Кафедра радіохімії хімічний факультет МГУ. Нагороди і премії

Підручник присвячений ролі ядерної в науково-технічному потенціалі сучасної цивілізації. Розглянуто радіохімічні аспекти ядерного паливного циклу виробництва компонентів ядерної зброї та палива для енергетичних чи транспортних установок. Дано критичний аналіз як сучасних типів виробництв, включених до ядерно-енергетичного паливного комплексу, так і перспективних методів поділу, очищення та концентрування радіонуклідів. Розглянуто існуючі реактори енергетичного призначення, типи атомних електростанцій та ядерних комплексів, методи запобігання забрудненню навколишнього середовища викидами АЕС тощо. Основну увагу приділено перспективам розвитку радіохімічних технологій.

Крок 1. Вибирайте книги в каталозі та натискаєте кнопку «Купити»;

Крок 2. Переходьте до розділу «Кошик»;

Крок 3. Вкажіть необхідну кількість, заповніть дані в блоках Одержувач та Доставка;

Крок 4. Натискаєте кнопку «Перейти до оплати».

На даний момент придбати друковані книги, електронні доступи або книги у подарунок бібліотеці на сайті ЕБС можна лише за стовідсотковою попередньою оплатою. Після оплати Вам буде надано доступ до повному текступідручника в рамках Електронної бібліотеки, або ми починаємо готувати для Вас замовлення в друкарні.

Увага! Просимо не змінювати спосіб оплати на замовлення. Якщо Ви вже обрали будь-який спосіб оплати та не вдалося здійснити платіж, необхідно переоформити замовлення заново та сплатити його іншим зручним способом.

Сплатити замовлення можна одним із запропонованих способів:

1. Безготівковий спосіб:
   • Банківська картка: необхідно заповнити усі поля форми. Деякі банки просять підтвердити оплату – для цього на номер телефону прийде смс-код.
   • Онлайн-банкінг: банки, які співпрацюють із платіжним сервісом, запропонують свою форму для заповнення. Просимо коректно ввести дані у всі поля.
     Наприклад, для " class="text-primary">Сбербанк Онлайнпотрібні номер мобільного телефону та електронна пошта. Для " class="text-primary">Альфа-банкзнадобиться логін у сервісі Альфа-Клік та електронна пошта.
   • Електронний гаманець: якщо Ви маєте Яндекс-гаманець або Qiwi Wallet, Ви можете оплатити замовлення через них. Для цього оберіть відповідний спосіб оплати та заповніть запропоновані поля, потім система перенаправить Вас на сторінку для підтвердження виставленого рахунку.

«1 І.М.Бекман ЯДЕРНА ІНДУСТРІЯ Спецкурс. Лекція 20. ДОРЕАКТОРНА ЧАСТИНА УРАНОВОГО ПАЛИВНОГО ЦИКЛУ Зміст. 1. ВИБУТОК УРАНОВОЇ РУДИ 1 1.1 Уранові...»

І.М.Бекман

ЯДЕРНА ІНДУСТРІЯ

Спецкурс.

Лекція 20. ДОРЕАКТОРНА ЧАСТИНА УРАНОВОГО ПАЛИВНОГО ЦИКЛУ

1. ВИБУТОК УРАНОВОЇ РУДИ 1

1.1 Уранові рудникита запаси урану 1

1.2 Переробка уранової руди. 6

2. ОТРИМАННЯ МЕТАЛЕВОГО УРАНУ 9

3. ЗБАГАЧЕННЯ УРАНУ. 10

3.1 Гексафторид урану 10

3.2 Методи розподілу ізотопів 11 3.2.1 Поділ ізотопів 11 3.2.2 Ізотопні ефекти 13 3.3.3 Газова дифузія. 14 3.2.4 Дифузія в потоці пари (протипотокова мас-дифузія) 16 3.2.5 Термодифузія 16 3.2.6 Газове центрифугування 17 3.2.7 Електромагнітний поділ. 17 3.2.8 Хімічне збагачення 18 3.2.9 Аеродинамічна сепарація 18 3.2.10 AVLIS (випар з лазером). 18 3.2.11 Дистиляція 19 3.2.12 Електроліз 19 3.2.13 Ізотопний обмін 19

3.3 Поділ ізотопів урану 21 Урановий паливний цикл – основний цикл сучасної атомної енергетики. Він складається з трьох частин: дореакторної, реакторної та післяреакторної.

У цій лекції ми розглянемо дореакторну частину уранового паливо-енергетичного циклу, що включає такі стадії, як видобуток і збагачення уранової руди, отримання металевого урану і його оксидів, збагачення урану ізотопом урану-235 (Рис.1). Коротко зупинимося і на проблемі поділу ізотопів (не тільки урану (паливо), але й ізотопів водню (стосовно сповільнювачів нейтронів) і бору (стосовно поглиначів нейтронів). , стрижнів управління тощо) будуть розглянуті у 29-ій лекції.





1. Видобуток уранової руди Вихідним етапом ядерного паливного циклу (ЯТЦ) є видобуток руди і виробництво уранового концентрату. Основні стадії етапу: власне видобуток урановмісної руди; її механічне збагачення у вигляді видалення порожньої породи; подрібнення одержаної рудної маси; вилуговування з неї урану за допомогою сірчаної кислоти або карбонату натрію; одержання уранового концентрату шляхом вилучення уранових розчинів (екстракцією, сорбцією або селективним осадженням); сушіння уранового концентрату та його герметична упаковка.

1.1 Уранові копальні та запаси урану Уран - це метал, приблизно такий самий, як олово або цинк, який міститься в більшості порід і навіть у морській воді. Деякі типові концентрації урану у різних середовищах наведені у таблиці (ppm – проміле, одна мільйонна частина).

Табл.1 Конценрація урану в різних природних середовищах Високосортні джерела 2 % U або 20 000 ppm U Низькосортні джерела 0.1 % U або 1000 ppm U Граніт 4 ppm U Скельні породи 2 ppm U Середня кількість у земній корі 00 pp. Другої світової війни уран вважався рідкісним металом. Зараз відомо, що уран більш поширений, ніж ртуть, кадмій, срібло і міститься в промислових рудах приблизно в таких же концентраціях, як миш'як або молібден. Його середня концентрація в земній корі приблизно 2 частини до 1 мільйона, що у перекладі мовою вагових одиниць дорівнює мільярдам тонн! Він займає 48 місце за вмістом у кристалічних породах. У літосфері уран більш поширений, ніж такі недорогі речовини як цинк і бор, які у концентраціях 4 г/т. Вміст урану в гранітних породах цілком достатній, щоб радіоактивний газ радон, продукт розпаду, представляв серйозну біологічну небезпеку у місцях виходу граніту поверхню. Уран виявлений і морській воді, в концентрації 150 мкг/м3.

Уран не зустрічається у вигляді потужних родовищ, зате відома велика кількість мінералів, що містять уран:

карнотит, отеніт, уранініт, торберніт, тюямуніт. Уран входить у достатню концентрацію в 150 різних мінералів, і в невеликій кількості - ще в 50. Спочатку його знайшли в магматичних гідротермальних жилах і пегматитах, включаючи уранініт і смоляну обманку. У цих рудах уран міститься у вигляді діоксиду, який залежно від ступеня окислення має середній склад від UO2 до UO2.67. Ще руди, що мають економічне значення: аутаніт, гідраткальцієвий уранільний фосфат; тоберніт, гідратмедний уранільний фосфат; кофініт, гідратований силікат урану; карнотит, гідраталієвий уранільний ванадат. Уранові руди є у всьому світі. Запаси та комерційні угоди виражаються в еквівалентних масах Заводу з випуску U3O8. Родовища смоляної обманки, твелів найбагатшої ураном руди, розташовуються Уранове головним чином Канаді, Конго і США.

–  –  –

Рис.2 Розташування уранових родовищ біля Росії Балансові родовища. Стрільцівський урановорудний район: Стрільцівське, Лучисте, Широндукуєвське, Тулукуєвське, Жовтневе, Далеке, Новорічне, Ювілейне, П'ятирічне, Весняне, «Антей», Аргунське, Березневе, Малотулукуєвське, Жерлове.

Зауральський урановорудний район:

Далматівське. Забалансові родовища. Єргенінський урановорудний район: 1 – Степове.

Зауральський урановорудний район: 3 – Добровільне. Республіка Хакасія; 5 – Приморське. Республіка Бурятія, Вітімський урановорудний район: 6 – Хіагдинське; 7 – Радіонівське; 8 – Вітлауське; 9 - Колічікан; 10 - Джиліндинське; 11 - Тетрахське; 12 - Вершинне; 13 - Неточне; 14 - Кореткондінський;

15 - Намару; 16 - Дибрин. За межами Вітимського району: 17 – Імське; 18 – Буянівське. Читинська область: 19 – Гірське; 20 - Березове; 22 - Дурулгуєвський. Стрільцівський урановорудний район: 23 - Цаган-Торон; 24 - Південно-Західне; 25 - Широндукуєвське; 26 - Безрічне. Республіка Саха-Якутія, Ельконський урановорудний район: 27 - Південне; 28 - Північне; 29 - Центральна зона; 30 – Весняна зона;

31 - Агдинська зона; 32 - Полога зона; 33 - Невська зона; 34 Для видобутку та переробки урану поблизу розвіданих родовищ побудовано гірничодобувні та переробні підприємства: Приаргунське виробниче гірничохімічне об'єднання (м. Краснокаменськ, Читинська обл., Росія), Східний гірничопереробний комбінат (м. Жовті води, Україна), Прикаспійський гірничо- , Казахстан), Цілинний гірничо-переробний комбінат (Степногорськ, Казахстан), виробниче об'єднання «Південноліметал» (Бішкек, Киргизія) Навойський гірничо-плавильний комбінат (Навої, Узбекистан) та Східний промкомбінат рідкісних металів (Чкаловськ, Така. Крім Пріаргунського ПДХО на території Росії видобуток та переробка уранових та торієвих руд раніше велася Лермонтовським ВО «Алмаз» (Ставропольський край) та Новотроїцьким рудоуправлінням.

Станом на 01.01.1999 р. державним балансом запасів урану Росії враховано запаси 16 родовищ, у тому числі 15 зосереджено одному районі - Стрільцовском у Забайкаллі (Читинська обл.) і придатні під гірський спосіб видобутку. Долматівське родовище із вмістом урану в руді 0,06%, розташоване в Заураллі (Курганська обл.), придатне для видобутку способом свердловинного підземного вилуговування. У 1999 р. тут введено в експлуатацію дослідно-промислове встановлення підземного вилуговування продуктивністю 50 т урану/рік. Одне з найкращих родовищ (Тулукуєвське) із запасами багатих руд для відкритого видобутку практично відпрацьоване. У останні рокитенденція до погашення найкращих запасів родовищ різко посилилася. Так було в 1998 погашалися запаси із середнім змістом 0,419 %. Запаси, що залишаються в надрах, з таким змістом становлять всього 54% ​​від тих, що числяться за балансом як «активні».

Корпорація «ТВЕЛ» сьогодні – єдина компанія, яка видобуває природний уран у Росії. Вона включає три дочірні підприємства: це Пріаргунське гірничо-хімічне об'єднання в місті Краснокаменську Читинської області (видобуває 3 тис. тонн урану на рік), ЗАТ «Далур» у Курганській області та ВАТ «Хіагда» в Бурятії. Два останні підприємства ще не вийшли на проектні потужності, там ще йде будівництво та водночас розвідка прилеглих родовищ. Планується, що кожне з них має видобувати до 2012 року по 1 тис. тонн урану на рік.

Таким чином, в Росії поки що існує єдине родовище урану, що інтенсивно розробляється, - Краснокаменський рудник в Забайкайллі (Читинська область). Середній вміст урану в руді – 0,38 %, річна продуктивність рудника – 2,5 тис. т урану. При сучасному рівні видобутку запаси руди на цьому родовищі створюють 20-річну забезпеченість сировиною діючого уранодобувного підприємства (АТВТ «Приаргунське виробниче гірничо-хімічне об'єднання»). Тут уран добувають шахтним способом. Тобто у підземних копальнях на глибині до 800 метрів добувають уранову рудуПотім її доставляють на завод і за допомогою різних хімічних процесів витягують уран, який далі йде на переробку для отримання палива в тій формі, в якій воно необхідне.

У Курганській області (Долматівське родовище) та на Хіагдинському урановому родовищі Бурятії застосовується підземне свердловинне вилуговування урану. В одну свердловину закачуються спеціальні кислотні розчини, які вилуговують уран, а через іншу свердловину все це за допомогою насоса витягується нагору. Витрат за такого способу набагато менше, ніж при прокладанні шахти, і технологія вилуговування забезпечує екологічну безпеку робіт. У Бурятії наразі обсяг видобутку становить 1,5 тис. тонн уранового концентрату на рік. Розвідані запаси родовища розраховані на 50 років.

Зауваження. У Канаді концентрація урану в рудах родовищ підземним способом, У 100 разів перевищує те, що знаходиться в надрах Пріаргунського комбінату. Відповідно, щоб отримати таку ж кількість, нам треба видобути в 100 разів більше.

Наразі готується проект із освоєння нових родовищ у Якутії. У Росії є дуже великі родовища. Вони були відкриті та розвідані ще у 70-х роках минулого століття, але потім були поставлені до резерву. Державним балансом враховано запаси 38 уранових родовищ, що належать до позабалансових (тобто розвіданих, але не розроблюваних). Серед останніх виділяються запаси Ельконського та Єргенінського урановорудних районів, які розглядаються як резервні. Так, в Ельконському районі в Республіці Саха-Якутія запаси урану (понад 200 тис. т) кількісно перевершують усі балансові запаси в країні, але через пересічну якість руд вони можуть стати рентабельними лише за високої ціни на уран. До перспективних регіонів належить Онезький район (Карелія), де виявлено запаси ванадієвої руди із вмістом урану, золота та платини; Вітимський район (Сибір) з розвіданими запасами в 60 тис. т при концентрації урану 0,054% у руді із супутніми скандією, рідкісноземельними елементами та лантаноїдами;); Західно-Сибірський район (Малинівське родовище із запасами 200 тис. т урану), а також Єнісейсько-Забайкальський район та Далекосхідний рудоносний район, розташований у прибережній зоні Охотського моря.

Українські уранові поклади вважаються одними з найбагатших. Родовища цього елемента розташовані в Кіровоградській області: Ватутинське, Мічурінське, Жовторічінське.

З країн СНД найперспективнішим є нещодавно побудований Киргизький Навоїйський гірничо-металургійний комбінат (НГМК), який у 2001 р. розпочав розробку великого уранового родовища. Переробку руди здійснює завод в Учкудук. У 2005 році дало першу продукцію спільне казахсько-киргизько-російське видобувне підприємство «Зарічне», яке ще знаходиться на стадії будівництва. На першому етапі (2003–2006 роки) СП «Зарічне» вироблятиме до 500 тонн урану на рік. Згодом його обсяги зростуть до 700–800 тонн. При цьому урановий концентрат, виготовлений на нашому КМРК, постачатиметься до Росії. У Казахстані нещодавно розпочали видобуток урану на рудниках Південний Моїнкум, Акдала та Південний Карамурун. Унікальна за розмірами запасів урану Чу-Сарисійська ураново-рудна провінція в Південному Казахстані. Виняткова цінність цього району полягає ще й у тому, що на родовищах цієї провінції можна добувати уран безшахтним способом шляхом підземного вилуговування через свердловини.

Рис.3. На урановому руднику

Нагадаємо, що в Росії зараз діє 29 ядерних реакторів на АЕС, які споживають понад 4 тисячі тонн урану на рік. Більша частина уранових родовищ колишнього Союзу залишилася на території Казахстану та Узбекистану. Дефіцит урану в Росії поповнюється за рахунок стратегічних запасів цієї сировини, зроблених ще за радянських часів, та за рахунок видобутку на Читинській шахті.

1.2 Переробка уранової руди.

Мінерали, з яких видобувають уран, завжди містять такі елементи як радій та радон.

Тому, хоча сам по собі уран слабо радіоактивний, руда, що видобувається, потенційно небезпечна, особливо якщо це високоякісна руда. Радіаційна небезпека, пов'язана з супутніми елементами, характерна не тільки для урановмісних руд, але і для будь-якої гірничодобувної промисловості. Часто уран видобувається відкритим способом, коли кар'єри мають хорошу природну вентиляцію. Підземна уранова шахта вентилюється спеціальними потужними пристроями.

Кінцевими продуктами переробки рудної сировини є чисті хімічні сполуки, у тому числі отримують металевий уран.

Уранові руди містять зазвичай невелику кількість урановмісного мінералу (0,05-0.5% U3O8), так що необхідні попереднє вилучення і збагачення. Механічні методи збагачення (радіометричне сортування, поділ у важких суспензіях, гравітація, флотація, електростатика) непридатні для урану, у справу йдуть методи гідрометалургії вилуговування - звичайний перший крок обробки руди (іноді передує відпал).

У класичному способі кислотного вилуговування руда спочатку спецтально подрібнюється і обпалюється для зневоднення. При цьому видаляються вуглецевмісні фракції, сульфатується уран, відновники, які можуть бути перешкодою для вилуговування, окислюються. Потім суміш обробляється сірчаною чи азотною кислотами, або сумішшю цих кислот.

Тверді частинки, що залишаються після розчинення урану вилучають, і поміщають на тривале зберігання спеціальні резервуари. Резервуари сконструйовані таким чином, щоб забезпечити надійне зберігання цих матеріалів. Такі відходи містять основну частку радіоактивних речовин, що знаходяться в руді (наприклад, радій).

Уран переходить у сульфат ураніла, радій та інші метали в урановій смолці осідають у вигляді сульфатів. З додаванням їдкого натру уран осідає у вигляді діуранату натрію Na2U2O7.6H2O (часто уран осаджують у вигляді діуранату амонію або гідроксиду ураніла).

При обробці руд та бідних концентратів розчини містять лише 0.5 - 2 г U в л. У цьому випадку для вилучення та концентрування урану широко застосовують сорбцію на іонообмінних смолах, екстракцію органічними розчинниками (для екстракції із сірчанокислих розчинів використовують алкілфосфорні кислоти, аміни), або випарювання. Під час екстракції розчинниками уранова руда видаляється з лугу від вилуговування підкисленої породи за допомогою суміші розчинників, наприклад, розчину трибутилфосфату в гасі. У сучасних промислових методах як розчинники фігурують алкіл-фосфорні кислоти (наприклад, ді(2-етилгексил)-фосфорна кислота) і вторинні та третинні алкіламіни. Як загальне правило, екстракція розчинниками вважається за краще іонообмінних методів при вмісті урану в розчині після кислотного вилуговування більше 1 грама на літр. Однак воно не застосовується для відновлення урану з карбонатних розчинів. Уран, що задовольняє умовам збройової чистоти, зазвичай отримують з натрію діуранату через проходження додаткового очищення, використовуючи трибутилфосфатний очищувальний процес. Спочатку Na2U2O7.6H2O розчиняють в азотній кислоті для підготовки сировинного розчину. З нього вибірково видаляється уран при розведенні розчину трибутилфосфатом в гасі або іншій вуглеводневої сумішшю. Нарешті, уран переходить із трибутилфосфату в підкислену воду виділення високоочищеного уранільного нітрату.

Після вилучення з розчину осад, що містить уран, має яскраво-жовте забарвлення ("yellowcake"). Після високотемпературного сушіння окис урану (U3O8), тепер уже зеленого кольору, завантажується у спеціальні ємності об'ємом до 200 літрів. Висушені або прожарені опади є напівпродуктами, що служать для отримання чистих сполук урану (UF4, U3O8 або UO2).

Зауваження. Потужність дози опромінення на відстані одного метра від такої ємності дорівнює приблизно половині того, що людина отримує під час польоту на літаку. Усі ці операції проводяться відповідно до нормативів радіаційної безпекина підприємствах гірничодобувної промисловості. Ці правила та норми встановлюють суворі стандарти контролю за гаммаопроміненням, і можливим потраплянням в організм радону та інших радіоактивних матеріалів. Стандарти відносяться як до персоналу підприємств, і до населення. Доза 20 mЗв/рік протягом більш ніж п'яти років є максимально допустимою для персоналу підприємств, включаючи опромінення радоном та інших радіоактивних речовин (на додаток до природного фону та виключаючи експозицію при медичній діагностиці). Гамма-випромінювання виходить переважно від ізотопів вісмуту та свинцю. Газ радон виділяється з гірських порід, у яких відбувається розпад радію. Внаслідок спонтанного радіоактивного розпадувін перетворюється на дочірні ізотопи радону, які є ефективними випромінювачами альфачастинок. Радон знаходиться в більшості гірських порід, і, як наслідок цього, знаходяться і в повітрі, яке ми вдихаємо. При високих концентраціях радон становить небезпеку здоров'ю, оскільки невеликий період напіврозпаду означає, що альфа-розпад може відбуватися всередині організму після його вдихання, що, зрештою, може викликати рак легені. (Під "Радоном" зазвичай розуміють ізотоп Rn-222. Інший ізотоп, Rn-220 (з'являється внаслідок розпаду торію і відомий як "торон"), є поширеною складовою багатьох мінеральних пісків). При видобутку та виробництві урану вживаються різні запобіжні заходи для захисту здоров'я персоналу: Ретельно контролюється рівень запиленості, щоб мінімізувати потрапляння в організм гамма- або альфавипромінюючих речовин. Пил є основним джерелом радіоактивного опромінення. Вона зазвичай дає внесок у 4 mЗв/рік у щорічну дозу, яку отримує персонал. Обмежується зовнішнє радіоактивне опромінення персоналу у шахтах, на заводах та місцях розміщення відходів. Насправді рівень зовнішнього опромінення від руди і відходів зазвичай настільки низький, що він мало впливає збільшення допустимої щорічної дози. Природна вентиляція відкритих родовищ зменшує рівень експозиції від радону та його дочірніх ізотопів. Рівень опромінення радону рідко перевищує один відсоток від рівня, допустимого для безперервного опромінення персоналу. Підземні рудники обладнуються досконалими системами вентиляції задля досягнення тієї самої рівня. На підземних копальнях середня доза опромінення становить приблизно 3 mЗв/рік. Існують суворі гігієнічні норми на роботу персоналу з концентратом окису урану, оскільки він хімічно токсичний, подібно до оксиду свинцю.

На практиці вживаються обережності, що захищають органи дихання від попадання токсинів, аналогічні тим, що використовуються при роботах на свинцевих плавильних печах.

До чистоти урану висуваються дуже високі вимоги. Так, вміст домішок елементів з великим перерізом захоплення нейтронів (B, Cd, Li, РЗЕ та ін) не повинен перевищувати стотисячних та мільйонних часток відсотка. Для очищення технічні продукти зазвичай розчиняють у азотній кислоті. Ефективним способом очищення є екстракція нітрату уранила органічними розчинниками (трибутилфосфат, метилізобутилкетон). З очищених азотнокислих розчинів кристалізують уранілнітрат UO2(NO3)2*6H2O або осаджують пероксид UO4*2H2O, обережним прокалюванням (кальцинуванням) яких отримують UO3. Останній відновлюють воднем до UO2, яку дією сухого HF при 430-600о переводять у UF4

- Основне вихідне з'єднання для виробництва металу.

Типова методика виділення радіонуклідів, що діляться, з уранової руди. Уран зазвичай зустрічається у вигляді уранової соляної руди (окис урану) і карноліту (комплексне уранована дієва сполука). Збагачену руду обробляють сумішшю азотної та сірчаної кислот.

Уран перетворюється на розчин як UO2++, а метали, що утворюють нерозчинні сульфати (Pb, Ba, Ra та інших.), разом із нерозчинними в кислоті силікатами залишаються осаді. Додаючи до розчину надлишок Na2CO3, отримують основний розчин, в якому уран міститься у вигляді комплексного карбонату, а осад переходять елементи, що утворюють нерозчинні карбонати, гідроксиду або основні карбонати (Fe, Al, Cr, Zn і т.д.). Знову додаючи розчин HNO3 до кислої реакції, отримують розчин уранил-нитрата з формулою для твердої солі UO2(NO3)2*6H2O, який розчинний в діетиловому ефірі. Екстрагування уранілнітрату за допомогою цього розчинника дає виключно чистий продукт, придатний для виготовлення урану для ядерних реакторів. При прожарюванні уранілнітрату виходить окисзакис U3O8. Цей окис може бути відновлений до металу в бомбі з Al, Ca або Mg.

Відновлення вуглецем дає продукт сильно забруднений карбідом урану, а відновлення воднем дає UO2. Цей оксид може бути перетворений на UF4 або UCl4 шляхом обробки безводної HF або HCl при знижених температурах. Тетрагалоїди відновлюють до металу натрієм чи кальцієм. Галоїдна сіль KUF5, що отримується з UF4, дає дуже чистий метал за допомогою електролізу.

Для бідних руд (а Росії зараз руди досить бідні), зазвичай використовують спосіб вилучення урану, заснований на іонно-обмінної хроматографії. Проте реагенти дуже дорогі, а побічні продукти забруднюють природне середовище. Крім того, ефективність методу знижується в міру зменшення вмісту урану в руді. Використання мікроорганізмів може зменшити витрати вдвічі, оскільки бактерії самі «постачають» реагенти, і навіть бідних руд стає виправданою. Для вилучення урану з руди її необхідно помістити у відвал над шаром непроникних порід і обприскати водним розчином сульфіду заліза, що містить популяції бактерій сульфідредукуючих Thiobacillus ferrooxidans. У процесі життєдіяльності мікроорганізмів утворюється залізистий сульфат-реагент, який окислює чотиривалентний уран, перетворюючи його на пятивалентный. Отриману сполуку розчиняють у кислоті. Радіоактивний елемент витягують шляхом концентрування та очищення методом осадження та іонного обміну.

Метод бактеріальної гідрометалургії випробуваний канадськими вченими, які при відновленні видобутку урану на шахті в Станроці, де запаси руд вважалися повністю вичерпаними, використовували залізобактерії виду Thiobacillus ferrooxidans. Такі бактерії населяють шахтні хвости (скупчення відходів відпрацьованої уранової руди) та відкачані з-під землі кислотні води. Харчуються вони сіркою, розкладаючи сульфідні мінерали. Через війну нерозчинні сполуки урану, складові руди, стають розчинними, і подальше вилучення металу істотно полегшується.

Зауваження. При виробництві збагаченого урану для звичайних реакторів одночасно проводиться приблизно сім разів більшу кількість збідненого урану. Якщо ж уран збагачують до 93% вмісту 235U (для військових цілей), то при цьому проводиться приблизно в 200 разів більша кількість збідненого урану. Все це, враховуючи дуже велику кількість усього урану, яке колись видобувало, є дуже цінною сировиною та потенційним паливом для ядерних установок.

Після завершення технологічних процесівекстракції урану на підприємствах гірничодобувної промисловості практично весь радіоактивний радій, торій і актиній міститься у відвалах і, отже, рівні випромінювання та випромінювання радону з таких відходів будуть, ймовірно, суттєві. Проте, малоймовірно, що будь-хто збудує житло на вершині відвальних порід і отримає підвищену дозу опромінення, що лежить за межами міжнародних норм. Тим не менш, відходи повинні бути закриті достатньою кількістю ґрунту, щоб рівні гамма-випромінювання не перевищували рівня природного тла. У цьому випадку можливе покриття цих місць рослинністю.

Зауваження. Приблизно 95% радіоактивності в руді з вмістом 0.3% U3O8 походить від радіоактивного розпаду 238U, що досягає приблизно 450 кБк/кг. Цей ряд має 14 радіоактивних довгоживучих ізотопів і, таким чином, кожен з них дає приблизно 32 кБк/кг (незалежно від масового співвідношення). Після обробки з руди видаляється 238U і трохи 234U (і

U) та радіоактивність знижується до 85% її первісного значення. Після видалення більшої частини U, два короткоживучі продукти його розпаду (234Th і 234Pa) скоро зникають і, через кілька місяців, рівень радіоактивності знижується до 70% її початкового значення. Основним довгоживучим ізотопом тоді стає 230Th (період напіврозпаду 77000 років), який перетворюється на 226Ra з наступним розпадом на 222Rn.

2. ОТРИМАННЯ МЕТАЛЕВОГО УРАНУ

Металевий уран отримують відновленням уранових галогенідів (зазвичай тетрафториду урану) магнієм в екзотермічній реакції в «бомбі» - герметичному контейнері, зазвичай сталевому, загальна методика відома як «термітний процес». Реакції у «бомбі»

протікають при температурах, що перевищують 1300°C. Міцний сталевий корпус необхідний, щоб витримати високий тиск усередині нього. «Бомба» заряджається гранулами UF4 і в надлишку засипається тонко диспергованим магнієм і нагрівається до 500-700°C, з цього моменту починається реакція, що саморозігрівається. Теплоти реакції достатньо для розплавлення начинки "бомби", що складається з металевого урану та шлаку - фториду магнію, MF2. Цей самий шлак відокремлюється і спливе нагору. Коли "бомба" охолоджується, виходить зливок металевого урану, який, незважаючи на вміст у ньому водню, найякісніший з комерційно доступних і добре підходить для палива АЕС.

Метал виходить при відновленні оксидів урану кальцієм, алюмінієм або вуглецем при високих температурах; або електролізом KUF5 або UF4, розчинених у розплаві CaCl2 та NaCl. Уран високої чистоти можна отримати термічним розкладанням урану галогенідів на поверхні тонкої нитки. При завершенні процесу збагачення урану зазвичай у відходах залишається 0.25-0.4% 235U, так як витягувати цей ізотоп до кінця економічно невигідно (дешевше закуповувати більшу кількість сировини). У залишковий вміст 235U в сировину після виробництва зросла з 0.2531% в 1963 до 0.30% в 70-х, через зниження вартості природного урану.

Відновлені зливки Концентрати руд переплавляють у вакуумі та відливають заготовки необхідної форми, які потім піддають відбору проби обробці тиском. Загальна схема виробництва металевого розварювання Азотна урану дана на Рис. 3.

U3O8+8HNO3 3UO (NO) +2NO +4H O кислота

–  –  –

Рис. 6 Загальна схема виробництва металевого урану.

7 3. ЗБАГАЧЕННЯ УРАНУ.

3.1 Гексафторид урану Для цілей ядерної енергетики та ядерного військового комплексу потрібен уран-235, який здатний підтримувати ланцюгову реакцію поділу. Його концентрація в природному урані низька – у середньому 0,7 %. Тому потрібне збагачення природного урану до 2,4-25 % для енергетичних ядерних реакторів та більш високе збагачення для військових цілей. Обов'язковою є операція доочищення урану (афінаж) для перетворення його в ядерно-чистий матеріал, який потім перетворюється на гексафторид урану (UF6). Уран чистять від бору, кадмію, гафнію, що є нейтронними елементами, що поглинають, а також від рідкісноземельних елементів (гадолиній, європій і самарій). Афінаж полягає в екстракційному очищенні урану трибутилфосфатом після розчинення уранового концентрату в азотній кислоті.

Гексафторид урану за сукупністю властивостей є найбільш вдалим хімічним з'єднанням для ізотопного збагачення. Технологія фторування у вертикальному плазмовому реакторі включає виробництво чистого фтору, подрібнення тетрафториду (UF4) або оксиду урану до стану порошку з подальшим спалюванням у факелі фтору. Потім проводиться фільтрація гексафториду урану та його конденсація у системі холодних пасток. Підприємства Росії з перетворення оксиду урану на гексафторид розташовані у Верхньому Нейвінську (Свердловська обл.) та Ангарську (Іркутська обл.). Їхня сукупна продуктивність 20 - 30 тис.

т гексафториду урану на рік.

У промислових масштабах виробництво гексафториду урану крім Росії здійснюють у США, Великій Британії, Франції та Канаді. Потужність заводів перевищує потребу у виробленої ними продукції (використовується приблизно 85% потужності). Виробнича потужність підприємств Росії достатня як задоволення внутрішніх потреб, а й постачання значного обсягу продукції експорту.

Роздільна здатність збагачувального заводу вимірюється в одиницях маси переробленої речовини (МПП) за одиницю часу, наприклад, МПП-кг/рік або МПП-тонн/рік. Вихід збагаченого продукту з підприємства заданої потужності залежить від концентрації потрібного ізотопу у вхідній породі, вихідних відходах та кінцевому продукті. Вихідний зміст корисного ізотопу визначено природним його змістом. Зате два інших параметри можна змінювати. Якщо зменшити рівень вилучення ізотопу з вихідної речовини, можна збільшити швидкість його виходу, але платою за це буде збільшення необхідної маси сировини.

Це підпорядковується відношенню:

де P - вихід продукту, U - розділова здатність, NP, NF, NW - молярні концентраціїізотопу в кінцевому продукті, сировині та відходах. V(NP),

V(NW), V(NF) роздільні потенційні функції кожної концентрації. Вони визначаються як:

Приймаючи залишкову концентрацію 0.25%, завод з продуктивністю 3100 МПП-кг/рік виробить 15 кг 90% U-235 щорічно з натурального урану. Якщо взяти як сировину тривідсотковий U-235 (паливо для АЕС) та концентрацію 0.7% у відходах виробництва, тоді достатньо потужності 886 МПП-кг/рік для того ж виходу.

3.2 Методи поділу ізотопів 3.2.1 Поділ ізотопів Найчастіше поділ ізотопів на окремі ізотопи зводиться до виділення із суміші однієї з ізотопних речовин або просто до концентрування цієї речовини в суміші. Прикладом може бути вилучення 6Li, 235U, D. Поділ ізотопів завжди пов'язані з значними труднощами, т.к. ізотопи, що являють собою трохи відрізняються за масою варіації одного елемента, хімічно поводяться практично однаково. Все ж таки швидкість проходження деяких реакцій відрізняється в залежності від ізотопу елемента, крім того, можна використовувати відмінність у їх фізичних властивостях, наприклад, у масі. Для поділу ізотопів використовують відмінності фізичних або хімічних властивостей речовин, зумовлені різницею в їхньому ізотопному складі.

Методи поділу ізотопів засновані на відмінностях у властивостях ізотопів та їх сполук, пов'язаних із різницею мас їх атомів (ізотопні ефекти). Для більшості елементів відносна різниця мас ізотопів дуже мала, малі та ізотопні ефекти. Цим визначається складність завдання.

Ефективність поділу ізотопів характеризується коефіцієнтом поділу. Для суміші двох ізотопів C" = 1 C" C "" 1 C "" де С і (1 - C") - відносні вмісти легкого та важкого ізотопів у збагаченій суміші, а С і (1 - С) - у первинній суміші. Для більшості методів лише трохи більше одиниці, тому для отримання високої ізотопної концентрації одиничну операцію поділу ізотопів доводиться багаторазово повторювати.Тільки при електромагнітному поділі становить 10-1000 за 1 цикл поділу. кількості ізотопів, економічності процесу (за значного масштабу виробництва ізотопів) тощо.

Під ізотопними ефектами розуміють не ідентичність ізотопів даного елемента, обумовлену різницею мас ізотопних атомів (атомних ваг) Ізотопні ефекти проявляються у відмінності будь-яких властивостей ізотопів, крім радіоактивних.

Відповідно до використовуваного ізотопного ефекту існують різні методи поділу ізотопів: газова дифузія (відмінності в коефіцієнтах дифузії), рідинна термодифузія (відмінність коефіцієнтів термодифузії), ректифікація або дистиляція (відмінність тисків пари), хімічний обмін (нерівномірний розподіл кінетичний метод (відмінність констант швидкостей хімічних реакцій), газове центрифугування (відмінність густин), електромагнітний метод (відмінність питомих зарядів іонів), AVLIS (випар з використанням лазера) та електроліз.

У зв'язку з потребою для потреб ядерної енергетики великих кількостей таких ізотопів, як дейтерій 235U, багато методів поділу ізотопів отримали промислове використання:

метод дифузії – для виділення 235U із застосуванням газоподібного UF6, методи ректифікації, хімічного обміну та електролізу для виділення дейтерію. Промислове значеннямає поділ ізотопів літію.

Одноразова операція поділу ізотопів призводить лише до невеликого збагачення суміші, що розділяється по необхідному ізотопу, що пов'язано з малими значеннями ізотопних ефектів. Тому для повного виділення або значного концентрування однієї з ізотопних речовин операцію поділу багаторазово повторюють у східчастому каскаді. Ступінь каскаду є один або кілька паралельно з'єднаних розділових апаратів; щаблі з'єднані між собою послідовно. Оскільки вихідний вміст ізотопної речовини зазвичай мало, то потік вихідної суміші, що проходить через каскад, дуже великий в порівнянні з кількістю одержуваного продукту.

Потік вихідної суміші подається на перший щабель каскаду. В результаті операції поділу він розбивається на два потоки: збіднений - що видаляється з каскаду, і збагачений - подається на 2-у щабель.

На 2-му ступені збагачений потік вдруге піддається поділу:

збагачений потік 2-го ступеня надходить на 3-ю, а її збіднений потік повертається на попередню (1-ю) і т.д. З останнього ступеня каскаду відбирається готовий продукт з необхідною концентрацією заданого ізотопу. Потік суміші, що протікає по каскаду від попередніх ступенів до наступних, називається прямим, або збагачуваним, а у зворотному напрямку - зворотним, або збідненим.

Зауваження. На продуктивність подібної каскадної системи впливають дві причини: ступінь збагачення на кожному з щаблів та втрати шуканого ізотопу у відхідному потоці. Пояснимо другий чинник. На кожній із стадій збагачення потік поділяється на дві частини - збагачену та збіднену потрібним ізотопом. Оскільки ступінь збагачення є надзвичайно низьким, сумарна маса ізотопу у відпрацьованій породі може легко перевищити його масу в збагаченій частині. Для виключення такої втрати цінної сировини збіднений потік кожного наступного ступеня знову потрапляє на вхід попередньої. Початковий матеріал не надходить на першу стадію каскаду. Він вводиться в систему відразу на деяку, n-й ступінь. Завдяки цьому з першого ступеня виводитися в брухт сильно збіднений по основному ізотопу матеріал.

Кількість виробленого збагаченого матеріалу залежить від бажаного ступеня збагачення та збіднення вихідних потоків. Якщо вихідна речовинає у великій кількості та дешево, то продуктивність каскаду можна збільшити за рахунок відкидання разом з відходами та великої кількості невитягнутого корисного елемента (приклад - виробництво дейтерію із звичайної води). При необхідності досягається великий ступіньвилучення ізотопу з матеріалу-сирцю (наприклад, при збагаченні урану або плутонію).

Вибір методу поділу ізотопів залежить від величини ізотопного ефекту, що лежить в його основі, що визначає значення коефіцієнта поділу, а також від економічних показників: витрата енергії, вартість апарату, продуктивність, надійність та ін. У Табл.3 на прикладі трьох видів ізотопів проведено порівняння методів поділу ізотопів для водню, вуглецю та урану.

Табл. 3 Ефективності різних методів поділу водню, вуглецю та урану:

Метод поділу H/D C-12/13 U-235/238 Хімічне збагачення 1.2-3 1.02 1.0015 Дистиляція 1.05-1.6 1.01 Газова дифузія 1.2 1.03 1.00429 Центрифугування 120000202 - 1.233 Електроліз 7 - Ізотопні ефекти Ізотопні ефекти – неідентичність властивостей ізотопів даного елемента, обумовлена ​​різницею мас ізотопних атомів (атомних ваг).

Ізотопні ефекти проявляються у відмінності будь-яких властивостей ізотопів, крім радіоактивних.

Однак оскільки для ізотопів більшості елементів (за винятком найлегших) відносна відмінність в атомних терезах ізотопів невелика, то ізотопний ефект для цих елементів виражені дуже слабо. Навіть для легких елементів другого періоду періодичної системи (Li-Ne) відносні відмінності в атомних вагах ізотопів не перевищують 35%; для третього періоду (Na-Ar) вони не перевищують 20%, для четвертого (K-Kr) та п'ятого (Rb-Xe) періодів – 15%; для більш важких елементів завжди менше 10%. Лише елементів першого періоду (Н – Не) відносні відмінності в атомів дуже великі – для водню максимальне відмінність сягає 200%, а гелію – 100%.

Неоднакові атомні ваги ізотопів зумовлюють певні відмінності таких властивостей ізотопних з'єднань, як щільність, в'язкість, показник заломлення, коефіцієнт дифузії, питомий заряд іонів та ін. їх молекулярним терезам. Крім того, відмінність мас ізотопних атомів викликає зміну рівнів поступальної, обертальної та коливальної енергії молекул при їх ізотопному заміщенні, що призводить до відмінності коливально-обертальних спектрів ізотопних сполук.

Зміна енергетичних рівнівпри ізотопному заміщенні, у свою чергу, викликає зміну термодинамічних властивостей, таких як теплоємність, теплопровідність, теплоти випаровування та плавлення, тиск насиченої пари та ін Так, наприклад, відношення тисків пари Н2 і D2 становить 2,448 при - 251,1о; відношення тисків пари Н2О та D2O становить 1,148 при 20о і 1,052 при 100о; відповідне відношення для Н216О та Н218О становить 1,009 при 23о та 1,003 при 100о.

Що ж до хімічних властивостей ізотопних сполук, залишаються переважно незмінними, т.к. маса атома впливає з його електронну конфігурацію, визначальну хімічні властивості. Однак, термодинамічна нерівноцінність ізотопних сполук призводить до нерівномірного розподілу ізотопів при рівновазі ізотопного обміну (термодинамічний ізотопний ефект), а також до переважної адсорбції однієї з ізотопних форм на сорбенті. Крім того, термодинамічна нерівноцінність вихідних ізотопних сполук у поєднанні з аналогічною нерівноцінністю перехідних станів (активних комплексів) при хімічних реакціях ізотопних сполук зумовлює різницю у швидкостях перебігу цих реакцій (кінетичний ізотопний обмін). Оскільки термодинамічний та кінетичний ефекти залежать від відмінностей коливально-обертальних та поступальних енергетичних рівнів ізотопних молекул, то, виходячи з даних коливального спектра цих молекул, можна розрахувати ізотопні ефекти статистичними методами. Термодинамічні ізотопні ефекти, виражені відхиленнями від одиниці коефіцієнта рівноважного розподілу ізотопів, для ізотопного обміну водню у разі тритію та протию можуть максимально досягати при 20о 16-18-кратного значення, а у разі дейтерію та протию – 8-9-кратного значення; для ізотопного обміну інших легких елементів - таких, як літій, бор, вуглець, азот, хлор, ці відхилення рідко перевищують 10%, а у разі більш важких елементів вони зазвичай не перевищують 1%.

Кінетичні ізотопні ефекти, що виражаються відношенням констант швидкостей хімічних реакцій різних ізотопних сполук, у разі ізотопів водню також можуть бути дуже великі. Так, наприклад, відношення констант швидкостей синтезу бромистого водню та бромистого дейтерію дорівнює 5. Для ізотопів всіх інших елементів відхилення цього відношення від одиниці ніколи не перевищують 50%.

В основі використання ізотопів як мічених атомів лежить їхня хімічна і фізикохімічна ідентичність. Фактично завжди мають місце відмінності у властивостях ізотопів, що характеризуються значеннями ізотопних ефектів. Таким чином, знання ізотопних ефектів дозволяє вносити поправки на відмінність властивостей ізотопів при їх використанні як мічені атоми. Вочевидь, що облік відповідних поправок має значення при роботі лише з ізотопами легких елементів і особливо водню.

Відмінності у властивостях ізотопів дозволяють розділяти ізотопи та визначати їх вміст у ізотопних сумішах. Будь-який спосіб поділу ізотопів, а також кількісний аналіз стабільних ізотопів засновані на наявності ізотопних ефектів (при цьому метод поділу тим ефективніший, чим більший відповідний ізотопний ефект). Так, наприклад, метод ректифікації поділу заснований на відмінності в тисках пари ізотопних сполук. В основі методу центрифугування лежить відмінність густин. Дифузійний метод передбачає відмінність коефіцієнтів дифузії. Методи поділу з використанням реакцій ізотопного обміну ґрунтуються на термодинамічному ізотопному ефекті. Є методи поділу ізотопів, засновані на ізотопному кінетичному ефекті, як, наприклад, широко поширений електролітичний метод отримання важкої води.

3.3.3 Газова дифузія.

Дифузія газів через пористі перегородки при зниженому тиску одна із найважливіших методів поділу важких, і навіть багатьох легких ізотопів. Метод газової дифузії використовує різницю у швидкостях руху різних за масою молекул газу. Зрозуміло, що він підходитиме лише для речовин, що перебувають у газоподібному стані.

Газоподібне з'єднання елемента, що розділяється, при досить низьких тисках ~ 0,1 н/м2 (~10-3 мм рт. ст.) «прокачується» через пористу перегородку, що містить до 106 отворів на 1 см2. Легкі молекули проникають через перегородку швидше важких, оскільки швидкості молекул обернено пропорційні квадратному кореню з їхньої молекулярної ваги. У результаті газ збагачується легкою компонентою з одного боку перегородки і важкої - з іншого.

Пояснимо принцип дії методу газової дифузії (див. рис.5).

При різних швидкостях руху молекул, якщо змусити їх рухатися через тонку трубочку, більш швидкі та легені з них обженуть важчі. Для цього трубка має бути настільки тонка, щоб молекули рухалися по ній поодинці. Таким чином, ключовий момент тут – виготовлення пористих мембран для поділу. Вони мають не допускати витоків, витримувати надлишковий тиск. Оскільки легкий ізотоп дифундує швидше за важкий, то газ, що пройшов через пористу перегородку, збагачується. легким ізотопом. Для деяких легких елементів ступінь поділу може бути досить великий, але для урану лише 1.00429 (вихідний потік кожного ступеня збагачується в 1.00429 разів). Тому газодифузійні збагачувальні підприємства - циклопічні за розмірами, що складаються з тисяч щаблів збагачення.

Рис. 5 Схема методу газової дифузії. пропорційної залежностіквадрата середньої швидкості теплового руху молекул від їхньої маси, можна показати, що максимальний коефіцієнт поділу ізотопних молекул при їх дифузії через пористі перегородки визначається виразом M2 =, M1 де М1 та М2 – молекулярні ваги легкої та важкої ізотопних молекул.

Цей метод розподілу ізотопів дає малі коефіцієнти розподілу, але легко дозволяє провести каскадування. Таким чином, можна отримати великий коефіцієнт поділу.

Якщо різниця в молекулярних масах дуже мала, необхідно повторення цього процесу тисячі разів.

Кількість операцій поділу n визначається співвідношенням:

q =n, де q - необхідний ступінь поділу. На цьому методі засновано роботу гігантських газодифузійних заводів для отримання 235U з газоподібного UF6 (~ 1,0043). Для отримання необхідної концентрації 235U потрібно близько 4000 одиничних операцій розподілу.

Дифузійний розділовий каскад складається з багатьох осередків (східців). Кожен осередок

- Камера розділена на дві частини пористою перегородкою, по один бік якої нагнітається насосом газоподібна ізотопна суміш. Розмір часу - порядку довжини вільного пробігу даних молекул при тиску. Частина суміші проходить через перегородку і збагачується легким компонентом, т.к. швидкість його дифузії більша. З однієї частини камери виводиться збагачений потік, з іншого – збіднений. Обидва потоки надходять на відповідні щаблі каскаду для подальшого поділу. Використовується також дифузія суміші, що розділяється в якому-небудь сторонньому газі (або краще в парі), який легко потім відокремити від суміші конденсацією. Суміш подається в струмінь пари, і частина її з великим вмістом легкого компонента дифундує проти потоку пари.

3.2.4 Дифузія в потоці пари (протипоточна мас-дифузія) Розподіл ізотопів відбувається в циліндричній посудині (колоні), перегородженій уздовж осі діафрагмою, що містить близько 103 отворів на 1 см2. Газоподібна ізотопна суміш рухається назустріч потоку допоміжної пари. Внаслідок градієнта (перепаду) концентрації газу та пари в поперечному перерізі циліндра та більшого коефіцієнта дифузії для легких молекул відбувається збагачення легким ізотопом частини газу, що пройшов крізь потік пари в ліву частину циліндра. Збагачена частина виводиться з верхнього кінця циліндра разом з основним потоком пари, а частина правої половини, що залишилася, газу рухається вздовж діафрагми і відводиться з апарату. Пара, що проникла у праву частину, конденсується. На розділових установках, що складаються з декількох десятків послідовно з'єднаних дифузійних колонок з рідиною, що випаровується (ртуть, ксилол та ін), поділяються в лабораторних масштабах (до 1 кг) ізотопи неону, аргону, вуглецю, криптону, сірки.

3.2.5 Термодифузія У цьому випадку знову ж таки використовується відмінність у швидкостях руху молекул. Найлегші їх при існуванні різниці температури мають властивість опинятися у більш нагрітій області. Коефіцієнт поділу залежить від відношення різниці маси ізотопів до загальній масіта більший для легких елементів. Термодифузійний процес проводять у пустотілих колонах з охолоджуваними стінками і з розпеченим дротом, протягнутим в центрі вздовж колони. Така колона в залежності від її висоти рівноцінна багатьом послідовно з'єднаним щаблям.

Прямий і зворотний потоки в колоні забезпечуються природними конвекційними струмами (вздовж розпеченого дроту струм спрямований вгору, а вздовж стінок – вниз). Між потоками у кожному поперечному перерізі протікають термодифузійні процеси, послідовне накладання яких призводить до накопичення важкого ізотопу внизу колони, а легшого – нагорі. Незважаючи на свою простоту, у цьому методі потрібні великі енерговитрати для створення та підтримки нагрівання. Тому широко не застосовується.

Зазвичай термодифузійна розділова колонка складається з двох коаксіально розташованих труб, в яких підтримуються різні температури суміш, що розділяється, вводиться між ними. Перепад температур Т між поверхнями труб створює дифузійний потік, що призводить до появи різниці концентрації ізотопів у поперечному перерізі колонки. Одночасно перепад температур призводить до виникнення конвективних вертикальних потоків газу. Внаслідок цього легші ізотопи накопичуються біля гарячої поверхні внутрішньої труби і рухаються вгору. Коефіцієнт поділу = 1 + T T де - Постійна термодифузія, що залежить від відносної різниці мас ізотопів, а T = (T1 + T2)/2. Термодифузійний метод дозволяє розділяти ізотопи як у газоподібній, так і рідкій фазі. Можливий асортимент ізотопів, що розділяються, ширший, ніж при розділенні методом газової дифузії або дифузії в потоці пари. Проте рідкої фази мало. Метод зручний при поділі ізотопів в лабораторних умовах внаслідок простоти, відсутності вакуумних насосів і т.д.

Цим методом був отриманий Не з вмістом 0,2% 3He (в природній суміші 1,510-5%), ізотопи O, 15N, 13C, 20Ne, 22Ne, 35Cl, 84Kr, 86Kr з концентрацією 99,5%. Термодифузія використовувалася в промисловому масштабі США для попереднього збагачення 235U перед остаточним поділом його на електромагнітній установці. Термодифузійний завод складався з 2142 колон заввишки 15 м.

3.2.6 Газове центрифугування Вперше ця технологія була розроблена в Німеччині під час другої світової, але промислово ніде не застосовувалася до початку 60-х. Поділ здійснюється за рахунок відмінності відцентрових сил, що діють молекули різних мас. (Рис.6). У центрифузі, що обертається з великою окружною швидкістю (100 м/сек), більш важкі молекули під дією відцентрових сил концентруються біля периферії, а легкі молекули - у ротора центрифуги.

Потік пари у зовнішній частині з важким ізотопом спрямований вниз, а у внутрішній з легким ізотопом – вгору. З'єднання кількох центрифуг у каскад забезпечує необхідне збагачення ізотопів.

Велика перевага центрифугування залежить від коефіцієнта поділу від абсолютної різниці в масі, а не від відношення мас. Центрифуга однаково добре працює і з легкими та з важкими елементами. Тому центрифугування придатне для поділу ізотопів та важких елементів. Ступінь поділу пропорційна квадрату відношення швидкості обертання до швидкості молекул у газі. Звідси дуже бажано якнайшвидше розкрутити центрифугу. Типові лінійні швидкостіобертових роторів 250-350 м/с, і до 600 м/с у вдосконалених центрифугах. Типовий коефіцієнт сепарації – 1.01 – 1.1.

Застосовується протиточна газова центрифуга, в якій суміш циркулює, рухаючись вгору, вздовж осі обертання в центральній частині і вниз - по периферії. Така центрифуга – апарат колонкового типу з багаторазовим повторенням елементарного розділового ефекту (у кожному поперечному перерізі) вздовж напряму прямого та зворотного потоків.

Рис.6 Схема методу газового центрифугування

Центрифугування використано для поділу ізотопів вуглецю (у вигляді CCl4), криптону, ксенону та урану (у вигляді UF6).

Порівняно з газодифузійними установками, цей метод має зменшене енергоспоживання, велику легкість у нарощуванні потужності. Недолік методу – низька продуктивність центрифуг та необхідність забезпечення дуже великих кутових швидкостей (близько 60000 об/хв). В даний час газове центрифугування – основний метод поділу ізотопів.

3.2.7 Електромагнітний поділ.

Метод електромагнітного поділу заснований на різній дії магнітного поля на заряджені частинки різної маси. По суті такі установки, звані калютронами, є величезними мас-спектрометрами. Іони речовин, що розділяються, рухаючись у сильному магнітному полі, закручуються з радіусами, пропорційними їх масам і потрапляють у приймачі, де і накопичуються (Рис.6).

Рис.7 Схема методу електромагнітного поділу Речовина, ізотопи якої потрібно розділити, міститься в тигель іонного джерела, випаровується та іонізується.

Іони витягуються з іонізаційної камери сильним електричним полем, формуються в іонний пучок і потрапляють у вакуумну розділову камеру, поміщену в магнітне поле Н, спрямоване перпендикулярно до руху іонів. Під дією магнітного поля іони рухаються по колам з радіусами кривизни, пропорційними кореню квадратному відношення маси іона М до його заряду е. Внаслідок цього радіуси траєкторії важких і легких іонів відрізняються один від одного. Це дозволяє збирати іони різних ізотопів у приймачі, розташовані у фокальній площині установки.

Цей метод дозволяє розділяти будь-які комбінації ізотопів, має дуже високий ступінь поділу. Зазвичай достатньо двох проходів для отримання ступеня збагачення вище 80% бідної речовини (з вихідним вмістом бажаного ізотопу менше 1%).

Продуктивність електромагнітних установок визначається значенням іонного струму та ефективністю уловлювання іонів. На великих установках іонний струм коливається від десятків до сотня, що дає можливість отримувати до кількох грамів ізотопів на добу (сумарно по всіх ізотопах). У лабораторних сепараторах продуктивність у 10 – 100 разів нижча.

Електромагнітний метод характеризується високим та можливістю одночасного поділу всіх ізотопів даного елемента. Зазвичай на великих промислових установках на одному ступені поділу a ~ 10-100, в лабораторних - в 10-100 разів вище. У більшості випадків при розподілі електромагнітним методом досить одного ступеня, рідко проводиться повторне розподіл попередньо збагачених ізотопних матеріалів для отримання ізотопів особливо високої частоти. Основний недолік методу - відносно низька продуктивність, високі експлуатаційні витрати, значні втрати речовини, що розділяється.

Електромагнітний поділ погано пристосований для промислового виробництва:

Більшість речовин осаджується усередині калютрона, отже його доводиться періодично зупиняти обслуговування. Інші недоліки - велике енергоспоживання, складність та дорожнеча технічне обслуговуваннянизька продуктивність. Основна сфера застосування методу – одержання невеликих кількостей чистих ізотопів для лабораторного застосування. Вони використовуються для отримання радіоактивних ізотопів, необхідні ядерної спектроскопії, вивчення взаємодії іонів з твердим тілом (при іонному впровадженні та інших цілей).

Електромагнітний метод вперше дозволив одержати кілограмові кількості 235U.

Електромагнітний завод в Ок-Ріджі (США) мав 5184 розділові камери – «калютрони».

Внаслідок високої універсальності та гнучкості електромагнітні установки використовуються для поділу ізотопів ~ 50 елементів періодичної системи в кількостях від мг до сотень г та є основним джерелом забезпечення ізотопами науково-дослідних робіт та деяких практичних застосуваньізотопів 3.2.8 Хімічне збагачення Хімічне збагачення використовує різницю швидкості протікання хімічних реакцій з різними ізотопами. Найкраще воно працює при розподілі легких елементів, де різниця значна. У промисловому виробництві застосовуються реакції, що йдуть з двома реактивами, що знаходяться в різних фазах (газ/рідина, рідина/тверда речовина, рідини, що не змішуються). Це дозволяє легко розділяти збагачений та збіднений потоки. Використовуючи додатково різницю температур між фазами, досягається додаткове зростання коефіцієнта поділу. На сьогодні хімічний поділ - найенергозберігаючіша технологія отримання важкої води. Крім виробництва дейтерію, воно застосовується для вилучення Li-6. У Франції та Японії розроблялися методи хімічного збагачення урану, що так і не дійшли до промислового освоєння.

3.2.9 Аеродинамічна сепарація Цей спосіб можна розглядати як варіант центрифугування, але замість закручування газу в центрифузі він завихрюється при виході зі спеціальної форсунки, куди подається під великим тиском. Ця технологія використовувалася ПАР та Німеччиною.

3.2.10 AVLIS (випар з використанням лазера).

Різні ізотопи поглинають світло з трохи різною довжиною хвилі. За допомогою точно налаштованого лазера можна вибірково іонізувати атоми якогось певного ізотопу.

Іони, що виявилися, можна легко відокремити, припустимо, магнітним полем (Рис.8). Така технологія має надзвичайну ефективність, однак у промислових масштабах поки що не застосовується.

Рис.8. Схема методу лазерного випаровування

3.2.11 Дистиляція Дистиляція (фракційна перегонка) використовує різницю у швидкості випаровування різних за масою ізотопів. Чим менша маса атома - тим швидше випаровуватиметься цей ізотоп.

Найкраще це працює знову ж таки, на легких елементах. Дистиляція успішно застосовується для важкої води.

Оскільки, як правило, ізотопи мають різні тиски насиченої пари, наприклад p1 і p2 і різні точки кипіння, то можливе поділ ізотопів шляхом фракційної перегонки. Використовуються фракціонуючі колони з більшим числомщаблів поділу;

залежить від відношення p1/p2 та його значення зменшується зі зростанням молекулярної маси та температури. Тому процес найефективніший за низьких температур. Дистиляція використовувалася для отримання ізотопів легких елементів - 10B, 11B, 18O, 15N, 13C, а промисловому масштабі отримання сотень тонн важкої води на рік.

3.2.12 Електроліз При електролізі води або водних розчинів електролітів водень, що виділяється на катоді, містить меншу кількість дейтерію, ніж вихідна вода. В результаті в електролізері зростає концентрація дейтерію. Метод застосовувався у промислових масштабах для отримання важкої води. Поділ інших ізотопів легких елементів (літію, калію) електролізом їх хлористих солей проводиться лише у лабораторних кількостях. Цей самий ефективний методотримання дейтерію (коефіцієнт поділу понад 7) вимагає такої кількості енергії, що з економічних міркувань, якщо він і задіюється, то на пізніх стадіях очищення.

3.2.13 Ізотопний обмін Ізотопний обмін – реакція, єдиним результатом якої є перерозподіл ізотопів будь-якого елемента між речовинами, що реагують.

При ізотопному обміні речовини зберігають незмінним свій елементний склад і переходять лише з одних ізотопних форм до інших. Такі реакції можуть протікати між різними ізотопними формами однієї й тієї ж речовини. Можливості проведення реакцій ізотопного обміну дуже різні: вони можуть протікати в гомогенних умовах (між розчиненою речовиною та розчинником, між реагуючими речовинами в нейтральному розчиннику, в суміші газів тощо), а також у гетерогенних умовах (між твердою та рідкою речовиною та нерозчинним газом між газами на поверхні твердого каталізатора і т.д.).

Рівновагу ізотопного обміну характеризують коефіцієнтом розподілу ізотопів та константою рівноваги реакції. Коефіцієнтом рівноваги називається величина, що показує, у скільки разів відношення рівноважних концентрацій ізотопів в одному з компонентів, що реагують, більше відповідного відношення в іншому. Константа рівноваги є відношенням рівноважних концентрацій кінцевих і початкових ізотопних форм реагуючих компонентів.

Специфічна особливість реакцій ізотопного обміну, що відрізняє їхню відмінність від звичайних (елементних) хімічних реакцій, у тому, що концентрації реагуючих компонентів залишаються незмінними, а змінюється лише їх ізотопний склад. Ця особливість призводить до того, що ці реакції, незалежно від їхнього справжнього механізму, практично можуть бути описані кінетичним рівняннямпершого порядку.

Ізотопний обмін протікає за різними механізмами, причому зустрічаються всі механізми, властиві елементним хімічним реакціям, і, крім того, механізми, які мають прямих аналогів у звичайній хімії.

Ізотопний обмін може бути одно-, дво- та багатостадійним, гомогенним та гетергенним. В його основі можуть лежати переходи електронів, іонів, атомів, груп атомів і цілих молекул. Як проміжні стадії реакцій ізотопного обміну можуть спостерігатися дисоціація молекул на заряджені або незаряджені частинки, асоціації окремих частинок, внутрішньомолекулярні перегрупування атомів. Крім того, ізотопний обмін для кожного елемента має свої характерні риси.

Ізотопний обмін широко застосовують у різних дослідницьких та препаративних роботах, а також у промисловості. Їм користуються для поділу природних стабільних ізотопів хімічними методами, що ґрунтуються на нерівномірному рівноважному розподілі ізотопів між речовинами.

Наприклад, для концентрування дейтерію при промисловому одержанні важкої води застосовуються реакція ізотопного обміну:

HDS + H 2O H 2S + HDO та HD + H 2O H 2 + HDO

Для концентрування 6Li використовується реакція:

7 + 6 Li +7LiZ 6 Li + LiZ (реакція проводиться на цеоліті), Z – цеолітовий радикал.

Застосування кількох ступенів дозволяє одержувати високе збагачення водню, азоту, сірки, кисню, вуглецю, літію окремими ізотопами.

*-*-* Крім перерахованих, існує низка інших методів, застосування яких носить обмежений характер або знаходиться у стадії досліджень або технічних удосконалень. До них відносяться: одержання 3He, засноване на явищі надплинності 4He;

поділ за допомогою дифузії в надзвуковій струмені газу, що розширюється в просторі зі зниженим тиском; хроматографічне поділ, заснований на відмінності у швидкостях адсорбції ізотопів; біологічні способи поділу.

Методи поділу ізотопів мають особливості, що визначають сфери їх найбільш ефективного застосування. При поділі ізотопів легких елементів з масовими числами близько 40 економічно вигідніші та ефективніші дистиляція, ізотопний обмін та електроліз. Для поділу ізотопів важких елементів застосовуються дифузійний метод, центрифугування та електромагнітний поділ. Однак газова дифузія та центрифугування можуть бути використані, якщо є газоподібні сполуки елементів.

Оскільки таких сполук мало, реальні можливості цих методів поки що обмежені.

Термодифузія дозволяє розділяти ізотопи як в газоподібному, так і рідкому стані, але при розділенні ізотопів в рідкій фазі мало. Електромагнітний метод має великий, але має малу продуктивність і застосовується головним чином за обмежених масштабів виробництва ізотопів.

Для забезпечення науково-дослідних робіт та практичних застосувань ізотопів у Росії створено Державний фондстабільних ізотопів, що володіє запасом ізотопів багатьох елементів. Регулярно проводиться поділ значних кількостей дейтерію 10B, 13C, N, 180, 22Ne та інших ізотопів. Організовано також випуск різних хімічних препаратів, мічених стабільними ізотопами.

3.3 Поділ ізотопів урану Для поділу урану використовуються такі технології: електромагнітний поділ, газова дифузія, рідинна термодифузія, газове центрифугування, аеродинамічна сепарація. На певну увагу заслуговують наступні, поки промислово незастосовувані методи: випаровування з використанням лазера і хімічний поділ Електромагнітний метод заснований на тому, що два іони, що мають ту саму енергію, але різні маси, фокусуються в різних точках площини, якщо вони проходять через однорідне магнітне поле, перпендикулярне їхній траєкторії. Поміщаючи джерело іонів у центр однорідного магнітного поля так, щоб використовувати кілька іонних променів у різних напрямкахможна досягти ефективного використаннявеликого магніту. Колектори розташовуються таким чином, що вони перетинають кожен промінь і збирають окремо два головні ізотопи 235U і U з досить великим ступенем чистоти. Метод дає в одній установці великий поділ.

Коефіцієнт поділу наближається до 100%, але продуктивність однієї установки невелика. Загальна продуктивність може бути збільшена за рахунок збільшення концентрації U у вихідному продукті.

Це була історично перша техніка, здатна виробляти збройовий уран. Вона використовувалася в електромагнітному сепараторі Y-12 в Ок-Ріджі під час Другої світової війни.

Двох етапів поділу достатньо збагачення урану до 80-90%. Два інших методу, доступних на той час - газова дифузія, рідинна термодифузія - застосовувалися для початкового збагачення урану та збільшення виходу електромагнітного сепаратора по відношенню до сировини з природного урану. Весь використаний у хіросимській бомбі уран виготовлений за цією технологією. У зв'язку з високими накладними витратами Y-12 було закрито 1946 року. У пізніший час лише Ірак намагався промислово використовувати цей метод у своїй атомній програмі.

Газова дифузія. Перша практично застосовується у промислових масштабах технологія поділу 238U та 235U. В основу методу покладено відмінність швидкостей теплового руху молекул ізотопних речовин. Єдине з'єднання урану, що має властивості, необхідні для здійснення газової дифузії, є гексафторид урану UF6. Тиск насиченої пари цієї сполуки досягає атмосфери при 56оС.

Незважаючи на вимогу наявності для сильного збагачення тисяч щаблів, за витратами це вигідніший метод, ніж електромагнітний поділ. Газодифузійні підприємства зі збагачення 235U величезні та мають велику виробничу потужність. Головна проблема створення надійних газодифузійних бар'єрів, здатних протистояти корозійній дії UF6. Є два основних типи таких бар'єрів: тонкі пористі мембрани та бар'єри, зібрані з окремих трубочок. Мембрани є плівками з утвореними травленням порами. Наприклад, азотна кислота протруює сплав 40/60 Au/Ag (Ag/Zn); або електролітичним травленням алюмінієвої фольги можна отримати тендітну алюмінієву мембрану. Складові бар'єри збираються з невеликих дискретних елементів, упакованих у відносно товсту пористу перегородку. Технологія виготовлення дифузійних бар'єрів продовжує залишатися засекреченою у всіх країнах, які її розробили. Побудоване під час Другої світової війни виробництво K-25 в Ок-Ріджі складалося з 3024 ступенів збагачення та продовжувало функціонувати до кінця 1970-х. Розробка відповідного матеріалу для бар'єрів виявилася складною справою, що викликало деяку затримку з введенням в дію підприємства після війни, хоча навіть частково закінчений завод зробив внесок у накопичення 235U для атомної бомби "Малюк" (Little Boy), скинутої на Хіросіму. Тоді бар'єри виготовлялися із спеченого нікелевого порошку, спроби створити багатообіцяючі мембрани з електролітично витраченого алюмінію провалилися. K-25 спочатку містив 162 000 м2 мембранної поверхні. Це підприємство, з розширеннями, справило велику частинувсього урану для армії США у шістдесятих. З удосконаленням газодифузійних бар'єрів продуктивність заводу зросла у 23 рази. Дифузійне виробництво споживає набагато менше електроенергії в порівнянні з електромагнітним, але її витрата все одно залишається досить великою. У 1981 році, після модернізації, воно мало питому споживану потужність на рівні 2370 кВт-год/МПП-кг. Незважаючи на те, що уран низького збагачення є цінною сировиною для виробництва високозбагаченого урану, газодифузійні установки низького збагачення неможливо легко переробити для виробництва урану високого збагачення. Високе збагачення вимагає багато менших за розміром щаблів, через різке зниження коефіцієнта збагачення та проблем із критичністю (нагромадження критичної маси урану) у великих за розміром блоків. Величезні розміри збагачувальної системи ведуть до тривалого часу заповнення її матеріалом (збагачуваною речовиною) до початку виходу продукту. Зазвичай цей час встановлення рівноваги становить 1-3 місяці. Технологія газової дифузії широко використовувалася в багатьох країнах, навіть Аргентина створила збагачувальне підприємство, що діє, для своєї таємної збройової програми (нині припиненої). У 1979 року понад 98% всього урану вироблялося з допомогою цього процесу. До середини 1980-х ця частка скоротилася до 95% із освоєнням методу центрифугування.

Рідина термодифузія, тобто. явище зміни дифузійної рівноваги газу за наявності перепаду температур також широко використовується в практиці поділу ізотопів.

Термодифузійний поділ ізотопів урану відбувається в рідкому UF6, що знаходиться під великим тиском між двома поверхнями – гарячою та холодною. Завдяки різниці мас ізотопів урану та складним міжмолекулярним силам, відбувається поділ ізотопів.

Рідина термодифузія виявилася першою технологією, на якій були отримані суттєві кількості низькозбагаченого урану. Вона застосовувалася США під час Манхеттенського проекту збільшення ККД сепаратора Y-12. Це найпростіший із усіх методів поділу, але гранична ступінь збагачення по 235U всього ~1% (завод S-50 в Ок-Ріджі виробляв 0.85-0.89% урану-235 в кінцевому продукті). Серйозним недоліком цього є велике споживання енергії.

Газове центрифугування. Домінуючий спосіб поділу ізотопів для нових виробництв, хоча вже існуючі потужності - переважно газодифузійні. Кожна центрифуга забезпечує набагато більший коефіцієнт поділу, ніж один газовий ступінь.

Потрібно набагато менше щаблів, всього близько тисячі, правда вартість кожної центрифуги набагато вища. Газове центрифугування вимагає ~1/10 частину енергії, необхідної газової дифузії (його енергоспоживання 100-250 кВт-год/МПП-кг) і забезпечує легше нарощування масштабу виробництва. З ядерних країн, що розвиваються, цією досить складною технологією володіють Пакистан та Індія.

Аеродинамічна сепарація. Аеродинамічний поділ розроблено в ПАР (процес UCOR, що використовує вихрові трубки з тиском 6 бар) та Німеччини (використовуються викривлені сопла, що працюють з тиском 0.25-0.5 бар). Єдина країна, що застосовувала цей метод на практиці - ПАР, де було вироблено 400 кг урану зброї на підприємстві в Валіндабі, закритому наприкінці вісімдесятих. Коефіцієнт поділу ~1.015, енерговитрати ~3300 кВт-год/МПП-кг.

Випаровування з використанням лазера. AVLIS (atomic vapor laser isotope separation). Технологія не була втілена у виробництві, розроблялася США протягом 1970-80-х гг. і відмерла внаслідок загального надлишку потужностей, що розділяють, і скорочення арсеналу.

Хімічний поділ. Хімічний поділ урану розроблялося в Японії та Франції, але, як і AVLIS, ніколи не використовувалося. Французький метод Chemex використовує протитік у високій колоні двох рідин, що не змішуються, кожна містить розчинений уран.

Японський метод Asahi використовує реакцію обміну між водним розчином і дрібноздрібненою смолою, через яку повільно просочується розчин. Обидва способи потребують каталізаторів для прискорення процесу концентрації. Процес Chemex потребує електрики на рівні 600 кВт-год/МПП-кг. Ірак розробляв цю технологію (у вигляді змішаного виробництва Chemex/Asahi) для збагачення U-235 до 6-8% і подальшого збагачення в калютроні.

РОСІЙСЬКА ФЕДЕРАЦІЯ КУРГАНСЬКА ОБЛАСТЬ АДМІНІСТРАЦІЯ ПЕТУХІВСЬКОГО РАЙОНУ РОЗПОРЯДЖЕННЯ від "04" лютого 2013р. № 37-р м. Петухово Про дотримання Центр Захисту Прав ЗМІ _ СУДОВА ПРАКТИКА ЄВРОПЕЙСЬКОГО СУДУ З ПРАВ ЛЮДИНИ ЗА СТАТТЮ 10 ЄВРОПЕЙСЬКОЇ КОНВЕНЦІЇ ТОМ 14.144.4. - Г.Ю. Арапова, М.А. Андрук Перево...»

«Сатгуру Свамі Вішну Дев Про розпливання та збудженість (за матеріалами лекцій) Всесвітня громада Лайя-йоги Див'я Лока Зміст Розпливання та збудженість Дорогоцінні санкальпи бездоганного самадхі П'ять дорогоці...»

«Л. Ф. Новицька Проблема морального самонабуття у просторі інтерсуб'єктивності Великий Новгород ББК 87.7 Друкується за рішенням Н 73 РІС НовДУ Рецензенти доктор філософських наук, професор С. Н. Іконнікова доктор філософських наук, професор С. Т. Махліна Новицька Л. Проблема морального самонабуття у просторі...»

Модифікацій генетичних алгоритмів Національний аерокосмічний університет ім. М. Є. Жуковського "ХАІ" Представлено огляд та аналіз існуючих модифікацій генетичного...» ЗАТВЕРДЖЕННЯ ДЕРЖАВНОГО РЕЄСТРУ ОСОБЛИВО ОХОРОНЯЮЧИХ ПРИРОДНИХ ТЕРИТОРІЙ У РЕСПУБЛІЦІ ТАТАРСТАН І ВНЕСЕННЯ ТА ВНЕСЕННЯ ТА ВНЕСЕННЯ ТА ВНЕСЕННЯ ТА ВНЕСЕННЯ ПОНЕДІЛОК

«Виробництво поліпропілену (ПП) Сировина для виробництва поліпропілену Газ, що конденсується в рідину при Т =47.7 С, замерзає при -185,2 С Пропілен виділяють з природного газу, прямогонного бензину путм піролізу або крекінгу. Виділена пропан-пропіленова фракція містить – 80 % пропану, після дегідрування одержують 98-99...»

«слабше. В обох випадках х з о н і в л і я н ия виитя н у ти вздовж річок в одному випадку вздовж Північний Д в ін, а в іншому вздовж Онеги. / °т \ Двінська Н\\жЗфо (губа / 1.4:-ч:цеверодвінськ_ ^Архангельськ Новодвіншщ.Самбдед Щ X про vr " \ Холмогорн /...»

«Ірина Володимирівна Словцова Менопауза. Як зберегти повноцінне життя? Доступно. Працює. Перевірено автором Серія "Здоров'я на всі 100!" Текст наданий видавництвом http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=6508203 Менопауза: як зберегти повноцінне життя? Доступно. Працює. П...»

«SCIENCE TIME ШЛЯХИ ВДОСКОНАЛЕННЯ ОРГАНІЗАЦІЇ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ ПОДАТКОВИХ ОРГАНІВ РОСІЇ НА ОСНОВІ АДАПТАЦІЇ ЗАРУБІЖНОГО ДОСВІДУ Міхасєва Олена Миколаївна, Шенкаренко Беатріса народного господарствата державної служби при Президентові РФ (філія), м. Волгоград E-mail:...»

« Уфа-2015 р. ЗМІСТ: Гранти, їхня роль у розвитку суспільства 1. 3 Приклади діяльності, що оплачується грантами 2. 4 Процедура отримання грантів 3. 5 Гранти Президента Російської Федера...»

Університет ім. Ломоносова, Геологічний факультет [email protected]Одним з головних недоліків будь-якої...» Справа № А53-15719/2014 09 квітня 2015 року Резолютивн...»

«Вісник археології, антропології та етнографії. 2015. № 3 (30) ПРАКТИКИ ВПЛИВУ НА ПОГОДУ І ЗАХИСТИ ВІД ВІРШИХ ЛИХ У КОМІ ЗАХІДНОЇ СИБІРИ Н.А. Ліскевич, А.Х. Машарипова Представлені польові матеріали, хар...»

2017 www.сайт - «Безкоштовна електронна бібліотека - різноманітні документи»

Матеріали цього сайту розміщені для ознайомлення, всі права належать їхнім авторам.
Якщо Ви не згодні з тим, що Ваш матеріал розміщений на цьому сайті, будь ласка, напишіть нам, ми протягом 1-2 робочих днів видалимо його.

І.М.Бекман ПЛУТОНІЙ Навчальний посібник

ВСТУП

Плутоній – перший штучно отриманий людиною елемент. Досить
швидко він виявився одним із найважливіших компонентів ядерної індустрії. на
ним базується вся сучасна атомна зброя, а її ізотопи широко
використовуються в джерелах електричної енергії, тепла, світла та іонізуючих
випромінювань. З плутонією пов'язують перспективи розвитку великої ядерної
енергетики. Знайшов своє місце і в медицині. Але і своя назва, що відсилає
нас до підземного царства і пеклі він також виправдовує. І не лише своїми справами
в Нагасакі ... Багато хто хоче від нього якнайшвидше позбутися, причому -
назавжди.
94
Pu
ПЛУТОНІЙ

5f67s2

2
8 24
32 18
82

Плутоній (лат. Plutonium), Pu, радіоактивний хімічний елемент,
III групи періодичної системи, атомний номер 94, атомна вага 244;
відноситься до актинідів, стабільних ізотопів не має. Перший
штучний елемент, отриманий у доступних для зважування
кількостях (1942). Плутоній був знайдений у природі після того, як він був
синтезовано штучно. В даний час належить до групи
Актиніди Періодична таблиця елементів.

Періодична система елементів
H
He
Li Be
B C N O F Ne
Na Mg
Al Si P S Cl Ar
K Ca Sc Ti V Cr Mn
Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
Cs Ba * Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
Fr Ra ** Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds RgUubUutUuqUupUuhUus Uuo
* La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
** AcTh Pa U Np Pu AmCmBk Cf Es Fm Md No Lr
Про відкриття плутонію світ дізнався після атомного бомбардування р.
Нагасакі в 1945. Ніякий інший елемент не став відомий з такою раптовістю і
за таких драматичних обставин. До того ж жоден елемент не має
настільки винятковими властивостями. Досить сказати, що він має шість
алотропічних модифікацій у відносно невеликій області температур – від
кімнатної до температури плавлення, що дорівнює 640о. Метал має також
унікальною властивістю помітно стискатися з підвищенням температури в
щодо широкому інтервалі температур. Плутоній дуже токсичний. У нього
безліч ізотопів і багато - діляться.
Ізотопи плутонію утворюються при ядерних вибухах, але основними методами
синтезу є дві групи методик: використання заряджених часток великої
енергії, таких, як прискорені в циклотроні дейтрони та іони гелію, та
використання ядерних реакцій у самопідтримуваних ланцюгових ядерних
реактори.
В даному огляді (навчальному матеріалі для студентів-радіохімиків МДУ та для
всіх учасників системи Інтернет-освіти в ЯДЕРНІЙ СФЕРІ) ми розглянемо
ядерні, фізичні, хімічні, механічні та токсичні властивості ізотопів
плутонію і коротко зупинимося на методах їх виробництва та застосування в
промисловості, енергетиці, науці та медицині, а також обговоримо методи його
якісного та кількісного аналізу у різних середовищах. Основна увага
приділимо уран-плутонієвому циклу та перспективам його розвитку.
Основну увагу буде приділено наступним положенням:
- Третина енергії, вироблених АЕС у світі дає плутоній, що утворюється в атомних реакторах як
побічний продукт ядерних реакцій.
- Плутоній колись існував у земній корі, але тепер його там практично не лишилося.

У біосфері зараз
знаходиться
кілька
плутонію,
як результат випробувань ядерної зброї в
І.М.Бекман
ПЛУТОНІЙ
Навчальний тон
допомога
http://profbeckman.narod.ru/Pluton.htm
1950-их та 1960-их.
- Плутоній радіологічно небезпечний, особливо при вдиханні, поводитися з ним потрібно з великою
обережністю.
- Плутоній, витягнутий зі зброї та з відпрацьованого палива атомних реакторів, здатний стати
потужним джереломенергії, якщо вдасться включити їх у ядерний паливний цикл.
Плутоній – елемент з унікальними ядерними, фізичними, хімічними та радіологічними.
властивостями. У цьому навчальному посібнику ми спробуємо продемонструвати, як використовуються ці властивості.
у синтезі цього елемента, його сполук та сплавів, у застосуваннях у зброї, енергетиці та медицині та при
його утилізації. Ми також обговорити суперечність між Концепцією, що склалася до цього часу.
сталого розвитку, що вимагає розширення виробництва всіх видів енергій, у тому числі – атомної, а,
отже, напрацювання плутонію (використання плутонію як пального в енергетичних ядерних
реакторах збільшує світові запаси енергії від спалювання урану більш ніж у 100 разів) та Концепцією
міжнародної безпеки, що передбачає вилучення плутонію з паливного циклу та повне його
знищення.

1. ІСТОРІЯ ВІДКРИТТЯ

У 1940 Е. Макміллан та П. Абелсон, проводячи експерименти на циклотроні Радіаційної лабораторії
Лоренца (Каліфорнійський університет у Берклі), виявили утворення нептунія в урані, опроміненому
нейтронами, що генеруються в берилії іонами дейтерію, прискореними до високих енергій. (Докладніше див.
навчальний посібник НЕПТУНІЙ). При цьому виявилося, що 239Np, що утворюється при β-розпаді 239U, у свою
черга зазнає β-розпад, тобто. переходить в елемент, що знаходиться на одній клітинці праворуч (ми тепер його
кличемо плутоній). Однак ідентифікувати новий елемент вони не змогли через його великий період
напіврозпаду та низької питомої активності. Зробили це радіохіміки з того ж таки Університету під
керівництвом Гленна Сіборга.
Першим було ідентифіковано ізотоп плутонію з масовим числом 238 під час дослідження
групою Сиборгу хімічних властивостей індикаторних кількостей нептунія
Восени 1940 року Гленн Сіборг (Glenn Seaborg), будучи керівником Відділу хімії
Каліфорнійського університету (Берклі), доручив недавньому випускнику КУ Артуру Валю (Arthur Wahl – у
російській літературі його пишуть то як Валь, то як Волх, то як Вол, не дивуйтесь!) як
дисертаційної роботи розглянути можливість вивчення хімічних властивостей слідів елемента 93
(нептуній), провести пошук та ідентифікацію елемента 94 (плутоній). Робота проводилася разом із Джоном
Кеннеді (Kennedy), який також був одним із керівників Відділу хімії. В ході експерименту окисзакис урану безпосередньо опромінювали на циклотроні Берклі прискореними дейтронами.
Офіційно відкриття ізотопу плутонію 238Pu, з періодом напіврозпаду ~90 років (86,4 г),
приписується Гленну Сіборгу (Glenn Seaborg), Едвіну Макміллану (Edwin McMillan), Джону Кеннеді
(Kennedy), та Артуру Уолху (Arthur Wahl). Через рік відкрили інший ізотоп - 239Pu з Т= ~24000 років. У 1951
Сіборг та Едвін Мак-Міллан (McMillan) отримали Нобелівську премію з хімії «за відкриття в області
хімії трансуранових елементів». (До речі, Сіборг - єдиний хімік,
має патент на відкриття елемента, навіть двох: америція та кюрія).
Фото. Гленн Т. Сіборг (19.04.1912 - 25.02.1999) американський хімік та фізик -
голова групи дослідників університету Берклі, яка напрацювала плутоній.
Лауреат Нобелівської премії з хімії (1951).
Зауваження. Коли Шведська Академія наук у 1951 році оголосила про присудження
Нобелівської премії з хімії Е. Мак-Міллану та Г. Сіборгу за відкриття в області
хімії трансуранових елементів, багато хто вирішив, що два професори з Каліфорнії
працювали разом. Однак Сіборг і Макміллан ніколи не були співробітниками в повному обсязі
значенні цього слова. Більше того, Макміллану належить слава першовідкривача, а
Сиборгу – продовжувача розпочатої справи.

Назва елемента була запропонована в 1948: Мак-Міллан назвав
перший трансурановий елемент нептунієм у зв'язку з тим, що планета Нептун – перша за Ураном. за
аналогії елемент 94 вирішили назвати плутонією, оскільки планета Плутон є другою за Ураном. Плутон,
відкритий у 1930, отримав свою назву від імені бога Плутона (він же Аїд) – володаря підземного царства
мертвих з грецької міфології.
На початку XIX століття професор з Кембриджу Кларк пропонував перейменувати барій на плутоній,
мотивуючи тим, що барій зовсім не тяжкий, як повідомляє його грецька назва і, крім того, його
отримують електролізом, а, значить, у назві має бути вогонь, справжня Гієна вогненна,
тобто. пекло та його начальник – бог Плутон. Однак ця пропозиція не була прийнята. До речі, символ елемента
не правильний - повинно бути Pl, але Сіборг вибрав Pu, згадавши вигук дитини, що унюхала щось
гидке: «Описався!» ("Pee-yoo!"). Сіборг очікував, що його ініціатива буде зустрінута в багнети, але
Комітет із найменування елементів погодився без будь-яких зауважень. У ході Манхеттенського
проекту плутоній у секретних документах називали «елемент 49»: 4 – остання
цифра номера елемента у Періодичній таблиці (94), 9 – остання цифра
атомної ваги збройового плутонію-239.
Рис. 1. Перші у світі 520 міліграм металевого плутонію,
вироблені Тедом Мейджелом (Ted Magel) та Ніком Далласом (Nick Dallas) в
Лос-Аламосі 23.03.1944.
Вперше бомбардування оксиду 238U (U3O8) прискореними дейтронами
у 60 дюймовому циклотроні до енергії 22 МеВ було проведено 14.12.1940. Насамперед
ніж потрапити в уранову мета, дейтрони проходили через 0.002-дюймову алюмінієву фольгу.
Ретельно виділена фракція елемента 93 (нептуній) містила α-активність, крива поглинання

І.М.Бекман ПЛУТОНІЙ Навчальний посібник Розділ 1 http://profbeckman.narod.ru/Pluton.htm

Яка в алюмінії помітно відрізнялася від кривої поглинання зразка 2.3-денного ізотопу 93238,
отриманого за ідентичних умов. Потім було знайдено зростання числа α-часток, яке могло бути викликане
елементом 94 (плутоній), що є дочірнім продуктом дводобового елемента 93.
хімічні дослідження тривали два місяці, і 24.02.1941 були проведені вирішальні досліди з
окислення передбачуваного елемента 94 за допомогою пероксиддисульфат-іонів та іонами срібла як
каталізатора.
Ідентифікація ізотопу показала, що він має місце реакція 92 U 238 (d ,2n)93 Np 239:

U + 12H → 239
93 Np + 2n
з наступним розпадом ізотопу нептунія-239:
β − 2,1 добу
α, 86, 4 років
239
⎯→238
93 Np ⎯⎯ ⎯
94 Pu ⎯⎯ ⎯⎯→
У травні 1940 р. властивості плутонію були передбачені Льюїсом Тернером (Louis Turner).
У 1941 і на початку 1942 в Каліфорнійському університеті вивчалися хімічні властивості.
плутонію з індикаторними кількостями. Було встановлено, що вищий стан окислення може бути
отримано обробкою нижчого стану окислення такими окислювачами, як персульфат у присутності
іонів срібла, біхромат або перманганат калію. Нижчий стан валентності плутонію виходить шляхом
відновлення сірчистим ангідридомабо бромід-іоном. Плутоній у водних розчинах не
відновлюється до металу за допомогою цинку і плутоній не утворює леткий чотириоксид.
Стабільний нижчий стан плутонію - чотиривалентний, тому що він співсаджується з Th(JО3)4. Для
відділення великих кількостей уранілнітрату від плутонію була використана ефірна екстракція.
Виявилося, що плутоній у його вищого ступенявалентності подібний до шестивалентного урану, а в нижчій чотиривалентному урану і торію.
У 1941 шляхом опромінення великих кількостей солі урану швидкими нейтронами, що генеруються
на циклотроні було отримано більш важливий ізотоп плутонію, 239Pu, з періодом напіврозпаду 24000 років.
Кеннеді, Сіборг, Валь та Сегре знайшли 239Рu як продукт розпаду 239Np. Для отримання 239Np брали 1.2 кг
уранілнітрату, розподіляли у великому парафіновому блоці, поміщеному за берилієвою мішенню 60дюймового циклотрону, і опромінювали дві доби нейтронами, отриманими за допомогою пучка дейтонів.
Опромінений нейтронами уранілнітрат перероблявся на екстракційній скляній установці,
застосуванням як екстрагент діетилового ефіру. 239Np був виділений за допомогою окислювально-відновного циклу. Як носії були використані фториди лантану та церію; для видалення
залишків урану процес переосадження повторювали шість разів. 28.03.1941 було доведено, що 239
піддається поділу повільними нейтронами з перетином, що перевищує перетин для 235U, причому
нейтрони, отримані у процесі розподілу, придатні отримання наступних актів розподілу, тобто.
дозволяють розраховувати здійснення ланцюгової ядерної реакції. Негайно було розпочато роботи з
створення плутонієвої атомної бомби.
Дослідження, проведені в Каліфорнійському університеті в 1941-42, дозволили нагромадити.
значні дані про хімічні властивості плутонію, і в 1942 було отримано чисту сполуку
плутонію.
Наступний етап історії плутонію пов'язані з отриманням їх у великих кількостях, що стало
можливим після будівництва та пуску 2.12.1942 Фермі та Сциллардом атомного уран-графітого реактора,
який виявився потужним джерелом теплових нейтронів. Для синтезу ізотопу 239Pu використовувалися дві
ядерні реакції:
235

238
U + n → 239 U → 239 Np → 239 Pu
Реактор складався з блоків металевого урану, оксиду урану (все – природного ізотопного складу)
та графіту. Реактор споруджений співробітниками металургійної лабораторії на тенісному корті під
трибунами стадіону університету Чикаго. Оскільки не було передбачено охолодження та захист від
випромінювання, потужність обмежувалася 0,5 ват (часом - сотні ват). Така потужність цілком достатня
для виробництва значних кількостей плутонію в порівнянні з тим, що можна отримати при
бомбардування на циклотроні. Цей реактор був демонтований і знову зібраний в Аргонській
металургійної лабораторії, де він працював у більш інтенсивному режимі, але для напрацювання збройного
плутонію він ніколи не використовувався.
238
92

І.М.Бекман ПЛУТОНІЙ Навчальний посібник Розділ 1 http://profbeckman.narod.ru/Pluton.htm

Рис. 2. Перший промисловий уран-графітовий реактор у Хенфорді (штат Вашингтон, США).
Перші чисті хімічні сполуки плутонію, вільні від матеріалів носія та інших
сторонніх забруднень, отримані 18.08.1942 Каннінгемом та Р.Вернером шляхом обробки плутонієвого
концентрату в 10 мг рідкісних земель (Се4+, La3+). Вдалося синтезувати гідрооксис Pu(OH)4 у кількості 5
мкг, подвійний фторид 239Pu та йодат 239Pu. Перше зважування чистого з'єднання плутонію відбулося
10.09.1942, коли 2.77 мкг оксиду плутонію були зважені Каннінгеном та Вернером. Перші
великомасштабні операції з виділення плутонію з кількох сотень фунтів опроміненого урану на
циклотронах Каліфорнійського та Вашингтонського університетів здійснено влітку 1942 р. Коменом та
Яффе. Плутоній відокремлювався від урану та продуктів поділу за допомогою екстракції діетиловим ефіром.
Остаточне очищення плутонію вели лантан-фторидним методом.
У результаті цих операцій було отримано кілька сотень мікрограм плутонію. До осені 1943
циклотронне бомбардування було єдиним джерелом плутонію, і за весь період досліджень від
початку відкриття плутонію було отримано близько 2000 мкг або 2 мг плутонію. Дослідження радіохіміків
створили основу для подальшого розвиткупроцесу, використаного для відділення плутонію від урану та
продуктів поділу у виробничих умовах.
Коли з'явилися грамові кількості плутонію, основні дослідження були перенесені до Лос-Аламосу.
Першим реактором, на якому отримали плутоній, був окриджський (штат Теннесі) реактор,
містить тони металевого урану. Уран можна було видаляти та замінювати новим. Реактор охолоджувався
повітряним дмухом. Він був пущений у жовтні 1943, у січні 1944 видав міліграмові кількості
плутонію, а в лютому 1944 р. постачав його вже грамами.
На Хендворському заводі (штат Вашингтон), пущеному наприкінці 1944, були встановлені охолоджувані
водою уран-графітові реактори. Цей завод почав випускати плутоній на початку 1945 року. Різниця в масштабі
між лабораторними дослідженнями та першим заводом у Хенфорді була оцінена множником 109.
Створене виробництво дозволило отримати 2.02.1945 плутоній у кількостях, достатніх для
виготовлення кількох атомних бомб.
У нашій країні історія збройового плутонію розпочалася у грудні 1946 року, коли в Москві на території
Лабораторії №2 (нині ДНЦ «Курчатівський інститут») у Покровському-Стрешневі запрацював створений під
керівництвом І.В.Курчатова невеликий ядерний реактор Ф-1. Хімічну переробку опромінених у
реакторі уранових блоків – стрижнів довжиною 100 мм та діаметром 32 або 35 мм в алюмінієвій оболонці –
спочатку випробували на установці У-5 в розташованому поряд НДІ-9 (нині ФГУП НДІ неорганічних
матеріалів ім. О.О.Бочвара). Потім неподалік м. Киштим поблизу Челябінська було пущено Комбінат № 817
(нині ВО «Маяк»), до складу якого увійшли три заводи: «А» – ядерний реактор, «Б» – радіохімічний
завод та «В» - металургійний завод. Перший промисловий ядерний реактор почав працювати на повну
потужність 22.06.1948, розчинення опромінених блоків на заводі «Б» розпочалося 22.12.1948, а перший злиток
металевого плутонію – масою всього 8,7 г – було отримано відновленням хлориду плутонію на заводі
"В" 14.04.1949. Плутоній для виготовлення атомної бомби РДС-1 був дві напівсфери загальної
масою 6 кг, покриті тонкою нікелевою плівкою. У середині 1949 р. їх відправили до Арзамас-16 (КБ-11,
нині (ВНДІ експериментальної фізики), а потім на Семипалатинський полігон. Лише на полігоні провели
остаточне складання бомби: у її центральну частину вмонтували полоній-бериллієве джерело
нейтронів. Перший випробувальний вибух здійснено 29.08.1949.

І.М.Бекман ПЛУТОНІЙ Навчальний посібник Розділ 1 http://profbeckman.narod.ru/Pluton.htm

Хімічна переробка опромінених уранових блоків (ув'язнених у алюмінієві контейнери)
полягала в їх розчиненні, відділенні урану та плутонію від основної маси радіоактивних продуктів.
поділу, поділу урану та плутонію та виділення їх сполук у чистому вигляді. Зміст плутонію в
опромінених блоках становило 100-200 г на тонну урану. Блоки були сильно радіоактивними та містили
велика кількість γ-випромінювачів (внутрішня поверхня деяких апаратів на радіохімічному
заводі вбирала стільки радіоактивних речовин, що випускала слабке, але помітне у темряві свічення).
Розчин блоків вели в азотній кислоті. Процес супроводжувався виділенням бурих парів отруйних
оксидів азоту та радіоактивних ізотопів йоду, криптону та ксенону. Для зменшення об'єму розчинів
спочатку в слабкій кислотірозчиняли алюміній, а потім підвищували концентрацію та переводили в розчин
уран. З нітратних розчинів плутоній вилучали осадовими методами. Оскільки концентрація
плутонію в первинному розчині була дуже низькою, його соосаждали з уранілацетатом та трифторидом
лантану, знову розчиняли опади та поступово підвищували концентрацію в розчинах. При цьому вводили
окислювачі або відновники і переводили плутоній то один, то інший стан окислення. на
коні

Розмір: px

Починати показ зі сторінки:

Транскрипт

1 До змісту І.М. Бекман СИНЕРГЕТИКА Лекція 2. Динамічні системи Зміст 2.1 Порядок і хаос 2.2 Види складних систем 2.3 Відкриття детермінованого хаосу 2.4 Елементи теорії динамічних систем 2.5 Приклади динамічних систем з детермінованим хаосом Синергетика коротка назва теорії мірою хаотичних). У світі є лад і впорядковані структури, є безлад і випадкові явища, є хаос, тобто. безлад в абсолюті. Є детермінований хаос, тобто. безладдя, тією чи іншою мірою впорядковане, з випадковими процесами, які частково зумовлені і навіть закономірні. Інтерес до динамічного хаосу пов'язаний з тим, що це явище зустрічається в нелінійних системах різної фізичної природи і знаходить багато практичних додатків. Хаотичні коливання можуть виникати в строго детермінованих системах, але мають ряд властивостей, які роблять їх схожими на випадкові коливання. Утворюючи новий клас складних, широкосмугових сигналів, що легко реалізуються в електронних схемах, вони претендують у радіотехніці на роль переносників інформації для систем потайного зв'язку. У цій лекції ми на якісному рівні розглянемо особливості детермінованого хаосу стосовно динамічних (дисипативних) систем. 2.1 Порядок і хаос У природі та суспільстві безперервно відбувається боротьба порядку та хаосу. Порядок гармонійний, очікуваний, передбачуваний стан чи розташування чогось. Упорядкованість - характеристика структури, що позначає ступінь взаємної узгодженості її елементів. У цій лекції порядок (детермінізм) означатиме можливість однозначного передбачення стану системи будь-якої миті часу, з початкових умов. Хаос аперіодична детермінована поведінка динамічної системи, дуже чутлива до початкових умов. Нескінченно мале обурення граничних умов для хаотичної динамічної системи призводить до кінцевої зміни траєкторії у фазовому просторі. Ми вважатимемо, що хаос граничний випадок безладу. Далі хаос для нас означатиме повну непередбачуваність системи, нерегулярність руху, неповторність траєкторій. Зазвичай порядок чітка, яка підкоряється певному порядкузміна подій в навколишньому просторі та в часі. Теоретично динамічних систем під порядком розуміють детермінований процес, тобто. процес, кожен крок якого передбачений деякими закономірностями, які добре відомі, так що зі 100% ймовірністю можна передбачити еволюцію системи. Хаотичний процес випадково керувати ним не можна. Передбачити розвиток такого процесу неможливо, можна лише порушувати питання про ймовірність того чи іншого варіанта його еволюції. Прикладами хаотичних процесів є: метання кульки в рулетці, броунівський рух

2 частинки під випадковими ударами «сусідів», безладні вихори турбулентності, що утворюються при перебігу рідини з досить великою швидкістю, поїзди, що йдуть, коли хочуть і куди хочуть. Важливим виглядомХаос є білий шум (шумовий хаос або дробовий шум). Шум безладні коливання різної фізичної природи, що відрізняються складністю тимчасової та спектральної структури. Може бути стаціонарним та нестаціонарним. p align="justify"> Білий шум стаціонарний шум, спектральні складові якого рівномірно розподілені по всьому діапазону задіяних частот. Приклад білого шуму є шум близького водоспаду. Назву отримав від білого світла, що містить електромагнітні хвилі частот всього видимого діапазону електромагнітного випромінювання. Слід розрізняти випадкові та хаотичні рухи. Перший термін відноситься до ситуацій, коли діючі сили невідомі чи відомі деякі статистичні характеристики параметрів. Термін «хаотичний» застосовується у тих детермінованих завданнях, де відсутні випадкові чи непередбачувані сили чи параметри, і траєкторії рухів яких виявляють сильну залежність від початкових умов. Рис. 1. а Рух кульки після кількох зіткнень з бортами більярдного столу еліптичної форми. Цей рух можна описати дискретним набором чисел (s i, j i), що називається відображенням; б рух частки у парі потенційних ям під впливом періодичного збудження. За певних умов частка періодично перескакує зліва (L) направо (R) і назад: LRLR... або LLRLLR... і т.д. За інших умов перескоки хаотичні, тобто. послідовність символів L та R неупорядкована. Класичними прикладами хаосу є азартні ігри. Однак азартні ігри є недетермінованим процесом, оскільки в них багато випадковостей. Хоча теорія хаотичних динамічних систем і використовує методи теорії ймовірності, але не є частиною математичної статистики. Хаос деякий випадковий процес, що спостерігається в динамічних системах, не схильних до впливу шумів або будь-яких випадкових сил. Виявилося, що багато цілком детермінованих систем можуть мати хаотичну непередбачувану поведінку. "Випадковий" процес виявляється рішенням одного або декількох простих, диференціальних рівнянь. Звідси виникає проблема непередбачуваності довгострокової поведінки детермінованих хаотичних систем та необхідності використання статистичного опису. На рис. 1 показано два приклади механічних систем, динаміка яких є хаотичною. Перший приклад - експеримент із кулею, яка вдаряється і відскакує від сторін еліптичного більярдного столу. Якщо зіткнення пружні, то енергія зберігається, але для еліптичних столів куля блукає столом, ніколи не повторюючи свою траєкторію. Інший експеримент - куля в потенціалі, що складається з двох ям. Якщо стіл, на якому стоїть прилад, не вагається, то така куля має два стани рівноваги. Однак, якщо стіл вагається, здійснюючи періодичний рух досить великої амплітуди, куля починає безладно перестрибувати з однієї ями до іншої; таким чином, періодичний вплив на його частоті викликає невпорядкований відгук з широким спектром частот. Порушення безперервного спектру частот, розташованого нижче частоти впливу, є однією з особливостей хаотичних коливань (рис. 2). Рис. 2. Спектр потужності (перетворення Фур'є) хаотичного руху на парі потенційних ям. Інша властивість хаотичних систем - втрата інформації про початкові умови. Нехай координата

3 виміряно з точністю Dх, а швидкість - з точністю Dv. Розділимо площину координата-швидкість (фазову площину) на комірки площею DхDv (рис. 3). Якщо початкові умови задані точно, то система знаходиться десь у заштрихованій ділянці на фазовій площині. Але якщо система хаотична, то ця невизначеність поступово зростає, збільшуючись до розміру N(t) осередків (рис. 3). Збільшення невизначеності, яке описується законом ht N»N0e, (1) є другою характерною властивістю хаотичних систем. Постійна h пов'язана з ентропією (теорія інформації) та показником Ляпунова (міра швидкості розбігання близьких траєкторій системи). Рис. 3. Ілюстрація збільшення невизначеності, чи втрати інформації у динамічній системі. Заштрихований квадрат у час t=t 0 показує невизначеність знання початкових умов. Між крайнощами: порядком і хаосом розташовується широка область детермінованого (якоюсь мірою впорядкованого) хаосу. Детермінований хаос відноситься до обмеженої випадковості, ним можна керувати і навіть прогнозувати на короткі проміжки часу. Нагадаємо, що принцип детермінізму свідчить: якщо ми знаємо поточний стан будь-якої системи та закони її еволюції, то ми можемо передбачити майбутню поведінку цієї системи. Приклад: класичний ньютонівський «механічний» Всесвіт, в якому становище планет схоже на рух стрілок багатострілочних годинників. Тут майбутнє передбачається однозначно. Проте, у природі є системи, повністю детерміністичні в ньютонівському сенсі, та його майбутнє певному інтервалі параметрів принципово не можна розрахувати. Це явище відоме як детермінований хаос, чи теорія хаосу. Ми під детермінованим хаосом розумітимемо систему, яка без шумів і випадковостей поводиться хаотично. Розглянемо ситуації, коли випадковий процес стає детермінованим, а в детермінованому процесі виявляються елементи випадкової, хаотичної поведінки. Прикладами подібних систем є атмосфера, турбулентні потоки, деякі види аритмій серця, біологічні популяції, суспільство як система комунікацій та його підсистеми: економічні, політичні та інші соціальні системи, частково кристалічні полімери та ін. Характерний приклад детерміністичного хаосу вода гірських потоків. Якщо кинути в цю річку два листки, один за одним, то нижче за течією вони, найімовірніше, виявляться далеко один від одного. У системі, подібної до цієї, невелика відмінність у початкових умовах (становище листків) призводить до великого розходження на виході. Чи можемо ми передбачити результат більярдної гри? Ні! Навіть завдання з більярдною кулею, що відскакує від бортів на рівному столі, розчиняється в невизначеності внаслідок неточностей у вимірі кута, під яким куля наближається до борту на самому початку. Поведінка детермінованої системи видається випадковою, хоча вона визначається детермінованими законами. Причиною появи хаосу є нестійкість (чутливість) по відношенню до початкових умов і параметрів: мала зміна початкової умови з часом призводить до більших змін динаміки системи (рис. 4). Так як початковий стан фізичної системи не може бути заданий абсолютно точно (наприклад, через обмеження вимірювальних інструментів), завжди необхідно розглядати деяку (нехай і дуже маленьку) область початкових умов. При русі в обмеженій області простору експоненційна розбіжність з часом близьких орбіт призводить до перемішування початкових точок по всій області. Після такого перемішування безглуздо говорити про координату частинки, але можна знайти ймовірність її знаходження у певній точці.

4 Мал. 4. Стійкі та нестійкі системи. Прикладом нестійкої динамічної систем є двовимірний газ Генріха Лоpенца (1902). Він складається з гуртків однакового радіусу розсіювачів, випадково розкиданих по площині, і матеріальної точки (частки), яка рухається з постійною швидкістюміж ними, відчуваючи щоразу дзеркальне відображення при зіткненні. У нестійкості такої системи можна переконатися, розглянувши дві близькі траєкторії частинки, що виходять з однієї точки. З рис. 5 видно, що після двох актів розсіювання кут між траєкторіями, спочатку менший 1, стає більше π/2: спочатку близькі траєкторії дуже швидко розходяться, тобто. відбувається "забуття" часткою початкових умов. ("забуття" означає, що при малому варіюванні початкових умов статистичні властивостітраєкторій не змінюються). За малих часів передбачення поведінки системи ще можливі, однак, починаючи з певного моменту, доводиться використовувати статистичний підхід. Рис. 5. "Втрата пам'яті" та розбіжність близьких траєкторій внаслідок нестійкості руху у двовимірному газі Г.Лоренця. Важливою обставиною є той факт, що рівень упорядкованості хаосу досить часто можна розрахувати. Міру дає геометрія фракталів. Цим ми займемося у наступних лекціях цього курсу. 2.2 Види складних систем Завдання передбачення поведінки досліджуваної системи у часі та просторі на основі певних знань про його початковий стан зводиться до знаходження деякого закону, який дозволяє за наявною інформацією про об'єкт у початковий момент часу у певній точці простору визначити його майбутнє у будь-який наступний момент часу . Залежно від ступеня складності самого об'єкта цей закон може бути детермінованим або ймовірним, може описувати еволюцію об'єкта тільки в часі, тільки в просторі, а може описувати просторово-часову еволюцію. Існують різні типи систем. Консервативна система - фізична система, робота консервативних сил якої дорівнює нулю і для якої має місце закон збереження механічної енергії, тобто сума кінетичної енергіїта потенційної енергії системи постійна. Об'єм у фазовому просторі постійний. Прикладами консервативної системи служить сонячна система і маятник, що коливається (якщо знехтувати тертям в осі підвісу і опором повітря). Динамічна система математична абстракція, призначена для опису та вивчення еволюції систем у часі. Це система, що має стан. Вона визначає динаміку деякого процесу, саме: процес переходу системи з одного стану до іншого. Фазовий простір системи - сукупність всіх допустимих станів динамічної системи. Таким чином, динамічна система характеризується своїм початковим станом і законом, яким система переходить з початкового стан до іншого. Динамічна система характеризується стійкістю (здатність системи як завгодно довго залишатися біля положення рівноваги або на заданому різноманітті) і грубістю (збереження властивостей при малих змінах структури динамічної системи; «груба система це така, якісний характер рухів якої не змінюється при досить малій зміні параметрів.

5 Приватним випадком динамічної системи є диссипативна система - відкрита динамічна система, в якій спостерігається приріст ентропії. Рис. 6. Перемішування кольорового пластиліну в кульці після послідовних ітерацій відображення «Підкова Смейла», тобто, сплющування та складання навпіл. Дисипативна система - відкрита система, яка оперує далеко від термодинамічної рівноваги. Це стійкий стан, що виникає у нерівноважному середовищі за умови дисипації (розсіювання) енергії, яка надходить ззовні. Характеризується спонтанною появою складної, найчастіше хаотичної структури. Відмінна риса таких систем незбереження обсягу у фазовому просторі. Динамічна система - будь-який об'єкт або процес, для якого однозначно визначено поняття стану як сукупності деяких величин в даний момент часу і заданий закон, який описує зміну (еволюцію) початкового стану з часом. Цей закон дозволяє за початковим станом прогнозувати майбутній стан динамічної системи. Математичний апарат, що використовується для кількісного опису закону еволюції динамічних систем, ґрунтується на використанні диференціальних рівнянь, дискретних відображень, теорії графів, марківських ланцюгів тощо. Математична модель динамічної системи вважається заданою, якщо введені параметри (координати) системи, що визначають однозначно її стан, та вказано закон еволюції. Таким чином, динамічна система = набір параметрів + оператор еволюції. Еволюція системи може описуватися і диференціальними рівняннями та відображеннями (рівняннями з дискретним часом). Динамічні системи можуть описуватись лінійними ( лінійні системи) або нелінійними (нелінійними системами) рівняннями. Можливі системи з безперервним та дискретним (каскади) часом. Важливу групу динамічних систем представляють системи, у яких можливі коливання. Розрізняють лінійні та нелінійні коливальні системи, зосереджені та розподілені, консервативні та дисипативні, автономні та неавтономні. Особливий клас представляють автоколивальні системи. Детермінований хаос абстрактне математичне поняття, що означає детермінований процес у детермінованій нелінійній системі, обумовлений властивістю даної системи виявляти нестійкість, чутливу залежність динаміки системи від малих збурень. Зауваження. Слід розрізняти детермінований хаос у диссипативних системах (наприклад, збуджуваний маятник з тертям) і в консервативних системах (наприклад, рух планет, що підпорядковується рівнянням гамільтонів). Гамільтоніан, оператор Гамільтона оператор повної енергії, H = E + U, де E оператор кінетичної енергії, U оператор потенційної енергії. Синонімом детермінованого хаосу є динамічний хаос явище теорії динамічних систем, у якому поведінка нелінійної системи виглядає випадковим, як і раніше, що його визначається детерміністичними законами. Обидва терміни повністю рівнозначні і використовуються для вказівки на суттєву відмінність хаосу як предмета наукового вивченняу синергетиці від хаосу у повсякденному значенні. Зворотним до динамічного хаосу є динамічна рівновага та явища гомеостазу.

6 Важливою обставиною є те, що у диссипативних системах хаотична динаміка розвивається у межах певної структури. Цю структуру важко вивчати звичайними методами вивчення динаміки, наприклад відкладаючи залежність відгуку від часу або отримуючи частотний спектр. Порядок слід шукати у фазовому просторі (по осях якого відкладено координату та швидкість). Принагідно можна виявити, що хаотичні рухи мають фрактальну структуру. Детермінований хаос характеризується наявністю періодичного процесу, траєкторія якого відтворюється, тобто. після повторення початкового стану знову відтворюється та сама траєкторія, незалежно від її складності. Це дозволяє за параметрами одного із періодів повторення траєкторії прогнозувати майбутнє. Однак при цьому необхідно враховувати властивості рівноважних та нерівноважних систем. Нерівноважні відкриті системидопускають нові структурні стани. Дисипативні системи, незалежно від виду стійкості, викликають зменшення фазового обсягу в часі до нуля. Отже, дисипативна система може переходити в упорядкований стан внаслідок нестійкості попереднього неупорядкованого стану. Спочатку стійка диссипативна структура в процесі своєї еволюції досягає критичного стану, що відповідає порогу стійкості структури, починає осцилювати, а флуктуації, що виникають в ній, призводять до самоорганізації нової, більш стійкої структури на даному ієрархічному рівні еволюції. При цьому важливим є той факт, що як і в біологічних системах, переходи стійкість-нестійкість-стійкість контролюються кумулятивним зворотним зв'язком. Вона відрізняється від регульованого ззовні зворотним зв'язком тим, що дозволяє самоорганізовувати таку внутрішню структуру, яка підвищує рівень її організації. Таким чином, кумулятивний зворотний зв'язок за рахунок накопиченої внутрішньої енергії дозволяє системі здійснювати не просто зворотну взаємодію, що враховує отриману інформацію про попередній критичний стан, а й забезпечуватиме збереження або підвищення організованості структур. Прикладами хаотичних динамічних систем можуть бути підкова Смейла та перетворення пекаря. Підкова Смейла запропонований Стівом Смейлом приклад динамічної системи, що має нескінченну кількість періодичних точок (і хаотичну динаміку), причому ця властивість не руйнується при малих збуреннях системи. Рис. 7. Еволюція підкови Смейла. Згідно з алгоритмом "підкова Смейла", одиничний квадрат стискається по одному напрямку (по горизонталі) і розтягується по іншому (по вертикалі), причому площа при цьому зменшується. Потім смужка, що вийшла, згинається у формі підкови і вкладається назад у вихідний квадрат. Ця процедура повторюється багато разів. У межі утворюється безліч з нульовою площею, який має у поперечному перерізі канторову структуру окремий випадок фрактальної геометрії (див. курс лекцій І.М. Бекмана "Фрактали"). Вигляд атрактора Смейла ми розглянемо далі у цій лекції. Рис. 8. Відображення підкова Смейла: витягування, стиснення та складання після великої кількості ітерацій відображення призводять до фрактальної структури. Відображення пекаря є нелінійним відображенням одиничного квадрата на себе, яке демонструє хаотичну поведінку. Назва «відображення пекаря» походить через його схожість із замішуванням тіста. Так як відображення складається з розтягування вздовж осі x і стиснення вздовж y, то близькі траєкторії експоненційно розходяться в горизонтальному

7 напрямку та зближуються у вертикальному. З випадкової символічної послідовності будується хаотична траєкторія, яка проходить як завгодно близько до кожної точки квадрата (ергодичність). Під впливом відображення кожна обрана область перетворюється на сукупність тонких горизонтальних смуг, яка через кілька ітерацій поступово покриє одиничний квадрат (перемішування). Перетворення оборотне, при ітераціях у зворотному напрямку будь-яка область розбиватиметься на вузькі вертикальні смужки і перемішається по всьому квадрату. Ще приклад детермінованого хаосу більярду Адамара, тобто. більярд, в якому замість плоского столувикористовується закручена поверхня негативної кривизни. Обчислення траєкторії руху кулі по більярдному столу Адамара «абсолютно непридатне», оскільки маленька невизначеність, неодмінно присутня у початкових умовах, призводить до великої невизначеності для передбаченої траєкторії, якщо ми зачекаємо досить довго, що прогнозує марним. Рис. 9. Відображення пекаря. Перетворення складається з однорідного стиснення квадрата в 2 рази у вертикальному напрямку та розтягування у горизонтальному. Далі праву половину слід відрізати та покласти на ліву. На малюнку показано дію двох перших ітерацій. Системи детермінованого хаосу дозволяють інакше ставитися до використання статистичних підходів до підвищення надійності експерименту. Відповідно до традиційної матстатистики, що більше ми проведемо паралельних експериментів, то надійніше буде встановлено досліджувані залежності. До детермінованим системамце абсолютно не застосовно тут має місце ефект принципової невідтворюваності експерименту. Ми можемо ставити один і той же експеримент, точніше відтворювати початкові умови, і отримувати повторювані результати, але одного разу (передбачити його ми не можемо) спостереження почнуть давати зовсім несхожі результати. Це з явищем розбігання орбіт, яке ілюструється щойно розглянутими трьома прикладами. 2.3 Відкриття детермінованого хаосу Розгляд детермінованого хаосу почнемо з теорії стохастичної поведінки динамічних дисипативних систем. Нас цікавитиме випадкова поведінка повністю детермінованої системи, еволюцію якої в часі можна точно передбачити (і це підтверджується у широкому інтервалі зміни параметрів), але яка за деяких значень початкових умов (причому дуже незначних) починає флуктуювати випадковим чином і її поведінка стає непередбачуваною, хаотичною . Як показує повсякденний досвід, для багатьох фізичних систем малі зміни початкових умов призводять до малих змін результату. Так, наприклад, шлях автомобіля мало зміниться, якщо кермо лише трохи повертати. Але є ситуації, котрим справедливо протилежне. Сторона, яку впаде монета, поставлена ​​на ребро, залежить від слабкого дотику. Послідовність «орлів» і «решічок» при підкиданні монети виявляє нерегулярне, чи хаотичне, поведінка у часі, оскільки вкрай малі зміни початкових умов можуть призвести до різних результатів. Ще порівняно недавно вважали, що випадкове поведінка системи - це виняток, а майже всі системи детерміновані. Однак зараз зрозуміло, що висока чутливість до початкових умов, що призводить до хаотичної поведінки в часі, типова властивістьбагатьох систем. Така поведінка, наприклад, виявлена ​​в клітинах серця, що періодично стимулюються, в електронних ланцюгах, при виникненні турбулентності в рідинах і газах, в хімічних реакціях, в лазерах і т. д. З точки зору математики у всіх нелінійних динамічних системах з числом ступенів свободи більше двох (особливо у багатьох біологічних, метеорологічних та економічних моделях) можна

8 виявити хаос і, отже, досить великих часах їх поведінка стає непередбачуваним. Для фізичної системи, поведінка якої за часом детерміновано існує правило як диференціальних рівнянь, що визначає її майбутнє з заданих початкових умов. Природно припустити, що детерміноване рух досить регулярно і далеке від хаотичності, оскільки послідовні стани безперервно розвиваються одне з іншого. Це означає, що у класичній механіці всі рівняння мають бути інтегровані. Але вже в 1892 р. А. Пуанкаре знав, що в деяких механічних системах, еволюція яких у часі визначається рівняннями Гамільтона, можлива непередбачувана хаотична поведінка. Прикладом є неінтегрована задача трьох тіл, яка в певних умовах призводить до хаотичних траєкторій. Приватним випадком завдання трьох тіл є рух пробної частки гравітаційному полі двох нерухомих точкових мас. Навіть якщо рух відбувається в одній площині, траєкторія частки виглядає надзвичайно складною та заплутаною. Вона то обвивається навколо однієї з мас, то несподівано перескакує до іншої (рис. 10). Спочатку близькі траєкторії дуже швидко розходяться. Рис. 10. Рух пробної частки поблизу двох однакових мас. Вгорі показано початкова частинатраєкторії, а внизу її продовження. Наразі відомо, що неінтегрованих систем у механіці багато. Через 60 років після Пуанкаре Колмогоров, 1954; Арнольд, 1963 і Мозер, 1967 довели, що у класичній механіці рух у фазовому просторі перестав бути ні повністю регулярним, ні повністю нерегулярним, а тип траєкторії залежить від вибору початкових умов (зараз це твердження зветься теореми КАМ). Таким чином, стійкий регулярний рух у класичній механіці виняток. Американський метеоролог Едвард Лоренц (1961) при моделюванні нерівномірно прогріваного атмосферного повітря виявив, що навіть проста система з трьох пов'язаних нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку може призвести до абсолютно хаотичних траєкторій (це перший приклад детермінованого хаосу). Е. Лоренц обчислював значення рішення протягом тривалого часу, а потім зупинив рахунок. Його зацікавила деяка особливість рішення, яка виникала в середині інтервалу рахунку, і тому він повторив обчислення з цього моменту. Результати повторного рахунку, очевидно, збіглися б з результатами початкового рахунку, якби початкові значення для повторного рахунку точно були дорівнювали отриманим раніше значенням для цього моменту часу. Лоренц трохи змінив ці значення, зменшивши число вірних десяткових знаків. Помилки, введені в такий спосіб, були вкрай невеликі. Знову пораховане рішення деякий час добре узгоджувалося зі старим. Однак, у міру рахунку розбіжність зростала, і нове рішення все менше нагадувало старе. Те, що спостерігав Лоренц, тепер називається суттєвою залежністю від початкових умов основною рисою, властивою хаотичній динаміці. Істотну залежність іноді називають ефектом метелика. Така назва стосується неможливості робити довгострокові прогнози погоди. Сам Лоренц роз'яснив це поняття у статті "Предбачуваність: чи може помах крилець метелика у Бразилії призвести до утворення торнадо в Техасі?". Може! Далі під детермінованим хаосом ми маємо на увазі нерегулярний, або хаотичний рух, породжений нелінійними системами рівнянь, для яких динамічні закони однозначно визначають еволюцію в часі стану системи за відомої передісторії. Детермінований хаос = нелінійна система рівнянь + нестійкість регулярного рухудетермінований хаос відрізняється складними траекторіями, що не повторюються, і непередбачуваністю поведінки системи за великих часів. Від випадкового процесу детермований хаос відрізняється тим, що в ньому нерегулярність походить із самої системи, а не від зовнішнього фактора(Шум, флуктуації).

9 Мал. 11. Виникнення хаосу за часів. Прикладами нелінійних систем, в яких проявляється детермінований хаос, є: маятник з збудженням, рідини поблизу порогу виникнення турбулентності, лазери, прилади нелінійної оптики, перехід Джозефсона (Ефект Джозефсона явище протікання надпровідного струму через тонкий шар дих, системи, що включають багато тіл (завдання трьох тіл), прискорювачі частинок, взаємодіючі нелінійні хвилі в плазмі, біологічні моделідинаміки популяцій, стимульовані клітини серця та ін. Як відомо, лінійні диференціальні або різницеві рівняння можуть бути вирішені перетворенням Фур'є і не призводять до хаосу. А нелінійні рівняння до хаосу можуть наводити, але важливо розуміти, що нелінійність необхідна, але не достатня умова виникнення хаотичного руху. Хаотична поведінка, що спостерігається в часі, виникає не через зовнішні джерела шуму, не через нескінченне число ступенів свободи і не через невизначеність, пов'язану з квантовою механікою (розглянуті системи суто класичні). Дана причина нерегулярності визначається властивістю нелінійних систем експоненційно швидко розводити спочатку близькі траєкторії в обмеженій області фазового простору (наприклад, тривимірного в системі Лоренца). Неможливо передбачити тривалу поведінку таких систем, оскільки початкові умови можна встановити лише з кінцевою точністю, а помилки експоненційно наростають. При вирішенні такої нелінійної системи рівнянь на комп'ютері, результат все більше далеких часахзалежить від дедалі більшої кількості цифр у (ірраціональних) числах, що становлять початкові умови. Оскільки цифри у ірраціональних числах розподілені нерегулярно, траєкторія стає хаотичною. Тут виникає кілька фундаментальних питань: - Чи можна передбачити (наприклад, за видом відповідних диференціальних рівнянь), чи в системі реалізується детермінований хаос? - Чи можна визначити поняття хаотичного руху суворіше з погляду математики і розробити йому кількісні характеристики? - Який вплив цих результатів на різні областіфізики? Чи означає існування детермінованого хаосу кінець довготривалої передбачуваності у фізиці для нелінійних систем або за хаотичним сигналом можна ще щось дізнатися? 2.4 Елементи теорії динамічних систем Перейдемо тепер до викладу теоретичних засадопис динамічних систем. Однак, спочатку нагадаємо про поняття, на яких базується використовуваний у цій галузі математичний апарат. Фазовий простір простір, у якому представлено безліч всіх станів системи, отже кожному можливому стану системи відповідає точка фазового простору. Фазовий простір = простір значень параметрів системи. Траєкторія = набір точок у фазовому просторі, послідовно відвідуваних системою. Особливість фазового простору полягає в тому, що стан як завгодно складної системипредставляється у ньому єдиною точкою, а еволюція цієї системи переміщенням цієї точки. При розгляді декількох однакових систем задається кілька точок у фазовому просторі. Сукупність таких систем називають статистичним ансамблем. За теоремою Ліувіля, замкнута крива (або поверхня), що складається з точок фазового простору гамільтонової еволюціонує так, що площа (або обсяг) укладеного в ній фазового простору зберігається в часі.

10 Теорема Ліувіля: функція розподілу гамільтонової системи стала вздовж будь-якої траєкторії у фазовому просторі. Теорема стверджує збереження у часі фазового об'єму, чи густини ймовірності у фазовому просторі. Гамільтонова система окремий випадок динамічної системи, що описує фізичні процеси без диссипації. У ній сили залежать від швидкості. Динамічна система – система, що володіє станом. Вона визначає динаміку процесу переходу системи з одного стану до іншого. Фазовий простір системи - сукупність всіх допустимих станів динамічної системи. Динамічна система характеризується своїм початковим станом і законом, яким система переходить із початкового стан до іншого. Динамічна система - система, моделлю якої є система звичайних диференціальних рівнянь. Стійка динамічна система - динамічна система, стан якої повністю визначається початковими умовами та зовнішніми впливами у процесі розвитку. У консервативній системі елемент у фазовому просторі лише змінює форму, але зберігає обсяг (виконується теорема Ліувіля), що визначає характер еволюції та тип хаотичності, що виникає у консервативних системах. Консервативні системи характеризуються постійним у часі запасом енергії. У механіці їх називають гамільтоновими. Механічні коливальні системи без тертя відносяться до консервативних систем. У консервативних системах хаотичні орбіти прагнуть однорідно заповнити частини деякого підпростору у фазовому просторі, тобто. вони характеризуються однорідною щільністю ймовірності обмежених областях фазового простору. Рис. 12. Збереження фазового обсягу при еволюції гамільтонової системи. Приклад простою консервативною системою з одним ступенем свободи є маятник. Якщо на коливання маятника тертя не має помітного впливу, то гамільтоніан маятника довжини l і маси m дорівнює сумі потенційної Π= mglcosϕ та кінетичної K=p 2 /2ml 2 енергій: H=p 2 /2ml 2 mglcosj, (2) де j кут відхилення від вертикалі, а g прискорення вільного падіння. Рівняння руху маятника має вигляд: 2 d j + w 2 0 sinj = 0, (3) 2 dt g де w 0 = Частота коливань. l Мал. 13. Фазовий портрет маятника з гамільтоніаном (2). Коли повна енергія H=E маятника перевищує найбільше значення потенційної енергії, E=E rot >mgl, імпульс завжди буде відмінний від нуля, що призводить до необмеженого зростання кута j. Це означає, що маятник обертатиметься. На фазовій площині (рис. 13) така поведінка зображується траєкторіями E rot, що відповідають руху фазової точки зліва на право для p>0 і праворуч наліво для p<0. Колебаниям маятника соответствует энергия E=E osc

11 маятника, а гіперболічні точки, що відповідають верхньому положенню рівноваги маятника, є нестійкими. Фазова крива, що почалася на околиці гіперболічної точки, віддаляється від неї, тоді як траєкторія поблизу еліптичної точки завжди залишається в її околиці. Зауваження. Маятник у разі малих відхилень описується лінійними рівняннями: частота коливань залежить від амплітуди. Маятник у разі великих відхилень відноситься до нелінійної системи: частота коливань залежить від амплітуди. Рис. 14. Фазовий портрет інтегрованої системи з двома ступенями свободи. Для систем із двома ступенями свободи фазовий простір чотиривимірний. Прикладом є система двох гармонійних осциляторів одиничної маси (рис. 14). У разі повністю інтегрованих систем з n ступенями свободи фазовий простір 2n-мірно і в змінних дію-кут має структуру безлічі n-мірних торів. Будь-яка можлива траєкторія знаходиться на одному з них. При цьому деякі траєкторії можуть виявитися замкнутими, інші ж усюди щільно покриватимуть поверхню відповідного тора. Дисипативна система – відкрита динамічна система, в якій спостерігається приріст ентропії. У дисипативній системі через дисипацію енергії обсяг елемента фазового простору скорочується з часом (теорема Луївіля не дотримується). Тому у фазовому просторі диссипативних систем з'являються привабливі множини, які не існують в консервативних системах атрактори (attract притягувати). Атрактор стан динамічної системи, якого вона прагне у процесі свого руху (розвитку). У фазовому просторі атрактор стійкої динамічної системи зображується точкою (у разі аперіодичних процесів) або граничним циклом (у разі періодичних процесів). Дивний атрактор Атрактор, якому у фазовому просторі відповідає область, що притягує до себе з навколишніх областей всі фазові траєкторії. Ці траєкторії мають складну і заплутану структуру і є незамкненими криві. Рис. 15. До визначення консервативних (а) та дисипативних (б) динамічних систем. Для дисипативних систем характерно, що з часом хмара зображуючих точок "з'їжджується" і концентрується на одному або декількох атракторах підмножин фазового простору, що володіють зазвичай нульовим фазовим об'ємом (рис. 15б). З погляду динаміки у часі це, що режим, що у системі, наданої собі протягом багато часу, стає незалежним від початкового стану. У дисипативних системах у фазовому просторі є атрактори. Рис. 16. Побудова відображення Пуанкаре у фазовому просторі автономної гамільтонової системи з двома ступенями свободи. У аналізі динамічних систем широко використовується відображення Пуанкаре. Відображення - закон, за яким кожному елементу деякої заданої множини X ставиться у відповідність цілком певний елемент іншої заданої множини Y.

12 Відображення Пуанкаре (відображення першого повернення) проекція деякого майданчика у фазовому просторі на себе (або на інший майданчик) вздовж траєкторій (фазових кривих) системи. Рис. 17. Побудова відображення Пуанкаре у фазовому просторі автономної гамільтонової системи з двома ступенями свободи. А. Пуанкаре запропонував процедуру, що зіставляє динаміці у межах диференціальних рівнянь деяке відображення. Ідея полягає в наступному: у фазовому просторі вибирається деяка поверхня, і будується образ фазової траєкторії, що виходить при перетині нею даної поверхні. На рис. 17 показана ілюстрація цього методу переріз Пуанкаре чотирьох оборотного граничного циклу. Можна бачити, що в такому перерізі точка, що зображає, буде послідовно займати положення, зазначені цифрами 1, 2, 3 і 4. Таким чином, у термінах відображень можна сказати, що реалізується цикл періоду 4. Зрозуміло, що ті чи інші перебудови граничного циклу будуть наводити та до перебудов у перерізі Пуанкаре. Останнє вивчати набагато простіше, як і визначає важливість цього. Під час аналізу конкретних систем перетин Пуанкаре будується з допомогою комп'ютера. Рис. 18. Якісно різні траєкторії відрізняються перерізами Пуанкаре: а хаотичний рух; б рух до нерухомої точки; цикл;, г цикл подвоєного періоду. На рис. 18 представлені чотири типи перерізу Пункаре. Зауважимо, що спосіб перерізів Пуанкаре є ефективним, але завжди надійним, методом дослідження періодичного руху з зниженням порядку системи. Застосування перерізу Пуанкаре проілюструємо на прикладі системи рівнянь Хенона-Хейліса (1964), що описує рух частинки масою m=1 у двовимірному потенціалі: 2 2 x + y U (x, y) = + x y - y 2 3 (3) два однакові гармонічні осцилятори з нелінійною взаємодією між ними. Якщо повна енергія цієї механічної системи 0

13 Мал. 19. Модель Хенона-Хейлеса: а область фенітного руху (пунктирні лінії є еквіпотенційними криві U=const, 1 U=0,01, 2 U=0,04, 3 U=0,125); переріз Пуанкаре (y, P y) при енергії частки Е=1/10 (б) та Е=1/8 (в). Динамічні системи, які описуються звичайними (лінійними) диференціальними рівняннями, мають чотири типи розв'язків: стан рівноваги, періодичний рух, квазіперіодичний рух та хаотичний. Динамічні системи, які моделюються кінцевим числом звичайних диференціальних рівнянь, називають зосередженими або точковими системами. Вони описуються з допомогою кінцевого фазового простору і характеризуються кінцевим числом ступенів свободи. Одна й та система в різних умовах може розглядатися або як зосереджена, або як розподілена. Математичні моделі розподілених систем - це диференціальні рівняння в приватних похідних, інтегральні рівняння або звичайні рівняння із запізнілим аргументом. Число ступенів свободи розподіленої системи нескінченне, і потрібна нескінченна кількість даних для визначення її стану. Рис. 20. Схема можливих перетворень сигналу в лінійних та нелінійних системах. У лінійній системі оператор еволюції лінійний, тобто. А(x+y)=Ax+Ay, A(lx)=lAx. У такій системі не може бути хаотичних вагань. У ній періодичні зовнішні впливи викликають після згасання перехідних процесів періодичний відгук того самого періоду (рис. 20). Як відомо, існують три класичні типи руху: рівновага, періодичний рух (граничний цикл) і квазіперіодичний рух. Ці стани називаються атракторами, оскільки в присутності будь-якого згасання перехідні відхилення пригнічуються і система "притягується" до одного з трьох перелічених станів. Існує, однак, клас рухів (нелінійні коливання), який не зводиться до жодного з класичних атракторів. Тут рухи хаотичні тому, що, якщо є мала невизначеність початкових умов, всі вони непередбачувані (дивний атрактор). Класичним атракторам відповідають класичні геометричні об'єкти у фазовому просторі: рівноважному стану крапка, періодичному руху або граничному циклу замкнута крива, а квазіперіодичному руху відповідає поверхня в тривимірному фазовому просторі. Дивний атрактор пов'язаний з геометричним об'єктом фрактальним безліччю. У тривимірному фазовому просторі фрактальне безліч дивного атрактора виглядає як набір нескінченного числа шарів або паралельних площин, причому відстань між деякими з них наближається до нескінченно малого. Прикладом неінтегрованої системи може бути подвійний плоский маятник з точковими масами m 1 і m 2 (рис. 5), у якого два ступені свободи кути φ 1 і φ 2. Якщо відхилення від положення рівноваги мало, то система здійснює регулярні гармонічні коливання. Однак

14 при збільшенні повної енергії настає такий момент, коли коливання стають хаотичними маятники починають прокручуватися і два близьких початкових умови призводять до різної динаміки цієї нелінійної системи з двома ступенями свободи. Хаотична динамічна система - динамічна система, процеси в якій описуються дивним атрактором. На відміну від стійкої динамічної системи визначити стан системи за заданими значеннями часу та початкових умов неможливо. Важливою характерною рисою всіх систем, у яких спостерігається детермінований хаос, і те, що вони описуються нелінійними диференціальними рівняннями чи системами рівнянь. До таких рівнянь не застосовується принцип суперпозиції, справедливий для лінійних систем, згідно з яким сума рішень є також рішенням. Нелінійна система управляється нелінійним оператором: A(a 1 x 1 +a 2 x 2) a 1 Ax 1 +aax 2. Прикладом є функція sin(x). Ситуація ускладнюється ще й тим, що нелінійні рівняння часто не одне, а кілька рішень. Серед них можуть бути як хаотичні, і регулярні, періодичні рішення. Яка з них здійснюється на практиці, залежить від початкових умов. Рис. 21. Подвійний плоский маятник та його хаотичні коливання. Найпростішим видом динамічного хаосу є хаотична динаміка в нелінійних системах з дискретним часом (регулярна динаміка сприймається у своїй як етап, що передує хаосу). Математичний апарат тут простий, власне він зводиться до теорії різницевих рівнянь. Розуміння хаосу в системах з безперервним часом складніше, потрібне глибоке знання теорії диференціальних рівнянь. Важливо розуміти, що для виникнення хаосу у разі систем з безперервним часом їх розмірність (порядок N нелінійного диференціального рівняння, що описує цю систему) має бути не нижчою за три. Такі системи (3D динамічні системи) є потоками траєкторій у фазовому просторі, розмірність якого 3 (або вище, відповідно до порядку диференціального рівняння). Однак у нелінійних динамічних системах з дискретним часом хаотичні рухи можуть виникати у разі систем 1-го порядку (1D дискретні динамічні системи). Ці рухи представляють каскади дискретних відображень і описуються нелінійними рівняннями різницевими порядку 1 і вище. Зазначимо, що є чотири критерії хаотичності руху: сигнал «виглядає випадковим»; у спектрі потужності спостерігається широкосмуговий шум на низьких частотах; автокореляційна функція швидко спадає; перетин Пуанкаре складається з точок, що заповнюють простір. Математичні моделі, що містять три і більше звичайних диференціальних рівнянь, здатні демонструвати хаотичні режими коливань, які на перший погляд мають вигляд випадкових процесів. Перехід у фазовий простір дозволяє отримувати наочну інформацію про особливості складної динаміки відповідних систем, і насамперед про геометрію граничних множин фазових траєкторій, які відповідають режимам, що встановилися. Важливу роль аналізі хаотичних систем зіграв дивний атрактор Еге. Лоренца. Лоренц показав, що розігрів повітря з боку Землі та охолодження його з протилежної призводить до конвекційних потоків, які наближено описуються системою трьох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, що не мають точного аналітичного рішення: dx/dt=s(y x), (4а) dy dt = x (rz) y, (4б) dz / dt = xy bz, (4в) де s = 10, r = 28, b = 8/3.

15 Модель Лоренса є динамічною системою в тривимірним фазовим простором. Змінна Х пропорційна швидкості конвективного потоку (характеризує швидкість обертання конвекційних валів), Y та Z відповідають за розподіл температури відповідно по горизонталі та вертикалі. Параметр r пропорційний числу Релея, а s і b деякі безрозмірні константи, що характеризують систему. Розв'язання цих рівнянь функції X(t), Y(t) та Z(t) визначають у параметричному вигляді траєкторію системи у тривимірному "фазовому" просторі X, Y, Z. Зважаючи на однозначність функцій, що стоять у правих частинах цих рівнянь, траєкторія себе ніколи не перетинає. Лоренц досліджував вигляд цих траєкторій за різних початкових умов при значеннях параметрів r=28, s=10 та b=8/3. Він виявив що при цьому траєкторія хаотичним чином блукає з напівпіврозриву x>0 в напівпівсторінство x<0, формируя две почти плоских, перепутанных сложным образом спирали. На рис. 8 показана проекция этих спиралей на плоскость XZ для некоторого начального условия. Траектория сначала делает 1 оборот справа, затем 20 слева, затем опять 1 справа, затем 4 слева и так далее. Похожее поведение имеет место и при других значениях параметров. Хаотичность решения означает, что если мы заранее выберем каким угодно способом цепочку переходов из одного полупpостpанства в другое, то у системы Лоренца найдётся решение, которое в точности эту цепочку воспроизведёт. Рис. 22. Траектория, отвечающая хаотическому решению уравнений Лоренца, с параметрами, приведенными в тексте, и начальными условиями X(0)=Y(0)=Z(0)=1. Один эллипс отражает вращение атмосферы по часовой стрелке, другой - против неё. Причина непpедсказуемости поведения этой и других подобных систем заключается в не в том, что не верна математическая теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных условиях, а в необычайной чувствительности решения к этим начальным условиям. Близкие начальные условия со временем приводят к совершенно различному конечному состоянию системы. Причём часто различие нарастает со временем экспоненциально, то есть чрезвычайно быстро (см. рис. 23): D(t) = D(0)e ht, (5) где инкремент неустойчивости h является функцией точки в фазовом пространстве. Рис. 23. Две первоначально близкие траектории в фазовом пространстве расходятся со временем в результате локальной неустойчивости. Оказалось, что нечто похожее происходит и с системами, в которых наблюдается детеpминиpованный хаос: они движутся таким образом, что всё время находятся в неустойчивом состоянии. Иными словами, сколь угодно малые возмущения начальных условий приводят с течением времени к сильному отклонению траектории от своего невозмущенного положения. Если фазовое пространство системы является конечным, то фазовые траектории не могут разойтись из-за неустойчивости более чем на характерный размер области движения, и начинается их запутывание. Предсказать поведение такой системы тогда оказывается практически невозможным. Странный аттрактор это некоторое «сложно устроенное» множество в фазовом пространстве, к которому притягиваются почти все траектории из его некоторой окрестности, а на самом множестве движение имеет экспоненциально неустойчивый характер. Такое сочетание глобального сжатия с локальной неустойчивостью приводит к тому, что аттрактор уже не может быть гладким как, например, тор; он определенным образом расслаивается и представляет собой в некотором сечении канторово множество (фрактально). Странный аттрактор обладает двумя свойствами: траектории на странном аттракторе разбегаются друг от друга; объёмы в фазовом пространстве со временем сокращаются.




Динамічні системи та методи математичного моделювання Елементи теорії динамічних систем Елементи теорії динамічних систем Основні поняття теорії динамічних систем Регулярна та хаотична

Динамічні системи та методи математичного моделювання Сценарії переходу до хаосу Теорема Пуанкаре-Бендиксона (N = 2) Нехай R замкнуте обмежене підмножина площини, a x f(x) - безперервно диференційоване

Лекція 5. Руйнування інваріантних торів гамільтонових систем 1. Теорія збурень інтегрованих гамільтонових систем (продовження). 2. Руйнування резонансних торів. 3. Нелінійний резонанс. 1. Теорія обурень

Лекція 10. Фрактали та хаотична динаміка. 1. Поняття фрактальної множини. Фрактальна розмірність. 2. Геометрія дивних атракторів. 3. Мультифрактальні спектри. 1. Поняття фрактальної множини.

Коливання та перевороти жорсткого маятника Завдання для самостійного вирішення Бутіков Є. І. Анотація. У цьому посібнику наведено контрольні питання, теоретичні та експериментальні завдання для самостійної

КУРСОВА РОБОТА З ПРОГРАМУВАННЯ СТУДЕНТА 218 ГРУПИ ФІЗИЧНОГО ФАКУЛЬТЕТУ МОСКОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ ІМЕНІ М. В. ЛОМОНОСОВА ГАМОВА АРТЕМІЯ ЛЬВОВИЧА. ТЕМА: Завдання Коші для Лоренцової системи.

Майер РВ, г Око Метод комп'ютерного моделювання при вивченні фізичних явищ Часто аналітичні методи не дозволяють досліджувати еволюцію складних систем, або їх застосування пов'язане зі складними математичними

Лекція 1 Елементи якісного аналізу динамічних систем з безперервним часом на прямій Розглянемо автономне диференціальне рівняння du = f(u), (1) dt яке може бути використане

3. Динамічний хаос 3.1. Гамільтонові та дисипативні системи. 3.1.1. Гамільтонові системи. 3.1.2. Дисипативні системи. 3.1.3. Наслідки для дисипативних систем. 3.1.4.Хаос у гамільтонових системах.

Хаотичні коливальні системи Хаотичні системи Газ гелію. Стан однієї молекули описується 6 диференціальними рівняннями порядку. У см 3 газу приблизно 3 молекул -> 4 диференціальних рівнянь.

Динамічні системи та методи математичного моделювання Елементи теорії біфуркацій Походження біфуркації Походження терміна біфуркація (від лат. bifurcus - роздвоєний) пов'язано з тим, що динамічна

ЛЕКЦІЯ 19 ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ АНАЛІТИЧНОЇ ДИНАМІКИ. ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛЕЖАНДРУ. РІВНЯННЯ ГАМІЛЬТОНА. ІНТЕГРАЛ ЯКОБІ 1. Диференціальні рівняння аналітичної динаміки Почнемо цю лекцію з теми,

18 Розщеплення сепаратрис Спочатку нагадаємо, що таке відображення Пуанкаре. Нехай розглядається довільна система диференціальних рівнянь = v(x), x M Нехай γ(t) деяке періодичне рішення.

8.Дивні атрактори 1 8.Дивні атрактори У попередніх розділах ми вивчали динамічні системи, атрактори яких були нерухомими точками або граничними циклами. Граничний цикл, нагадаємо, може

Звичайні диференціальні рівняння Лектори: В. А. Кондратьєв, Ю. С. Ілляшенко III IV семестри, програма іспиту 2003 р. 2004 р., варіанти 2001 р. 2009 р. 1. Програма іспиту 1.1. Перший семестр Вступ.

7 Коливання в консервативній нелінійній системі При макроскопічному розгляді будь-яку реальну систему слід вважати неконсервативною, ті системою в якій повна енергія не залишається постійною.

Лекція 6. Розвинений хаос у гамільтонових системах 1. Стандартне відображення. 2. Острівці стійкості. 3. Дифузія у фазовому просторі. 1. Стандартне відображення 1.1 Ротатор під дією δ-імпульсів

Тихомиров Ю.В. ЗБІРКА контрольних питань та завдань з відповідями для віртуального фізпрактикуму Частина 1. Механіка 1_1. РУХ З ПОСТІЙНИМ ПРИСКОРІННЯМ... 2 1_2. РУХ ПІД ДІЄЮ ПОСТІЙНОЇ СИЛИ...7

Лекція 5 Хаотичне поводження динамічних систем. Система Лоренца Різноманітність поведінки траєкторій на площині обмежена теоремою Бендіксона-Пуанкаре, згідно з якою траєкторія може піти на нескінченність,

Динамічні системи та методи математичного моделювання Символічна динаміка Символічна динаміка Метод символічної динаміки - опис динаміки системи за допомогою допустимих послідовностей

3. Типи атракторів 1 3. Типи атракторів Дуже наочно можна візуалізувати розташування атракторів на фазовій площині, багато в чому завдяки тому, що існує всього кілька їх типів,

Ярославський державний педагогічний університет ім. К. Д. Ушинського Кафедра загальної фізики Лабораторія механіки Лабораторна робота 7 Експериментальне визначення прискорення сили тяжкості та характеристик

ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ «ОРЕНБУРГСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика та теоретична механіка

Лекція 3. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів. Постійна Больцмана. Температура та тиск як статистичні величини. Однією з особливостей фізики є використання абстракцій

Нелінійний маятник. 1 Безрозмірне рівняння руху фізичного маятника з в'язким тертям. Рівняння руху фізичного маятника з урахуванням в'язкого тертя: I φ + b φ + mga sin(φ) =, (1) де I момент

ÄÌË ÂÌÍÓ Ç.ë., 1997 DYNAMIC SYSTEMS V.S. Для динамічних систем описані звичайні різні еквівалії, чотири типи

Бутіков Є. І. Навчальна лабораторія комп'ютерного моделювання коливань у простих нелінійних системах Санкт-Петербурзький державний університет Для навчальної студентської комп'ютерної лабораторії

Розділ 4. Коливання 1 Тема 1. Коливання без загасання. П.1. періодичний процес. Гармонійні коливання. Характеристики гармонійних коливань. П.2. Швидкість та прискорення при гармонійних коливаннях

Семінар 4 Система двох звичайних диференціальних рівнянь (ОДП). Фазова площина. Фазовий портрет. Кінетичні криві. Особливі точки. Стійкість стаціонарного стану. Лінеаризація системи в

Закон Максвелла розподілу швидкостей 1. Закон розподілу швидкостей Максвелла .. Середня, середня квадратична і найбільш ймовірна швидкості молекул газу. 3.Середня довжина вільного пробігу 4.Дослідне

Гармонічні коливання Коливаннями називаються процеси (рух чи зміна стану), у тому чи іншою мірою повторюється у часі. механічні коливання електромагнітні електромеханічні

12 квітня 11 Ефект захоплення середнього часу повернення Пуанкаре як критерій вимушеної синхронізації хаосу В.С. Аніщенко, Я.І. Боєв Саратовський державний університет E-mail: [email protected]Надійшло

1 ЛЕКЦІЯ 16 Нелінійні коливання. Фазовий портрет математичного маятника. Осцилятор Дуффінг. Подвоєння періоду. Перехід до хаосу. Відображення Пуанкаре. Поняття про фрактали. Передбачуваність хаотичного

1. ВСТУП Фізика це наука про найбільш загальні властивості та форми руху матерії. У механічній картині світу під матерією розумілося речовина, що з частинок, вічних і постійних. Основні закони,

Теорія стійкості Ляпунова. Багато завдань механіки і техніки буває важливо знати не конкретні значення рішення при даному конкретному значенні аргументу, а характер поведінки рішення при зміні

Коливання в системах з розподіленими параметрами Лінії зі втратами Втрати у проводах L екві (x,t) R L екві Ldx u(x,t) u(x+dx,t) R екві Rdx u(x dx,t) ,t) L екві (x, t) t R екві (x, t) u x dx Ldx i t

Програму складено на основі федерального державного освітнього стандарту вищої освіти (рівень підготовки кадрів вищої кваліфікації) за напрямом підготовки 01.06.01 «Математика

Лабораторна работа.85 ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ ВІЛЬНОГО ПАДІННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА. Є.В. Жданова Мета роботи: вивчити закономірності руху фізичного маятника та за допомогою оборотного маятника

Імпульс системи n матеріальних точок ЗАКОНИ ЗБЕРІГАННЯ ІМПУЛЬСУ, МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ ТА ЕНЕРГІЇ де імпульс i-ї точки в момент часу t (i та її маса і швидкість) З закону зміни імпульсу системи де

Лекція 8 Хвильовий рух Розповсюдження коливань в однорідному пружному середовищі Поздовжні і поперечні хвилі Зсув, швидкість і відносна деформація

Математичні основи хаотичних динамічних систем Олександр Лоскутов, фізичний факультет МГУ Анотація Динамічний підхід до опису систем різного походження відомий з часів Ньютона.

5. Параметричні коливання 5.. Введение Розглянуті раніше випадки виникнення та перебігу коливань були характерні тим, що сили, що виявляються в процесі руху, можна було віднести до однієї з

Поняття про біфуркацію. Біфуркація положень рівноваги. Диференціальні рівняння динамічних систем часто залежать як від фазових змінних, а й параметрів, тобто. мають таку структуру: ẋ =

1 ЛЕКЦІЯ 8 Випадковий та детермінований процеси. Чи мав рацію Лаплас? Хаос у природі та у повсякденному житті. Що таке довільне число? Хаотичний сигнал як розв'язання диференціального рівняння. Відкриття

ТОМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Фізичний факультет Вивчення вимушених коливань пружинного маятника Методичні вказівки для виконання лабораторної роботи Томськ 14 Розглянуто та затверджено методичною

Деякі дискретні моделі турбулентності Акішев А.А. ФДАОУ ВПО «Уральський Федеральний Університет імені першого Президента Росії Б.М. Єльцина» Єкатеринбург, Росія У роботі розглядається семимірна

Глава 7 ТЕОРІЯ ПОРЯДКУ І ХАОСА. ЕНТРОПІЯ ТА ІНФОРМАЦІЯ 7.1. План семінарського заняття 1. Зворотні та незворотні процеси для замкнутих та відкритих систем. 2. Термодинамічна ймовірність цього стану.

Тема 5. Механічні коливання та хвилі. 5.1. Гармонічні коливання та їх характеристики Коливання процеси, що відрізняються тим чи іншим ступенем повторюваності. Залежно від фізичної природи повторюваного

2. Фазовий простір 1 2. Фазовий простір Перш ніж перейти до розмови про чисельні методи вирішення завдань Коші для ОДУ (див. наступні параграфи), скажімо кілька слів про важливі аспекти їхньої візуалізації,

Порядок і безладдя у природі. Синергетика. «ВЕСЬ ПОРЯДОЧНИЙ СВІТ ВИНИК З ХАОСА» (міф) 25 січня 1917 «ПОРЯДОК З ХАОСА» (І.Пригожин) В ході еволюції життя, для формування порядку необхідна енергія,

Мета роботи. Ознайомитися з основними характеристиками вільних механічних коливань, що незатухають і загасають. Завдання. Визначити період своїх коливань пружинного маятника; перевірити лінійність

ЛЕКЦІЯ 8 КВАЗИКЛАСИЧНИЙ ХАРАКТЕР ДИНАМІКИ ЕЛЕКТРОНІВ. ЕЛЕКТРОННА ПРОВІДНІСТЬ У МЕТАЛАХ. ЕЛЕКТРОННА ТЕПЛО- І ЕЛЕКТРОПРОВІДНІСТЬ Розглянемо, чим відрізняється електронна рідина від електронного газу.

ЛЕКЦІЯ 11 КВАНТОВІ МАГНІТНІ ЕФЕКТИ В ЕЛЕКТРОННИХ ГАЗАХ Ця лекція присвячена магнетизму електронного газу. Розглянуть такі завдання, як ефект де Гааза ван Альфена, квантовий ефект Холла,

Коливання і хвилі Коливання процеси, що характеризуються певною повторюваністю в часі.