Імовірність попадання в довірчий інтервал. Довірчий інтервал

Розглянуті точкові оцінкипараметрів розподілу дають оцінку у вигляді числа, найближчого до значення невідомого параметра. Такі оцінки використовують тільки при великому числівимірів. Чим менший обсяг вибірки, тим легше припуститися помилки при виборі параметра. Для практики важливо не лише отримати точкову оцінку, а й визначити інтервал, що називається довірчим,між межами якого із заданою довірити ймовірністю

де q - Рівень значимості; х н, х в - нижня та верхня межаінтервалу, знаходиться справжнє значенняоцінюваного параметра.

У загальному випадкудовірчі інтервали можна будувати на основі нерівності Чебишева.За будь-якого закону розподілу випадкової величини, Що має моменти перших двох порядків, верхня межа ймовірності попадання відхилення випадкової величини х від центру розподілу Х ц в інтервал tS x описується нерівністю Чебишева

де S x - Оцінка СКО розподілу; t - додатне число.

Для знаходження довірчого інтервалу не потрібно знати закону розподілу результатів спостережень, але потрібно знати оцінку СКО. Отримані за допомогою нерівності Чебишева інтервали виявляються надто широкими для практики. Так, довірчої ймовірності 0,9 для багатьох законів розподілів відповідає довірчий інтервал 1,6 S X . Нерівність Чебишева дає в даному випадку 3,16 S X . У зв'язку з цим воно не набуло широкого поширення.

У метрологічній практиці використовують головним чином кван-тильні оцінкидовірчого інтервалу. Під 100 P-процентним квантилем х р розуміють абсцис такий вертикальної лінії, Зліва від якої площа під кривою щільності розподілу дорівнює Р%. Інакше кажучи, квантиль- Це значення випадкової величини (похибки) із заданою довірчою ймовірністю Р. Наприклад, медіана розподілу є 50%-ним квантилем х 0,5.

Насправді 25- і 75%-ный квантили прийнято називати згинами,або квантилями розподілу.Між ними укладено 50% всіх можливих значень випадкової величини, інші 50% лежать поза ними. Інтервал значень випадкової величини х між х 005 і х 095 охоплює 90% всіх її можливих значень і називається інтерквантильним проміжком з 90% ймовірністю.Його протяжність дорівнює d 0,9 = х 0,95 - х 0,05.

На підставі такого підходу вводиться поняття квантильних значень похибки,тобто. значень похибки із заданою довірчою ймовірністю Р - меж інтервалу невизначеності ±DД = ± (х р - х 1-р)/2 = ± d p /2. На його довжині зустрічається Р% значень випадкової величини (похибки), a q = (1- Р)% загального їх числа залишаються поза цього інтервалу.

Для отримання інтервальної оцінки нормально розподіленої випадкової величини необхідно:

Визначити точкову оцінку МО х̅ та СКО S x випадкової величини за формулами (6.8) та (6.11) відповідно;

Вибрати довірчу ймовірність Р із рекомендованого ряду значень 0,90; 0,95; 0,99;

Знайти верхню х в і нижню х н кордону відповідно до рівнянь

одержаними з урахуванням (6.1). Значення х н і х визначаються з таблиць значень інтегральної функції розподілу F (t ) або функції Лапласа Ф(1).

Отриманий довірчий інтервал задовольняє умову

(6.13)

де n - Число виміряних значень; z p - аргумент функції Лапласа Ф(1), що відповідає ймовірності Р/2. В даному випадку z p називається квантильним множником. Половина довжини довірчого інтервалу називається довірчою межею похибки результату вимірів.

Приклад 6.1. Зроблено 50 вимірів постійного опору. Визначити довірчий інтервал для МО значення постійного опору, якщо закон розподілу нормальний з параметрами m x = R = 590 Ом, S x = 90 Ом за довірчої ймовірності Р = 0,9.

Оскільки гіпотеза про нормальність закону розподілу не суперечить досвідченим даним, довірчий інтервал визначається за формулою

Звідси Ф(z р ) = 0,45. З таблиці, наведеної у додатку 1, знаходимо, що z p = 1,65. Отже, довірчий інтервал запишеться у вигляді

Або 590 - 21< R < 590 + 21. Окончательно 509 Ом < R< 611 Ом.

За відмінності закону розподілу випадкової величини від нормального необхідно побудувати його математичну модельта визначати довірчий інтервал із її використанням.

Розглянутий спосіб знаходження довірчих інтервалів справедливий для досить великої кількості спостережень n коли s= S x . Слід пам'ятати, що обчислювана оцінка СКО S x є лише деяким наближенням до справжнього значенняs. Визначення довірчого інтервалу при заданій ймовірності виявляється тим менш надійним, ніж менше числоспостережень. Не можна користуватися формулами нормального розподілу при малій кількості спостережень, якщо немає можливості теоретично на основі попередніх дослідів з достатньою кількістю спостережень визначити СКО.

Розрахунок довірчих інтервалів випадку, коли розподіл результатів спостережень нормально, та його дисперсія невідома, тобто. при малій кількості спостережень п, можливо виконати з використанням розподілу Стьюдента S (t, k ). Воно визначає щільність розподілу відносини (дробі Стьюдента):

де Q - Справжнє значення вимірюваної величини. Величини х̅ , S x . та S x ̅ обчислюються на підставі дослідних даних і є точковими оцінками МО, СКО результатів вимірювань і СКО середнього арифметичного значення.

Імовірність того, що дріб Стьюдента в результаті виконаних спостережень прийме деяке значення в інтервалі (- t p; + t p)

(6.14)

де k - Число ступенів свободи, рівне (п - 1). Величини t p (звані в даному випадку коефіцієнтами Стьюдента),розраховані за допомогою двох останніх формул для різних значеньдовірчої ймовірності та числа вимірювань, табульовані (див. таблицю у додатку 1). Отже, за допомогою розподілу Стьюдента можна знайти ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного від справжнього значення вимірюваної величини не перевищує

У тих випадках, коли розподіл випадкових похибок не є нормальним, все ж таки часто користуються розподілом Стьюдента з наближенням, ступінь якого залишається невідомим. Розподіл Стьюдента застосовують при числі вимірів n < 30, поскольку уже при n = 20, ...,30 воно перетворюється на нормальне і замість рівняння (6.14) можна використовувати рівняння (6.13). Результат виміру записується у вигляді: ; P = Р д, де Р д - конкретне значеннядовірчої ймовірності. Множник t при великій кількості вимірів n дорівнює квантильному множнику z p. При малому n він дорівнює коефіцієнтуСтьюдента.

Отриманий результат виміру не є одним конкретним числом, а являє собою інтервал, всередині якого з певною ймовірністю Р д знаходиться справжнє значення вимірюваної величини. Виділення середини інтервалу х зовсім не передбачає, що справжнє значення ближче до нього, ніж до інших точок інтервалу. Воно може бути будь-де інтервалу, а з ймовірністю 1 - Р д навіть поза ним.

Приклад 6.2. Визначення питомих магнітних втрат для різних зразків однієї партії електротехнічної сталі марки 2212 дало такі результати: 1,21; 1,17; 1,18; 1,13; 1,19; 1,14; 1,20 та 1,18 Вт/кг. Вважаючи, що систематична похибка відсутня, а випадкова розподілена за нормальним законом, потрібно визначити довірчий інтервал при значеннях довірчої ймовірності 0,9 та 0,95. Для вирішення задачі використовувати формулу Лапласа та розподіл Стьюдента.

За формулами (6.8) у (6.11) знаходимо оцінки середнього арифметичного значення та СКО результатів вимірювань. Вони відповідно дорівнюють 1,18 та 0,0278 Вт/кг. Вважаючи, що оцінка СКО дорівнює самому відхилення, знаходимо:

Звідси, використовуючи значення функції Лапласа, наведені у таблиці додатка 1, визначаємо, щоz p = 1,65. Для Р = 0,95 коефіцієнт z p =1,96. Довірчі інтервали, що відповідають Р = 0,9 та 0,95, дорівнюють 1,18 ± 0,016 та 1,18±0,019 Вт/кг.

У тому випадку, коли немає підстав вважати, що СКО та його оцінка рівні, довірчий інтервал визначається на основі розподілу Стьюдента:

За таблицею додатка 1 знаходимо, що t 0,9 = 1,9 та t 0,95 = 2,37. Звідси довірчі інтервали відповідно дорівнюють 1,18±0,019 та 1,18±0,023 Вт/кг.

Контрольні питання.

1. За яких умов похибка виміру може розглядатися як випадкова величина?

2. Перерахуйте властивості інтегральної та диференціальної функцій розподілу випадкової величини.

3. Назвіть числові параметри законів розподілу.

4. Як може задаватися центр розподілу?

5. Що таке моменти розподілу? Які з них знайшли застосування у метрології?

6. Назвіть основні класи розподілів, що використовуються у метрології.

7. Дайте характеристику розподілу, що входять до класу трапецеїдальних розподілів.

8. Що таке експоненційні розподіли? Які їх властивості та показники?

9. Що таке нормальний розподіл? Чому воно відіграє особливу роль у метрології?

10. Що таке функція Лапласа і навіщо вона використовується?

11. Як описується і де використовується сімейство розподілів Стьюдента?

12. Які точкові оцінки законів розподілу ви знаєте? Які вимоги до них?

13. Що таке довірчий інтервал? Які способи його завдання вам відомі?

Довірчий інтервал. Довірча ймовірність.

ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ МОЖЛИВОСТІ ДО СТАТИСТИКИ.

Основні поняття.

Математична статистика- це розділ математики, в якому вивчаються методи обробки та аналізу експериментальних даних, отриманих у результаті спостережень над масовими випадковими подіями, явищами.

Спостереження, що проводяться над об'єктами, можуть охоплювати всіх членів сукупності, що вивчається без винятку і можуть обмежуватися обстеженнями лише деякої частини членів даної сукупності. Перше спостереження називається суцільним або повним, друге частковим або вибірковим .

Природно, що найбільше повну інформаціюдає суцільне спостереженняОднак до нього вдаються далеко не завжди. По-перше, суцільне спостереження дуже трудомістке, а по-друге, часто буває практично неможливо або навіть недоцільно. Тому в переважній більшості випадків вдаються до вибіркового дослідження.

Сукупність, з якої певним чином відбирається частина її членів для спільного вивчення, називається генеральною сукупністю , а відібрана тим чи іншим способом частина генеральної сукупності - вибіркова сукупністьабо вибірка .

Обсяг генеральної сукупності теоретично нічим необмежений, практично він завжди обмежений.

Обсяг вибірки може бути великим або малим, але він не може бути меншим за два.

Відбір у вибірку можна проводити випадковим способом (за способом жеребкування чи лотереї). Або планово, залежно від завдання та організації обстеження. Для того щоб вибірка була представницькою, необхідно звертати увагу на розмах варіювання ознаки та узгоджувати з ним обсяг вибірки.

2. Визначення невідомої функції розподілу.

Отже, ми зробили вибірку. Розіб'ємо діапазон значень, що спостерігаються на інтервали , , …. однакової довжини. Для оцінки необхідної кількості інтервалів можна використовувати такі формули:

Далі нехай m i - Число спостережуваних значень, що потрапили в i-ийінтервал. Розділивши m i на загальне числоспостережень n, отримаємо частоту , що відповідає i-омуінтервалу: , причому . Складемо таку таблицю:

яка називається статистичним рядом . Емпіричної (або статистичної ) функцією розподілу випадкової величини називається частота події, що полягає в тому, що величина в результаті досвіду набуде значення, меншого x:

На практиці достатньо знайти значення статистичної функціїрозподілу F*(x) у точках , які є межами інтервалів статистичного ряду:

(5.2)

Слід зазначити, що за і при . Побудувавши точки і з'єднавши їх плавною кривою, отримаємо наближений графік емпіричної функціїрозподілу (рис. 5.1). Використовуючи закон великих чиселБернуллі, можна довести, що при досить великій кількості випробувань з ймовірністю, близькою до одиниці, емпірична функція розподілу відрізняється скільки завгодно мало від невідомої нам функції розподілу випадкової величини.

Часто замість побудови графіка емпіричної функції розподілу надходять в такий спосіб. На осі абсцис відкладають інтервали, ,…. . На кожному інтервалі будують прямокутник, площа якого дорівнює частоті , що відповідає даному інтервалу. Висота h i цього прямокутника дорівнює , де - Довжина кожного з інтервалів. Зрозуміло, що сума площ усіх побудованих прямокутників дорівнює одиниці.

Розглянемо функцію, яка в інтервалі стала і дорівнює. Графік цієї функції називається гістограмою . Він є ступінчастою лінією (рис. 5.2). За допомогою закону великих чисел Бернуллі можна довести, що при малих і великих із практичною достовірністю як завгодно мало відрізняється від густини розподілу безперервної випадкової величини.

Таким чином, на практиці визначається вид невідомої функції розподілу випадкової величини.

3. Визначення невідомих параметрів розподілу.

Таким чином, ми отримали гістограму, яка дає наочність. Наочність представлених результатів дозволяє зробити різні висновки, судження про об'єкт, що досліджується.

Однак на цьому зазвичай не зупиняються, а йдуть далі, аналізуючи дані на перевірку певних припущень щодо можливих механізмів процесів, що вивчаються або явищ.

Незважаючи на те, що даних у кожному обстеженні порівняно небагато, ми б хотіли, щоб результати аналізу досить добре описували все реально існуюче або мислиме безліч (тобто генеральну сукупність).

І тому роблять деякі припущення у тому, як обчислені з урахуванням експериментальних даних (вибірці) показники співвідносяться з параметрами генеральної сукупності.

Розв'язання цього завдання складає головну частинубудь-якого аналізу експериментальних даних і тісно пов'язані з використанням низки теоретичних розподілів, розглянутих вище.

Широке використанняу статистичних висновках нормального розподілу має під собою як емпіричне, і теоретичне обгрунтування.

По-перше, практика показує, що у багатьох випадках нормальний розподіл є досить точним поданням експериментальних даних.

По-друге, теоретично показано, що середні значення інтервалів гістограм розподілені за законом, близьким до нормального.

Проте слід чітко уявляти, що нормальний розподіл - це лише суто математичний інструмент і зовсім необов'язково, щоб реальні експериментальні дані точно описувалися нормальним розподілом. Хоча в багатьох випадках, припускаючи невелику помилку, можна говорити, що дані нормально розподілені.

Ряд показників, такі як середнє, дисперсія тощо, характеризують вибірку та називаються статистиками. Такі самі показники, але які стосуються генеральної сукупності загалом, називаються параметрами. Отже, можна сказати, що статистики служать з метою оцінки параметрів.

Генеральною середньою називається середня арифметичне значень генеральної сукупності обсягу:

Вибірковою середньою називається середня арифметична вибірка обсягу :

(5.4)

якщо вибірка має вигляд таблиці.

Вибіркову середню приймають як оцінку генеральної середньої.

Генеральною дисперсією називається середнє арифметичне квадратів відхилення значень генеральної сукупності від їхнього середнього значення:

Генеральним середнім квадратичним відхиленням називається корінь квадратний із генеральної дисперсії: .

Вибірковою дисперсієюназивається середнє арифметичне квадратів відхилення значень вибірки від їхнього середнього значення :

Вибіркове середнє квадратичне відхиленнявизначається як .

Для кращого збігу з результатами експериментів вводять поняття емпіричної (або виправленої) дисперсії:

Для оцінки генерального середнього квадратичного відхилення служить виправлене середнє квадратичне відхилення, або емпіричний стандарт:

(5.5)

Якщо всі значення вибірки різні, тобто. , , формули для і набувають вигляду:

(5.6)

Довірчий інтервал. Довірча ймовірність.

Різні статистики, одержувані в результаті обчислень, є точкові оцінки відповідних параметрів генеральної сукупності.

Якщо з генеральної сукупності витягти деяку кількість вибірок і для кожної з них знайти цікаві для нас статистики, то обчислені значення будуть випадковими величинами, що мають деякий розкид навколо параметра, що оцінюється.

Але, як правило, в результаті експерименту у розпорядженні дослідника є одна вибірка. Тому значний інтерес становить отримання інтервальної оцінки, тобто. деякого інтервалу, у якому, як можна припустити, лежить справжнє значення параметра.

Імовірності, визнані достатніми для впевнених суджень про параметри генеральної сукупності виходячи з статистик, називаються довірчими.

Наприклад розглянемо як оцінку параметра.

Аналіз випадкових похибок ґрунтується на теорії випадкових помилок, що дає можливість із певною гарантією обчислити дійсне значення виміряної величини та оцінити можливі помилки.

Основу теорії випадкових помилок становлять такі припущення:

при великій кількості вимірів випадкові похибки однакової величини, але різного знака зустрічаються однаково часто;

великі похибки трапляються рідше, ніж малі (ймовірність появи похибки зменшується із зростанням її величини);

при нескінченно великому числі вимірі справжнє значення вимірюваної величини дорівнює середньоарифметичному значенню всіх результатів вимірів;

поява тієї чи іншої результату виміру як випадкового події описується нормальним законом розподілу.

Насправді розрізняють генеральну і вибіркову сукупність вимірів.

Під генеральною сукупністю мають на увазі все безліч можливих значень вимірів або можливих значень похибок
.

Для вибіркової сукупності кількість вимірів обмежено, й у кожному даному випадку суворо визначається. Вважають, що якщо
, то середнє значення даної сукупності вимірів досить наближається для його істинного значення.

1. Інтервальна оцінка за допомогою довірчої ймовірності

Для великої вибірки та нормального законурозподілу загальною оцінною характеристикою виміру є дисперсія
та коефіцієнт варіації :

;
. (1.1)

Дисперсія характеризує однорідність виміру. Чим вище
тим більше розкид вимірювань.

Коефіцієнт варіації характеризує мінливість. Чим вище , тим більше мінливість вимірів щодо середніх значень.

Для оцінки достовірності результатів вимірювань вводяться до розгляду поняття довірчого інтервалу та довірчої ймовірності.

Довірчим називається інтервал значень , в який потрапляє справжнє значення вимірюваної величини із заданою ймовірністю.

Довірчою ймовірністю (Достовірністю) вимірювання називається ймовірність того, що справжнє значення вимірюваної величини потрапляє в даний довірчий інтервал, тобто. у зону
. Ця величина визначається у частках одиниці або у відсотках

,

де
- інтегральна функціяЛапласа ( табл.1.1 )

Інтегральна функція Лапласа визначається наступним виразом:

.

Аргументом цієї функції є гарантійний коефіцієнт :

Таблиця 1.1

Інтегральна функція Лапласа

Якщо ж на основі певних даних встановлено довірчу ймовірність (часто її приймають рівною
), то встановлюється точність вимірів (довірчий інтервал
) на основі співвідношення

.

Половина довірчого інтервалу дорівнює

, (1.3)

де
- аргумент функції Лапласа, якщо
(табл.1.1 );

- функції Стьюдента, якщо
(табл.1.2 ).

Таким чином, довірчий інтервал характеризує точність виміру даної вибірки, а довірча ймовірність – достовірність виміру.

приклад

Виконано
вимірювань міцності дорожнього покриття ділянки автомобільної дорогипри середньому модулі пружності
та обчисленому значенні середньоквадратичного відхилення
.

Необхідно визначити необхідну точністьвимірювань для різних рівнівдовірчої ймовірності
, Прийнявши значення по табл.1.1 .

І тут відповідно |

Отже, для даного засобуі методу вимірювань довірчий інтервал зростає приблизно в рази, якщо збільшити тільки на
.

Довірчий інтервал прийшов до нас із галузі статистики. Це певний діапазон, який служить для оцінки невідомого параметра з високим ступенемнадійність. Найпростіше це пояснити на прикладі.

Припустимо, слід досліджувати якусь випадкову величину, наприклад, швидкість відгуку сервера на запит клієнта. Щоразу, коли користувач набирає адресу конкретного сайту, сервер реагує з різною швидкістю. Таким чином, час відгуку, що досліджується, має випадковий характер. Так ось, довірчий інтервал дозволяє визначити межі цього параметра, і потім можна буде стверджувати, що з ймовірністю 95% сервера буде знаходитися в розрахованому нами діапазоні.

Або ж потрібно дізнатися, якій кількості людей відомо про торговій марціфірми. Коли буде підрахований довірчий інтервал, можна буде, наприклад, сказати що з 95% часткою ймовірності частка споживачів, знають про цю перебуває у діапазоні від 27% до 34%.

З цим терміном тісно пов'язана така величина як довірча ймовірність. Вона є ймовірністю того, що шуканий параметр входить у довірчий інтервал. Від цієї величини залежить те, наскільки більшим виявиться наш пошуковий діапазон. Чим більше значеннявона приймає, тим стає довірчий інтервал, і навпаки. Зазвичай її встановлюють 90%, 95% або 99%. Величина 95% найпопулярніша.

На цей показник також впливає дисперсія спостережень і Його визначення ґрунтується на тому припущенні, що досліджувана ознака підкоряється. Це твердження відоме також як Закон Гауса. Згідно з ним, нормальним називається такий розподіл усіх ймовірностей безперервної випадкової величини, який можна описати щільністю ймовірностей. Якщо припущення про нормальному розподілівиявилося помилковим, то оцінка може виявитися неправильною.

Спочатку розберемося з тим, як обчислити довірчий інтервал. Тут можливі два випадки. Дисперсія (ступінь розкиду випадкової величини) може бути відома чи ні. Якщо вона відома, то наш довірчий інтервал обчислюється за допомогою наступної формули:

хср - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - ознака,

t - параметр таблиці розподілу Лапласа,

σ – квадратний корінь дисперсії.

Якщо дисперсія невідома, її можна розрахувати, якщо нам відомі всі значення шуканої ознаки. Для цього використовується така формула:

σ2 = х2ср - (хср)2 де

х2ср - середнє значення квадратів досліджуваної ознаки,

(ХСР)2 - квадрат даної ознаки.

Формула, за якою в цьому випадку розраховується довірчий інтервал, трохи змінюється:

хср - t * s / (sqrt (n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

хср - вибіркове середнє,

α - ознака,

t - параметр, який знаходять за допомогою таблиці розподілу Стьюдента t = t(?;n-1),

sqrt(n) - квадратний корінь загального обсягу вибірки,

s – квадратний корінь дисперсії.

Розглянь такий приклад. Припустимо, що за результатами 7 вимірів було визначено досліджуваного ознаки, що дорівнює 30 і дисперсія вибірки, що дорівнює 36. Потрібно знайти з ймовірністю 99% довірчий інтервал, який містить справжнє значення параметра, що вимірюється.

Спочатку визначимо чому t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Використовуємо наведену вище формулу, отримуємо:

хср - t * s / (sqrt (n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3.71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

Довірчий інтервал дисперсії розраховується як у випадку з відомим середнім, так і тоді, коли немає жодних даних про математичне очікування, а відомо лише значення точкової незміщеної оцінки дисперсії. Ми не наводитимемо тут формули його розрахунку, оскільки вони досить складні і за бажання їх завжди можна знайти в мережі.

Відзначимо лише, що довірчий інтервал зручно визначати за допомогою програми Excel або мережевого сервісу, що так і називається.

Точність оцінки, довірча ймовірність (надійність)

Довірчий інтервал

При вибірці малого обсягу слід скористатися інтервальними оцінками т.к. це дозволяє уникнути грубих помилок, на відміну точкових оцінок.

Інтервальної називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу, що покриває параметр, що оцінюється. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність та надійність оцінок.

Нехай знайдена за даними вибірки статистична характеристика служить оцінкою невідомого параметра. Вважатимемо постійним числом (може бути і випадковою величиною). Ясно, що * тим точніше визначає параметр, чим менше абсолютна величина різниці | - * |. Інакше кажучи, якщо >0 і | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Проте статистичні методи неможливо категорично стверджувати, що оцінка * задовольняє нерівності | - *|<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки * називають ймовірність, з якою здійснюється нерівність | - *|<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Нехай ймовірність того, що | - *|<, равна т.е.

Замінивши нерівність - *|< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

Р(*-< <*+)=.

Довірчим називають інтервал (*-, *+), який покриває невідомий параметр із заданою надійністю.

Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за відомого.

Інтервальною оцінкою з надійністю математичного очікування а нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою середньою х за відомого середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності служить довірчий інтервал

х - t(/n^?)< a < х + t(/n^?),

де t(/n^?)= - точність оцінки, n - обсяг вибірки, t - значення аргументу функції Лапласа Ф(t), у якому Ф(t)=/2.

З рівності t(/n^?)=, можна зробити такі висновки:

1. у разі зростання обсягу вибірки n число зменшується і, отже, точність оцінки збільшується;

2. збільшення надійності оцінки = 2Ф(t) призводить до збільшення t (Ф(t) - зростаюча функція), отже, і до зростання; іншими словами, збільшення надійності класичної оцінки спричиняє зменшення її точності.

приклад. Випадкова величина X має нормальний розподіл із відомим середнім квадратичним відхиленням =3. Знайти довірчі інтервали для оцінки невідомого математичного очікування a за середнім вибірковим х, якщо обсяг вибірки n = 36 і задана надійність оцінки = 0,95.

Рішення. Знайдемо t. Зі співвідношення 2Ф(t) = 0,95 отримаємо Ф(t) = 0,475. За таблицею знаходимо t=1,96.

Знайдемо точність оцінки:

точність довірчий інтервал вимір

T(/n^?)= (1,96.3)//36 = 0,98.

Довірчий інтервал такий: (х – 0,98; х + 0,98). Наприклад, якщо х = 4,1, то довірчий інтервал має такі довірчі межі:

х – 0,98 = 4,1 – 0,98 = 3,12; х + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.

Таким чином, значення невідомого параметра, що узгоджуються з даними вибірки, задовольняють нерівності 3,12< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Пояснимо сенс, що має задана надійність. Надійність = 0,95 вказує, що якщо зроблено досить велику кількість вибірок, то 95% їх визначає такі довірчі інтервали, у яких параметр справді укладено; лише 5% випадків може вийти межі довірчого інтервалу.

Якщо потрібно оцінити математичне очікування з наперед заданою точністю та надійністю, то мінімальний обсяг вибірки, який забезпечить цю точність, знаходять за формулою

Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за невідомого

Інтервальною оцінкою з надійністю математичного очікування а нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою середньою х за невідомого середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності служить довірчий інтервал

х - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?),

де s -«виправлене» вибіркове середнє квадратичне відхилення, t() знаходять таблиці по заданим і n.

приклад. Кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу n=16 знайдено середню вибіркову x = 20,2 і «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 0,8. Оцінити невідоме математичне очікування за допомогою довірчого інтервалу з надійністю 0,95.

Рішення. Знайдемо t(). Користуючись таблицею, = 0,95 і n=16 знаходимо t()=2,13.

Знайдемо довірчі кордони:

х - t()(s/n^?) = 20,2 - 2,13*. 0,8/16? = 19,774

х + t()(s/n^?) = 20,2 + 2,13 * 0,8/16^? = 20,626

Отже, з надійністю 0,95 невідомий параметр міститься в довірчому інтервалі 19,774< а < 20,626

Оцінка істинного значення вимірюваної величини

Нехай проводиться n незалежних рівноточних вимірів деякої фізичної величини, справжнє значення якої невідомо.

Розглянемо результати окремих вимірів як випадкові величини Хl, Х2,…Хn. Ці величини незалежні (вимірювання незалежні). Мають одне й те математичне очікування а (справжнє значення вимірюваної величини), однакові дисперсії ^2 (вимірювання рівноточні) і розподілені нормально (таке припущення підтверджується досвідом).

Таким чином, всі припущення, які були зроблені при виведенні довірчих інтервалів, виконуються, і, отже, ми маємо право використовувати формули. Іншими словами, справжнє значення вимірюваної величини можна оцінювати за середнім арифметичним результатом окремих вимірювань за допомогою довірчих інтервалів.

приклад. За даними дев'яти незалежних рівноточних вимірювань фізичної величини знайдені середні арифметичні результати окремих вимірювань х = 42,319 і «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 5,0. Потрібно оцінити справжнє значення вимірюваної величини з надійністю = 0,95.

Рішення. Справжнє значення вимірюваної величини дорівнює її математичному очікуванню. Тому завдання зводиться до оцінки математичного очікування (при невідомому) за допомогою довірчого інтервалу покриває а з заданою надійністю = 0,95.

х - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?)

Користуючись таблицею, у = 0,95 і л = 9 знаходимо

Знайдемо точність оцінки:

t()(s/n^?) = 2,31 * 5/9^?=3.85

Знайдемо довірчі кордони:

х - t()(s/n^?) = 42,319 - 3,85 = 38,469;

x + t()(s/n^?) = 42,319 +3,85 = 46,169.

Отже, з надійністю 0,95 дійсне значення вимірюваної величини укладено в довірчому інтервалі 38,469< а < 46,169.

Довірчі інтервали для оцінки середнього відхилення квадратичного нормального розподілу.

Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. Потрібно оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення щодо «виправленого» вибіркового середнього квадратичного відхилення s. Для цього скористаємося інтервальною оцінкою.

Інтервальною оцінкою (з надійністю) середнього квадратичного відхилення про нормально розподілену кількісну ознаку X за «виправленим» вибірковим середнім квадратичним відхиленням s служить довірчий інтервал

s (1 - q)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

де q знаходять за таблицею за заданими n н.

Приклад 1. Кількісний ознака X генеральної сукупності розподілено нормально. За вибіркою обсягу n = 25 знайдено "виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 0,8. Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє відхилення з надійністю 0,95.

Рішення. За таблицею за даними = 0,95 та n = 25 знайдемо q = 0,32.

Шуканий довірчий інтервал s (1 - q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

Приклад 2. Кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу n=10 знайдено «виправлене» середнє відхилення квадрати s = 0,16. Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє відхилення з надійністю 0,999.

Рішення. За таблицею додатку за даними = 0,999 і n = 10 знайдемо 17 = 1,80 (q> 1). Шуканий довірчий інтервал такий:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

Оцінкаточності вимірів

Теоретично помилок прийнято точність вимірів (точність приладу) характеризувати з допомогою середнього квадратичного відхилення випадкових помилок вимірів. Для оцінки використовують «виправлене» середнє квадратичне відхилення s. Оскільки зазвичай результати вимірювань взаємно незалежні, мають те саме математичне очікування (справжнє значення вимірюваної величини) і однакову дисперсію (у разі рівноточних вимірювань), то теорія, викладена у попередньому параграфі, застосовна з метою оцінки точності вимірювань.

приклад. За 15 рівноточними вимірами знайдено «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 0,12. Знайти точність вимірів з надійністю 0,99.

Рішення. Точність вимірів характеризується середнім квадратичним відхиленням випадкових помилок, тому завдання зводиться до пошуку довірчого інтервалу s (1 - q)< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

За таблицею додатку = 0,99 і n=15 знайдемо q = 0,73.

Шуканий довірчий інтервал

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

Оцінка ймовірності (біноміального розподілу) щодо відносної частоти

Інтервальної оцінкою (з надійністю) невідомої ймовірності p біномного розподілу по відносній частоті w служить довірчий інтервал (з наближеними кінцями p1 і р2)

p1< p < p2,

де n – загальна кількість випробувань; m – число появи події; w - відносна частота, що дорівнює відношенню m/n; t - значення аргументу функції Лапласа, у якому Ф(t) = /2.

Зауваження. При великих значеннях n (порядку сотень) можна прийняти як наближені межі довірчого інтервалу