Відеокурс "Алгебра матриць і лінійні простори" безкоштовне навчання, Росія. Алгоритм приведення матриці до ступінчастого вигляду

СИНТАКСИС І ПУНКТУАЦІЯ.
Тирі між підлеглим і присудком у простій пропозиції
Попереджувальні, пояснювальні диктанти
I. 1) Вересень - час боровиків, груздів, рижиків та білянок. 2) Журавлина – остання ягода вересня. 3) Вересень - відлітна пора. 4) У природі вересень – вечір року. 5) Астра – цариця маргариток. 6) Жовтень - місяць прощання птахів із рідними гніздами. 7) Москва - північний кордонпоширення дубів. 8) Лов на спінінг - цікаве і захоплююче спортивне полювання. 9) Зяблік – захисник садів, парків, лісів, степових дібрів, невтомний співак.
(По Д. Зуєву)
ІІ. 1) Сорока - найбільш балакучий птах у світі. 2) Сова – мешканець полярних країн. 3) Рись - люта лісова кішка. 4) Кінь - тварина травоїдна. 5) Кінець зими - найголодніший час у лісі. 6) Дехто думає, що кріт - гризун.
(За В. Біанкою)
ІІІ. 1) Жаби - холоднокровні тварини. (С. Образцов) 2) Кропива - одна з найцікавіших рослин. (В. Солоухін) 3) Перша ознака цунамі - відступ океану від берега. (В. Бурлак) 4) Хоробрість – сестра перемоги. (Прислів'я) 5) Старанність - мати удачі. (Прислів'я) 6) Наша білка – майстриня. (Л. Куликов) 7) Стародавня батьківщина синього птаха - Індія. 8) Подорож – важка справа. (Н. Сладков) 9) Птахи – захисники врожаю. 10) Синиця - улюблениця птахолов. 11) Норки - хижі та ненажерливі звірята.

Розділові знаки в реченнях з однорідними членами.
Схематичні диктанти
I. 1) Білий снігпухнастий у повітрі паморочиться і на землю тихо падає, лягає. (І. Суріков) 2) Сонце за день нагулялося, за кучерявий ліс спускається. (І. Нікітін) 3) Ось і сонце встає, з-за ріллі блищить, за морями ночівлю свою покинуло. (І. Нікітін) 4) Вже ніч іде, вогні по небу розсікає. (І. Нікітін) 5) Пальнул Федір Федорович по сороку, та не влучив. (Є. Чарушин)
ІІ. 1) Я побачив у воді біля берега зграю плотиць і кинув у них маленький камінчик. (К. Паустовський) 2) Сонце з кожним днем ​​раніше сходило вранці і все неохоче ховалося вечорами. (В. Біанки) 3) Опале листя встеляє землю і голосно шарудить при кожному дотику. (Ф. Залтен) 4) Малинівка щебетала чітко, весело, дзвінко. (Д. Зуєв) 5) Вітер осінній у лісах піднімається, шумно по хащах йде. (І. Бунін)
ІІІ. 1) Після літньої розлуки прилітають у місто галки, ворони та займають зимові квартири: карнизи, горища, дахи. 2) Збиваються в зграї і кружляють над полями полчища птахів: граків, шпаків, чайок, ластівок. 3) З півночі летять до нас інші птахи: щігли, сойки, клісти. 4) Синиця з'їдає шкідливих комах: жучка, листогризу, листовертку. 5) У холоднечу білка годується осінніми припасами: горіхами, жолудями, грибами, шишками.
(По Д. Зуєву)

Безкоштовно завантажити електронну книгуу зручному форматі, дивитися та читати:
Скачати книгу Збірник диктантів з російської мови, 5-9 класи, Богданова Г. А., 2010 - fileskachat.com, швидке та безкоштовне скачування.

• Контрольні та перевірочні роботи з російської мови, 9 клас, До підручника М.М. Розумовській та ін. «Російська мова», Кулаєва Л.М., 2010

Наступні підручники та книги:

• Російська мова, практика, 8 клас, підручник для загальноосвітніх установ, Пічугов Ю.С., Єремєєва А.П., Купалова А.Ю., 2012

Програми загальноосвітніх установ

Г. А. Богданова

Збірник диктантів
з російської мови
5-9 класи

Книга для вчителя

Передмова

5 клас

6 клас

7 клас

8 клас

9 клас

Передмова

Даний посібник для вчителя призначений для організації закріплення та перевірки знань з російської учнів 5-9 класів. Складаючи збірку, автор виходив насамперед із вимог базового рівняобов'язкової підготовки школярів з предмету і про обов'язкових результатів навчання. Водночас вчитель знайде у ньому матеріал для перевірки рівня підвищеної підготовки, так званого «просунутого рівня».

5 КЛАС

СИНТАКСИС І ПУНКТУАЦІЯ

Тирі між підлеглим і присудком у простій пропозиції

I. 1) Вересень - час боровиків, груздів, рижиків та білянок. 2) Журавлина – остання ягода вересня. 3) Вересень - відлітна пора. 4) У природі вересень – вечір року. 5) Астра – цариця маргариток. 6) Жовтень - місяць прощання птахів із рідними гніздами. 7) Москва – північний кордон поширення дубів. 8) Лов на спінінг - цікаве і захоплююче спортивне полювання. 9) Зяблік – захисник садів, парків, лісів, степових дібрів, невтомний співак.

(За Д. Зуєву)

ІІ. 1) Сорока - найбільш балакучий птах у світі. 2) Сова – мешканець полярних країн. 3) Рись - люта лісова кішка. 4) Кінь - тварина травоїдна. 5) Кінець зими - найголодніший час у лісі. 6) Дехто думає, що кріт - гризун.

(За В. Біанки)

ІІІ. 1) Жаби - холоднокровні тварини. (С. Образцов) 2) Кропива - одна з найцікавіших рослин. (В. Солоухін) 3) Перша ознака цунамі – відступ океану від берега. (В. Бурлак) 4) Хоробрість – сестра перемоги. (Прислів'я) 5) Старанність - мати удачі. (Прислів'я) 6) Наша білка – майстриня. (Л. Куликов) 7) Стародавня батьківщина синього птаха - Індія. 8) Подорож – важка справа. (Н. Сладков) 9) Птахи – захисники врожаю. 10) Синиця - улюблениця птахолов. 11) Норки - хижі та ненажерливі звірята.

IV. 1) Сім чудес світу – сім пам'яток, які створили стародавні майстри. 2) Висячі сади Вавилону – дивовижна споруда. 3) Найдавніші храми греків - прості дерев'яні споруди з осередком усередині. 4) Піраміди Єгипту - єдине із семи чудес, яке дійшло до нас.

(По книзі )

Розділові знаки в реченнях з однорідними членами

Схематичні диктанти

I. 1) Білий пухнастий сніг у повітрі паморочиться і на землю тихо падає, лягає. (І. Суріков) 2) Сонце за день нагулялося, за кучерявий ліс спускається. (І. Нікітін) 3) Ось і сонце встає, з-за ріллі блищить, за морями ночівлю свою покинуло. (І. Нікітін) 4) Вже ніч іде, вогні по небу розсікає. (І. Нікітін) 5) Пальнул Федір Федорович по сороку, та не влучив. (Є. Чарушин)

ІІ. 1) Я побачив у воді біля берега зграю плотиць і кинув у них маленький камінчик. (К. Паустовський) 2) Сонце з кожним днем ​​раніше сходило вранці і все неохоче ховалося вечорами. (В. Біанкі) 3) Опале листя встеляє землю і голосно шарудить при кожному дотику. (Ф. Залтен) 4) Малинівка щебетала чітко, весело, дзвінко. (Д. Зуєв) 5) Вітер осінній у лісах піднімається, шумно по хащах йде. (І. Бунін)

ІІІ. 1) Після літньої розлуки прилітають у місто галки, ворони та займають зимові квартири: карнизи, горища, дахи. 2) Збиваються в зграї і кружляють над полями полчища птахів: граків, шпаків, чайок, ластівок. 3) З півночі летять до нас інші птахи: щігли, сойки, клісти. 4) Синиця з'їдає шкідливих комах: жучка, листогризу, листовертку. 5) У холоднечу білка годується осінніми припасами: горіхами, жолудями, грибами, шишками.

(За Д. Зуєву)

Попереджувальні, пояснювальні диктанти

I. 1) Ми лікували різних птахів: чаплю, синицю, шпаки. (Л. Успенський) 2) Дощ бив по шибках, по бляшаних дахах, по дерев'яних поручнях, дзюрчав по ринві. (В. Бурлак) 3) Обліпили лампу мошки, гріють тоненькі ніжки. (В. Лунін) 4) Сонце за море сідає, махає рудою головою. (С. Козлов) 5) Ночами в ліси, в яри заповзає синій морок. (В. Левін) 6) Місяць вогненною кулеювстає, червоною загравою ліс обдає. (І. Нікітін) 7) Набряклі лілові гілки тополь тріпалися весело і жваво. (А. Толстой) 8) Сіла бджілка на квітку, опустила хоботок. (Г. Долонщиків) 9) Навесні голі прутики на березі розквітнуть і перетворяться на чудові кущі верби. (Г. Снєгірьов) 10) Філька запахнув кожух, вискочив надвір і побіг до млина. (К. Паустовський) 11) На малюнку цьому речі: ящик, щітка, плащ та кліщі. (А. Барто) 12) Сніг довго сипав білим пилом, запорошив шибки. (К. Паустовський) 13) Кіт крав усе: рибу, м'ясо, сметану. (К. Паустовський) 14) На воді розсипом сидить безліч птахів: качки різних порід, лебеді, чайки.

ІІ. 1) У вересні вудкою ловиться різна риба: судаки, соми. 2) На клумбах запалюються багаттями квіти: айстри, жоржини, флокси. 3) Зяблік знищує шкідливих комах: гусениць, жучків, дрібних метеликів. 4) Вмилися дощем дерева: тополі, осики, ліщина. 5) У жовтні збір дарів літа: калини, горобини, журавлини.

(За Д. Зуєву)

Розділові знаки

Схематичні диктанти

I. 1) Вранці випав сніг, і все довкола побіліло. 2) Занесе вітер кущі снігом і помчить далі. (Г. Снєгірьов) 3) Тихо ніч лягає на вершини гір, і місяць виглядає у дзеркало озер. (І. Нікітін) 4) Тайга дихає теплом і доносить запах смоли. 5) Дощ пройшов, і трава наче ожила.

ІІ. 1) Коала їсть багато листя евкаліпта, і їхній сік замінює йому воду. (А. Бабенешев) 2) День видався спекотний, і звірі потягнулися до річки. 3) Свіжий вітер уривався у вікно і нагадував про море. 4) Вогонь погас, і комарі знову атакували нас. 5) Собака рвонувся вперед, і мисливець відпустив повідець.

ІІІ. 1) У цю мить сніжна королевапідхопила Кая, і вони піднялися на чорну хмару. (Г. Андерсен) 2) Стара королева скинула з ліжка матраци і поклала на голі дошки горошину. (Г. Андерсен) 3) Сойка витягла шию і неспокійно закрутила головою. (В. Бурлак) 4) Нарешті хлопчик уподобав дерево і поліз на нього. (В. Астаф'єв) 5) Жовтіє покров кучерявих дубів, і червоний круглий лист осики. (Є. Баратинський)

IV. 1) Кущі заворушилися, і на галявину вийшов величезний лось. 2) Була гроза з сильним вітром, і вночі гнилий дерево звалилося. 3) Кіт дивився на нас зверху дикими очима і грізно вив. (К. Паустовський) 4) Пелікан поспішно виліз із води і пришкутильгав до нашого привалу. (К. Паустовський) 5) Повільно розходяться по воді зелені стулки латаття, і білі листочки розвертаються в пишну квітку. (Е. Шим)

V. 1) Пролунав сплеск, і тіло тюленя зникло у воді. 2) Рано з'явився місяць і порушив світ сови. 3) Море злегка виблискувало вдалині, і на тлі води темними силуетами виділялися окремі острови. (Г. Скребицький) 4) Змовкає звичний шум прибою, і на сотні метрів оголюється дно. (В. Бурлак) 5) Ми ловили рибу і розводили багаття в прибережних чагарниках. (К. Паустовський)

VI. 1) Небо блакитне весело дивиться, і село велике безтурботно спить. (І. Нікітін) 2) Заснули в сутінках рівнини, і лише зрідка прохолодний вітерець ворухне листя осики. (І. Нікітін) 3) Гроза пройшла, і гілка білих троянд у вікно мені дихає ароматом. (А. Блок) 4) Ми спали на листі і наскрізь просочилися їх запахом. (К. Паустовський) 5) Косе світло сонця падало на темну воду і відбивалося в ній. (К. Паустовський)

VII. 1) Раптом налетіла буря з великим градом, і розкидала вона все листя. 2) Квітневий дощ пройшов уперше і освіжив усе довкола. 3) Крізь дощ пройшло сонце, і воно золотило краплі на траві. 4) Вода дзюрчала тепер під товщею кучугури і набирала сили для перемоги весни. 5) Відкрив вчений лелека лісову школуі зібрав він малюків на перший урок. (М. Пляцковський)

Попереджувальні, пояснювальні диктанти

I. 1) Віночки трав хиталися над головами і обсипали плечі жовтим квітковим пилом. 2) Смуги світла проникали в гущавину трав та чагарників, і на одну мить берега спалахували сотнями фарб. 3) Повітряні змії косо тремтіли в синяві і йшли з дзижчанням у тінь хмар. 4) Вітер швидко набирає сили, і через дві-три години жорстокий ураган уже хльосить з гір на бухту та місто. 5) Завірюхи лісом полетіли, і морози посилилися. 6) Над лугами йшов холодний дощ, і вітер налітав косими ударами. 7) У світлі місяця слабо світилися берези та кидали на сніг легкі тіні. 8) Ми відпочивали в густих чагарниках осик і беріз і дихали грибним прелим запахом трави. 9) Він зустрівся зі мною очима та кивнув мені головою. 10) Кіт вкрав зі столу шматок ліверної ковбаси і поліз із ним на березу.

(З творів К. Паустовського)

ІІ. 1) Осінь настала, висохли квіти, і дивляться похмуро голі кущі. (А. Плещеєв) 2) Хлопчики знайшли сухе місце, розсілися на березі та розкинули вудки. 3) Раптом сонце здалося з-за обрію і бризнуло своїми променями на землю. 4) Ніч пройшла під великою чистим місяцемі до ранку ліг перший сніг. (М. Пришвін) 5) Сонце вже пригріло землю, і його промені висвітлили околицю. 6) Гілки трохи шуміли від легкого вітерця і ніби обмацували один одного. 7) Ранньою весноюгарячий промінь сонця все освітлив і торкнувся навіть шишку на вершині старої ялини. (М. Пришвін)

ІІІ. 1) Підкрався Іванко до коня і разом накинув йому на шию мотузку. 2) Пустив стрілу Іван-царевич, і полетіла його стріла прямо в топке болото. 3) Під'їхала карета до ґанку, і з неї вийшла Василина Премудра.

(З російських народних казок)

IV. 1) Вертоліт піднімався косою лінії і незабаром зник за лісистим схилом. 2) Шумів прибій, і незліченні сонячні зайчикисяяли у хвилях океану. 3) Темрява порідшала, і вдалині з'явилися неясні обриси гір. 4) Вона насилу вилізла з кучугури і сіла на сніг. 5) Зелені вали накочувалися на скелі і з шумом розбивалися об каміння. 6) Двері відчинилися, і на порозі з'явилася дівчинка. 7) Раптом блиснуло яскраве світло, і ми вийшли на велику галявину. 8) Вітер забрав хмари, і місячне світло потоком ринув у вікна палацу. 9) Сонце сховалося за деревами, і на заході в чистому небіспалахнула перша зірочка.

(З творів В. Губарєва)

Розділові знаки

Схематичні диктанти

I. 1) Сніги вкрилися твердим настом, яким голодні вовки підходили ночами до самої садибі. (А. Толстой) 2) У лісі ще сніг лежить, але в просіці вже чорніють плями землі. 3) Я придивився і побачив, що синочка ловить ротом сніжинки. (В. Бєлов) 4) І жабам не співається, якщо осінь настає. (С. Козлов) 5) Місяць під косою блищить, а на лобі зірка горить. (А. Пушкін)

ІІ. 1) Біжить заєць полем, а слід за ним тягнеться. (В. Біанкі) 2) Я побачив, що випав сніг. 3) Влітку буде хороший урожай трав, якщо у квітні на заливних луках стоїть вода. 4) Якось Кіт дізнався, що король збирається на прогулянку берегом річки. (Ш. Перро) 5) У всьому сестри питали поради у Попелюшки, тому що у неї був гарний смак. (Ш. Перро)

ІІІ. 1) Потяг свіжий вітерець, і біла хмара незабаром затягла горизонт. 2) Коли ми прокинулися, сонце піднялося високо. 3) Я помітив, що мої супутники втомились. 4) Весняний лісне змовкає ні на хвилину, і вухо мимоволі ловить кожен звук. 5) Сонце вже зникло, і довгі тіні швидко насувалися з боку лісу.

IV. 1) Коли ми піднялися на гору, я побачив велике селище внизу. 2) Петя не піде у похід, бо захворів. 3) Раптом побачив, що з кущів вискочила лисиця. 4) На деревах шелестіло молоде листя, а в кущах дзвінко щебетали птахи. 5) Жилін знав, що його лист не дійде. (Л. Толстой)

V. 1) Вже роса впала, а Жилін до краю лісу не дійшов. (Л. Толстой) 2) Восени олені перебираються на південь, де знаходять багато корму. 3) Коли ми лягали спати, їжачок бігав по будинку. 4) Двері тихенько відчинилися, і царівна опинилась у світлій світлиці. (А. Пушкін) 5) Коли на небі спалахнула вечірня зоря, ліс спокійно заснув.

VI. 1) Ми перебралися через лісовий яр, і перед нами відкрилася велика галявина. 2) Коли через вершини дерев визирнуло сонце, у кожній краплі роси запалився ліхтарик. 3) Я розбудив брата, і ми пішли на рибалку. 4) Буря вщухла, і по воді попливли великі крижини. 5) Але ось зашурхотів очерет, і на воді з'явилися гуртки від перших крапель. (В. Астаф'єв)

Попереджувальний, пояснювальний диктант

1) Була ніч, коли мисливець вийшов із лісу на берег моря. (В. Біанкі) 2) Несподівано він побачив попереду дітей, які грали посеред бульвару. (Н. Носов) 3) Жито вже виколосилося, і ним пливли легкі тіні від хмар. (Г. Скребицький) 4) Сніг у лісі стояв, і на лісових стежках заголубів лід. (Н. Сладков) 5) Настав день, і на міській вулиці з'явилися мандрівні циркачі. 6) Повалив сніг, і незабаром біла ковдра приховала всі сліди. 7) Я попрямував до того місця, де вчора мисливці влаштували привал. (В. Пєсков) 8) Він і розповів мені, що вчора ведмідь приходив на пасіку. (В. Пєсков) 9) Недосвідчена людина скаже, що всі солов'ї співають однаково. (В. Пєсков) 10) Вдарили перші морози, і незабаром земля потонула в білій пелені хуртовин.

Розділові знаки

Схематичні диктанти

I. 1) Воєвода каже: «Півник знову кричить». (А. Пушкін) 2) «А ти чого тут розпоряджаєшся?» - втрутився Незнайко. (Н. Носов) 3) «А чому ведмідь узимку не спить?» - Запитала Катюша батька.

ІІ. 1) Петько зустрів мене бурчанням: Ти що так довго? 2) Бабуся сказала: «Зараз юшку варитимемо». 3) «Розкажи», – попросила мама. 4) Мама нагадала: «Далеко від дороги не ходіть». 5) «Щось мені погано», – сказав поранений. 6) Поранений поцікавився: «Батько де працює?» 7) «Тепер із Сенькою помиритися не соромно», - оголосив Петько. 8) Петько випалив: «Чули вашу розмову». 9) «А як її звати?» - Запитують хлопці. 10) Хлопці після цього зовсім на блакитну змійку розсердилися: «Не говоритимемо про неї!» 11) Дівчинка попросила: «Візьми мене завтра на рудник із собою». 12) Вона й каже: «От би мені така квіточка». 13) Дівчинка тоді й каже: "Вона тебе в снігу зігріє і додому виведе". 14) "А як же взимку в лісі ночувати станеш?" - Запитує Даренка.

(За словами П. Бажова)

Попереджувальні, пояснювальні диктанти

I. 1) «Альоша, допоможи мені зловити курку!» – кричала куховарка. 2) Король відповідав: «Не думав я, що ти такий лінивець». 3) "Чи знаєте ви урок ваш?" - Запитав вчитель. 4) Міністр сказав крізь сльози: «Альошо, я вас прощаю».

(А. Погорельський)

ІІ. 1) «Повернися до мене, хатинко, передом», – каже Іван. 2) Квакушка каже царевичу: «Вирушай один на бенкет, а я слідом за тобою буду». 3) Цар раніше взяв килим у старшого царевича, глянув і мовив: «Цим килимом тільки від дощу коней накривати».

(З казки "Царівна жаба")

ІІІ. 1) "Хочеш, Пулька, я подарую тобі твій портрет?" – запропонував Незнайко. 2) "Соромно, малюки!" - вигукнула Синьоока. 3) Гусля заліз на сцену і закричав: До мене, братці! 4) «Дивіться, братики, хтось біжить за нами!» - закричав Пончик. (Н. Носов)

Розділові знаки при діалозі

Пояснювальна диктант

Горобець та Синиця

Вгадай, Синиця, яке у людей саме страшна зброя?
- Рушниця.
- Е-е, не вгадала!
- Гармата?
- Знову не вгадала!
- Яке ж тоді, Горобче?
- Рогатка...

(Н. Сладков)

Повторення на тему «Синтаксис і пунктуація»

Схематичні диктанти

I. 1) Гай молодих сосен товпиться на березі, і все осинове листя дружно блищать на сонці. 2) Дід розповів, що біса він зустрів на протоці біля самого озера. 3) Ми боялися, що від першого сірника ліс спалахне. 4) Синиці висіли вниз головами на гілках і заглядали у вікно з-під листя клена. 5) Хмари перевалюються через хребет і падають до моря.

(К. Паустовський)

ІІ. 1) Сиділа жаба в болоті, ловила комарів та мошку, навесні квакала разом зі своїми подружками. 2) Одного разу вона сиділа на сучці кораги, що висунувся з води, і насолоджувалася теплим дощем. 3) Качки сіли в те болото, де жила жаба. 4) Коли качки розповіли їй про південь, жаба була в захваті. 5) "Це я придумала!" - Закричала вона.

(За В. Гаршину)

ІІІ. 1) Коли сонце сіло за обрій, вітер затих. 2) Вони попрямували туди, де горіло багаття. 3) Сонце тепле ходить високо і запашного конвалії чекає. (А. Фет) 4) Світло впало на ганок і на круглу клумбу з яскравими квітами. (В. Губарєв) 5) Під'їхала карета до ганку, і з неї вийшла Василина Премудра. (Казка)

IV. 1) Підкрався Іванко до коня і разом накинув йому на шию мотузку. (Казка) 2) Пустив стрілу Іван-царевич, і полетіла його стріла прямо в топке болото. (Казка) 3) Ми ледве дісталися дороги, бо сніг налипав до полозів лиж. 4) Коли вдарили морози, ополонки замерзли. 5) Хлопці дісталися того місця, де річка повертала на південь.

V. 1) Вони довго йшли вузьким коридором і нарешті побачили попереду вогник. (В. Губарєв) 2) Вона розплющила очі і зараз же заплющила очі від сонця. (В. Губарєв) 3) Я зрозумів, що Володя запізниться до приходу поїзда. 4) Хлопці присмиріли, коли почувся шарудіння в кущах. 5) Вони залишились у селі, бо всю ніч лив дощ.

Попереджувальні, пояснювальні диктанти

I. 1) Лютий - місяць безгодівлі для птахів. (Д. Зуєв) 2) Дощу відшумілої краплі тихенько по листі текли, тихенько шепотіли дерева, зозуля кричала вдалині. (А. Толстой) 3) Мороз тріщить, і виє завірюха, і пластівці снігу один на одного лягають, і росте кучугура. (І. Нікітін) 4) Взимку вікна найчастіше замерзали, але діти нагрівали на печі мідні монети і прикладали їх до замерзлих склів. (Г. Андерсен) 5) Уже є за що, Русь могутня, полюбити тебе, назвати матір'ю. (І. Нікітін) 6) Іноді дерева розступалися та відкривали сонячні галявини. 7) Сонце стоїть нерухомо над головою і палить траву. (І. Гончаров) 8) Дід зрозумів, що почалася лісова пожежа. (К. Паустовський) 9) Коли дощ пройшов, ми стежкою вийшли з лісу. 10) Я слухав, як галасують на болоті журавлі. 11) Живляться бобри рослинною їжею: водоростями, осокою, корою дерев.

ІІ. 1) Коли блакитними зірочками зацвітав на полях льон, ми ходили ночами на далеку річку на рибалку. 2) Ось від сонця залишається сріблястий обідок, і на ліс спускається темрява. 3) Глухарі - найдавніші птахина землі. 4) Я бачив, як по полю рухаються вогники ліхтарів. 5) Шумно вилітає з куща птах і летить між стовбурами дерев. 6) Тетерів'ята розбігаються і ховаються у високій траві. 7) Десятки вузеньких стежок розбігаються від мурашиного міста, і потоком діловито біжать ними мурахи. 8) Живляться бобри корою дерев: верб, осик, беріз. 9) Коли заєць підбіг зовсім близько, я крикнув: «Вліпетивай, косий, швидше!» 10) Заповідником бродили звірі: ведмеді, олені, білі куріпки. 11) Вже зійшло сонце, стояла беззвучна тиша. 12) Над лататтям літали бабки, в небі кружляли ластівки. 13) Вдень їжак забирався у старий чобіт, а вночі виходив на здобич. 14) Прошелестіть під ногами миша, провають на болоті голодні вовки. 15) Ще сплять у своїх теплих барлогах звірі: ведмеді, борсуки. 16) Квітень - найгучніший місяць весняної води.

(За І. Соколову-Микитову)

ІІІ. День давно погас, і вечір тихо танув та переливався у ніч. Сонце сідало, широкими багряними смугами розбігалися його. останні промені.
Дерева зливалися у великі чорні маси, а на синьому небінесміливо виступили перші зірочки.

(За І. Тургенєву)

IV. Гроза насувалася. Попереду величезна лилова хмара повільно піднімалася з-за лісу, а наді мною й мені назустріч мчали сірі хмари. Рокити тривожно ворушились і тремтіли. Душний жар раптово змінився вологим холодом, тіні швидко густішали. Великі краплі дощу різко застукали, зашльопали по листі, блиснула блискавка, і вибухнула гроза.

(За І. Тургенєву)

V. Чорне озероназвано так за кольором води. Цей колір особливо гарний восени, коли на чорну воду злітає жовте і червоне листя беріз і осик. Вони вистилають воду так густо, що човен шарудить по листі і залишає за собою блискучу чорну дорогу.

(За К. Паустовського)

Контрольні диктанти

(За Г. Скребицького)

Остання посмішка сонця мліє і гасне на ніжній зелені берізки. Розпускаються її клейкі листочки. Щороку буває такий свіжий аромат.

(За Д. Зуєву)

Ми довго бродили лісом. День закінчувався, і наближався сутінки. Далеке сонце йшло за обрій і кидало на землю свої останні промені. Лісові галявини наливались густою темрявою, і вона повзла від землі до верхівок дерев: ялин, сосен.

Однокорінні слова та форми
одного й того ж слова.
Закінчення, корінь слова

Словникові диктанти

I. Записати, виділити корінь у словах.

1) Пояснити; далекий; об'єднання; насолодитися; потрясти; подарувати; наближатися; прошепотіти; присвітити (ліхтарем); захоплюватися.
2) Затремтіти від холоду; лунати в тиші; дивовижне явище; сліпить очі; з'являтися у небі; скрипуча підлога; тремтіти від страху; виповзати із нори; розтріпалися коси; розділити на частини.

ІІ. Виділити коріння у дієсловах; підкреслити слова з нульовим закінченням.

Тріщить по швах; ухопитися за мотузку; присвятити розповідь; подарувати альбом; спишіть приклад; не ображай малюка; нагодувати брата; шелестять листя; попестити сестричку; відварити гриби; посидіти на ганку; приміряти одяг; благати про допомогу.

ІІІ. Виділити в словах ту морфему, яка вказує на граматичні ознакиіменників, прикметників, дієслів.

Написати; побачиш; біленького; мисливцеві; лебідкою; жовтуватим; збудувала; очерет; шепоче.

IV. Записати, підкреслити різні формиодного й того ж слова.

Світильник; просвітництво; присвітити (свічкою); просвітлення; світити; висвітлити; у світлі.
Присвятити (вірш); посвята; святий; присвятив (твір); святі місця).

Вибіркові диктанти

I. Розподілити слова в два стовпчики залежно від того, як можна сказати про слово: 1) закінчується на а; 2) має закінчення а.

1) Праворуч; природа гарна; долина; у горизонту; виявляла; звідки.

ІІ. Записати слова, розподіливши їх по стовпчикам:

1) перевіряються голосні в корінні; 2) неперевірені голосні в корінні; 3) чергуються голосні в корінні.

Передавати; дивуватися; портфель; заростати; потрясти; зростуть; викласти; з'являтись; запропонувати; прикметник; пригощати; директор; кашне.

ІІІ. Виписати слова з гласною, що чергується, в корені.

Викласти; припускати; ложка; вік; табір; тире; розташовуватися; обростати; розтанути; улоговина; хибний; розчин; розгублення; розпалювання; росистий; розкішний; галузь.

IV. Прослухати уривок із повісті К. Сергієнка «Дні пізньої осені». Виписати в два стовпчики однокореневі слова та різні форми одного й того самого слова.

Цей тиждень срібний. Дивись, навіть на яблуках сріблясте світло. Місячне сяйвоособливо срібний, і зірки зроблені зі срібла. Якщо ти вийдеш уночі і скажеш що-небудь у глибину саду, відгомін буде мерехтливий, сріблястий. У твоєму голосі срібло, особливо коли смієшся. На цей тиждень тобі підійшли б срібні туфельки та сукня срібного перламутру.

Попереджувальні, пояснювальні диктанти

I. Вказати слова без закінчення та з нульовим закінченням.

Зоряне небо застигло над чорною тайгою. Дерева здавались нерухомими, і від цього особливо грізно звучав їхній глухий гомін. Крижаний місяць висів над головою. Її світло було чистим і далеким і ніби не досягало землі.

(За Е. Шиму)

ІІ. Підібрати до 2-3 іменників однокорінні слова та різні форми одного й того самого слова. Розібрати за складом будь-яке дієслово з приставкою.

Діти вийшли за село, розсипалися по краю дороги. Вони шукають гриби схилами канави, під старими одинокими берізками, де ламається і кришиться під ногами мох, що росте.

(За Е. Шиму)

ІІІ. Вказати однокореневі слова та різні форми одного слова.

Гриб без дерева та дерево без грибів не живе. Гриби можна садити в садах та парках. Білі та чорні гриби треба садити під березами, дубами, ялинами та соснами, рижики – під ялинками та біля сосен.

(За Д. Зуєву)

IV. Знайти однокореневі слова та різні форми одного слова. Вказати прикметники, будова яких відповідає схемам:

. Виділити у першому абзаці закінчення у словах, що належать до самостійним частинампромови.

У сируватих лісах гніздяться сірі підберезники. У них м'які, воскові капелюшки на високих та тонких ніжках, фіолетово-коричнева м'якоть на зламі.

(Д. Зуєв)

V. Вказати однокореневі слова та різні форми слова. Розібрати за складом дієслова із приставками. Знайти два слова із нульовим закінченням.

Холодина! Злипаються вії, ніздрі. Сніг верещить під ногами. Річка замерзла, але на самій бистрині під полином пар - річка дихає. Від її холодного дихання виростають на околицях льоду білі віночки квітів.
Дихання зими народить чудові квіти. Тільки крижані квіти холодні та мертві.

(За Н. Сладкову)

Правопис голосних та приголосних у приставках

Словниковий диктант

Виділити приставки у дієсловах.

Благати про допомогу; попестити сестричку; висвітлити ліхтарем; спиши вправу; майорить на вітрі; прошепотіти; захворіти; прорідити посіви; прилітають шпаки; витримати тиск; спиляти дерево; віддавати борг; передчувати небезпеку; підсолодити чай; обставляти меблями; уточнити розклад; розписати стіни; надписати книгу.

Вибіркові диктанти

I. Виписати слова із приставками, виділити їх.

Подумати; смуга; ураган; дивуватися; дізнатися; поліно; вдатися; завзятий; порося; довіряти; доброта; домашній; домовити; різнобій; робота; розпис; радість; шпалери; описати; розкішний; насолода; сповіщати; скорочувати; пригощати; захоплювати.

ІІ. Виписати слова з приставкою по-.

Портфель; підборіддя; подосиновик; поблукати; стеля; поговорити; пояснити; поема; польовий; з'являються; вище; пошта; поземка; потрясти.

ІІІ. Виписати слова з приставкою вик-.

Шукати; історія; спотворити; витлумачити; винищувач; висушити; Ісландія; злякатися; іскра; істина.

IV. Виписати слова з приставкою с-.

Сметана; смішний; змовкає; сутеніти; здути; казковий; змахнути; спалити; сміливий; насолода; шпаківня; сперечатися; спитати; протяг.

V. Виписати слова з приставкою підо-.

Підошва; підковдра; підоїти; подорожня; підвіконня; підсиновик.

VI. Розподілити слова по групам:

Попит; зблизитися; станція; стояти; спалахнути; здути; стерти; вигукнути; схлипнути; заповнити; оспівувати; згоріти.

VII. Виписати дієслова із приставками.

Настав довгоочікуваний день. Хлопці вирушили до лісу. Підійшли до річки і переправились човном на інший бік.
Ось і ліс. На узліссі ростуть густі ялинки та молода берізка. Промені сонця освітлюють верхівки дерев. На сосні порається дятел. На березі багато хрущів. Вони об'їдають молоді клейкі листочки. З півдня низкою потягнулися вісники весни. Під деревами вже з'явилася зелена трава.

VIII. Виписати у два стовпчики дієслова з приставками: 1) змінюваними; 2) незмінними.

Я прийшов до тебе з привітом,
Розповісти, що сонце встало,
Що воно гарячим світлом
По листах затремтіло;
Розповісти, що ліс прокинувся,
Весь прокинувся, гілкою кожної,
Кожним птахом стрепенувся
І весняний сповнений спраги...
(А. Фет)

Попереджувальні диктанти

I. Виділити приставки у словах. Знайти прикметник, будова якого відповідає схемі: .

Ми пройшли двома перелісками, обігнули конюшину і вступили в сосновий бір. Прохолодна тиша і сутінки поглинули нас. Лише попереду сяяли косі стовпи сонячного світла.

(За Е. Шиму)

ІІ. Виділити приставки у дієсловах. Знайти прикметник, будова якого відповідає схемі: .

Діти раптом закричали разом і побігли. Вони щось побачили попереду. Я теж додав кроку. Висвітлилося за темними стволами, забіліло. Сосновий бір несподівано скінчився, наче його відрізали. І попереду відкрилося озеро.

(За Е. Шиму)

ІІІ. Назвати дієслова, що вказують на посилення дії. Виділити у них приставки.

Сніг розтанув. У низинах скупчилася вода і переливалася струмками схилами, гойдала жовті волоті торішньої трави, несла тріски.

(За Е. Шиму)

IV. Вказати загальні для всіх дієслів пропозиції морфологічні ознаки. Яка морфема вказує на це? Визначити значення приставок у перших чотирьох дієсловах.

Сильний вітер загудів у висоті, дерева забушували, великі краплі дощу застукали, зашльопали по листі, блиснула блискавка, і гроза вибухнула.

Літериз із на кінці приставок

Словникові диктанти

I. Сутінки згущуються; безвісти зникнути в темряві; безсніжна зима; голосно розсміятися; будівлю школи; стиснув руку; зробив правильно; місцевий клімат; збив вогонь; гарний розпис; розписатися у журналі; незліченні питання; похмурий світанок.

ІІ. Беззіркова ніч; розцілувати бабусю; розцвіла під вікном; розглянути краєвид; безладна розповідь; безсердечна людина; розпитати батька; розслідувати остаточно; точно розрахувати; точний розрахунок; безперечна відповідь.

Вибірковий диктант

Розподілити слова у два стовпчики: 1) зна кінці приставки; 2) знаприкінці приставки. Наголосити на словах першу букву кореня.

Розсипати; здригнутися; потовкти; згинати; безцінний; беззвучний; скинув; вигадки; безжальний; спалив; безглуздий; розпитати; безцільний; розпиляти; розчирикався; здути; здалеку; безшумний; зорати; зрушити; марний.

Попереджувальний диктант

1) Багато разючих відкриттів зробили вчені на стародавній єгипетській землі. 2) Розкопки розкрили залишки кам'яної кладки. 3) Вчений розраховував знайти залишки піраміди. 4) Важко було розгадати таємницю піраміди. 5) Вапнякову скелю розчищали від піску і вирубували в ній отвори. 6) З невеликих отворів зверху світло спадало на мармурову підлогу храму. 7) Написи пірамід вихваляли фараонів. 8) Тут можна побачити сцени життя простих людей. 9) Донині на кам'яних сторінках стін збереглися розповіді життя єгиптян. 10) Важкі стволи колон скинули на землю. 11) Будівлю було зруйновано. 12) Для будівництва необхідно було зробити точні розрахунки. 13) Вчені виявили численні мармурові уламки. 14) Під час землетрусу статуя зрушила з місця і верхня її частина впала на землю. 15) Роботи не припинялися.

(Із книги А. Нейхардт, І. Шишової «Сім чудес світу»)

Літериа - про у корінні

Словникові диктанти

I. Графічно пояснити вибір голосної в корінні з чергуванням а - про.

1) Викладати зміст; добре викласти; знати ознаки прикметників; написати виклад; складові числа; розташуватися на нічліг; мати у своєму розпорядженні вільний час.
2) Розкішні рослини; гул наростає; зарослі кущів; молодий паросток; заросло травою; виросли квіти; зелені водорості; зрощення кісток; місто Ростов.
3) Припущення не здійснилися; крапельки роси; стежка заростає; рослинна олія; покладати обов'язки; змінити становище; складати вірші; пелюстки рослин; жолуді проросли; зберегти рослини; просіка заростає; відростити волосся; прокласти лижню; накласти шов; пропонувати допомогу.

ІІ. Підкреслити слова з гласною, що чергується, в корені.

Рослина; підростає; розтяпа; розчинити; розкішний; розтанути; розчин; виріс; зрошив.

ІІІ. Підкреслити ті словосполучення, в яких є слова з голосною, що чергується, в корені.

Просте речення; поросло травою; гірська рослинність; в'янути без води; стрясати повітря; покладати надії; майоріти на вітрі; розташуватися біля багаття.

Вибіркові диктанти

Розподілити слова у два стовпчики, пояснивши графічно вибір голосної а - проу корені.

1) Пропонувати; розташуватися; викладати; виклад; доданок; становище; запропонувати; покладати; додати.

Попереджувальні, пояснювальні диктанти

I. 1) Лягав на поля туман. (А. Пушкін) 2) Через вітри гірські дерева часто виростають однобокими. 3) Квіти росли прямо в кущів. 4) Щільною стіною темніли зарості очерету. 5) Цуценя встигло вирости в розумного пса. 6) У будинку ще не лягали спати. 7) Качки зябли в чагарниках і крякали всю ніч. (К. Паустовський) 8) Я дістався ялицевої зарості і розташувався на крихітній галявині. (В. Бурлак) 9) Снігові пластівці все росли і звернулися до величезних білих курей. (Г. Андерсен) 10) У густій ​​тіні ялинового лісу ростуть лише небагато рослин. (І. Соколов-Мікітов) 11) Уздовж стін розташовувалися шафи з книгами. 12) Ми припускали виїхати вранці. 13) Густі кущі розрослися схилами яру. 14) Коротко виклади зміст параграфа. 15) Будинок розташовувався на краю селища. 16) Пісня росла, розливалася. (І. Тургенєв) 17) Хвилі викинули на берег багато водоростей. 18) З насіння липи виростає могутнє дерево.

ІІ. Виписати з тексту слова, будова яких відповідає схемам:

Прикметник,
- дієслово,
- Іменник.

Наближалися сутінки, але ми продовжували блукати лісом. Здавалося, лісові галявининаливались густою темрявою. Вона повзла звідкись із землі, лягала біля наших ніг, на рослини. Птахи поступово замовкали. Незабаром стало важко розрізняти контури гілок. Слід знайомої стежки почав пропадати, але крізь густі чагарники ще виднілися промені сонця.

(За К. Паустовського)

ІІІ. Ми проїжджали по мальовничим місцям. Раптом гори наче розсунулися. Сонце скористалося цим і яскраво висвітлило ущелину, яка розтяглася до самого горизонту. У цьому місці через ущелину перекинувся міст. З правого боку від мосту чулося безперервне дзюрчання струмка, який раптово зникав у чагарниках. З лівого боку гори були вкриті густою рослинністю. Ми припускали тут зробити зупинку.

IV. Знайти (за одним прикладом) слова, будова яких відповідає схемам:

- іменник,
- дієслово,
- Прикметник.

Чи однаковим морфемний складслів рожевогоі білого? Довести. Підібрати синоніми до слів сумувала, разюче.

Одне із семи чудес світу

За наказом царя Вавилона на честь його дружини спорудили висячі сади. Це разюча споруда. Сади розташовувалися на широкій чотириярусній вежі. Яруси піднімалися уступами та були викладені плитами рожевого та білого кольору.

(Із книги А. Нейхардт, І. Шишової «Сім чудес світу»)

Літерие - про після шиплячих докорінно.

196 Розділ 9. Лінійні простори

де всі k i , 1i r + 1, рівні нулю. Якщо би k r +1 = 0, то нетривіальна лінійна комбінація k 1 α 1 +. . . +k r α r = 0, що дорівнює

нулю, означала б, що система α 1 . . . , α r лінійно залежить, що суперечить припущенню.

Лемма 9.2.13 (єдиність представлення елемента лінійного простору K V у вигляді лінійної комбінації лінійно незалежної системи елементів). Нехай (α 1 , . . ) - лінійно не залежна системаелементів лінійного простору K V і

β = k1 α1 +. . .+ kr αr = k1 α1 + . . .+ kr αr, ki, ki K.

Тоді k1 = k1,. . . kr = kr .

Доведення. Справді,

(k1 − k1) α1+. . .+ (kr − kr ) αr = 0 ,

і тому k 1 − k 1 = 0,. . . ,k r − k r = 0.

9.3. Максимальні лінійно незалежні підсистеми систем елементів лінійних просторів, базис лінійного простору

Нехай S K V. Найбільш важливі для нас випадки: а) S - кінцеве підмножина елементів K V ;

б) S = K V.

Підсистема v1, . . . , vr SK V називається максимальною лінійно незалежною підсистемою S, якщо:

1) v 1 . . . , v r – лінійно незалежна система;

2) v 1 . . . , v r , v - лінійно залежна система для всякогоv S , або, що еквівалентно,

2) будь-який елемент v S є лінійною комбінацією елементів v 1 . . . , v r.

Максимальна лінійно незалежна підсистема v1,. . . , v r в S = K V (якщо в K V існує така кінцева система) називається базою лінійного простору K V . Лінійний простірK V з кінцевим базисомv 1 . . . , v r називається кінцевим лінійним простором(при цьому буде показано, що будь-який інший базис лінійного простору містить те саме число елементів).

Приклад 9.3.1. Як ми вже бачили, система рядків

ε1 = (1 ,0 , . . . ,0) , ε2 = (0 ,1 , . . .,0) ,

εn = (0 ,0 , . . . ,1)

є базисом лінійного простору рядків Kn.

Лемма 9.3.2. Будь-яку лінійно незалежну підсистему v1,. . . , vr S Kn можна доповнити до максимальної лінійно незалежної підсистеми S Kn .

Доведення. Якщо v1, . . . , vr - максимальна лінійно незалежна підсистема в S Kn , все доведено. Якщо ні, то най-

іде елемент v S такий, що v 1 , v 2 , . . . , v r , v = v r +1 - лінійно незалежна підсистема S. Після кінцевого числа кроків процес

зупиниться, оскільки будь-які системи з n + 1 елементів у лінійному просторі Kn виявляються лінійно залежними.

Наслідок 9.3.3. Будь-який ненульовий елемент0 = v S Kn доповнюємо до максимальної лінійно незалежної підсистеми S.

Наслідок 9.3.4. У S = R n (або S = Kn для нескінченного поля K) безліч різних базисів. Якщо поле K звичайно, | K | = q (наприклад, K = Z 2), то число елементів Kn дорівнює qn, і тому число базисів Kn звичайно. Знайдіть їхнє число.

Зауваження 9.3.5. Нехай рядки 1 , . . . , a s K n лінійно незалежні,s< n . Тогда существуют такие строкиa s +1 , . . . , a n K n ,

що (a 1 , . . . , a n) - базис лінійного простору Kn. Практичне знаходженнярядок s +1, . . . , a n можна здійснити в такий спосіб. Запишемо рядки 1 , . . . , a s по стовпцях і наведемо отриману матрицю до східчастого вигляду:ϕ (a 1 , . . . , a s ) =A ступ , де

(a 1 , . . . , a s ), A ступ Mn,s (K ),ϕ - послідовність елементарних перетвореньрядків. Оскільки рядкиa 1 , . . . , as лінійно незалежно-

ми, то в A ступ є рівноs ненульових рядків (першіs рядків).

інші елементи рівні 0, i =s + 1, . . . , n. Припишемо ці стовпці праворуч до матриці A ступ. Нехай B Mn (K) - отримана матриця. Застосовуючи до матриці B послідовність елементарних перетворень.

вань рядків, зворотний до, приходимо до матриці ˜ . При цьому -

B (B)

матриця, в якій перші s рядків - це a 1 . . . , as, а наступні рядки доповнюють їх до базису лінійного простору Kn.

9.4. Зауваження про лінійну виразність кінцевих системелементів у лінійному просторі

Нехай K V - лінійний простір, S 1 K V , S 2 K V . Будемо говорити, що система S 2 елементу 1 , . . . , u s лінійно виражаєтьсячерез систему S 1 елементів v 1 . . . , v r , якщо кожен елемент i S 2 , 1is , є лінійною комбінацією елементів v 1 , . . . , v r системи S 1 ,

u i = m ijv j, m ijK.

Якщо до того ж система S 3 елементів w 1 . . . , w t лінійно виражається через систему S 2 ,

т. е. система S 3 лінійно виражається через систему S 1 .

Системи S 1 і S 2 називаються еквівалентними якщо вони лінійно виражаються один через одного (позначення: S 1 S 2 ).

Наслідок 9.4.1. Відношення «бути еквівалентними системами», S1 S2 є відношенням еквівалентності.

Наслідок 9.4.2. Якщо елемент vK V є лінійною комбінацією елементів v1, . . . , vr системи S1, S1 S2, де S2 - система елементів u1,. . . , us , то елемент є лінійною комбінацією елементів u1 , . . . , us системи S2.

Наслідок 9.4.3. Будь-яка (кінцева) система елементів SK V еквівалентна своїй максимальній лінійно незалежній підсистемі.

Наслідок 9.4.4. Будь-які дві (кінцеві) максимально незалежні підсистеми будь-якої системи SK V еквівалентні.

Зауваження 9.4.5. Якщо A, B Mm, n (K ) і матриця B отримана з матриці A кінцевим числомелементарних перетворень 1-го, 2-го та 3-го типів, то кожен рядок матриціB є лінійною комбінацією рядків матриціA (оскільки від матриціB ми можемо повернутися до матриціA за допомогою елементарних перетворень рядків 1-го, 2-го та 3-го типів , то кожен рядок матриці є лінійною комбінацією рядків матриці B ). Таким чином, у лінійному просторі рядків K n системи рядків A 1 . . . , A m матриці A і B 1 . . . , B m матриці B лінійно виражаються один через одного.

Теорема 9.4.6 (основна теорема про лінійну залежність).

Нехай у лінійному просторі K V лінійно незалежна система елементів v1, . . . , vr лінійно виражається через іншу систему елементів u1 . . . , us. Тоді r s.

Доведення. Допустимо неприємне: нехай r > s . В силу нашого припущення

v1 = a11 u1 +. . .+ a1 s us ,

vr = ar 1 u1 +. . .+ ars us, aij K.

200 Розділ 9. Лінійні простори

Оскільки r > s , тоr рядків

(a11, . . . , a1 s ),

(ar 1, . . . , ars )

у лінійному просторі рядків K s лінійно залежні: знайдеться їхня лінійна комбінація з коефіцієнтами k 1 , . . . , k r , де k i = 0 для деякогоi , що дорівнює нульовому рядку (0, . . . , 0)K s . Але тоді й лінійна комбінація елементів v 1 . . . , v r з тими самими коефіцієнтами

k 1 , . . . , k r дорівнює нулю, k 1 v 1 +. . . + k r v r = 0. Отже, система елементів v 1 , . . . , v r лінійно залежна, що призводить нас до проти-

Наслідок 9.4.7. Дві еквівалентні кінцеві лінійно незалежні системи в лінійному просторі K V містять рівне числоелементів.

Наслідок 9.4.8. Для системи SK V , де K V - кінцевий лінійний простір, будь-які дві (кінцеві) максимальні лінійно незалежні підсистеми містять однакове числоелементів r(S), зване рангом системи S.

Наслідок 9.4.9. Якщо S = K V і K V - кінцевомірне лінійне простір, то будь-які два базиси в K V складаються з одного і того ж числа елементів n, це число n називається розмірністю лінійного простору K V, позначення: dim K V = n.

Як ми бачили раніше, одним із базисів у лінійному просторі рядків K K n є система рядків

ε1 = (1 ,0 , . . . ,0) ,

εn = (0 ,0 , . . . ,1) ,

і тому dim K K n = n.

Наслідок 9.4.10. Якщо в кінцевому лінійному просторі K V одна система елементів S1 лінійно виражається через іншу систему S2, то r(S1) r(S2).

Наслідок 9.4.11. Якщо в лінійному просторі K V система M з m елементів має ранг r, то будь-яка її підсистема S із елементів (s m) має ранг не менше ніж r+ s − m.

Доведення. Дійсно, якщо R - максимальна лінійно незалежна підсистема M, | R | =r , то R \ (R ∩S )M \S і тому|R \ (R ∩ S )| m − s. Отже, | R ∩ S | r − (m − s ) =

R+ s – m.

Наслідок 9.4.12. Для системи рядків v1,. . . , vr Kn такі умови еквівалентні:

1) система рядків v 1, . . . , vr є базисом лінійного простору рядків Kn (тобто максимальної лінійно незалежної підсистемою рядків Kn ; і тоді r= n);

2) кожен рядок v K n єдиним чином подається у вигляді лінійної комбінації

v = λ1 v1 +. . .+ λr vr , λ1 , . . . , λr K

(І тоді r = n);

3) r = n і система рядків v1 . . . , vn лінійно незалежна;

4) r = n і кожен рядок v Kn представлений у вигляді лінійної комбінації

v = λ1 v1 +. . .+ λn vn , λ1 , . . . , Kn K.

Доведення. Ми вже показали, що 1) = 2). Покажемо, що 2) = 1). Якщоv 1 , . . . , v r - лінійно залежна система рядків, λ 1 v 1+. . . +λ r v r = 0 з деякимλ i = 0, то нульовий рядок має два різні уявлення

0 = 0 · v1 +. . .+ 0 · vr = λ1 v1 + . . .+ λr vr , λi = 0 .

У цьому r =n , оскільки будь-які базиси вK n містятьn елементів. Зрозуміло, що 1) = 3). Покажемо, що 3) = 1). Для будь-якого рядка v K n система рядків v 1 , . . . , v n , v лінійно залежна (n + 1> n). Так

202 Розділ 9. Лінійні простори

як v 1 , . . . , v n - лінійно незалежна система, то v = 1 v 1 +. . . +λ n v n для деяких λ 1 , . . . , λ n K .

Зрозуміло, що 1) = 4). Покажемо, що 4) = 1). Припустимо, що v 1 , . . . , v n – лінійно залежна система. Тоді її максимально лінійно незалежна підсистема v i 1 . . . , v ir ,r< n , является максимальной линейно независимой подсистемой вK n , что противоречит

r = n.

9.5. Єдиність головного ступінчастого виду матриці

Теорема 9.5.1. Нехай A, B, CM m,n (K) , B і C - ступінчасті матриці, отримані з ненульової матриці A кінцевим числом елементарних перетворень рядків 1-го, 2-го та 3-го типів. Тоді:

1) системи рядків (B 1 , . . . , Bm ) матриці B і (C1 , . . . , Cm ) матриці C в лінійному просторі рядків Kn лінійно виражаються один через одного

ки рядків матриць A, B і C Kn збігаються: A1 , . . . , Am = = B1,. . . , Bm = C1,. . . , Cm див. с.107);

2) числа r1 і r2 ненульових рядків у ступінчастих матрицях B і C відповідно збігаються (при цьому r = r1 = r2 = = dim K A1 , . . . , Am ; інші інтерпретації числа r = r (A) будуть дані в теоремі9. 16.1 про ранг матриці);

3) лідери рядків ступінчастих матриць B і C розташовуються в одних і тих же стовпцях;

4) якщо B і C – головні ступінчасті види ненульової матриці

A M m,n (K), то B = C.

Доведення.

1) В силу зауваження 9.4.5 у лінійному просторі рядків K n

системи рядків (A1, . . . , Am )матриці Aі (B1 , . . . , Bm )матриці B лінійно виражаються один через одного. Аналогічно, системи рядків

(A1 , . . . , Am )матриці Aі (C1 , . . . , Cm )матриці C також лінійно виражаються один через одного. Беручи до уваги транзитив-

ність лінійної виразності систем рядків (див. слідство 9.4.2), по-

Отримуємо, що системи рядків (B 1 , . . . , B m ) матриці B і (C 1 , . Отже,

A1,. . . , Am = B1,. . . , Bm = C1,. . . , Cm.

2) Оскільки ненульові рядки ступінчастої матриціутворюють максимально незалежну підсистему рядків, то з 1) випливає, що r 1 =r 2 (див. слідство 9.4.10), при цьому

r = r1 = r2 = dim B1,. . . , Bm =

Dim C1,. . . , Cm = dim A1,. . . , Am.

3) Нехай лідери r ненульових рядків B1, B2,. . . , B r східчастої матриці B розташовані в стовпцях з номерами k 1, k 2,. . . , k r ,

k1< k2 < . . . < kr , а лидеры rненулевых строк C1 , C2 , . . . , Cr ступінчастої матриці C розташовані у стовпцях з номерами l1, l2,. . . , lr ,

l1< l2 < . . . < lr . Оскільки системи рядків(B1, B2, ..., Br), (C1, C2, ..., Cr) лінійно виражаються один через одного, то, в си-

(B 2 , . . . , B r ) і (C 2 , . . . , C r ) , які лінійно виражаються один через одного, отримуємо, що k 2 =l 2 .

Продовжуючи цей процес, переконуємося у цьому, що k 3 =l 3 , . . . ,

k r = l r.

4) У 2) та 3) доведено, що число ненульових рядків r та номера

стовпців l 1 , . . . , l r , 1l 1< l 2 < . . . < l r n , в которых находятся главные неизвестные главных ступенчатых видовB иC , определе-

ні однозначно. Таким чином, розбиття на головні та вільні невідомі, що визначаються ступінчастими видами B і C, збігаються. Оскільки головні невідомі однозначно виражаються через вільні (в еквівалентних однорідних системах лінійних рівняньз головними ступінчастими матрицями B і C ), при цьому головний ступінчастий вид визначається цим виразом однозначно (див. зауваження 3.6.9), то B = C .

Зауваження 9.5.2 (матричне підтвердження п. 4 теореми про єдиність головного ступінчастого виду). Для A M m,n (K )

існують такі оборотні матриці F, G Mm (K ) (твори матриць, що відповідають елементарним перетворенням рядків), що

A = F · B = G · C.

Отже,

Використовуючи визначення головного ступінчастого виду та переставляючи стовпці матриць B і C, маємо:

де Q Mn (K ) (матриця Q - оборотна матриця, Що відповідає послідовності елементарних перетворень стовпців; ми вже довели в п. 2 і 3, що числа і стовпці 1 , . . . , j r , в яких стоять лідери рядків, однакові для ступінчастих матриць B і C відповідно; нульові блоки можуть бути відсутні (якщо k =r =m )). Отже, матриця D має такий блочний вигляд:

де матриця ˜ Mm,m−r (K ) (якщоr< m ) состоит из довільних елементівполя K . Тому, помножуючи D на

і прирівнюючи до

отримуємо, що = Mm-r,n-r (K). Помножуючи (9.1) праворуч на Q − 1 отримуємо B = C .

9.6. Ізоморфізм лінійних просторів

Нехай K U ,K V - лінійні просторинад полемK. Бієктивне відображення

f : K U →K V,

для котрого

f (u 1 +u2 ) =f(u1 ) +f(u2 ),

f ( ku ) = kf ( u )

для всіх u1 , u2 , uKU,k K, називається ізоморфізмомлінійних просторів KUі KV(у цьому випадку говоритимемо, що лінійні

простору KUі KV ізоморфні, позначення: KUKV).

Вправа 9.6.1.Ставлення U Vє ставленням

K = K

(f ( e 1 ) , . . . , f ( e n) ) - базис у K V , і тому dimK V = n = dimK U.

Доведення.

1) ЯкщоvKV, то f(u) =vдля деякого uKU. Нехай u=k1 e1 +. . . +knen, де k1 , . . . , knK. Тоді

v = f ( u ) = k 1 f ( e 1 ) + . . .+ k n f ( e n) .

2) Нехайk1 f(e1 ) +. . . +knf(en) = 0 для k1 , . . . , knK. Тоді

0 = k 1 f ( e 1 ) + . . .+ k n f ( e n) = f ( k 1 e 1 + . . .+ k n e n) ,

ітому

k 1 e 1 + . . .+ k n e n= 0 ,

отже, k1 =k2 =. . . =kn= 0.

Отже, в силу 1) та 2), (f(e1 ), . . . , f(en)} - базис лінійного простору KV.

Елементарними перетвореннями матриціназиваються такі її перетворення:

I. Перестановка двох стовпців (рядків) матриці.

ІІ. Примноження всіх елементів одного стовпця (рядки) матриці на те саме число, відмінне від нуля.

ІІІ. Додаток до елементів одного стовпця (рядки) відповідних елементів іншого стовпця (рядка), помножених на те саме число.

Матриця B отримана з вихідної матриці A кінцевим числом елементарних перетворень, називається еквівалентної. Це позначається A\sim B .

Елементарні перетворення застосовуються для спрощення матриць, що буде використовуватися надалі для вирішення різних завдань.

Покажемо, як за допомогою елементарних перетворень можна привести матрицю до східчастого вигляду(Рис. 1.4). Тут висота кожної "сходинки" становить один рядок, символом 1 (одиницею) позначені одиничні елементи матриці, символом * - позначені елементи з довільними значеннями, інші елементи матриці нульові. До ступінчастого вигляду можна привести будь-яку матрицю, причому достатньо використовувати лише елементарні перетворення рядків матриці.

\begin(gathered)\left(\!\!\begin(array)(*(20)(c)) cdots&astt 0&cdots&0&0&1&ast&cdots&ast&ast&stdots&ast&ast&ast&cdots&ast 0&cdots&0&0&0&cdots&0&1&ast&cdots& ast\vdots&ddots&vdots&vdots&vdots&vdots&cdots&vdots&vdots&cdots&ddots&vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\dots&\vdots&\dots cdots & vdots & cdots & ddots & vdots & aast & cdots & aast 0 & cdots & 0 & 0&0 ddots&vdots&vdots&vdots&vdots&cdots&vdots&vdots&cdots&ddots&vdots&vdots&vdots&dddots&vdots 0&cdots&0 right)\\ \mathsf(Ris.~1.4)\end(gathered)

Алгоритм приведення матриці до ступінчастого вигляду

Щоб привести матрицю до ступінчастого вигляду (рис. 1.4), необхідно виконати такі дії.

1. У першому стовпці вибрати елемент, відмінний від нуля ( провідний елемент). Рядок з провідним елементом ( провідний рядок), якщо вона не перша, переставити на місце першого рядка (перетворення I типу). Якщо в першому стовпці немає ведучого (всі елементи дорівнюють нулю), то виключаємо цей стовпець, і продовжуємо пошук провідного елемента в частині матриці, що залишилася. Перетворення закінчуються, якщо виключені всі стовпці або в частині матриці, що залишилася, всі елементи нульові.

2. Розділити всі елементи провідного рядка на провідний елемент (перетворення типу II). Якщо провідний рядок останній, то на цьому перетворення слід закінчити.

3. До кожного рядка, розташованого нижче ведучої, додати провідний рядок, помножений відповідно на таке число, щоб елементи, що стоять під ведучим, виявилися рівними нулю(Перетворення III типу).

4. Виключивши з розгляду рядок і стовпець, на перетині яких стоїть провідний елемент, перейти до пункту 1, в якому всі описані дії застосовуються до частини матриці, що залишилася.

приклад 1.29.Привести до східчастого вигляду матриці

A=\begin(pmatrix)3&9\\2&4\end(pmatrix)\!,\quad B=\begin(pmatrix)0&2&3\2&4&6\end(pmatrix)\! \3&5\6&7end(pmatrix)!.

Рішення.У першому стовпці матриці A вибираємо провідний елемент a_(11)=3\ne0. Ділимо всі елементи першого рядка на a_(11)=3 (або, що те саме 1 1. саме, множимо на \tfrac(1)(a_(11))=\tfrac(1)(3)):

A=\begin(pmatrix)\boxed(3)&9\2&4end(pmatrix)-begin(pmatrix)1&3\2&4end(pmatrix)!.

\begin(pmatrix)1&3\2&4\end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&3\0&-2\end(pmatrix)!.

Перший стовпець та перший рядок виключаємо з розгляду. У частині матриці, що залишилася, є один елемент (-2), який вибираємо в якості ведучого. Розділивши останній рядок на провідний елемент, отримуємо матрицю східчастого вигляду

\begin(pmatrix)1&3\\0&\boxed(-2)\end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&3\0&1\end(pmatrix)\!.

У першому стовпці матриці B вибираємо провідний елемент b_(21)=2\ne0. Змінюємо місцями рядки, ставлячи провідний рядок на місце першого, і ділимо елементи провідного рядка на провідний елемент 2:

B=\begin(pmatrix)0&2&3\\2&4&6\end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)\boxed(2)&4&6\\0&2&3\end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&2&3\\0&2&3\end (pmatrix)!

Пункт 3 алгоритму робити не треба, тому що під провідним елементом стоїть нуль. Виключаємо з розгляду перший рядок та перший стовпець. У частині, що залишилася, провідний елемент - число 2. Розділивши провідний рядок (другий) на 2, отримуємо ступінчастий вигляд:

B\sim \begin(pmatrix)1&2&3\0&\boxed(2)&3\end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&2&3\0&1&1,\!5\end(pmatrix)!.

Перетворення закінчені, оскільки провідний рядок останній.

У першому стовпці матриці C вибираємо провідний елемент c_(11)=2\ne0. Перший рядок – провідний. Ділимо її елементи на c_(11)=2. Отримуємо

C= \begin(pmatrix)\boxed(2)&4\3&5\6&7\end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&2\3&5\6&7\end(pmatrix)!.

C\sim \begin(pmatrix)\boxed(1)&2\3&5\6&7\end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&2\0&-1\\0&-5\end(pmatrix)\! .

Звернемо увагу на те, що отримана матриця ще не є матрицею ступінчастого виду, так як другу сходинку утворюють два рядки (2-й і 3-й) матриці. Виключивши 1-й рядок і 1-й стовпець, шукаємо в частині, що залишилася, провідний елемент. Це елемент (-1). Ділимо другий рядок на (-1), а потім до третього рядка додаємо провідний (другий), помножений на 5:

C\sim \begin(pmatrix)1&2\\0&\boxed(-1)\\0&-5\end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&2\0&1\0&-5\end(pmatrix)\ sim \begin(pmatrix)1&2\0&1\0&0\end(pmatrix)\!.

Виключимо з розгляду другий рядок та другий стовпець. Оскільки виключені усі стовпці, подальші перетворення неможливі. Отриманий вигляд – ступінчастий.

Зауваження 1.8.

1. Кажуть, що матриця має ступінчастий вигляд також і у разі, коли на місці провідних елементів (позначених на рис. 1.4 одиницею) стоять будь-які відмінні від нуля числа.

2. Вважається, що нульова матриця має ступінчастий вигляд.

приклад 1.30.Привести до ступінчастого вигляду матрицю

A=\begin(pmatrix)0&1&1&1&1&1\0&1&1&2&3&2\\0&2&2&1&2&1\0&4&4&4&6&4\end(pmatrix)

Рішення.Перший стовпець матриці A – нульовий. Виключаємо його з розгляду і досліджуємо частину, що залишилася (останні 5 стовпців):

A=\begin(pmatrix)0\!&\vline\!\!&1&1&1&1&1\0\!\!&\vline\!\!&1&1&2&3&2\\0\!\!&\vline\!\!&2&2&1&2&1\\ 0\!\!&\vline\!\!&4&4&4&6&4\end(pmatrix)

Беремо як провідний елемент a_(12)=1 . Додаємо до другого рядка перший, помножений на (-1); до третього рядка - перший, помножений на (-2); до четвертого рядка - перший, помножений на (-4). Тим самим "обнуляються" всі елементи другого стовпця, розташовані нижче провідного елемента:

A\sim \begin(pmatrix)0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&-1&0&-1\\ 0&0&0&0&2&0\end(pmatrix)\!.

Отримана матриця не має ступінчастого вигляду, оскільки одна з сходів має висоту три рядки. Продовжуємо перетворення. Перший рядок та другий стовпець виключаємо з розгляду. Оскільки перший стовпець у частині матриці нульової, виключаємо його. Тепер частина матриці - це матриця (розмірів 3\times3 ), утворена елементами, розташованими в останніх трьох рядках та трьох стовпцях отриманої матриці. Як провідний елемент вибираємо a_(24)=1 . До третього рядка додаємо другий. Отримуємо матрицю

A\sim \begin(pmatrix)0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&2&0\end(pmatrix)\!.

Другий рядок та четвертий стовпець виключаємо з розгляду. Беремо елемент a_(35)=2 як ведучого. Ділимо третій рядок на число 2 (множимо на 0,5):

A\sim \begin(pmatrix)0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&2&0\end(pmatrix)\!.

A\sim \begin(pmatrix)0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&0&0\end(pmatrix)!.

Третій рядок та четвертий стовпець виключаємо з розгляду. Оскільки в решті матриці всі елементи (один) нульові, перетворення закінчені. Матриця наведена до ступінчастого вигляду (див. рис. 1.4).

Зауваження 1.9.Продовжуючи виконувати елементарні перетворення над рядками матриці можна спростити ступінчастий вигляд, а саме привести матрицю до спрощеним виглядом(Рис. 1.5).

\begin(gathered)\left(\!\!\begin(array)(*(20)(c)) 0& \cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&ast&cdots&ast&0&ast&cdots&astt 0&cdots&0&0&0&0&cdots&0&1&astdocdots&tsdots vdots & vdots & vdots & vdots & cdots & ddots & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ dots ast&cdots&st 0&cdots&0&0&0&0&cdots&0&0&0&cdots0 vdots&cdots&ddots&vdots&vdots&vdots&ddots&vdots 0&cdots&0&0&0&0cdots0&0&0&cdots&0&0&0&cdots&0 \end(array)\!\!\r\~right (Gathered)

Тут символом 1 позначені елементи матриці, рівні одиниці, символом * - позначені елементи з довільними значеннями, інші елементи нульові матриці. Зауважимо, що у кожному стовпці з одиницею інші елементи дорівнюють нулю.

Приклад 1.31.Привести до спрощеного вигляду матрицю

A=\begin(pmatrix)0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end(pmatrix)!.

Рішення.Матриця має східчастий вигляд. Додамо до першого рядка третій, помножений на (-1), а до другого рядка третій, помножений на (-2):

A\sim\begin(pmatrix)0&1&1&1&0&1\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end(pmatrix)!.

A\sim\begin(pmatrix)0&1&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end(pmatrix)!.

Зауваження 1.10.За допомогою елементарних перетворень (рядків та стовпців) будь-яку матрицю можна навести до найпростішого вигляду(Рис. 1.6).

\begin(gathered) \begin(pmatrix) 1&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \dots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&1&0&\cdots&0\\ 0&\cdots&0 vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0 \end(pmatrix)_(m\times n)=\begin(pmatrix)E_r&O\\O&O\end(pmatrix)\!.\\ \mathsf(Ris .~~1.6)\end(gathered)

Лівий верхній кутматриці є одиничною матрицею порядку r~(0\leqslant r\leqslant\min\(m,n\)), а інші елементи дорівнюють нулю. Вважається, що нульова матриця вже має найпростіший вигляд(При r = 0).

приклад 1.32.Навести матрицю A=\begin(pmatrix)1&2&3\\ 2&4&5\end(pmatrix)до найпростішого вигляду.

Рішення.Як провідний елемент візьмемо a_(11)=1 . До другого рядка додамо перший, помножений на (-2):

A\sim\begin(pmatrix)1&2&3\0&0&-1\end(pmatrix)!.

A\sim\begin(pmatrix)1&0&0\\ 0&0&-1\end(pmatrix)\!.

A\sim\begin(pmatrix)1&0&0\\ 0&1&0\end(pmatrix)\!.

Таким чином, вихідна матриця A за допомогою елементарних перетворень наведена до найпростішого виду (див. рис. 1.6).

Властивості елементарних перетворень матриць

Підкреслимо такі властивості елементарних перетворень матриць.

Теорема 1.1 про приведення матриці до східчастого вигляду. Будь-яку матрицю за допомогою елементарних перетворень її рядків можна привести до ступінчастого (або навіть спрощеного) вигляду.

Наслідок (про приведення матриці до найпростішого вигляду). Будь-яку матрицю за допомогою елементарних перетворень її рядків та стовпців можна привести до найпростішого вигляду.

Зауваження 1.11

1. Перетворення, обернені до елементарних, є елементарними. Насправді, якщо в матриці поміняли місцями два стовпці (перетворення I типу), то вихідну матрицю можна отримати, ще раз помінявши місцями ці стовпці. Якщо стовпець матриці помножили число \lambda\ne0 (перетворення II типу), для отримання вихідної матриці треба цей стовпець помножити на зворотне число \tfrac(1)(\lambda)\ne0. Якщо до i-го стовпця матриці додали j-й стовпець, помножений на число \lambda , то для отримання вихідної матриці достатньо до i-го стовпця матриці додати j-й стовпець, помножений на протилежне число(-\lambda).

2. У теоремі 1.1 йдеться про приведення матриці до східчастого (спрощеного) виду за допомогою елементарних перетворень лише її рядків, не використовуючи перетворення її стовпців. Щоб привести довільну матрицю до найпростішого виду (наслідок теореми 1.1), потрібно використовувати перетворення рядків і стовпців матриці.

3. Розглянемо таку модифікацію пункту 3 методу Гаусса. Провідний елемент, вибраний у п. 1 методу Гауса, визначає провідний рядокі провідний стовпецьматриці (він знаходиться на їхньому перетині). Ділимо всі елементи провідного рядка на провідний елемент (див. п.2 методу Гаусса). Додаючи провідний рядок, помножений на відповідні числа, До інших рядків матриці (аналогічно п.3 методу Гаусса), робимо рівними нулю всі елементи провідного стовпця, за винятком провідного елемента. Потім, додаючи отриманий провідний стовпець, помножений на відповідні числа, до решти стовпчиків матриці, робимо рівними нулю всі елементи провідного рядка, за винятком провідного елемента. При цьому отримуємо провідні рядок і стовпець, всі елементи яких дорівнюють нулю, за винятком провідного елемента, що дорівнює одиниці.

Модифікований таким чином метод Гаусса називається методом Гауса-Жордана. Його застосування дозволяє відразу отримати найпростіший вид матриці, минаючи її ступінчастий вигляд.