Бічна поверхня прямокутної призми. Запитання до глави III

Визначення. Призма- це багатогранник, всі вершини якого розташовані в двох паралельних площинах, причому в цих двох площинах лежать дві грані призми, що являють собою рівні багатокутникі відповідно паралельними сторонамиа всі ребра, що не лежать у цих площинах, паралельні.

Дві рівні грані називаються підставами призми(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всі інші грані призми називаються бічними гранями(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Усі бічні грані утворюють бічну поверхню призми .

Усі бічні грані призми є паралелограмами .

Ребра, що не лежать в основах, називаються бічними ребрами призми( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Діагоналлю призми називається відрізок, кінцями якого служать дві вершини призми, що не лежать на одній її грані (AD 1).

Довжина відрізка, що з'єднує основи призми і перпендикулярна одночасно обом основам,називається висотою призми .

Позначення:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Спочатку в порядку обходу вказують вершини однієї основи, а потім у тому ж порядку - вершини іншої; кінці кожного бокового ребра позначають однаковими літерамитільки вершини, що лежать в одній підставі, позначаються буквами без індексу, а в іншій - з індексом)

Назву призми пов'язують з числом кутів у фігурі, що лежить у її підставі, наприклад, на малюнку 1 у підставі лежить п'ятикутник, тому призму називають п'ятикутною призмою. Але т.к. у такої призми 7 граней, то вона семигранник(2 грані - підстави призми, 5 граней - паралелограми, - її бічні грані)

Серед прямих призм вирізняється приватний вигляд: правильні призми

Пряма призма називається правильною,якщо її підстави - правильні багатокутники.

Паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед - Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

Властивості та теореми:

,

де d – діагональ квадрата;
a – сторона квадрата.

Подання про призм дають:

• різні архітектурні споруди;
• дитячі іграшки;
• пакувальні коробки;
• дизайнерські предмети тощо.

Площа повної та бічної поверхні призми

S повн = S бік + 2S осн,

де S повний- площа повної поверхні, S бік-площа бічної поверхні, S осн- площа основи

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми.

S бік= P осн * h,

де S бік-площа бічної поверхні прямої призми,

P осн - периметр основи прямої призми,

h - висота прямої призми, що дорівнює бічному ребру.

Обсяг призми

Обсяг призми дорівнює творуплощі основи на висоту.

1. Найменша кількістьребер має тетраедр – 6.

2. Призма має п граней. Який багатокутник лежить у її основі?

(n – 2) – косинець.

3. Чи є призма прямою, якщо дві її суміжні бічні грані перпендикулярні до площини основи?

Так, є.

4. У якій призмі бічні ребра паралельні її висоті?

У прямій призмі.

5. Чи є призма правильною, якщо всі її ребра дорівнюють один одному?

Ні, вона може бути не прямою.

6. Чи може висота однієї з бічних граней похилої призми і висотою призми?

Так, якщо ця грань перпендикулярна до основ.

7. Чи існує призма, у якої: а) бічне ребро перпендикулярне лише одному ребру основи; б) лише одна бічна грань перпендикулярна до основи?

а) так. б) ні.

8. Правильна трикутна призма розбивається площиною, що проходить через середні лінії основ, на дві призми. Як відносяться площі бічних поверхонь цих призмів?

За теоремою п. 27 отримуємо, що бічні поверхні відносяться, як 5: 3

9. Чи буде піраміда правильною, якщо її бічними гранями є правильні трикутники?

10. Скільки граней, перпендикулярних до площини основи може мати піраміда?

11. Чи існує чотирикутна піраміда, у якої протилежні бічні грані перпендикулярні до основи?

Ні, інакше через вершину піраміди проходили б як мінімум дві прямі, перпендикулярні підставам.

12. Чи можуть усі грані трикутної піраміди бути прямокутними трикутниками?

Так (рис 183).

Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторониякого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнеювже буде об'єднання всіх граней, що становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо у них однакові фігуриу верхній та нижній гранях, то їхні площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи в загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, Що є правильною, то трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли мова йдепро чотирикутну призму, площа підстави правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони «в», а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений на п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значенняплощі основи та вчотирьох бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площаповерхні призми виявляється 960 см 2 .

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Усі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

Багатокутники ABCDE та FHKMP , що лежать у паралельних площинах, називаються основами призми, перпендикуляр OO 1 , опущений з будь-якої точки основи на площину іншого, називається висотою призми. Паралелограми ABHF, BCKH і т.д. називаються бічними гранями призми, які сторони СК , DM тощо., що з'єднують відповідні вершини підстав, - бічними ребрами. У призми всі бічні ребра дорівнюють між собою як відрізки паралельних прямих, укладених між паралельними площинами.
Призма називається прямою ( фиг.282,б) або похилою ( фиг.282,в) залежно від того, чи будуть її бічні ребра перпендикулярні або похилі до основ. У прямій призми бічні грані – прямокутники. За висоту такої призми можна прийняти бічне ребро.
Пряма призма називається правильною, якщо її підстави – правильні багатокутники. У такої призми всі бічні грані – рівні прямокутники.
Для зображення на комплексному кресленні призми треба знати та вміти зображати елементи, з яких вона складається (крапку, пряму, плоску фігуру).
та їх зображення на комплексному кресленні (фіг.283, а - і)

а) Комплексне креслення призми. Основа призми розташована на площині проекцій П 1; одна з бічних граней призми паралельна площині проекцій П 2 .
б) Жодна основа призми DEF - плоска фігура - правильний трикутник, розташований у площині П 1; сторона трикутника DE паралельна осі х 12 - Горизонтальна проекція зливається з цією основою і, отже, дорівнює його натуральній величині; фронтальна проекція зливається з віссю х 12 і дорівнює боці підстави призми.
в) Верхня основа призми АВС - плоска фігура - трикутник, розташований у горизонтальній площині. Горизонтальна проекція зливається з проекцією нижньої основи та закриває собою її, оскільки призма пряма; фронтальна проекція - пряма, паралельна осі х 12 на відстані висоти призми.
г) Бічна грань призми ABED - плоска форма - прямокутник, що лежить у передній поверхні. Фронтальна проекція - прямокутник, що дорівнює натуральній величині грані; горизонтальна проекція - пряма, рівна стороні основи призми.
д) та е) Бічні грані призми ACFD та CBEF - плоскі фігури - прямокутники, що лежать у горизонтально - проектуючих площинах, розташованих під кутом 60° до площини проекцій П 2 . Горизонтальні проекції - прямі, розташовані до осі х 12 під кутом 60°, і дорівнюють натуральній величині сторін підстави призми; фронтальні проекції - прямокутники, зображення яких менше натуральної величини: дві сторони кожного прямокутника дорівнюють висоті призми.
ж) Ребро AD призми – пряма, перпендикулярна до площини проекцій П 1 . Горизонтальна проекція – точка; фронтальна - пряма, перпендикулярна до осіх 12 , рівна боковому ребру призми (висота призми).
з) Сторона АВ верхньої основи - пряма, паралельна площин П 1 і П 2 . Горизонтальна та фронтальна проекції - прямі, паралельні осіх 12 і рівні стороні цієї основи призми. Фронтальна проекція відстане від осі х 12 на відстані, що дорівнює висоті призми.
і) Вершини призми. Точка Е - вершина нижньої основи розташована на площині П 1 . Горизонтальна проекція збігається з точкою; фронтальна - лежить на осі x 12. Точка С - вершина верхньої основи - розташована у просторі. Горизонтальна проекція має глибину; фронтальна - висоту, рівну висотіцієї призми.
Звідси випливає: проектуючи всякий багатогранник, треба подумки розчленувати його на складові елементита визначити порядок їх зображення, що складається із послідовних графічних операцій.На (фіг.284 та фиг.285) наведені приклади послідовних графічних операцій при виконанні комплексного креслення та наочного зображення (аксонометрії) призм.
(Фіг.284).

Дано:
1. Основа розташована на площині проекцій П 1 .
2. Жодна зі сторін основи не паралельна осі х 12 .
I. Комплексне креслення.
I, а. Проектуємо нижню основу - багатокутник, що за умовою лежить у площині П 1 .
I, б. Проектуємо верхню основу - багатокутник, рівний нижній основі з відповідно паралельними нижній основі сторонами, що віддаляється від нижньої основи на висоту H даної призми.
І, ст. Проектуємо бічні ребра призми – відрізки, розташовані паралельно; їх горизонтальні проекції - точки, що зливаються з проекціями вершин основ; фронтальні - відрізки (паралельні), отримані від з'єднання прямими однойменних проекцій вершин основ. Фронтальні проекції ребер, проведені з проекцій вершин В і С нижньої основи, зображуємо штриховими лініями як невидимі.
I, р. Дані: горизонтальна проекція F 1 точки F на верхній основі і фронтальна проекція До 2 точки До на бічній грані. Потрібно визначити місця їхніх других проекцій.
Для точки F. Друга (фронтальна) проекція F 2 точки F збігатиметься з проекцією верхньої основи, як точка, що лежить в площині цієї основи; її місце визначається вертикальною лінією зв'язку.
Для точки К - Друга (горизонтальна) проекція K 1 точки До збігатиметься з горизонтальною проекцією бічної грані, як точка, що лежить у площині грані; її місце визначається вертикальною лінією зв'язку.
ІІ. Розгорнення поверхні призми- Плоска фігура, складена з бокових граней - прямокутників, у яких по дві сторони рівні висоті призми, а інші дві рівні відповідним сторонам основи, і з двох рівних між собою підстав - неправильних багатокутників.
Натуральні розміри основ і сторін граней, необхідних побудови розгортки, виявлено на проекціях; за ними і робимо побудову; на прямий послідовно відкладаємо сторони АВ, ВС, CD, DE і ЕA багатокутника - основи призми, взяті з горизонтальної проекції. На перпендикулярах, проведених з точок А, В, С, D, Е та А, відкладаємо взяту з фронтальної проекції висоту Н цієї призми та через позначки проводимо пряму. В результаті отримуємо розгорнення бічних граней призми.
Якщо до цієї розгортки прилаштувати підстави призми, отримаємо повну поверхню призми. Підстави призми слід прилаштовувати до відповідної бічної грані, користуючись методом тріангуляції.
На верхньому підставі призми з допомогою радіусів R і R 1 визначаємо місце точки F , але в бічній грані з допомогою радіусу R 3 і Н 1 - точку K .
ІІІ. Наочне зображенняпризми у диметрії.
ІІІ, а. Зображуємо нижню основу призми за координатами точок А, В, З, D і Е (фіг.284 I, a).
ІІІ, б. Зображаємо верхню основу паралельно нижньому, що віддаляється від нього на висоту Н призми.
ІІІ, ст. Зображаємо бічні ребра, навіщо з'єднуємо прямими відповідні вершини основ. Визначаємо видимі та невидимі елементи призми та обводимо їх відповідними лініями,
III, м. Визначаємо на поверхні призми точки F і К - точку F - на верхній підставі визначаємо за допомогою розмірів i і е; точку К - на бічній грані за допомогою i 1 і H" .
Для ізометричного зображення призми та визначення місць точок F та К слід дотримуватись тієї ж послідовності.
фиг.285).

Дано:
1. Основа розташована на площині П 1 .
2. Бічні ребра паралельні площині П 2 .
3. Жодна зі сторін основи не паралельна осі x 12
I. Комплексне креслення.
I, а. Проектуємо по даною умовою: нижня основа - багатокутник, що лежить у площині П 1 , і бічне ребро - відрізок, паралельний площині П 2 і похильний до площини П 1 .
I, б. Проектуємо інші бічні ребра - відрізки, рівні та паралельні першому ребру РЄ.
І, ст. Проектуємо верхню основу призми як багатокутник, рівний і паралельний до нижньої основи, отримуємо комплексне кресленняпризми.
Виявляємо на проекціях невидимі елементи. Фронтальну проекцію ребра ВМ та горизонтальну проекцію сторони основи CD зображуємо штриховими лініями як невидимі.
I, м. Дана фронтальна проекція Q 2 точки Q на проекції A 2 K 2 F 2 D 2 бічній грані; потрібно знайти її горизонтальну проекцію. Для цього проводимо через точку Q 2 в проекції A 2 K 2 F 2 D 2 грані призми допоміжну пряму, паралельну бічним ребрам цієї грані. Знаходимо горизонтальну проекцію допоміжної прямої та на ній за допомогою вертикальної лініїзв'язку визначаємо місце шуканої горизонтальної проекції Q1 точки Q.
ІІ. Розгортання поверхні призми.
Маючи на горизонтальній проекції натуральні розміри сторін основи, але в фронтальної - розміри ребер, можна побудувати повну розгортку поверхні цієї призми.
Котимо призму, повертаючи її щоразу навколо бічного ребра, тоді кожна бічна грань призми на площині залишатиме слід (паралелограм), що дорівнює її натуральній величині. Побудову бічної розгортки будемо проводити в такому порядку:
а) з точок А 2 , 2 , D 2 . . . Е 2 ( фронтальних проекційвершин основ) проводимо допоміжні прямі, перпендикулярні до проекцій ребер;
б) радіусом R ( рівним боціпідстави CD) робимо на допоміжній прямій, проведеній з точки D 2 засічку в точці D ; з'єднавши прямий точки З 2 і D і провівши прямі, паралельні E 2 З 2 і C 2 D отримаємо бічну грань CEFD ;
в) потім, аналогічно прилаштувавши наступні бічні грані, отримаємо розгорнення бічних граней призми. Для отримання повної розгортки поверхні даної призми прилаштовуємо до відповідних меж підстави.
ІІІ. Наочні зображення призми в ізометрії.
ІІІ, а. Зображаємо нижню основу призми та ребро РЄ, користуючись координатами згідно (

Багатогранники

Основним об'єктом вивчення стереометрії є просторові тіла. Тілоє частиною простору, обмежену деякою поверхнею.

Багатогранникомназивається тіло, поверхня якого складається з кінцевого числаплоских багатокутників. Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований з одного боку площини кожного плоского багатокутника з його поверхні. Загальна частинатакої площини та поверхні багатогранника називається гранню. Грані опуклого багатогранника є плоскими опуклими багатокутниками. Сторони граней називається ребрами багатогранника, а вершини – вершинами багатогранника.

Наприклад, куб складається із шести квадратів, які є його гранями. Він містить 12 ребер (сторони квадратів) та 8 вершин (вершини квадратів).

Найпростішими багатогранниками є призми та піраміди, вивченням яких і займемося далі.

Призма

Визначення та властивості призми

Призмоюназивається багатогранник, що складається з двох плоских багатокутників, що лежать у паралельних площинах, що поєднуються. паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точкицих багатокутників. Багатокутники називаються підставами призмиа відрізки, що з'єднують відповідні вершини багатокутників, – бічними ребрами призми.

Висотою призминазивається відстань між площинами її основ (). Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать до однієї грані, називається діагоналлю призми(). Призма називається n-вугільнийякщо в її основі лежить n-кутник.

Будь-яка призма має такі властивості, що випливають з того факту, що підстави призми поєднуються паралельним переносом:

1. Підстави призми рівні.

2. Бічні ребра призми паралельні та рівні.

Поверхня призми складається з підстав та бічної поверхні. Бічна поверхняпризми складається з паралелограмів (це випливає з властивостей призми). Площею бічної поверхні призми називається сума площ бічних граней.

Пряма призма

Призма називається прямий, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. В іншому випадку призма називається похилій.

Гранями прямої призми є прямокутники. Висота прямої призми дорівнює її бічним граням.

Повною поверхнею призминазивається сума площі бічної поверхні та площ основ.

Правильною призмою називається пряма призма з правильним багатокутникомна підставі.

Теорема 13.1. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра на висоту призми (або, що те саме, на бічне ребро).

Доведення. Бічні грані прямої призми є прямокутниками, основи яких є сторонами багатокутників у підставах призми, а висоти є бічними ребрами призми. Тоді за визначенням площа бічної поверхні:

,

де – периметр основи прямої призми.

Паралелепіпед

Якщо у підставах призми лежать паралелограми, вона називається паралелепіпедом. У паралелепіпеда всі грані – паралелограми. При цьому протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

Теорема 13.2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Доведення. Розглянемо дві довільні діагоналі, наприклад, і . Т.к. гранями паралелепіпеда є паралелограми, то і , а значить по Т про дві прямі паралельні третій . Крім того, це означає, що прямі і лежать в одній площині (площині). Ця площина перетинає паралельні площиниі по паралельним прямим і . Таким чином, чотирикутник - паралелограм, а за властивістю паралелограма його діагоналі і перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, що потрібно було довести.

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом. У прямокутного паралелепіпеда всі грані – прямокутники. Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називаються його лінійними розмірами (вимірюваннями). Таких розмірів три (ширина, висота, довжина).

Теорема 13.3. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів (Доказується за допомогою дворазового застосування Т Піфагора).

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Завдання

13.1 Скільки діагоналей має n-вугільна призма

13.2У похилій трикутній призмі відстані між бічними ребрами дорівнюють 37, 13 і 40. Знайти відстань між більшою бічною гранню і протилежним бічним ребром.

13.3Через бік нижньої основи правильної трикутної призми проведена площина, що перетинає бічні грані по відрізках, кут між якими . Знайти кут нахилу цієї площини до основи призми.