Алгебраїчні дроби раціональні вирази. Чи знаєте ви, що означає раціональний і які числа називаються раціональними? Що означає "раціональний": розбираємо на прикладах

на даному уроцібудуть розглянуті основні відомості про раціональні вирази та їх перетворення, а також приклади перетворення раціональних виразів. Ця темахіба що узагальнює вивчені до цього теми. Перетворення раціональних виразів мають на увазі додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь алгебраїчних дробів, скорочення, розкладання на множники тощо. п. У межах уроку ми розглянемо, що таке раціональне вираження, і навіть розберемо приклади їх перетворення.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення

Визначення

Раціональний вираз- це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій та операції зведення у ступінь.

Розглянемо приклад раціонального виразу:

Приватні випадки раціональних виразів:

1. ступінь: ;

2. одночлен: ;

3. дріб: .

Перетворення раціонального вираження- це спрощення раціонального вираження. Порядок дій при перетворенні раціональних виразів: спочатку йдуть дії в дужках, потім операції множення (поділу), а потім уже операції додавання (віднімання).

Розглянемо кілька прикладів перетворення раціональних выражений.

Приклад 1

Рішення:

Розв'яжемо цей приклад за діями. Першим виконується дія у дужках.

Відповідь:

Приклад 2

Рішення:

Відповідь:

Приклад 3

Рішення:

Відповідь: .

Примітка:можливо, у вас побачивши даного прикладувиникла ідея: скоротити дріб перед тим, як призводити до спільному знаменнику. Справді, вона є абсолютно правильною: спочатку бажано максимально спростити вираз, а потім його перетворювати. Спробуємо вирішити цей приклад другим способом.

Як бачимо, відповідь вийшла абсолютно аналогічною, а ось рішення виявилося дещо простішим.

На цьому уроці ми розглянули раціональні висловлювання та їх перетворення, а також кілька конкретних прикладівданих перетворень.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

На даному уроці будуть розглянуті основні відомості про раціональні вирази та їх перетворення, а також приклади перетворення раціональних виразів. Ця тема хіба що узагальнює вивчені до цього теми. Перетворення раціональних виразів мають на увазі додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь алгебраїчних дробів, скорочення, розкладання на множники тощо. У рамках уроку ми розглянемо, що таке раціональне вираження, а також розберемо приклади на їх перетворення.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення

Визначення

Раціональний вираз- це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій та операції зведення у ступінь.

Розглянемо приклад раціонального виразу:

Приватні випадки раціональних виразів:

1. ступінь: ;

2. одночлен: ;

3. дріб: .

Перетворення раціонального вираження- це спрощення раціонального вираження. Порядок дій при перетворенні раціональних виразів: спочатку йдуть дії в дужках, потім операції множення (поділу), а потім уже операції додавання (віднімання).

Розглянемо кілька прикладів перетворення раціональних выражений.

Приклад 1

Рішення:

Розв'яжемо цей приклад за діями. Першим виконується дія у дужках.

Відповідь:

Приклад 2

Рішення:

Відповідь:

Приклад 3

Рішення:

Відповідь: .

Примітка:можливо, у вас побачивши даний приклад виникла ідея: скоротити дріб перед тим, як призводити до спільного знаменника. Справді, вона є абсолютно правильною: спочатку бажано максимально спростити вираз, а потім його перетворювати. Спробуємо вирішити цей приклад другим способом.

Як бачимо, відповідь вийшла абсолютно аналогічною, а ось рішення виявилося дещо простішим.

На цьому уроці ми розглянули раціональні висловлювання та їх перетворення, і навіть кілька конкретних прикладів даних перетворень.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

Будь-яке дробовий вираз(П. 48) можна записати у вигляді , де Р і Q - раціональні вирази, причому Q обов'язково містить змінні. Такий дріб - називають раціональним дробом.

Приклади раціональних дробів:

Основна властивість дробу виражається тотожністю справедливою за умов тут - цілий раціональний вираз. Це означає, що чисельник і знаменник раціонального дробу можна помножити чи розділити одне й те відмінне від нуля число, одночлен чи многочлен.

Наприклад, властивість дробу може бути використана для зміни знаків членів дробу. Якщо чисельник та знаменник дробу - помножити на -1, отримаємо Таким чином, значення дробу не зміниться, якщо одночасно змінити знаки у чисельника та знаменника. Якщо ж змінити знак лише у чисельника чи тільки у знаменника, то й дріб змінить свої знак:

Наприклад,

60. Скорочення раціональних дробів.

Скоротити дріб - це означає розділити чисельник та знаменник дробу на загальний множник. Можливість такого скорочення обумовлена ​​основною властивістю дробу.

Для того, щоб скоротити раціональний дріб, Потрібно чисельник і знаменник розкласти на множники. Якщо виявиться, що чисельник та знаменник мають спільні множники, то дріб можна скоротити. Якщо загальних множників немає, перетворення дробу у вигляді скорочення неможливо.

приклад. Скоротити дріб

Рішення. Маємо

Скорочення дробу виконано за умови.

61. Приведення раціональних дробів до спільного знаменника.

Спільним знаменником кількох раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, який поділяється на знаменник кожного дробу (див. п. 54).

Наприклад, загальним знаменником дробів і служить многочлен оскільки він ділиться і на і багаточлен і многочлен і многочлен тощо. буд. Зазвичай беруть такий спільний знаменник, що будь-який інший спільний знаменник ділиться на Еібранний. Такий найпростіший знаменникназивають іноді найменшим загальним знаменником.

У розглянутому вище прикладі загальний знаменник дорівнює Маємо

Приведення даних дробів до спільного знаменника досягнуто шляхом множення чисельника та знаменника першого дробу на 2. а чисельника та знаменника другого дробу на Багаточлени називаються додатковими множниками відповідно для першого та другого дробу. Додатковий множник для даного дробу дорівнює частці від поділу спільного знаменника на знаменник даного дробу.

Щоб кілька раціональних дробів привести до спільного знаменника, потрібно:

1) розкласти знаменник кожного дробу на множники;

2) скласти спільний знаменник, включивши в нього як співмножники всі множники отриманих у п. 1) розкладів; якщо деякий множник є у кількох розкладаннях, він береться з показником ступеня, рівним найбільшому з наявних;

3) знайде додаткові множники для кожного з дробів (для цього спільний знаменник ділять на знаменник дробу);

4) домноживши чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник, привести дроб до загального знаменника.

приклад. Привести до спільного знаменника дробу

Рішення. Розкладемо знаменники на множники:

До загального знаменника треба включити такі множники: і найменше загальне кратне чисел 12, 18, 24, тобто . Отже, спільний знаменник має вигляд

Додаткові множники: для першого дробу для другого для третього Значить отримуємо:

62. Додавання та віднімання раціональних дробів.

Сума двох (і взагалі будь-якого кінцевого числа) раціональних дробів з однаковими знаменникамитотожно дорівнює дробу з тим же знаменником і з чисельником, рівним сумічисельників дробів, що складаються:

Аналогічно справа у разі віднімання дробів з однаковими знаменниками:

Приклад 1. Спростити вираз

Рішення.

Для складання або віднімання раціональних дробів з різними знаменникамипотрібно насамперед привести дроби до спільного знаменника, та був виконати операції над отриманими дробами з однаковими знаменниками.

Приклад 2. Спростити вираз

Рішення. Маємо

63. Множення та розподіл раціональних дробів.

Добуток двох (і взагалі будь-якого кінцевого числа) раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює творучисельників, а знаменник - твору знаменників дробів, що перемножуються:

Приватне від поділу двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельника першого дробу на знаменник другого дробу, а знаменник - добутку внаменника першого дробу на чисельник другого дробу:

Сформульовані правила множення та поділу поширюються і на випадок множення або поділу на багаточлен: достатньо записати цей багаточлен у вигляді дробу зі знаменником 1.

Враховуючи можливість скорочення раціонального дробу, отриманого в результаті множення або поділу раціональних дробів, зазвичай прагнуть до виконання цих операцій розкласти на множники чисельники та знаменники вихідних дробів.

Приклад 1. Виконати множення

Рішення. Маємо

Використовуючи правило множення дробів, отримуємо:

Приклад 2. Виконати поділ

Рішення. Маємо

Використовуючи правило розподілу, отримуємо:

64. Зведення раціонального дробу на цілий ступінь.

Щоб звести раціональний дріб - натуральний ступінь, потрібно звести в цей ступінь окремий чисельник і знаменник дробу; перший вираз – чисельник, а другий вираз – знаменник результату:

Приклад 1. Перетворити на дріб ступінь 3.

Рішення Рішення.

При зведенні дробу в цілу негативний ступіньвикористовується тотожність справедливе за всіх значеннях змінних, у яких .

Приклад 2. Перетворити на дріб вираз

65. Перетворення раціональних виразів.

Перетворення будь-якого раціонального виразу зводиться до додавання, віднімання, множення та поділу раціональних дробів, а також до зведення дробу в натуральний ступінь. Будь-який раціональний вираз можна перетворити на дріб, чисельник і знаменник якої - цілі раціональні вирази; у цьому, зазвичай, полягає мета тотожних перетворень раціональних виразів.

приклад. Спростити вираз

66. Найпростіші перетворення арифметичних коренів (радикалів).

При перетворенні арифметичних корій використовуються їх властивості (див. п. 35).

Розглянемо кілька прикладів застосування властивостей арифметичних коренівдля найпростіших перетворень радикалів. При цьому всі змінні вважатимемо такими, що приймають тільки невід'ємні значення.

Приклад 1. Вийняти корінь із твору

Рішення. Застосувавши властивість 1°, отримаємо:

Приклад 2. Винести множник із-під знака кореня

Рішення.

Таке перетворення називається винесенням множника з-під знаку кореня. Мета перетворення - спростити підкорене вираз.

Приклад 3. Спростити.

Рішення. За якістю 3° маємо Зазвичай намагаються підкорене вираз спростити, навіщо виносять множники за знак корію. Маємо

Приклад 4. Спростити

Рішення. Перетворимо вираз, внісши множник під знак кореня: За властивістю 4° маємо

Приклад 5. Спростити

Рішення. За якістю 5° ми маємо право показник кореня та показник ступеня підкореного виразурозділити на те саме натуральне число. Якщо в аналізованому прикладі розділити зазначені показники на 3, то отримаємо .

Приклад 6. Спростити вирази:

Рішення, а) За властивістю 1° отримуємо, що для перемноження коренів однієї й тієї ж ступеня достатньо перемножити підкорені вирази та з отриманого результату витягти корінь того ж ступеня. Значить,

б) Насамперед ми маємо привести радикали до одного показника. Відповідно до властивості 5° ми можемо показник кореня показник ступеня підкореного виразу помножити на те саме натуральне число. Тому Далі маємо тепер в отриманому результаті розділивши показники кореня і ступеня підкореного виразу На 3 отримаємо .

З курсу алгебри шкільної програмипереходимо до конкретики. У цій статті ми докладно вивчимо особливий виглядраціональних виразів – раціональні дроби, а також розберемо, які характерні тотожні перетворення раціональних дробівмають місце.

Відразу відзначимо, що раціональні дроби в тому сенсі, в якому ми їх визначимо нижче, у деяких підручниках алгебри називають дробами алгебри. Тобто, у цій статті ми під раціональними та алгебраїчними дробами розумітимемо одне й те саме.

Зазвичай почнемо з визначення та прикладів. Далі поговоримо про приведення раціонального дробу до нового знаменника та про зміну знаків у членів дробу. Після цього розберемо, як скорочення дробів. Нарешті, зупинимося на поданні раціонального дробу як суми кількох дробів. Всю інформацію постачатимемо прикладами з докладними описамирішень.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних дробів

Раціональні дроби вивчаються під час уроків алгебри у 8 класі. Ми будемо використовувати визначення раціонального дробу, яке дається у підручнику алгебри для 8 класів Ю. Н. Макарічева та ін.

У даному визначенніне уточнюється, чи мають багаточлени в чисельнику та знаменнику раціонального дробу бути багаточленами стандартного виглядучи ні. Тому, вважатимемо, що у записах раціональних дробів можуть міститися як багаточлени стандартного виду, і не стандартного.

Наведемо кілька прикладів раціональних дробів. Так, x/8 і - Раціональні дроби. А дроби і не підходять під озвучене визначення раціонального дробу, тому що в першій з них у чисельнику стоїть не багаточлен, а в другій і в чисельнику та в знаменнику знаходяться вирази, що не є багаточленами.

Перетворення чисельника та знаменника раціонального дробу

Чисельник і знаменник будь-якого дробу є самодостатніми математичними виразами, у разі раціональних дробів – це багаточлени, в окремому випадку – одночлени та числа. Тому, з чисельником та знаменником раціонального дробу, як і з будь-яким виразом, можна проводити тотожні перетворення. Іншими словами, вираз у чисельнику раціонального дробу можна замінювати тотожно рівним йому виразом, як і знаменник.

У чисельнику та знаменнику раціонального дробу можна виконувати тотожні перетворення. Наприклад, у чисельнику можна провести угруповання та приведення подібних доданків, а знаменнику – добуток кількох чисел замінити його значенням. Оскільки чисельник і знаменник раціонального дробу є багаточлени, то з ними можна виконувати і характерні для багаточленів перетворення, наприклад, приведення до стандартного вигляду або подання у вигляді твору.

Для наочності розглянемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Перетворіть раціональний дріб так, щоб у чисельнику виявився багаточлен стандартного вигляду, а в знаменнику – добуток багаточленів.

Рішення.

Приведення раціональних дробів до нового знаменника в основному застосовується при складанні та відніманні раціональних дробів.

Зміна знаків перед дробом, а також у його чисельнику та знаменнику

Основну властивість дробу можна використовувати для зміни знаків у членів дробу. Справді, множення чисельника і знаменника раціонального дробу на -1 рівносильне зміні їх знаків, а результаті вийде дріб, тотожно рівна даної. До такого перетворення доводиться досить часто звертатися під час роботи з раціональними дробами.

Таким чином, якщо одночасно змінити знаки у чисельника і знаменника дробу, то вийде дріб, що дорівнює вихідному. Цьому твердженню відповідає рівність.

Наведемо приклад. Раціональний дріб можна замінити тотожно рівним їй дробом зі зміненими знаками чисельника і знаменника виду.

З дробами можна провести ще одне тотожне перетворення, у якому змінюється знак чи чисельнику, чи знаменнику. Озвучимо відповідне правило. Якщо замінити знак дробу разом із знаком чисельника чи знаменника, то вийде дріб, що тотожно дорівнює вихідному. Записаному твердженню відповідають рівності та .

Довести ці рівності нескладно. В основі доказу лежать властивості множення чисел. Доведемо перше їх: . За допомогою аналогічних перетворень доводиться і рівність.

Наприклад, дріб можна замінити виразом або .

На закінчення цього пункту наведемо ще дві корисні рівності. Тобто, якщо змінити знак лише у чисельника чи тільки знаменника, то дріб змінить свій знак. Наприклад, і .

Розглянуті перетворення, що дозволяють змінювати знак у членів дробу, часто застосовуються під час перетворення дробово раціональних виразів.

Скорочення раціональних дробів

В основі наступного перетворення раціональних дробів, що має назву скорочення раціональних дробів, лежить все також основна властивість дробу. Цьому перетворенню відповідає рівність , де a, b та c – деякі багаточлени, причому b та c – ненульові.

З наведеної рівності стає зрозуміло, що скорочення раціонального дробу передбачає порятунок від спільного множникау її чисельнику та знаменнику.

приклад.

Скоротіть раціональний дріб.

Рішення.

Відразу видно загальний множник 2 виконаємо скорочення на нього (при записі загальні множники, на які скорочують, зручно закреслювати). Маємо . Так як x 2 = x x і y 7 = y 3 y 4 (при необхідності дивіться ), то зрозуміло, що x є загальним множником чисельника і знаменника отриманого дробу, як і y 3 . Проведемо скорочення на ці множники: . На цьому скорочення завершено.

Вище ми виконували скорочення раціонального дробу послідовно. А можна було виконати скорочення в один крок, відразу скоротивши дріб на 2 x y 3 . У цьому випадку рішення виглядало б так: .

Відповідь:

.

При скороченні раціональних дробів основна проблема у тому, що загальний множник чисельника і знаменника які завжди видно. Більше того, вона не завжди існує. Для того, щоб знайти загальний множник або переконатися в його відсутності, чисельник і знаменник раціонального дробу розкласти на множники. Якщо загального множника немає, то вихідний раціональний дріб не потребує скорочення, інакше – проводиться скорочення.

У процесі скорочення раціональних дробів можуть бути різні нюанси. Основні тонкощі на прикладах і деталях розібрані у статті скорочення алгебраїчних дробів.

Завершуючи розмову про скорочення раціональних дробів, відзначимо, що це перетворення є тотожним, а основна складність у його проведенні полягає у розкладанні на множники багаточленів у чисельнику та знаменнику.

Подання раціонального дробу у вигляді суми дробів

Досить специфічним, але в деяких випадках дуже корисним, виявляється перетворення раціонального дробу, що полягає в його поданні у вигляді суми кількох дробів, або суми виразу і дробу.

Раціональний дріб, у чисельнику якого знаходиться багаточлен, що є сумою кількох одночленів, завжди можна записати як суму дробів з однаковими знаменниками, в чисельниках яких знаходяться відповідні одночлени. Наприклад, . Таке уявлення пояснюється правилом складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками.

Взагалі, будь-який раціональний дріб можна у вигляді суми дробів безліччю різних способів. Наприклад, дріб a/b можна як суму двох дробів – довільної дробу c/d і дробу, рівної різницідробів a/b та c/d . Це твердження справедливе, оскільки має місце рівність . Наприклад, раціональний дріб можна подати у вигляді суми дробів у різний спосіб: Подаємо вихідний дріб у вигляді суми цілого виразу та дробу. Виконавши розподіл чисельника на знаменник стовпчиком, ми отримаємо рівність . Значення вираз n 3 +4 за будь-якого цілому n є цілим числом. А значення дробу є цілим числом тоді й лише тоді, коли його знаменник дорівнює 1 −1 3 або −3 . Цим значенням відповідають значення n=3 n=1 n=5 і n=−1 відповідно.

Відповідь:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 13-те вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2009. – 160 с.: іл. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Раціональний вираз алгебраїчний виразне містить радикалів. Іншими словами, це одна або кілька величин алгебри (чисел і букв), з'єднаних між собою знаками арифметичних дій: додавання, віднімання, множення… … Вікіпедія

Алгебраїчне вираз, що не містить радикалів і включає тільки дії додавання, віднімання, множення та поділу. Напр., a2 + b, x/(y z2) … Великий Енциклопедичний словник

Алгебраїчне вираз, що не містить радикалів і включає тільки дії додавання, віднімання, множення та поділу. Наприклад, a2 + b, х/(у z2). * * * РАЦІОНАЛЬНИЙ ВИРАЗ РАЦІОНАЛЬНИЙ ВИРАЗ, алгебраїчний вираз, що не містить… … Енциклопедичний словник

Алгебраїчне вираз, що не містить радикалів, наприклад a2 + b, х/(у z3). Якщо входять до Р. в. літери вважати змінними, то Р. в. задає раціональну функцію (Див. Раціональна функція) від цих змінних … Велика Радянська Енциклопедія

Алгебраричний вираз, що не містить радикалів і включає тільки дії додавання, віднімання, множення та поділу. Напр., а2 + b, х/(y z2). Природознавство. Енциклопедичний словник

ВИРАЗ- первинне математичне поняття, під яким мають на увазі запис із букв і чисел, з'єднаних знаками арифметичних дій, при цьому можуть бути використані дужки, позначення функцій тощо; Традиційно в формула млн. її частина. Розрізняють В (1)… … Велика політехнічна енциклопедія

РАЦІОНАЛЬНЕ- (Rational; Rational) термін, що використовується для опису думок, почуттів та дій, що узгоджуються з розумом; установка, що базується на об'єктивних цінностях, отриманих в результаті практичного досвіду. «Об'єктивні цінності встановлюються у досвіді… Словник з аналітичної психології

РАЦІОНАЛЬНЕ ПІЗНАННЯ - суб'єктивний образоб'єктивного світу, отриманий за допомогою мислення. Мислення – активний процес узагальненого та опосередкованого відображення дійсності, що забезпечує відкриття на основі чуттєвих даних її закономірних зв'язків та їх вираження. Філософія науки та техніки: тематичний словник

РІВНЯННЯ, РАЦІОНАЛЬНЕ- Логічне або математичне вираз, заснований на (раціональних) припущеннях про процеси. Такі рівняння відрізняються від емпіричних рівнянь тим, що їх параметри виходять у результаті дедуктивних висновків з теоретичних… Тлумачний словникз психології

РАЦІОНАЛЬНИЙ, раціональний, раціональний; раціональний, раціональний, раціональний. 1. дод. до раціоналізму (книжн.). Раціональна філософія. 2. Цілком розумний, обґрунтований, доцільний. Він вніс раціональну пропозицію. Раціональне… … Тлумачний словник Ушакова

1) Р. а л е б р а і ч е с к о г о у р а в н е н ня f(x)=0ступеня п алгебраїчне рівняння g(y)=0з коефіцієнтами, що раціонально залежать від коефіцієнтів f(x), таке, що знання коренів цього рівняння дозволяє знайти коріння даного рівняння… … Математична енциклопедія