Геометричний зміст матриці. Основні властивості визначників та їх геометричний зміст

1) Транспонована матриця. При транспонуванні визначник не змінюється: = .

2) Якщо А, дві квадратні матриці, то .

Розглянемо підтвердження для n=2.

, .

Твір матриць:

= , її визначник:

повністю віднімаються 1-е та 5-е доданок, а також 2-е та 8-е.

У той же час, добуток визначників дорівнює

= .

Тобто це те саме вираз.

3) Якщо рядок чи стовпець матриці складається з нулів, то .

Геометричний зміст: Якщо системі векторів є 0 - вектор, то обсяг паралелепіпеда дорівнює 0.

4) Якщо будь-який рядок (стовпець) матриці помножити коефіцієнт с, то збільшиться в раз.

Ця властивість дає можливість виносити загальний множникза знак визначника з якогось рядка.

Геометричний сенс: Якщо помножити на коефіцієнт навіть один із векторів, що утворюють паралелограм, то площа паралелограма помножиться на цей коефіцієнт.

Якщо помножити не один, а обидва вектори, площа збільшиться в раз. Для 3 векторів у просторі та паралелепіпеда, якщо помножити кожен вектор на , то обсяг зросте в раз. Для матриць виходить

Наслідок: 4а) .

5) Якщо поміняти місцями будь-які два рядки (або два стовпці), змінить знак.

Це з тим, що з зміні місць 2 елементів у перестановці змінюється парність: одна інверсія з'явиться чи навпаки, зникне.

6) Якщо матриця містить два однакові (або пропорційні) рядки або стовпці, то .

Доводиться з попередньої властивості: якщо в матриці два однакові рядки, то змінюючи їх місцями, ми змінимо знак, але вони однакові, тому не повинен змінитися. Тоді =, тобто. Для пропорційних те саме, оскільки можемо спочатку винести коефіцієнт за знак визначника, і рядки стануть однаковими, а тоді .

Геометричний зміст. Якщо два ребра паралелепіпеда колінеарні, то обсяг 0.

7) Якщо всі елементи якогось рядка представлені у вигляді сум двох елементів, то даний визначник дорівнює сумідвох визначників, де у першому їх у цьому рядку - перші доданки, тоді як у другому - другі (всі інші рядки в обох визначниках без зміни).

Щоб легше запам'яталося, покажемо з прикладу довільних матриць 2-го порядку.

дійсно: = = .

Для матриць більшого порядку, аналогічно, у будь-якому з n! доданків по n елементів, якийсь один виявиться сумою двох чисел, у результаті кожне доданок розпадеться на два, і в сумі буде 2 n! доданків, де одні n! утворюють 1-й визначник, а інше n! - Другий.

8). Якщо до будь-якого рядка додати інший рядок, примножений на число, не зміниться.

Якщо в попередній властивості в ролі других елементів взяті елементи іншого рядка цієї самої матриці, домножені на коефіцієнт k, то:

= + тоді у 2-му визначнику рядка пропорційні, він дорівнює 0. Тобто ми бачимо, що якщо до одного рядка додати рядок, кратний якомусь рядку з тієї ж матриці, визначник не зміниться.

Це важлива властивістьдає можливість перетворювати та спрощувати матриці у процесі обчислення визначників.

Зауваження. Очевидно, що можна не лише додати, а й відібрати від рядка рядок, адже ми можемо примножити на коефіцієнт .

Геометричний зміст. Якщо до вектора b додати вектор a, помножений на будь-який коефіцієнт, то площа паралелограма не зміниться, основа та висота залишилися старими, див.

Тут площа паралелограма, утвореного векторами a,bтака сама, як утвореного векторами a, b+2a.

З властивості 8 випливає, що рядки можна складати і віднімати, на цьому заснований метод Гауса приведення до трикутної форми.

Важливо! Визначник не змінюється (св-во 8), якщо множити рядок у думці (у буфері обміну) і потім, вже кратну, додавати до будь-якої іншої. Якщо ж просто множити рядок, який знаходиться в матриці, то визначник помножиться на коефіцієнт (властивість 4). Це абсолютно різні операції, не треба їх плутати.

Обчислити приведенням до трикутної форми.

Помітили, що нижче кутового елемента (1) число 2. Тому з 2-го рядка віднімемо 1-й, домножений на 2. Тобто, віднімати треба рядок (2 6).

Наслідок 8 а). Якщо якийсь рядок матриці є сумою інших рядків, то .

Доказ: Якщо третій рядок є сумою першої та другої, то віднімаючи 1-й і 2-й з неї, отримаємо рядок з нулів.

приклад(Метод Гаусса, приведення до трикутної форми).

Застосуємо властивість 8 до обчислення такого визначника: .

Постараємося обнулити всі елементи нижче, ніж .

З 2-го рядка віднімемо 1-й рядок: = .

Тепер з 3-ї віднімемо подвоєну 1-у, буде .

Щоб завершити приведення до трикутного вигляду, віднімемо з 3-го рядка подвоєний 2-й, вийде . А тепер просто знайдемо добуток чисел по діагоналі, оскільки привели до трикутної форми. Визначник дорівнює 2.

Цей метод особливо буде необхідний темі «системи рівнянь», але, як бачимо, допомагає і при обчисленні визначників.

§ 3. Зворотна матриця.

Визначення виродженої матриці (), невиродженої матриці ().

Визначення зворотної матриці. Нехай – квадратні матриці. Якщо то називається зворотною матрицею для матриці.

Позначення: Зворотна матриця позначається .

Зауваження. Для чисел, які є матрицями порядку 1, обернений елемент обчислюється відомим чиномнаприклад, .

Отже, . Але виявляється, що не для будь-якої квадратної матрицііснує зворотний.

Лемма.Зворотна матриця існує і тоді, коли А невироджена.

Для доказу розглянемо . Якщо те , тобто існувало таке число, яке при множенні на 0 дає результат 1, але це неможливо. Набули протиріччя.

Формула обчислення елементів зворотної матриці: .

Алгоритм знаходження.

1. Перевірити невиродженість за допомогою визначника.

2. Скласти матрицю з мінорів, що доповнюють, M ij .

3. Змінити знаки в шаховому порядку, тобто домножити на (-1) i+j, де i,j - номери рядка та стовпця.

Вийдуть алгебраїчні доповнення A ij.

4. Транспонувати отриману матрицю.

5. Розділити на визначник вихідної матриці.

приклад. = ?

Рішення. . Висновок: існує зворотна матриця.

Матриця з мінорів: . Матриця із алг. додатків: . Транспонуємо її: . Ділимо її на визначник, і записуємо відповідь: = .

Можна перевірити: = .

приклад.Знайти зворотну матрицю:

Визначення.Порядок найбільшого невиродженого мінору називається рангом матриці.

Позначається. Приклади:

Матриця розміру рангу 2. . Тут є невироджений мінор близько 2,

Мінори 3 порядку можна розглядати не всі, що досить лише облямовують, тобто містять вже знайдений мінор меншого порядку.

тому ранг не дорівнює 3, а залишається рівний 2, так як мінор 2 порядку вже знайдено.

Мінорів 4 порядку в цій матриці немає, тому що всього 3 рядки. Отже, . Колір зафарбований базисний мінор.

Ранг прямокутної матрицірозміру m*n менше або дорівнює мінімальному з чисел m, n. Причина: мінор більше високого порядкуу цій матриці просто немає, адже розмір вписаного квадрата неспроможна перевищувати ні довжину, ні ширину прямокутника, куди вписаний цей квадрат.

приклад. Матриця рангу 1. Тут усі рядки пропорційні 1-й.

Матриця А є матрицею рангу 0 вона складається тільки з нулів (очевидно, що якщо в матриці є хоч один елемент, який не дорівнює 0, то він уже є мінором 1 порядку, тобто ранг не 0, а вже 1).

1. Розглянемо довільні вектори. Допустимо спочатку, що ці вектори лінійно незалежні. У цьому випадку визначник Грама, складений для будь-яких із цих векторів, буде відмінний від нуля. Тоді, вважаючи (22)

(23)

і перемножуючи почленно ці нерівності та нерівність

, (24)

.

Таким чином, визначник Граму для лінійно незалежних векторівпозитивний, для лінійно залежних дорівнює нулю. Негативним визначником Граму ніколи не буває.

Позначимо для скорочення . Тоді з (23) та (24)

де - площа паралелограма, побудованого на і. Далі,

,

де - Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах . Продовжуючи далі, знайдемо:

,

і наостанок,

. (25)

Природно назвати обсягом -мірного паралелепіпеда, побудованого на векторах, як на ребрах.

Позначимо через координати вектора в деякому ортонормованому базисі в , і нехай

Тоді на підставі (14)

і тому [див. формулу (25)]

. (26)

Ця рівність має наступний геометричний зміст:

Квадрат об'єму паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів обсягів його проекцій на всі координатні мірні підпростори. Зокрема, при (26) слід:

. (26)

За допомогою формул (20), (21), (22), (26), (26") вирішується ряд основних метричних завдань - мірної унітарної та евклідової аналітичної геометрії.

2. Повернемося до розкладання (15). З нього безпосередньо випливає:

що у поєднанні з (22) дає нерівність (для довільних векторів )

при цьому знак рівності має місце тоді і тільки тоді, коли вектор ортогональний до векторів.

Звідси неважко здобути так звану нерівність Адамара

де знак рівності має місце тоді й лише тоді, коли вектори попарно ортогональні. Нерівність (29) виражає наступний геометрично очевидний факт:

Обсяг паралелепіпеда вбирається у твори довжин його ребер і дорівнює цьому твору лише тоді, коли паралелепіпед прямокутний.

Нерівності Адамара можна надати його звичайний вигляд, вважаючи (28) і вводячи в розгляд визначник , складений з координат векторів , в деякому ортонормованому базисі:

.

Тоді з (26") і (28) випливає

. (28)

3. Встановимо тепер узагальнену нерівність Адамара, що охоплює як нерівність (27), так і нерівність (28):

причому знак рівності має місце тоді й тільки тоді, коли кожен із векторів ортогональний до будь-якого з векторів або один із визначників , дорівнює нулю.

Нерівність (28") має наступний геометричний зміст:

Обсяг паралелепіпеда не перевищує твори обсягів двох додаткових граней і дорівнює цьому твору в тому і тільки в тому випадку, коли ці грані взаємно ортогональні або хоча б одна з них має нульовий обсяг.

Справедливість нерівності (29) встановимо індуктивно щодо числа векторів. Нерівність справедлива, коли це число дорівнює 1 [див. формулу (27)].

Введемо на розгляд два підпростори і відповідно до базисів і . Вочевидь, . Розглянемо ортогональні розкладання

.

Замінюючи квадрат об'єму паралелепіпеда добутком квадрата об'єму основи на квадрат висоти [див. формулу (22)], знайдемо

При цьому з розкладання вектора випливає:

, (31)

причому тут знак має місце, лише коли .

Використовуючи тепер співвідношення (30), (30"), (31) та припущення індукції, отримаємо:

Ми здобули нерівність (29). Переходячи до з'ясування, коли в цій нерівності має місце знак , приймемо, що і . Тоді згідно (30") також та . Якщо у співвідношеннях (32) всюди має місце символ рівності, те й, ще, за припущенням індукції, кожен із векторів ортогонален до кожного з векторів . Цю властивість має, очевидно, і вектор

Таким чином, узагальнену нерівність Адамара встановлено повністю.

4. Узагальненій нерівності Адамара (29) можна надати і аналітичну форму.

Нехай довільна позитивно певна ермітова форма. Розглядаючи як координати вектора -мірному просторі при базисі , приймемо форму за основну метричну форму (див. стор 224). Тоді стане унітарним простором. Застосуємо узагальнену нерівність Адамара до базисних векторів: - Речова матриця коефіцієнтів позитивно визначеної квадратичної формиміж векторами та , визначивши його із співвідношення

.

З нерівності Буняковського випливає, що має речове значення.

Років приблизно 20 тому довелося мені вивчати вищу математику у ВНЗ, і починали ми з матриць (мабуть, як і всі студенти того часу). Чомусь вважається, що матриці – сама легка темав курсі вищої математики. Можливо - тому, що всі дії з матрицями зводяться до знання способів розрахунку визначника та кількох формул, побудованих - знову ж таки, на визначнику. Здавалося б, просто. Але… Спробуйте відповісти на елементарне питання – що таке визначник, що означає число, яке ви отримуєте за його розрахунку? (Підказка: варіант типу «визначник - це число, яке знаходиться по певним правилам» не є правильною відповіддю, оскільки говорить про метод отримання, а не про саму сутність визначника). Здаєтеся? - Тоді читаємо далі...

Відразу хочу сказати, що я не математик ні з освіти, ні з посади. Хіба мені цікава суть речей, і я часом намагаюся до них «докопатися». Так само було і з визначником: потрібно було розібратися з множинною регресією, а в цьому розділі економетрики практично все робиться через матриці, якби вони були негаразди. Ось і довелося мені самому провести невелике дослідження, оскільки жоден із знайомих математиків не дав виразної відповіді на поставлене запитання, яке спочатку звучало як «що таке визначник». Всі стверджували, що визначник - це таке число, яке особливим чином пораховано, і якщо воно дорівнює нулю, то… Загалом, як у будь-якому підручнику з лінійної алгебри. Дякую, проходили.

Якщо якусь ідею вигадала одна людина, то інша людина має бути в змозі її зрозуміти (щоправда, для цього часом доводиться озброюватися додатковими знаннями). Звернення до «великого і могутнього» пошукача показало, що "площа паралелограма дорівнює модулю визначника матриці, утвореної векторами - сторонами паралелограма". Говорячи простою мовою, якщо матриця - це спосіб запису системи рівнянь, кожне рівняння окремо описує вектор. Побудувавши з точки початку координат вектори, задані в матриці, ми таким чином поставимо у просторі деяку фігуру. Якщо наш простір одномірний, то фігура – ​​це відрізок; якщо двовимірне - то фігура - паралелограм, і таке інше.

Виходить, що для одномірного простору визначник - це довжина відрізка, для площини - площа фігури, тривимірної фігури- її обсяг… далі йдуть n-мірні простори, уявити, які нам не дано. Якщо обсяг фігури (тобто визначник для матриці 3*3) дорівнює нулю, це означає, що сама фігура не є тривимірною (вона може бути при цьому двовимірною, одномірною або взагалі являти собою точку). Ранг матриці - це справжня (максимальна) розмірність простору, котрого визначник не дорівнює нулю.

Так, з визначником майже все зрозуміло: він визначає «об'ємність» фігури, утвореної описаними системою рівнянь векторами (хоча незрозуміло, чому його значення не залежить від того, чи маємо ми справу з вихідною матрицею, чи з транспонованою – можливо, транспонування – це вид афінного). перетворення?). Тепер потрібно розібратися з діями над матрицями.

Якщо матриця - це система рівнянь (інакше навіщо нам таблиця якихось цифр, які не мають до реальності жодного відношення?), то ми можемо з нею робити різні речі. Наприклад, можемо скласти два рядки однієї і тієї ж матриці, або помножити рядок на число (тобто кожен коефіцієнт рядка множимо на те саме число). Якщо ми маємо дві матриці з однаковими розмірностями, то ми їх можемо скласти (головне, щоб при цьому ми не склали бульдога з носорогом - але хіба математики, розробляючи теорію матриць, думали про такий варіант розвитку подій?). Інтуїтивно зрозуміло, тим більше, що в лінійній алгебрі ілюстраціями подібних операцій є системи рівнянь.

Однак у чому сенс множення матриць? Як я можу помножити одну систему рівнянь на іншу? Який сенс матиме те, що я отримаю у цьому випадку? Чому для множення матриць не застосовується переміщувальне правило (тобто добуток матриць В*А не те що не дорівнює добутку А*В, але й не завжди можна здійснити)? Чому, якщо ми перемножимо матрицю на вектор-стовпець, то отримаємо вектор-стовпець, а якщо перемножимо вектор-рядок на матрицю, то отримаємо вектор-рядок?

Ну, тут уже не те, що Вікіпедія, - тут навіть сучасні підручникипо лінійній алгебрі безсилі дати якесь виразне пояснення. Оскільки вивчення чогось за принципом «ви спочатку повірте - а зрозумієте потім» - не для мене, копаю в глибину століть (точніше - читаю підручники першої половини XX століття) і знаходжу цікаву фразу…

Якщо сукупність традиційних векторів, тобто. спрямованих геометричних відрізків, є тривимірним простором, частина цього простору, що складається з векторів, паралельних деякої площини, є двовимірним простором, а всі вектори, паралельні деякої прямої, утворюють одновимірне векторне простір.

Будь-яка стаття закінчується в той момент, коли автору набридає її лист ать. Оскільки я не ставив собі за мету осягнути неосяжне, а виключно хотів зрозуміти суть описаних операцій над матрицями і те, як саме матриці пов'язані з розв'язуваними мною системами рівнянь, я не поліз у подальші нетрі лінійної алгебри, а повернувся до економетрики та множинної регресії, але зробив це вже більш усвідомлено. Розуміючи, що й навіщо я роблю і чому тільки так, а чи не інакше. Те, що в мене вийшло в цьому матеріалі, можна назвати «головою про суть основних операцій лінійної алгебри, яку чомусь забули надрукувати в підручниках». Але ж ми не читаємо підручників, правда? Якщо чесно, коли я навчався в університеті, мені не вистачало саме розумінняпорушених тут питань, тому я сподіваюся, що виклавши цей непростий матеріал по можливості простими словамия роблю добру справу і допомагаю комусь вникнути в саму суть матричної алгебри, перевівши операції над матрицями з розділу «камлання з бубном» до розділу «практичні інструменти, які застосовуються усвідомлено».

Властивість 2.7. Визначник матриці Грама від лінійно залежної системивекторів дорівнює 0.

Доведення.Нехай система векторів – лінійно залежна. Тоді, або система містить нульовий вектор, і твердження у разі очевидно, чи знайдеться вектор , лінійно виражається через попередні вектори системи. У матриці Грама віднімемо з i-ї рядки, попередні рядки з коефіцієнтами . Визначник матриці Грама у своїй не зміниться, а i-а рядок стане рівною нулю. Визначник матриці з нульовим рядком дорівнює нулю, отже, і визначник матриці Грама дорівнює нулю.

Розглянемо геометричний зміст матриці Грама від лінійної незалежної системи векторів. Якщо k=1, то квадрат довжини вектора. Якщо k>1, то застосуємо до системи векторів процес ортогоналізації і побудуємо ортогональну системувекторів. Позначимо через Pматрицю переходу від системи до системи. Ця матриця має трикутний вигляда на її головній діагоналі стоять 1 і її визначник дорівнює 1. Крім того, і, отже, визначники матриць Граму рівні. Оскільки система векторів – ортогональна, то матриця Грама від цієї системи векторів – діагональна, та її визначник дорівнює творуквадратів довжини векторів цієї системи. Отже, встановлено рівність . Розглянемо випадок k=2. Тоді дорівнює довжині висоти паралелограма, опущеного вбік (див. рис. 1). Отже, добуток дорівнює площі паралелограма натягнутого на вектори, а визначник матриці Граму дорівнює квадратуплощі цього паралелограма. Якщо k=3, то вектор є ортогональна складова вектора до площини, натягнутої на вектори . Отже, визначник матриці Грама від трьох векторів дорівнює квадрату об'єму паралелепіпеда, натягнутого на вектори. Оскільки всі міркування узагальнюються на довільну розмірність, то цим встановлено властивість.

Властивість 2.8 Визначник матриці Грама від системи векторів дорівнює 0, якщо система лінійно залежна і квадрату об'єму k-мірного паралелепіпеда, натягнутого на вектори інакше.

Покажемо тепер нерівність Адамара.

Теорема 2.4.

Доведення.Якщо система векторів лінійно залежна, то нерівність очевидна. Нехай ця система векторів є лінійно незалежною. Застосуємо до неї процес ортогоналізації та побудуємо ортогональну систему векторів. Вектор є ортогональною складовою вектора на лінійну оболонкувекторів, і, отже, через нерівність Бесселя (Теорема 2.2). Далі, що й потрібно було довести.

Нерівність Адамара перетворюється на рівність, тільки якщо вихідна система векторів є ортогональною. В інших випадках нерівність – сувора.

Наслідок 2.5 Справедливі нерівності і .

Доведення.У n-мірному арифметичному просторівизначимо скалярний твірза формулою . Розглянемо систему векторів, утворену стовпцями матриці A.Матриця Грама від цієї системи векторів дорівнює і за нерівністю Адамара . Оскільки , то нерівність встановлено. Застосовуючи отриману нерівність до транспонованої матриці, виводимо .