Як знайти площу а. Як дізнатися площу прямокутника

Інструкція

Наприклад, вам , що довжина однієї зі сторін (а) дорівнює 7 см, а периметр прямокутника(P) дорівнює 20 см. Так як периметрбудь-якої фігури дорівнює сумідовжин її сторін, а у прямокутника протилежні сторонирівні, то його периметра буде виглядати так: P = 2 x (a + b), або P = 2a + 2b. З цієї формули випливає, що знайти довжину другої сторони (b) можна за допомогою нескладної операції: b = (P – 2a) : 2. Так, у нашому випадку сторона b дорівнюватиме (20 – 2 х 7) : 2 = 3 см .

Тепер, знаючи довжини обох суміжних сторін(a та b), ви зможете підставити їх у формулу площі S = ab. У даному випадку прямокутникадорівнюватиме 7х3 = 21. Зверніть на те, що одиницями виміру будуть вже не , а сантиметри квадратні, тому що довжин двох сторін одиниці їх виміру (сантиметри) ви теж множили один на одного.

Джерела:

• як знаходиться периметр прямокутника

Плоска фігура, що складається з чотирьох сторін та чотирьох прямих кутів. З усіх фігур площа прямокутникадоводиться обчислювати найчастіше інших. Це і площаквартири, та площасадової ділянки, та площаповерхні столу або полиці. Наприклад, щоб просто обклеїти кімнату шпалерами, обчислюють площаїї прямокутні стіни.

Інструкція

До речі, з прямокутникаможна легко вирахувати площа. Достатньо добудувати прямокутний до прямокутникатак, щоб гіпотенуза стала діагоналлю прямокутника. Тоді буде очевидно, що площатакого прямокутникадорівнює добутку катетів трикутника, а площасамого трикутника, відповідно, дорівнює половині добутку катетів.

Відео на тему

Окремий випадокПаралелограма - прямокутник - відомий лише в геометрії Евкліда. У прямокутникарівні всі кути, і кожен із них окремо становить 90 градусів. Виходячи з приватних властивостей прямокутника, а також із властивостей паралелограма про паралельність протилежних сторін можна знайти сторонифігури за заданими діагоналями та кутом від їх перетину. Обчислення сторін прямокутникаґрунтується на додаткових побудовах та застосуванні властивостей одержуваних фігур.

Інструкція

Літерою А відзначте точку перетину діагоналей. Розгляньте утворений побудовами EFА. Відповідно до властивості прямокутникайого діагоналі дорівнюють і навпіл точкою перетину А. Обчисліть значення FА та EА. Так як трикутник EFA рівнобедреним та його сторони EА і FА рівні між собою і відповідно до половини діагоналі EG.

Далі обчисліть першу EF прямокутника. Даний бікє третьою невідомою стороною трикутника EFA, що розглядається. Відповідно до теореми косінусів за відповідною формулою знайдіть сторону EF. Для цього підставте формулу косінусів отримані раніше значення сторін FА EА і косинус відомого кута між ними α. Обчисліть та запишіть отримане значення EF.

Знайдіть другий бік прямокутника FG. Для цього розгляньте інший трикутник EFG. Він є прямокутним, де відомі гіпотенуза EG та катет EF. Відповідно до теореми Піфагора знайдіть другий катет FG за відповідною формулою.

Належить до найпростіших плоских геометричним фігурамі є одним із окремих випадків паралелограма. Відмінна рисатакого паралелограма – прямі кути у всіх чотирьох вершинах. Обмежену сторонами прямокутника площаможна обчислити декількома способами, використовуючи розміри його сторін, діагоналі та кути між ними, радіус вписаного кола тощо.

Інструкція

Якщо відома величина кута (α), який становить діагональ прямокутниказ одного з його сторін, а також довжина (С) цієї діагоналі, то для обчислення площі можна задіяти визначення тригонометричних у прямокутному . Прямокутний трикутник тут утворюють дві сторони чотирикутника та його діагональ. З визначення косинуса випливає, що довжина однієї зі сторін дорівнюватиме добутку довжини діагоналі на кута, величина відома. З визначення синуса можна вивести формулу довжини іншої сторони - вона дорівнює добутку довжини діагоналі на синус того самого кута. Підставте ці тотожності у формулу з попереднього кроку, і вийде, що знаходження площі треба перемножити синус і косинус відомого кута, і навіть довжини діагоналі прямокутника: S=sin(α)*cos(α)*С².

Якщо крім довжини діагоналі (С) прямокутникавідома величина кута (β), який утворюють діагоналі, то для обчислення площі фігури можна також задіяти одну з тригонометричних функцій– синус. Зведіть у квадрат довжину діагоналі і помножте отриманий результат на половину синуса відомого кута: S=C²sin(β)/2.

Якщо відомий (r), вписаний у прямокутник кола, то для обчислення площі зведіть цю величину в другий ступінь і збільшіть результат у чотири рази: S=4*r². Чотирьохкутник, в який можна буде квадратом, а довжина його сторони дорівнює діаметру вписаного кола, тобто подвоєному радіусу. Формула отримана підстановкою довжин сторін, виражених через радіус у тотожність з першого кроку.

Якщо відомі довжини (P) та однієї зі сторін (A) прямокутника, то для знаходження площі всередині цього периметра обчисліть половину добутку довжини сторони на різницю між довжиною периметра та двома довжинами цієї сторони: S=A*(P-2*A)/2.

Відео на тему

Із завданням знайти периметр чи площу багатокутника стикаються не лише учні на уроках геометрії. Іноді її трапляється вирішувати і дорослій людині. Чи доводилося вам розраховувати необхідна кількістьшпалери для кімнати? Або, можливо, ви вимірювали протяжність дачної ділянки, щоб обгородити його огорожею? Так знання основ геометрії іноді незамінні реалізації важливих проектів.

Площа прямокутника, як не зухвало звучатиме, але це важливе поняття. У повсякденному життіми постійно стикаємося з ним. Дізнатися розмір полів, городів, розрахувати кількість фарби, необхідної для побілки стелі, скільки знадобиться шпалер для обклеювання

мнати та інше.

Геометрична фігура

Для початку поговоримо про прямокутник. Це фігура на площині, яка має чотири прямі кути, а її протилежні сторони рівні. Сторони його звикли називати довжиною та шириною. Вимірюють їх у міліметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах тощо. Тепер відповімо на запитання: «Як знайти площу прямокутника?» Для цього потрібно довжину помножити на ширину.

Площа = довжина * ширина

Але ще одне застереження: довжина і ширина повинні бути виражені в однакових одиницяхвимірювання, тобто метр та метр, а не метр і сантиметр. Записується площа латинською літерою S. Для зручності позначимо довжину латинської літерою b, а ширину латинською літерою a, як показано малюнку. Звідси ми робимо висновок, що одиницею вимірювання площі є мм 2 см 2 м 2 і т. д.

Розглянемо на конкретному прикладі, як знайти площу прямокутника. Довжина b = 10 од. Ширина a = 6 од. Рішення: S = a * b, S = 10 од. * 6 од., S = 60 од 2 . Завдання. Як дізнатися площу прямокутника, якщо довжина в 2 рази більша за ширину і становить 18 м? Рішення: якщо b = 18 м, тоді а = b / 2, a = 9 м. Як знайти площу прямокутника, якщо відомі обидві сторони? Правильно, підставити у формулу. S = a * b, S = 18 * 9, S = 162 м 2 . Відповідь: 162 м 2 . Завдання. Скільки потрібно купити рулонів шпалер для кімнати, якщо її розміри становлять: довжина 5,5 м ширина 3,5, а висота 3 м? Розмір рулону шпалер: довжина 10 м, ширина 50 см. Рішення: зробимо малюнок кімнати.

Площі протилежних сторін рівні. Обчислимо площу стіни з розмірами 5,5 м та 3 м. S стіни 1 =5,5*3,

S стіни 1 = 16,5 м2. Отже, протилежна стіна має площу рівну 16,5 м 2 . Знайдемо площу наступних двох стін. Сторони їх відповідно рівні 3,5 м і 3 м. S стіни 2 =3,5*3, S стіни 2 =10,5 м 2 . Отже, і протилежний бік дорівнює 10,5 м 2 . Складемо всі результати. 16,5 +16,5 +10,5 +10,5 = 54 м2. Як обчислити площу прямокутника, якщо сторони виражені в різних одиницяхвимірювання. Раніше ми обчислювали площі в м2, то й у цьому випадку будемо використовувати метри. Тоді ширина рулону шпалер дорівнюватиме 0,5 м. S рулону = 10 * 0,5, S рулону = 5 м 2 . Тепер дізнаємося, скільки рулонів необхідно для обклеювання кімнати. 54: 5 = 10,8 (рулонів). Так як вони вимірюються цілими числами, потрібно купити 11 рулонів шпалер. Відповідь: 11 рулонів шпалер. Завдання. Як обчислити площу прямокутника, якщо відомо, що ширина на 3 см коротша за довжину, а сума сторін прямокутника становить 14 см? Рішення: нехай довжина х см, тоді ширина (х-3) див. прямокутника, 5-3 = 2 см - ширина прямокутника, S = 5 * 2, S = 10 см 2 Відповідь: 10 см 2 .

Резюме

Розглянувши приклади, сподіваюся, стало зрозуміло, як знайти площу прямокутника. Нагадаю, що одиниці виміру довжини та ширини повинні збігатися, інакше вийде неправильний результат, щоб не допустити помилок, читайте завдання уважно. Іноді сторона може бути виражена через іншу сторону, боятися не варто. Зверніться до наших вирішених завдань, можливо, вони можуть допомогти. Але хоч раз у житті ми стикаємося зі знаходженням площі прямокутника.

Одна з перших формул, що вивчається в математиці, пов'язана з тим, що прямокутник. Вона ж є і найчастіше використовуваною. Прямокутні поверхніоточують нас усюди, тому часто потрібно знати їхні площі. Хоча б для того, щоб дізнатися, чи вистачить фарби для фарбування підлог.

Які одиниці виміру площі існують?

Якщо говорити про ту, яку прийнято за міжнародну, то це буде квадратний метр. Його зручно використовувати при розрахунку площ стін, стелі чи підлоги. Вони вказується площа житла.

Коли мова йдепро менші предмети, то вводять квадратні дециметри, сантиметри чи міліметри. Останні потрібні, якщо фігура не більша за нігтя.

При вимірі площі міста чи країни найкращими виявляються квадратні кілометри. Але є ще й одиниці, які використовують для того, щоби вказати розмір площі: ар і гектар. Перша їх ще називається соткою.

Як бути, якщо задані сторони прямокутника?

Подібним чином розраховується який є окремим випадком прямокутника. Так як у нього всі сторони рівні, то твір стає квадратом літери а.

Як бути, якщо фігура зображена на папері?

У цій ситуації слід покладатися на кількість клітин усередині фігури. За їх числом буває просто порахувати площу прямокутника. Але це можна зробити тоді, коли сторони прямокутника збігаються з лініями клітин.

Часто має місце таке положення прямокутника, при якому його сторони нахилені до розлинування паперу. Тоді кількість клітин визначити складно, тож розрахунок площі прямокутника ускладнюється.

Потрібно спочатку дізнатися площу прямокутника, який можна прокреслити по клітинах точно навколо цього. Це просто: перемножити висоту та ширину. Потім відняти з значення площі всіх А їх чотири. До речі, їх розраховують як половину твору катетів.

Підсумковий результат дасть значення площі прямокутника.

Як вчинити, якщо сторони невідомі, зате дані його діагональ і кут між діагоналями?

До того в цій ситуації потрібно вирахувати його сторони, щоб скористатися вже знайомою формулою. Спочатку потрібно згадати якість його діагоналей. Вони рівні і діляться точкою перетину навпіл. Можна побачити на кресленні, що діагоналі ділять прямокутник на чотири рівнобедрених трикутникаякі попарно рівні один одному.

Рівні сторони цих трикутників визначаються як половина діагоналі, яка відома. Тобто у кожному трикутнику є дві сторони та кут між ними, які дано в задачі. Можна скористатися

Одна сторона прямокутника буде обчислена за формулою, в якій фігурують рівні сторонитрикутника та косинус заданого кута. Для обчислення другого значення косинуса доведеться брати від кута, рівної різниці 180 та відомого кута.

Що робити, якщо завдання дано периметр?

Зазвичай за умови вказується ще й співвідношення довжини та ширини. Питання, як порахувати площу прямокутника, у разі простіше конкретному прикладі.

Припустимо, що в задачі периметр деякого прямокутника дорівнює 40 см. Відомо також, що його довжина в півтора рази більша за ширину. Необхідно дізнатися про його площу.

Розв'язання задачі починається із запису формули периметра. Його зручніше розписати як суму довжини та ширини, кожну з яких помножити на дві окремо. Це буде першим рівнянням у системі, яку потрібно вирішити.

Друге пов'язане із відомим за умовою співвідношенням сторін. Перша сторона, тобто довжина, дорівнює добутку другої (ширини) та числа 1,5. Цю рівність слід підставити у формулу для периметра.

Вийде, що він дорівнює сумі двох одночленів. Перший - добуток 2 і невідомої ширини, другий - добуток чисел 2 і 1,5 і тієї ж ширини. У цьому рівнянні лише одна невідома — це ширина. Потрібно її порахувати, а потім скористатися другою рівністю, щоб порахувати довжину. Залишиться тільки перемножити ці два числа, щоб дізнатися площу прямокутника.

Розрахунки дають такі величини: ширина – 8 см, довжина – 12 см, а площа – 96 см 2 . Останнє — відповідь розглянутого завдання.

Починаючи з 5 класу, учні починають ознайомлюватися з поняттям площ різних фігур. p align="justify"> Особлива роль відводиться площі прямокутника, так як ця фігура одна з найбільш простих у вивченні.

Поняття площі

Будь-яка фігура має свою площу, а обчислення площі відштовхуються від одиничного квадрата, тобто від квадрата з довгого боку 1 мм, або 1 см, 1 дм і так далі. Площа такої фігури дорівнює $ 1 * 1 = 1мм ^ 2 $, або $ 1см ^ 2 $ і т. д. Площа, як правило, позначається буквою - S.

Площа показує розмір частини площини, що займає фігура, окреслена відрізками.

Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути однакові градусного заходуі рівні по 90 градусів, а протилежні сторони попарно паралельні та рівні.

Особливу увагу слід звертати на одиниці виміру довжини та ширини. Вони мають збігатися. Якщо одиниці не збігаються, їх переводять. Як правило переводять велику одиницюу меншу, наприклад, якщо довжина дається в дм, а ширина в см, то дм переводять у см, а результат вийде $см^2$.

Формула площі прямокутника

Для того, щоб знайти площу прямокутника без формули, необхідно порахувати кількість одиничних квадратів, на які розбита фігура.

Мал. 1. Прямокутник, розбитий на одиничні квадрати

Прямокутник розбитий на 15 квадратів, тобто площа дорівнює 15 см2. Варто звернути увагу, що завширшки фігура займає 3 квадрати, а завдовжки 5, тому щоб обчислити кількість одиничних квадратів, необхідно помножити довжину на ширину. Менша сторона чотирикутника – ширина, велика довжина. Таким чином, можна вивести формулу площі прямокутника:

S = a · b, де a, b – ширина та довжина фігури.

Наприклад, якщо довжина прямокутника 5 см, а ширина 4 см, то площа дорівнюватиме 4*5=20 см 2 .

Розрахунок площі прямокутника з використанням його діагоналі

Для того, щоб розрахунку площі прямокутника через діагональ необхідно застосувати формулу:

$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$

Якщо завдання дано значення кута між діагоналями, і навіть значення самої діагоналі, можна обчислити площу прямокутника по загальною формулоюдовільних опуклих чотирикутників.

Діагональ – це відрізок, який поєднує протилежні точки фігури. Діагоналі прямокутника рівні, і точкою перетину діляться навпіл.

Мал. 2. Прямокутник із накресленими діагоналями

Приклади

Для закріплення теми розглянемо приклади завдань:

№1. Знайти площу городньої ділянки, такої форми як на малюнку.

Мал. 3. Малюнок завдання

Рішення:

Для того, щоб відняти площу, необхідно фігуру розбити на два прямокутники. Один з них матиме розміри 10 м та 3 м, інший 5 м та 7 м. Окремо знаходимо їх площі:

$ S_1 = 3 * 10 = 30 м ^ 2 $;

Це і буде площа городньої ділянки $ S = 65 м 2 $.

№2. Відняти площу прямокутник, якщо дано його діагональ d=6 см і кут між діагоналями α =30 0 .

Рішення:

Значення $sin 30 =(1\over(2)) $,

$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$

$S =(1\over(2)) * 6^2 * (1\over(2)) =9 см^2$

Таким чином, $ S = 9 см ^ 2 $.

Діагоналі розділяє прямокутник на 4 фігури – 4 трикутники. У цьому трикутники попарно рівні. Якщо провести діагональ у прямокутнику, то вона поділяє фігуру на два рівні прямокутні трикутники.Середня оцінка: 4.4. Усього отримано оцінок: 214.

З таким поняттям, як площа, нам доводиться стикатися у житті повсякденно. Так, наприклад, під час будівництва будинку її потрібно знати для того, щоб розрахувати кількість необхідного матеріалу. Розмір садової ділянки також характеризуватиметься площею. Навіть ремонт у квартирі неможливо зробити без цього визначення. Тому питання, як знайти площу прямокутника, на нашому постає дуже часто і є важливим не лише для школярів.

Для тих, хто не знає, прямокутник – це плоска фігура, У якої протилежні сторони рівні, а кути становлять 90о. Для позначення площі в математиці використовують англійську букву S. Її вимірюють у квадратних одиницях: метрах, сантиметрах і так далі.

Тепер спробуємо дати докладну відповідь на питання, як знайти площу прямокутника. Існує кілька способів визначення цієї величини. Найчастіше ми стикаємося зі способом визначення площі за допомогою ширини та довжини.

Візьмемо прямокутник із шириною b і довжиною k. Для обчислення площі прямокутника необхідно ширину помножити на довжину. Це все можна подати у вигляді формули, яка виглядатиме так: S = b * k.

А тепер розглянемо цей спосіб на конкретному прикладі. Необхідно визначити площу садової ділянки з шириною 2 метри та завдовжки 7 метрів.

S = 2 * 7 = 14 м2

У математиці, особливо в доводиться визначати площу іншими способами, так як у багатьох випадках ні довжина, ні ширина прямокутника нам не відома. Водночас мають місце інші відомі величини. Як знайти площу прямокутника в цьому випадку?

• Якщо нам відома довжина діагоналі і один з кутів, що становить діагональ з будь-якою стороною прямокутника, то в цьому випадку потрібно згадати про площу. Якщо розібратися, то прямокутник складається з двох рівних. прямокутних трикутників. Отже, повернемося до визначуваної величини. Для початку необхідно визначити косинус кута. Отриману величину помножити на довжину діагоналі. У результаті отримаємо довжину однієї із сторін прямокутника. Аналогічно, але за допомогою визначення синуса, можна визначити довжину другої сторони. А як знайти площу прямокутника тепер? Так дуже просто, перемножити отримані величини.

У вигляді формули це виглядатиме так:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , де d-довжина діагоналі

• Ще один спосіб визначення площі прямокутника - через вписане в нього коло. Він застосовується у тому випадку, якщо прямокутник є квадратом. Для використання даного способунеобхідно знати Як обчислити площу прямокутника у такий спосіб? Звісно ж, за формулою. Доводити ми її не будемо. А виглядає вона так: S = 4*r2, де r-радіус.

Трапляється так, що замість радіусу нам відомий діаметр вписаного кола. Тоді формула виглядатиме так:

S = d2, де d - Діаметр.

• Якщо відома одна із сторін і периметр, то як дізнатися площу прямокутника в цьому випадку? Для цього необхідно зробити ряд простих обчислень. Як ми знаємо, протилежні сторони прямокутника рівні, тому від значення периметра необхідно відібрати відому довжину, помножену на два. Отриманий результат розділити на два та отримаємо довжину другої сторони. Ну, а далі стандартний прийом, перемножуємо обидві сторони та отримуємо площу прямокутника. У вигляді формули це виглядатиме так:

S = b * (P - 2 * b), де b - Довжина сторони, P - периметр.

Як бачимо площу прямокутника можна визначати у різний спосіб. Все залежить від того, які розміри нам відомі перед розглядом даного питання. Звичайно ж, останні методиобчислення в житті практично не зустрічаються, але можуть стати у нагоді для вирішення багатьох завдань у школі. Можливо, і для вирішення ваших завдань ця стаття виявиться корисною.