N мірний. N-мірний арифметичний простір

Лін.простір - безліч об'єктів (довільної природи) для яких визначено додавання один з одним і множення елемента на число. Лінійний простірчасто називають векторним

При цьому задовольняються такі умови:

Елементи множини Lназивають векторами, а елементи поля P - скалярами.

Лінійні операції над елементами однотипних множин дають в результаті елементи нової множини, що мають ті ж властивості, що і вихідні. Для прямої операції додавання визначено зворотна операціявіднімання, а прямий операції множення - зворотна операція поділу. Як для прямої, так і для зворотної операції одному елементу множини відповідає один і тільки один елемент множини Б. взаємнооднозначні множини. Прикладом взаємнооднозначних множин є векторні величини. Безліч всіх векторів тривимірного простору утворює векторний простір. Прикладом ВП може бути так зване n-мірне арифметичний простір . Векторами цього простору є впорядковані системи з n дійсних чисел:  1 ,  2 ,...,  n . Сума двох векторів та добуток на число визначаються співвідношеннями:

( 1 ,  2 , …,  n) + ( 1 ,  2 , …,  n) = ( 1 +  1 ,  2 +  2 , …,  n +  n);

( 1 ,  2 , …,  n) = ( 1 ,  2 , …,  n). Базисом у цьому просторі може служити наступна система з nвекторів e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).

Безліч Rвсіх багаточленів  0 +  1 u+ … +  n u n(будь-яких ступенів n) від одного змінного з дійсними коефіцієнтами  0 ,  1 ,...,  nіз звичайними алгебраїчними правилами складання багаточленів та множення багаточленів на дійсні числа утворює Ст п. Багаточлени 1, u, u 2 ,..., u n (за будь-якого n) лінійно незалежні в R,тому R -нескінченномірне Ст п. Будь-які три ненульові вектори, що не лежать в одній площині, є лінійно незалежними. Багаточлени ступеня не вище nутворюють Ст п. розмірності n+ 1 ; його базисом можуть служити багаточлени 1, u, u 2 ,..., u n .

11. Скалярний добуток векторів, його властивості.

Операція над двома векторами, результатом якої є скаляр (число), що не залежить від системи координат і характеризує довжини векторів-множників і кут між ними. Ця операція зазвичай розглядається як комутативна та лінійна по кожному співмножнику. Порядок запису співмножників байдужий, тобто *=*. Якщо кут між векторами і позначити через, то їх скалярний твірможна виразити формулою
.Якщо вектори і задані своїми координатами: , їх скалярне твір може бути обчислено за формулою. Звідси випливає необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів.

Щоб знайти кут між векторами, можна використовувати формули:

,.

6 відповідей

Розміри – це те, що ви хочете від них зробити. Наприклад, глибина та час мають сенс лише тоді, коли ви маєте справу з цими концепціями.

Це не повинно бути про простір та час. Фактично, стандарт С++ називає їх екстентами.

Скажімо, у вас є десять різних сирів, і ви хочете оцінити ймовірність того, що хтось віддасть перевагу їм у певному порядку. Ви можете зберегти це у своєму int t; маючи на увазі значення екстенту: улюблений сир, другий улюблений сир, третій улюблений сир, четвертий улюблений сир, п'ятий улюблений сир та найменш улюблений сир. Імовірність того, що хтось віддає перевагу сирам у порядку 5-4-6-3-2-1, буде виражатися як t.

Справа в тому, що мова не прикріплює семантику домену до екстентів. Це для вас, щоб це зробити.

N-мірні масиви – це не просто С++. Він з'являється всюди в математиці, фізиці, різних науках і т.д.

Ось приклад: скажімо, ви хочете індексувати дані по положенню (x, y, z), часу та "який користувач створив дані". Для точки даних, зібраної в x1, y1, z1, time1 і згенерованої користувачем1, ви збережете її в dataArray = myNewData .

У програмуванні не думайте про багатовимірні масиви в термінах традиційної геометрії, якщо ви не намагаєтеся безпосередньо представляти світ. Краще думати про кожен наступний "вимір" як про інший масив, що містить масиви. Існує кілька випадків використання, де це може виникнути. Однак, якщо ви використовуєте більше трьох вимірювань, я б більше не розглядав його як масиви або навіть "масиви масивів", я волію, щоб дерева були ближчими до того, як ви програмуєте те, що вимагає більше трьох рівнів.

Одним із прикладів є дерево, де у вас є root node, який має вузли, які також мають вузли. Якщо ви хочете щось зірвати, то дерево – чудовий інструмент. Скажімо, ви хотіли відсортувати купу чисел, які надходили в випадковому порядку. Ви зробили б перший номер, який з'явився докорінно. Якщо перше число дорівнює 5, а наступне число дорівнює 7, то ви повинні помістити 7 в "правий" корінь node 5. І якщо у вас є 3, то 4, ви повинні вставити 3 до "лівого" з 5, а потім до 4 до "правильного" з 3. Якщо ви перетинаєте це дерево в порядку (завжди йдучи вліво вниз по дереву, повертаємось тільки тоді, коли немає нових вузлів, а потім праворуч), ви отримаєте відсортований список: 3, 4, 5, 7.

5 / \ 3 7 \ 4

Тут можна побачити деревоподібну структуру. Якщо ви робили це на C, ви використовували б структури, які б виглядали так (я використовую псевдокод):

Struct Node( int val; Node left; Node right; )

Є багато матеріалів про бінарні дерева (що я поясню), але в першу чергу я хотів, щоб ви відійшли від концепції масивів, "як розміри в просторі", і багато іншого тільки з структури даних, яка може зберігати елементи. Іноді двійкове дерево або інша структура даних надто складна, і 5 або більш розмірний масив може бути зручнішим для зберігання даних. Я не можу зараз вигадати приклад, але вони були використані раніше.

Як фізичні тривимірні істоти ми не можемо "візуалізувати" те, що представляють 4, 5, 6 (або вище) фізичні розміри.

4-й вимір збільшило б наше сприйняття до 4-го напряму, яке було б ортогональним за напрямами висоти, ширини та глибини, які ми природно сприймаємо. Так - геометрія пройшла дивно!

Щоб дати нам відчуття цієї ідеї, у цьому відео Карл Сагануявляє, що він відчував як ідеально рівне 2-метрове істота (маленький квадрат), що у 2-му світі, щоб зустріти таємниче тривимірне істота.
Ця тривимірна істота (підозріло схожа на яблуко) існує в основному в цьому загадковому третьому вимірі, яке маленький квадрат не може "бачити". Він сприймає лише точки яблука, які перетинаються зі своїм 2d плоским світом, тобто. Його проекція ...

Відео виглядає старомодним за сьогоднішніми мірками, але з погляду фізики/геометрії все ще найкраще пояснення, яке я бачив там.

Для побудови загальної теоріїсистем лінійних рівняньми будемо використовувати нове поняття – багатовимірного векторного простору.

Визначення.Упорядкована система n чисел a=(a 1 ,a 2 ,...,a n)називається n-вимірним вектором, a j ÎR -координати вектор.

Визначення.Два вектори a та b=( b 1 ,b 2 ,...,b n) будуть рахуватися рівними, якщо a i = b i"i=1,2,...,n

Приклади: 1) безліч векторів площини, простору;

2) коефіцієнти лінійного рівняння з n невідомими становлять n-мірний вектор;

3) будь-яке рішення системи лінійних рівнянь із n невідомими буде n-мірним вектором;

4) у матриці розміру n'n будь-який рядок і будь-який стовпець є n-мірними векторами.

Визначення. Сумою векторів a і b називається вектор

a+b=( a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,...,a n +b n).

Роль нуля відіграє вектор 0 = (0, 0, ..., 0).

Визначення. Вектор -a= (-a 1 ,-a 2 ,...,-a n)називається протилежним вектор a.

Визначення. Твором вектора a на число k називається вектор ka=ak= (Ka 1, Ka 2, ..., Ka n).

Властивості множення вектора на число

Властивість 1. "a,b" kÎR (k(a±b)=ka±kb)

Властивість 2."a" k,lÎR (( k± l)a= k a± l a

Властивість 3."a" k,lÎR ( k(l a) = ( kl) a)

Властивість 4. "a (1×a=a)

Довести самостійно.

Наслідок 1."a (0×a=0)

Наслідок 2. kÎR (k×0=0)

Наслідок 3. "a ((-1)×a=-a)

Довести самостійно.

Визначення.Безліч всіх n-мірних векторівз дійсними координатами з операціями складання та множення вектора на число називається n-вимірним векторним простором .

Визначення. Вектор b з n-вимірного простору називається пропорційним вектор a, якщо існує таке число k, що b = ka.

(Нульовий вектор пропорційний будь-якому вектору.)

Узагальнення поняття пропорційності векторів є поняття лінійної комбінації векторів.

Визначення.Вектор b з n-вимірного простору називається лінійною комбінацією векторів a 1 ,a 2 ,...,a s ,якщо існують такі числа t 1 ,t 2 ,...,t s ,що b= t 1 a 1 + t 2 a 2 + ... + t s a s.(1)

Визначення.Система векторів a 1 ,a 2 ,...,a r(r³2) називається лінійно залежною якщо хоча б один з цих векторів є лінійною комбінацією інших, і лінійно незалежною в іншому випадку.

Можна визначити інакше. Система векторів a 1 ,a 2 ,...,a r(r³2) називається лінійно залежною якщо існують такі числа t 1 ,t 2 ,...,t r, хоча одне з яких відмінно від 0, що має місце рівність t 1 a 1 + t 2 a 2 +...+t r a r =0

Система векторів a 1 ,a 2 ,...,a rназивається лінійно незалежною , якщо така рівність можлива лише за всіх t iрівних 0.

Властивість. Якщо деяка підсистема системи векторів a 1 ,a 2 ,...,a sлінійно залежна, те й вся система лінійно залежна.

Доведення

Нехай дана система векторів а i1 .a i2 ,...,а s ,та підсистема цієї системи векторів а i1 .a i2 ,...,а irде r t i1 , t i2 ,..., t ir, не всі рівні 0, такі, що t i1 а i1+t i2 a i2 +...+t ir a ir, звідси отримуємо t 11 a 11 +t 22 a 22 +...+t i2 a i2 +...+t ir a ir +...+t s a s =0і не всі t i = 0, отже, система векторів a 1 ,a 2 ,...,a sлінійно залежна.

Слідство 1. Система векторів, що містить два рівні вектори, лінійно залежна.

Слідство 2. Система векторів, що містить два протилежні вектори, лінійно залежна.

Слідство 3. Система векторів, що містить нульовий вектор, Лінійно залежна.

Слідство 4. Якщо система векторів лінійно незалежна, те й усяка її підсистема лінійно незалежна.

Визначення. Лінійно незалежну систему n-мірних векторів a 1 ,a 2 ,...,a sназвемо максимальною лінійно незалежною системою, якщо додавання до цієї системи будь-якого n-мірного вектора b робить цю систему лінійно залежною.

Постає питання: яка максимальна кількість векторів може становити лінійно незалежну систему. Розглянемо вектори

е 1 =(1,0,0,...,0),

………………(2)

е n = (0,0,0, ..., 1).

Ці вектори називаються одиничними векторами n-мірного простору.

Пропозиція. Система одиничних векторів (2) є лінійно незалежною.

Доведення. Розглянемо рівність

k 1 e 1 +k 2 e 2 +...+k n e n =0,

k 1 (1,0,0,...,0)+ k 2 (0,1,0,...,0)+ k n (0,0,0,...,1)=1,

(k 1 , 0,..., 0)+(0, k 2 ,0, ..., 0)+...+(0, 0, 0, ... , k n)=0,

(k 1, k 2, ..., k n) = 0,тобто k i = 0 "i = 1, ..., n.

Таким чином, ми отримали, що система одиничних векторів (2) є лінійно незалежною.

Пропозиція. Будь-який вектор n-вимірного простору можна представити як лінійну комбінацію векторів системи (2).

Доведення - самостійно.

Визначення. Говоритимемо, що вектор b лінійно виражається через систему векторів а 1, а 2, ..., а r,якщо b є лінійною комбінацією векторів, що входять до системи а 1, а 2, ..., а r.

Визначення. Система векторів b 1 , b 2 , ... , b s лінійно виражається через систему векторів а 1, а 2, ..., а r,якщо кожен вектор b iє лінійною комбінацією векторів системи a(" i=1,2,...,s).

Лемма. Якщо система векторів a лінійно виражається через систему векторів b, а система векторів b лінійно виражається через систему векторів g, система векторів a лінійно виражається через систему векторів g.

Доведення

Нехай дані системи векторів

а 1, а 2, ..., а r; b 1, b 2, ..., b s; g 1, g 2, ..., g t.

За умовою система векторів a лінійно виражається через систему векторів b, а система векторів b лінійно виражається через систему векторів g, тобто

,

тобто будь-який вектор системи a лінійно виражається через систему векторів g.

Теорема. Якщо в n-вимірному векторному просторі дано дві системи векторів а 1, а 2, ..., а rі b 1 , b 2 , ... , b s і всі вектори системи a лінійно виражаються через вектори системи b тоді, якщо r>s,то система векторів лінійно залежна.

Доведення

Доведемо методом математичної індукціїза кількістю s.

1. s=1, тоді а 1 = з 1 b 1 , а 2 = с 2 b 1 , ... , а r = з r b 1 .

Якщо з 1 = 0,то система векторів лінійно залежна, оскільки містить нульовий вектор а 1.

Якщо з 1 ¹0,то маємо лінійну залежність (-з 2)а 1 +з 1 а 2 +0 а 3 +...+0 а r =0,отже, система a лінійно залежить.

2. Припустимо, що твердження правильне для s-1 вектора і доведемо для s. Нехай

a 1 =с 11 b 1 +с 12 b 2 +...+c 1s b s

a 2 =c 21 b 1 +c 22 b 2 +...+c 2s b s

Теорему доведено.

Визначення. Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна їх лінійно виражається через іншу.

Наслідок 1. Будь-які дві еквівалентні лінійно незалежні системи векторів містять рівне числовекторів.

Наслідок 2. Будь-які вектори n-мірного простору складають при s>n лінійно залежну систему.

Доведення. Розглянемо систему векторів n-вимірного простору (s>n) a 1 =(a 11 , a 12 , ..., a 1n) ,

a 2 =(a 21 , a 22 , ..., a 2 n),

............................ (3)

a s = (a s 1, a s 2, ..., a sn).

За твердженням, ця система лінійно виражається через систему (2), отже, за доведеною теоремою вона лінійно залежить.

Наслідок 3. Будь-яка максимальна лінійно незалежна системавекторів n-вимірного простору складається з n векторів.

Слідство 4. Якщо в даній лінійно залежної системиВекторів взяті дві в ній максимально лінійно незалежні підсистеми, то ці підсистеми містять однакову кількість векторів.

• Переклад

Привіт Хабр. Пам'ятаєте офігенну статтю «Ви та ваша робота» (+219, 2222 в закладки, 350k прочитань)?

Так ось у Хеммінга (так, так, коди Хеммінга, що самоконтролюються і самокоректуються) є ціла книга, написана за мотивами його лекцій. Ми її тут перекладаємо, адже мужик каже.

Це книга не просто про ІТ, це книга про стиль мислення неймовірно крутих людей. Це не просто заряд позитивного мислення; в ній описані умови, які збільшують шанси зробити велику роботу.

Ми вже переклали 6 (із 30) розділів.

Глава 9. N-мірний простір

Коли я став професором після 30 років активних досліджень у Bell Telephone Laboratories головним чином у відділі математичних досліджень, я згадав, що професори повинні осмислювати та резюмувати минулий досвід. Я поклав ноги на стіл і почав обмірковувати своє минуле. У Ранні рокия займався в основному обчисленнями, тобто я був залучений до багатьох великих проектів, що вимагають обчислень. Думаючи про те, як було розроблено кілька великих інженерних систем, до яких я був частково залучений, я почав, перебуваючи тепер на деякій відстані від них, бачити, що в них було багато загальних елементів. Згодом я почав розуміти, що завдання проектування знаходяться у n-мірному просторі, де n – число незалежних параметрів. Так, ми створюємо 3-мірні об'єкти, але їх проектування знаходиться в багатовимірному просторі, 1 вимір для кожного проектованого параметра.

Багатовимірні простори знадобляться у тому, щоб подальші докази стали інтуїтивно зрозумілі без суворої деталізації. Тому ми зараз розглядатимемо n-мірний простір.

Ви думаєте, що живете в тривимірному просторі, але у багатьох випадках ви живете в двовимірному просторі. Наприклад, у випадковому ході життя, якщо ви зустрінете когось, то маєте розумний шанс зустріти цю людину знову. Але у світі трьох вимірів цього шансу немає! Розглянемо риб в океані, які потенційно живуть у трьох вимірах. Вони рухаються по поверхні або по дну, обмежуючи речі до двох вимірів, або вони формують косяки, або збираються в одному місці в один і той же час, наприклад, як гирло річки, пляж, Саргасове море і т.д. Вони не можуть очікувати зустріти приятеля, якщо вони будуть мандрувати у відкритому океаніу трьох вимірах. Або, наприклад, якщо ви хочете, щоб літаки зіткнулися, ви повинні зібрати їх поряд з аеропортом, помістити їх у двовимірні рівні польотів, або послати їх групою; дійсно, випадкові польоти мали б менше аварій, ніж це відбувається зараз!

N-вимірний простір є математичною конструкцією, яку ми повинні досліджувати, щоб зрозуміти, що трапляється з нами, коли ми бродимо там при вирішенні завдань проектування. У двох вимірах у нас є теорема Піфагора, для прямокутного трикутникаквадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів інших сторін. У трьох вимірах нас цікавить довжина діагоналі паралелепіпеда, Мал. 9.1. Щоб знайти її ми спочатку проводимо діагональ однієї грані, застосовуємо теорему Піфагора, потім беремо її як одну зі сторін з іншою стороною третього виміру, яка перпендикулярна до неї, і знову з теореми Піфагора отримуємо, що квадрат діагоналі їсть сума квадратів трьох перпендикулярних сторін. Очевидно випливає з цього доказу і необхідної симетрії формули, що якщо ви піднімаєтесь до вищих вимірів у вас все також квадрат діагоналі дорівнюватиме сумі квадратів попарно взаємно перпендикулярних сторін,

Де x i довжини сторін прямокутного блоку у n-мірному просторі.

Рис. 9.I

Продовжуючи геометричний підхід, площини у просторі будуть просто лінійними комбінаціями x i , а сфера навколо точки буде всіма точками, що знаходяться на одній фіксованій відстані від заданої.

Нам знадобиться обсяг n-вимірної сфери, щоб зрозуміти ідею розміру шматка обмеженого простору. Але спочатку нам потрібне наближення Стірлінга для n!, яку я виведу, щоб ви зрозуміли більшість деталей і були впевнені в правильності того, що буде, а не вірили на слово.

Із твором типу n! важко звертатися, тому ми візьмемо log n!, який стає

Де, звичайно, ln логарифм на основі e. Суми нагадують нам, що вони пов'язані з інтегралами, тому ми розпочнемо з такого інтегралу

Ми застосовуємо інтегрування частинами (оскільки знаємо, що ln x походить з інтегрування алгебраїчної функції і, отже, може бути виключений на наступному кроці). Нехай U=ln x, dV=dx, тоді

З іншого боку, якщо ми застосуємо формулу трапеції до інтегралу ln x ми отримаємо, див. 9.II,

Оскільки ln 1 = 0, додаючи (1/2) * ln n до обох частин рівності ми отримуємо

Позбавимося логарифмів, зводячи e у ступінь обох частин.

Де С якась константа (близька до e), що не залежить від n, оскільки ми апроксимували інтеграл фррмулой трапеції, похибка зростає все повільніше і повільніше зі збільшенням n

Рис. 9.II

Все більше і більше C має межу. Це перша форма формули Стірлінга. Ми не витрачатимемо час на обчислення межі константи С при прагненні до нескінченності, що виявляється √(2*π)=2.5066… (e=2.71828...). Таким чином, остаточно отримуємо формулу Стірлінга для факторіалу.

Наступна таблиця показує похибку наближення Стірлінга для n!

Зверніть увагу, що зі збільшенням чисел коефіцієнт наближається до одиниці, але різниця стає дедалі більше!

Якщо ви розглянете 2 функції

Те межа відношення f(n)/g(n) при n, що прагне нескінченності, дорівнює 1, але як і в таблиці різниця

Стає дедалі більше у разі зростання n.

Нам треба розширити поняття факторіалу на безліч всіх позитивних дійсних чисел, для цього ми введемо функцію гама у формі інтеграла

Який існує всім n>0. Для n>1 ми знову інтегруємо частинами, цього разу використовуємо dV=e^(-x)dx і U = x^(n-1). Для двох меж інтегрована частина дорівнює 0 і маємо наступну наведену формулу

Таким чином, функція гамма приймає значення (n-1)! для всіх позитивних цілих n та природним чиномрозширює поняття факторіалу на все позитивні числа, оскільки інтеграл існує всім n > 0.

Нам знадобиться

Позначимо x=t^2, тоді dx=2t*dt і отримуємо (використовуючи симетрію на останньому кроці)

Тепер використовуємо стандартний підхід, щоб визначити цей інтеграл. Ми отримуємо добуток двох інтегралів, один за змінною x і один за змінною y.

X^2 + y^2 мають на увазі полярні координати, тому перетворимо на вигляд

Криволінійне інтегрування (angle integration) просто. Експонентне інтегрування тепер теж просто, і ми отримуємо.

Таким чином,

Тепер повернемося до обсягу n мірної сфери (або гіперсфери, якщо хочете). Зрозуміло, що обсяг n-мірного кубазі стороною x дорівнює x^n. Трохи подумавши, ви зрозумієте, що формула для обсягу n-вимірної сфери повинна мати вигляд

Де Cn відповідна константа. Для випадку n = 2 константа дорівнює π, для випадку n = 1 дорівнює 2 (якщо подумати). У тривимірному випадку маємо C 3 = 4*π/3.

Ми почнемо з того ж трюка, який використовували для гамма функції від 1/2 за винятком того, що на цей раз ми візьмемо твір n інтегралів, кожен зі своєю змінною x i . Обсяг сфери можна як суму обсягів поверхонь, кожне доданок цієї суми відповідає площі поверхні, помноженої на товщину dr. Для сфери значення площі поверхні можна отримати диференціюванням обсягу сфери по відношенню до радіусу r,

І отже доданки обсягу рівні

Прирівнюючи r^2=t, маємо

Звідки одержуємо.

Легко бачити, що

І ми можемо визначити наступну таблицю.

Таким чином, бачимо, що коефіцієнт C n зростає до n=5, а потім зменшується до 0. Для сфер одиничного радіусу це означає, що обсяг сфери прагне нуля зі збільшенням розмірності. Якщо радіус дорівнює r, то обсягу, позначивши n=2k для зручності (оскільки реальні числазмінюються гладко зі збільшенням n і сфери непарних розмірностей складніше обчислювати),

Рис. 9.III

Не важливо, наскільки великий радіус r, збільшення кількості вимірювань n породжує сферу скільки завгодно маленького об'єму.

Тепер розглянемо відносну кількість об'єму, розташовану близько до поверхні n-мірної сфери. Нехай r - радіус сфери, а внутрішній радіус поверхні r(1-ε) тоді відносний об'єм поверхні становить

Для великих n незалежно від того, наскільки тонка (стосовно радіусу) поверхня всередині неї майже нічого немає. Як говоримо обсяг майже весь на поверхні. Навіть у 3-мірному просторі одинична сфера має 7/8 об'єму всередині поверхні товщиною 1/2 радіусу. У n-вимірному просторі 1-(1/2)^n всередині половини радіусу від поверхні.

Це важливо у проектуванні; виявляється після обчислень і перетворень даних вище, що майже напевно оптимальне проектування буде на поверхні, а не глибоко всередині, як ви могли думати. Обчислювальні методи зазвичай годяться для пошуку оптимуму в багатовимірних просторах. Це зовсім не дивно; взагалі кажучи найкращий дизайн - це привести один або більше параметрів до свого екстремуму - очевидно, що ви опинитеся на поверхні видимої областідизайну!

Наступним ми розглянемо діагональ n-мірного куба, тобто вектор із початку координат у точку з координатами (1,1,...,1). Косинус кута між цією лінією та будь-якою віссю дається за визначенням як відношення значення координати довжини проекції на дану вісьяка очевидно дорівнює 1 до довжини вектора, яка дорівнює √n. Отже

Звідси випливає, що з великих n діагональ майже перпендикулярна до кожної координатної осі!

Якщо ми розглянемо точки з коодинатами (±1, ±1,..., ±1) тоді буде 2n таких діагоналей, які майже перепендикулярні до кожної осі координат. Для n=10, наприклад, їх кількість становить 1024 таких майже перпендикулярних ліній.

Мені потрібен кут між двома векторами, і хоча ви можете пам'ятати, що це скалярний твір векторів, я пропоную вивести це знову, щоб краще розуміти те, що відбувається. [Ремарка; Я виявив, що дуже корисно в важливих ситуаціях переглядати всі базові виведення, що беруть участь, щоб відчути те, що відбувається.] Візьмемо дві точки x і y, з відповідними координатами x i і y i . Рис. 9.ІІІ. Застосовуючи теорему косінусів у площині 3 точок x, y та початку координат, ми маємо

Де X та Y довжини відрізків до точок x та y. Але C можна отримати, використовуючи різниці координат по кожній осі

Прирівнюючи два вирази ми бачимо

Застосуємо тепер цю формулу для двох відрізків, проведених з початку координат до випадкової точки з набору координат

(±1, ±1,..., ±1)

Скалярний добуток двох таких множників, взятих випадково, знову дорівнює ±1 і це має бути підсумовано n разів, при цьому довжина кожного відрізка дорівнює √n, отже (зауважте n у знаменнику)

І за слабким законом великих чиселце прагне 0 зі зростанням n майже напевно. Але існує 2^n випадкових векторіві для даного векторавсі інші з 2^n випадкових векторів майже напевно майже перпендикулярні даному! n-мірність дійсно велика!

У лінійній алгебрі та інших дисциплінах ви навчилися знаходити безліч перпендикулярних осейі потім представляти все інше в цій системі координат, але ви бачите, що в n-вимірному просторі після того, як ви знайшли n взаємно перпендикулярних координатних осей, існують 2^n інших напрямків майже перпендикулярних тем, Які ви знайшли! Теорія та практика лінійної алгебризовсім різні!

Нарешті, для подальшого доказу, що ваша інтуїція про n-вимірний простір не дуже хороша, я зроблю ще один парадокс, який мені знадобиться в наступних розділах. Почнемо з квадрата 4x4, поділеного на 4 одиничні квадрати, у кожному з яких ми накреслимо одиничне коло, Рис. 9.IV. Далі ми накреслимо коло з центром у центрі квадрата, що стосується інших з внутрішньої сторони. Її радіус має бути з Мал. 9.IV,

У 3-мірному просторі ми маємо 4x4x4 куб та 8 сфер одиничного радіусу. Внутрішня сфера, що стосується інших у точці, що лежить на відрізках, що з'єднують центри, має радіус.

Подумайте, чому її радіус більший, ніж для 2 вимірів.

Рухаючись до n вимірів, маємо 4x4x...x4 куб і 2^n сфер, по одній у кожному кутку, кожна стосується інших n сусідніх. Внутрішня сфера, що стосується зсередини всіх інших, матиме радіус

Перевірте це уважно! Ви впевнені? Якщо ні, то чому ні? Де помилка у міркуваннях?
Переконавшись, що це правда, застосуємо для n=10 вимірів. Для внутрішньої сфери маємо радіус

Рис. 9.IV

І в 10-ти мірному просторі внутрішня сфера вийшла за межі куба. Так, сфера опукла, так, вона стосується решти 1024 зсередини, і при цьому вона виходить за межі куба!

Це занадто для вашої чутливої ​​інтуїції про n-вимірний простір, але пам'ятайте, що n-вимірний простір це те місце, де зазвичай відбувається проектування складних об'єктів. Ви повинні намагатися краще відчути n-мірний простір, розмірковуючи про щойно описані речі, поки ви не почнете бачити як вони можуть бути істинними, вірніше чому вони повинні бути істинними. Інакше у вас будуть проблеми, коли ви вирішуватимете складне завданняпроектування. Можливо вам варто знову обчислити радіуси різних розмірностей, а також повернутися до кутів між діагоналями та осями координат і подивитися як це виходить.

Зараз необхідно суворо відзначити, що я зробив усе це в класичному Евклідовому просторі, використовуючи відстань Піфагора, де сума квадратів різниць відповідних координат дорівнює квадрату відстані між точками. Математики називають цю відстань L 2 .

Простір L 1 використовує не суму квадратів різниць координат, а скоріше суму відстаней, як якщо ви подорожуєте містом з прямокутними ґратами вулиць. Це сума різниць між двома пунктами, яка говорить вам, як далеко треба буде йти. У сфері обчислень часто називають «відстань Хеммінга» з причин, які стануть зрозумілі в наступних розділах. У цьому просторі коло у двох вимірах виглядає як квадрат, що стоїть на вершині, рис. 9.V. У тривимірному просторі це як куб, що стоїть на вершині і т.д. Тепер ви можете краще бачити, як може парадоксальна внутрішня сфера з вищенаведеного прикладу виходити за межі куба.

Існує третя, часто використовується, метрика (всі вони метрики = функції відстані), звана L ∞ , або Чебишева відстань. Тут за відстань береться максимум різниць координат незалежно від інших різниць, рис. 9.VI. У цьому просторі коло є квадрат, 3-мірна сфера є куб, і ви бачите, що в цьому випадку внутрішня сфера з парадоксу має нульовий радіус у всіх напрямках.

Це були приклади метрик, відстань. Умови визначення метрики D(x,y) між двома точками x і такі:

1. D(x,y) ≥ 0 (невід'ємна)
2. D(x,y) = 0 і тоді, коли x=y (тотожність)
3. D(x,y) = D(y,x) (симетричність)
4. D(x,y) + D(y,z) ≥ D(x,z) (нерівність трикутника).

Рис. 9.V

Рис. 9.VI

Залишаю вам перевірити, що три метрики L ∞ , L 2 та L 1 (Чебишева, Піфагора та Хеммінга) усі задовольняють цим умовам.

Правда в тому, що у складному проектуванні для різних координатми можемо використовувати будь-яку з цих метрик, перемішаних разом, так що простір проектування це не цілісна картинка, а суміш шматочків та частин. L 2 метрика очевидно пов'язана з найменшими квадратамиа інші дві L ∞ і L 1 більш схожі на порівняння. При порівняннях у реального життяви зазвичай використовуєте або максимальну різницю L ∞ в якійсь одній характеристиці як достатня умовадля розрізнення двох предметів, або іноді, як у рядках біт, це кількість розбіжностей, яка суттєва, а сума квадратів не підходить, означає, що використовується L 1 метрика. Це в більшою міроюістинно для ідентифікації шаблонів ІІ.

На жаль, хоча все описане вище істинно, воно рідко відкривається вам. Ніхто ніколи не казав мені про це! Мені знадобиться багато результатів у наступних розділах, але взагалі кажучи після цієї демонстрації ви повинні бути краще підготовлені, ніж були до цього для складного проектування і для ретельного аналізу простору, в якому проектування проводиться, як я спробував зробити. Безладдя, в основному те місце, де з'являється проектування, і ви повинні знайти прийнятне рішення.

Оскільки L 1 і L ∞ невідомі, дозвольте кілька зауважень про три метрики. L 2 природна функція відстані для використання у фізичних та геометричних випадках, включаючи вилучення даних з фізичних вимірів. Тому у фізиці ви всюди знайдете L2. Але коли предмет стосується інтелектуальних суджень, інші 2 метрики більше підходять, хоча це повільно сприймається, тому ми часто бачимо часте використання оцінки хі-квадрат, яка очевидно є мірою L 2 там де повинні використовуватися інші більш підходящі оцінки.

Далі буде...

Хто хоче допомогти з перекладом - пишіть на личку або на пошту [email protected]