Висотою призми є. Пряма призма - Гіпермаркет знань

Визначення. Призма- це багатогранник, всі вершини якого розташовані в двох паралельних площинах, причому в цих же двох площинах лежать дві грані призми, що є рівними багатокутниками з відповідно паралельними сторонамиа всі ребра, що не лежать у цих площинах, паралельні.

Дві рівні граніназиваються підставами призми(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всі інші грані призми називаються бічними гранями(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Усі бічні грані утворюють бічну поверхню призми .

Усі бічні грані призми є паралелограмами .

Ребра, що не лежать в основах, називаються бічними ребрами призми( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Діагоналлю призми називається відрізок, кінцями якого служать дві вершини призми, що не лежать на одній її грані (AD 1).

Довжина відрізка, що з'єднує основи призми і перпендикулярна одночасно обом основам,називається висотою призми .

Позначення:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Спочатку в порядку обходу вказують вершини однієї основи, а потім у тому ж порядку - вершини іншої; кінці кожного бокового ребра позначають однаковими літерамитільки вершини, що лежать в одній підставі, позначаються буквами без індексу, а в іншій - з індексом)

Назву призми пов'язують з числом кутів у фігурі, що лежить у її підставі, наприклад, на малюнку 1 у підставі лежить п'ятикутник, тому призму називають п'ятикутною призмою. Але т.к. у такої призми 7 граней, то вона семигранник(2 грані - підстави призми, 5 граней - паралелограми, - її бічні грані)

Серед прямих призм вирізняється приватний вигляд: правильні призми

Пряма призма називається правильною,якщо її підстави- правильні багатокутники.

Паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед- Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

Властивості та теореми:

,

де d – діагональ квадрата;
a – сторона квадрата.

Подання про призм дають:

• різні архітектурні споруди;
• дитячі іграшки;
• пакувальні коробки;
• дизайнерські предмети тощо.

Площа повної та бічної поверхні призми

S повн = S бік + 2S осн,

де S повний- площа повної поверхні, S бік-площа бічної поверхні, S осн- площа основи

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми.

S бік= P осн * h,

де S бік-площа бічної поверхні прямої призми,

P осн - периметр основи прямої призми,

h - висота прямої призми, що дорівнює бічному ребру.

Обсяг призми

Обсяг призми дорівнює творуплощі основи на висоту.

Визначення 1. Призматична поверхня
Теорема 1. Про паралельних перерізахпризматичної поверхні
Визначення 2. Перпендикулярний переріз призматичної поверхні
Визначення 3. Призма
Визначення 4. Висота призми
Визначення 5. Пряма призма
Теорема 2. Площа бічної поверхні призми

Паралелепіпед:
Визначення 6. Паралелепіпед
Теорема 3. Про перетин діагоналі паралелепіпеда
Визначення 7. Прямий паралелепіпед
Визначення 8. Прямокутний паралелепіпед
Визначення 9. Вимірювання паралелепіпеда
Визначення 10. Куб
Визначення 11. Ромбоедр
Теорема 4. Про діагоналі прямокутного паралелепіпеда
Теорема 5. Обсяг призми
Теорема 6. Обсяг прямої призми
Теорема 7. Об'єм прямокутного паралелепіпеда

Призмоюназивається багатогранник, у якого дві грані (основи) лежать у паралельних площинах, а ребра, що не лежать у цих гранях, паралельні між собою.
Грані, відмінні від основ, називаються бічними.
Сторони бічних граней та основ називаються ребрами призми, кінці ребер називаються вершин призми. Бічні ребраназиваються ребра, не що належать підставам. Об'єднання бічних граней називається бічною поверхнею призми, а об'єднання всіх граней називається повною поверхнею призми. Висотою призминазивається перпендикуляр, опущений з точки верхньої основи на площину нижньої основи або довжина цього перпендикуляра. Прямою призмоюназивається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площин основ. Правильноюназивається пряма призма (Рис.3), основу якої лежить правильний багатокутник.

Позначення:
l - бічне ребро;
P – периметр основи;
S o - площа основи;
H – висота;
P^ - периметр перпендикулярного перерізу;
S б - площа бічної поверхні;
V – обсяг;
S п – площа повної поверхні призми.

Визначення 2 . Перпендикулярним перерізом призматичної поверхні називається переріз цієї поверхні площиною, перпендикулярною до її ребер. На підставі попередньої теореми всі перпендикулярні перерізи однієї і тієї ж призматичної поверхні будуть рівними багатокутниками.

Визначення 3 . Призмою називається багатогранник, обмежений призматичною поверхнею та двома площинами, паралельними між собою (але непаралельними ребрам призматичної поверхні)
Грані, що лежать у цих останніх площинах, називаються підставами призми; грані, що належать призматичній поверхні, - бічними гранями; ребра призматичної поверхні - бічними ребрами призми. З огляду на попередню теорему, підстави призми - рівні багатокутники. Усі бічні грані призми - паралелограми; всі бічні ребра рівні між собою.
Очевидно, що якщо дано основу призми ABCDE і одне з ребер АА" за величиною та за напрямом, то можна побудувати призму, проводячи ребра ВВ", СС", .., рівні та паралельні ребру АА".

Визначення 4 . Висотою призми називається відстань між площинами її основ (НH).

Визначення 5 . Призма називається прямою, якщо її основами є перпендикулярні перерізи призматичної поверхні. У цьому випадку висотою призми служить, звичайно, її бічне ребро; бічні грані будуть прямокутниками.
Призми можна класифікувати за кількістю бічних граней, рівному числусторін багатокутника, що служить її основою. Таким чином призми можуть бути трикутні, чотирикутні, п'ятикутні і т.д.

Теорема 2 . Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку бічного ребра на периметр перпендикулярного перерізу.
Нехай ABCDEA"B"C"D"E" - дана призма і abcde - її перпендикулярний переріз, так що відрізки ab, bc, .. перпендикулярні до її бічних ребрів. на висоту, яка збігається з аb; площа грані ВСВ "С" дорівнює добутку підстави ВВ на висоту bc і т. д. Отже, бічна поверхня(тобто сума площ бічних граней) дорівнює добутку бічного ребра, інакше кажучи, загальної довжини відрізків АА", ВВ", .., у сумі ab+bc+cd+de+еа.

Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторониякого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнею вже буде поєднання всіх граней, які становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо у них однакові фігуриу верхній та нижній гранях, то їхні площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи в загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, яка є правильною, трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли мова йдепро чотирикутну призму, площа підстави правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони «в», а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений на п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значенняплощі основи та вчотирьох бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площаповерхні призми виявляється 960 см 2 .

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Усі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

Загальні відомості про пряму призму

Бічною поверхнею призми (точніше, площею бічної поверхні) називається сумаплощ бічних граней. Повна поверхняпризми дорівнює сумі бічної поверхні та площ основ.

Теорема 19.1. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми, т. е. на довжину бічного ребра.

Доведення. Бічні грані прямої призми – прямокутники. Основи цих прямокутників є сторонами багатокутника, що лежить в основі призми, а висоти дорівнюють довжині бічних ребер. Звідси випливає, що бічна поверхня призми дорівнює

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

де a 1 а n - довжини ребер основи, р - периметр основи призми, а I - довжина бічних ребер. Теорему доведено.

Практичне завдання

Завдання (22) . У похилій призміпроведено переріз, перпендикулярне бічним ребрам і перетинає всі бічні ребра. Знайдіть бічну поверхню призми, якщо периметр перерізу дорівнює р, а бічні ребра дорівнюють l.

Рішення. Площина проведеного перерізу розбиває призму на частини (рис. 411). Піддамо одну з них паралельному перенесенню, що поєднує підстави призми. При цьому отримаємо пряму призму, у якої основою є переріз вихідної призми, а бічні ребра дорівнюють l. Ця призма має ту саму бічну поверхню, що й вихідна. Таким чином, бічна поверхня вихідної призми дорівнює рl.

Узагальнення пройденої теми

А тепер давайте спробуємо з вами підбити підсумки пройденої теми про призм і пригадаємо, які властивості має призм.

Властивості призми

По-перше, у призми всі її основи є рівними багатокутниками;
По-друге, у призми усі її бічні грані є паралелограмами;
По-третє, у такої багатогранної фігурияк призма, всі бічні ребра рівні;

Також, слід згадати, що такі багатогранники, як призми, можуть бути прямими і похилими.

Яка призма називається прямою?

Якщо ж у призми бічне ребро розташоване перпендикулярно площині її основи, то така призма називається прямою.

Не зайве нагадати, що бічні грані прямої призми є прямокутниками.

Яку призму називають похилою?

А от якщо ж у призми бічне ребро не розташоване перпендикулярно до площини її основи, то можна сміливо стверджувати, що це похила призма.

Яку призму називають правильною?

Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то така призма є правильною.

Тепер згадаємо властивості, які має правильна призма.

Властивості правильної призми

По-перше, завжди підставами правильної призми є правильні багатокутники;
По-друге, якщо розглядати у правильної призми бічні грані, то вони завжди бувають рівними прямокутниками;
По-третє, якщо порівнювати розміри бічних ребер, то правильної призмі вони завжди рівні.
По-четверте, правильна призма завжди пряма;
По-п'яте, якщо ж у правильній призмі бічні грані мають форму квадратів, то таку фігуру зазвичай називають напівправильним багатокутником.

Перетин призми

А тепер давайте розглянемо переріз призми:

Домашнє завдання

А тепер давайте спробуємо закріпити вивчену тему за допомогою розв'язання задач.

Давайте намалюємо похилу трикутну призму, у якої відстань між її ребрами дорівнюватиме: 3 см, 4 см і 5 см, а бічна поверхня цієї призми дорівнюватиме 60 см2. Маючи такі параметри, знайдіть бічне ребро цієї призми.

А ви знаєте, що геометричні фігурипостійно оточують нас не тільки на уроках геометрії, а й у повсякденному життізустрічаються предмети, що нагадують ту чи іншу геометричну фігуру.

У кожного будинку, у школі або на роботі є комп'ютер, системний блок якого має форму прямої призми.

Якщо ви візьмете в руки простий олівець, то ви побачите, що основною частиною олівця є призма.

Ідучи центральною вулицею міста, ми бачимо, що у нас під ногами лежить плитка, яка має форму шестикутної призми.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ