продажів доводиться прогнозувати результат такої діяльності на основі або власного попереднього досвіду, або аналогічного досвіду інших людей, або інтуїції, яка значною мірою також спирається на досвідчені дані.

Щоб якимось чином оцінити подію, що розглядається, необхідно враховувати або спеціально організовувати умови, в яких фіксується ця подія.

Здійснення певних умовабо дій для виявлення події, що розглядається, носить назву досвідуабо експерименту.

Подія називається випадковимякщо в результаті досвіду воно може відбутися або не відбутися.

Подія називається достовірнимякщо воно обов'язково з'являється в результаті даного досвіду, і неможливимякщо воно не може з'явитися в цьому досвіді.

Наприклад, випадання снігу в Москві 30 листопада випадковою подією. Щоденний схід Сонця можна вважати достовірною подією. Випадання снігу на екваторі можна розглядати як неможливу подію.

Однією з головних завдань теорії ймовірностей є завдання визначення кількісної міри можливості появи події.

Алгебра подій

Події називаються несумісними, якщо вони разом не можуть спостерігатися в тому самому досвіді. Так, наявність двох і трьох автомашин в одному магазині для продажу в той самий час — це дві несумісні події.

Сумоюподій називається подія, що полягає в появі хоча б однієї з цих подій

Як приклад суми подій можна назвати наявність у магазині хоча б одного із двох товарів.

Творомподій називається подія, що полягає в одночасному появі всіх цих подій

Подія, що полягає у появі одночасно в магазині двох товарів є твором подій: - Поява одного товару, - Поява іншого товару.

Події утворюють повну групу подій, якщо хоча б одна з них обов'язково станеться у досвіді.

приклад.У порту є два причали прийому суден. Можна розглянути три події: - відсутність судів біля причалів, - присутність одного судна біля одного з причалів, - присутність двох суден біля двох причалів. Ці три події утворюють повну групу подій.

Протилежниминазиваються дві єдино можливі події, що утворюють повну групу.

Якщо одне з подій, є протилежними, позначити через , то протилежне подія зазвичай позначають через .

Класичне та статистичне визначення ймовірності події

Кожен із рівноможливих результатів випробувань (дослідів) називається елементарним результатом. Їх зазвичай позначають літерами. Наприклад, кидається гральна кістка. Елементарних результатів всього може бути шість за кількістю очок на гранях.

З елементарних результатів можна скласти більше складна подія. Так, подія випадання парного числа очок визначається трьома наслідками: 2, 4, 6.

Кількісним заходом можливості появи події, що розглядається, є ймовірність.

Найбільш широке розповсюдженняотримали два визначення ймовірності події: класичнеі статистичне.

Класичне визначення ймовірності пов'язані з поняттям сприятливого результату.

Вихід називається сприятливимцій події, якщо її поява тягне за собою настання цієї події.

У наведеному прикладі подія, що розглядається парне числоочок на межі, що випала, має три сприятливі результати. У даному випадкувідоме та загальне
кількість можливих наслідків. Отже, тут можна використати класичне визначенняймовірність події.

Класичне визначеннядорівнює відношенню числа сприятливих наслідків до загального числа можливих наслідків

де - ймовірність події, - число сприятливих подій результатів, - загальне числоможливих наслідків.

У розглянутому прикладі

Статистичне визначення ймовірності пов'язані з поняттям відносної частоти появи події досвідах.

Відносна частота появи події обчислюється за формулою

де - Число появи події в серії з дослідів (випробувань).

Статистичне визначення. Імовірністю події називається число, щодо якого стабілізується (встановлюється) відносна частота при необмеженому збільшенні дослідів.

У практичні завданняза ймовірність події приймається відносна частота при достатньо великому числівипробувань.

З даних визначень ймовірності події видно, що завжди виконується нерівність

Для визначення ймовірності події на основі формули (1.1) часто використовуються формули комбінаторики, за якими знаходиться кількість сприятливих наслідків та загальна кількість можливих наслідків.

Коли кидається монета, можна сказати, що вона впаде орлом нагору, або ймовірність цього становить 1/2. Звичайно, це не означає, що якщо монета підкидається 10 разів, вона обов'язково впаде вгору орлом 5 разів. Якщо монета є "чесною" і якщо вона підкидається багато разів, то орел випаде дуже близько половини випадків. Таким чином, існує два види ймовірностей: експериментальна і теоретична .

Експериментальна та теоретична ймовірність

Якщо кинути монетку велика кількістьраз – скажімо, 1000 – і порахувати, скільки разів випаде орел, ми можемо визначити ймовірність того, що випаде орел. Якщо орел випаде 503 рази, ми можемо вважати ймовірність його випадання:
503/1000, або 0,503.

Це експериментальне визначення ймовірності. Таке визначення ймовірності випливає із спостереження та вивчення даних і є досить поширеним та дуже корисним. Ось, наприклад, деякі ймовірності, які були визначені експериментально:

1. Імовірність того, що у жінки розвинеться рак молочної залози становить 1/11.

2. Якщо ви цілуєтеся, з кимось, хто хворий на застуду, то ймовірність того, що ви теж захворієте на застуду, становить 0,07.

3. Людина, яка щойно була звільнена з в'язниці, має 80% ймовірності повернення назад до в'язниці.

Якщо ми розглядаємо кидання монети і враховуючи те, що так само ймовірно, що випаде орел або решка, ми можемо обчислити ймовірність випадання орла: 1/2. теоретичне визначенняімовірності. Ось деякі інші ймовірності, які були визначені теоретично за допомогою математики:

1. Якщо знаходиться 30 осіб у кімнаті, ймовірність того, що двоє мають однаковий день народження (виключаючи рік), становить 0,706.

2. Під час поїздки, Ви зустрічаєте когось і протягом розмови виявляєте, що у вас є спільний знайомий. Типова реакція: "Цього не може бути!". Насправді ця фраза не підходить, тому що ймовірність такої події досить висока – трохи більше ніж 22%.

Таким чином, експериментальна ймовірність визначаються шляхом спостереження та збору даних. Теоретичні ймовірності визначаються шляхом математичних міркувань. Приклади експериментальних і теоретичних ймовірностей, як, наприклад, розглянутих вище, і особливо тих, які ми не очікуємо, призводять нас до ваеності вивчення ймовірності. Ви можете запитати: "Що таке вірогідність?" Насправді такої немає. Експериментально можна визначити ймовірність у певних межах. Вони можуть збігатися або не збігатися з ймовірностями, які ми маємо теоретично. Є ситуації, у яких набагато легше визначити один із типів ймовірності, ніж інший. Наприклад, було б досить знайти можливість застудитися, використовуючи теоретичну можливість.

Обчислення експериментальних ймовірностей

Розглянемо спочатку експериментальне визначення ймовірності. Основний принцип, який ми використовуємо для обчислення таких ймовірностей, є таким.

Принцип P (експериментальний)

Якщо досвіді, у якому проводиться n спостережень, ситуація чи подія Е відбувається m разів за n спостережень, то кажуть, що експериментальна ймовірність події дорівнює P (E) = m/n.

Приклад 1 Соціологічне опитування. Було проведено експериментальне дослідження, щоб визначити кількість лівшів, правшів і людей, у яких обидві руки розвинені однаково. Результати показані на графіку.

a) Визначте ймовірність того, що людина – правша.

b) Визначте ймовірність того, що людина – шульга.

c) Визначте можливість, що людина однаково вільно володіє обома руками.

d) У більшості турнірів, що проводяться Професійною АсоціацієюБоулінг, беруть участь 120 гравців. На підставі даних цього експерименту, скільки гравців можуть бути лівшою?

Рішення

a)Кількість людей, які є правшами, становить 82, кількість шульг становить 17, а число тих, хто однаково вільно володіє двома руками - 1. Загальна кількістьспостережень - 100. Таким чином, ймовірність того, що людина правша, є Р
P = 82/100, чи 0,82, чи 82%.

b) Імовірність того, що людина шульга є Р, де
P = 17/100, чи 0,17, чи 17%.

c) Імовірність того, що людина однаково вільно володіє двома руками складає P де
P = 1/100, або 0,01 або 1%.

d) 120 гравців у боулінг, і з (b) ми можемо очікувати, що 17% - шульги. Звідси
17% від 120 = 0,17.120 = 20,4,
тобто ми можемо очікувати, що близько 20 гравців є шульгами.

Приклад 2 Контроль якості . Для виробника дуже важливо тримати якість своєї продукції високому рівні. Насправді компанії наймають інспекторів контролю якості для забезпечення цього процесу. Метою є випуск мінімально можливої ​​кількостідефектні вироби. Але оскільки компанія виробляє тисячі виробів щодня, вона може дозволити собі перевіряти кожен виріб, щоб визначити, браковане воно чи ні. Щоб з'ясувати, який відсоток продукції дефектний, компанія перевіряє набагато менше виробів.
Міністерство сільського господарстваСША вимагає, щоб 80% насіння, яке продають виробники, проростало. Для визначення якості насіння, яке виробляє сільгоспкомпанія, висаджується 500 насіння з тих, що були вироблені. Після цього підрахували, що 417 насінин проросло.

a) Яка ймовірність того, що насіння проросте?

b) Чи відповідає насіння державним стандартам?

Рішення a) Ми знаємо, що з 500 насіння, яке було висаджено, 417 проросли. Імовірність проростання насіння Р, та
P = 417/500 = 0,834, чи 83.4%.

b) Оскільки відсоток пророслого насіння перевищив 80% на вимогу, насіння відповідає державним стандартам.

Приклад 3 Телевізійні рейтинги Відповідно до статистичних даних, у Сполучених Штатах 105,5 млн домогосподарств з телевізорами. Щотижня, інформація про перегляд передач збирається та обробляється. Протягом одного тижня 7815 000 домогосподарств були налаштовані на популярний комедійний серіал "Всі люблять Реймонда" на CBS і 8302 000 домогосподарств були налаштовані на популярний серіал "Закон і порядок" на NBC (Джерело: Nielsen Media Research). Яка ймовірність того, що телевізор одного будинку налаштований на Everybody Loves Raymond протягом цього тижня? на Закон і порядок?

РішенняnІмовірність того, що телевізор в одному домогосподарстві налаштований на "Всі люблять Реймонда" дорівнює Р, та
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Можливість, що телевізор домогосподарства був налаштований на «Закон і порядок» складає P, та
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ці відсотки називають рейтингами.

Теоретична ймовірність

Припустимо, що ми проводимо експеримент, такі як кидання монетки чи дротиків, витягування карти з колоди, або перевірка виробів на якість на складальній лінії. Кожен можливий результаттакого експерименту називається результат . Безліч всіх можливих наслідків називається простором наслідків . Подія це безліч наслідків, тобто підмножина простору наслідків.

Приклад 4 Кидання дротиків. Припустимо, що у експерименті «метання дротиків» дротик потрапляє у мета. Знайдіть кожне з наступних:

b) Простір результатів

Рішення
a) Виходи це: потрапляння до чорного (Ч), потрапляння до червоного (К) та потрапляння до білого (Б).

b) Простір результатів є (попадання у чорне, попадання у червоне, попадання у біле), яке може бути записане просто як (Ч, К, Б).

Приклад 5 Кидання гральних кісток. Гральна кістка це куб із шістьма гранями, на кожній з яких намальовано від однієї до шести крапок.


Припустимо, що ми кидаємо гральна кістка. Знайдіть
a) Виходи
b) Простір результатів

Рішення
a) Виходи: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Простір результатів (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Ми позначаємо ймовірність того, що подія Е трапляється як Р(Е). Наприклад, "монета впаде решкою" можна позначати H. Тоді Р (Н) є ймовірністю того, монета впаде решкою. Коли всі результати експерименту мають однакову ймовірність появи, кажуть, що вони є рівноймовірними. Щоб побачити різницю між подіями, які є рівноймовірними, і нерівноймовірними подіями, розглянемо мету, зображену нижче.

Для мішені A, події потрапляння до чорного, червоного та білого рівноймовірні, оскільки чорні, червоні та білі сектори – однакові. Однак, для мішені B зони з цими квітами не однакові, тобто попадання в них не є рівноймовірним.

Принцип P (теоретичний)

Якщо подія E може статися m шляхами з n можливих рівноймовірних наслідків з простору наслідків S, тоді теоретична ймовірність події, P(E) складає
P(E) = m/n.

Приклад 6Яка можливість викинути 3, кинувши гральний кубик?

РішенняНа гральному кубику 6 рівноймовірних результатів існує лише одна можливість викидання цифри 3. Тоді ймовірність P складе P(3) = 1/6.

Приклад 7Яка можливість викидання парної цифри на гральному кубику?

РішенняПодія – це викидання парної цифри. Це може статися 3 способами (якщо випаде 2, 4 чи 6). Число рівноймовірних результатів дорівнює 6. Тоді ймовірність P(парне) = 3/6, або 1/2.

Ми будемо використовувати низку прикладів, пов'язаних зі стандартною колодою із 52 карт. Така колода складається з карток, показаних на малюнку нижче.

Приклад 8Яка можливість витягнути туза з добре перемішаної колоди карт?

РішенняІснує 52 результати (кількість карт у колоді), вони рівноймовірні (якщо колода добре перемішана), і є 4 способи витягнути туза, тому згідно з принципом P, ймовірність
P(витягування туза) = 4/52, або 1/13.

Приклад 9Припустимо, що ми вибираємо не дивлячись, одну кульку з мішка з трьома червоними кульками і чотирма зеленими кульками. Яка ймовірність вибору червоної кульки?

РішенняІснує 7 рівноймовірних результатів дістати будь-яку кульку, і так як число способів витягнути червону кульку дорівнює 3, отримаємо
P(вибору червоної кульки) = 3/7.

Наступні твердження – це результати з принципу P.

Властивості ймовірності

a) Якщо подія E може статися, тоді P(E) = 0.
b) Якщо подія E станеться неодмінно тоді P(E) = 1.
c) Імовірність того, що подія Е станеться від 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Наприклад, у киданні монети подія, коли монета впаде на ребро має нульову ймовірність. Можливість того, що монета або на орел або решку має можливість 1.

Приклад 10Припустимо, що витягуються 2 карти з колоди з 52 картами. Яка ймовірність того, що обидві піки?

РішенняЧисло шляхів n витягування 2 карт із добре перемішаної колоди з 52 картами є 52 C 2 . Так як 13 з 52 карт є піками, число способів m витягування 2 пік є 13 C 2 . Тоді,
P(витягування 2-х пік) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Приклад 11Припустимо, що 3 людини вибираються випадково з групи, що складається з 6 чоловіків і 4 жінок. Яка ймовірність того, що будуть обрані 1 чоловік та 2 жінки?

РішенняЧисло способів вибору трьох осіб із групи 10 осіб 10 C 3 . Один чоловік може бути обраний 6 C 1 способами, і 2 жінки можуть бути обрані 4 C 2 способами. Згідно з фундаментальним принципом підрахунку, число способів вибору 1-го чоловіка та 2-х жінок 6 C 1 . 4 C 2 . Тоді, ймовірність що буде обрано 1-го чоловіка та 2-х жінок є
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Приклад 12 Кидання гральних кубиків. Яка ймовірність викидання у сумі 8 на двох гральних кубиках?

РішенняНа кожному гральному кубику є 6 можливих наслідків. Виходи подвоюються, тобто існує 6.6 або 36 можливих способів, в якому можуть випасти цифри на двох кубиках. (Краще, якщо кубики різні, скажімо один червоний, а другий блакитний - це допоможе візуалізувати результат.)

Пари цифр, у сумі 8, показані на малюнку внизу. Є 5 можливих способівотримання суми, що дорівнює 8, звідси ймовірність дорівнює 5/36.

Призначення сервісу. За допомогою даного сервісу розраховуються такі ймовірності настання певної події:
а) настане k разів; б) щонайменше k 1 і трохи більше k 2 раз; в) подія настане хоча б один раз; г) яке буде найімовірніше число та відповідна йому ймовірність.

Інструкція. Заповніть потрібні дані.

• якщо ймовірність появи події A стала і число появи події n ≤ 10, слід скористатися формулою Бернуллі;
• якщо ймовірність появи події A стала, а кількість незалежних дослідів необмежено зростає n → ∞, слід скористатися теоремами Лапласа;
• якщо ймовірність появи події мала p → 0, а кількість незалежних дослідів необмежено зростає n → ∞, слід скористатися формулою Пуассона ;

Приклад №1. Оптова база забезпечує товаром n магазинів. Імовірність того, що протягом дня надійде заявка на товар, дорівнює p для кожного магазину. Знайти ймовірність того, що протягом дня: а) надійде до заявок; б) щонайменше k 1 і трохи більше k 2 заявок; в) надійде хоча одна заявка. Якою є найбільш імовірна кількість заявок, що надходять протягом дня, і чому дорівнює відповідна йому ймовірність?

Другий варіант рішення.
Скористаємося локальною теоремою Лапласа.

де

Знайдемо значення x:

Функція парна, тому φ(-4,95) = φ(4,95) = 0,0000047851173921290
Шукана ймовірність:

б) не менше k 1 і не більше k 2 заявок;
Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа.
P n (k 1, k 2) = Ф (x'') - Ф (x')
де Ф (x) - Функція Лапласа.


З огляду на, що функція Лапласа непарна, тобто. Ф(-x) = -Ф(x), отримаємо:
P 18 (5,13) = Ф (-0,825) - Ф (-5,54) = -Ф (0,825) + Ф (5,54) = -0,2939 + 0,5 = 0,2061

в) надійде хоча одна заявка.
Знайдемо ймовірність того, що не надійде жодна заявка.

Тоді ймовірність того, що надійде хоча б одна заявка, дорівнює:
q = 1 - P = 1 - 0,2 18
Другий варіант рішення. Скористаємося локальною теоремою Лапласа.
Знайдемо значення x:

Функція парна, тому φ(-8,49) = φ(8,49) = 2,28*10 -16
Шукана ймовірність:

Отже, q = 1 - P = 1 - 8,89 * 10 -17

Якою є найбільш імовірна кількість заявок, що надходять протягом дня, і чому дорівнює відповідна йому ймовірність?
За умовою, n = 18, p = 0,8, q = 0,2.
Знайдемо найімовірніше число з подвійної нерівності:
18*0,8 – 0,2 ≤ k 0 ≤18*0,8+ 0,8
або
14,2≤ k 0 ≤15,2
Оскільки np –q – дробове, існує одне найімовірніше число k 0 = 15.

Приклад №3. Імовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що в серії із 4 пострілів буде: а) хоча б одне влучення; б) не менше трьох попадань; в) не більше одного влучення.
Рішення.Тут n=4, p=0,8, q=0,2.
а) Знайдемо ймовірність протилежної події- у серії з чотирьох пострілів немає жодного влучення в ціль:

Звідси знаходимо ймовірність хоча б одного влучення в ціль:

б) Подія B, що полягає в тому, що в серії з чотирьох пострілів сталося не менше трьох попадань у ціль, означає, що було або три влучення (подія C), або чотири (подія D), тобто B = C + D. Звідси, P(B) = P(C) + P(D); отже,

в) Аналогічно обчислюється ймовірність влучення в ціль не більше одного разу:

Приклад №4. У цій місцевості в середньому за рік 75 сонячних днів. Оцінити ймовірність того, що протягом року в цій місцевості буде менше 200 сонячних днів.
Рішення. Тут n = 365, p = 75/365 = 0.205

Фактично формули (1) та (2) це короткий записумовної ймовірності з урахуванням таблиці сполученості ознак. Повернемося, наприклад, розглянутому (рис. 1). Припустимо, що нам стало відомо, ніби сім'я збирається купити широкоекранний телевізор. Яка ймовірність того, що ця сім'я справді придбає такий телевізор?

Мал. 1. Поведінка покупців широкоекранних телевізорів

В даному випадку нам необхідно обчислити умовну ймовірність Р (купівля здійснена | купівля планувалася). Оскільки нам відомо, що сім'я планує придбання, вибірковий простір складається не з усіх 1000 сімей, а лише з тих, що планують придбання широкоекранного телевізора. Із 250 таких сімей 200 справді купили цей телевізор. Отже, ймовірність того, що сім'я дійсно придбає широкоекранний телевізор, якщо вона запланувала це, можна обчислити за такою формулою:

Р (купівля здійснена | купівля планувалася) = кількість сімей, що планували та купили широкоекранний телевізор / кількість сімей, які планували купити широкоекранний телевізор = 200 / 250 = 0,8

Той самий результат дає формула (2):

де подія Аполягає в тому, що сім'я планує покупку широкоформатного телевізора, а подію У- У тому, що вона його дійсно купить. Підставляючи у формулу реальні дані, отримуємо:

Дерево рішень

На рис. 1 сім'ї розділені на чотири категорії: які планували покупку широкоекранного телевізора і не планували, а також купили такий телевізор і не купили. Аналогічну класифікацію можна виконати за допомогою дерева розв'язків (рис. 2). Дерево, зображене на рис. 2, має дві гілки, що відповідають сім'ям, які планували придбати широкоекранний телевізор, та сім'ям, які не робили цього. Кожна з цих гілок поділяється на дві додаткові гілки, що відповідають сім'ям, які купили і не купили широкоекранний телевізор. Імовірності, записані на кінцях двох основних гілок, є безумовними ймовірностями подій Аі А’. Імовірності, записані на кінцях чотирьох додаткових гілок є умовними ймовірностями кожної комбінації подій Аі У. Умовні ймовірності обчислюються шляхом розподілу спільної ймовірностіподій на відповідну безумовну можливість кожного з них.

Мал. 2. Дерево рішень

Наприклад, щоб визначити ймовірність того, що сім'я придбає широкоекранний телевізор, якщо вона запланувала зробити це, слід визначити ймовірність події купівля запланована та здійснена, а потім поділити його на ймовірність події купівля запланована. Переміщаючись по дереву рішення, зображене на рис. 2, отримуємо наступну (аналогічну попередньому) відповідь:

Статистична незалежність

У прикладі з покупкою широкоекранного телевізора ймовірність того, що випадково обрана сім'я придбала широкоекранний телевізор за умови, що вона планувала це зробити, дорівнює 200/250 = 0,8. Нагадаємо, що безумовна ймовірністьте, що випадково обрана сім'я придбала широкоекранний телевізор, дорівнює 300/1000 = 0,3. Звідси випливає дуже важливий висновок. Апріорна інформація про те, що сім'я планувала покупку, впливає на ймовірність самої покупки.Інакше кажучи, ці дві події залежать одна від одної. На противагу цьому прикладу, існують статистично незалежні події, Імовірності яких залежать друг від друга. Статистична незалежність виражається тотожністю: Р(А|В) = Р(А), де Р(А|В)- ймовірність події Аза умови, що сталася подія У, Р(А)- Безумовна ймовірність події А.

Зверніть увагу на те, що події Аі У Р(А|В) = Р(А). Якщо таблиці сполученості ознак, має розмір 2×2, ця умова виконується хоча б однієї комбінації подій Аі У, воно буде справедливим і для будь-якої іншої комбінації. У нашому прикладі події купівля запланованаі купівля здійсненане є статистично незалежними, оскільки інформація про одну подію впливає на ймовірність іншої.

Розглянемо приклад, де показано, як перевірити статистичну незалежність двох подій. Запитаємо у 300 сімей, які купили широкоформатний телевізор, чи задоволені вони своєю покупкою (рис. 3). Визначте, чи пов'язані між собою ступінь задоволеності покупкою та тип телевізора.

Мал. 3. Дані, що характеризують ступінь задоволеності покупців широкоекранних телевізорів

Судячи з цих даних,

В той же час,

Р (покупець задоволений) = 240/300 = 0,80

Отже, ймовірність того, що покупець задоволений покупкою, і того, що сім'я купила HDTV-телевізор, є рівними між собою, і ці події є статистично незалежними, оскільки ніяк не пов'язані між собою.

Правило множення ймовірностей

Формула для обчислення умовної ймовірності дозволяє визначити ймовірність спільної події А і В. Дозволивши формулу (1)

щодо спільної ймовірності Р(А та В), Отримуємо загальне, правило множення ймовірностей. Ймовірність події А і Вдорівнює ймовірності події Аза умови, що настала подія У У:

(3) Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)

Розглянемо як приклад 80 сімей, які купили широкоекранний HDTV-телевізор (рис. 3). У таблиці зазначено, що 64 сім'ї задоволені покупкою та 16 – ні. Припустимо, що серед них випадково вибираються дві родини. Визначте ймовірність, що обидва покупці виявляться задоволеними. Використовуючи формулу (3), отримуємо:

Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)

де подія Аполягає в тому, що друга сім'я задоволена своєю покупкою, а подія У- У тому, що перша сім'я задоволена своєю покупкою. Імовірність того, що перша сім'я задоволена своєю покупкою, дорівнює 64/80. Однак ймовірність того, що друга сім'я також задоволена своєю покупкою, залежить від першої родини. Якщо перша сім'я після опитування не повертається у вибірку (вибір без повернення), кількість респондентів знижується до 79. Якщо перша сім'я виявилася задоволеною своєю покупкою, ймовірність того, що друга сім'я також буде задоволена, дорівнює 63/79, оскільки у вибірці залишилося лише 63 сім'ї, задоволені своїм придбанням. Таким чином, підставляючи у формулу (3) конкретні дані, отримаємо наступну відповідь:

Р(А та В) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Отже, ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своїми покупками, дорівнює 63,8%.

Припустимо, що після опитування перша сім'я повертається у вибірку. Визначте ймовірність того, що обидві сім'ї виявляться задоволеними своєю покупкою. У цьому випадку ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своєю покупкою однакові, і дорівнюють 64/80. Отже, Р(А та В) = (64/80)(64/80) = 0,64. Таким чином, ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своїми покупками, дорівнює 64%. Цей приклад показує, що вибір другої сім'ї залежить від вибору першої. Таким чином, замінюючи у формулі (3) умовну ймовірність Р(А|В)ймовірністю Р(А), ми одержуємо формулу множення ймовірностей незалежних подій.

Правило збільшення ймовірностей незалежних подій.Якщо події Аі Ує статистично незалежними, ймовірність події А і Вдорівнює ймовірності події А, помноженої на ймовірність події У.

(4) Р(А та В) = Р(А)Р(В)

Якщо це правило виконується для подій Аі УОтже, вони є статистично незалежними. Таким чином, існують два способи визначити статистичну незалежність двох подій:

1. Події Аі Ує статистично незалежними один від одного тоді і лише тоді, коли Р(А|В) = Р(А).
2. Події Аі Bє статистично незалежними один від одного тоді і лише тоді, коли Р(А та В) = Р(А)Р(В).

Якщо в таблиці сполученості ознак, що має розмір 2×2, одна з цих умов виконується хоча б для однієї комбінації подій Аі B, воно буде справедливим і для будь-якої іншої комбінації.

Безумовна ймовірність елементарної події

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

де події B 1 , B 2 ... B k є взаємовиключними і вичерпними.

Проілюструємо застосування цієї формули з прикладу рис.1. Використовуючи формулу (5), отримуємо:

Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2)

де Р(А)- ймовірність того, що купівля планувалася, Р(У 1)- ймовірність того, що покупка здійснена, Р(В 2)- Імовірність того, що покупка не здійснена.

ТЕОРЕМА БАЙЄСА

Умовна ймовірністьподії враховує інформацію про те, що сталася інша подія. Цей підхід можна використовувати як для уточнення ймовірності з урахуванням нової інформації, так і для обчислення ймовірності, що ефект, що спостерігається, є наслідком певної конкретної причини. Процедура уточнення цих ймовірностей називається теоремою Байєса. Вперше вона була розроблена Томасом Байєсом у 18 столітті.

Припустимо, що компанія, згадана вище, досліджує ринок збуту нової моделі телевізора. У минулому 40% телевізорів, створених компанією, мали успіх, а 60% моделей визнання не отримали. Перш ніж оголосити про випуск нової моделі, фахівці з маркетингу ретельно досліджують ринок та фіксують попит. У минулому успіх 80% моделей, які здобули визнання, прогнозувався заздалегідь, водночас 30% сприятливих прогнозів виявились невірними. Для нової моделі відділ маркетингу дав сприятливий прогноз. Яка ймовірність того, що нова модель телевізора матиме попит?

Теорему Байєса можна вивести з визначень умовної ймовірності (1) та (2). Щоб обчислити ймовірність Р(В|А), візьмемо формулу (2):

і підставимо замість Р(А і В) значення формули (3):

Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)

Підставляючи замість Р(А) формулу (5), отримуємо теорему Байєса:

де події B 1 , 2 , … k є взаємовиключними і вичерпними.

Введемо такі позначення: подія S - телевізор користується попитом, подія S' - телевізор не користується попитом, подія F - сприятливий прогноз, подія F’ - несприятливий прогноз. Припустимо, що P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Застосовуючи теорему Байєса отримуємо:

Імовірність попиту на нову модель телевізора за умови сприятливого прогнозудорівнює 0,64. Таким чином, ймовірність відсутності попиту за умови сприятливого прогнозу дорівнює 1-0,64 = 0,36. Процес обчислень подано на рис. 4.

Мал. 4. (а) Обчислення за формулою Байєса для оцінки ймовірності попиту телевізорів; (б) Дерево рішення щодо попиту на нову модель телевізора

Розглянемо приклад застосування теореми Байєса для медичної діагностики. Імовірність того, що людина страждає від певного захворювання, дорівнює 0,03. Медичний тест дозволяє перевірити, чи це так. Якщо людина дійсно хвора, ймовірність точного діагнозу (стверджує, що людина хвора, коли вона дійсно хвора) дорівнює 0,9. Якщо людина здорова, ймовірність хибнопозитивного діагнозу (стверджує, що людина хвора, коли вона здорова) дорівнює 0,02. Припустимо, що медичний тестдав позитивний результат. Яка ймовірність того, що людина дійсно хвора? Яка ймовірність точного діагнозу?

Введемо такі позначення: подія D - людина хвора, подія D' - людина здорова, подія Т - позитивний діагноз, подія Т' - негативний діагноз. З умови завдання випливає, що Р(D) = 0,03, P(D') = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D') = 0,02. Застосовуючи формулу (6), отримуємо:

Імовірність того, що при позитивному діагнозі людина дійсно хвора, дорівнює 0,582 (див. також рис. 5). Знаменник формули Байєса дорівнює ймовірності позитивного діагнозу, тобто. 0,0464.