Критична температура речовини. Температура тіла: знижена, нормальна та висока

Визначення

Математичний маятник- це окремий випадокфізичного маятника, маса якого в одній точці.

Зазвичай математичним маятником вважають маленьку кульку (матеріальну точку), що має велику масупідвішений на довгій нерозтяжній нитці (підвісі). Це ідеалізована система, яка здійснює коливання під впливом сили тяжіння. Тільки для кутів порядку 50-100 математичний маятник є гармонічним осцилятором, тобто здійснює гармонійні коливання.

Вивчаючи гойдання панікадилу на довгому ланцюгу Галілей вивчав властивості математичного маятника. Він зрозумів, що період коливань даної системи залежить від амплітуди при малих кутах відхилення.

Формула для періоду коливань математичного маятника

Нехай точка підвісу маятника нерухома. Вантаж, підвішений до нитки маятника, рухається дугою кола (рис.1(a)) з прискоренням, на нього діє деяка сила, що повертає ($\overline(F)$). Ця сила змінюється під час руху вантажу. Внаслідок чого розрахунок руху стає складним. Введемо деякі спрощення. Нехай маятник здійснює коливання над площині, а описує конус (рис.1 (b)). Вантаж у разі переміщається по окружности. Період цікавих для нас коливань співпадатиме з періодом конічного руху вантажу. Період обігу конічного маятника по колу дорівнює часу, який витрачає вантаж на один виток по колу:

де $ L $ - Довжина кола; $v$ - швидкість руху вантажу. Якщо кути відхилення нитки від вертикалі малі (невеликі амплітуди коливань) то вважають, що сила, що повертає ($F_1$) спрямована по радіусу кола, який описує вантаж. Тоді ця сила дорівнює доцентровій силі:

Розглянемо подібні трикутники: AOB та DBC (рис.1 (b)).

Прирівнюємо праві частини виразів (2) і (3), виражаємо швидкість руху вантажу:

\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]

Отриману швидкість підставимо у формулу (1), маємо:

\ \

З формули (5) бачимо, що період математичного маятника залежить лише від довжини його підвісу (відстань від точки підвісу до центру ваги вантажу) і прискорення вільного падіння. Формулу (5) для періоду математичного маятника називають формулою Гюйгенса, вона виконується, коли точка підвісу маятника не рухається.

Використовуючи залежність періоду коливань математичного маятника від прискорення вільного падіння визначають величину даного прискорення. Для цього вимірюють довжину маятника, розглядаючи велика кількістьколивань знаходять період $T$, потім обчислюють прискорення вільного падіння.

Приклади завдань із розв'язанням

Приклад 1

Завдання.Як відомо, величина прискорення вільного падіння залежить від широти. Яке прискорення вільного падіння на широті Москви, якщо період коливань математичного маятника завдовжки $l=2,485\cdot (10)^(-1)$м дорівнює T=1 c?\textit()

Рішення.За основу розв'язання задачі приймемо формулу періоду математичного маятника:

Виразимо з (1.1) прискорення вільного падіння:

Обчислимо шукане прискорення:

Відповідь.$g=9,81\frac(м)(с^2)$

Приклад 2

Завдання.Яким буде період коливань математичного маятника, якщо точка його підвісу рухається вертикально вниз 1) постійною швидкістю? 2) із прискоренням $a$? Довжина нитки цього маятника дорівнює $l.$

Рішення.Зробимо малюнок.

1) Період математичного маятника, точка підвісу якого рухається рівномірно, дорівнює періодумаятника з нерухомою точкою підвісу:

2) Прискорення точки підвісу маятника можна як поява додаткової сили, що дорівнює $F=ma$, яка спрямована проти прискорення. Тобто якщо прискорення спрямоване вгору, то додаткова сила спрямована вниз, отже, вона складається із силою тяжіння ($mg$). Якщо точка підвісу рухається з прискоренням, спрямованим донизу, то додаткова сила віднімається від сили тяжіння.

Період математичного маятника, що здійснює коливання і у якого точка підвісу рухається з прискоренням, знайдемо як:

Відповідь. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$

Період коливання математичного маятника залежить від довжини нитки: із зменшенням довжини нитки період коливання зменшується

Для математичного маятника виконуються деякі закони:

1 Закон. Якщо, зберігаючи ту саму довжину маятника, підвішувати різні вантажі(наприклад 5кг і 100 кг), то період коливань вийде той самий, хоча маси вантажів сильно різняться. Період математичного маятника залежить від маси вантажу.

2 Закон. Якщо маятник відхиляти на різні, але маленькі кути, то він коливатиметься з тим самим періодом, хоча і з різними амплітудами. Поки амплітуда маятника будуть малі, коливання і за своєю формою будуть схожі на гармонійні, і тоді період математичного маятника не залежить від амплітуди коливань. Ця властивість прийняла назву ізохронізмом.

Давайте виведемо формулу періоду математичного маятника.

На вантаж m математичного маятника діють сила тяжкості mg та сила пружності нитки Fynp. Вісь 0Х направимо вздовж дотичної до траєкторії руху нагору. Запишемо другий закон Ньютона для цього випадку:

З проектуємо все на вісь ОХ:

При малих кутах

Зробивши заміни та маленькі перетворення у нас виходить, що рівняння має вигляд:

Порівнюючи отриманий вираз із рівнянням гармонійних коливаньу нас виходить:

З рівняння видно, що циклічна частота пружинного маятникаматиме вигляд:

Тоді період математичного маятника дорівнюватиме:

Період математичного маятника залежить лише від прискорення вільного падіння g та від довжини маятника l. З отриманої формули випливає, що період маятника не залежить від його маси та від амплітуди (за умови, що вона досить мала). Також ми встановили кількісну залежність між періодом маятника, його довжиною та прискоренням вільного падіння. Період математичного маятника пропорційний до кореня квадратного з відношення довжини маятника до прискорення вільного падіння. Коефіцієнт пропорційності дорівнює 2p

Також є:

Період пружинного маятника

Період фізичного маятника

Період крутильного маятника

Що являє собою математичний маятник?

З попередніх уроківви вже повинні знати, що під маятником, як правило, мають на увазі тіло, яке здійснює коливання під дією гравітаційної взаємодії. Тобто можна сказати, що у фізиці, під цим поняттям, прийнято вважати тверде тіло, яке під дією сили тяжіння здійснює коливальні рухиякі відбуваються навколо нерухомої точки або осі.

Принцип дії математичного маятника

А тепер давайте розглянемо принцип дії математичного маятника і дізнаємося, у чому полягає.

Принципом дії математичного маятника є те, що при відхиленні від положення рівноваги матеріальної точки на незначний кут a, тобто такий кут, при якому виконувалася умова sina = a, то на тіло буде діяти сила F = -mgsina = -mga.

Ми з вами бачимо, що сила F має негативний показник, А з цього випливає, що знак мінус говорить нам про те, що дана силанаправлена ​​в той бік, який є протилежним зсуву. Оскільки сила F пропорційна зсуву S, то з цього випливає, що під дією такої сили матеріальна точкабуде здійснювати гармонійні коливання.

Властивості маятника

Якщо взяти будь-який інший маятник, то в нього період коливань залежить від багатьох чинників. До таких факторів можна віднести:

По-перше, розмір та форму тіла;
По-друге, відстань, яка існує між точкою підвісу та центром тяжіння;
По-третє, також і розподіл маси тіла щодо цієї точки.

Ось у зв'язку з цими різними обставинами маятників, визначити період тіла, що висить, досить таки складно.

А якщо брати математичний маятник, то він має всі ті властивості, які можна довести за допомогою відомих фізичних законівта його період можна легко розрахувати за допомогою формули.

Провівши багато різних спостережень над такими механічними системами, фізикам вдалося визначити такі закономірності, як:

По-перше, період маятника залежить від маси вантажу. Тобто, якщо за однакової довжини маятника, ми будемо до нього підвішувати вантажі, які мають різну масу, то період їх коливань все одно вийде однаковим, навіть якщо їх маси будуть мати разючі відмінності.

По-друге, якщо ми будемо під час запуску системи відхиляти маятник на невеликі, але при цьому різні кути, то його коливання матимуть однаковий період, але амплітуди будуть різними. При невеликих відхиленнях від центру рівноваги коливання за своєю формою матимуть майже гармонійний характер. Тобто можна сказати, що період такого маятника не залежить від амплітуди коливань. У перекладі з грецької мовитака властивість цієї механічної системи зветься ізохронізмом, де «ізос» позначає рівний, ну, а «хронос» - це час.

Практичне використання коливань маятника

Математичний маятник для різних дослідженьвикористовують фізики, астрономи, геодезисти та інші науковці. За допомогою такого маятника займаються пошуком корисних копалин. Спостерігаючи за прискоренням математичного маятника і підрахувавши кількість його коливань можна знайти поклади кам'яного вугілляі руди у надрах нашої Землі.

К. Фламмаріон, знаменитий французький астроном і дослідник природи, стверджував, що за допомогою математичного маятника йому вдалося зробити багато важливих відкриттів, серед яких поява Тунгуського метеоритата відкриття нової планети.

У наш час багато екстрасенсів і окультистів використовують таку механічну системудля пошуку зниклих людей та пророчих передбачень.

Період коливань фізичного маятника залежить від багатьох обставин: від розмірів та форми тіла, від відстані між центром ваги та точкою підвісу та від розподілу маси тіла щодо цієї точки; тому обчислення періоду підвішеного тіла -досить складна задача. Простіша справа для математичного маятника. Зі спостережень над подібними маятниками можна встановити такі прості закони.

1. Якщо, зберігаючи ту саму довжину маятника (відстань від точки підвісу до центру тяжкості вантажу), підвішувати різні вантажі, то період коливань вийде той самий, хоча маси вантажів сильно різняться. Період математичного маятника залежить від маси вантажу.

2. Якщо при пуску маятника відхиляти його на різні (але не надто великі) кути, то він коливатиметься з тим самим періодом, хоча і з різними амплітудами. Поки не надто великі амплітуди, коливання досить близькі за своєю формою до гармонійного (§ 5) і період математичного маятника не залежить від амплітуди коливань. Ця властивість називається ізохронізмом (від грецьких слів"ізос" - рівний, "хронос" - час).

Вперше цей факт було встановлено у 1655 р. Галілеєм нібито за наступних обставин. Галілей спостерігав у Пізанському соборі гойдання панікадила на довгому ланцюзі, яке штовхнули під час запалювання. Протягом богослужіння розмахи коливань поступово згасали (§ 11), тобто амплітуда коливань зменшувалася, але період залишався одним і тим же. Як покажчик часу Галілей користувався власним пульсом.

Виведемо тепер формулу для періоду коливань математичного маятника.

Рис. 16. Коливання маятника в площині (а) та рух по конусу (б)

При коливаннях маятника вантаж рухається прискорено по дузі (рис. 16, а) під дією сили, що повертає, яка змінюється при русі. Розрахунок руху тіла під впливом непостійної сили досить складний. Тому ми для спрощення вчинимо так.

Змусимо маятник робити не коливання в одній площині, а описувати конус так, щоб вантаж рухався по колу (рис. 16, б). Цей рух може бути отримано в результаті складання двох незалежних коливань: одного - як і раніше, у площині малюнка та іншого - в перпендикулярній площині. Очевидно, періоди обох цих плоских коливань однакові, оскільки будь-яка площина коливань нічим не відрізняється від будь-якої іншої. Отже, і період складного руху- Звернення маятника по конусу - буде той же, що і період гойдання водної площини. Цей висновок можна легко ілюструвати безпосереднім досвідом, Взявши два однакових маятника і повідомивши одному з них гойдання в площині, а іншому - обертання конусом.

Але період обігу «конічного» маятника дорівнює довжиніописуваного вантажем кола, поділеного на швидкість:

Якщо кут відхилення від вертикалі невеликий (малі амплітуди), можна вважати, що сила, що повертає, спрямована по радіусу кола , тобто, дорівнює доцентровій силі:

З іншого боку, з подоби трикутників і випливає, що . Так як, то звідси

Прирівнявши обидва вирази один одному, ми отримуємо для швидкості звернення

Нарешті, підставивши це у вираз періоду, знаходимо

Отже, період математичного маятника залежить від прискорення вільного падіння і зажадав від довжини маятника , т. е. відстані від точки підвісу до центру тяжкості вантажу. З отриманої формули випливає, що період маятника не залежить від його маси та від амплітуди (за умови, що вона досить мала). Іншими словами, ми отримали шляхом розрахунку основні закони, які були встановлені раніше зі спостережень.

Але наш теоретичний висновок дає нам більше: він дозволяє встановити кількісну залежність між періодом маятника, його довжиною та прискоренням вільного падіння. Період математичного маятника пропорційний до кореня квадратного з відношення довжини маятника до прискорення вільного падіння. Коефіцієнт пропорційності дорівнює.

Залежно від періоду маятника від прискорення вільного падіння заснований дуже точний спосібвизначення цього прискорення. Вимірявши довжину маятника і визначивши з великої кількостіколивань період, ми можемо обчислити за допомогою отриманої формули. Цей спосіб широко використовується практично.

Відомо (див. том I, §53), що прискорення вільного падіння залежить від географічної широтимісця (на полюсі, а на екваторі). Спостереження над періодом коливань деякого еталонного маятника дозволяють вивчити розподіл прискорення вільного падіння широтою. Метод цей настільки точний, що з його допомогою можна виявити і більш тонкі відмінності у значенні на земної поверхні. Виявляється, що навіть на одній паралелі значення в різних точкахземної поверхні по-різному. Ці аномалії у розподілі прискорення вільного падіння пов'язані з нерівномірною щільністю земної кори. Вони використовуються для вивчення розподілу густини, зокрема для виявлення залягання в товщі земної кори будь-яких корисних копалин. Великі гравіметричні зміни, що дозволили судити про залягання щільних мас, були виконані в СРСР в так званій Курській магнітній аномалії (див. том II, § 130) під керівництвом радянського фізикаПетра Петровича Лазарєва. У поєднанні з даними про аномалію земного магнітного поляці гравіметричні дані дозволили встановити розподіл залягання залізних мас, що зумовлюють Курську магнітну та гравітаційну аномалії.