Аксіома паралельних. Відеоурок «Аксіома паралельних прямих

Рис.1-2

Наприклад, дано завдання провести дві паралельні прямі, причому так, щоб через дану точкуМ проходила бодай одна з прямих. Таким чином, через задану точкуМ проведемо взаємно перпендикулярні прямі МN і СD . А через точку N проведемо другу пряму АВ , вона має бути перпендикулярною до прямої МN .

Зробимо висновок: пряма АВ перпендикулярна до прямої МN та пряма СD теж перпендикулярна до прямої МN , А так як дані прямі паралельні до однієї прямої, то, як наслідок пряма СD паралельна АВ . Значить, через точку М проходить пряма СD , яка паралельна прямий АВ . Дізнаємося: чи можна провести ще одну пряму через точку М щоб вона була паралельна прямий АВ ?

Дане твердження є відповіддю на наше питання: через точку на площині, яка не лежить на даній прямій, можна провести одну пряму, яка буде паралельна до даної прямої. Таке відкидання в іншому формулюванні без доказів ще давні часиприйняв вчений Евклід. Відомо, що такі твердження, ухвалені без доказу, називають аксіомами.

Вищеописане твердження називається аксіомою про паралельні прямі. Ця аксіома Евкліда має величезне значенняна підтвердження багатьох теорем.

Розглянемо зворотну теорему. Якщо пряма перетинає паралельні прямі, то й кути, що лежать при паралельних прямих навхрест, відповідно дорівнюють.

Мал. 3

Доказ: припустимо, що АС і ВD є паралельними прямими, тоді пряма АВ є їх січною прямою. Нам треба довести, що ÐСАВ =Ð АВD .

Нам потрібно провести таку пряму АС1 , щоб ÐС1АВ=ÐАВD . Відповідно до аксіоми паралельності прямих АС1||ВD , за умови ж ми маємо АС||ВD . А це означає, що через цю точку А проходять дві прямі, причому вони паралельні прямій ВD . Виходить суперечність аксіомі паралельності прямих, а це означає, що пряма АС1 проведено неправильно.

Правильно буде, якщо ÐСАВ=ÐАВD . Зробимо висновок: у тому випадку, коли однією з паралельних прямих перпендикулярна дана пряма, вона буде перпендикулярна і до другої прямої.

Виходить, якщо (MN)^(CD) і (CD)||(AB) , то Ð1=Ð2=90о . А це означає: (MN)^(AB) (Мал. 1).

Доведемо теорему: якщо дві прямі є паралельними до третьої, вони будуть паралельні одна до другої.

Мал. 4

Нехай пряма a паралельна прямий з та пряма b теж паралельна прямий з (Рис. 4 а) . Нам треба довести, що a||b .

Припустимо, що прямі a і b не є паралельними, але вони перетинаються у точці М (Рис. 4 б) . А це означає, що дві прямі a і b , які паралельні до прямої з проходять через одну точку, а це повне протиріччяаксіомі паралельності прямих. Значить наші прямі a і b паралельні.

Аксіома паралельності Евкліда

Аксіома паралельності Евкліда, або п'ятий постулат- Одна з аксіом, що лежать в основі класичної планіметрії. Вперше наведено у «Початках» Евкліда:

Евклід розрізняє поняття постулаті аксіомане пояснюючи їх відмінності; у різних манускриптах «Почав» Евкліда розбиття тверджень на аксіоми і постулати по-різному, як і збігається та його порядок. У класичному виданні "Початок" Гейберга сформульоване твердження є п'ятим постулатом.

на сучасною мовоютекст Евкліда можна переформулювати так:

Якщо сума внутрішніх кутівз спільною стороною, Утворених двома прямими при перетині їх третьої, з однієї зі сторін від січної менше 180°, ці прямі перетинаються, і притому по ту ж сторону від січної.

П'ятий постулат дуже відрізняється від інших постулатів Евкліда, простих і інтуїтивно очевидних (див. Початки Евкліда). Тому протягом 2 тисячоліть не припинялися спроби виключити його зі списку аксіом та вивести як теорему. Усі ці спроби скінчилися невдачею. «Ймовірно, неможливо в науці знайти більш захоплюючу та драматичну історію, Чим історія п'ятого постулату Евкліда». Незважаючи на негативний результат, ці пошуки були марними, оскільки в кінцевому рахунку призвели до повного перегляду наукових уявленьпро геометрію Всесвіту.

Еквівалентні формулювання постулату про паралельні

У сучасних джерелахзазвичай наводиться інше формулювання постулату про паралельні, еквівалентне (рівносильне) V постулату і належить Проклу (за кордоном її часто називають аксіомою Плейфера):

У площині через точку, що не лежить на цій прямій, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній.

У цьому формулюванні слова «одну і тільки одну» часто замінюють на «тільки одну» або «не більше однієї», оскільки існування хоча б однієї такої паралельної одразу випливає з теорем 27 і 28 «Початок» Евкліда.

Взагалі у V постулату є велика кількістьеквівалентних формулювань, багато з яких видаються досить очевидними. Ось деякі з них:

§ Існує прямокутник ( хоча б один), тобто чотирикутник, у якого всі кути прямі.

§ Існують подібні, але не рівні трикутники (аксіома Валліса, 1693).

§ Будь-яку фігуру можна пропорційно збільшити.

§ Існує трикутник скільки завгодно великої площі.

§ Пряма, що проходить через точку всередині кута, перетинає принаймні одну його сторону ( аксіома Лоренца, 1791).

§ Через кожну точку всередині гострого кутазавжди можна провести пряму, що перетинає обидві сторони.

§ Якщо дві прямі в один бік розходяться, то в інший – зближуються.

§ Прямі, що зближуються, рано чи пізно перетнуться.

§ Варіант: перпендикуляр і похила до однієї і тієї ж прямої неодмінно перетинаються (аксіома Лежандра).

§ Точки, рівновіддалені від цієї прямої (по одну її сторону), утворюють пряму,

§ Якщо дві прямі почали зближуватися, то неможливо, щоб вони почали (в той же бік, без перетину) розходитися ( аксіома Роберта Сімсона, 1756).

§ Сума кутів однакова у всіх трикутників.

§ Існує трикутник, сума кутів якого дорівнює двом прямим.

§ Дві прямі, паралельні третій, паралельні та один одному ( аксіома Остроградського, 1855).

§ Пряма, що перетинає одну з паралельних прямих, неодмінно перетне й іншу.

§ Через будь-які три точки можна провести або пряму, або коло.

§ Варіант: для будь-якого невиродженого трикутника існує описане коло ( аксіома Фаркаша Бойяї).

§ Справедлива теорема Піфагора.

Еквівалентність їх означає, що всі вони можуть бути доведені, якщо прийняти V постулат, і навпаки, замінивши V постулат будь-яке з цих тверджень, ми зможемо довести вихідний V постулат як теорему.

Якщо замість V постулату припустити, що для пари точка-пряма V постулат невірний, то отримана система аксіом описуватиме геометрію Лобачевського. Зрозуміло, що в геометрії Лобачевського всі перераховані вище еквівалентні твердження невірні.

Система аксіом сферичної геометрії вимагає зміни також інших аксіом Евкліда.

П'ятий постулат різко виділяється з-поміж інших, цілком очевидних, він більше схожий на складну, неочевидну теорему. Евклід, мабуть, усвідомлював це, і тому перші 28 пропозицій у «Початках» доводяться без його допомоги.

«Евкліду, безумовно, мали бути відомі різні формипостулату про паралельні». Чому ж він вибрав наведену, складну та громіздку? Історики висловлювали різні припущенняпро причини такого вибору. В.П. Смілга вважав, що Евклід таким формулюванням вказував на те, що дана частинатеорії є незавершеною. М. Клайн звертає увагу на те, що п'ятий постулат Евкліда має локальнийхарактер, тобто описує подію на обмеженій ділянці площини, тоді як, наприклад, аксіома Прокла стверджує факт паралельності, що вимагає розгляду всієї нескінченної прямої. Потрібно пояснити, що античні математики уникали використовувати актуальну нескінченність; наприклад, другий постулат Евкліда стверджує не нескінченність прямої, а лише те, що «пряму можна безперервно продовжувати». З точки зору античних математиків, вищенаведені еквіваленти постулату про паралельні могли здаватися неприйнятними: вони або посилаються на актуальну нескінченність або (не введене) поняття виміру, або теж не дуже очевидні.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

• дати уявлення про невідомих учнів аксіом геометрії, повторити вже відомі їм аксіоми;
• ввести аксіому паралельних прямих;
• запровадити поняття слідства з аксіом, теорем;
• показати як використовуються аксіома паралельних прямих та наслідки з неї при вирішенні завдань;
• виховання патріотизму, гордості за батьківщину з прикладу великого російського математика М.І.Лобачевського.

Обладнання:комп'ютер, проектор.

ХІД УРОКУ

1. Перевірка попереднього домашнього завдання

2. Повторення вже відомих учням аксіом планіметрії

Вчитель:У знаменитому творі Евкліда «Початку» (III в. е.) були систематизовані основні відомі тоді геометричні відомості. Головне ж – у «Початках» був розвинений аксіоматичний підхід до побудови геометрії, який полягає в тому, що спочатку формулюються основні положення, що не потребують доказів (аксіом), а потім на їх основі за допомогою міркувань доводяться інші твердження (теореми). Деякі аксіоми, запропоновані Евклідом, і зараз використовуються в курсах геометрії.
Саме слово «аксіома» походить від грецького «аксіос», що означає «цінний, гідний». Повний список аксіом планіметрії, прийнятих у нашому курсі геометрії, наведено у додатках наприкінці підручника на сторінках 344-348. Ці аксіоми ви розглянете удома самостійно.
Деякі з цих аксіом ми вже розглядали. Згадайте та сформулюйте ці аксіоми.

Учні:

1) Є принаймні три точки, що не лежать на одній прямій.
2) Через будь-які дві точки проходить пряма, і лише одна.
3) З трьох точокпрямий одна і тільки одна лежить між двома іншими.
4) Кожна точка Про прямий поділяє її на дві частини (два промені) так, що будь-які дві точки одного і того ж променя лежать по одну сторону від точки О, а будь-які дві точки різних променів лежать по різні сторонивід точки О.
5) Кожна пряма а поділяє площину на дві частини (дві півплощини) так, що будь-які дві точки однієї і тієї ж напівплощини лежать по одну сторону від прямої а, а будь-які дві точки різних напівплощин лежать по різні боки від прямої а.
6) Якщо при накладенні поєднуються кінці двох відрізків, то поєднуються і самі відрізки.
7) На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок, рівний даному, і до того ж лише один.
8) Від будь-якого променя в задану напівплощину можна відкласти кут, рівний даному нерозгорнутому кутку, і до того ж лише один.

Вчитель:Які прямі називаються паралельними на площині?

Учні:Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Вчитель:Сформулюйте ознаки паралельності прямих.

Учні:

1) Якщо при перетині двох прямих січною навхрест кути рівні, то прямі паралельні.
2) Якщо при перетині двох прямих січній відповідні кутирівні, то прямі паралельні.
3) Якщо при перетині двох прямих січної сума односторонніх кутів дорівнює 180? то прямі паралельні.

3. Нова тема. Аксіома паралельних прямих

Вчитель:Розв'яжемо задачу: «Через точку М, яка не лежить на прямій а, проведіть пряму, паралельну до прямої а».

План розв'язання задачі обговорюється всім класом. Один із учнів записує рішення на дошці (без запису в зошитах).

Вчитель:Виникає питання: чи можна через точку М провести ще одну пряму, паралельну до прямої а?
Це питання має велику історію. У «Початках» Евкліда міститься п'ятий постулат: «І якщо пряма, що падає на дві прямі, утворюють внутрішні і з одного боку кути, менше двох прямих, то продовжені ці прямі необмежено зустрінуться з того боку, де кути менше двох прямих». Прокл в V ст.н.е. переформулював постулат Евкліда простіше і зрозуміліше: «Через точку, що не лежить на цій прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній». Це і є аксіома паралельних прямих. Звідси видно, що розглянуте завдання має єдине рішення.
Багато математиків робили спроби довести п'ятий постулат, оскільки його формулювання надто нагадувало теорему. Всі ці спроби щоразу виявлялися невдалими. І лише XIX в. було остаточно з'ясовано, що п'ятий постулат Евкліда не можна довести, він є аксіомою.
Величезну роль вирішенні цього питання зіграв великий російський математик Микола Іванович Лобачевський (1792-1856).

4. Дивимося презентацію про М.І.Лобачевського

5. Закріплення вивченого. Вирішення задач

Даний ∆АВС. Скільки прямих, паралельних стороні АВ можна провести через вершину С?

Рішення.

Згідно з аксіомою паралельних прямих, можна провести єдину пряму.

Через точку, що не лежить на прямій р, проведено чотири прямі. Скільки із цих прямих перетинають пряму р? Розгляньте всі можливі випадки.

Рішення.

3 прямі 4 прямі

Відповідь: 3 чи 4 прямі.

Наслідки із аксіоми паралельних прямих.

Твердження, які виводяться безпосередньо з аксіом чи теорем, називаються наслідками. Розглянемо наслідки з аксіоми паралельних прямих.

Наслідок 1˚.Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу.

Наслідок 2˚.Якщо дві прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні. (Пропонується довести учням самостійно).

Креслення те саме.

Дано:а || b, з || b
Довести:а || з
Доказівпро (метод «від неприємного»):

Нехай прямі і не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М. Через точку М проходять дві різні прямі (а і с), паралельні до прямої b. Це суперечить аксіомі паралельних. Значить, наше припущення не вірне. А вірно те, що || с. Ч.т.д.
Друге слідство з аксіоми паралельних прямих є насправді ще однією ознакою паралельності прямих на площині.

Вирішення задач:№№ 217 (усно), 218 (усно), 198, 200, 213.

№ 217 (усно)

Прямі а та b паралельні прямий с. Доведіть, що будь-яка пряма, яка перетинає пряму а, перетинає також і пряму b.

Рішення.

Якщо а || b та b || с, то а || с (наслідок 2˚).
Якщо довільна пряма d ∩ а, то d ∩ b (наслідок 1).

№ 218 (усно)

Прямі а та b перетинаються. Чи можна провести таку пряму, яка перетинає пряму а та паралельна до прямої b? Відповідь обґрунтуйте.

Рішення.

Візьмемо на пряму а точку А b. Через точку А можна провести єдину пряму, паралельну до прямої b (аксіома паралельних). Побудована пряма перетинатиме пряму а, оскільки має з нею загальну точку А.

Прямі а та bперпендикулярні до прямої р, пряма з перетинає пряму а. Чи перетинає пряма з прямою b?

Дано:ар, bр, з ∩ а
Знайти:чи перетинає з пряму b?
Рішення:якщо ар та bр, то а || b (теорема).
Якщо з ∩ а та а || b, то з ∩b (наслідок 1).
Відповідь:з ∩ b.

На малюнку підручника АD | р та PQ || BC. Доведіть, що пряма р перетинає прямі АВ, АВ, АС, ВС, РQ.

На малюнку підручника РЄ = ED, ВЕ = EF і КЕ = AD. Доведіть, що КЕ || НД.

6. Підбиття підсумків

1) У чому полягає головна заслуга Евкліда?
2) Що називається аксіомою?
3) Які аксіоми ми знаємо?
4) Хто з російських вчених побудував струнку теорію неевклідової геометрії?
5) Що називається наслідком у математичному значенні слова?
6) Які наслідки ми сьогодні дізналися?

7. Завдання додому:

§2, п.27, 28, додаток про аксіоми геометрії стор 344-348, питання 7-11 стор 68, №199, 214.
№199: Пряма р паралельна стороні АВ трикутника АВС. Доведіть, що прямі ВС та АС перетинають пряму р.
№214: Пряма, що проходить через середину бісектриси AD трикутника АВС і перпендикулярна до AD, перетинає сторону АС у точці М. Доведіть, що MD AB.

Література:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І.Геометрія, 7-9: Підручник для загальноосвітніх установ. − М.: Просвітництво, 2003.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Некрасов В.Б., Юдіна І.І.Вивчення геометрії у 7, 8, 9 класах: Методичні рекомендаціїдо підручника. Книжка для вчителя. − М.: Просвітництво, 2003.
3. Дорофєєва А.В.Сторінки історії під час уроків математики: Книга для вчителя. − М.: Просвітництво, 2007.
4. Вікіпедія.

Виконав учень 7 класу "Г" МБОУ "ОК "Ліцей №3" Гаврилов Дмитро

Аксіома
Походить від грецького «аксіос», що означає «цінний, гідний». (Радянський енциклопедичний словник)

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Аксіома паралельних прямих Виконав учень 7 класу «Г» МБОУ «ОК «Ліцей № 3» Гаврилов Дмитро 2015-2016 н.р. (вчитель Конарєва Т.М.)

Відомі визначення та факти. Закінчи пропозицію. 1. Пряма х називається січною по відношенню до прямих а і b, якщо ... 2. При перетині двох прямих січної утворюється ... нерозгорнутих кутів. 3. Якщо прямі АВ і С D перетнуті прямий В D , то пряма В D називається… 4. Якщо точки В і D лежать у різних напівплощинах щодо січної АС, то кути ВАС та DCA називаються… 5. Якщо точки В і D лежать у однієї півплощини щодо січної АС, то кути ВАС і DCA називаються… 6. Якщо внутрішні навхрест кути однієї пари, що лежать, рівні, то внутрішні навхрест лежать кути іншої пари… D C А С В D A B

Перевірка завдання. 1 . …якщо вона перетинає їх у двох точках 2. 8 3. … секущою 4. … навхрест лежачими 5. … односторонніми 6. … рівні

Знайдіть відповідність a) a b m 1) a | | b , оскільки внутрішні навхрест лежачі кути рівні б) 2) a | | b , оскільки відповідні кути дорівнюють в) a b 3) a | | b , оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º

Про аксіоми геометрії

Аксіома походить від грецького «аксіос», що означає «цінний, гідний». Положення, прийняте без логічного доказу з безпосередньої переконливості, справжнє вихідне становище теорії. Радянський енциклопедичний словник

Скільки прямих можна провести через будь-які дві точки, що лежать на площині?

На будь-якому промені від початку можна відкласти відрізок, рівний даному, і до того ж лише один Скільки відрізків даної довжини можна відкласти від початку променя?

Від будь-якого променя в заданий бікможна відкласти кут, рівний даному нерозгорнутому куту, і до того ж лише один Скільки кутів рівних даному можна відкласти від даного променя в задану напівплощину?

аксіоми теореми логічні міркування знаменитий твір «Початку» Євклідова геометрія Логічне побудовагеометрії

Аксіома паралельних прямих

М а Доведемо, що через точку М можна провести пряму, паралельну прямій а с в а ┴ с в ┴ с а ІІ в

Чи можна через точку М провести ще одну пряму, паралельну до прямої а? а М в 1 А чи можна це довести?

Багато математиків, починаючи з давніх часів, намагалися довести дане твердження, а в «Початках» Евкліда це твердження називається п'ятим постулатом. Спроби довести п'ятий постулат Евкліда не увінчалися успіхом, і лише в XIX столітті було остаточно з'ясовано, що твердження про єдиність прямої, що проходить через дану точку паралельно даній прямій, не може бути доведено на основі інших аксіом Евкліда, а саме є аксіомою. Величезну роль вирішенні цього питання зіграв російський математик Микола Іванович Лобачевський.

П'ятий постулат Евкліда 1792—1856 Микола Іванович

«Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній». «Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній». Яке з цих тверджень є аксіомою? Чим відрізняються вищезгадані твердження?

Через точку, що не лежить на цій прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній. Наслідки 1. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й іншу. a II b , c b ⇒ c a Аксіома паралельності та наслідки з неї. а А Наслідок 2. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні. a II с, b II с a II b а b с c b

Закріплення знань. Тест Відзначити знаком «+» правильні твердженнята знаком «-» - помилкові. Варіант 1 1. Аксіомою називається математичне твердження про властивості геометричних фігур, що потребує доказів. 2. Через будь-які дві точки проходить пряма. 3. На будь-якому промені від початку можна відкласти відрізки, рівні даному, причому скільки завгодно багато. 4.Через точку не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній. 5. Якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою. Варіант 2 1. Аксіомою називається математичне твердження про властивості геометричних фігур, що приймається без підтвердження. 2. Через будь-які дві точки проходить пряма, і лише одна. 3. Через точку, що не лежить на даній прямій, проходять лише дві прямі, паралельні даній. 4. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої прямої. 5. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу.

Відповіді тесту Варіант 1 1. "-" 2. "-" 3. "-" 4. "+" 5. "+" Варіант 2 "+" "+" "-" "-" "+"

«Геометрія сповнена пригод, тому що за кожним завданням приховується пригода думки. Вирішити завдання – це означає пережити пригоду». (В. Свавілля)

§ 1 Аксіома паралельних прямих

З'ясуємо, які твердження називаються аксіомами, наведемо приклади аксіом, сформулюємо аксіому паралельних прямих та розглянемо деякі її наслідки.

При вивченні геометричних фігур та їх властивостей виникає потреба у доказі різних тверджень – теорем. За їхнього доказу часто спираються на раніше доведені теореми. Виникає питання: а на чому ґрунтуються докази найперших теорем? У геометрії прийнято деякі вихідні положення, на їх основі і доводяться далі теореми. Такі вихідні становища називаються аксіомами. Аксіома приймається без доказів. Слово аксіома походить від грецького слова"аксіос", що означає "цінний, гідний".

З деякими аксіомами ми вже знайомі. Наприклад, аксіомою є твердження: через будь-які дві точки проходить пряма, і лише одна.

При порівнянні двох відрізків та двох кутів ми накладали один відрізок на інший, а кут накладали на інший кут. Можливість такого накладення випливає з наступних аксіом:

В· на будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок, рівний даному, і до того ж тільки один;

від будь-якого променя в задану сторону можна відкласти кут, рівний даному нерозгорнутому кутку, і притому тільки один.

Геометрія - давня наука. Майже два тисячоліття геометрія вивчалася за знаменитому твору"Почала" давньогрецького вченого Евкліда. Евклід спочатку формулював вихідні положення - постулати, а потім на їх основі шляхом логічних міркувань доводив інші твердження. Геометрія, викладена в «Початках», називається евклідовою геометрією. У рукописах вченого є твердження, зване п'ятим постулатом, навколо якого дуже довгий часрозгорялися суперечки. Чимало математиків робили спроби довести п'ятий постулат Евкліда, тобто. вивести його з інших аксіом, але щоразу докази були неповними або заходили в глухий кут. Лише у XIX столітті було остаточно з'ясовано, що п'ятий постулат не може бути доведений на основі решти аксіом Евкліда, і сам є аксіомою. Величезну роль вирішенні цього питання зіграв російський математик Микола Іванович Лобачевський (1792-1856). Отже, п'ятий постулат – аксіома паралельних прямих.

Аксіома: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній.

§ 2 Слідства з аксіоми паралельних прямих

Твердження, які виводяться безпосередньо з аксіом чи теорем, називаються наслідками. Розглянемо деякі наслідки з аксіоми паралельних прямих.

Наслідок 1. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу.

Дано: прямі а та b паралельні, пряма з перетинає пряму а в точці А.

Довести: пряма з перетинає пряму b.

Доказ: якби пряма не перетинала пряму b, то через точку А проходили б дві прямі а і с, паралельні прямій b. Але це суперечить аксіомі паралельних прямих: через точку, яка не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній. Значить, пряма перетинає пряму b.

Наслідок 2. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні.

Дано: прямі а і b паралельні до прямої с. (а||с, b||с)

Довести: пряма а паралельна до прямої b.

Доказ: припустимо, що прямі і b не паралельні, тобто. перетинаються в деякій точці А. Тоді через точку А проходять дві прямі а і b, паралельні прямій с. Але з аксіомі паралельних прямих через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній. Отже, наше припущення є невірним, отже, прямі а і b паралельні.

Список використаної литературы:

1. Геометрія. 7-9 класи: навч. для загальноосвіт. організацій/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін. – М.: Просвітництво, 2013. – 383 с.: іл.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочні розробкиз геометрії 7 клас. - М: «ВАКО», 2004, 288с. – (На допомогу шкільному вчителю).
3. Білицька О.В. Геометрія. 7 клас. Ч.1. Тести. - Саратов: Ліцей, 2014. - 64 с.

Використані зображення: