Як розраховується середнє арифметичне. Середня арифметична

У математиці середнє арифметичне значеннячисел (або просто середнє) — це сума всіх чисел у даному наборі, Поділена на їх кількість. Це найбільш узагальнене та поширене поняття середньої величини. Як ви вже зрозуміли, щоб знайти потрібно підсумовувати всі дані вам числа, а отриманий результат поділити на кількість доданків.

Що таке середнє арифметичне?

Давайте розглянемо приклад.

Приклад 1. Дано числа: 6, 7, 11. Потрібно знайти їхнє середнє значення.

Рішення.

Спочатку знайдемо суму всіх цих чисел.

Тепер розділимо суму, що вийшла, на кількість доданків. Так як у нас складові три, відповідно, ми ділитимемо на три.

Отже, середнє значення чисел 6, 7 та 11 — це 8. Чому саме 8? Та тому, що сума 6, 7 та 11 буде такою самою, як трьох вісімок. Це добре видно на ілюстрації.

Середнє значення чимось нагадує вирівнювання ряду чисел. Як бачите, купки олівців стали одного рівня.

Розглянемо ще один приклад, щоб закріпити отримані знання.

приклад 2.Дано числа: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Потрібно знайти їхнє середнє арифметичне значення.

Рішення.

Знаходимо суму.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Ділимо на кількість доданків (у цьому випадку - 15).

Отже, середнє значення даного рядучисел дорівнює 22.

Тепер розглянемо негативні числа. Згадаймо, як їх підсумовувати. Наприклад, у вас є два числа 1 та -4. Знайдемо їхню суму.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Знаючи це, розглянемо ще один приклад.

приклад 3.Знайти середнє значення низки чисел: 3, -7, 5, 13, -2.

Рішення.

Знаходимо суму чисел.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Так як доданків 5, розділимо суму, що вийшла на 5.

Отже, середнє арифметичне значення чисел 3, -7, 5, 13, -2 дорівнює 2,4.

У наш час технологічного прогресу набагато зручніше використовуватиме знаходження середнього значення комп'ютерні програми. Microsoft Office Excel – одна з них. Шукати середнє значення в Excel швидко та просто. Тим більше, що ця програма входить до пакета програм від Microsoft Office. Розглянемо коротку інструкціюзначення за допомогою цієї програми.

Щоб порахувати середнє значення ряду чисел, необхідно використовувати функцію AVERAGE. Синтаксис для цієї функції:
= Average (argument1, argument2, ... argument255)
де argument1, argument2, ... argument255 - це або числа, або посилання на комірки (під комірками маються на увазі діапазони та масиви).

Щоб було зрозуміліше, опробуємо отримані знання.

1. Введіть числа 11, 12, 13, 14, 15, 16 у комірки С1 - С6.
2. Виділіть комірку С7, натиснувши на неї. У цьому осередку у нас буде відображатися середнє значення.
3. Клацніть на вкладці Формули.
4. Виберіть More Functions > Statistical, щоб відкрити
5. Виберіть AVERAGE. Після цього має відкритися діалогове вікно.
6. Виділіть та перетягніть туди осередки С1-С6, щоб задати діапазон у діалоговому вікні.
7. Підтвердіть свої дії за допомогою клавіші «ОК».
8. Якщо ви все зробили правильно, у комірці С7 у вас має з'явитися відповідь – 13,7. При натисканні на комірку C7 функція (= Average (C1: C6)) відображатиметься у рядку формул.

Дуже зручно використовувати цю функцію для ведення обліку, накладних або, коли вам просто потрібно знайти середнє значення з дуже довгого ряду чисел. Тому її часто використовують в офісах та великих компаніях. Це дозволяє зберігати порядок у записах і дозволяє швидко порахувати що-небудь (наприклад, середній дохід за місяць). Також з допомогою Excelможна знайти середнє значення функції.

Середнє арифметичне - статистичний показникщо демонструє середнє значення заданого масиву даних. Такий показник розраховується як дріб, у чисельнику якого коштує сума всіх значень масиву, а знаменнику - їх кількість. Середнє арифметичне – важливий коефіцієнт, який знаходить застосування у побутових розрахунках.

Сенс коефіцієнта

Середнє арифметичне - елементарний показник для порівняння даних та підрахунку прийнятного значення. Наприклад, у різних магазинах продається банку пива конкретного виробника. Але в одному магазині вона коштує 67 рублів, в іншому – 70 рублів, у третьому – 65 рублів, а в останньому – 62 рублі. Досить великий розбіг цін, тому покупцеві буде цікава Середня вартістьбанки, щоб при купівлі товару міг порівняти свої витрати. У середньому банки пива по місту мають ціну:

Середня вартість = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рублів.

Знаючи середню ціну, легко визначити, де вигідно купувати товар, а де доведеться переплатити.

Середнє арифметичні постійно використовується у статистичних розрахунках у випадках, коли аналізується однорідний набірданих. У прикладі вище – це ціна банки пива однієї марки. Однак ми не можемо порівняти ціну на пиво різних виробників або ціни на пиво та лимонад, так як у цьому випадку розкид значень буде більшим, середня ціна буде змащена і недостовірна, а сам сенс розрахунків спотвориться до карикатурного. Середня температурапо лікарні». Для розрахунку різнорідних масивів даних використовується середнє арифметичне зважене, коли кожне значення набуває свого вагового коефіцієнта.

Підрахунок середнього арифметичного

Формула для обчислень гранично проста:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

де an – значення величини, n – Загальна кількістьзначень.

Навіщо може використовуватися цей показник? Перше та очевидне його застосування – це статистика. Практично у кожному статистичному дослідженнівикористовується показник середнього арифметичного. Це може бути середній вікодруження в Росії, середня оцінка по предмету у школяра або середні витрати на продукти на день. Як говорилося вище, без урахування ваг підрахунок середніх значень може давати дивні чи абсурдні значення.

Наприклад, президент Російської ФедераціїЗробив заяву, що за статистикою, середня зарплата росіянина становить 27 000 рублів. Для більшості жителів Росії такий рівень зарплати видався абсурдним. Не дивно, якщо при розрахунку враховувати розмір доходів олігархів, керівників промислових підприємств, великих банкірів з одного боку та зарплати вчителів, прибиральників та продавців з іншого. Навіть середні зарплати за однією спеціальністю, наприклад, бухгалтера, матимуть серйозні відмінності у Москві, Костромі та Єкатеринбурзі.

Як рахувати середні для різнорідних даних

У ситуаціях із підрахунком заробітної плативажливо враховувати вагу кожного значення. Це означає, що зарплати олігархів та банкірів отримали б вагу, наприклад, 0,00001, а зарплати продавців – 0,12. Це цифри зі стелі, але вони приблизно ілюструють поширеність олігархів та продавців у суспільстві.

Таким чином, для підрахунку середнього або середнього значення в різнорідному масиві даних, потрібно використовувати середнє арифметичне зважене. Інакше ви отримаєте середню зарплату по Росії на рівні 27000 рублів. Якщо ж ви хочете дізнатися свою середню оцінкуз математики або середня кількість забитих шайб вибраного хокеїста, то вам підійде калькулятор середнього арифметичного.

Наша програма є простий і зручний калькулятор для розрахунку середнього арифметичного. Для виконання розрахунків вам знадобиться ввести лише значення параметрів.

Розглянемо кілька прикладів

Розрахунок середньої оцінки

Багато вчителів використовують метод середнього арифметичного визначення річний оцінки по предмету. Давайте уявімо, що дитина отримала наступні четвертні позначки з математики: 3, 3, 5, 4. Яку річну оцінку йому поставить вчитель? Скористаємося калькулятором та порахуємо середнє арифметичне. Для початку оберіть відповідну кількість полів і введіть значення оцінок у комірки, що з'явилися:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Вчитель округлить значення на користь учня, і школяр отримає за рік тверду четвірку.

Розрахунок з'їдених цукерок

Давайте проілюструємо деяку абсурдність середнього арифметичного. Уявімо, що Маша і Вови мали 10 цукерок. Маша з'їла 8 цукерок, а Вова – всього 2. Скільки цукерок у середньому з'їла кожна дитина? За допомогою калькулятора легко визначити, що в середньому діти з'їли по 5 цукерок, що зовсім не відповідає дійсності і здоровому глузду. Цей приклад показує, що показник середнього арифметичного важливо вважати для осмислених наборів даних.

Висновок

Розрахунок середнього арифметичного широко використовується в багатьох наукових сферах. Цей показник популярний у статистичних розрахунках, а й у фізиці, механіці, економіці, медицині чи фінансах. Використовуйте наші калькулятори як помічник для вирішення завдань на обчислення середнього арифметичного.

Тема середнього арифметичного та середнього геометричного входить до програми математики 6-7 класів. Так як параграф досить простий для розуміння, його швидко проходять, і до завершення навчального рокушколярі його забувають. Але знання в базовій статистиці потрібні здачі ЄДІ, а також для міжнародних іспитів SAT. Та й для повсякденному життірозвинене аналітичне мисленняніколи не завадить.

Як обчислити середнє арифметичне та середнє геометричне чисел

Припустимо, є ряд чисел: 11, 4 і 3. Середнім арифметичним називається сума всіх чисел, поділена на кількість даних чисел. Тобто у разі чисел 11, 4, 3, відповідь буде 6. Як виходить 6?

Рішення: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

У знаменнику має стояти число, яке дорівнює кількості чисел, середнє яких потрібно знайти. Сума ділиться на 3, тому що доданків три.

Тепер треба розібратися із середнім геометричним. Припустимо, є ряд чисел: 4, 2 та 8.

Середнім геометричних чиселназивається добуток всіх даних чисел, що знаходиться під коренем зі ступенем, що дорівнює кількості даних чисел. Тобто у випадку чисел 4, 2 і 8 відповіддю буде 4.

Рішення: ∛(4 × 2 × 8) = 4

В обох випадках вийшли цілі відповіді, тому що для прикладу були взяті спеціальні числа. Так відбувається не завжди. Найчастіше відповідь доводиться округляти чи залишати під коренем. Наприклад, для чисел 11, 7 і 20 середнє арифметичне ≈ 12,67, а середнє геометричне - ∛1540. А для чисел 6 та 5 відповіді, відповідно, будуть 5,5 та √30.

Чи може так статися, що середнє арифметичне дорівнюватиме середньому геометричному?

Звісно, ​​може. Але лише у двох випадках. Якщо є ряд чисел, що складається лише з одиниць, або з нулів. Примітно також те, що відповідь не залежить від їхньої кількості.

Доказ із одиницями: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (середнє арифметичне).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (середнє геометричне).

Доказ із нулями: (0 + 0) / 2=0 (середнє арифметичне).

√(0 × 0) = 0 (середнє геометричне).

Іншого варіанту немає і не може.

Дуже зручний винахід комп'ютерного світу- Електронні таблиці. У них можна вводити дані, красиво оформляти їх у вигляді документів на свій смак (або смак начальства).

Можна один раз створити такий документ — власне, одразу ціле сімейство документів, яке за термінологією Excel називається «робоча книга» ( англійський варіант workbook).

Як поводиться Excel

Потім потрібно змінювати кілька вихідних цифр при зміні даних, і тоді Excel виконає відразу кілька дій, арифметичних та інших. Він у документі:

Для цього у програми електронних таблиць(А Excel - далеко не одна така) є цілий арсенал арифметичних засобів і готових функцій, що виконуються за вже налагодженими та працездатними програмами. Треба тільки вказати у будь-якому осередку, коли пишемо формулу, серед інших операндів ім'я відповідної функції та в дужках до неї — аргументи.

Функцій дуже багато та вони згруповані за областями застосування:

Для узагальнення множинних даних є цілий набір статистичних функцій. Отримати середнє значення якихось даних, це, напевно, найперше, що спадає на думку статистику, коли він дивиться на цифри.

Що таке середнє значення?

Це коли береться деякий ряд чисел, підраховуються два значення за ними — загальна кількість чисел і їх загальна сума, а потім друге ділиться на перше. Тоді вийде число, що за своїм значенням стоїть десь у самій серці ряду. Можливо, навіть співпаде з якимось із чисел ряду.

Ну що ж, будемо вважати, що тому страшно пощастило в цьому випадку, але зазвичай арифметичне середнє буває не тільки не збігається з жодним з чисел свого ряду, але навіть, як кажуть, «не лізуть ні в які ворота» в цьому ряду . Наприклад, середня кількість людей, що мешкають у квартирах якогось міста N-ска, ​​може виявитися 5,216 осіб. Це як? Чи живуть 5 людей і ще доважок у 216 тисячних часток одного з них? Знаючий тільки посміхнеться: та Ви що! Це ж статистика!

Статистичні (або просто облікові) таблиці можуть бути абсолютно різних формта розмірів. Власне форма, прямокутник, але вони бувають широкі, вузькі, повторювані (скажімо, дані за тиждень по днях), розкидані на різних аркушах Вашої workbook — робочої книги.

А то й взагалі в інших workbook (тобто в книгах, англійською), а то й на інших комп'ютерах у локальній мережі, чи, страшно сказати, в інших кінцях нашого білого світла, тепер об'єднаного всесильною мережею Internet. Багато інформації можна отримувати з вельми солідних джерел в Інтернеті вже в готовому вигляді. Після чого обробляти, аналізувати, робити висновки, писати статті, дисертації...

Власне кажучи, сьогодні нам потрібно просто на деякому масиві однорідних даних порахувати середнє, використовуючи чудодійну програму електронних таблиць. Однорідних означає дані про якісь подібні об'єкти і в одних і тих же одиницях вимірювання. Щоб людей ніколи не сумувати з мішками картоплі, а кілобайти з рублями та копійками.

Приклад пошуку середнього значення

Нехай у нас у деяких осередках записані вихідні дані. Зазвичай тут якось записуються узагальнені дані, або дані, отримані з вихідних.

Вихідні дані розташовуються в лівій частині таблиці (наприклад, один стовпець - кількість деталей, виготовлених одним працівником А, якому відповідає в таблиці окремий рядок, і другий стовпець-ціна однієї деталі), в останньому стовпці проставляється вироблення працівника А в грошах.

Раніше це робилося за допомогою калькулятора, тепер можна таку просте завданнядовірити програмі, що ніколи не помиляється.

Проста таблиця денних заробітків

Ось на зображенні сума заробіткуі обчислюється вона по кожному працівнику в стовпці Е за формулою множення кількості деталей (стовпець С) на ціну деталей (стовпець D).

В інші місця таблиці він тоді навіть і ступити не зможе, і формул подивитися в нього не вийде. Хоча, звичайно ж, усі в тому цеху знають, як вироблення окремого працівникапереходить у гроші, зароблені ним протягом дня.

Сумарні величини

Потім зазвичай підраховують сумарні величини. Це зведені цифрипо всьому цеху, ділянці, чи всій бригаді. Зазвичай, ці цифри одні начальники доповідають іншим — начальникам вище.

Ось так можна обчислити суми в стовпцях вихідних даних, а заразом і в стовпці похідному, тобто стовпці заробітку

Відразу зауважу, що поки що таблиця Excel створюється, ніякого захисту в осередках не робиться. Інакше, як би ми малювали саму табличку, вводили оформлення, розфарбовували її і вводили розумні і правильні формули? Ну а коли все вже готове, перед тим як дати цю робочу книгу(Тобто табличний файл) в роботу зовсім іншій людині, робиться захист. Та просто від необережної дії, щоб не зашкодити випадково формулі.

І ось таблиця самообчислювана в роботі, в цеху почне працювати разом з рештою цехових трудяг. Після того, як день трудовий завершився, усі подібні таблиці даних про роботу цеху (і не лише одного його) передаються високому начальству, яке ці дані наступного дня узагальнить та зробить якісь висновки.

Ось вона, середня (mean - англійською)

Воно насамперед порахує середню кількість деталей, виготовлених на одного працівника за день, а також середній заробітокза день за працівниками цеху (а потім і по заводу). Ми теж це виконаємо в останньому, найнижчому рядку нашої таблиці.

Як бачимо, можна використовувати вже розраховані у попередньому рядку суми, просто розділити їх на кількість працівників – 6 у цьому випадку.

У формулах ділити на константи, постійні числа, це поганий тон. А раптом у нас станеться щось надзвичайне, і кількість працівників стане меншою? Тоді треба буде лазити за всіма формулами і скрізь міняти цифру сім на якусь іншу. Можна, наприклад, обдурити табличку так:

Замість конкретної цифри поставити у формулі посилання на комірку A7, де стоїть порядковий номеростаннього працівника зі списку. Тобто, це і буде кількість працівників, а значить, ми правильно ділимо суму по стовпцю, який нас цікавить, на кількість і отримуємо середнє значення. Як бачимо, середня кількість деталей вийшла 73 і плюс дивовижний за цифрами (хоча не за значущістю) доважок, який зазвичай викидають шляхом округлення.

Округлення до копійок

Округлення - звичайна діяколи в формулах, особливо бухгалтерських, одне число ділять на інше. Причому це окрема тема в бухгалтерії. Бухгалтери округленнями займаються давно і скрупульозно: вони кожне отримане за допомогою поділу число відразу округляють до копійок.

А Excel - програма математична. Вона не відчуває трепету перед часткою копійки - куди її подіти. Excel просто зберігає числа, як є, з усіма знаками після коми. І знову і знову проводитиме з такими числами обчислення. А вже, кінцевий результатможе округлити (якщо ми дамо команду).

Тільки бухгалтерія скаже, що то помилка. Тому що вони округляють кожне отримане криве число до цілих рублів і копійок. І кінцевий результат зазвичай виходить трохи іншим, ніж у байдужої до грошей програми.

Але тепер скажу головний секрет. Excel і без нас вміє знаходити середню величину, він має вбудовану функцію для цього. Їй потрібно лише вказати діапазон даних. І тоді вона сама їх підсумує, порахує, а потім сама і розділить суму на кількість. І вийде те саме, що ми осягали крок за кроком.

Для того щоб цю функцію знайти, ми, вставши в комірку E9, куди має бути поміщений її результат. середня величинапо стовпцю E, клацніть мишкою по значку fxщо знаходиться ліворуч від рядка формул.

1. Відкриється панель, яка називається "Майстер функцій". Це такий багатокроковий діалог (Wizard, англійською), за допомогою якого програма допомагає під час конструювання складних формул. І, зауважимо, що допомога вже розпочата: у рядку формул програма вбила за нас знак =.
2. Тепер можна бути спокійним, програма проведе нас через усі складнощі (хоч російською, хоч англійською) і в результаті буде побудована правильна формуладля обчислення.

У верхньому вікні («Пошук функції:») написано, що ми можемо шукати і знаходити. Тобто тут можна написати «середнє» та натиснути кнопку «Знайти» (Find, англійською). Але можна зробити інакше. Ми знаємо, що це функція з категорії статистичних. Ось і знайдемо цю категорію у другому віконці. А в списку, що відкрився, знайдемо функцію «СРЗНАЧ».

Заодно й побачимо, яке там велике безліч функційу категорії статистичних, лише середніх там 7 штук. І за кожною з функцій, якщо переміщати по них покажчик, нижче можна побачити коротку інструкціюза цією функцією. А якщо клікнути ще нижче, за написом «Довідка з цієї функції», то можна отримати і докладний її опис.

А зараз ми просто прорахуємо середнє значення. Клікаємо «ОК» (це так англійською висловлюється згоду, хоча, скоріше, це американською) на кнопочці внизу.

Початок формули програма вбила, тепер треба встановити діапазон першого аргументу. Просто виділимо його мишею. Натискаємо ОК та отримуємо результат. Залишилось додати сюди округлення, яке ми зробили в комірці С9, табличка готова до щоденної роботи.

Приклад 2. На курси англійської мовиу понеділок прийшло 15 осіб, у вівторок – 10, у середу – 12, у четвер – 11, у п'ятницю – 7, у суботу – 14, у неділю – 8. Знайти середню відвідуваність курсів за тиждень.
Рішення:Знайдемо середнє арифметичне:

Приклад 3. Гонщик їхала дві години зі швидкістю 120 км/год та годину зі швидкістю 90 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля під час перегонів.
Рішення:Знайдемо середнє арифметичне швидкостей автомобіля за кожну годину шляху:

Приклад 4. Середнє арифметичне 3 чисел дорівнює 6, а середнє арифметичне 7 інших чисел дорівнює 3. Чому дорівнює середнє арифметичне цих десяти чисел?
Рішення:Так як середнє арифметичне 3-х чисел дорівнює 6 то їх сума дорівнює 6 · 3 = 18, аналогічно сума 7-ми чисел, що залишилися, дорівнює 7 · 3 = 21.
Значить сума всіх 10-ти чисел буде 18 + 21 = 39, а середнє арифметичне дорівнює